Analyse des erreurs d’approximation Jean-Antoine Désidéri ELLIPTIQUE Le problème type du laplacien Le laplacien en différences finies Discrétisation classique Erreur de troncature, erreur d’approximation Erreur itérative, complexité, multigrilles Ecoulements potentiels en Éléments Finis, coercivité, convergence HYPERBOLIQUE Introduction : Fluide parfait compressible Equations d’Euler, propriétés générales : hyperbolicité, nonlinéarité Convergence des schémas linéaires Analyse de l’erreur par la technique de l’équation modifiée/équivalente Théorème d’équivalence de Lax Solution fortes et faibles de lois de conservation Schémas nonlinéaires conservatifs Notion de consistance en nonlinéaire Cas d’un écoulement constant en DF Introduction aux volumes-finis CONCLUSIONS ANALYSE DES ERREURS D’APPROXIMATION DANS LES PROBLÈMES CLASSIQUES D’EDP pour la Mécanique des milieux continus Jean-Antoine Désidéri Equipe-Projet INRIA OPALE Centre de Sophia Antipolis Méditerranée http://www-sop.inria.fr/opale Vérification des simulations numériques en Mécanique des milieux continus. Notion de validation. Collège de Polytechnique, 15-16 Novembre 2012 1 / 117
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ANALYSE DES ERREURS D'APPROXIMATION DANS LES … · Analyse des erreurs d’approximation Jean-Antoine Désidéri ELLIPTIQUE Le problème type du laplacien Le laplacien en différences
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Analyse des erreursd’approximation
Jean-Antoine Désidéri
ELLIPTIQUE
Le problème type du laplacien
Le laplacien en différences finies
Discrétisation classique
Erreur de troncature, erreurd’approximation
Erreur itérative, complexité,multigrilles
Ecoulements potentiels en ÉlémentsFinis, coercivité, convergence
Analyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalente
Théorème d’équivalence de Lax
Solution fortes et faibles de lois deconservation
Schémas nonlinéaires conservatifs
Notion de consistance ennonlinéaire
Cas d’un écoulement constant enDF
Introduction aux volumes-finis
CONCLUSIONS
Le laplacien 2
Autres exemples physiques
• Température (d’équilibre) dans Ω; bord isotherme ou soumis àune condition de flux de chaleur.
∆T = 0
• En Mécanique des Fluides : potentiel des vitesses, ou fonctionde courant (écoulement plan et permanent de fluide parfaitincompressible irrotationnel)
−→V =
−→∇φ ∆φ = ∆ψ = 0
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Erreur itérative, complexité,multigrilles
Ecoulements potentiels en ÉlémentsFinis, coercivité, convergence
Analyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalente
Théorème d’équivalence de Lax
Solution fortes et faibles de lois deconservation
Schémas nonlinéaires conservatifs
Notion de consistance ennonlinéaire
Cas d’un écoulement constant enDF
Introduction aux volumes-finis
CONCLUSIONS
Propriétés fondamentales 1
Formulation variationnelle
Trouver u ∈ H10 tq ∀v ∈ H1
0 :∫∫
Ω
−→∇u.−→∇v =
∫∫Ω
f .v
Solution unique en vertu duThéorème (Lax-Milgram) : Etant donné un espace de Hilbert V(i.e. un espace vectoriel normé, complet), une forme bilinéaire acontinue et cœrcive (i.e. ∃α > 0 tq ∀u , a(u,u)≥ α‖u‖2), uneforme linéaire continue L, le problème
‖ Trouver u ∈ V tq ∀v ∈ V , a(u,v) = L(v)
admet une solution unique.Eléments Finis :
P1-Lagrange' H1
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Ecoulements potentiels en ÉlémentsFinis, coercivité, convergence
Analyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalente
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Schémas nonlinéaires conservatifs
Notion de consistance ennonlinéaire
Cas d’un écoulement constant enDF
Introduction aux volumes-finis
CONCLUSIONS
Propriétés fondamentales 2
Théorème (Principe du maximum)Soit Ω un ouvert borné de R2 de frontière Γ assez régulière. Soitu ∈ H1(Ω) telle que −∆u ≥ 0 dans Ω et u ≥ 0 sur Γ; alors : u ≥ 0dans Ω.
ConséquenceSupposons u solution de l’équation de Laplace :
∆u = 0 dans Ω
u = u0 sur Γ = ∂Ω
Posons
m0 = min u0 = minΓ
u , M0 = max u0 = maxΓ
u
et appliquons le théorème aux fonctions u−m0 et M0−u :=⇒m0 et M0 sont également le minimum et le maximum de lafonction u(x ,y) dans le domaine Ω en entier (et non pas seulementsur le bord).
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Notion de consistance ennonlinéaire
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CONCLUSIONS
Analyse de Fourier 3
Conditions de Dirichlet-Neumann
u(0) = 0 (u0 = 0) u′(1) = 0 (uN+1 = uN)
Idem, sauf définition :
θm =mπ
2N + 1(m = 1,2, ...,N)
Propriétés spectrales des modèles continus et discretsModèles discrets et schémas itératifs - application aux algorithmesmultigrilles et multidomaines, J.A.D., Editions HERMES, Paris(1998); chapitre 2.
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Analyse de Fourier 4
Plus petite valeur propre (conditions de Dirichlet)
=⇒ λhmin = λ(1)h =
4h2 sin2
(πh2
).
= π2 = λ
(1)
La plus petite valeur propre du système discret est associée aumode de plus basse fréquence, pour lequel, par consistance de ladiscrétisation, l’action de Ah est, à une erreur de troncature près,identique que celle de l’opérateur différentiel.
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Ecoulements potentiels en ÉlémentsFinis, coercivité, convergence
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Notion de consistance ennonlinéaire
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CONCLUSIONS
Résolution des équations 2
Méthode itérative (Jacobi, Gauss-Seidel, etc)Jacobi : on construit un
h
un+1h = un
h − τ(Ahunh − fh) = (I− τAh)un
h + τfh
NB : identique à Euler explicite appliqué à uh = fh−Ahuh, avec∆t = τ. Généralisation : méthodes pseudo-instationnaires.Trm : Alors, si Ah > 0, ce qui est le cas du laplacien discret, le choix
τ =
(λmax + λmin
2
)−1
= τ∗
est optimal, et correspond à la valeur suivante du rayon spectral :
ρ(I− τ∗Ah) = ρ
∗(h) =κ−1κ + 1
= 1− 2κ
+ ... = 1− ch2 + ...
NB : logρ∗(h)∼ (−ch2).
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CONCLUSIONS
“Nested Iteration”, ouenrichissement progressif de
maillageKronsjö-Dahlquist (1971). BIT 12, 1972.
Fin Mh/4 . . .
Moyen Mh/2
Grossier Mh
Résoudre Prolonger Lisser Prolonger Lisser . . .
• Efficacité: dépend de la conception des éléments suivants :• lisseurs adaptés aux propriétés spectrales du système discret,• application rigoureuse de critères d’arrêt à chaque niveau,• opérateurs de transfert (interpolations) suffisamment précis.
• Réduction du coût : seulement d’un facteur ∝ logN(i.e. nombre de niveaux de maillage)
• Bénéfice additionnel : la robustesse (en nonlinéaire)
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Erreur itérative, complexité,multigrilles
Ecoulements potentiels en ÉlémentsFinis, coercivité, convergence
Formulation variationnelle associée à (5)-(6)Proposition 1Soit une fonction particulière χ ∈ L2(Ω) de moyenne non nulle surΩ. Si g est régulière (g ∈ H1/2(Γ)) et si∫
Γg dγ = 0 (12)
alors le problème (5)-(6) est équivalent à l’équation variationnellesuivante: ∫
Ω∇ϕ.∇w dx =
∫Γ
gw dγ ∀w ∈W (13)
ϕ ∈W =
w ∈ H1(Ω);
∫Ω
χw dx = 0
(14)
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Ecoulements potentiels en ÉlémentsFinis, coercivité, convergence
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Solution fortes et faibles de lois deconservation
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Notion de consistance ennonlinéaire
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CONCLUSIONS
Modèle fondamentalEquivalence des formulations
DémonstrationSens direct: multiplier (5) par la fonction test w et utiliser la formule de Green,
∫Ω−(∆ϕ)w dx +
∫Γ
∂ϕ
∂nw dγ =
∫Ω
∇ϕ∇w dx
pour obtenir: ∫Ω
∇ϕ.∇w dx =∫
Γgw dγ ∀w ∈ H1(Ω)
w = 1 donne (12). D’où l’invariance de cette équation aux remplacements ϕ→ ϕ + constante etw → w + constante; donc on se restreint à W .Réciproque: on suppose ϕ ∈ H2; (13) combinée à la formule de Green donne:
∫Ω−(∆ϕ)w dx +
∫Γ
(∂ϕ
∂n−g
)w dγ = 0 ∀w ∈W
Avec w nul au bord, il vient:∫
Ω −(∆ϕ)w dx = 0 ∀w tel que∫
Ω χw dx = 0 et donc:
−∆ϕ = λχ dans Ω, pour une certaine constante λ.
Par conséquent,∫
Ω −(∆ϕ)w dx = λ∫
Ω χw dx = 0, ∀w ∈W , et on a aussi:∂ϕ
∂n= g sur Γ.
Alors, Green (w = 1) + compatibilité (12) =⇒ λ∫
Ω χdx = 0 =⇒ λ = 0.
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Ecoulements potentiels en ÉlémentsFinis, coercivité, convergence
Analyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalente
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Modèle fondamentalExistence et unicité
Existence et unicité du problème variationnel dans WProposition 2Si Ω est borné et de frontière lipschitzienne et si g est dansH−1/2(Γ) alors la formulation variationnelle (13) -(14) admet unesolution unique.
Eléments de la démonstration:
• Ω étant borné, l’inégalité de Poincaré est vérifiée sur W :
∫Ω
ϕ2 dx ≤ C
∫Ω|∇ϕ|2 dx
d’où: ∫Ω|∇ϕ|2 dx ≥ 1
1 + C‖ϕ‖2
H1Ω
ce qui établit que la forme bilinéaire associée à la formulation variationnelle estW -elliptique;
• W est un sous-espace fermé de H1(Ω);
• l’application linéaire w →∫
Γ gw dγ est continue;
=⇒ le théorème de Lax-Milgram s’applique.
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Modèle fondamentalApproximation et convergence1
Approximations internes convergentesProposition 3Soit Wh une suite d’approximations internes (Wh ⊂W) de W, telleque tout w dans W peut être approché par wh avec
‖wh−w‖H1Ω→ 0 lorsque h→ 0.
Alors, la solution ϕh ∈Wh de∫Ω
∇ϕh.∇wh dx =∫
Γgwh dγ ∀wh ∈Wh
converge fortement dans H1(Ω) vers ϕ, la solution de la formulationvariationnelle (13)-(14).
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Modèle fondamentalApproximation et convergence3
Ordre de précisionProposition 4Si en plus des hypothèses de la Proposition 3, il existe α > 0 pourlequel la propriété (d’approximation de W par Wh) suivante estvraie:
‖wh−w‖H1Ω≤ chα ‖w‖Hα+1
Ω
Alors:‖ϕh−ϕ‖H1
Ω≤ c′hα ‖ϕ‖Hα+1
Ω
Démonstration:On vient de voir que:
∫Ω
(ϕh−ϕ)2 dx ≤ C∫
Ω|∇(φh−ϕ)|2 dx ,
∫Ω|∇(ϕh−ϕ)|2 dx ≤
∫Ω|∇(φh−ϕ)|2 dx
Donc: ‖ϕh−ϕ‖2H1(Ω) ≤ (C + 1)
∫Ω |∇(φh−ϕ)|2 dx ≤ (C + 1)‖φh−ϕ‖2
H1(Ω).
D’où: ‖ϕh−ϕ‖H1(Ω) ≤√
C + 1‖φh−ϕ‖H1(Ω) ≤√
C + 1c︸ ︷︷ ︸c′
hα ‖ϕ‖Hα+1
Ω
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Modèle fondamentalEléments finis simplexiaux de Lagrange3
Conséquences (fin)Nota Bene:Soit Ni (x) la base canonique des éléments de Lagrange d’ordre1 (“fonctions chapeaux”) (Ni (x) linéaire/triangle, égal à δi,j au nœudj) - en nombre égal au nombre de sommets.Un choix convenable pour N ′i (x) est le suivant:
N ′i (x) = Ni (x)−∫
Ω χNi (x)dx∫Ω χdx
(N = nombre de sommets-1).
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CONCLUSIONS
A quoi servent les équationsd’Euler?
À modéliser les écoulements compressibles de fluideparfait
• conviennent en dehors des zones d’écoulement très visqueux(notamment les parois) à condition que ces zones soient defaible étendue, et l’interaction faible (couche limite mince)
• contiennent la bonne structure de choc (par opposition à lamodélisation par le potentiel, même complet)
• permettent le couplage avec les codes de couche limite
• constituent une étape méthodologique vers Navier-Stokes
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Erreur de troncature d’unschéma d’évolution
Problème d’évolution généralÉquations d’Euler et de Navier-Stokes en perspective
ut = Lu (+ CI, et éventuellement CL)
Équation ÉquivalenteA. Lerat, R. Peyret, Propriétés dispersives et dissipatives d’uneclasse de schémas aux différences pour les systèmeshyperboliques nonlinéaires, La Recherche Aérospatiale 2 (1975)61-79.
Équation ModifiéeR.F. Warming, B.J. Hyett, The modified equation approach to thestability and accuracy analysis of finite-difference methods, J.Comput. Phys. 14 (1974) 159-179.
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Étape 1 : Introduire uninterpolant régulier
Notons précisément:
• u(x , t) la solution du problème continu (= u0(x− ct))
• u(x , t) une fonction régulière interpolant la suite infinie unj
u(j∆x ,n∆t) = unj ∀n ∈ N , ∀j ∈ Z )
Remarque : il existe une infinité non dénombrable de fonctionsentières satisfaisant cette condition d’interpolation (cf. : Interpolationof infinite sequences by entire functions, J.A.D., Applied Numer. Math.58 (2008) 1918-1932)
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Injecter l’interpolant dansl’équation aux DF et développer
en série de Taylor
u(xj , tn+1)− u(xj , tn)
∆t+ c
u(xj , tn)− u(xj−1, tn)
∆x= 0
Il vient :
ut +∆t2
utt +∆t2
6uttt + · · ·+ c
[ux −
∆x2
uxx +∆x2
6uxxx + . . .
]= 0
(18)Notons :
θk (∆x ,∆t)
une série (resp. un développement limité) suivant les puissancescroissantes de ∆x et ∆t , dont les coefficients sont des dérivées partiellesde la fonction u(x , t) (x et t étant des variables auxiliaires), et dont le termede plus bas degré est d’ordre k (i.e. en ∆xk , ∆xk−1∆t , ... , ∆tk );de sorte que :
ut =−c ux + θ1(∆x ,∆t) , θ1 =−∆t2
utt + c∆x2
uxx + . . .
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CONCLUSIONS
Étape 3 : Réciproque∆x et ∆t étant des paramètres fixés; soit v(x , t) lasolution du problème :
vt + cvx = P1(∆x ,∆t)vxx + P2(∆x ,∆t)vxxx + . . .
(t ∈ R+ , x ∈ R)
v(x ,0) = u0(x) (x ∈ R)
Alors, on admettra que :
• v(x , t) est bien défini, au moins pour t suffisamment petit;
• Pour un schéma à 2 niveaux temps, il y a unicité :
∀n ∈ N , ∀j ∈ Z , : v(xj , tn) = u(xj , t
n) = unj
Preuve : Soit : Rnj =
v(xj ,tn+1)−v(xj ,tn)∆t + c v(xj ,tn)−v(xj−1,tn)
∆x . En développanten série de Taylor, il vient Rn
j = 0 par les mêmes manipulations formelles,et en vertu de l’eqn. modifiée; mais l’eqn. aux DF admet une solutionunique (schéma explicite à 2 niveaux); donc v(xj , tn) = un
j = unj .
Cette équation est donc bien équivalente au schéma numérique. 67 / 117
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Erreur de troncature - Ordre deprécision
Erreur de troncature pour un problème d’évolution :Le membre de droite de l’équation modifiée (équivalente), lorsquecelui de gauche fait apparaître l’opérateur du problème continu :
E .T . = P1(∆x ,∆t)uxx + P2(∆x ,∆t)uxxx + . . .
Ordre de précision du schéma numérique :Le plus petit entier α pour lequel :
Pα(∆x ,∆t)≡ 0/
Remarque : en notant Au− f = ut + cux = 0 le problème continu de départ, il vient :
E .T . = Auh− f
où on note ici uh la solution de l’équation modifiée (au lieu de v , ou u) dont les valeurs auxnœuds du maillage sont un
j . En elliptique, nous avions posé E .T . = Ahu− fh .69 / 117
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À quoi sert l’équationéquivalente? 4
À comparer les schémas entre eux par confrontation desexpressions formelles de leurs erreurs de troncatureVoir : Chapitre 4 du livre de cours “ATP” :Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, D. A. Anderson,J. C. Tannehill and R. H. Pletcher, Hemisphere PublishingCorporation, New York, London (1984).
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CONCLUSIONS
À quoi sert l’équationéquivalente? 6
À construire de nouveaux schémas, plus précis, ou mieux adaptés àun traitement particulier, par ajustement des paramètres du schémaqui interviennent dans les coefficients de l’équation équivalente.Par exemple, on peut construire un schéma d’ordre 3 par combinaisonconvexe de deux schémas d’ordre 2 :
(1−β)∗ (Lax-Wendroff) + β∗ (Schéma Décentré du 2nd-ordre)
et ajustement nontrivial du coefficient
β =1 + ν
3
en fonction du nombre de Courant ν (Third-order numerical schemes forhyperbolic problems, J.A.D., A. Goudjo, V. Selmin, Rapport de RechercheINRIA No. 607, 1987 - http://hal.inria.fr/inria-00075947/fr/ )
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Analyse des erreursd’approximation
Jean-Antoine Désidéri
ELLIPTIQUE
Le problème type du laplacien
Le laplacien en différences finies
Discrétisation classique
Erreur de troncature, erreurd’approximation
Erreur itérative, complexité,multigrilles
Ecoulements potentiels en ÉlémentsFinis, coercivité, convergence
Analyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalente
Théorème d’équivalence de Lax
Solution fortes et faibles de lois deconservation
Schémas nonlinéaires conservatifs
Notion de consistance ennonlinéaire
Cas d’un écoulement constant enDF
Introduction aux volumes-finis
CONCLUSIONS
StabilitéAnalyse de Von Neumann
Définition :Quel que soit T > 0 fixé, il existe une borne CT , indépendante de h = ∆x ,majorant la solution numérique dans le processus de raffinement de
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Introduction aux volumes-finis
CONCLUSIONS
Analyse pratique de la stabilité
Analyse de FourierOn étudie généralement la stabilité d’un schéma numérique en considérant (d’abord) unproblème de Cauchy pur pour lequel on peut supposer la solution périodique en j . En faisant deplus l’hypothèse de linéarité et coefficients constants, un schéma à 2 niveaux en temps s’écritmatriciellement :
un+1h = Ghun
h + bh
et une condition suffisante (forte) de stabilité est la suivante : ‖Gh‖ ≤ 1, pour une certaine
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CONCLUSIONS
ConvergenceProblème et schéma numérique linéaire
Théorème d’équivalence de LaxÉtant donné un problème aux valeurs initiales pur, linéaire, bienposé, et un schéma numérique consistant associé, la convergenceéquivaut à la condition de stabilité.
CONSISTANCE + STABILITÉ =⇒ CONVERGENCE
E .T .−→ 0 ‖unh‖ ≤ CT uh −→ u (h→ 0)
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Solution faible(solution au sens des distributions)
Définition
u ∈ L1
loc(R×R+) , f (u) ∈ L1loc(R×R+) ,∫∫
R×R+
(u
∂φ
∂t+ f (u)
∂φ
∂x
)dx dt =−
∫R
u0(x)φ(x ,0)dx ,
pour tout φ de régularité C∞, à support compact dans R×R+
Par cette définition, toute solution forte est une solution faible. Or,on sait que les lois de conservation génèrent des fonctionsdiscontinues. Sont-elles des solutions faibles?
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Propagation de discontinuité 1
Soit la fonction
u =
u1 solution forte dans Ω1
u2 solution forte dans Ω2
où Ω1 et Ω2 constituent une partition du demi-plan R×R+, et ontune frontière commune Γ, correspondant au lieu d’une discontinuitéqui se propage dans le temps.
u0(x)
Γ
x
tΩ1 :
u = u1Ω2 :
u = u2
Est-elle une solution faible?
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Propagation de discontinuité 7
Les relations de saut ne suffisent pas en général àcaractériser la “bonne solution faible”Critères physiques : entropie, parabolisation (viscositéévanescente : ut + [f (u)]x = εuxx , ε→ 0)
Equations d’Euler, écoulement stationnaireRelations de saut = Equations de Rankine-Hugoniot[
nx F(W ) + ny G(W ) + nzH(W )]choc
= 0
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Consistance
DéfinitionUne méthode est dite consistante si la fonction de flux numériquese réduit à la fonction de flux de l’EDP lorsque tous ses argumentssont égaux :
F(u,u, ...,u) = f (u)
et F est Lipschitz-continue :
|F(v ,w , ...)− f (u)| ≤ K max(|v−u| , |w−u| , ...)
quand v , w , ... approche u. (La constante K peut dépendre de u,mais pas de v , w , ... . Les fonctions différentiables sont Lipschitz.)
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Hypothèse de convergence 1
Définition fonctionnelle de la solution numériqueOn associe aux données discrètes la fonction u(x , t) constantedans tout pavé [xj− 1
2,xj+ 1
2]× [tn, tn+1] dans lequel sa valeur est un
j .
Rappel de la notion de convergenceLa convergence implique qu”il existe une fonction u(x , t) telle quedans un processus de raffinement de maillage, associé à une suited’indice m, on a :∫ T
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Mise en garde
• L’analyse qui suit ne s’applique qu’aux lois de conservationscalaires. Dans le cas d’un système, certaines propriétésrestent vraies, mais pas toutes.
• La théorie actuelle est bien plus développée pour les équationsscalaires, et à ce jour, aucune preuve de stabilité/convergencen’est établie pour les systèmes généraux.
• Ceci dit, en pratique, l’expérience montre que le cas scalaireest instructif du cas général.
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Théorème de Lax-Wendroff
Si la solution numérique u(m)(x , t) satisfait (CV1) et (CV2), et si elleprovient de l’application d’un schéma numérique sous formeconservative, consistant, et convergeant dans un processus deraffinement de maillage (m→ ∞), la limite, u(x , t), est solutionfaible de la loi de conservation.
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Équations de Saint-VenantÉcoulement en eaux peu profondesShallow Water Equations (estuaires, canaux, etc)Par intégration selon la hauteur des équations d’Euler (incompressible)
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Volumes FinisQuelques premiers acteurs
Idée de base, à ma connaissance ...MacCormack, R. W. and Paullay, A. J. : “The Influence of the ComputationalMesh on Accuracy for Initial Value Problems with Discontinuous orNon-Unique Solutions”, Computers and Fluids, Vol. 2, 1974, pp. 339-361.
Dans le mondevan Leer, Roe, Harten, Osher ...
En FranceMontagné (ONERA), Gallouët, Herbin, Vila (et Coudière), Dervieux et al(INRIA, en nonstructuré)...
Plus récemmentAbgrall, Barth, Coquel, Couaillier, Deconinck, ...
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MUSCL 3
Limiteurs
Schéma utilisémoyenne limitée (non arithmétique, à l’origine : Van Albada) desdeux schémas, dans le but de préserver la monotonie des chocs
J.A.D. & A. Dervieux, “Compressible Flow Solvers using UnstructuredGrids”, Von Karman Institute for Fluid Dynamics, Lecture Series 1988-5,Computational Fluid Dynamics, March 7-11, 1988. Rapport de RechercheINRIA No. 1732, Juin 1992 (http://hal.inria.fr/inria-00076971/fr/).
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Résumé 3
Hyperbolique (suite)
• Analyse de l’erreur en nonlinéaire :• Schémas sous forme conservative• Consistance, conservation globale• Théorème de Lax-Wendroff :
Forme conservative+ consistance+ convergence
=⇒ la fonction limite est solution faiblede la loi de conservation
• Une difficulté majeure en DF (coordonnées curvilignes) avec leseqns. d’Euler ou de Saint Venant : conserver les constantes, àchaque ∆t , avec un schéma décentré
• Introduction aux volumes finis; exemple en maillagesnonstructurés.
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