-
ANALIZA VPLIVA PROSTORSKE DISKRETIZACIJE
METODE KONČNIH ELEMENTOV NA NATANČNOST
NUMERIČNIH REZULTATOV
Magistrsko delo
Študent: Jure ŠANTL
Študijski program 2. stopnje:
Strojništvo
Smer: Računalniško inženirsko modeliranje
Mentor: red. prof. Zoran REN
Somentor: asist. dr. Matej BOROVINŠEK
Maribor, november 2015
-
- I -
-
- II -
ZAHVALA
Zahvaljujem se mentorju red. prof. Zoranu Renu in
somentorju asist. dr. Mateju Borovinšku za pomoč in
vodenje pri opravljanju magistrskega dela. Zahvaljujem
se tudi Valeriji za vso vzpodbudo in pomoč.
Posebna zahvala velja družini, ki me je podpirala skozi
celoten študij.
-
- III -
KAZALO
1 UVOD
................................................................................................................................
1
2 OSNOVE KONČNIH ELEMENTOV
...............................................................................
4
2.1 Tip končnega elementa in interpolacijska funkcija
..................................................... 4
2.2 Integracijska shema
.....................................................................................................
5
2.3 Geometrijska oblika končnih elementov
...................................................................
12
2.4 Velikost končnih elementov
......................................................................................
20
2.5 Ugotavljanje natančnosti numeričnih rezultatov
....................................................... 20
2.6 Konvergenčna metoda
...............................................................................................
20
3 OCENJEVANJE NAPAKE DISKRETIZACIJE S POMOČJO RICHARDSONOVE
EKSTRAPOLACIJE
................................................................................................................
22
3.1 Osnove Richardsonove ekstrapolacije
.......................................................................
22
3.2 Prostorska diskretizacija
............................................................................................
24
3.3 Red konvergence mreže
.............................................................................................
26
3.4 Ocena napake diskretizacije
......................................................................................
29
3.5 Predpostavke
..............................................................................................................
30
3.6 Uporaba Richardsonove ekstrapolacije na vrednostih odziva
sistema ...................... 32
3.7 Lokalna uporaba Richardsonove ekstrapolacije
........................................................ 32
3.8 Prednosti in slabosti
...................................................................................................
34
3.9 Zanesljivost ocene diskretizacije
...............................................................................
34
3.10 Roachejev indeks konvergence mreže
(GCI).........................................................
35
3.11 Variante
..................................................................................................................
39
4 IZDELAVA DODATKA V PROGRAMSKEM OKOLJU ABAQUS
........................... 43
4.1 Osnovni koraki
..........................................................................................................
44
4.2 Pridobitev podatkov o treh simulacijah
.....................................................................
46
-
- IV -
4.3 Interpolacija vrednosti na skupno mrežo in izvedba
Richardsonove ekstrapolacije z
uporabo algoritma Matlab
....................................................................................................
50
4.4 Interpolacija vrednosti na skupno mrežo z uporabo algoritma
Abaqus .................... 51
4.5 Izvedba Richardsonove ekstrapolacije
......................................................................
53
4.6 Primerjava algoritmov Abaqus in Matlab
.................................................................
55
5 ZGLED: ANALITIČNI IN NUMERIČNI IZRAČUN NOSILCA
.................................. 57
5.1 Analitični izračun napetosti v nosilcu
.......................................................................
57
5.2 Numerični izračun napetosti v nosilcu
......................................................................
58
5.3 Izvedba Richardsonove ekstrapolacije na nosilcu
..................................................... 59
6 ZAKLJUČEK
...................................................................................................................
70
7 MOŽNOSTI ZA NADALJNJE DELO
............................................................................
72
8 VIRI
..................................................................................................................................
74
-
- V -
ANALIZA VPLIVA PROSTORSKE DISKRETIZACIJE METODE
KONČNIH ELEMENTOV NA NATANČNOST NUMERIČNIH
REZULTATOV
Ključne besede: Metoda končnih elementov, prostorska
diskretizacija, kvaliteta mreže,
natančnost rezultatov, Abaqus, Richardsonova ekstrapolacija
UDK klasifikacija: 519.6:004.94(043.2)
POVZETEK
Računalniške simulacije izvajamo tako, da model diskretiziramo
(razdelimo na elemente). Na
ta način iščemo približno rešitev zadanega problema. Kvaliteta
končnih elementov bistveno
vpliva na natančnost rešitev. Opisal sem, kako geometrijski tip,
integracijska shema,
geometrijska oblika ter velikost končnih elementov vplivajo na
natančnost numeričnih
rezultatov. Opisal sem probleme, ki se pojavljajo pri izbiri
polne oziroma reducirane
integracije. Primernost oblike končnih elementov najpogosteje
vrednotimo na podlagi razmerja
med stranicami elementa, velikostjo notranjih kotov in
Jacobijeve determinante. Raziskal sem
metode za ocenjevanje napake diskretizacije. Ena izmed njih je
Richardsonova ekstrapolacija,
ki sem jo podrobneje raziskal. To je metoda, ki na podlagi treh
rešitev na različno gostih mrežah
oceni ekstrapolirano vrednost spremenljivke (npr. napetosti).
Tako pridobimo oceno vrednosti
spremenljivke, ki bi jo dobili na mreži z neskončno malimi
elementi (velikost elementa je 0). Na
tem temelji indeks konvergence mreže GCI, ki ga uporabimo kot
oceno napake diskretizacije.
Ta oceni, znotraj katerega intervala leži s 95 % verjetnostjo
natančna vrednost matematičnega
modela. Izdelal sem dodatek za programski paket Abaqus, ki
temelji na tej metodi. Dodatek za
vsako vozlišče modela izračuna oceno napake diskretizacije.
Dodatek sem tudi preizkusil na
testnem primeru, ki je dal dobre rezultate.
-
- VI -
ANALYSIS OF FEM SPATIAL DISCRETISATION INFLUENCE ON
PRECISION OF NUMERICHAL RESULTS
Key words: Finite element method, spatial discretization, mesh
quality, result precision,
Abaqus, Richardson extrapolation
ABSTRACT
Computer simulations are based on discretization (model is split
into elements). This way, we
obtain aproximated results of examinated problem. The quality of
finite elements has a great
effect on precision of numerical results. I described how the
precision of numerical results is
influenced by element type, integration scheme, geometrical
shape and size. I described the
problems that we face by using full or reduced integration
scheme. The quality of the
geometrical shape of finite elements is usually evaluated based
on element aspect ratio, size of
inner angles and Jacobian determinant. I researched the methods
for evaluating discretizaztion
error. One of them is Richardson extrapolation, which I
researched in more detail. This method
extrapolates observed value (like element stress), using
observed values on three different
meshes. This way, this method esimates the value of observed
value for mesh with infinite small
elements (the size of elements eqals 0). Based on this method,
the mesh konvergence index
(GCI) was introduced. GCI is used as a measure of discretization
error. GCI defines an
interval, which contains an exact solution of mathematical model
with the probability of 95 %.
Based on Richardson extrapolation and GCI index, I developed
Abaqus add-on. The add-on
calculates discretization error for each node of provided model,
based on results on three
different meshes. I tested add-on on test example, where I
obtained good results.
-
- VII -
UPORABLJENI SIMBOLI
𝛿 - pomik nosilca
𝑃 - sila na nosilec
𝐼 - vztrajnostni moment
𝜎 - napetost, napetostni tenzor
𝑀 - moment, navor
𝜁 - koordinatne osi v naravnem koordinatnem sistemu
E - modul elastičnosti
J - Jacobijeva matrika
p - red konvergence
𝜀 - napaka diskretizacije, razlika med diskretno rešitvijo in
rešitvijo matematičnega
problema
𝑓 - eksaktna rešitev matematičnega modela
𝑓ℎ - numerična (diskretna) rešitev
𝑟 - faktor zgostitve
𝑁 - število vozlišč, elementov
�̂� - lokalno gledan red natančnosti, opazovan red
natančnosti
𝑝𝑓 - formalen red natančnosti
𝐹𝑠 - varnostni faktor
𝐶𝐹 - korekcijski faktor
-
- VIII -
UPORABLJENE KRATICE
1-D - enoodimenzionalni
2-D - dvodimenzionalni
3-D - tridimenzionalni
CPU - računalniški procesor
LT - linearni tetraedrski element
QT - paraboličen tetraedrski element
LH - linearni heksaederski element
QH - paraboličen heksaederski element
C3D8 - linearni 3-D elementi z 8 vozlišči, oznaka programskega
paketa Abaqus
C3D8R - linearni 3-D elementi z 8 vozlišči in reducirano
integracijsko shemo, oznaka
programskega paketa Abaqus
CHEXA - oznaka za heksaederski element v programskem paketu
Nastran
SOLID45 - oznaka za heksaederski element v programskem paketu
ANSYS
GCI - indeks konvergence mreže, merilo za napako
diskretizacije
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 1 -
1 UVOD
Pri inženirskih problemih običajno obravnavamo sisteme s
strojnimi deli z najrazličnejšimi
geometrijami, odziv le-teh pa opisujejo diferencialne enačbe.
Metoda končnih elementov
temelji na diskretizaciji računskega območja: območje poljubne
geometrije razdelimo na
manjša podobmočja (končne elemente), znotraj katerih lahko
numerično rešimo diferencialne
enačbe. Podobmočja so običajno liki (pri 2-D problemih), oziroma
telesa (pri 3-D problemih).
Pri 3-D problemih so to po navadi tetraedri ali heksaedri.
Izbira vrste končnih elementov,
njihova oblika in velikost, običajno pomembno vplivajo na
natančnost rezultatov simulacije.
Prvi korak pri generiranju mreže končnih elementov je izbira
vrste končnega elementa.
Na podlagi geometrije se najprej odločimo, ali bomo uporabljali
3D elemente ali pa lahko
model poenostavimo z uporabo 2D mreže. Glede na zahtevnost
geometrije izberemo
geometrijsko obliko elementov, s katerimi bomo geometrijo
zamrežili (npr. pravokotniki ali
trikotniki pri 2D mrežah, heksaedri ali tetraedri pri 3D
mrežah). Elementom določimo tudi tip
integracijske sheme (polna integracija, reducirana integracija)
ter stopnjo interpolacijskih
funkcij elementov (linearna, kvadratna). Izbira vrste končnega
elementa lahko pomembno
vpliva na pravilnost numeričnih rezultatov.
Geometrijska oblika končnih elementov ima pomemben vpliv na
rezultate numerične
simulacije. Zaželeno je, da so elementi pravilnih geometrijskih
oblik (enakostraničen trikotnik,
kvadrat, kocka). V praksi se pogosto pojavljajo zapletene
geometrije, na katerih želimo izdelati
mrežo. Pri takih primerih moramo po navadi uporabiti tudi
elemente, ki imajo nepravilno
obliko. Bolj kot je oblika elementov nepravilna, slabše
rezultate dobimo na podlagi takšnih
elementov. Velikokrat programski paketi pred izvedbo simulacije
preverijo kvaliteto mreže ter
nas na elemente slabše kvalitete opozorijo. V ekstremnih
primerih, ko so elementi tako slabe
kvalitete, da s pomočjo njih ne moremo priti do uporabnih
rezultatov, programski paketi javijo
napako. Za ugotavljanje kvalitete mreže lahko uporabimo različne
kriterije. Najpogostejši so
razmerja med stranicami, notranji koti ter uporaba Jacobijeve
determinante.
Na rezultat simulacije bistveno vpliva tudi velikost končnih
elementov. Manjši kot so
elementi, bolj natančno je opisana geometrija strojnega dela ter
potek spremenljivk znotraj
računskega območja. Idealno bi bilo, če bi lahko območje
razdelili s pomočjo izredno majhnih
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 2 -
končnih elementov. Vendar smo omejeni z zmogljivostjo
računalnika: število končnih
elementov je omejeno s kapaciteto pomnilnika RAM (ob prevelikem
številu končnih elementov
bo se simulacija sicer izvajala, vendar se bo čas izvedbe
simulacije občutno podaljšal), hitrost
simulacije pa je odvisna od hitrosti procesorja ter števila
jeder v procesorju. Uporabimo lahko
le določeno število končnih elementov, zato se moramo zavedati,
da simulacija ni povsem
natančna. Inženir na podlagi svojega znanja in izkušenj oceni
kvaliteto rezultatov simulacije.
Za ocenjevanje napake lahko uporabimo tudi različne metode, kot
je na primer konvergenčna
metoda. Na podlagi konvergenčne metode temelji tudi
Richardsonova ekstrapolacija, s
pomočjo katere lahko tudi ocenimo napako numeričnih
rezultatov.
V magistrski nalogi bom najprej predstavil vrste končnih
elementov ter raziskal, s
katerimi elementi pridemo do boljših numeričnih rezultatov.
Raziskal bom, kako izbira tipa
končnega elementa, stopnje interpolacijskih funkcij in
integracijske sheme vpliva na natančnost
numeričnih rezultatov. Predstavil bom probleme, s katerimi se
srečujemo pri izbiri integracijske
funkcije (strižna blokada, učinek peščene ure). Predstavil bom
tudi kriterije, na podlagi katerih
lahko ocenimo kakovost geometrijske oblike končnih
elementov.
Predstavil bom konvergenčno metodo, s pomočjo katere lahko
vrednotimo vpliv velikosti
končnih elementov na natančnost rezultatov simulacije. Posebno
pozornost bom posvetil
Richardsonovi ekstrapolaciji, ki temelji na konvergenčni metodi.
Z Richardsonovo
ekstrapolacijo lahko na podlagi treh različno gostih mrež
ocenimo eksaktno rešitev
matematičnega modela (rešitev, ko bi bila velikost končnega
elementa enaka 0). Na podlagi te
vrednosti pa lahko ocenimo numerično negotovost rezultatov na
fini mreži z uporabo indeksa
GCI. Predstavil bom samo metodo, njene izpeljanke ter pogoje,
pod katerimi metodo lahko
uporabimo.
Cilj moje magistrske naloge je izdelati programsko kodo znotraj
programskega paketa
Abaqus (s pomočjo programskega jezika »Python«), ki bo v vsaki
točki modela izračunala
numerično negotovost modela ter jo prikazala v programskem
okolju Abaqus. Program bo
samodejno izvedel številne naloge, kot so pridobitev rezultatov
simulacij, interpolacija
rezultatov na skupno mrežo, izvedba Richardsonove ekstrapolacije
ter prikaz rezultatov na
zaslonu.
V magistrsko nalogo bom vključil tudi preprost primer, na
katerem bom uporabil svoj
program znotraj programskega paketa Abaqus. Za podan primer bom
izvedel simulacije na
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 3 -
različno gostih mrežah. Na podlagi različnih simulacij bom
izvedel Richardsonovo
ekstrapolacijo, s pomočjo katere bom izračunal numerično
negotovost rezultatov. Rezultate ter
numerično negotovost bom primerjal z analitično rešitvijo
problema, na podlagi tega pa bom
lahko ocenil, če v tem primeru Richardsonova ekstrapolacija
primerno oceni numerično
negotovost.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 4 -
2 OSNOVE KONČNIH ELEMENTOV
Pri metodi končnih elementov domeno (območje) diskretiziramo –
razdelimo na manjša
podobmočja oziroma končne elemente. Glede na število dimenzij
problema ločimo tri tipe
končnih elementov: 1-D (palični, nosilni), 2-D (površinski) in
3-D (volumski).
Slika 2.1: Različni tipi končnih elementov
Poleg števila dimenzij pri končnih elementih lahko izberemo tudi
geometrijski tip
končnega elementa (npr. tetraeder, heksaeder), velikost, tip
interpolacijske funkcije (npr.
linearna, kvadratna) ter integracijsko shemo (npr. polna,
reducirana). Vsaka od naštetih izbir
lahko bistveno vpliva na natančnost rezultatov. Prav tako na
rezultate pomembno vpliva tudi
geometrijska oblika končnih elementov – bolj kot so elementi
pravilnih oblik, boljše rezultate
dajejo.
2.1 Tip končnega elementa in interpolacijska funkcija
Splošno sprejeto dejstvo je, da so štirikotni elementi boljši od
trikotnih (v 2-D), oziroma da so
heksaederski elementi boljši od tetraederskih (v 3-D). Kot
primer vir [9] navaja: »Z razlogom,
da bi dosegli boljšo natančnost in učinkovitost, imajo prednost
štirikotni elementi v dvo-
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 5 -
dimenzionalnih mrežah ter heksaederski elementi v
tri-dimenzionalnih mrežah. Ta prednost je
jasna v strukturnih analizah, zdi se pa, da drži tudi za druge
inženirske discipline.«
Na tem področju je bilo narejenih kar nekaj študij. Cifuentes in
Kalbag [13] sta
ugotovila, da so rezultati, pridobljeni s kvadratnimi
tetraedrskimi (QT1) elementi ter z
linearnimi heksaederski (LH2) elementi, enako natančni ter za
izračun porabijo enako računsko
moč (CPU čas). Bussler in Ramesh [11] sklepata, da so ob uporabi
elementov istega reda,
heksaederski elementi natančnejši od tetraedrskih. Weingarten
[28] ugotavlja, da so kvadratni
tetraedrski elementi (QH3) v primerjavi s kvadratnimi
heksaederski elementi enako natančni ter
porabijo enak računski čas. Benzley ter ostali [8] so
zaključili, da so za izračun lastnih vrednosti
primernejši linearni heksaedrski napram linearnim tetraedrskim
(LT4) elementom. Prav tako so
ugotovili, da so LT elementi pri upogibni obremenitvi
neuporabni, saj je napaka, ki jo
povzročijo med 10 % in 70 %. LH in QH elementi ter QT elementi
so pri upogibni obremenitvi
sprejemljivo natančni (napaka pod 5 %). Pri torzijski
obremenitvi so ugotovili, da so LT
elementi nesprejemljivi (napaka med 20 in 80 %), slabe rezultate
pa dajejo tudi LH elementi
(napaka med 5 in 40 %). QH elementi dajejo dobre rezultate
(napaka pod 8 %, pri gostih mrežah
pod 1 %). Pri elasto-plastičnih izračunih so LT elementi
neuporabni (saj se v obravnavanem
primeru sploh niso plastično deformirali), QT elementi pa dajejo
slabše rezultate kot LH in QH.
2.2 Integracijska shema
Da pridobimo željene rezultate simulacije, programsko orodje
izvaja številne računske
operacije. Ena izmed njih je integracija po volumnu končnega
elementa, rezultat tega pa je
odziv materiala v integracijski točki končnega elementa. Pri
nekaterih končnih elementih lahko
izberemo polno integracijo (»full integration«) ali reducirano
integracijo (»reduced
integration«). Izbira integracijske sheme ima lahko bistven
vpliv na natančnost rezultatov, kar
1 QH - quadratic hexahedron (kvadratni heksaeder) 2 LH - linear
hexahedron (linearni heksaeder) 3 QT - quadratic tetrahedron
(kvadratni tetraeder) 4 LT - linear tetrahedron (linearni
tetraeder)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 6 -
je v Abaqusovi dokumentaciji [7] prikazano tui na primeru
ravnega nosilca, obremenjenega z
upogibno obremenitvijo.
Polna integracijska shema
Izraz polna integracija se navezuje na število integracijskih
(npr. Gaussovih) točk, ki so
potrebne za integracijo polinomskih členov takrat, ko ima
element geometrijsko pravilno
obliko. Pri heksaederskih ter štirikotnih elementih to pomeni,
da so robovi ravni ter se stikajo
pod pravim kotom. Če imajo še dodatna vozlišča na robovih, so
le-ta na sredini roba. Če so
elementi nepravilnih oblik, tudi integracijske točke niso
enakomerno razporejene znotraj
elementa. Razdalje med nekaterimi integracijskimi točkami so
lahko daljše, zato je potek
spremenljivke med točkami slabše opisan. Linearni elementi s
polno integracijsko shemo imajo
v vsaki prostorski dimenziji dve integracijski točki.
Tridimenzionalni elementi imajo torej 2 x
2 x 2 integracijskih točk v elementu. Kvadratni elementi s polno
integracijsko shemo imajo v
vsaki smeri tri integracijske točke. Dvodimenzionalni linearni
in kvadratni element sta
prikazana na sliki 2.2.
Slika 2.2: Linearni in kvadratni element ter položaj
integracijskih točk pri polni integraciji
V Abaqusovi dokumentaciji [7] je bilo ugotovljeno, da linearni
elementi z polno
integracijsko shemo, obremenjeni z upogibno obremenitvijo,
podcenijo pomik. Ugotovljena
razlika je tako velika, da so ti elementi v tem primeru
neuporabni. Z zgoščanjem mreže se
rezultati sicer nekoliko izboljšajo, vendar na najgostejši
mreži, ki so jo za ta primer uporabili,
še vedno predvidijo vrednost, ki je le 56 % teoretične vrednosti
pomika. Pri linearnih elementih
s polno integracijo ni pomembno, koliko elementov uporabimo po
debelini nosilca. Premajhen
pomik je povzročen zaradi strižne blokade (»shear locking«), ki
predstavlja problem
prostorskih linearnih elementov s polno integracijo.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 7 -
Enako ugotavlja tudi Qiuli Sun [30], ki je primerjal programske
pakete Abaqus, ANSYS
in Nastran. Na nosilcu (z grobo mrežo: 4 elementi v višino, 10 v
dolžino in 1 v širino) je izvedel
simulacije upogibne obremenitve in simulacijo lastnih frekvenc,
vendar je uporabil anizotropni
material. Za tak primer ni mogel uporabiti klasične teorije
nosilcev, zato je prišel do natančnih
vrednosti pomikov in lastnih frekvenc s pomočjo konvergenčne
študije. Prišel je do rezultatov,
ki so prikazani v tabeli 2.1.
Tabela 2.1: Normalizirani rezultati linearnih heksaederskih
elementov pri uporabi polne
integracijske sheme
Programski paket Nastran ABAQUS ANSYS
Tip elementa CHEXA (8 vozlišč) C3D8 SOLID45 (8 vozlišč)
Pomik konice nosilca 0,6774 0,6933 0,6772
Prva lastna frekvenca 1,429 1,075 1,435
Ugotavlja, da so pri upogibni obremenitvi elementi s polno
integracijsko shemo preveč togi v
vseh treh programskih paketih. Simulacije je izvedel tudi na
različno gostih mrežah. Rezultati
na gostejših mrežah so sicer boljši, vendar se počasi bližajo
pravilni rešitvi. Simulacije je
izvedel tudi s pomočjo paraboličnih elementov (z 20 vozlišči),
kjer je ugotovil, da so že na zelo
grobih mrežah rešitve zelo blizu konvergirani rešitvi.
Kot je bilo prikazano, strižna blokada povzroči, da so pri
upogibu elementi preveč togi.
Material, ki je obremenjen s čisto upogibno obremenitvijo, se bo
deformiral, kot je prikazano
na sliki 2.3. Horizontalne linije se ukrivijo, vertikalne pa
ostanejo ravne. Kot med njimi ostane
90°.
Slika 2.3: Deformacija materiala, obremenjenega z upogibnim
momentom M [7]
Stranice linearnega elementa se ne morejo ukriviti. Če material
modeliramo z linearnim
elementom, pride do deformacije, ki je prikazana na sliki 2.4.
Za boljšo predstavitev so na sliki
tudi črtkane črte, ki gredo skozi integracijske točke. Kot je
razvidno, se je zgornja stranica
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 8 -
podaljšala, kar pomeni, da je napetost v prvi smeri 𝜎11 natezna.
Podobno je razvidno, da se je
spodnja stranica skrčila in je torej napetost 𝜎11 tlačna.
Dolžina vertikalnih črtkanih črt se ni
spremenila (ob predpostavki, da so deformacije majhne), zato je
𝜎22 enaka nič. Vse to sovpada
s stanjem v materialni točki. Spremenil pa se je kot med
vertikalnimi in horizontalnimi
črtkanimi črtami v integracijskih točkah, ki ni več 90°. Iz tega
je razvidno, da je strižna
obremenitev 𝜎12 v teh točkah različna od nič, kar pri čisti
upogibni obremenitvi ne drži. Do tega
pride, ker se robovi elementa ne morejo ukriviti. Tako se zdi,
da deformacijska energija
povzroča strižne deformacije namesto upogibnih, skupni pomiki pa
so manjši, torej je element
bolj tog. Zaradi strižne blokade lahko pride do napačnih
pomikov, napetosti in lastnih frekvenc
[30].
Slika 2.4: Deformacija linearnega elementa s polno integracijo,
ki je obremenjen z upogibnim
momentom M [7]
Strižna blokada nastopa le pri linearnih elementih s polno
integracijo, ki so podvrženi
upogibni obremenitvi. Ti elementi dajejo dobre rezultate za
druge tipe obremenitev. Strižna
blokada ni problem kvadratnih elementov, saj se robovi teh
elementov lahko ukrivijo. Vendar
tudi v kvadratnih elementih lahko nastopa strižna blokada, če so
le-ti nepravilnih oblik ali če je
element obremenjen z gradientno upogibno napetostjo. Oba primera
se v praksi lahko pojavita.
Elemente s polno integracijo zato lahko uporabljamo le, kadar
smo prepričani, da bodo
obremenitve povzročile minimalno upogibno obremenitev v modelu.
Če nismo prepričani v
obremenitve modela, je priporočljivo uporabiti drugačen tip
elementov. Vendar so elementi s
polno integracijo lahko zelo uporabni na mestih, kjer nastopajo
lokalne koncentracije napetosti.
Reducirana integracijska shema
Reducirano integracijo lahko uporabimo le pri štirikotnih in
heksaederskih elementih.
Reducirana integracija uporablja za eno manjšo število
integracijskih točk v vsaki smeri napram
polni integraciji. Linearni elementi z reducirano integracijo
imajo samo eno integracijsko točko
v središču elementa, kvadratni pa dve v vsaki smeri, kot
prikazuje slika 2.5.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 9 -
Linearni element z reducirano integracijo
Kvadratni element z reducirano integracijo
Slika 2.5: Integracijske točke dvo-dimenzionalnih elementov z
reducirano integracijo [7]
Abaqusova dokumentacija [7] podaja rezultate, pridobljene z
uporabo enakih
elementov, kot pri polni integraciji, le da je bila tokrat
uporabljena reducirana integracijska
shema.
Linearni elementi z reducirano integracijo so premalo togi, saj
pri njih prihaja do
numeričnega problema, ki se imenuje učinek peščene ure
(»hourglassing«). Na sliki 2.6 je
prikazan linearni element z reducirano integracijo, ki je
obremenjen s čisto upogibno
obremenitvijo.
Slika 2.6: Deformacija linearnega elementa z reducirano
integracijo, ki je obremenjen z
upogibnim momentom M
Na sliki vidimo, da se dolžinsko ni spremenila nobena črtkana
črta, kot med njima pa je
prav tako ostal nespremenjen. To pomeni, da so vse komponente
napetosti v integracijski točki
elementa enake nič. Takšno stanje deformacije se imenuje
brezenergijsko stanje, saj takšna
deformacija elementa ne proizvede deformacijske energije.
Element se v tem načinu ne more
upirati deformaciji, saj v tem stanju nima togosti. V grobih
mrežah se lahko to brezenergijsko
stanje širi po mreži in povzroči slabe rezultate. Elementi se
lahko v takšno stanje deformirajo,
ne da bi spremenili ravnotežno stanje modela. Običajno dajejo
takšni elementi zelo raznolika
polja pomikov, vendar pravilna polja napetosti in deformacij
[14]. Z zmanjšanjem števila
integracijskih točk povečamo število možnih deformacij peščene
ure. Heksaedrski element z
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 10 -
eno integracijsko točko ima en tenzor deformacij s šestimi
različnimi komponentami. Ta
element ima 8 vozlišč, skupno 24 prostostnih stopenj. Tak tip
elementa ima 18 nedoločenih
tipov deformacij, od tega je 6 tipov togega pomika telesa.
Ostane torej 12 tipov deformacije v
obliki peščene ure. Slika 2.7 prikazuje učinek peščene ure pri
uporabi elementov z reducirano
integracijsko shemo.
Slika 2.7: Deformacije nosilca pri upogibni obremenitvi, z
uporabo elementov z reducirano
integracijsko shemo [34]
Programski paketi pri izračunih z elementi prvega reda ter z
reducirano integracijo zato
uporabljajo umetno »togost peščene ure« (»hourglass stiffness«),
s čimer omejijo širjenje
takšnega stanja. Ta togost je bolj učinkovita, če uporabimo
večje število elementov v modelu.
Linearni elementi z reducirano integracijo tako lahko dajo
sprejemljive rezultate, če uporabimo
dovolj fino mrežo. Linearni elementi z reducirano integracijsko
shemo so prav tako občutljivi,
če so nepravilnih oblik, zato moramo v takšnih primerih
uporabiti čim bolj fino mrežo.
Qiuli Sun [30] je prišel do sklepa, da imata programska paketa
Abaqus in ANSYS
težave, če uporabljamo grobo mrežo linearnih elementov z
reducirano integracijsko shemo
(razvidno v tabeli 2.2). Ugotovil je, da ko mrežo zgoščamo,
dobimo dobre rezultate (pri mreži
6 x 20 x 6 je napaka manj kot 2 %). Programski paket Nastran pa
daje že zelo natančne rezultate
pri grobi mreži, kar je najbrž rezultat uporabe »mehurčkastih
funkcij« (»bubble functions«), ki
so sicer računsko nekoliko bolj potratne.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 11 -
Tabela 2.2: normalizirani rezultati linearnih heksaedrskih
elementov pri uporabi reducirane
integracijske sheme
Programski paket Nastran ABAQUS ANSYS
Tip elementa CHEXA (8 vozlišč) C3D8R SOLID45 (8 vozlišč)
Pomik konice
nosilca
0,990 1,063 1,064
Prva lastna
frekvenca
0,9965 0,04225 0,03027
Tudi pri kvadratnih elementih z reducirano integracijo se pojavi
učinek peščene ure. Pri
heksaedrskem elementu z 20 vozlišči in reducirano integracijo
imamo: (3 prostostne stopnje) x
(20 vozlišč) – (8 integracijskih točk) x (6 komponent
deformacij) – (6 pomikov togega telesa)
= 6 možnih deformacij tipa peščene ure. Vendar se zaradi
ukrivljenih stranic takšen tip
deformacije ne more širiti po mreži. Če je mreža dovolj gosta,
ta učinek redko predstavlja
težavo. Če uporabljamo kvadratne elemente z mrežo dimenzij 1 x
6, problem ne konvergira
zaradi učinka peščene ure. V tem primeru moramo uporabiti 2
elementa po širini nosilca. Če
imamo gostejšo mrežo, pridemo do rezultatov tudi, če imamo le en
element po širini nosilca
(težave z učinkom peščene ure pri dovolj gosti mreži izginejo).
Do podobnih zaključkov je
prišel tudi Qiuli Sun [30], ki je prav tako ugotovil, da dajejo
kvadratni elementi z reducirano
integracijsko shemo programskih paketov Abaqus in ANSYS zelo
dobre rezultate, če po širini
nosilca uporabimo vsaj dve plasti elementov. Programski paket
Nastran daje dobre rezultate že
s samo eno plastjo elementov po širini. Tudi kadar so kvadratni
elementi podvrženi zapletenim
napetostnim stanjem, niso občutljivi na blokade. Ti elementi so
zato v splošnem najboljša
izbira, razen v simulacijah, kjer nastopajo veliki pomiki in
deformacije ter v nekaterih tipih
kontaktnih analiz.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 12 -
2.3 Geometrijska oblika končnih elementov
Ena glavnih težav pri generiranju nove mreže je kvaliteta njenih
elementov. Elementi so
kvalitetnejši, če so čim bolj podobni pravilnim geometrijskim
elementom (enakostranični
trikotnik, kvadrat, kocka). Pri takšnih elementih so razdalje
med vozlišči in integracijskimi
točkami enakomerne, zato boljše opišejo potek funkcij znotraj
elementov. V praksi so elementi
običajno nepravilnih geometrijskih oblik (popačeni), zato je
pomembno, da znamo oceniti, kdaj
posamezni elementi ne bodo dali dobrih rezultatov ali zaradi
njih sploh ne bomo prišli do rešitve
(zaradi problemov s konvergenco).
Liu [19] navaja sledeče kriterije za merjenje popačenosti
elementov:
popačenje zaradi razmerja med stranicami;
popačenje zaradi notranjih kotov (ko se le-ti približujejo 0 ali
180 stopinj);
popačenje zaradi ukrivljenosti: kadar se ravni robovi elementa
ukrivijo, da se bolje
prilagodijo geometriji;
volumetrično popačenje: pojavi se pri konkavnih elementih;
popačen položaj sredinskega vozlišča, ki se pojavlja pri
elementih višjih redov.
Razmerje med stranicami je eden izmed kriterijev, ki se pogosto
uporablja. Kriterij
razmerja med stranicami primerja najkrajšo in najdaljšo
stranico. Bližje je razmerje vrednosti
ena, boljši je element. V splošnem velja, da če je razmerje med
stranicami večje kot 3, moramo
takšne elemente obravnavati pazljivo. Če razmerje preseže
vrednost 10, so takšni elementi
lahko že zelo slabi [20].
Liu [19] navaja dva pojava, povezana s popačenjem elementov
zaradi notranjih kotov:
»skew« in »taper«. Pojava sta prikazana na sliki 2.8. Liu
navaja, da bodo elementi ustrezne
kvalitete, če bodo notranji koti štirikotnika med 60 in 120
stopinjami, pri pojavu »taper« pa naj
bo razmerje med daljšo in krajšo stranico trapeza manjše kot
5.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 13 -
Slika 2.8: Pojava "skew" in "taper"
Slika 2.9: Popačenje zaradi ukrivljenosti
Slika 2.9 prikazuje popačenje zaradi ukrivljenosti. Do njega
pride, kadar se ravni robovi
elementa ukrivijo, da se bolje prilagodijo geometriji. Za
ukrivljene robove veljajo enaki kriteriji
kot za ravne robove, torej notranji koti naj ne bi bili večji od
120 stopinj.
Na sliki 2.12 so prikazani nesprejemljivi štirikotni elementi,
pri katerih pride do
volumetričnega popačenja. Do tega pride, če imajo elementi
konkavno obliko. Takšno
popačenje lahko ugotavljamo na podlagi Jacobijeve matrike [10].
Pri metodi končnih
elementov iščemo aproksimativne rešitve parcialnih
diferencialnih enačb, ki opisujejo fizikalni
fenomen, ki ga preučujemo. Da lahko pridemo do rešitev teh
enačb, moramo definirati naravni
koordinatni sistem (ζ1, ζ2, ζ3), znotraj katerega so definirane
referenčne točke elementa
(vozlišča, integracijske točke), element pa ima v tem
koordinatnem sistemu popolno obliko (v
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 14 -
prostoru je to kocka). Na sliki 2.10 je prikazana preslikava F
med naravnim koordinatnim
sistemom (ζ1, ζ2, ζ3) in koordinatnim sistemom modela (x1, x2,
x3). Jacobijevo matriko J za
preslikavo F zapišemo kot:
𝐽(𝜁) = 𝜕𝐹
𝜕𝜁 (𝜁)
(2.1)
Da lahko izvedemo simulacijo, mora biti determinanta Jacobijeve
matrike |J(ζ)| (to
determinanto krajše imenujemo tudi Jakobij) v vseh vozliščih in
integracijskih točkah
elementov pozitivna. Če je negativna, potem preslikava F ni
bijektivna, takšna mreža pa je
neprimerna za simulacijo.
Slika 2.10: Preslikava elementa iz referenčnega koordinatnega
sistema v koordinatni sistem
modela [10]
Na sliki 2.11 je prikazana transformacija konkavnega elementa.
Pri takem elementu bodo
območja izven elementa v fizičnih koordinatah po transformaciji
ležala znotraj elementa v
naravnih koordinatah (območje označeno na sliki 2.11). Jakobij
in vrednost volumskega
integrala na tem območju elementa v naravnih koordinatah bosta
negativna, zato so takšni
elementi nesprejemljivi. Na sliki 2.12 so prikazani elementi, ki
so nesprejemljivi zaradi
volumetričnega popačenja.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 15 -
Slika 2.11: Transformacija iz fizičnega koordinatnega sistema v
naravni koordinatni sistem. Pri
volumetrično popačenem elementu se zgodi, da leži zunanji
prostor (označen na sliki) fizičnega
prostora znotraj elementa v naravnem koordinatnem sistemu
[10]
Slika 2.12: Nesprejemljivi štirikotni elementi zaradi konkavne
oblike: element desno zgoraj je
sprejemljive oblike, ostali elementi so nesprejemljivi [10]
Jakobij pa je lahko tudi merilo za kvaliteto elementov. Isaiah
[17] je v spletnem članku objavil
sliko 2.13, ki nazorno prikazuje povezavo med popačenjem
elementa ter Jakobijem. Isaiah
navaja, da so elementi sprejemljivi, če je Jacobij večji od
0,5.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 16 -
Tabela 2.3: Vrednosti Jacobijev na spodnji sliki
Barva heksaedra Oblika, dimenzije Jacobij
Oranžna Enotska kocka 1
Modra z = 0,9 za eno vozlišče 0,942
Vijolična z in y sta 0,9 za eno točko 0,883
Roza z in y sta 0,5 za eno točko 0,398
Zelena z in y sta -0,1 za eno točko -0,409
Siva z in y sta 0,1 za eno točko -0,130
Rdeča z = 3 za 4 vozlišča 1
Svetlo modra x, y in z so 0,5 za eno vozlišče 0,072
Slika 2.13: Primeri Jacobijev - vrednosti so prikazane v zgornji
tabeli [17]
Zadnji kriterij popačenja, ki ga navaja Liu [19], je popačenje
položaja sredinskega
vozlišča pri elementih višjih redov. Elementi višjih redov imajo
na robovih dodatna vozlišča.
Parabolični element ima eno dodatno vozlišče, le-to pa bi moralo
ležati čim bolj na sredini roba.
Na sliki 2.14 je prikazan element, kjer dve izmed sredinskih
vozlišč ne ležita na sredini roba.
Vir navaja, da so elementi sprejemljivi, če je središčno
vozlišče od središča roba oddaljena za
manj kot četrtino dolžine roba.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 17 -
Slika 2.14: Popačenje položaja središčnega vozlišča [17]
Na področju popačenosti elementov so bile opravljene
najrazličnejše študije.
Raziskovalci so na različnih primerih preverili, kako nepravilna
oblika končnih elementov
vpliva na natančnost rezultatov. Pogost test, ki ga srečamo v
literaturi, je test ravnega nosilca.
Pri tem testu uporabimo raven nosilec, na katerem naredimo
različno kvalitetne mreže. Severo
[29] je opravil tak test na treh različnih mrežah, kot prikazuje
slika 2.15. Izdelal je pravokotno,
trapezno ter paralelogramsko mrežo. Test je izvedel za 4
obremenitvene primere: nateg, strig
znotraj ravnine, strig izven ravnine in torzijo. Test je izvedel
z uporabo 4 različnih tipov
elementa (2-D in 3-D elementi, z uporabo linearnih in kvadratnih
interpolacijskih funkcij).
Uporabljena je bila reducirana integracijska shema.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 18 -
Slika 2.15: Test ravnega nosilca: a) pravokotna mreža, b)
trapezna mreža, c) paralelogramska
mreža [29]
Severo ugotavlja, da daje pravokotna mreža relativno dobre
rezultate, kljub temu da je precej
groba. Pri trapezni mreži, so rezultati pri strižni obremenitvi
linearnih elementov neuporabni
(zelo velika napaka). Napaka pri višjerednih (paraboličnih)
elementih je občutno manjša. Do
podobnih zaključkov je prišel tudi za paralelogramsko mrežo,
kjer je napaka pri strižni
obremenitvi nekoliko manjša, vendar še vedno zelo velika.
Na področju notranjih kotov končnih elementov so bile opravljene
različne študije. Lo
[20, 21] je predlagal uporabo faktorja 𝛼, ki je definiran z
enačbo 2.2. Enačba velja za trikotnike
z oglišči A, B in C. Večji kot je 𝛼, boljši je trikotnik.
Koeficient 2√3 je normalizacijski faktor,
zaradi katerega ima koeficient 𝛼 pri popolnem (enakostraničnem)
trikotniku vrednost ena. Če
je vrednost 𝛼 enaka nič, potem so oglišča trikotnika
kolinearna.
𝛼 = 2√3 |𝐶𝐴 × 𝐶𝐵|
|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐴|2
(2.2)
Lo [20] je prav tako definiral kooeficient 𝛽 za štirikotne
elemente. Kako je definiran pa
prikazuje enačba 2.3. Večja kot je vrednost kooeficienta 𝛽,
boljši je štirikotnik. Koeficient
lahko zasede vrednosti med nič in ena, če ima vrednost ena,
potem je štirikotnik kvadrat, če pa
predstavlja vrednost 0, pa ne predstavlja štirikotnika, temveč
le trikotnik.
𝛽 = 𝛼3 𝛼4𝛼1 𝛼2
, 𝛼1 ≥ 𝛼2 ≥ 𝛼3 ≥ 𝛼4 , 𝛼𝑖 = {𝛼𝐴𝐵𝐶 , 𝛼𝐴𝐶𝐷, 𝛼𝐴𝐵𝐷, 𝛼𝐵𝐶𝐷} (2.3)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 19 -
Zhu z ostalimi [31] ugotavlja, da je štirikotni element
zadovoljiv, če so vsi notranji koti
znotraj območja 90°±45°. Če so koti izven območja 90° ± 60°,
potem so nezadovoljivi. Lo in
Lee [2] sta ugotovila, da je ta pogoj prestrog, zato sta
predlagala, da so notranji koti štirikotnikov
znotraj območja 90° ± 52.5°.
Hamalawi [16] je predstavil faktorja |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| in |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑|, ki
temeljita na deviacijskih kotih od
popolnih likov – 60° za trikotnike ter 90° za pravokotnike.
Faktor je definiral kot prikazujejo
enačbe 2.4–2.7. V enačbah predstavlja indeks Q enačbo za
štirikotnike, T pa za trikotnike.
Faktorja imata najmanjšo vrednost 0 pri popolnih likih
(enakostranični trikotnik, kvadrat). Če
ima faktor |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| vrednost |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| ≤𝜋
2, je v sprejemljivem območju (90° ± 45°). Pri faktorju |𝑓𝑇⃑⃑
⃑|
velja, da je trikotnik v območju 60° ± 30°, če ima vrednost
|𝑓𝑇⃑⃑ ⃑| ≤𝜋
√12. Hamalawi trdi, da je
lahko metoda izračuna koeficienta 𝛽, ki jo je predlagal Lo,
nezanesljiva. Kot primer je podal
štirikotnik z notranjimi koti 10°, 10°, 170° in 170°, na podlagi
katerih lahko izračunamo faktor
𝛽 = 0,969 in |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| = 2,793. Štirikotnik je slabe kvalitete
kljub zelo visokemu koeficientu 𝛽,
koeficient |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| pa je pokazal, da je štirikotnik slabe
kvalitete. Hamalawi faktor lahko uporabimo
tudi za tridimenzionalna telesa tako, da izračunamo faktor za
posamezne ravnine končnega
elementa.
𝛿𝜃𝑄 = |𝜋
2− 𝜃𝑖|
(2.4)
𝛿𝜃𝑇 = |𝜋
3− 𝜃𝑖|
(2.5)
𝑓𝑄⃑⃑ ⃑ = 𝛿𝜃1�̂�1 + 𝛿𝜃2�̂�2 + 𝛿𝜃3�̂�3 + 𝛿𝜃4�̂�4, |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| =
√∑(𝛿𝜃1)24
𝑖=1
(2.6)
𝑓𝑇⃑⃑ ⃑ = 𝛿𝜃1�̂�1 + 𝛿𝜃2�̂�2 + 𝛿𝜃3�̂�3, |𝑓𝑇⃑⃑ ⃑| = √∑(𝛿𝜃1)23
𝑖=1
(2.7)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 20 -
2.4 Velikost končnih elementov
Kot je bilo v tem poglavju že ugotovljeno, je velikost končnih
elementov pomembna za
natančnost numeričnih rezultatov. V praksi se zelo pogosto
uporabljajo linearni heksaedrski
elementi, ki dajejo dobre rezultate le, če je mreža končnih
elementov dovolj zgoščena. V
splošnem ni pravila, kakšna velikost končnih elementov bo dala
dovolj dobre rezultate, zato
velikokrat izberemo velikost končnih elementov na podlagi svojih
izkušenj ali pa opravimo
simulacije na različno gostih mrežah ter na podlagi tega
ocenimo, kdaj je mreža dovolj gosta.
2.5 Ugotavljanje natančnosti numeričnih rezultatov
Napaka diskretizacije je prisotna v vseh diskretnih metodah. Ta
napaka je posledica izbire
velikosti končnih elementov. Rezultati numeričnih simulacij
vsebujejo napako diskretizacije
tudi takrat, kadar se rezultati ujemajo z eksperimentom.
Rezultati simulacije in eksperimenta se
lahko ujemajo le po naključju, ker v simulaciji nastopa kakšna
neznana napaka, ki izniči napako
diskretizacije. Za inženirja je pomembno, da zna takšno napako
oceniti.
V splošnem lahko razdelimo metode za ocenjevanje napake
diskretizacije na tiste, ki ocenijo
napako diskretizacije pred izvedbo simulacije (»priori« metode)
ter metode, ki ocenijo napako
diskretizacije na podlagi rezultatov simulacij (»posteriori«
metode). V okviru magistrske
naloge se bom osredotočil izključno na slednje.
2.6 Konvergenčna metoda
Najbolj preprosta metoda je konvergenčna metoda. Pri tej metodi
spremljamo rezultate
simulacij na različno gostih mrežah. Rezultate predstavimo v
grafu. Razlika med rezultati se z
zgoščanjem mreže običajno manjša: rešitev konvergira k neki
vrednosti. Ko se rezultati med
dvema zaporednima simulacijam bistveno ne spreminjajo več (npr.
manj kot 5 %), ocenimo, da
je napaka diskretizacije dovolj majhna. Na ta način ne moremo
oceniti dejanske napake
diskretizacije. Na sliki 2.16 je predstavljeno asimptotično
območje rešitev. Rešitve so prikazane
za različne rede konvergence (p), ki določajo, kako hitro se
rešitve bližajo asimptotični rešitvi.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 21 -
Poglejmo primer reda konvergence p = 0,5. Razlike med
zaporednimi rešitvami se
počasi manjšajo, zato vsaka nadaljnja simulacija bistveno
izboljša rezultat. Vendar število
elementov, potrebnih za nadaljnje simulacije, hitro naraste,
zato se moramo zadovoljiti z oceno
napake na določeni mreži. Kot kriterij izberimo razliko med
dvema zaporednima simulacijama
5 %. Ta razlika je dosežena približno takrat, ko se vrednost
dvigne iz 78 na 82 % asimptotične
vrednosti. Opazimo, da je dejanska napaka v tem primeru okoli 18
%, kar je bistveno več kot
izbran kriterij razlike med dvema zaporednima rešitvama (5
%).
Podrobneje analizirajmo tudi primer reda konvergence p = 2.
Opazimo, da se rešitve
hitreje približujejo asimptotični rešitvi. Razlike med
zaporednimi rešitvami se hitro manjšajo,
zato vsaka nadaljnja simulacija doprinese k natančnosti
rezultatov občutno manj kot predhodne.
Ponovno izberemo kot kriterij razliko med dvema zaporednima
rešitvama: 5 %. Ta razlika je
dosežena približno takrat, ko se vrednost dvigne iz 88 na 92 %
asimptotične vrednosti. Dejanska
napaka torej znaša okoli 8 %, kar je bistveno manj kot pri redu
konvergence p = 0,5, vendar je
še zmeraj več kot izbran kriterij razlike med dvema zaporednima
rešitvama (5 %). Zavedati se
moramo, da je dejanska napaka na fini mreži lahko precej višja,
kot izbran kriterij razlike med
dvema zaporednima rešitvama.
Slika 2.16: Asimptotično območje: rešitve se bližajo asimptoti z
različnim redom konvergence p
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
f/f e
ksa
kt[%
]
log N
Asimptotično območje
p = 0,5 p = 0,75 p = 1 p = 2 Asimptotična rešitev
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 22 -
3 OCENJEVANJE NAPAKE DISKRETIZACIJE S POMOČJO
RICHARDSONOVE EKSTRAPOLACIJE
Richardsonova ekstrapolacija je metoda, s pomočjo katere lahko
na podlagi diskretnih vrednosti
nižjega reda ocenimo vrednost višjega reda (vrednost, ko je
velikost končnega elementa 0).
Tudi ta metoda je konvergenčna metoda. Tradicionalne metode, ki
temeljijo na ocenjevanju
napake s pomočjo Richardsonove ekstrapolacije, običajno
temeljijo na spreminjanju velikosti
elementov mreže za faktor 2. Novejše metode zmanjšujejo takšne
omejitve. Raziskovalec
Roache je razvil metodo, v kateri ocenjuje napako diskretizacije
s pomočjo indeksa
konvergence mreže (GCI1). Indeks konvergence mreže podaja
procentualno napako. S pomočjo
njega lahko določimo meje, znotraj katerih pričakujemo, da bo
konvergirana rešitev ležala. Za
napovedovanje napake diskretizacije z uporabo GCI potrebujemo
rezultate simulacije za vsaj
dve mreži, vendar metoda daje boljše rezultate ob uporabi treh
mrež.
3.1 Osnove Richardsonove ekstrapolacije
Če imamo na voljo vsaj rezultate na dveh različnih mrežah in če
poznamo stopnjo konvergence,
potem lahko na podlagi tega ocenimo natančno rešitev
matematičnega problema. Na podlagi
tega lahko ali popravimo rezultate, pridobljene na fini mreži,
ali pa podamo oceno napake
diskretizacije. Richardsonova ekstrapolacija je bila prvotno
uporabljena le za lokalne vrednosti
odvisnih spremenljivk na domeni, uporabna pa je tudi na kateri
koli vrednosti odziva sistema.
Pri tem moramo upoštevati dodaten pogoj — dodatne numerične
aproksimacije (odvajanje,
integriranje …), s pomočjo katerih pridobimo vrednost odziva
sistema, morajo biti vsaj istega
reda natančnosti kot diskretne rešitve, iz katerih so
izračunane.
Napako diskretizacije lahko definiramo na podlagi lokalne ali
globalne rešitve f na mreži
z velikostjo elementov h:
1 GCI – Grid Convergence Index
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 23 -
𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 (3.1)
Pri tem je 𝑓ℎ eksaktna rešitev diskretnih enačb, 𝑓 pa eksaktna
rešitev matematičnega modela.
Numerično rešitev 𝑓ℎ lahko razvijemo v Taylorjevo vrsto:
𝑓ℎ = 𝑓 +𝜕𝑓
𝜕ℎ∙ ℎ +
𝜕2𝑓
𝜕ℎ2∙ℎ2
2+
𝜕3𝑓
𝜕ℎ3∙ℎ3
6+ ⋯
(3.2)
Razvijemo pa jo lahko tudi v potenčno vrsto:
𝑓ℎ = 𝑓 + 𝑔1 ∙ ℎ + 𝑔2 ∙ ℎ2 + 𝑔3 ∙ ℎ
3 + ⋯ (3.3)
Na podlagi enačb 3.1 in 3.3 lahko zapišemo odvisnost napake
diskretizacije 𝜀ℎ od velikosti
končnega elementa h:
𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 = 𝑔1 ∙ ℎ + 𝑔2 ∙ ℎ2 + 𝑔3 ∙ ℎ
3 + ⋯ (3.4)
Pri tem so koeficienti g lahko odvodi eksaktne rešitve
matematičnega modela v odvisnosti od
velikosti končnega elementa h ali neodvisnih spremenljivk, ki
vplivajo na napako diskretizacije.
V splošnem uporabljamo numerične metode, ki imajo red
natančnosti višji kot prvi red. Metode
tako že same izničijo napako nižjega reda. Če na primer izberemo
numerično shemo drugega
reda, potem lahko splošno napako diskretizacije zapišemo
kot:
𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 = 𝑔2 ∙ ℎ2 + 𝑔3 ∙ ℎ
3 + 𝑔4 ∙ ℎ4 + ⋯ (3.5)
Na enačbi 3.5 temelji Richardsonova ekstrapolacija.
Richardsonovo ekstrapolacijo lahko v splošnem zapišemo za red
natančnosti sheme p.
Pri tem potrebujemo dve mreži, ki sta sistematično zgoščeni za
poljuben faktor. Zapišimo
enačbo za napako diskretizacije za red sheme p:
𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 = 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ ℎ
𝑝+1 + 𝑔𝑝+2 ∙ ℎ𝑝+2 + ⋯ (3.6)
Faktor zgostitve zapišemo kot:
𝑟 =ℎ𝑔𝑟𝑜𝑏𝑎
ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎
(3.7)
Velikost grobih končnih elementov lahko tako zapišemo kot ℎ𝑔𝑟𝑜𝑏𝑎
= 𝑟 ∙ ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎. Za h izberemo
ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎 ter zapišemo enačbi za grobo in fino mrežo:
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 24 -
𝑓ℎ = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ ℎ
𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.8)
𝑓𝑟ℎ = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)
𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.9)
Na podlagi teh enačb lahko zapišemo enačbo za 𝑓:
𝑓 = 𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1
+ 𝑔𝑝+1𝑟𝑝(𝑟 − 1)
𝑟𝑝 − 1+ 𝑂(ℎ𝑝+2)
(3.10)
Če upoštevamo le člene reda ℎ𝑝+1 in višje in z uporabo eksaktne
rešitve 𝑓 dobimo:
𝑓̅ = 𝑓 − 𝑔𝑝+1𝑟𝑝(𝑟 − 1)
𝑟𝑝 − 1+ 𝑂(ℎ𝑝+2)
(3.11)
Če enačbo 3.11 vstavimo v enačbo 3.10, dobimo splošno oceno
Richardsonove ekstrapolacije
𝑓:̅
𝑓̅ = 𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1
(3.12)
Kot je razvidno iz enačbe 3.11, je ocena eksaktne rešitve v
splošnem reda (p+1) natančnosti
glede na matematični model.
3.2 Prostorska diskretizacija
Na podlagi študije prostorske konvergence želimo določiti
napako, povzročeno zaradi
prostorske diskretizacije. Za to potrebujemo različno goste
mreže.
Najlažji način generiranja različno gostih mrež je pričetek z
najbolj fino mrežo, ki si jo
lahko privoščimo (glede na računalniške zmogljivosti, časa, ki
ga imamo na voljo). Nadaljnje
mreže dobimo tako, da odstranimo vsako drugo mrežno črto v vsaki
koordinatni smeri. To lahko
ponovimo večkrat in s tem pridobimo več grobih mrež. Enačba, ki
opisuje število mrežnih točk
fine mreže v vsaki smeri:
𝑁 = 2𝑛 ∙ 𝑚 + 1 (3.13)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 25 -
Pri tem N predstavlja število točk v vsaki koordinatni smeri, n
predstavlja naravno število ter
pomeni kolikokrat bomo začetno mrežo redčili. Vrednost m
predstavlja naravno število, ki je
lahko različno za posamezne koordinatne smeri.
Če želimo tri mreže (fino, srednjo ter grobo), potem sledeča
enačba opisuje število
mrežnih točk v posamezni smeri:
𝑁 = 22 ∙ 𝑚 + 1 = 4 ∙ 𝑚 + 1 (3.14)
Gosta mreža z najmanj mrežnimi točkami (m=1) ima torej v vsaki
smeri 5 mrežnih točk, srednje
gosta mreža jih ima 3, groba pa 2.
Pri generiranju mrež ni zmeraj potrebno uporabiti celih števil
za redčenje mreže.
Velikokrat to sploh ni mogoče, saj bi na tak način ustvarili
neprimerne mreže za podano
geometrijo. Pri takšni generaciji mreže moramo poskrbeti, da so
nove mreže čim bolj
enakomerno redčene. Zaželeno je, da se elementi zmanjšajo v vseh
smereh približno enako.
Prav tako morajo biti mreže čim bolj enakomerno redčene: pri
generiranju treh mrež naj bo
razlika med fino in srednjo mrežo ter med srednjo in grobo mrežo
približno enaka. Razmerje
zgostitve mreže naj bo vsaj 𝑟 ≥ 1,1. Na ta način lahko ločimo
napako diskretizacije od drugih
virov napak (npr. napake pri konvergenci iterativnih metod,
napake zaokroževanja …).
V realnih primerih redko zgoščamo mrežo enakomerno po modelu.
Gostejšo mrežo
uporabimo na kritičnih območjih, kot so na primer območja z
visokimi napetostnimi gradienti.
V takšnih primerih je vrednotenje rezultatov s pomočjo
Richardsonove ekstrapolacije precej
težje, saj je velikost elementov v modelu različna. Za lokalno
študijo vpliva velikosti končnih
elementov na natančnost numeričnih rezultatov simulacije lahko
uporabimo podmodel (ang.
»submodel«). Po izvedeni simulaciji modela ugotovimo, da želimo
določeno območje modela
nadaljnje raziskati (npr. zaradi visokih napetostnih
gradientov). Uporaba podmodela temelji na
zmanjšanju celotnega modela na manjše območje, ki nas podrobneje
zanima. Takšno območje
običajno »izrežemo« iz celotnega modela. Na podlagi prvotne
simulacije se na mejah
izrezanega območja določijo novi robni pogoji. Manjše območje
lahko zamrežimo s precej
gostejšo mrežo, saj smo velikost celotnega modela bistveno
zmanjšali. Na takšnem modelu
lahko mrežo tudi enakomerneje zgostimo. Vendar se moremo
zavedati, da so robni pogoji
podmodela rezultat simulacije na bolj grobi mreži.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 26 -
3.3 Red konvergence mreže
Red konvergence mreže je neposredno povezan z napako prostorske
diskretizacije. Napako
definiramo kot razliko med diskretno in eksaktno rešitvijo:
𝐸 = 𝑓(ℎ) − 𝑓𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡 = 𝐶 ∙ ℎ𝑝 + 𝐻.𝑂. 𝑇 (3.15)
Pri tem je C konstanta, h predstavlja velikost elementov v
mreži, p pa red konvergence mreže
(oz. red natančnosti). Rešitev drugega reda ima p = 2. H.O.T1
predstavlja napake višjih redov.
Če zanemarimo napake višjih redov ter enačbo logaritmiramo,
dobimo:
log(𝐸) = log(𝐶) + 𝑝 ∙ log(ℎ) (3.16)
Red konvergence p lahko dobimo na podlagi naklona krivulje
log(E) napram log(h). Če imamo
na voljo podatke o napaki, potem lahko skozi točke grafa
povlečemo aproksimacijsko premico
(s pomočjo metode najmanjših kvadratov), naklon premice pa
predstavlja red konvergence
mreže p [5] 2.
Konstantni faktor zgostitve
Red aproksimacije p pa lahko dobimo na bolj direkten način, na
podlagi treh rezultatov
simulacije in z uporabo konstantnega faktorja zgostitve mreže r.
Upoštevamo, da je ℎ1 < ℎ2 <
ℎ3 in 𝑟 =ℎ3
ℎ2=
ℎ2
ℎ1> 1. Tako lahko zapišemo:
ℎ1 = ℎ, ℎ2 = 𝑟 ∙ ℎ, ℎ3 = 𝑟2 ∙ ℎ (3.17)
Z uporabo enačbe za napako diskretizacije (enačba 3.6) lahko
zapišemo naslednje tri enačbe:
𝑓1 = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ ℎ
𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.18)
𝑓2 = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)
𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.19)
1 H.O.T – higher – order terms 2 Povzeto po viru
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 27 -
𝑓3 = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟2 ∙ ℎ)𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ (𝑟
2 ∙ ℎ)𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.20)
Če zanemarimo člene reda ℎ𝑝+1 in višje, potem lahko zapišemo te
tri enačbe za lokalno gledan
red natančnosti �̂�:
𝑓1 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 (3.21)
𝑓2 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 (3.22)
𝑓3 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟2 ∙ ℎ)𝑝 (3.23)
Lokalno gledan red natančnosti �̂� se bo ujemal s formalnim
redom natančnosti p, če bodo členi
višjih redov majhni. Če odštejemo 𝑓2 od 𝑓3 in 𝑓1 od 𝑓2,
dobimo:
𝑓3 − 𝑓2 = 𝑔𝑝 ∙ (𝑟2 ∙ ℎ)𝑝 − 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)
𝑝 = 𝑔𝑝 ∙ 𝑟𝑝 ∙ ℎ𝑝 ∙ (𝑟�̂� − 1) (3.24)
𝑓2 − 𝑓1 = 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 − 𝑔𝑝 ∙ ℎ
𝑝 = 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 ∙ (𝑟�̂� − 1) (3.25)
Če enačbo 3.24 delimo z enačbo 3.25, dobimo:
𝑓3 − 𝑓2𝑓2 − 𝑓1
= 𝑟𝑝 (3.26)
S pomočjo logaritmiranja izrazimo p:
�̂� =ln (
𝑓3 − 𝑓2𝑓2 − 𝑓1
)
ln(𝑟)
(3.27)
Oceno Richardsonove ekstrapolirane vrednosti za eksaktno rešitev
𝑓 ̅ (enačba ) lahko zapišemo
v odvisnosti od opazovanega reda natančnosti �̂�:
𝑓̅ = 𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1
(3.28)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 28 -
Vedeti moramo, da lahko pričakujemo natančno ekstrapolirano
vrednost (enačba 3.28)
le, če se opazovan red natančnosti ujema s formalnim redom
natančnosti numerične sheme.
Prav tako morajo biti vse tri rešitve v asimptotičnem območju.
Kako je definirano asimptotično
območje ter kdaj vrednosti ležijo znotraj asimptotičnega območja
bo opisano v naslednjem
poglavju. Členi višjih redov v enačbah 3.18—3.20 morajo biti
majhni. Če v praksi uporabimo
lokalno opazovan red natančnosti za oceno ekstrapolirane
vrednosti, potem mora ležati znotraj
območja:
0,5 ≤ �̂� ≤ 𝑝𝑓 (3.29)
Pri tem je 𝑝𝑓 formalni red natančnosti diskretizacijske sheme.
Če je opazovan red natančnosti
večji od formalnega reda, potem je lahko ocena napaka
diskretizacija podcenjena. Če pa se �̂�
približuje vrednosti 0, potem raste ocena ekstrapolirane
vrednosti brez meje.
Spremenljiv faktor zgostitve
V primeru, da faktor zgostitve mreže ni konstanten, imamo dva
faktorja zgostitve:
𝑟12 =ℎ2ℎ1
> 1, 𝑟23 =ℎ3ℎ2
> 1 (3.30)
V tem primeru je določitev opazovanega reda natančnosti �̂� bolj
zapletena. Rešiti moramo
naslednjo enačbo:
𝑓3 − 𝑓2𝑟23𝑝 − 1
= 𝑟12𝑝 ∙ (
𝑓2 − 𝑓1𝑟12𝑝 − 1
) (3.31)
To enačbo lahko rešimo iteracijsko:
�̂�𝑘+1 =ln [(𝑟12
𝑝𝑘 − 1) (𝑓3 − 𝑓2𝑓2 − 𝑓1
) + 𝑟12𝑝𝑘]
ln (𝑟12 ∙ 𝑟23)
(3.32)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 29 -
Začnemo z začetno predpostavko �̂� = 𝑝𝑓 (formalni red sheme). Ko
izračunamo opazovan red
natančnosti �̂�, lahko na podlagi enačbe 3.28 izračunamo
ekstrapolirano vrednost, pri tem pa
zamenjamo faktor zgostitve 𝑟 = 𝑟12 [28]1.
3.4 Ocena napake diskretizacije
Vrednost Richardsonove ekstrapolirane vrednosti kot bolj
natančno vrednost od rešitve na fini
mreži lahko uporabimo le, če smo prepričani, da so vse
predpostavke v celoti izpolnjene. Red
natančnosti (ki ga pridobimo na podlagi treh sistematično
zgoščenih mrež) se mora ujemati s
formalnim redom natančnosti diskretizacijske sheme. Če imamo na
voljo samo dve mreži, ne
moremo zagotoviti, da so rešitve v asimptotičnem območju. Tako
lahko uporabimo
Richardsonovo ekstrapolirano vrednost za oceno napake
diskretizacije numerične rešitve na fini
mreži.
Če vstavimo izraz za splošno Richardsonovo ekstrapolacijo
(enačba 3.12) v enačbo, ki
definira napako diskretizacije na fini mreži (enačba 3.1),
dobimo oceno za napako diskretizacije
na fini mreži (z velikostjo elementa h):
𝜀ℎ̅ = 𝑓ℎ − 𝑓̅ = 𝑓ℎ − (𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1
) = −𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1
(3.33)
Enačba nam poda konsistentno oceno za napako diskretizacije.
Vendar ni nobenega zagotovila,
da je ocena zanesljiva za poljubno fino (h) in grobo (𝑟 ∙ ℎ)
mrežo. Če imamo na voljo le dve
mreži, potem ne smemo govoriti o oceni numerične napake, temveč
o numerični negotovosti.
1 Povzeto po viru
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 30 -
3.5 Predpostavke
Da lahko zanesljivo ocenimo eksaktno rešitev matematičnega
problema, mora biti izpolnjenih
pet osnovnih pogojev:
obe rešitvi sta v asimptotičnem območju,
mreži sta uniformno porazdeljeni po celotnem območju,
fino mrežo smo dobili na podlagi sistematičnega zgoščanja (ali
obratno),
rezultati so gladki in
drugi viri numeričnih napak so majhni.
Asimptotično območje
Asimptotično območje je definirano tako: pri sistematičnem
zgoščanju mreže se napaka
diskretizacije zmanjšuje s stopnjo formalnega reda natančnosti
diskretizacijske sheme.
Rezultati v splošnem konvergirajo s stopnjo formalnega reda
natančnosti v asimptotičnem
območju. Zavedati se moremo, da morajo biti rešitve v
konvergenčnem območju tako za grobo
kot fino mrežo. Slika 3.1 prikazuje različne možne rešitve. S
sivo je označena rešitev, ki leži v
asimptotičnem območju, saj se vrednosti z zgoščanjem mreže
približujejo asimptotični rešitvi.
Neasimptotična rešitev je označena z rumeno barvo. Te rešitve se
ne približujejo asimptotični
vrednosti, zato za takšen tip rešitev ne moremo uporabiti
Richardsonove ekstrapolacije. Mejna
rešitev je označena z modro barvo. V tem primeru se rešitve
bližajo asimptotični rešitvi, vendar
ne monotono. Posamezne tri zaporedne rešitve ne ležijo v
asimptotičnem območju, zato
moramo biti ob takšnih rešitvah previdni z uporabo Richardsonove
ekstrapolacije. Takšne
primere velikokrat srečamo pri lokalni uporabi Richardsonove
ekstrapolacije, kjer se lokalno
vrednosti ne spreminjajo enakomerno. Pri takšnih primerih je
lahko izračunana ekstrapolirana
vrednost napačna, zato v teh območjih ekstrapolirane vrednosti
zagotovo ne smemo uporabiti
kot rešitev, ki je natančnejša od rešitve na fini mreži. Ob
izračunu indeksa GCI ob takih rešitvah
običajno uporabimo višji varnostni faktor (Fs = 3).
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 31 -
Slika 3.1: Asimptotično območje: prikaz asimptotične, mejne in
neasimptotične rešitve
Enakomerne razdalje znotraj mreže
Napaka diskretizacije je odvisna od enega parametra: velikosti
končnih elementov h. Če ta
pogoj vzamemo striktno, lahko uporabimo le Kartezijske mreže z
razmikom h v vsaki prostorski
koordinatni smeri. Ta pogoj bi prepovedoval uporabo
Richardsonove ekstrapolacije v
praktičnih inženirskih primerih, zato lahko z dodatnimi metodami
uporabimo Richardsonovo
ekstrapolacijo tudi na drugih mrežah, vključno z nestrukturirano
mrežo. Pri shemah, ki imajo
formalno drugi red natančnosti, se lahko ta red na uniformnih
mrežah zmanjša na prvi red
natančnosti. Napake prvega reda so omejene na majhne dele domene
ali pa izginejo, ko mrežo
gostimo. Zato se lahko zgodi, da potrebujemo zelo fine mreže, da
rezultati ležijo v
asimptotičnem območju.
Sistematično zgoščanje mreže
O sistematičnem zgoščanju mreže govorimo, ko zgoščamo mrežo
uniformno in konsistentno.
Uniformno zgoščanje pomeni, da mrežo zgostimo za enak faktor po
celotni domeni. Ta pogoj
prepoveduje uporabo lokalnega zgoščevanja mreže ali adaptacijo
mreže. Konsistentno
zgoščanje mreže pomeni, da mora kvaliteta mreže ostati enaka ali
se izboljšati, ko mrežo
zgoščamo. Primeri parametrov mreže, ki vplivajo na njeno
kvaliteto: razmerje stranic,
nesimetričnost končnega elementa in faktor raztegovanja
elementov med sosednjimi elementi.
0
20
40
60
80
100
120
10 100 1000 10000 100000 1000000
f/f e
ksak
t[%
]
log N
Asimptotično območje
Analitična rešitev Asimptotična rešitev Mejna rešitev
Neasimptotična rešitev
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 32 -
Gladki rezultati
V enačbi 3.5 nastopajo koeficienti g, ki so v splošnem funkcije
odvodov rešitve. Če odvisne
spremenljivke in njihovi odvodi ne bodo zvezni, Richardsonova
ekstrapolacija ne bo delovala.
Stvar še bolj zaplete dejstvo, da se red natančnosti velikokrat
zmanjša na prvi red ali še nižje,
če so prisotne nezveznosti in singularnosti, ne glede na to,
kakšen red natančnosti ima metoda
za gladke probleme.
Drugi viri numeričnih napak
Napaka diskretizacije je definirana kot razlika med eksaktno
rešitvijo diskretnih enačb ter
eksaktno rešitvijo matematičnega problema. Eksaktna rešitev
diskretnih enačb ni poznana
zaradi napake zaokroževanja, napake iteracij ter napak
statističnega vzorčenja (če so prisotne).
V praksi uporabimo numerične rešitve, s katerimi nadomestimo
eksaktne rešitve diskretnih
enačb. Če so drugi viri napak preveliki, potem bodo le-ti
negativno vplivali na Richardsonovo
ekstrapolacijo, saj vsi ekstrapolacijski postopki običajno
poudarijo »šume«. Dobro pravilo
glede tega vidika je, da zagotovimo, da so vsi viri numeričnih
napak vsaj 2 reda nižji kot napaka
diskretizacije na fini mreži.
3.6 Uporaba Richardsonove ekstrapolacije na vrednostih odziva
sistema
Vrednosti odziva sistema so izpeljane iz osnovnih vrednosti
neodvisnih spremenljivk, ki so
rezultat simulacije. Pri tem običajno uporabimo različne
numerične postopke: odvajanje,
integriranje, povprečenje … Da lahko uporabimo Richardsonovo
ekstrapolacijo, morajo biti vsi
postopki, ki se uporabijo za izračun vrednosti odziva sistema,
vsaj enakega reda natančnosti kot
diskretizacijska shema. V večini primerov se integrirane in
povprečene vrednosti boljše
odzivajo in hitreje konvergirajo, ko mrežo zgoščamo.
3.7 Lokalna uporaba Richardsonove ekstrapolacije
Pri lokalni uporabi Richardsonove ekstrapolacije želimo le-to
uporabiti v posameznih točkah
domene. Da lahko to storimo, moramo pridobiti rezultate fine
mreže v točkah, ki se nahajajo v
vozliščih grobe mreže. Če imamo strukturirano mrežo in jo
sistematično zgoščamo s faktorjem
zgostitve, ki je naravno število, potem imamo te vrednosti na
voljo. Na ta način lahko pridobimo
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 33 -
oceno eksaktne rešitve le na mrežnih točkah grobe mreže. Da
pridobimo eksaktne rešitve na
fini mreži, sta Roache in Knupp [23] razvila »dokončano
Richardsonovo ekstrapolacijo«. Njun
pristop vsebuje interpolacijo korekcije mreže iz grobe na fino
mrežo. Ta interpolacija naj bo
izvedena z natančnostjo vsaj tistega reda, ki nastopa pri
diskretizacijski shemi. Ko združimo
korekcijo mreže z diskretno vrednostjo rešitve na fini mreži,
lahko pridobimo oceno eksaktne
rešitve matematičnega modela z enakim redom natančnosti kot pri
oceni z Richardsonovo
ekstrapolacijo na grobi mreži.
Pri lokalni uporabi Richardsonove ekstrapolacije se velikokrat
pojavljajo problemi z
opazovanim redom natančnosti. Slika 3.2 prikazuje preprost
primer, pri katerem ne moremo
določiti opazovanega reda natančnosti. Na njej je prikazana
napaka diskretizacije za 3 različne
1-D mreže. Če mrežo zgoščamo za faktor dva in če je formalni red
sheme prvega reda, potem
pričakujemo, da se bo napaka diskretizacije zmanjševala za
faktor dva vsakič, ko zgostimo
mrežo. Pogosto se pri praktičnih primerih zgodi, da v nekem
območju domene rešitve
približujejo eksaktni rešitvi od zgoraj, v drugem območju domene
pa od spodaj. Tudi če
zanemarimo druge vire numeričnih napak (npr. zaokroževanje),
opazovan red natančnosti v
točki sečišča ne bo definiran, kljub temu da je napaka
diskretizacije v tej točki na vseh treh
mrežah natančno nič. Ko računamo opazovan red natančnosti v
bližini točke sečišča, lahko viri
drugih numeričnih napak postanejo pomembni. Tak problem lahko
rešimo z uporabo globalno
pridobljenega opazovanega reda natančnosti.
Slika 3.2: Preprost primer, pri katerem ne moremo določiti reda
natančnosti na lokalnem
območju domene [22]
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 34 -
3.8 Prednosti in slabosti
Glavna prednost Richardsonove ekstrapolacije je, da jo lahko
uporabimo v post-procesiranju
za katerokoli diskretizacijsko shemo (končne razlike, končni
volumni, končni elementi). Podaja
oceno celotne napake, tako tisto, ki nastane lokalno, kot tudi
tisto, ki je prenesena iz drugih
območij domene. Uporabimo jo lahko za katerokoli vrednost,
vključno z lokalnimi vrednostmi
ter pridobljenimi vrednostmi odziva sistema (če predpostavljamo,
da so bile numerične
aproksimacije izvedene z dovoljšno natančnostjo).
Uporaba Richardsonove ekstrapolacije za ocenjevanje napake
diskretizacije pa ima tudi
slabosti. Pomembno je, da imamo številne numerične rešitve v
asimptotičnem območju. Zaradi
tega je lahko oteženo generiranje mreže, ki je že samo po sebi
težavno opravilo v praktičnih
primerih. Izvajanje dodatnih simulacij je lahko tudi zelo drago.
Za primer vzemimo začetno
mrežo z 1 milijonom elementov. Če zgoščamo mrežo s faktorjem
zgostitve 2, potrebujemo
dodatno simulacijo, izvedeno na mreži z 8 milijoni elementov.
Uporabimo lahko tudi manjše
faktorje zgostitve (ki niso naravna števila), vendar se cena
simulacije z zgoščanjem mreže
vedno močno povečuje.
Teorija Richardsonove ekstrapolacije zahteva gladke rešitve,
zato je zanesljivost ocene
napake za probleme z nezveznostmi in singularnostmi manjša.
Ekstrapolacija tudi poudari
druge vire napak, kot so napaka zaokroževanja in napaka pri
konvergenci iteracij.
Ekstrapolirane vrednosti prav tako ne bodo izpolnjevale osnovne
in pomožne enačbe tako
numeričnih kot eksaktnih rešitvah.
3.9 Zanesljivost ocene diskretizacije
Ključna zahteva za zanesljivost (oz. natančnost) ocene napake
diskretizacije na osnovi
Richardsonove ekstrapolacije je, da vse rešitve ležijo v
asimptotičnem območju. Da lahko
ugotovimo, če rešitve ležijo v asimptotičnem območju,
potrebujemo vsaj tri diskretne rešitve.
Priporočeno je, da imamo še rešitev na četrti mreži, da lahko
zares potrdimo asimptotično
območje. Včasih je lahko ugotavljanje, če rešitve ležijo znotraj
asimptotičnega območja zelo
zahtevno, še posebej pri primerih, ki vsebujejo nelinearnosti.
Asimptotičnost lahko tudi
spremljamo na podlagi opazovanega reda natančnosti.
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 35 -
Opazovan red natančnosti je merilo, na podlagi katerega lahko
ocenimo zanesljivost
ocene napake diskretizacije. Če se opazovan red natančnosti
ujema s formalnim redom, potem
smo lahko dokaj prepričani, da je ocena napake zanesljiva. Da
izračunamo opazovan red
natančnosti, potrebujemo rešitve na treh mrežah, ki smo jih
pridobili s sistematičnim
zgoščanjem. Da je opazovan red natančnosti enak formalnemu,
morajo biti izpolnjene vse
predpostavke za Richardsonovo ekstrapolacijo. Če katerakoli
izmed predpostavk ni izpolnjena,
je lahko vrednost opazovanega reda natančnosti napačna.
Kadar se opazovan red natančnosti ne ujema z formalnim, potem je
ocena napake
diskretizacije precej manj zanesljiva in jo zato v splošnem
moramo imenovati numerična
negotovost. Razlika med diskretno rešitvijo in eksaktno
rešitvijo matematičnega problema še
vedno predstavlja numerično napako, a ker ne poznamo resnične
vrednosti napake, jo moramo
predstaviti kot negotovost. Negotovost, povzročeno zaradi
pomankanja znanja, imenujemo
epistemološka negotovost in se razlikuje od naključne
negotovosti. Epistemološka negotovost
se lahko zmanjša, če uspemo pridobiti dodatne informacije, v
našem primeru dodatne izračune
na bolj finih mrežah.
3.10 Roachejev indeks konvergence mreže (GCI)
V preteklosti so avtorji pogosto predpostavljali, da je ocena
napake diskretizacije enaka
relativni razliki med dvema diskretnima rešitvama, pridobljenima
na različnih mrežah:
𝐸 =𝑓2 − 𝑓1
𝑓1
(3.34)
Pri tem je 𝑓1 rešitev na fini mreži, 𝑓2 pa na grobi. Ta
reaktivna razlika je lahko zelo zavajajoča,
ko ocenjujemo napako. Oceno relativne napake diskretizacije
(RDE1) za splošno
Richardsonovo ekstrapolacijo lahko zapišemo kot:
1 RDE – Relative discretization error
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 36 -
𝑅𝐷𝐸1 =𝑓1 − 𝑓̅
𝑓̅=
𝑓1 − (𝑓1 +𝑓1 − 𝑓2𝑟𝑝−1
)
𝑓1 +𝑓1 − 𝑓2𝑟𝑝−1
=𝑓2 − 𝑓1
𝑓1 ∙ 𝑟𝑝 − 𝑓2
(3.35)
Za primer vzemimo dve numerični rešitvi. Opazovana vrednost f,
ki nas zanima, ima
vrednost 20 na fini ter 21 na grobi mreži. Relativna razlika med
rešitvama znaša 5 %. Pri prvem
primeru imamo shemo tretjega reda natančnosti in faktor
zgostitve r = 2. Iz enačbe 3.35
izračunamo oceno napake diskretizacije, ki znaša 0,71 %. Pri
drugem primeru imamo shemo
prvega reda natančnosti ter faktor zgostitve mreže r = 1,5.
Ocenjena napaka diskretizacije v
tem primeru znaša 9,1 %. Relativna razlika 5 % pri dveh rešitvah
lahko predstavlja zelo različni
vrednosti relativne napake diskretizacije glede na red
natančnosti sheme in faktorja zgostitve
mreže. Za oceno napake diskretizacije moramo zato upoštevati ta
dva parametra. Da bi
preprečili napačno uporabo relativne razlike dveh diskretnih
rešitev za oceno napake je
Roache[24] razvil indeks konvergence mreže (GCI1).
Definicija
Roache [24] je predstavil indeks konvergence mreže, ali krajše
GCI. Roachejev cilj je zasnovati
metodo, ki dosega 95 % gotovost (torej predstavlja konservativno
oceno negotovosti v 19 od
20 primerih). Metoda GCI je zasnovana na relativni razliki med
dvema diskretnima rešitvama,
upošteva pa tudi koeficient zgoščanja mreže in red natančnosti.
GCI prav tako pretvori oceno
napake diskretizacije v oceno negotovosti s pomočjo absolutne
vrednosti. Roache [25] je GCI
na fini mreži je definiral kot:
𝐺𝐶𝐼 =𝐹𝑠
𝑟𝑝 − 1|𝑓1 − 𝑓2
𝑓1|
(3.36)
𝐹𝑠 v enačbi predstavlja varnostni faktor. Če imamo na voljo le
dve diskretni rešitvi, potem
uporabimo formalni red natančnosti in varnostni faktor 𝐹𝑠 = 3.
Če imamo na voljo tri diskretne
rešitve, lahko izračunamo opazovan red natančnosti. V takšnem
primeru imamo možnost
uporabiti manj konservativen varnostni faktor 𝐹𝑠 = 1,25. Na
podlagi GCI dobimo oceno
relativne negotovosti za rezultate na fini mreži. Na primer, če
imamo vrednost GCI 0,15, to
1 GDI – Grid convergence index
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 37 -
predstavlja 15 % negotovost rezultatov na fini mreži. Za to
oceno moramo zagotoviti
sistematično zgoščanje mreže.
Pomembno je, da v oceno GCI vključimo varnostni faktor. GCI
temelji na Richardsonovi
ekstrapolirani vrednosti, ki je že sama ocena eksaktne rešitve
matematičnega problema. Ne
vemo pa, če je ocenjena eksaktna rešitev nad ali pod eksaktno
rešitvijo matematičnega modela.
Na sliki 3.3 sta prikazani dve numerični rešitvi (𝑓1 in 𝑓2) ter
ocenjena eksaktna rešitev 𝑓 ̅na
podlagi Richardsonove ekstrapolacije in eksaktna rešitev 𝑓. V
splošnem je enaka možnost, da
je eksaktna rešitev nad ali pod ocenjeno vrednostjo. Pri
varnostnem faktorju 𝐹𝑠 = 1 bo torej le
50 % verjetnost, da je eksaktna rešitev 𝑓 znotraj območja
negotovosti. Večanje varnostnega
faktorja tako povečuje verjetnost, da bo eksaktna rešitev 𝑓
znotraj območja negotovosti.
Zanesljivost napake diskretizacije ali ocene negotovosti pa
lahko določimo le, če imajo
diskretne rešitve asimptotično naravo. Če so rešitve precej
izven asimptotičnega območja,
potem bo najbrž tudi ocena napake ali negotovosti slaba. V
takšnem primeru ne moremo
določiti varnostnega faktorja, za katerega bi lahko trdili, da
je konservativen.
Slika 3.3: Varnostni faktor pri GCI [26]
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 38 -
Uporaba
Če so rešitve problema zelo blizu 0, potem pogosto nastopajo
problemi pri normalizaciji.
Normalizacijo lahko tako spustimo:
𝐺𝐶𝐼 =𝐹𝑠
𝑟𝑝 − 1|𝑓1 − 𝑓2|
(3.37)
Tako dobimo oceno negotovosti za fino mrežo v enakih enotah kot
je sama rešitev.
Roache [25] podaja jasne smernice glede izbire varnostnega
faktorja:
Če imamo na voljo le dve rešitvi, uporabimo varnostni faktor 𝐹𝑠
= 3.
Če imamo na voljo tri rešitve in se opazovan red natančnosti
ujema s formalnim redom
sheme, potem uporabimo 𝐹𝑠 = 1,25.
V primerih, kadar imamo na voljo le dve rešitvi, moramo oceno
GCI obravnavati
previdno, saj nimamo podatka, če sta rešitvi v asimptotičnem
območju. Če so rešitve zelo izven
asimptotičnega območja, so vsi pristopi za ocenjevanje napake
diskretizacije nezanesljivi.
Kadar imamo na voljo tri rešitve in se opazovan red natančnosti
ujema s formalnim redom,
potem uporabimo 𝐹𝑠 = 1,25, uporabimo pa lahko opazovan ali
formalen red natančnosti.
Problemi nastanejo, ko se opazovani in formalni red natančnosti
ne ujemata. V takšnem primeru
je idealno, če mrežo dodatno zgoščamo, dokler rešitve niso
dokazljivo asimptotične.
Asimptotično območje lahko dosežemo tudi z lokalnim zgoščanjem
mreže. Če pa dodatnih
simulacij ne moremo izvesti, potem Roache [25] podaja primere,
kako uporabiti GCI za velik
spekter problemov.
Tabela 3.1: Predlagana uporaba GCI, če imamo na voljo tri
sistematično zgoščene mreže
|�̂� − 𝑝𝑓
𝑝𝑓|
𝐹𝑠 𝑝
≤ 0,1 1,25 𝑝𝑓
> 0,1 3 min (max (0,5, �̂�) , 𝑝𝑓)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 39 -
Ko imamo na voljo tri sistematično zgoščene mreže, potem je v
splošni uporabi najbolje
uporabiti enačbo za nenormalizirano GCI (enačba 3.37). Če se
opazovan red natančnosti ujema
s formalnim znotraj 10 %, potem uporabimo kar formalen red
natančnosti in varnostni faktor
1,25. Kadar se reda natančnosti ne ujemata znotraj 10 %, potem
uporabimo varnostni faktor
𝐹𝑠 = 3. Red natančnosti je omejen med 0,5 in formalnim redom
natančnosti. Če je red
natančnosti veliko večji od formalnega, povzroči, da je ocena
negotovosti nerealno majhna, saj
gre GCI proti nič, ko gre p proti neskončnosti. Ocena
negotovosti gre proti neskončnosti, ko je
red natančnosti blizu nič. Priporočila so prikazana v tabeli
3.1. Ta priporočila so razumna,
vendar potrebujejo testiranja, da se prepričamo da res
zagotavljajo 95 % negotovost na različnih
problemih.
3.11 Variante
V preteklih letih so bile razvite številne variante GCI. Te
variante se posvečajo različnim
načinom izračuna varnostnega faktorja ter reda natančnosti, ki
ga uporabimo pri izračunu GCI.
Metoda najmanjših kvadratov
Če računamo opazovan red natančnosti lokalno, le-ta pogosto
odstopa od formalnega reda
diskretizacijske sheme. Ta odstopanja so lahko posledica
različnih stvari. Rešitve ne ležijo v
asimptotičnem območju, napaka je lahko prenesena iz drugih
območij, nastopajo lahko
iterativne napake, napake zaokroževanja, napake pri
interpolaciji rešitev na skupno mrežo,
napake zaradi ne-uniformnega zgoščanja mreže … Eca in Hoekstra
[15] sta razvila metodo, ki
odstrani »hrup« iz opazovanega reda natančnosti. To sta storila
z uporabo metode najmanjših
kvadratov z uporabo štirih mrež. Splošno enačbo Richardsonove
ekstrapolacije (enačba 3.6)
lahko zapišemo za k-to mrežo:
𝑓𝑘 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑘𝑝 (3.38)
V njunem pristopu poskušata minimizirati funkcijo:
𝑆(𝑓,̅ 𝑔𝑝, �̂�) = √∑ [𝑓𝑘 − (𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑘𝑝)]
2𝑁𝐺
𝑘=1
(3.39)
-
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska
naloga
- 40 -
Pri tem k podaja mrežo, NG pa predstavlja število vseh mrež (NG
> 3). Da minimiziramo
funkcijo, morajo biti odvodi po 𝑓,̅ 𝑔𝑝 in �̂� nič. Tako dobimo
sledeče enačbe:
𝑓̅ =∑ 𝑓𝑘
𝑁𝐺𝑘=1 − 𝑔𝑝 ∙ ∑ ℎ𝑘
𝑝𝑁𝐺𝑘=1
𝑁𝐺
(3.40)
𝑔𝑝 =𝑁𝐺 ∙ ∑ 𝑓𝑘 ∙ ℎ𝑘
𝑝𝑁𝐺𝑘=1 − (∑ 𝑓𝑘
𝑁𝐺𝑘=1 ) ∙ (∑ ℎ𝑘
𝑝𝑁𝐺𝑘=1 )
𝑁𝐺 ∙ ∑ 𝑓𝑘 ∙ ℎ𝑘2∙𝑝𝑁𝐺
𝑘=1 − (∑ 𝑓𝑘𝑁𝐺𝑘=1 ) ∙ (∑ ℎ𝑘
𝑝𝑁𝐺𝑘=1 )
(3.41)
∑ 𝑓𝑘ℎ𝑘𝑝ln (ℎ𝑘)
𝑁𝐺
𝑘=1− 𝑓̅∑ ℎ𝑘
𝑝 ln(ℎ𝑘)𝑁𝐺
𝑘=1− 𝑔𝑝 ∑ ℎ𝑘
2𝑝 ln(ℎ𝑘)𝑁𝐺
𝑘=1= 0
(3.42)
Eca in Hoekstra [15] sta rešila enačbo 3.42 iterativno na
podlagi »False position«
metode ter pridobila �̂�. Glavna slabost te metode je, da
potrebujemo rešitve na vsaj štirih
sistematično zgoščenih mrežah. Prvotno se je njun pristop
nanašal na oceno negotovosti za 𝑓,̅
nadaljnje študije pa so podajale oceno negotovosti za rezultate
na fini mreži z uporabo reda
natančnosti, pridobljenega z uporabo enačbe 3.42 in uporabo GCI
metode (enačba 3.37).
Metoda globalnega povprečenja
Cadafalch z ostalimi [12] je predlagal, da pridobimo vrednost
opazovanega reda natančnosti na
podlagi povprečja vseh lokalnih vrednosti. Na podlagi povprečne
vrednosti opazovanega reda
natančnosti lokalno izračunamo vrednost GCI. Njihov pristop
povzamemo z naslednjimi
koraki:
1. Interpolacija treh sistematično zgoščenih mrež na skupno
mrežo, ki jo bomo uporabili
pri post-procesiranju. Za interpolacijo naj se uporabi
interpolacijska metoda višjega
reda.
2. Razvrstitev vozlišč v dve skupini: monotone, za katere velja
(𝑓3 − 𝑓2)(𝑓2 − 𝑓1) > 0 in
ne monotone, za katere velja (𝑓3 − 𝑓2)(𝑓2 − 𝑓1) < 0.
Obravnavala sta tudi tretjo
možnost, pri kateri je bila vrednost tega produkta manjša od
10−30.
3. Izračunaj lokalen opazovan red natančnosti za vsa monotona
vozlišča.
4. Izračunaj globalen opazovan red natančnosti na podlagi
povprečne vrednosti vseh
lokalnih opazovanih redov natan