ANALIZA TOKA RACIONALNE FUNKCIJE I CRTANJE GRAFIKA Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije : 1) 2 3 ) 1 ( 2 x x y , 2) 2 3 ) 2 ( 2 x x y , 3) 4 2 2 3 x x y , 4) 12 2 3 x x y , 5) 2 3 2 ) 1 ( x x y , 6) 2 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( x x y , 7) 2 3 1 x x y , 8) 3 2 3 x x y , 9) 2 9 6 2 x x x y , 10) 4 3 2 x x x y , 11) 4 3 2 x x x y , 12) 1 4 4 2 x x x y , 13) 3 10 3 2 x x x y , 14) 3 5 4 2 x x x y , 15) 2 6 5 2 x x x y , 16) 2 2 2 x x x y , 17) 2 3 2 2 x x x y , 18) 1 6 5 2 x x x y , 19) 2 2 2 x x x y , 20) 1 1 2 x x x y , 21) 2 2 1 4 x x y , 22) 1 2 8 6 2 2 x x x x y , 23) 2 2 2 3 2 x x x x y , 24) 2 2 ) 4 ( 3 x x x y , 25) 2 2 ) 1 ( 1 2 x x y , 26) 2 2 ) 1 ( 3 x x x y , 27) 1 1 2 2 x x y , 28) 2 2 ) 2 ( 2 x x y , 29) 1 1 2 2 2 x x x y , 30) 2 2 ) 1 ( x x y , 31) x x x y 3 5 1 2 2 , 32) 3 2 2 x x y , 33) 2 2 ) 2 ( 2 x x y , 34) 3 2 ) 1 ( ) 1 ( x x y , 35) 3 2 ) 1 ( ) 1 ( x x y 36) 3 2 2 2 x x x y 37) 3 3 2 x x x y , 38) 2 9 5 x x y , 39) 3 2 1 3 x x y , 40) 2 3 ) 1 ( ) 1 ( x x y , 41) 3 2 ) 1 ( ) 1 ( x x y , 42) 3 2 ) 1 ( ) 1 ( x x y
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ANALIZA TOKA RACIONALNE FUNKCIJE I CRTANJE GRAFIKA
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije :
1) 2
3
)1(2
x
xy , 2)
2
3
)2(
2
x
xy , 3)
4
22
3
x
xy , 4)
122
3
x
xy , 5)
2
3
2
)1(
x
xy
,
6) 2
3
)2(3
)2(
x
xy , 7)
2
31
x
xy
, 8)
32
3
x
xy , 9)
2
96 2
x
xxy , 10)
4
3 2
x
xxy ,
11) 4
32
x
xxy , 12)
1
442
x
xxy , 13)
3
1032
x
xxy , 14)
3
542
x
xxy ,
15) 2
652
x
xxy , 16)
2
22
x
xxy , 17)
2
32 2
x
xxy , 18)
1
65 2
x
xxy ,
19) 2
22
x
xxy , 20)
1
12
x
xxy , 21)
2
2
1
4
x
xy
, 22)
12
862
2
xx
xxy ,
23) 2
2
2
32
xx
xxy
, 24)
2
2
)4(
3
x
xxy , 25)
2
2
)1(
12
x
xy , 26)
2
2
)1(
3
x
xxy ,
27) 1
12
2
x
xy , 28)
2
2
)2(
2
x
xy , 29)
1
122
2
x
xxy , 30)
2
2
)1(
x
xy , 31)
xx
xy
35
12
2
,
32) 32
2
x
xy , 33)
2
2
)2(
2
x
xy , 34)
3
2
)1(
)1(
x
xy , 35)
3
2
)1(
)1(
x
xy
36) 32
22
xx
xy
37) 3
32
xx
xy , 38)
29
5
x
xy
, 39)
3
2 13
x
xy
, 40)
2
3
)1(
)1(
x
xy , 41)
3
2
)1(
)1(
x
xy ,
42) 3
2
)1(
)1(
x
xy
REŠENI ZADACI
1. 3
542
x
xxy . 1) Oblast definisanosti: Kako deljenje nulom nije definisano, racioanlna
funkcija nije definisana za one vrednosti za koje je izraz u imeniocu (ispod razlomačke crte) jednak
nuli. x – 3 = 0 za x = 3. Dakle ),3()3,(3 xRxDf .
2) Nule funkcije i presek sa y osom. Vrednosti argumenta x za koje je funkcija jednaka nuli,
nazivaju se nule funkcije (presek sa x osom). Racionalna funkcija je jednaka nuli za one vrednosti
za koje je izraz u brojiocu (iznad razlomačke crte) jednak nuli. 0540 2 xxy . Izraz u
brojiocu je kvadratna funkcija. Nule kvadratne funkcije se dobijaju rešavanjem kvadratne jednačine.
Opšti oblik kvadratne jednačine je 02 cbxax . Rešenja se dobijaju po sledećem obrascu
a
acbbx
2
42
2,1
. Ako je diskriminanta acbD 42 0, jednačina ima dva rešenja, ako je
D = 0, jednačina ima jedno rešenje, a ako je D 0, jednačina nema rešenja.
U ovom primeru je D = 16 + 20 = 36, pa jednačina ima dva rešenja 2
3642,1
x .
,12
641
x a 5
2
642
x . To znači da ova funkcija ima dve nule, odnosno dva preseka
sa x osom N1(1, 0) i N2(5, 0).
Presek sa y osom se dobija kad se za vrednost argumenta x uzme nula i izračuna vrednost funkcije.
3
5
3
50
yx . Presek sa y osom je tačka M(0, 5/3).
3) Znak funkcije. Znak kvadratne funkcije cbxaxy 2 zavisi od znaka konstante a.
Ako je a 0 i D 0, y 0 za ),(),( 21 xxx , a y 0 za ),( 21 xxx .
+ + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +
x1 x2
Ako je a 0 i D = 0, jednačina ima samo jedno rešenje i kvadratna funkcija je pozitivna za svako x
iz oblasti definisanosti, osim za rešenje x1 = x2.
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x1 = x2
Ako je a 0 i D 0, jednačina nema rešenje, pa kvadratna funkcija cbxaxy 2 nema presek
sa x osom i y 0 za svako x iz oblasti definisanosti.
Ako je a 0 i D 0, y 0 za ),( 21 xxx , a y 0 za ),(),( 21 xxx .
- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - -
x1 x2
Ako je a 0 i D = 0, jednačina ima samo jedno rešenje i kvadratna funkcija ima negativan znak za
svako x iz oblasti definisanosti, osim za rešenje x1 = x2.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
x1 = x2
Ako je a 0 i D 0, jednačina nema rešnje, pa kvadratna funkcija cbxaxy 2 nema presek
sa x osom i y 0 za svako x iz oblasti definisanosti.
U našem primeru znak određujemo na sledeći način:
+ + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ + + + + + + + +
x2 + 4x – 5
-5 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ + + + + +
x – 3
3
3
542
x
xx - - - - - - - + + + + + + - - - + + + + +
-5 1 3
Dakle y 0 za ),3()1,5( x , a y 0 za )3,1()5,( x .
4) Asimptote.
Ako funkcija nije definisana u tački a, funkcija ima u toj tački vertikalnu asimptotu ukoliko važi
)(lim xf
ax
i/ili
)(lim xf
ax
.
U našem slučaju funkcija nije definisana u a = 3. Ispitaćemo kakve vrednosti funkcija dobija u
okolini te tačke.
.h
hh
h
hhh
h
hh
h,h
hx
x
xx
limlim
limlim
hh
hx
0
161610541269
33
5343
00
3
3
54
2
0
2
0
2
0
2
3
Za određivanje granične vrednosti upotrebili smo smenu x = 3 + h, gde je h mala pozitivna veličina
koja teži nuli. Na osnovu dobijene granične vrednosti, zaključujemo da kad x teži ka 3 sa desne
strane funkcija teži +.
.0
161610
541269
33
5)3(4)3(
0,0
3
3
54
2
0
2
0
2
0
2
3
lim
limlimlim
h
hh
h
hhh
h
hh
hh
hx
x
xx
h
hhx
Sada smo upotrebili smenu x = 3 – h, gde je h mala pozitivna veličina koja teži nuli. Na osnovu
dobijene granične vrednosti, zaključujemo da kad x teži ka 3 sa leve strane funkcija teži -. Dakle
prava x = 3 je vertikalna asimptota funkcije i sa leve i sa desne strane grafika.
Ukoliko važi bxfx
)(lim i/ili bxfx
)(lim , onda je prava y = b, horizontalna asimptota.
Granična vrednost racionalne funkcije kad x , određuje se na sledeči način:
Opšti oblik racionalne funkcije je mm
mm
nnnn
bxbxbxb
axaxaxa
11
10
11
10
.
U našem primeru je n =2, m = 1, pa je
3
542
x
xxlimx
Što znači da vertikalna asimptota ne postoji. Vertikalna i kosa asimptota se uzajamno isključuju,
ako postoji jedna ne postoji druga. U ovom primeru ne postoji horizontalna asimptota, pa ćemo
ispitati da li postoji kosa asimptota.
Opšti obrazac za kosu asimptotu je y = ax +b, gde je x
)x(fa lim
x
, a )ax)x(f(b limx
.
U našem primeru je
13
54
3
543
54
2
22
2
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
a limlimlimxxx
0 0 0 0
0 0 0
73
57
3
354
3
54 222
x
x
x
xxxxx
x
xxb limlimlim
xxx
pa je kosa asimptota y = x + 7. Da bi nacrtali kosu asimptotu, dovoljne su nam bilo koje dve njene
tačke. y(0) = 7, y(7) = 0. Kosa asimptota prolazi kroz tačke K1(0, 7) i K2(-7, 0).
5) Monotonost funkcije i ekstremne vrednosti.
Da bi odredili ekstremne vrednosti i intervale monotonosti, potrebno je da nađemo prvi izvod
funkcije i nule prvog izvoda.
Za nalaženje izvoda racionalne funkcije upotrebićemo formulu za izvod količnika.
2v
vuvu
v
u
. U našem slučaju je 542 xxu , 1 ,42 ,3 vxuxv .
2
2
2
22
2
2
2
222
)3(
76
)3(
5412462
)3(
1)54()3)(42(
)3(
)3)(54()3()54(
3
54
x
xx
x
xxxxx
x
xxxx
x
xxxxxx
x
xxy
221
2,12
)3(
)1)(7(1
2
2 ,7
2
14
2
86
2
646
2
283660760
x
xxyxx
xxxy
Dakle, nule prvog izvoda su x1 = 7 i x2 = 1. Sada treba odrediti znak prvog izvoda. Kako je u
imeniocu funkcije y, izraz (x – 3)2 koji je pozitivan za svaki realan broj (zbog toga što je izraz na
kvadrat), znak funkcije y zavisi samo od znaka kvadratne funkcije u brojiocu
)1)(7(762 xxxx .
y 0 za x(-, -1)(7, -), pa je funkcija monotono rastuća na tim intervalima;
y 0 za x(1, 7), pa je funkcija monotono opdajuća na tom intervalu. U tački x = 1, funkcija
menja svoju monotonost, iz monotono rastuće prelazi u monotono opadajuću, pa u toj tački funkcija
ima lokalni maksimum. U tački x = 7 iz monotono opadajuće, funkcija prelazi u monotono rastuću,
pa u toj tački ima lokalni minimum. y koordinatu maksimuma dobijamo kad za vrednost argumenta
u funkciji zamenimo x = 1.
1 7
+ + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +
24
8
31
5)1(4)1()1(
2
max
yy , Pmax(1, 2) - koordinate maksimuma
,184
72
37
5747)7(
2
min
yy Pmin(7, 18) – koordinate minimuma
7) konveksnost, konkavnost i prevojne tačke 33
32
xy ; drugi izvod funkcije nema nule, pa
funkcija nema prevojne tačke; funkcija je konkavna za 3 ,x , konveksna za ,x 3
(x – 3)3
+ + + + + +
3
2. 2
2
)3(
2
x
xxy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ),3()3,( ;
2) nule funkcije N1(2,0), N2(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,2/9);
3) znak funkcije 0),1,2( za a ,0 ,),1()2,( za yxyx ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 3; horizomtalna asimptota y = 1;
5) monotonost i ekstremne vrednosti3)3(
75
x
xy ; ),5/7()3,( za x funkcija je
monotono rastuća, )5/7,3( za a x , funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u
tački Pmin(-7/5,-9/16);
6) konveksnost i prevojne tačke 4)3(
)35(2
x
xy , funkcija je konveksna za )5/3,( x ,
konkavna za ),5/3( x i ima prevojnu tačku P(-3/5,-17/8).
3. 3
1682
x
xxy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ),3()3,( ;
2) nule funkcije N(4,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,16/3);
3) znak funkcije 0),,3( za a ,0 ,)3,( za yxyx ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 3; kosa asimptota y = x – 5;
5) monotonost i ekstremne vrednosti2
2
)3(
86
x
xxy ; ),4()2,( za x funkcija je
monotono rastuća, )4,2( za a x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački
Pmin(4, 0) i maksimum u tački Pmax(2, 4);
6) konveksnost i prevojne tačke 3)3(
2
xy , funkcija je konkavna za )3,( x , konveksna za
),3( x i nema prevojnu tačku.
4. 4
22
3
x
xy , Rešenje:
1) oblast definisanosti ),2()2,2()2,( ;
)(4
2
4)(
)(2)(
2
3
2
3
xfx
x
x
xxf
, funkcija je
neparna što znači da je grafik simetričan u odnosu na
koordinatni početak;
2) nula funkcije i presek grafika funkcije sa y-osom je ista
tačka N(0,0);
3) znak funkcije
0202 za a ,0202 za y),,(),(xy),(),(x 4) asimptote: funkcija ima dve
vertikalne asimptote
x = 2 i x = 2 i kosu asimptotu y = 2x;
5) monotonost i ekstremne vrednosti22
22
)4(
)12(2
x
xxy ; ),32()32,( za x funkcija je
monotono rastuća, )32,32( za a x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u
tački 36 32 ,Pmin i maksimum u tački )36,32(max P ;
6) konveksnost i prevojne tačke 32
2
)4(
)12(16
x
xxy , funkcija je konkavna za )2,0()2,( x ,
konveksna za ),2()0,2( x i ima prevojnu tačku P(0,0);
5. 1
12
x
xxy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ),1()1,( ;
2) kvadratna jednačina 12 xx nema realna rešenja, pa funkcija nema nule; presek grafika funkcije
sa y-osom M(0,1);
3) znak funkcije 0),,1( za a ,0 ,)1,( za yxyx ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 1; kosa asimptota y = x ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti2
2
)1(
2
x
xxy ; ),2()0,( za x funkcija je monotono
rastuća, )2,0( za a x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(2, 3) i
maksimum u tački Pmax(0, 1);
6) konveksnost i prevojne tačke 3)1(
2
xy , funkcija je konkavna za )1,( x , konveksna za
),1( x i nema prevojnu tačku.
6. 3
32
xx
xy , Rešenje: 1) kvadratna jednačina 032 xx nema realna rešenja, pa je oblast
definisanosti ),( ;
2) nula funkcije N(3,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1);
3) znak funkcije 0),,3( za a ,0 ,)3,( za yxyx ;
4) asimptote: funkcija nema vertikalne asimptote jer je definisana na celom skupu realnih brojeva;
horizontalna asimptota y = 0 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti22 )3(
)6(
xx
xxy ; ),0()6,( za x funkcija je
monotono rastuća, )0,6( za a x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački
Pmin(0, 1) i maksimum u tački Pmax(6, 1/11);
6) konveksnost i prevojne tačke 32
23
)3(
)99(2
xx
xxy , teško je izračunati nule drugog izvoda pa
samim tim i odrediti njegov znak. grafik može da se nacrta i bez ovih elemenata.
7.
22
1
4
122
2
2
xx
x
x
xxy ,
Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 22 22 ;
2) nula funkcije N(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1/4);
3) znak funkcije 022 za a ,0 ,2,2 za y,,xy,x ; 4) asimptote: funkcija ima
dve vertikalne asimptote x = 2 i x = 2; horizontalna asimptota y = 1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti 22
2
4
8102
x
xxy ; nule prvog izvoda x = 1 i x = 4;
,,x 41 za funkcija je monotono rastuća, 41 za a ,x funkcija je monotono
opadajuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(4, 3/4) i maksimum u tački Pmax(1, 0);
6) konveksnost i prevojne tačke
32
23
4
20241522
x
xxxy , teško je izračunati nule drugog
izvoda pa samim tim i odrediti njegov znak. Grafik može da se nacrta i bez ovih elemenata.
8.
82
12
2
xx
xy
Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 44 22 ;
2) nula funkcije N(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1/8);
3) znak funkcije 042 za a ,0 ,4,2 za y,,xy,x ; 4) asimptote: funkcija ima
dve vertikalne asimptote x = -2 i x = 4; horizontalna asimptota y = -1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti
22 82
118
xx
xy ; nula prvog izvoda x = 1;
1 22 za ,,x funkcija je monotono opadajuća, ,,x 44 1 za a funkcija je
monotono rastuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(1, 0);
6) konveksnost i prevojne tačke
32
2
82
4254
xx
xxy , jednačina 422 xx nema realna rešanja,
pa drugi izvod nema nule. Znak drugog izvoda
konveksna je funkcija042 za a konkavna, je funkcija ,0 ,4,2 za ,y,,xy,x
9. 3
45 2
x
xxy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 33 ;
2) nule funkcije N1(-1,0), N2(5, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0, 5/3);
3) znak funkcije 0513 za a ,0 ,5 1,3 za y,,,xy,x ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = -3; kosa asimptota y = x + 7;
5) monotonost i ekstremne vrednosti 2
2
3
76
x
xxy ; 17 za ,,x funkcija je
monotono opadajuća, 1 337 za a ,,x funkcija je monotono rastuća; funkcija ima
minimum u tački Pmin(7, 18) i maksimum u tački Pmax(1, 2);
6) konveksnost i prevojne tačke 33
32
xy , funkcija je konveksna za 3 ,x , konkavna za
,x 3 i nema prevojne tačke.
10.
6
22
2
xx
xy ,
Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 33 22 ;
2) nula funkcije N(2,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,-2/3);
3) znak funkcije 03 2 za a ,0 ,3,2 za y,,xy,x ;
4) asimptote: funkcija ima dve vertikalne asimptote x = -2 i x = 3; horizontalna asimptota y = 1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti:
2222
2
6
1432
6
22203
xx
xx
xx
xxy ; nule prvog izvoda
x = 2 i x = 14/3; ,/,x 3142 za funkcija je monotono rastuća, 341 2 za a /,x
funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(14/3, 16/25) i maksimum u
tački Pmax(2, 0);
6) konveksnost i prevojne tačke:
32
23
6
88843032
xx
xxxy , teško je izračunati nule drugog
izvoda pa samim tim i odrediti njegov znak. Grafik može da se nacrta i bez ovih elemenata.
11. 2
762
x
xxy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 22 ;
2) nule funkcije N1(1, 0), N2(7, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0; 3,5);
3) znak funkcije 021 7 za a ,0 ,2 17 za y,,,xy,x ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 2; kosa asimptota y = x + 8 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti: 22
2
54
x
xxy ; 51 za ,,x funkcija je
monotono rastuća, 5 1 za a ,x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački
Pmin(5, 16) i maksimum u tački Pmax(1, 4);
6) konveksnost i prevojne tačke 32
18
xy , funkcija je konkavna za 2 ,x , konveksna za
,x 2 i nema prevojnu tačku.
12.
54
22
2
xx
xy ,
Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 11 55 ;
2) nula funkcije N(2, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,4/5);
3) znak funkcije 01 5 za a ,0 ,1,5 za y,,xy,x ;
4) asimptote: funkcija ima dve vertikalne asimptote x = 5 i x = 1; horizontalna asimptota y = 1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti:
22 54
218
xx
xy ; nula prvog izvoda x = 2 ;
2- 55 za ,,x funkcija je monotono rastuća, ,,x 11 2 za a funkcija je
monotono opadajuća; funkcija ima maksimum u tački Pmax(2, 0);
6) konveksnost i prevojne tačke:
32
2
54
7454
xx
xxy , jednačina 0742 xx nema realna
rešenja, pa funkcija nema prevojne tačke; funkcija je konveksna za ,,x 15
konkavna. je funkcija 1 5 za a ,x
13. 2
2
1
12
x
xy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,), 11 ;
2) nule funkcije
0
2
1 0
2
121 ,N,,N , presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1);
3) znak funkcije 02
1
2
1 za a ,0 ,
2
1
2
1 za
y,,xy,,x ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 1; horizomtalna asimptota y = 2;
5) monotonost i ekstremne vrednosti
31
122
x
xy ; 121 za ,/,x funkcija je
monotono opadajuća, 1 21 za a ,/x , funkcija je monotono rastuća; funkcija ima minimum u tački
Pmin(1/2,2);
6) konveksnost i prevojne tačke
41
142
x
xy , funkcija je konkavna za 41 /,x , konveksna
za ,/x 41 i ima prevojnu tačku P(1/4,-14/9).
14.
2
3
2
1
x
xy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 22 ;
2) nule funkcije N(1, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(-1/2, 0);
3) znak funkcije 01 za a ,0 ,1 za y,,xy,x ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 2; kosa asimptota y = x + 1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti:
3
2
2
41
x
xxy ; 42 za ,,x funkcija je
monotono rastuća, 4 2 za a ,x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački
Pmin(6, 27/4);
6) konveksnost i prevojne tačke
42
16
x
xy , funkcija je konkavna za 1 ,x , konveksna za
,x 1 i ima prevojnu tačku P(1, 0).
15. 2
3
12
x
xy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 11 ;
2) nula funkcije i presek grafika funkcije sa y-osom je ista tačka N(0, 0);
3) znak funkcije 00 za a ,0 ,0 za y,,xy,x ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 1; kosa asimptota y = x/2 1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti:
3
2
12
3
x
xxy
; 13- za ,,x funkcija je
monotono rastuća, 1- 3 za a ,x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima maksimum u
tački Pmax(3, 27/8);
6) konveksnost i prevojne tačke 41
3
x
xy
, funkcija je konkavna za 0 ,x , konveksna za
,x 0 i ima prevojnu tačku P(0, 0).
Related Documents
![RUKOVODI RADI NA - vps.ns.ac.rs · AVG([DISTINCT|ALL]n) COUNT({*|[DISTINCT|ALL] izraz }) MAX( izraz ) MIN(izraz ) SUM([DISTINCT|ALL] izraz ) (| - oznacava da se moze koristiti samo](https://static.cupdf.com/doc/110x72/5f98e6a6165fd96be31984b9/rukovodi-radi-na-vpsnsacrs-avgdistinctalln-countdistinctall-izraz.jpg)
