Analiza matematyczna II Denicje, twierdzenia 6 maja 2013 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentw studiw technicznych, cz. 2, HELPMATH, d·z 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna II, Ocyna Wydawnicza GiS, Wroc aw 2000 M. Gewert. Z. Skoczylas, Rwnania r• zniczkowe zwyczajne, Ocyna Wydawnicz GiS, Wroc aw 2005 W. • Zakowski, W. Ko odziej, Matematyka II, WNT, Warszawa 1984 W. • Zakowski, W. Leksi·nski, Matematyka IV, WNT, Warszawa 1984 F. Leja, Rachunek r• zniczkowy i cakowy, PWN, Warszawa 1963 W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1976 1 Rachunek r • zniczkowy i ca kowy funkcji wielu zmiennych 1.1 Przestrzenie metryczne. Rodzaje zbiorw w przestrzeniach me- trycznych Denicja 1.1 Niech X b edzie niepustym zbiorem. Dowoln a funkcj e d : X X ! R tak a, • ze 1. V p1;p22X d (p 1 ;p 2 )=0 , p 1 = p 2 2. V p1;p22X d(p 1 ;p 2 )= d (p 2 ;p 1 ) (symetria) 3. V p1;p2;p32X d (p 1 ;p 3 ) d (p 1 ;p 2 )+ d (p 2 ;p 3 ) (nierwno·s·c trjk ata) nazywamy metryk a w zbiorze X. Zbir X wraz z ustalon a metryk a d nazywamy przestrzeni a metryczn a. Mo• zna wykaza·c, • ze nast epuj ace funkcje s a metrykami w zbiorze R n : d e (p; q)= v u u t n X i=1 (x i y i ) 2 (metryka euklidesowa) 1
35
Embed
Analiza matematyczna II - cmf.p.lodz.plcmf.p.lodz.pl/~witek/materialy/analizaII/amII.pdf · M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna II,O–cynaWydawniczaGiS,Wroc÷aw 2000 M. Gewert.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Analiza matematyczna II
De�nicje, twierdzenia
6 maja 2013
� K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiówtechnicznych, cz. 2, HELPMATH, ×ódz 2007
� M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna II, O�cynaWydawnicza GiS, Wroc÷aw2000
� M. Gewert. Z. Skoczylas, Równania ró·zniczkowe zwyczajne, O�cyna Wydawnicz GiS,Wroc÷aw 2005
� W. ·Zakowski, W. Ko÷odziej, Matematyka II, WNT, Warszawa 1984
� W. ·Zakowski, W. Leksinski, Matematyka IV, WNT, Warszawa 1984
� F. Leja, Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy, PWN, Warszawa 1963
� W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1976
1 Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy funkcji wielu zmiennych
1.1 Przestrzenie metryczne. Rodzaje zbiorów w przestrzeniach me-trycznych
De�nicja 1.1 Niech X b ¾edzie niepustym zbiorem. Dowoln ¾a funkcj ¾e d : X �X ! R tak ¾a,·ze
1.V
p1;p22Xd (p1; p2) = 0, p1 = p2
2.V
p1;p22Xd(p1; p2) = d (p2; p1) (symetria)
3.V
p1;p2;p32Xd (p1; p3) � d (p1; p2) + d (p2; p3) (nierównosc trójk ¾ata)
nazywamy metryk ¾a w zbiorze X.Zbiór X wraz z ustalon ¾a metryk ¾a d nazywamy przestrzeni ¾a metryczn ¾a.
Mo·zna wykazac, ·ze nast¾epuj ¾ace funkcje s ¾a metrykami w zbiorze Rn:
�
de (p; q) =
vuut nXi=1
(xi � yi)2 (metryka euklidesowa)
1
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
�dt (p; q) =
nXi=1
jxi � yij (metryka miejska/taksówkowa)
�dm (p; q) = max
i=1;:::;njxi � yij (metryka maksimum)
gdzie p = (x1; :::; xn) i q = (y1; :::; yn).
W dalszym ci ¾agu przez przestrzen (metryczn ¾a) Rn b¾edziemy rozumiec zbiór Rn wraz zmetryk ¾a euklidesow ¾a.
Niech d b¾edzie ustalon ¾a metryk ¾a w zbiorze X.
De�nicja 1.2 Kul ¾a (otwart ¾a) o srodku w punkcie p i promieniu r > 0 nazywamy zbiór
K (p; r) = fq 2 X : d (p; q) < rg:
Przyk÷ad 1.3 Kule o srodku (0; 0) i promieniu 1 w R2 w metryce euklidesowej (a), miejskiej(b) i maksimum (c):
x
y
1 x
y
1 x
y
1
1 1 1
(a) (b) (c)
De�nicja 1.4 Mówimy, ·ze zbiór A � X jest ograniczony, je·zeli istnieje p 2 X i r > 0takie, ·ze A � K (p; r) (tzn. A zawiera si ¾e w pewnej kuli). Mówimy, ·ze A jest nieogranic-zony, gdy A nie jest ograniczony (tzn. A nie zawiera si ¾e w ·zadnej kuli).
De�nicja 1.5 Mówimy, ·ze zbiór U � X jest otwarty (w X), gdy dla dowolnego p 2 Uistnieje r > 0 takie, ·ze
K (p; r) � U:
Twierdzenie 1.6 Niech X b ¾edzie przestrzeni ¾a metryczn ¾a.
1. ;, X i kule otwarte s ¾a zbiorami otwartymi w X
2. Je·zeli U i V s ¾a otwarte w X, to U \ V jest zbiorem otwartym w X
3. Je·zeli fU�g�2I jest rodzin ¾a zbiorów otwartych w X, to sumaS�2I
U� jest zbiorem ot-
wartym w X
De�nicja 1.7 Otoczeniem punktu p 2 X nazywamy dowolny zbiór otwarty U � X taki,·ze p 2 U . S ¾asiedztwem punktu p nazywamy ka·zdy zbiór postaci U n fpg, gdzie U jestotoczeniem p.
2
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
De�nicja 1.8 Niech A � X. Punkt p 2 X nazywamy
� punktem wewn ¾etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ·ze K (p; r) � A
� punktem zewn ¾etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ·ze K (p; r) � XnA
� punktem brzegowym A, gdy w dowolnej kuli K (p; r) istniej ¾a punkty nale·z ¾ace do Ai punkty nale·z ¾ace do XnA
� punktem skupienia zbioru A, je·zeli ka·zde s ¾asiedztwo punktu p zawiera jakis punktzbioru A; punkty nale·z ¾ace do zbioru A, które nie s ¾a jego punktami skupienia nazywamypunktami izolowanymi
Przyk÷ad 1.9 p � punkt wewn¾etrzny; q � punkt zewn¾etrzny; r; u � punkty brzegowezbioru A.
De�nicja 1.10 Mówimy, ·ze zbiór C � X jest domkni ¾ety (w X), gdy jego dope÷nienie XnCjest zbiorem otwartym. Je·zeli p 2 X i r > 0, to kul ¾a domkni ¾et ¾a o srodku p i promieniu rnazywamy zbiór
�K (p; r) = fq 2 X : d (p; q) � rg:
Twierdzenie 1.11 Niech X b ¾edzie przestrzeni ¾a metryczn ¾a.
1. ;, X i kule domkni ¾ete s ¾a domkni ¾etymi podzbiorami X:
2. Je·zeli C i D s ¾a zbiorami domkni ¾etymi w X, to C [D jest zbiorem domkni ¾etym w X.
3. Je·zeli fC�g�2I jest rodzin ¾a zbiorów domkni ¾etych w X, to iloczynT�2I
C� jest zbiorem
domkni ¾etym w X.
Twierdzenie 1.12 Zbiór jest domkni ¾ety wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swojepunkty skupienia.
De�nicja 1.13 Wn¾etrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewn ¾etrznych A.Wn ¾etrze A oznaczamy przez IntA.Domkni ¾eciem zbioru A nazywamy zbiór A w sumie ze wszystkimi punktami skupienia
zbioru A. Domkni ¾ecie A oznaczamy przez �A.Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A; oznaczamy
go przez @A (bdA, FrA). Zachodzi przy tym
@A = �A n IntA:
De�nicja 1.14 Niech A � X. Mówimy, ·ze zbiór A jest spójny, je·zeli przy dowolnymrozk÷adzie A na sum ¾e dwóch roz÷¾acznych i niepustych zbiorów U i V , którys z nich zawierapunkty skupienia drugiego zbioru.
Krzyw ¾a ci ¾ag÷¾a w przestrzeni Rn nazywamy dowolne odwzorowanie ci ¾ag÷e : [0; 1] !Rn, tzn.
gdzie funkcje xi : [0; 1] ! R s ¾a ci ¾ag÷e. Punkt p = (0) nazywamy pocz ¾atkiem krzywej ,zas q = (1) � koncem krzywej . Mówimy wtedy, ·ze jest krzyw ¾a ÷¾acz ¾ac ¾a punkty p i q.
3
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Przyk÷ad 1.15 Odcinek [p; q] o pocz ¾atku p i koncu q, gdzie p; q 2 Rn
(t) = p+ t (q � p) ; t 2 [0; 1] :
Mo·zna wykazac, ·ze A � Rn jest zbiorem spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnychpunktów p; q 2 A istnieje krzyw ¾a ci ¾ag÷a o pocz ¾atku p i koncu q taka, ·ze (t) 2 A dlaka·zdego t 2 [0; 1].
Przyk÷ad 1.16 Wyznaczyc wn¾etrzne, domkni¾ecie i brzeg zbioru. Okreslic, czy zbiór jestspójny.
1. A = f(x; y) 2 R2 : �2 � y < 1 ^ x > 0g
2. B = f(x; y) 2 R2 : 1 < jxj � 2 ^ 0 � y < 1g
3. C = f(x; y) 2 R2 : x = 1 + 1n ; n 2 Ng
De�nicja 1.17 Zbiór D nazywamy obszarem, je·zeli D jest otwarty i spójny. Powiemy, ·zeD jest obszarem domkni ¾etym, gdy jest domkni ¾eciem obszaru.
1.2 Powierzchnie stopnia II w R3
Powierzchni ¾a stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów (x; y; z) 2 R3 spe÷niaj ¾acych rów-nanie
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1.3 Granica i ci ¾ag÷osc funkcji wielu zmiennychMówimy, ·ze ci ¾ag punktów pk =
�xk1 ; x
k2 ; :::; x
kn
�2 Rn jest zbie·zny do punktu p = (x1; x2; :::; xn),
je·zelilimk!1
d (pk; p) = 0
(gdzie zgodnie z przyj¾et ¾a umow ¾a d oznacza metryk¾e euklidesow ¾a).
Twierdzenie 1.18 Ci ¾ag (pk) punktów pk =�xk1 ; x
k2 ; :::; x
kn
�jest zbie·zny do p = (x1; x2; :::; xn)
wtedy i tylko wtedy, gdylimk!1
xki = xi; i = 1; 2; :::; n:
De�nicja 1.19 (Heinego) Niech f : D ! R, D � Rn i niech p0 =�x01; x
02; :::; x
0n
�b ¾edzie
punktem skupienia zbioru D. Mówimy, ·ze g jest granic ¾a funkcji f w punkcie p0 je·zeli
limk!1
f (pk) = g
dla ka·zdego ci ¾agu (pk) punktów zbioru D takiego, ·ze limk!1
pk = p0. Piszemy wtedy
limp!p0
f (p) = g
W przypadku, gdy g =1 (�1), to mówimy o granicy niew÷asciwej. g nazywamy te·z granic ¾an-krotn ¾a funkcji f w punkcie p0. Je·zeli n = 2, to mówimy o granicy podwójnej w punkciep0 i jesli p0 = (x0; y0), to oznaczamy j ¾a przez
lim(x;y)!(x0;y0)
f (x; y) :
Uwaga 1.20 Granica w punkcie p0 nie istnieje, gdy istniej ¾a ró·zne ci ¾agi (pk) i (qk) owyrazach w zbiorze D takie, ·ze lim
k!1pk = p0 = lim
k!1qk, ale
limk!1
f (pk) 6= limk!1
f (qk) :
De�nicja 1.21 (Cauchy�ego) Niech f : D ! R, D � Rn i niech p0 b ¾edzie punktemskupienia zbioru D. Mówimy, ·ze g jest granic ¾a (w÷asciw ¾a) funkcji f w punkcie p0, je·zeli^
">0
_�>0
^p2D
(0 < d (p; p0) < � ) jf (p)� gj < ") :
Zadanie 1 Podac de�nicj¾e Cauchy�ego granicy niew÷asciwej.
Twierdzenie 1.22 De�nicje granicy w sensie Heinego i Cauchy�ego s ¾a sobie równowa·zne.
Niech f : D ! R, D � R2 i niech p0 = (x0; y0) b¾edzie punktem skupienia dziedziny D.Je·zeli istnieje granica
limx!x0
�limy!y0
f (x; y)
�;
to nazywamy j ¾a granic ¾a iterowan ¾a gdy najpierw y ! y0, a nast¾epnie x! x0. Podobnie,gdy istnieje granica
limy!y0
�limx!x0
f (x; y)
�to nazywamy j ¾a granic ¾a iterowan ¾a gdy x! x0, a nast¾epnie y ! y0.
5
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Uwaga 1.23 Istnienie granicy podwójnej jest niezale·zne od istnienia granic iterowanych.Co wi¾ecej, je·zeli granice iterowane istniej ¾a, to mog ¾a byc ró·zne.
Przyk÷ad 1.24
1. f (x; y) = xyx2+y2
limx!0
�limy!0
f (x; y)
�= 0 = lim
y!0
�limx!0
f (x; y)�;
ale lim(x;y)!(0;0)
f (x; y) nie istnieje.
2. f (x; y) = x2�y2x2+y2
limx!0
�limy!0
x2 � y2x2 + y2
�= 1; lim
y!0
�limx!0
x2 � y2x2 + y2
�= �1
i granica podwójna nie istnieje.
3. f (x; y) = x sin 1x sin
1y
limy!0
�limx!0
x sin1
xsin
1
y
�= 0
ale limx!0
�limy!0
x sin 1x sin
1y
�nie istnieje;
lim(x;y)!(0;0)
x sin1
xsin
1
y= 0:
Twierdzenie 1.25 Je·zeli istnieje granica podwója w punkcie (x0; y0) funkcji f i istniejejedna z granic iterowanych, to s ¾a sobie równe.
Wniosek 1.26 Je·zeli istniej ¾a ró·zne granice iterowane w punkcie (x0; y0), to nie istniejegranica podwójna w tym punkcie.
De�nicja 1.27 Niech f : D ! R, gdzie D � Rn i niech p0 2 D b ¾edzie punktem skupieniazbioru D. Mówimy, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a w punkcie p0, je·zeli
limp!p0
f (p) = f (p0) :
Je·zeli f jest ci ¾ag÷a w ka·zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ·ze jest ci ¾ag÷a
Twierdzenie 1.28 Je·zeli f; g : D ! R s ¾a ci ¾ag÷e, to
1. f � g
2. f � g
3. fg (o ile g 6= 0)
s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.
6
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Twierdzenie 1.29 (o lokalnym zachowywaniu znaku) Je·zeli f : D ! R jest ci ¾ag÷a wp0 i f (p0) > 0 (f (p0) < 0), to istnieje otoczenie U punktu p0 takie, ·ze f (p) > 0 (f (p) < 0)dla ka·zdego p 2 U \D.
Twierdzenie 1.30 (Weierstrassa) Za÷ó·zmy, ·ze f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a okreslon ¾ana domkni ¾etym i ograniczonym zbiorze D. Wówczas funkcja f jest ograniczona, co wi ¾ecejistniej ¾a takie punkty p0,p00 2 D, ·ze
f (p0) = infp2D
f (p) = infff (p) : p 2 Dg;
f (p00) = supp2D
f (p) = supff (p) : p 2 Dg:
Twierdzenie 1.31 (Darboux) Za÷ó·zmy, ·ze f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a i D jest zbioremspójnym. Je·zeli f (p0) < � < f (p00), gdzie p0; p 2 D, to istnieje taki punkt q 2 D, ·ze� = f (q).
Twierdzenie 1.32 (Cantora) Je·zeli f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a okreslon ¾a na domkni ¾e-tym i ograniczonym zbiorze D, to f jest jednostajnie ci ¾ag÷a tzn.^
">0
_�>0
^p;q2D
(d (p; q) < � ) d (f (p) ; f (q)) < ") :
1.4 Pochodne kierunkowe i cz ¾astkowe. Ró·zniczkowalnoscNiech f : D ! R, D � Rn i niech p 2 D b¾edzie punktem wewn¾etrznym zbioru D.
De�nicja 1.33 Pochodn ¾a kierunkow ¾a funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h 2 Rnnazywamy liczb ¾e
f 0h (p) = limt!0
f (p+ th)� f (p)t
;
o ile powy·zsza granica istnieje i jest skonczona.
Uwaga 1.34 Pochodna w kierunku wektora h jest równa pochodnej funkcji
' (t) = f (p+ th)
w punkcie t = 0.
De�nicja 1.35 Pochodn ¾a kierunkow ¾a w kierunku wektora
ei = [0; :::; 1i; :::; 0]
nazywamy pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a funkcji f w punkcie p wzgl ¾edem zmiennej xi. Oznaczamyj ¾a symbolem
@f
@xi(p) ;
a zatem@f
@xi(p) = f 0ei (p) = limt!0
f (p+ tei)� f (p)t
:
7
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
W szczególnym przypadku, gdy n = 2 i funkcja f jest funkcj ¾a zmiennych x i y, pochodnecz ¾astkowe oznaczamy odpowiednio przez @f
@x (dfdx , f
0x) i
@f@y (
dfdy , f
0y). Jesli p = (x0; y0), to
@f
@x(x0; y0) = lim
t!0
1
t(f (x0 + h; y0)� f (x0; y0)) ;
@f
@y(x0; y0) = lim
t!0
1
t(f (x0; y0 + t)� f (x0; y0)) :
De�nicja 1.36 Je·zeli funkcja f ma pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a wzgl ¾edem zmiennej xi dla ka·zdegopunktu p 2 D, to funkcj ¾e @f
@xi: D ! R
p 7! @f
@xi(p)
nazywamy pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a funkcji f wzgl ¾edem zmiennej xi.
Uwaga 1.37 Je·zeli 'i (t) = f (p+ tei), to
@f
@xi(p) = '0i (0) :
Wpraktyce oznacza to, ·ze obliczanie pochodnej cz ¾astkowej wzgl¾edem zmiennej xi to obliczanie�zwyk÷ej�pochodnej wzgl¾edem xi, traktuj ¾ac pozosta÷e zmienne jak sta÷e.
Uwaga 1.38 Istnienie pochodnych cz ¾astkowych w punkcie p, a nawet istnienie wszystkichpochodnych kierunkowych w punkcie p nie gwarantuje ci ¾ag÷osci funkcji w tym punkcie.
Twierdzenie 1.39 Je·zeli f; g : D ! R, D � Rn i istniej ¾a pochodne cz ¾astkowe @f@xi
(p),@g@xi
(p) dla pewnego punktu p 2 D, to
1. @@xi
(f � g) (p) = @f@xi
(p)� @f@xi
(p)
2. @@xi
(f � g) (p) = @f@xi
(p) g (p) + f (p) @g@xi
(p)
3. @@xi
�fg
�(p) =
f 0xi(p)g(p)�f(p)g0xi (p)
(g(p))2; g (p) 6= 0
De�nicja 1.40 Mówimy, ·ze funkcja f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD,je·zeli istnieje otoczenie U punktu p, na którym istniej ¾a wszystkie pochodne cz ¾astkowe funkcjif i s ¾a one ci ¾ag÷e w punkcie p. Mówimy, ·ze funkcja jest ró·zniczkowalna (jest klasy C1) nazbiorze otwartym D, gdy ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe na D.
Twierdzenie 1.41 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to dladowolnego wektora h 2 Rn istnieje pochodna kierunkowa f 0h (p), przy czym
f 0h (p) =nXi=1
@f
@xi(p)hi;
gdzie h = [h1; :::; hn].
Wniosek 1.42 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to
8
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1. f 0h+k (p) = f 0h (p) + f0k (p)
2. f 0�h (p) = �f 0h (p)
dla dowolnych wektorów h;k 2 Rn i � 2 R.
Przyk÷ad 1.43 Obliczyc f 0h (p), gdzie f (x; y) = x2y, p = (1; 2) i h = [a; b] jest dowolnymwektorem.
De�nicja 1.44 Za÷ó·zmy, ·ze f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p. Ró·zniczk ¾a(zupe÷n ¾a) funkcji f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe df (p) : Rn ! R okreslonewzorem
df (p) (h) =nXi=1
@f
@xi(p)hi:
Twierdzenie 1.45 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to istniejefunkcja ' okreslona w otoczeniu 0 2 Rn, ci ¾ag÷a w 0, ' (0) = 0 oraz
f (p+ h) = f (p) + df (p) (h) + ' (h) � jhj
(jhj oznacza d÷ugosc wektora h:).
Wniosek 1.46 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to
1. f jest ci ¾ag÷a w p
2. dla ma÷ych jhj zachodzi przybli·zony wzór
f (p+ h) � f (p) + df (p) (h) :
Niech g : D ! R, D � Rn, f1; :::; fn : �! R, � � R, przy czym
f (t) = (f1 (t) ; f2 (t) ; :::; fn (t)) 2 D; t 2 �:
Wówczas jest sens mówic o z÷o·zeniu
(g � f) (t) = g (f1 (t) ; :::; fn (t)) :
Twierdzenie 1.47 Je·zeli funkcje fi s ¾a ró·zniczkowalne w punkcie t0 2 � (i = 1; :::; n) orazg jest ró·zniczkowalna w punkcie p0 = f (t0), to z÷o·zenie g � f jest ró·zniczkowalna w t0; przyczym
(g � f)0 (t0) =nXi=1
@g
@xi(f (t0)) � f 0i (t0)
= dg (f (t0)) ([f01 (t0) ; :::; f
0n (t0)]) :
Twierdzenie 1.48 Za÷ó·zmy, ·ze funkcje fi : � ! R (i = 1; :::; n), � � Rm maj ¾a pochodnecz ¾astkowe
@fi@tj
(t0)
9
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
dla pewnego t0 2 � oraz ustalonego j (1 � j � m). Wówczas przy za÷o·zeniu, ·ze g : D ! R,D � Rn,
f (t) = (f1 (t) ; :::; fn (t)) 2 D; t 2 �i ró·zniczkowalnosci funkcji g w punkcie f (t0) istnieje pochodna cz ¾atkowa @
@tj(g � f) (t0) przy
czym@
@tj(g � f) (t0) =
nXi=1
@g
@xi(f (t0)) �
@fi@tj
(t0) :
Twierdzenie 1.49 (o wartosci sredniej) Je·zeli f : D ! R, D � Rn jest zbiorem ot-wartym i f jest ró·zniczkowalna na zbiorze D, to dla dowolnego punktu p0 2 D i wektorah 2 Rn takiego, ·ze odcinek [p0; p0 + h] zawiera si ¾e w D, istnieje t 2 (0; 1), ·ze
f (p0 + h)� f (p0) = df (p0 + th) (h) :
De�nicja 1.50 Niech f : D ! R i p0 2 D. Poziomic ¾a funkcji f przechodz ¾ac ¾a przez punktp0 nazywamy zbiór
S (p0) = fp 2 D : f (p) = f (p0)g:
De�nicja 1.51 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 IntD.Gradientem f w punkcie p0 nazywamy wektor
rf (p0) =�@f
@x1(p0) ; :::;
@f
@xn(p0)
�:
Je·zeli rf (p0) = 0 (wektor zerowy!), to mówimy, ·ze p0 jest punktem stacjonarnym funkcjif .
Uwaga 1.52 1. Mo·zna wykazac, ·ze gradient funkcji f wskazuje kierunek najszybszegowzrostu wartosci tej funkcji. Ponadtorf (p0) jest wektorem prostopad÷ym do poziomicyfunkcji f przechodz ¾acej przez p0.
2.df (p0) (h) = rf (p0) � h
(� oznacza iloczyn skalarny wektorów).
1.5 Pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu drugiegoNiech f : D ! R, D � Rn b¾edzie zbiorem otwartym i za÷ó·zmy, ·ze istnieje pochodnacz ¾astkowa @f
@xi(p) dla ka·zdego p 2 D. Je·zeli istnieje pochodna cz ¾astkowa
@
@xj
�@
@xi
�(p0)
w punkcie p0 2 D, to nazywamy j ¾a drug ¾a pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a wzgl¾edem i-tej i j-tej zmien-nej. Oznaczamy j ¾a przez
@2f
@xj@xi(p0) lub f 00xixj (p0) :
Pochodn ¾a @2f@xi@xi
(p0) oznaczamy przez
@2f
@x2i(p0) :
10
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
De�nicja 1.53 Mówimy, ·ze funkcja f : D ! R jest dwukrotnie ró·zniczkowalna w punkciep0, je·zeli istniej ¾a pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu drugiego na pewnym otoczeniu p0 i s ¾a ci ¾ag÷e wtym punkcie. Mówimy, ·ze funkcja f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna (jest klasy C2 na zbiorzeD; f 2 C2 (D)), je·zeli ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe drugiego rz ¾edu na D.
Twierdzenie 1.54 (Schwarza o symetrii drugiej ró·zniczki) Je·zeli f : D ! R jestdwukrotnie ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 D, to
@2f
@xi@xj(p0) =
@2f
@xj@xi(p0) ; i; j = 1; :::; n:
De�nicja 1.55 Za÷ó·zmy, ·ze f jest dwrukrotnie ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 D. Drug ¾aró·zniczk ¾a f w punkcie p nazywamy odwzorowanie
d2f (p0) : Rn � Rn ! R
okreslone wzorem
d2f (p0) (h;k) =nX
i;j=1
@2f
@xi@xj(p0)hikj
gdzie h = [h1; :::; hn], k = [k1; :::; kn].
W szczególnym przypdaku dla n = 2
d2f (p0) (h;k) =@2f
@x2(p0)h1k1 +
@2f
@x@y(p0) (h1k2 + h2k1) +
@2f
@y2(p0)h2k2
i jesli h = k, to
d2f (p0) (h;h) =@2f
@x2(p0)h
21 + 2
@2f
@x@y(p0)h1h2 +
@2f
@y2(p0)h
22;
w skrócie b ¾edziemy pisac d2f (p0)h2:
1.6 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennychDe�nicja 1.56 Mówimy, ·ze funkcja f : D ! R, D � Rn ma maksimum [minimum]lokalne w punkcie p0 2 D, je·zeli istnieje otoczenie U punktu p0 takie, ·ze
^p2U
f (p) � f (p0)
24^p2U
f (p) � f (p0)
35 :Je·zeli w powy·zszym warunku spe÷niona jest nierównosc ostra, to mówimy o maksimum [min-imum] lokalnym w÷asciwym.Je·zeli ^
p2Df (p) � f (p0)
24^p2D
f (p) � f (p0)
35 ;to mówimy, ·ze funkcja f ma w punkcie p0 maksimum [minimum] absolutne � oznaczamyje przez
maxp2D
f (p)
�minp2D
f (p)
�:
11
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Twierdzenie 1.57 (warunek konieczny na istnienie ekstremum lokalnego) Je·zeli funkcjaf ma pochodne cz ¾astkowe w punkcie p0 2 IntD i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to
@f
@xi(p0) = 0; i = 1; :::; n:
Uwaga 1.58
1. Funkcja mo·ze miec ekstremum lokalne w punkcie, w którym nie posiada pochodnychcz ¾astkowych, np. f (x; y) =
px2 + y2.
2. Je·zeli f jest ró·zniczkowalna w p0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to rf (p0) =0 (tzn. p0 jest punktem stacjonarnym).
3. Zerowanie si¾e pochodnych cz ¾astkowych nie wystarcza do tego, ·zeby istnia÷o ekstremumlokalne, np dla funkcji f (x; y) = x2� y2 mamy rf (0; 0) = [0; 0], ale funkcja f nie maekstremum lokalnego w punkcie (0; 0).
Twierdzenie 1.59 (warunek wystraczaj ¾acy na istnienie ekstremum lokalnego) Za÷ó·zmy,·ze f : D ! R, D � R2 jest zbiorem otwarym i f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna w punkciep0 2 D. Je·zeli
1. rf (p0) = 0
2. W (p0) =
���� f 00xx (p0) f 00xy (p0)f 00xy (p0) f 00yy (p0)
���� > 0to funkcja f ma w punkcie p0 ekstremum lokalne w÷asciwe, przy czym jest to
� maksimum lokalne, gdy f 00xx (p0) < 0
� minimum lokalne, gdy f 00xx (p0) > 0
Je·zeli W (p0) < 0, to f nie ma ekstremum w p0. Je·zeli W (p0) = 0, to jest to przypadekw ¾atpliwy, tzn. w zale·znosci od funkcji f mo·ze, ale nie musi byc ekstremum w tym punkcie.
De�nicja 1.60 Niech A 2 Mn;n (R) b ¾edzie macierz ¾a symetryczn ¾a (tzn. AT = A). Form ¾akwadratow ¾a o macierzy A nazywamy odwzorowanie ' : Rn ! R okreslone wzorem
' (h) = hAhT = [h1; :::; hn]
264 a11 ::: a1n...
...an1 ::: ann
375264 h1
...hn
375 = nXi;j=1
aijhihj ;
gdzie A =
264 a11 ::: a1n...
...an1 ::: ann
375 i h = [h1; :::; hn].Przyk÷ad 1.61 Gdy n = 2, A =
�a bb c
�, h = [h1; h2]
' (h) = [h1; h2]
�a bb c
� �h1h2
�= [h1; h2]
�ah1 + bh2bh1 + ch2
�= ah21 + bh1h2 + bh1h2 + ch
22 = ah21 + 2bh1h2 + ch
22:
12
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
W szczególnym przypadku, gdy f : D ! R, D � R2 jest zbiorem otwartym i f jest klasyC2 na D, to dla dowolnego punktu p 2 D otrzymujemy macierz symetryczn ¾a�
f 00xx (p) f 00xy (p)f 00xy (p) f 00yy (p)
�:
Form ¾a kwadratow ¾a wyznaczon ¾a przez t¾e macierz jest
De�nicja 1.62 Mówimy, ·ze forma kwadratowa ' jest dodatnio [ujemnie] okreslona,je·zeli ^
h2Rnnf0g
' (h) > 0
24 ^h2Rnnf0g
' (h) < 0
35 :Mówimy, ·ze ' jest form ¾a kwadratow ¾a nieujemn ¾a [niedodatni ¾a], je·zeli
^h2Rn
' (h) � 0" ^h2Rn
' (h) � 0#:
Przyk÷ad 1.63 Forma ' (h1; h2) = h21 jest form ¾a nieujemn ¾a, ale nie jest dodatnio okreslon ¾a.
De�nicja 1.64 Mówimy, ·ze forma kwadratowa ' jest pó÷okreslona dodatnio, je·zeli jestnieujemna, ale nie jest dodatnio okreslona. Mówimy, ·ze ' jest pó÷okreslona ujemnie,je·zeli jest niedodatnia, ale nie jest ujemnie okreslona. Mówimy, ·ze forma ' jest nieokreslona,gdy ' przyjmuje wartosci dodatnie i ujemne.
Przyk÷ad 1.65 Forma ' (h1; h2) = h21 � h22 jest nieokreslona.
De�nicja 1.66 Niech A 2Mn;n (R). Minorem g÷ównym stopnia k (1 � k � n) macierzyA nazywamy wyznacznik
�k = det
264 a11 ::: a1k...
...ak1 ::: akk
375 :Twierdzenie 1.67 Niech A = [aij ] b ¾edzie macierz ¾a formy kwadratowej ' : Rn ! R. Forma' jest
� dodatnio okreslona wtedy i tylko wtedy, gdyV
k2f1;:::;ng�k > 0;
� ujemnie okreslona wtedy i tylko wtedy,gdyV
k2f1;:::;ng(�1)k �k > 0:
Je·zeli f : D ! R, D � Rn jest zbiorem otwartym i f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna wpunkcie p0 2 D, to mo·zemy okreslic form¾e kwadratow ¾a
' (h) = d2f (p0) (h;h) =nX
i;j=1
f 00xixj (p0)hihj :
13
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Macierz ¾a tej formy jest macierz drugich pochodnych f w punkcie p026664f 00x1x1 (p0) f 00x1x2 (p0) ::: f 00x1xn (p0)f 00x2x1 (p0) f 00x2x2 (p0) ::: f 00x2xn (p0)
Twierdzenie 1.68 (warunek wystarczaj ¾acy na istnienie ekstremum lokalnego) Za÷ó·zmy,·ze f : D ! R, D � Rn jest zbiorem otwartym, f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna w punkcie
p0 2 D i rf (p0) = 0. Je·zeli forma kwadratowa h 7! d2f (p0) (h;h) =nP
i;j=1
f 00xixj (p0)hihj
� jest dodatnio okreslona, to f ma minimum lokalne w p0;
� jest ujemnie okreslona, to f ma maksimum lokalne w p0;
� jest nieokreslona, to f nie ma ekstremum lokalnego w p0.
Je·zeli forma jest pó÷okreslona dodatnio [ujemnie], jest to przypadek w ¾atpliwy.
1.7 Funkcja uwik÷anaDe�nicja 1.69 Niech f : D ! R, D � R2. Za÷ó·zmy, ·ze ' : I ! R (I � R jest przedzia÷em)jest tak ¾a funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, ·ze
1.Vx2I
(x; ' (x)) 2 D;
2.Vx2I
f (x; ' (x)) = 0:
Wówczas funkcj ¾e ' nazywamy funkcj ¾a uwik÷an ¾a okreslon ¾a równaniem (przez rów-nanie) f (x; y) = 0. Oznacza to, ·ze jesli S = f(x; y) 2 D : f (x; y) = 0g, to pewna cz ¾esczbioru S jest wykresem funkcji '.
Twierdzenie 1.70 (o istnieniu funkcji uwi÷anej) Je·zeli f : D ! R jest klasy C1 nazbiorze otwartym D � R2, (x0; y0) 2 D oraz
f (x0; y0) = 0 i f 0y (x0; y0) 6= 0;
to istnieje dok÷adnie jedna funkcja y = ' (x) uwik÷ana przez równanie f (x; y) = 0 okreslonana pewnym przedziale (x0 � �; x0 + �) przy czym ' (x0) = y0, ' jest klasy C1 oraz
'0 (x) = �f0x (x; ' (x))
f 0y (x; ' (x)); x 2 (x0 � �; x0 + �) : (*)
Uwaga 1.71 Równosc (*) otrzymujemy przez zró·zniczkowanie stronami równosci f (x; ' (x)) =0 :
0 = f 0x (x; ' (x)) � x0 + f 0y (x; ' (x)) � '0 (x)= f 0x (x; ' (x)) + f
0y (x; ' (x)) � '0 (x) ;
14
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
w szczególnosci
'0 (x0) = �f 0x (x0; y0)
f 0y (x0;y0);
bo ' (x0) = y0.
Uwaga 1.72 Je·zeli f 0y (x0; y0) = 0, to mo·ze si¾e zdarzyc, ·ze nie zachodzi teza twierdzenia oistnieniu funkcji uwik÷anej.
1. (x0; y0) = (0; 0) i f (x; y) = x2 � y2
� istniej ¾a dwie ró·zne ró·zniczkowalne funkcje uwik÷ane '1 (x) = x oraz '2 (x) = �x;
2. (x0; y0) = (0; 0) i f (x; y) = x2 + y2
� nie istnieje funkcja uwik÷ana okreslona na otoczeniu x0 = 0, bo f(x; y) : f (x; y) =0g = f(0; 0)g;
3. (x0; y0) = (0; 0) i f (x; y) = 0
� w tym przypadku S = f(x; y) : f (x; y) = 0g = R2
Je·zeli funkcja f jest klasy C2, to funkcja uwik÷ana ' jest te·z klasy C2 przy czym namocy (*) mamy
0 = f 0x + f0y'
0:
Ponownie ró·zniczkuj ¾ac stronami otrzymamy
0 = f 00xxx0 + f 00xy'
0x +
�f 00yxx
0 + f 00yy'0�'0 + f 0y'00
0 = f 00xx + 2f00xy'
0 + f 00yy ('0)2+ f 0y'
00
st ¾ad
'00 (x) = � 1
f 0y (x; ' (x))
�f 00xx (x; ' (x)) + 2f
00xy (x; ' (x))'
0 (x) + f 00yy (x; ' (x))'0 (x)
2�:
W szczególnosci
'00 (x0) = �1
f 0 (x0; y0)
�f 00xx (x0; y0) + 2f
00xy (x0; y0)'
0 (x0) + f00 (x0; y0)'
0 (x0)2�
i jesli '0 (x0) = 0, to
'00 (x0) = �f 00xx (x0; y0)
f 0y (x0; y0):
Twierdzenie 1.73 (o ekstremach funkcji uwik÷anej) Niech f : D ! R b ¾edzie funkcj ¾aklasy C2 na zbiorze otwartym D � R2 i niech (x0; y0) 2 D. Je·zeli
1. f (x0; y0) = 0, f 0x (x0; y0) = 0 i f0y (x0; y0) 6= 0;
2. f 00xx (x0; y0) 6= 0;
to funkcja uwik÷ana y = ' (x) ma ekstremum lokalne w punkcie x0, przy czym jest to
� maksimum lokalne, gdy '00 (x0) < 0;
� minimum lokalne, gdy '00 (x0) > 0;
gdzie
'00 (x0) = �f 00xx (x0; y0)
f 0y (x0; y0): (**)
15
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1.8 Pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu > 2. Wzór TayloraDe�nicja 1.74 Niech f : D ! R, D � Rn jest zbiorem otwartym i p0 2 D. Za÷ó·zmy, ·ze dlapewnej liczby naturalnej k w ka·zdym punkcie p 2 D istniej ¾a pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu k�1.Pochodnymi cz ¾astkowymi rz ¾edu k w punkcie p0 nazywamy pochodne cz ¾astkowe pochodnychcz ¾astkowych rz ¾edu k � 1 w punkcie p0.
De�nicja 1.75 Mówimy, ·ze funkcja f jest k-krotnie ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 D,je·zeli istniej ¾a wszystkie pochodne cz ¾astkowe w pewnym otoczeniu punktu p0 i s ¾a ci ¾ag÷e w tympunkcie. Mówimy, ·ze funkcja f jest klasy Ck na zbiorze otwartym D, je·zeli ma wszystkiepochodne cz ¾astkowe rz ¾edu k na D i s ¾a one ci ¾ag÷e.
De�nicja 1.76 Niech f : D ! R, gdzie D � Rn jest zbiorem otwartym, b ¾edzie funkcj ¾ak-krotnie ró·zniczkowaln ¾a w punkcie p0 2 D. Ró·zniczk ¾a rz ¾edu k funkcji f w punkcie p0nazywamy odwzorowanie
dkf (p0) : Rn � :::� Rn| {z }k razy
�! R
dkf (p0)�h1; :::;hk
�=
nXi1;:::;ik=1
@k
@xi1 :::@xikh1i1 � ::: � h
kik;
gdzie hi =�hi1; :::; h
in
�, i = 1; :::; k. Przyjmujemy nast ¾epuj ¾ac ¾a umow ¾e
dkf (p0)h(k) = dkf (p0) (h; :::;h) :
Twierdzenie 1.77 (Taylora) Je·zeli funkcja f : D ! R, gdzie D � Rn jest zbiorem ot-wartym, jest ró·zniczkowalna w ka·zdym punkcie odcinka [p0; p0 + h] � D, to istnieje takaliczba � 2 (0; 1), ·ze
f (p0 + h) = f (p0) + df (p0)h+1
2!d2f (p0)h
(2) + :::
+1
(k � 1)!dk�1f (p0)h
(k�1) +1
k!dkf (p0 + �h)h
(k):
Twierdzenie 1.78 (o ca÷ce zale·znej od parametru) Za÷ó·zmy, ·ze funkcja F : [a; b] �[�; �]! R jest ci ¾ag÷a. Wówczas funkcja
f : [�; �]! R
f (x) =
bZa
F (t; x) dt
jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a na przedziale [�; �]. Je·zeli F ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a @F@x , to wów-
czas f jest ró·zniczkowalna i
f 0 (x) =
bZa
@F
@x(t; x) dt:
Przyk÷ad 1.79 Niech f (x) =�2R0
ex sin tdt. Wówczas
f 0 (x) =
Z �2
0
sin tex sin tdt:
16
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1.9 Ca÷ka podwójnaDe�nicja 1.80 Przedzia÷em 2-wymiarowym nazywamy zbiór P postaci
P = [a1; b1]� [a2; b2] ; ai < bi; i = 1; 2:
Obj ¾etosci ¾a 2-wymiarow ¾a przedzia÷u P nazywamy liczb ¾e jP j zde�niowan ¾a jako
Zbiór wszystkich podzia÷ów przedzia÷u P oznaczamy przez P (P ).
De�nicja 1.82 Wartosciowaniem podzia÷u � = fP1; :::; Pmg nazywamy zbiór T = fp1; :::; pmgtaki, ·ze pi 2 Pi, i = 1; :::;m. Zbiór wszystkich wartosciowan podzia÷u � oznaczamy przezT (�).
De�nicja 1.83 Niech f : P ! R, gdzie P jest przedzia÷em 2-wymiarowym, � = fP1; :::; Pmg 2P (P ), T 2 T (�). Sum ¾a Riemanna dla funkcji f , podzia÷u � i wartosciowania T nazy-wamy liczb ¾e
� (f; �; T ) =mXi=1
f (pi) jPij :
De�nicja 1.84 Liczb ¾e � (f) nazywamy ca÷k ¾a Riemanna funkcji f : P ! R na przedzialeP , je·zeli ^
">0
_�>0
^�2P(P )
0@� (�) < � )^
T2T (�)
j� (f; �; T )� � (f)j < "
1A :
Liczb ¾e � (f) b ¾edziemy dalej oznaczac przez
� (f) =
ZZP
f (x; y) dxdy
i nazywac ca÷k ¾a podwójn ¾a z funkcji f na przedziale P . Mówimy, ·ze funkcja f jest ca÷kowalnana przedziale P .
De�nicja 1.85 Ci ¾ag podzia÷ów (�k)k2N nazywamy normalnym, je·zeli limk!1
� (�k) = 0.
17
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Twierdzenie 1.86 Funkcja f : P ! R jest ca÷kowalna na przedziale P iRRP
f jest ca÷k ¾a
Riemanna f na P wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego normalnego ci ¾agu podzia÷ów (�k)i ci ¾agu wartosciowan (Tk), Tk 2 T (�k),
limk!1
� (f; �k; Pk) =
ZZP
f:
Twierdzenie 1.87 (warunek wystarczaj ¾acy ca÷kowalnosci) Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a f :P ! R okreslona na przedziale P jest ca÷kowalna.
Interpretacja geometryczna ca÷ki podwójnej.Je·zeli f : P ! R jest funkcj ¾a nieujemn ¾a okreslon ¾a na przedziale P , to ca÷ka
RRP
f jest
równa obj¾etosci obszaru
V = f(x; y; z) 2 R3 : (x; y) 2 P ^ 0 � z � f (x; y)g:
Twierdzenie 1.88 (Fubiniego) Je·zeli P = [a; b] � [c; d], f : P ! R jest ca÷kowalna orazdla ka·zdego x 2 [a; b] istnieje ca÷ka oznaczona
f1 (x) =
dZc
f (x; y) dy
(dla ka·zdego y 2 [c; d] istnieje ca÷ka f2 (y) =bRa
f (x; y) dx), to
ZZf (x; y) dxdy =
bZa
0@ dZc
f (x; y) dy
1A dx
0@ZZP
f (x; y) dxdy =
dZc
0@ bZa
f (x; y) dx
1A dy
1A :
Uwaga 1.89 1. Za÷o·zenie ca÷kowalnosci funkcji f i istnienie ca÷ek f1 (x) (f2 (y)) s ¾a nieza-le·zne od siebie.
2. Je·zeli f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, to f jest ca÷kowalna oraz istniej ¾a ca÷ki f1 i f2 � za÷o·zeniatwierdzenia s ¾a wi¾ec automatycznie spe÷nione.
3. Je·zeli f (x) = g1 (x) � g2 (y) i funkcje g1, g2 s ¾a ci ¾ag÷e, toZZP
f (x; y) dxdy =
Z b
a
g1 (x) dx �Z d
c
g2 (y) dy
De�nicja 1.90 Niech D � R2 b ¾edzie zbiorem ograniczonym, f : D ! R. Mówimy, ·zefunkcja f jest ca÷kowalna (w sensie Riemanna) na zbiorze D, je·zeli istnieje przedzia÷P � Dtaki, ·ze funkcja
�f (x) =
�f (x) ; x 2 D0; x 2 P nD
18
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
jest ca÷kowalna na P . Przyjmujemy wtedyZZD
fdef=
ZZP
�f:
De�nicja 1.91 Niech D � R2, P b ¾edzie takim przedzia÷em, ·ze D � P oraz � 2 P (P ).Przyjmijmy
� wewn ¾etrzn ¾a miar ¾a Jordana zbioru D.Mówimy, ·ze zbiór D jest mierzalny w sensie Jordana, je·zeli Z (D) =W (D). Wówczas
liczb ¾ejDj = Z (D) =W (D)
nazywamy (2-wymiarow ¾a) miar ¾a Jordana zbioru D.
Mo·zna wykazac, ·ze przedzia÷y 2-wymiarowe s ¾a mierzalne w sensie Jordana; miara Jor-dana przedzia÷u P jest równa jP j (zwyk÷a"miara P ).
De�nicja 1.92 Mówimy, ·ze zbiór D � R2 ma 2-wymiarow ¾a miar ¾e Jordana równ ¾a zero,je·zeli Z (D) = 0.
Twierdzenie 1.93 Je·zeli funkcja f : [a; b]! R jest ci ¾ag÷a, to wykres funkcji f
f(x; f (x)) : x 2 [a; b]g
ma 2-wymiarow ¾a miar ¾e Jordana równ ¾a zero.
Twierdzenie 1.94 Ograniczony podzbiór D � R2 jest mierzalny w sensie Jordana, je·zelibrzeg zbioru D ma 2-wymiarow ¾a miar ¾e równ ¾a zero.
De�nicja 1.95 Ograniczony obszar D � R2 nazywamy regularnym, je·zeli jego brzeg jestsum ¾a skonczonej ilosci wykresów funkcji ci ¾ag÷ych.
Wniosek 1.96 Je·zeli D � R2 jest regularny, to jest mierzalny w sensie Jordana.
Twierdzenie 1.97 (warunek konieczny ca÷kowalnosci) Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalnana domkni ¾etym regularnym obszarze D, to jest ograniczona na D.
Twierdzenie 1.98 (warunek wystarczaj ¾acy ca÷kowalnosci) Je·zeli funkcja f
� jest ci ¾ag÷a na domkni ¾etym obszarze regularnym D;
19
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
lub
� jest ograniczona na domkni ¾etym obszarze regularnym D i jest ci ¾ag÷a poza skonczon ¾ailosci ¾a wykresów funkcji ci ¾ag÷ych,
to jest ca÷kowalna.
Twierdzenie 1.99 (w÷asnosci ca÷ki podwójnej) Za÷ó·zmy, ·ze D jest domkni ¾etym obszaremregularnym.
1. Je·zeli f; g : D ! R s ¾a ca÷kowalne na D, to funkcja �f + �g jest ca÷kowalna na D(�; � 2 R) oraz ZZ
D
(�f + �g) dxdy = �
ZZD
fdxdy + �
ZZD
gdxdy:
2. Je·zeli f; g : D ! R s ¾a ca÷kowalne na D orazV
(x;y)2Df (x; y) � g (x; y), to
ZZD
fdxdy �ZZD
gdxdy:
3. Je·zeli f : D ! R jest ca÷kowalna, to jf j jest te·z ca÷kowalna, przy czym������ZZD
fdxdy
������ �ZZD
jf j dxdy:
4. Je·zeli f : D ! R jest ca÷kowalna orazV
(x;y)2Dm � f (x; y) �M , to
m jDj �ZZD
fdxdy �M jDj :
5. Je·zeli f; g : D ! R ró·zni ¾a si ¾e na zbiorze miary zero, to f jest ca÷kowalna wtedy i tylkowtedy, gdy g jest ca÷kowalna; wówczasZZ
D
fdxdy =
ZZD
gdxdy:
6. Je·zeli D = D1 [D2, IntD1 \ IntD2 = ;, zbiory D1 i D2 s ¾a domkni ¾etymi obszaramiregularnymi oraz f : D ! R jest ca÷kowalna, to f jest ca÷kowalna na D1 i D2 przyczym ZZ
D
fdxdy =
ZZD1
fdxdy +
ZZD2
fdxdy:
7. Je·zeli funkcja f : D ! R jest ci ¾ag÷a, to istnieje taki punkt (x0; y0) 2 D, ·zeZZD
fdxdy = f (x0; y0) jDj :
20
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1.9.1 Zamiana ca÷ki podwójnej na ca÷k¾e iterowan ¾a
De�nicja 1.100 Obszar domkni ¾ety D nazywamy normalnym wzgl ¾edem osi OX, je·zeli
D = f(x; y) : a � x � b ^ g (x) � y � h (x)g;
gdzie g; h : [a; b] ! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi takimi, ·zeV
x2(a;b)g (x) < h (x). Mówimy, ·ze D
jest normalny wzgl ¾edem osi OY , je·zeli
D = f(x; y) : � � y � � ^^
y2[�;�]
' (y) � x � (y)g;
gdzie '; : [�; �]! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi takimi, ·zeV
y2(�;�)' (y) < (y) :
Uwaga 1.101 Obszary normalne s ¾a regularne.
Twierdzenie 1.102 (o zamianie ca÷ki podwójnej na iterowan ¾a) Za÷ó·zmy, ·ze f : D !R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a. Je·zeli D jest obszarem normalnym wzgl ¾edem osi OX
D = f(x; y) : a � x � b ^ g (x) � y � h (x)g;
to ZZD
f (x; y) dxdy =
bZa
0B@ h(x)Zg(x)
f (x; y) dy
1CA dx:
Je·zeli D jest obszarem normalnym wzgl ¾edem osi OY
D = f(x; y) : � � y � � ^ ' (y) � x � (y)g;
to ZZD
f (x; y) dxdy =
�Z�
0B@ (y)Z'(y)
f (x; y) dx
1CA dy:
1.9.2 Zamiana zmiennych w ca÷ce podwójnej
De�nicja 1.103 Za÷ó·zmy, ·ze dana jest funkcja F (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)), gdzie x; y :D ! R s ¾a klasy C1 na zbiorze otwartym D � R2. Jakobianem przekszta÷cenia F wpunkcie (u; v) 2 D nazywamy liczb ¾e
J (u; v) =
���� @x@u (u; v)
@x@v (u; v)
@y@u (u; v)
@y@v (u; v)
���� :Przyk÷ad 1.104 1. F (u; v) = (au+ bv; cu+ dv), gdzie (u; v) 2 R2 i a; b; c; d s ¾a ustalonymi
liczbami rzeczywistymi. Wtedy
J (u; v) = ad� bc:
2. F (u; v) =�p
uv ;puv�, u; v 2 (1; 2). Wtedy
J (u; v) =1
2v:
21
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
3. F (r; ') = (r cos'; r sin'). Wtedy
J (r; ') = r:
Twierdzenie 1.105 (o zamianie zmiennych w ca÷ce podwójnej) Je·zeli
1. F (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)) przekszta÷ca wzajemnie jednoznacznie wn ¾etrze domkni ¾etegoobszaru regularnego � � R2 na wn ¾etrze domkni ¾etego obszaru regularnego D � R2;
2. funkcje x i y s ¾a klasy C1 na pewnym zbiorze otwartym U takim, ·ze � � U
3. funkcja f : D ! R jest ci ¾ag÷a
4. jakobian J (u; v) odwzorowania F jest ró·zny od zera dla ka·zdego (u; v) 2 Int�,
to ZZD
f (x; y) dxdy =
ZZ�
f (x (u; v) ; y (u; v)) jJ (u; v)j dudv:
De�nicja 1.106 P÷atem powierzchniowym nazywamy zbiór
S = f(x; y; z) : (x; y) 2 D ^ z = f (x; y)g;
gdzie D � R2 jest obszarem domkni ¾etym i f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a.
Twierdzenie 1.107 Je·zeli D jest domkni ¾etym obszarem regularnym i f jest klasy C1 nazbiorze D (tzn. jest klasy C1 na pewnym zbiorze otwartym U takim, ·ze D � U), to polepowierzchni p÷ata S jest równe
jSj =ZZD
q1 + (f 0x)
2+�f 0y�2dxdy:
Twierdzenie 1.108 Je·zeli
V = f(x; y; z) : (x; y) 2 D ^ f1 (x; y) � z � f2 (x; y)g;
gdzie f1; f2 : D ! R s ¾a ci ¾ag÷e na domkni ¾etym obszarze regularnym D � R2 orazV
(x;y)2Df1 (x; y) �
f2 (x; y), to obj ¾etosc jV j zbioru V jest równa
jV j =ZZD
(f2 (x; y)� f1 (x; y)) dxdy:
1.10 Ca÷ka potrójnaPrzedzia÷em 3-wymiarowym nazwyamy zbiór
P = [a1; b1]� [a2; b2]� [a3; b3] ; ai < bi; i = 1; 2; 3;
obj¾etosci ¾a P nazywamy liczb¾e
jP j = (b1 � a1) � (b2 � a2) � (b3 � a3) ;
22
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
zas srednic ¾a � liczb¾e
diam (P ) =
q(a1 � b1)2 + (a2 � b2)2 + (a3 � b3)2:
Podobnie jak w pryzpadku 2-wymiarowym de�niujemy poj¾ecie podzia÷u przedzia÷u P , wartos-ciowania podzia÷u, sumy i ca÷ki Riemanna dla funkcji f : P ! R, ca÷ki z funkcji f : V ! P ,gdzie V jest zbiorem ograniczonym. Ca÷k¾e z f : V ! R, gdzie V � R3 jest zbiorem ogranic-zonym, nazywamy ca÷k ¾a potrójn ¾a z funkcji f na V i oznaczamy symbolemZZZ
V
f (x; y; z) dxdydz:
U·zywaj ¾ac poj¾ecia 3-wymiarowych przedzia÷ów de�niujemy 3-wymiarow ¾a miar¾e Jordanaograniczonego zbioru V � R3; oznaczamy j ¾a przez jV j.
De�nicja 1.109 Ograniczony obszar V � R3 nazywamy regularnym, je·zeli jego brzeg jestsum ¾a skonczonej ilosci p÷atów powierzchniowych.
Interpretacja ca÷ki potrójnej: je·zeli V jest obszarem regularnym, to
�RRRV
1dxdydz = jV j
� je·zeli � (x; y; z) jest g¾estosci ¾a w punkcie (x; y; z) 2 V , to masa V jest równa
m =
ZZZV
� (x; y; z) dxdydz:
De�nicja 1.110 Domkni ¾ety i ograniczony obszar V � R3 nazywamy normalnym wzgl ¾edemp÷aszczyzny OXY , je·zeli
V = f(x; y; z) : (x; y) 2 D ^ g (x; y) � z � h (x; y)g;
gdzie D � R2 jest domkni ¾etym obszarem regularnym oraz g; h : D ! R s ¾a funkcjamici ¾ag÷ymi, przy czym
V(x;y)2IntD
g (x; y) < h (x; y).
Twierdzenie 1.111 Je·zeli funkcja f : V ! R jest ci ¾ag÷a na domkni ¾etym obszarze V normalnymwzgl ¾edem p÷aszczyzny OXY , to przy powy·zszych oznaczeniach
ZZZV
f (x; y; z) dxdydz =
ZZD
0B@ h(x;y)Zg(x;y)
f (x; y; z) dz
1CA dxdy:
De�nicja 1.112 Niech F (u; v; w) = (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)), gdzie (u; v; w) 2 i jest zbiorem otwartym. Je·zeli funkcje x; y; z s ¾a ró·zniczkowalne na D, to jakobianem Fnazywamy funkcj ¾e
J (u; v; w) =
������x0u x0v x0wy0u y0v y0wz0u z0v z0w
������ :Przyk÷ad 1.113
23
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
� wspó÷rz¾edne walcowe 8<: x = r cos'y = r sin'z = h
wtedy
J (r; '; h) =
������cos' �r sin' 0sin' r cos' 00 0 1
������ = r cos2 '+ r sin2 ' = r;
� wspó÷rz¾edne sferyczne 8<: x = r cos' cos �y = r sin' cos �z = r sin �
wtedy
J (r; '; �) =
������cos' cos � �r sin' cos � �r cos' sin �sin' cos � r cos' cos � �r sin' sin �sin � 0 r cos �
������ = r2 cos �:
Twierdzenie 1.114 (o zamianie zmiennych w ca÷ce potrójnej) Je·zeli
F (u; v; w) = (x (u; v; w; ) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w))
1. przekszta÷ca wzajemnie jednoznacznie wn ¾etrze domkni ¾etego obszaru regularnego �R3 na wn ¾etrze domkni ¾etego obszaru regularnego V � R3
f (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)) � jJ (u; v; w)j dudvdw
2 Równania ró·zniczkowe zwyczajne
2.1 Równania ró·zniczkowe zwyczajne rz ¾edu pierwszegoNiech � R�R� R b¾edzie zbiorem otwartym i F : ! R b¾edzie tak ¾a funkcj ¾a, ·ze pochodnaF wzgl¾edem ostatniej zmiennej nie jest to·zsamosciowo równa zero.
De�nicja 2.1 RównanieF (x; y; y0) = 0; (2.1)
w którym niewiadom ¾a jest pewna funkcja y zmiennej x okreslona na pewnym przedziale ot-wartym I � R, nazywamy równaniem ró·zniczkowym zwyczajnym rz ¾edu pierwszego.
24
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
De�nicja 2.2 Rozwi ¾azaniem szczególnym (ca÷k ¾a szczególn ¾a) równania (2.1) nazy-wamy ka·zd ¾a funkcj ¾e ' : I ! R okreslon ¾a na przedziale otwartym (ograniczonym lub nie)tak ¾a, ·ze
De�nicja 2.3 Zbiór wszystkich rozwi ¾azan szczególnym równania (2.1) nazywamy rozwi ¾azaniemogólnym (ca÷k ¾a ogóln ¾a) tego równania.
De�nicja 2.4 Niech ' : I ! R oraz : J ! R b ¾ed ¾a rozwi ¾azaniami równania (2.1) takimi,·ze I � J oraz
^x2I
' (x) = (x). Wówczas nazywamy przed÷u·zeniem rozwi ¾azania '
(' nazywamy zaw ¾e·zeniem ). Je·zeli I 6= J , to nazywamy przed÷u·zeniem w÷asciwym.Rozwi ¾azanie nazywamy globalnym, je·zeli nie istnieje jego w÷asciwe przed÷u·zenie.
De�nicja 2.5 Równanie ró·zniczkowe zapisane w postaci
y0 = f (x; y) ; (2.2)
gdzie f : D ! R, D � R2 jest znan ¾a funkcj ¾a dwóch zmiennych, nazywamy normalnym.Postac (2.2) nazywamy postaci ¾a normaln ¾a równania ró·zniczkowego zwyczajnego rz ¾edu I.
Funkcja ' : I ! R jest wi¾ec rozwi ¾azaniem równania (2.2), gdy
1. ' jest ró·zniczkowalna na I;
2. f(x; ' (x)) : x 2 Ig � D;
3.^x2I
'0 (x) = f (x; ' (x)) :
De�nicja 2.6 Niech (x0; y0) 2 D. Zadanie polegaj ¾ace na znalezieniu rozwi ¾azania szczegól-nego ' równania (2.2) spe÷niaj ¾acego warunek ' (x0) = y0 nazywamy zagadnieniem pocz ¾atkowymlub zagadnieniem Cauchy�ego dla równania (2.2).
Geometrycznie sprowadza si¾e do znalezienia krzywej ca÷kowej równania (2.2) przechodz ¾acejprzez z góry zadany punkt (x0; y0).
De�nicja 2.7 Rozwi ¾azanie szczególne równia (2.1) (lub (2.2)) nazywamy
� regularnym, je·zeli przez ·zaden punkt krzywej ca÷kowej wyznaczonej przez to rozwi ¾azanienie przechodzi ·zadna inna krzywa ca÷kowa tego równania
� osobliwym, je·zeli przez ka·zdy punkt krzywej ca÷kowej wyznaczonej przez to rozwi ¾azanieprzechodzi co najmniej jedna inna krzywa ca÷kowa
25
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
Twierdzenie 2.8 (Peano) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na obszarze D � R2, to przez ka·zdypunkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa ca÷kowa równania
y0 = f (x; y) :
Twierdzenie 2.9 (Cauchy�ego) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a i ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a f 0y naobszarze D � R2, to przez ka·zdy punkt tego obszaru przechodzi dok÷adnie jedna krzywaca÷kowa równania y0 = f (x; y).
2.1.1 Równanie o zmiennych rozdzielonych
De�nicja 2.10 Równaniem ró·zniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy rów-nanie postaci
y0 = f (x) g (y) ; (2.3)
gdzie f : (a; b)! R i g : (c; d)! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi. Niech D = (a; b)� (c; d) :
Przypadek (i)^
y2(c;d)
g (y) 6= 0:
Twierdzenie 2.11 Ka·zde rozwi ¾azanie ' równania (2.3) w prostok ¾acie D jest okreslonewzorem
' (x) = ��1 (� (x) + C) ; x 2 (�; �) � (a; b) ; (2.4)
gdzie � jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji 1g , � jest funkcj ¾a pierwotn ¾a f . ��1 oznacza funkcj ¾e
odwrotn ¾a do � oraz C jest tak ¾a sta÷¾a, ·ze^
x2(�;�)
� (x) + C nale·zy do dziedziny funkcji ��1.
W tym przypadku zagadnienie Cauchy�ego y (x0) = y0 ma dok÷adnie jedno rozwi ¾azanie:
y0 = ��1 (� (x0) + C)
i st ¾ad' (x) = ��1 (� (x) + � (y0)� � (x0)) :
Przypadek (ii) Funkcja g posiada miejsca zerowe w przedziale (c; d).
Za÷ó·zmy, ·ze y1 2 (c; d) jest miejscem zerowym funkcji g : g (y1) = 0. Niech '1 (x) = y1(funkcja sta÷a). ×atwo widac, ·ze jest to rozwi ¾azanie szczególne równania (2.3).Je·zeli y1; :::; yk s ¾a miejscami zerowymi funkcji g, yi 2 (c; d), i = 1; :::; k, to dziel ¾ac zbiór
D na zbiory(a; b)� (c; y1) ; (a; b)� (y1; y2) ; :::; (a; b)� (yk; d)
mo·zemy na ka·zdym z nich znalezc rozwi ¾azanie równania (2.3) wyra·zone wzorem (2.4). Pon-adto funkcje sta÷e 'k (x) = yi, i = 1; :::; k s ¾a rozwi ¾azaniami szczególnymi równania (2.3).
De�nicja 2.12 Niech f : (a; b)! R b ¾edzie funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a. Równanie ró·zniczkowe postaci
y0 = f�yx
�(2.5)
nazywamy równaniem jednorodnym wzgl ¾edem x i y.
26
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
Niech
D1 = f(x; y) : a <y
x< b ^ x > 0g; D2 = f(x; y) : a <
y
x< b ^ x < 0g:
Poszukujemy krzywych ca÷kowych równania (2.5) w zbiorze D = D1 [D2.
Twierdzenie 2.13 Funkcja ' : (�; �)! R jest rozwi ¾azaniem równania (2.5) wtedy i tylkowtedy, gdy u (x) = '(x)
x jest rozwi ¾azaniem równania o zmiennych rozdzielonych
u0 =f (u)� u
x:
2.1.2 Równanie liniowe pierwszego rz ¾edu i równanie Bernoullego
Niech p; q : (a; b)! R b¾ed ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.
De�nicja 2.14 Równaniem liniowym pierwszego rz ¾edu nazywmy równanie postaci
Twierdzenie 2.15 Zbiór rozwi ¾azan równania jednorodnego (2.7) jest podprzestrzni ¾a lin-iow ¾a o wymiarze jeden przestrzeni C0 ((a; b)) (zbiór funkcji ci ¾ag÷ych na przedziale (a; b)).Je·zeli P : (a; b)! R jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji p, to funkcja
�' (x) = e�P (x); x (a; b)
jest baz ¾a tej przestrzeni.
Wniosek 2.16 Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania jednorodnego (2.7) jest zbiór funkcji '0 (x) = Ce�P (x),gdzie P jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji p i C jest dowoln ¾a sta÷¾a.
Uwaga 2.17 1. Je·zeli '1 i '2 s ¾a rozwi ¾azaniami równania niejednorodnego (2.6), to '1�'2 jest rozwi ¾azaniem równania jednorodnego (2.7).
2. Je·zeli 's jest rozwi ¾azaniem równani niejednorodnego (2.6) i '0 jest rozwi ¾azaniemrównania jednorodnego (2.7), to 's + '0 jest rozwi ¾azniem równania (2.6).
Wniosek 2.18 Rozwi ¾azaniem ogólnym równania liniowego (2.6) jest klasa funkcji
's + '0;
gdzie 's jest ca÷k ¾a szczególn ¾a równania (2.6) i '0 jest ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.7).
Metody poszukiwania ca÷ki szczególnej
27
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
� metoda Lagrange�a (uzmienniania/wariacji sta÷ej)Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.7) jest klasa funkcji '0 (x) = e�P (x), gdzie P jest jak ¾akolwiekfunkcj ¾a pierwotn ¾a f-cji p. Poszukujemy ca÷ki szczególnej w postaci
's (x) = C (x) e�P (x) (2.8)
(w miejscu sta÷ej C pojawi÷a si¾e nieznana funkcja zmiennej x). Skoro 's ma byc ca÷k ¾aszczególn ¾a równania niejednorodnego (2.6), to
C 0 (x) = q (x) eP (x)
i st ¾ad
C (x) =
Zq (x) eP (x)dx:
Przyk÷ad.y0 + y cosx = e� sin x:
� metoda przewidywanJe·zeli fukcja p jest sta÷a, p (x) = p 2 R, x 2 (a; b), to rozwi ¾azaniem ogólnym równaniajednorodnego (2.7) s ¾a funkcje postaci '0 (x) = Ce�px; C 2 R. Je·zeli dodatkowofunkcja q jest postaci
q (x) = e�x (Wn (x) cos�x+ Vm (x) sin�x) ;
gdzie
Wn, Vm s ¾a wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m
�; � � pewne sta÷e,
to istnieje rozwi ¾azanie szczególne równania (2.6) postaci
's (x) = xke�x (Rl (x) cos�x+ Sl (x) sin�x) ;
gdzie
Rl, Sl s ¾a wielomianami zmiennej x stopnia l = maxfm;ng
k =
�0; �+ i� 6= �p1; �+ i� = p
:
Twierdzenie 2.19 Je·zeli 'i : (a; b) ! R jest rozwi ¾azaniem równania y0 + p (x) y = qi (x),
i = 1; :::; n, to ' (x) =nPi=1
'i (x) jest rozwi ¾azaniem równania
y0 + p (x) y =
nXi=1
qi (x) :
De�nicja 2.20 Równaniem ró·zniczkowym Bernoullego nazywamy równanie postaci
y0 + p (x) y = q (x) yr; r 6= 0 ^ r 6= 1;
gdzie p; q : (a; b)! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.
Równanie Bernoullego mo·zna sprowadzic do równania liniowego za pomoc ¾a podstawienia
gdzie F : ! R, � R jest zbiorem otwartym i pochodna F wzgl ¾edem ostatniej zmiennejnie jest to·zsamosciowo równa zero oraz y jest niewiadom ¾a funkcj ¾a zmiennej x okreslon ¾a napewnym przedziale otwartym.
De�nicja 2.22 Odwzorowanie ' : I ! R nazywamy rozwi ¾azaniem równania (2.9), je·zeli
1. ' jest funkcj ¾a dwukrotanie ró·zniczkowaln ¾a na I;
Podobnie jak w przypadku równania liniowego rz¾edu pierwszego wykazuje si¾e, ·ze
� je·zeli '1 i '2 s ¾a rozwi ¾azaniami szczególnymi równania niejednorodnego (2.11), to '1�'2 jest rozwi ¾azaniem równania (2.12);
29
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
� je·zeli ' jest rozwi ¾azaniem szczególnym równania (2.12) i jest rozwi ¾azaniem równania(2.11), to '+ jest rozwi ¾azniem równania (2.11).
Wniosek 2.26 Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.11) jest rodzina funkcji postaci
'0 + 's;
gdzie '0 oznacza ca÷k ¾e ogóln ¾a równania jednorodnego (2.12) i 's � ca÷k ¾e szczególn ¾a równa-nia niejednorodnego (2.11).
De�nicja 2.27 Mówimy, ·ze funkcje '1; '2 : (a; b)! R s ¾a liniowo zale·zne, je·zeli istniej ¾asta÷e C1; C2 takie, ·ze C21 + C
22 6= 0 oraz C1'1 + C2'2 = 0, tzn.^x2(a;b)
C1'1 (x) + C2'2 (x) = 0:
Mówimy, ·ze '1 i '2 s ¾a liniowo niezale·zne, gdy nie s ¾a liniowo zale·zne.
Twierdzenie 2.28 Zbiór rozwi ¾azan równania jednorodnego (2.12) jest podprzestrzeni ¾a wymi-aru 2 przestrzeni C ((a; b)). Ka·zd ¾a baz ¾e tej przestrzeni nazywamy uk÷adem podstawowymca÷ek (fundamentalnym uk÷adem rozwi ¾azan). Rozwi ¾azania '1 i '2 tworz ¾a baz ¾e tejprzestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy s ¾a liniowo niezale·zne. Wtedy ka·zde rozwi ¾azanie ' mo·znazapisac w postaci
' = C1'1 + C2'2;
gdzie C1 i C2 s ¾a jednoznacznie wyznaczonymi sta÷ymi.
Twierdzenie 2.29 Ca÷ki '1 i '2 równania (2.12) s ¾a liniowo niezale·zne wtedy i tylko wtedy,gdy ^
x2(a;b)
W (x) =
���� '1 (x) '2 (x)'01 (x) '02 (x)
���� 6= 0:Wyznacznik W (x) nazywamy wronskianem (wyznacznikiem Wronskiego).
Wniosek 2.30 Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.11) jest zbiór funkcji postaci
' (x) = C1'1 (x) + C2'2 (x) + 's (x) ;
gdzie '1 i '2 jest uk÷adem podstawowym ca÷ek równania (2.12), C1; C2 s ¾a dowolnymi sta÷ymioraz 's jest dowoln ¾a ca÷k ¾a szczególn ¾a równania niejednorodnego (2.11).
Twierdzenie 2.31 Je·zeli '1 : (a; b) ! R jest rozwi ¾azaniem równania jednorodnego (2.12)i '1 (x) 6= 0 dla x 2 (a; b), to
'2 (x) = '1 (x)
Z1
'21 (x)e�P (x)dx;
gdzie P (x) jest dowoln ¾a funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji p na (a; b), jest rozwi ¾azaniem równaniajednorodnego (2.12), przy czym '1 i '2 s ¾a liniowo niezale·zne.
Metody poszukiwania ca÷ki szczególnej
30
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
� metoda Lagrange�a (uzmienniania sta÷ych)Za÷ó·zmy, ·ze '1 i '2 s ¾a liniowo niezale·znymi rozwi ¾azaniami równania jednorodnego(2.12). Poszukujemy rozwi ¾azania szczególnego równania (2.11) w postaci
's (x) = C1 (x)'1 (x) + C2 (x)'2 (x) ;
gdzie C1 i C2 s ¾a pewnymi funkcjami ró·zniczkowalnymi na przedziale (a; b). Te niewiadomefunkcje mo·zna wyznaczyc przez rozwi ¾azanie uk÷adu równan�
C 01 (x)'1 (x) + C02 (x)'2 (x) = 0
C 01 (x)'01 (x) + C
02 (x)'
02 (x) = f (x)
:
Zauwa·zmy, ·ze wyznacznikiem tego liniowego uk÷adu równan jest
W (x) =
���� '1 (x) '2 (x)'01 (x) '02 (x)
���� :� metoda przewidywanZa÷ó·zmy, ·ze funkcje p i q w równaniu (2.11) s ¾a sta÷e; otrzymujemy wtedy
�� > 0 � wtedy równanie charakterystyczne ma dwa ró·zne pierwiastki r1, r2;niech
'1 (x) = er1x; '2 (x) = er2x;
�� = 0 � wtedy równanie (2.14) ma jeden podwójny pierwiastek r0; niech
'1 (x) = er0x; '2 (x) = xer0x;
�� < 0 � wtedy równanie (2.14) ma dwa pierwiastki zespolone sprz¾e·zone r =�� i�, �; � 2 R; niech
'1 (x) = e�x cos�x; '2 (x) = e�x sin�x:
W ka·zdym z tych trzech przypadków funkcje '1 i '2 tworz ¾a fundamentalny uk÷adrozwi ¾azan równania (2.13). Je·zeli w równaniu o sta÷ych wspó÷czynnikach
y00 + py0 + qy = f (x) (2.15)
funkcja f jest postaci
f (x) = e�x (Wn (x) cos�x+ Vn (x) sin�x) ;
gdzie �; � 2 R i Wn, Vm s ¾a wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m, toistnieje rozwi ¾azanie szczególne równania (2.15) postaci
's (x) = xke�x (Rl (x) cos�x+ Sl (x) sin�x) ;
gdzieRl, Sl s ¾a wielomianami stopnia l = maxfm;ng oraz k 2 f0; 1; 2g oznacza krotnoscpierwiastka �+ i� równania charakterystycznego r2 + pr + q = 0:
31
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
2.3 Transformata Laplace�aDe�nicja 2.32 Funkcj ¾a zespolon ¾a zmiennej rzeczywistej nazywamy dowolne odwzorowanief : I ! C, gdzie I � R jest przedzia÷em.
Niechu (t) = Re (f (t)) ; v (t) = Im (f (t)) :
Wówczas u; v s ¾a funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej oraz
f (t) = u (t) + iv (t) :
Mówimy, ·ze f jest ci ¾ag÷a (ró·zniczkowalna) w punkcie t0, gdy funkcje u oraz v s ¾a ci ¾ag÷e(ró·zniczkowalne) w t0.
Przyk÷ad 2.36 Wyznaczyc transformat¾e Laplace�a funkcji
� f (t) = e2t � e�t
L�e2t � e�t
�= L
�e2t � 1
�� L
�e�t � 1
�= L [1] (s� 2)� L [1] (s+ 1)
=1
s� 2 �1
s+ 1
� f (t) = 1� e3t + cos t
L�1� e3t + cos t
�= L [1]� L
�e3t � 1
�+ L [cos t]
=1
s� 1
s� 3 +s
s2 + 1
� f (t) = 12 (sin t+ t cos t)
L [f ] =1
2(L [sin t] + L [t cos t])
=1
2
1
s2 + 1+
s2 � 1(s2 + 1)
2
!=1
2
s2 + 1 + s2 � 1(s2 + 1)
2 =s2
(s2 + 1)2
Przyk÷ad 2.37 Wyznaczyc orygina÷
1. � (s) = 1(s�1)(s�2)(s+3)
Rozk÷adamy � (s) na u÷amki proste
1
(s� 1) (s� 2) (s+ 3) =1
5 (s� 2) �1
4 (s� 1) +1
20 (s+ 3)
i st ¾ad orygina÷em jest
f (t) = L�1 [�] = L�1�
1
5 (s� 2) �1
4 (s� 1) +1
20 (s+ 3)
�=
1
5e2t � 1
4et +
1
20e�3t:
2. � (s) = 1(s2+4)s
1
(s2 + 4) s=1
4s� 14
s
s2 + 4
33
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
i st ¾ad
f (t) = L�1 [�] = L�1�1
4s� 14
s
s2 + 4
�=
1
4L�1
�1
s
�� 14L�1
�s
s2 + 4
�=
1
4� 14cos 2t:
3. � (s) = s+1(s�1)2+3
f (t) = L�1 [�] = L�1
"s+ 1
(s� 1)2 + 3
#
= L�1
"s� 1
(s� 1)2 + 3+
2
(s� 1)2 + 3
#
= L�1
"s� 1
(s� 1)2 + 3
#+ 2L�1
"1
(s� 1)2 + 3
#= et cos
p3t+ 2et sin
p3t:
De�nicja 2.38 Równaniem ró·zniczkowym liniowym stopnia n o sta÷ych wspó÷czynnikachnazywamy równanie postaci
y(n) + pn�1y(n�1) + :::+ p1y
0 + p0y = f (t) ; (2.16)
gdzie f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a na pewnym przedziale otwartym, pi 2 R, i = 0; :::; n� 1.
Zak÷adamy dalej, ·ze funkcja f oraz szukane rozwi ¾azanie y wraz z pochodnymi do rz¾edun s ¾a orygina÷ami. Poszukujemy takiego rozwi ¾azania szczególnego y, które spe÷nia warunkipocz ¾atkowe
y (0) = y0; y0 (0) = y1; :::y(n�1) (0) = yn�1:
W celu wyznaczenia rozwi ¾azania równania (2.16) przyk÷adamy stronami transformat¾e Laplace�a.
Przyk÷ad 2.39 Rozwi ¾azac równanie
y00 � 2y0 + y = t2et; y0 (0) = y (0) = 0:
Przyk÷admy stronami transformat¾e Laplace�a
L [y00 � 2y0 + y] = L�t2et
�czyli
L [y00]� 2L [y0] + L [y] = L�t2et
�:
Korzystaj ¾ac z odpowiednich w÷asnosci transformaty obliczamy
L [y00] = s2L [y]� sy�0+�� y0
�0+�= s2L [y]
L [y0] = sL [y]� y�0+�= sL [y]
L�t2et
�= 2L
�t2
2!et�=
2
(s� 1)3:
34
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
St ¾ad otrzymujemy
s2L [y]� 2sL [y] + L [y] = 2
(s� 1)3
L [y]�s2 � 2s+ 1
�=
2
(s� 1)3
L [y] (s� 1)2 = 2
(s� 1)3
L [y] =2
(s� 1)5:
Ostatecznie
y (t) = L�1
"2
(s� 1)5
#=2
4!ett4 =
1
12t4et:
Przyk÷ad 2.40 Rozwi ¾azac równanie
y000 + y0 = e2t y (0) = y0 (0) = y00 (0) = 0:
L [y000 + y0] = L�e2t�
s3L [y]� s2y�0+�� sy0
�0+�� y00
�0+�+ sL [y]� y
�0+�=
1
s� 2
s3L [y] + sL [y] =1
s� 2
L [y] s�s2 + 1
�=
1
s� 2
L [y] =1
(s� 2) s (s2 + 1) :
Wyznaczymy orygina÷funkcji � (s) = 1(s�2)s(s2+1) . Rozk÷adaj ¾ac na u÷amki proste mamy