Analiza cinematica a mecanismelor cu roți 1. Generalitati. Definiții 2. Mecanisme cu elemente dintațate. Angrenaje cilindrice si conice 3. Trenuri de roti dintate ordinare 4. Trenuri de roți dințate cicloidale 5. Analiza cinematică a mecanismelor cu elemente de frecare 1. Generalități Mecanismele cu roți (de fricțiune sau dințate) servesc transmiterii și/sau transformării mișcării de rotație. Acest tip de mecanisme este foarte răspândit din cauza faptului că majoritatea motoarelor (surselor de energie mecanică) sunt rotative, iar mișcarea produsă de acestea, de multe ori, trebuie adaptată (după caz, crescută turația sau puterea). Fig.1 Transmisie cu roți dințate De exemplu, un motor produce o mișcare rotativă cu viteza unghiulară s rad i 100 , dar elementul de execuție (elementul condus/de ieșire) trebuie să aibă o viteză unghiulară de s rad e 200 . În acest caz se poate folosi o transmisie cu roți dințate, multiplicatoare, dezavantajul care apare odată cu folosirea unei transmisii fiind scăderea cuplului transmis, direct proporțional cu factorul de creștere al vitezei unghiulare/turației (în cazul de față, la elementul de ieșire, turația se dublează dar cuplul se injumătățește). Acest fenomen funcționează și în sens invers, dacă elementul condus are viteză unghiulară/turație mai mică decât elementul motor, cuplul transmis de la elementul motor la elementul condus va fi amplificat. Prin transmisie se înțelege un mecanism cu cel putin două roți în angrenare. Astfel apare un parametru cinematic adimensional numit raport de transmitere, definit ca raportul dintre viteza unghiulară a elementului “i” de intrare (conducător sau motor) și viteza unghiulară a elementului „e” de ieșire (condus). Raportul de transmitere se notează cu i (a nu se confunda cu notarea i pentru elementul de intrare) si se exprima prin relatia (1). e i ie i (1) Într-un lanț cinematic dat, având atribuite numere de ordine pentru fiecare element, indexarea se face în concordanță cu numerotarea respectivă.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Analiza cinematica a mecanismelor cu roi
1. Generalitati. Definiii 2. Mecanisme cu elemente dintaate.
Angrenaje cilindrice si conice 3. Trenuri de roti dintate ordinare
4. Trenuri de roi dinate cicloidale 5. Analiza cinematic a
mecanismelor cu elemente de frecare
1. Generaliti Mecanismele cu roi (de friciune sau dinate) servesc
transmiterii i/sau transformrii micrii
de rotaie. Acest tip de mecanisme este foarte rspândit din cauza
faptului c majoritatea motoarelor (surselor de energie mecanic)
sunt rotative, iar micarea produs de acestea, de multe ori, trebuie
adaptat (dup caz, crescut turaia sau puterea).
Fig.1 Transmisie cu roi dinate
De exemplu, un motor produce o micare rotativ cu viteza unghiular
s
rad i 100 , dar
elementul de execuie (elementul condus/de ieire) trebuie s aib o
vitez unghiular de
s
rad e 200 . În acest caz se poate folosi o transmisie cu roi
dinate, multiplicatoare, dezavantajul
care apare odat cu folosirea unei transmisii fiind scderea cuplului
transmis, direct proporional cu factorul de cretere al vitezei
unghiulare/turaiei (în cazul de fa, la elementul de ieire, turaia
se dubleaz dar cuplul se injumtete). Acest fenomen funcioneaz i în
sens invers, dac elementul condus are vitez unghiular/turaie mai
mic decât elementul motor, cuplul transmis de la elementul motor la
elementul condus va fi amplificat. Prin transmisie se înelege un
mecanism cu cel putin dou roi în angrenare. Astfel apare un
parametru cinematic adimensional numit raport de transmitere,
definit ca raportul dintre viteza unghiular a elementului “i” de
intrare (conductor sau motor) i viteza unghiular a elementului „e”
de ieire (condus). Raportul de transmitere se noteaz cu i (a nu se
confunda cu notarea i pentru elementul de intrare) si se exprima
prin relatia (1).
e
(1)
Într-un lan cinematic dat, având atribuite numere de ordine pentru
fiecare element, indexarea se face în concordan cu numerotarea
respectiv.
Din relaia (1) se observ c dac
1iei - transmisia este reductoare ie
1iei - transmisia este amplificatoare/multiplicatoare ie
Raportul de transmitere poate fi constant (Fig.1), dac se menine în
timp factorul de amplificare între viteza elementului de intrare i
ieire, sau variabil, dac acest factor se modific în timp.
Raportul de transmitere poate fi variabil
ciclic, pe perioada unui ciclu de funcionare – în cazul
transmisiilor cu roi dinate necirculare – Fig.2a
comandat, dac se intervine din exterior – în cazul variatoarelor
Fig.2b i a cutiilor de vitez Fig.2c
La cutiile de vitez raportul de transmitere se modific în trepte,
iar la variatoare raportul de transmitere poate lua orice valoare
într-un interval dat.
a) Roti dintate necirculare – raport de transmirere variabil
ciclic
comandat prin pozitionarea benzii
transmitere variabil comandat prin pozitionarea grupului
balador
Fig. 2 Transmisii cu raport de transmitere variabil
Se numete treapt de transmisie sau angrenaj o pereche de dou roi
care intr în angrenare. Se recomand ca raportul de transmitere
pentru o treapt s fie cuprins între limitele 6.3 – 1/6.3, maxim 10
– 1/10. Pentru a se obine valori mai mici sau mai mari pentru
raportul de transmitere se pot cupla (înseria) mai multe trepte de
transmitere, obinând astfel un tren de roi dinate sau de
friciune.
Fig 3 Tren de roi dinate
Pentru exemplificare, în Fig 3 este reprezentat un tren de roi
dinate care face legtura între elementul 1 motor i elementul 6
condus. Se pot observa 3 trepte în aceast transmisie, prima treapt
format din perechea de roi 2-3, a doua 3’-4 i a treia 4’-5.
Poziiile relative ale axelor de rotaie ale unei perechi de roi
coincid cu posibilitile de aezare a dou drepte, adic: paralele,
concurente sau oarecare.
Transmiterea micrii de rotaie între axe paralele se face prin
intermediul transmisiilor cilindrice, între axe concurente prin
transmisii conice, iar între axe oarecare prin transmisii
hiperboloidale (încruciate).
La nivelul unei perechi de roi, transmiterea micrii de rotaie se
poate face prin contact direct sau prin intermediul unui element
flexibil intermediar. Transferul energetic (prin intermediul
forelor) între cele dou roi ale unei trepte se poate face prin
form/angrenare (transmisii cu roi dinate, cu lanuri i curele
dinate), respectiv prin fo (transmisii prin frecare). O discutie cu
privire la modul de obtinere a formei rotilor dintate este
prezentata in Anexa 1 - Axoizii micrii relative. Aici se
demonstreaza ca forma geometrica a doua elemente aflate in contact
si ce trebuie sa transmita miscarea de rotatie este functie de
pozitia axelor de rotatie:
- axe oarecare - hiperboloid cu o pânz - axe concurente – con - axe
paralele – cilindru
Astfel pozitiile relative a axelor de rotatie produc angrenaje
cilindrice sau conice
2. Mecanisme cu elemente dinate. Angrenaje cilindrice si
conice
Aa cum s-a spus mai sus, micarea de rotaie poate fi transmis prin
for (roi de friciune) sau prin form/angrenare (roi dinate, roi de
lan sau curele cu dini). În continuare se va discuta despre cazul
transmisiilor cu roi dinate. Pentru acestea, transmiterea micrii se
realizeaz prin intermediul formei suprafeei pe care o au roile care
intr în contact. Suprafaa în contact poate fi exterioara sau
interioar (Fig.9) i prezint o succesiune de proeminente (dini) i
caviti (goluri) (Fig.8a) prin intermediul crora se asigur
transmiterea micrii (prin form) de la o roat la alta (Fig. 8b),
astfel realizându-se o cupl cinematic de clasa a IV-a superioar.
Modul standardizat de reprezentare in schema cinematica a unei roti
dintate este prezentat in Fig. 9, utilizând linie punctat pentru
simbolizarea coroanei dinate in vedere frontal. În Fig. 9a se
prezint o vedere frontal i una lateral asupra schemei cinematice
pentru un angrenaj cilindric exterior.
a. b.
Fig.8 Roi dinate a. imagine a unei roi dinate, b. dou roi dinate în
angrenare
a. b. Fig.9 Schema cinematic a unui angrenaj a. cilindric exterior
b. cilindric interior
Din Fig.9 se observ c viteza periferic a celor dou roi în punctul
de contact trebuie s fie egal (dac nu ari fi egale cele dou viteze
roile ar aluneca una fa de cealalt, lucru imposibil din cauza
dintilor), ca urmare se poate scrie relaia:
202101 RRv (2)
semnul minus fiind justificat in situatia rotilor cilindrice
exterioare, cand cand se schimba sensul vitezei unghiulare
Relaia (2) poate fi rescris astfel:
1
2
20
10
R
10 i
de unde se poate scrie relatia de definitie a raportului de
transmitere:
1
2
20
(4)
În micare, danturile celor dou roi dinate în angrenare asigur
parcurgerea unor arce egale, astfel, distana msurat pe arc între
cele dou profile consecutive de acelai fel (omoloage) poart
denumirea de pas. Rezult astfel condiia necesar pentru realizarea
transmiterii prin form a micrii de rotaie, anume, ca danturile
celor dou roi în angrenare s aib acelai pas (pe cercurile de
rostogolire). Pasul ar reprezenta, în acesteste condiii, parametrul
dup care s-ar standardiza roile dinate. Datorit faptului c acesta
rezult un numr iraional, din condiia:
zpR 2 (5)
p m care poart denumirea de modul.
Deci condiia necesar a angrenrii devine egalitatea modulelor celor
dou roi dinate.
Dac se pornete de la relaiile (4) i (5), în cazul unui angrenaj
cilindric exterior, se pot scrie urmtoarele relaii:
1
2
1
2
1
2
1
2
20
1
2
1
2
20
(7)
Semnul minus apare în relaia (18) în cazul roilor cilindrice cu
contact exterior datorit faptului c sensul de rotaie al roii
conduse este opus sensului de rotaie al roii conductoare (vezi
Fig.9a) Relaia (6) i (7) face legtura între raportul de transmitere
i numrul de dini pentru cele dou roi dinate. Aceasta este valabil i
în cazul angrenajelor cu roi hiperboloidale sau conice Fig.10,
forma general a raportului de transmitere fiind urmtoarea:
1
Clasificarea angrenajelor
1.dupa pozitia relativa a arborilor: - cu arbori paraleli (a,b,c,d)
- cu arbori concurenti (e,f) - cu arbori neconcurenti (g,h)
2.dupa forma roilor: - Cilindrice (a,b,c) - Conice (e) -
Hiperboloidale (d,f) - Melcate (h) - Cremalier (g) - necirculare
(Fig.2a)
3. Dup orientarea dinilor - Drepi (a,c,e,g) - Înclinai (b) - Curbi
(f,h) - În V (d)
3.dupa tipul angrenarii: -exterioara (a,b,d,e,f,g,h) -interioara
(c) 4.dupa specificul miscarii: -fara transformarea miscarii de
rotatie -cu transformarea miscarii de rotatie in miscare de
translatie si invers (g)
3. Trenuri/transmisii cu roi dinate ordinare Se dorete determinarea
strii de micare (de obicei vitez) a roii conduse în funcie de
starea de micare a roii conductoare. Trenurile/transmisiile cu roi
dinate se impart în dou categorii:
ordinare – dac toate axele roilor au poziii fixe în spaiu: Fig.9,
Fig.10, Fig.11
cicloidale – dac cel puin o roat nu are axa fixa (are o axa mobil)
3.1 Trenuri de roi dinate cilindrice ordinare
Fig.11 Tren de roi dinate ordinare
'1'3'21
se noteaz cu k numrul angrenajelor exterioare din
tren/transmisie
În funcie de valoarea pe care o are raportul de transmitere ni1 ,
trenurile de roi dinate pot fi:
reducttoare de turaie (sau simplu “reductoare”), dac 11 ni
amplificatoare de turaie, dac 11 ni
3.2 Trenuri ordinare de roi dinate conice
1 A
2´(z )
Fig. 12 Tren ordinar de roti dintate conice
Pentru cazul rotilor dintate conice exist o categorie suplimentar
de marimi ce pot determina raportul de transmitere, anume
unghiurile pe care le formeaz axele celor dou roti dintate conice
in angrenare. Astfel se pot scrie relatiile urmatoare:
1
2
2
i
'
Trenurile de roti dintate pot fi alctuite inclusive prin combinarea
angrenajelor cilindrice sau conice.
3.3 Transmisii cu roi dinate melcate
Fig.22 Angrenaj melc-roatmelcat
Pentru mecanismul din Fig.22, unghiul dintre axe este de 900, iar
una dintre roi, cea conductoare în general, are un numr foarte mic
de dini (1..4), degenerând într-un urub (numit melc). i în acest
caz, raportul de transmitere este:
1
z i
În general, la acest tip de mecanism micarea se transmite de la
melc la roata melcat, transmiterea în sens invers fiind nefavorabil
din cauza unghiului de presiune mare care apare între roat i melc.
Dac se consider roata avnd 30 de dini, i melcul un dinte (urubul -
un început), raportul de transmitere rezultat este 30. 3.4
Transmisie roat dinat - cremalier
Fig.23 Pinion-Cremalier
Mecanismul din Fig.23, servete la transformarea micrii de rotaie
într-o micare de translaie i viceversa. Raportul de transmitere
depinde de pasul danturii.
4. Trenuri de roi dinate cicloidale 1. Analiza structurala 2.
Analiza cinematica
4.1a Analiza structurala a transmisiilor planetare cu roi dinate
Transmisiile planetare cu roti dintate sunt folosite la obinerea
unor rapoarte de transmitere foarte mari sau foarte mici utilizând
un numr relativ mic de roi dinate, mecanismele fiind relativ
compacte (ocup un volum mic) Fig.14
Fig.14 Transmisie planetar cu roi dinate
Un mecanism planetar este compus din urmtoarele elemente: 1. bra
port-satelit 2. roat satelit 0. coroana mecanismului cicloidal -
fixat 3. roata central (solara) Pentru mecanismul din Fig.14 se
calculeaz gradul de mobilitate:
numarul de elemente 4n
numarul de cuple de clasa a 5-a 35 c
numrul de cuple de clasa a 4-a 24 c
gradul de mobilitate
54 2)1(3 ccnM
1M În mod uzual se fixeaz roata central, dar se pot fixa oricare
din elementele care compun
mecanismul planetar. In general, o transmisie cicloidal este
alctuit din una sau mai multe roi centrale sau solare având axele
fixe în spaiu, una sau mai multe roi cu ax mobile, numite satelit
(sau roi planetare) i un bra port-satelit care asigur poziia
reciproc a precedentelor i micarea de revoluie a axei (axelor)
mobile. Pentru mecanismele prezentate în Fig.12 i Fig.14, în
realitate se folosesc mai multe roi satelit pentru o transmitere
mai eficient a forelor i scderea uzurilor. O asemenea construcie
este prezentat in Fig.15, în stânga - poziia iniial, în dreapta –
roata central rotit aprox 1800 produce o rotire a braelor
port-satelit cu aprox. 300
Fig.15 Mecanism planetar [wikipedia]. Mecanism planetar (a nu se
confunda cu mecanismul planetar
cu roi dinate)
A nu se confunda mecanismul cu roi dinate planetar (Fig.15 stanga)
cu mecanismul planetar (Fig.15 dreapta) folosit la transmiterea
micrii de la transmisie la roat sub orice unghi pentru puntea
motoare a unui autoturism. 4.1b Analiza structurala a transmisiilor
difereniale Mecanismele diferentiale se utilizeaz la compunerea,
prin sum sau prin diferen, a dou sau mai multe micri de rotaie (de
unde i denumirea de diferenial). Ele pot fi utilizate la
descompunerea unei micri de rotaie (de exemplu micarea produs de un
motor) în dou sau mai multe componente, cum ar fi cazul
diferenialului de la automobil Fig.13. Video: Funcionarea unui
mecanism diferenial http://www.youtube.com/watch?v=F40ZBDAG8-o Un
mecanism diferenial este compus din urmtoarele elemente: 1. bra
port-satelit 2. roat satelit 3. coroana mecanismului cicloidal 4.
roata central (solara)
Fig.12 Mecanism diferenial
numarul de elemente 5n
gradul de mobilitate
54 2)1(3 ccnM
2M
Având în vedere c 2M este nevoie de dou elemente motoare pentru a
obine o micare univoc, ceeace demonstreaz ideea de compunere a dou
micri prin sum sau diferen.
Fig. 13 Mecanism diferenial cu roi dinate conice folosit la
automobil
Mecanismul diferenial prezentat în Fig.13 este antrenat de
elementul motor. Acesta transmite
mai de parte micarea la elementul 1 care este solidar cu elementul
1’ – port satelit, roile 2 i 2’ fiind sateliii. Sateliii sunt în
angrenare cu elementele 3 solidar cu elementul condus stânga i 4
solidar cu elementull condus dreapta, producând micarea acestora.
Se subliniaz faptul c elementul 1’ se mic independent de elementul
4.
4.2 Analiza cinematic a trenurilor de roi dinate cicloidale se
poate face prin dou metode care au ca scop determinarea raportului
de transmitere i a vitezei unghiulare pentru elementele care compun
mecanismul: 1. Metoda analitic – Willis, Robert (publicata în 1957)
2. Metoda grafo-analitica – Kutzbach, Karl (publicata în 1913)
(prezentata in Anexa 2) 4.2a. Metoda analitic – Willis. Mecanism
planetar Calculul raportului de transmitere, respectiv a vitezei
unghiulare pentru elementele ce alctuiesc mecanismul cicloidal
(planetar sau diferenial) se poate realiza prin transformarea
mecanismului într-
unul ordinar. Aceasta se realizeaz prin rotirea întregului mecanism
cu o vitez unghiular satelitport ,
obinându-se astfel staionarea aparent a braului port-satelit.
Fig.17 Transmisie planetar cu roi dinate
Pentru mecanismul planetar din Fig.17 se dorete determinarea
raportului de transmitere 13i .
Se fixeaz braul port-satelit 1, prin aplicarea unei viteze
unghiulare 1 întregului mecanism, ca
rezultat, elementul 0 nu va mai fi fixat, ci va avea o vitez
unghiular egal cu 1 . Analog, la viteza
unghiular a elementului 3 va fi adugat 1 . În condiiile acestea se
determin raportul de
transmitere de la elementul 0 la elementul 3 când elementul 1 este
fixat:
1 1 13
(24)
Relaia (23) reprezint legtura dintre raportul de transmitere real,
i cel obinut prin fixarea
braului port-satelit numit raport de transmitere aparent, relaia
(24) reprezint raportul de transmitere al transmisiei ordinare
obinut prin fixarea braului port-satelit al transmisiei
planetare.
Egalând relaiile (23) i (24) se poate determina raportul de
transmitere 13i :
0
3
13
13
(26)
Dac raportul de transmitere este pozitiv, viteza unghiular de la
ieire are acelai sens cu viteza unghiular la intrare. 4.2b. Metoda
analitic – Willis. Mecanism diferential În Fig.18 se prezint un
mecanism diferenial. Se dorete determinarea raportului de
transmitere pentru acest mecanism i a vitezei unghiulare a
elementului de ieire 4. Se fixeaz braul
port-satelit prin rotirea mecanismului 2 . Având în vedere c
mecanismul diferenial are gradul de
mobilitate 2, se presupun cunoscute vitezele unghiulare 1 i 2
.
Fig.18 Transmisie diferenial cu roi dinate
Se determin raportul de transmitere aparent (raport de transmitere
intrinsec):
24
21)2(
14
din relaiile (27) i (28) se poate determina 4 .
Se va ine cont de sensul vitezelor unghiulare ale elementelor
motoare. Semnul lui 4 va indica
daca sensul de rotire este acelai cu cel al lui 1 i 2 .
4.2c. Analiza cinematic a trenurilor de roi dinate cicloidale
conice
Fig.22 Tren de roi dinate conice – tip diferenial; Poligonul
vitezelor
Metoda analitic
Se imprim întregului ansamblu o micare de rotaie cu 1 , braul
port-satelit devenind aparent
staionar, ar mecanismul aparent ordinar.
3
4
2
3
14
12)1(
(39)
semnul minus din relaia (39) semnificând un sens de rotaie invers
lui 1 , acesta fiind determinat din
aproape,în aproape urmrind angrenajele mecanismului.
Din relaia (39) se poate determina 4 de ieire, inând cont c 1 i 2
sunt presupuse
cunoscute. Metoda grafo-analitic
La fel ca în cazul metodei analitice, se dorete determinarea
vitezei unghiulare de ieire 404 .
Pentru aceasta, se pornete de la 101 i 202 (viteza unghiular a lui
1 i 2 în raport cu
elementul fix 0), se calculeaz 30 , si apoi 40 .
Pentru determinarea lui 30 se rezolv urmtorul sistem de ecuaii
vectoriale prin metoda grafic:
322030
311030
Iar pentru determinarea lui 40 :
433040 (41)
cu Ox||40
5. Analiza cinematic a mecanismelor cu elemente de frecare 5.1.
Transmiterea micrii prin contact direct intre elemente 5.2.
Transmiterea micrii cu element intermediar flexibil
5.1 Transmiterea micrii prin contact direct intre elemente
Transmiterea micrii de rotaie de la un element la altul se poate
face i prin intermediul forelor de frecare rezultând mecanismele cu
roi de friciune. Se consider mecanismul cu roi de friciune
cilindrice din Fig.24. El va putea funciona doar în cazul în care
fora exterioar Q va apsa roile de friciune una peste cealalt. Ca
urmare a acestei aciuni apare fora de frecare periferic:
QF f (42)
Fig. 24 Transmiterea micrii prin roi de frecare
Puterea care va putea fi transmis folosind acest tip de angrenaj
este limitat, relaia este determinat dup cum urmeaz:
2
fF - fora de frecare periferic
2D - diametrul roii 2
2 202 (45)
Se menioneaz c zona de contact dintre cele 2 elemente este de tip
Hertzian. Din relaia (45) se poate concluziona c puterea transmis
printr-un angrenaj cu roi de frecare poate fi mrit prin dou
metode:
1. creterea coeficientului de frecare dintre cele dou elemente (de
exemplu prin schimbarea perechii de materiale folosite pentru cele
dou roi) 2. creterea limii de contact dintre cele dou elemente
notat cu l.
Metoda 2 este prezentat în Fig. 25 unde în roile de friciune sunt
prelucrate nite canale.
Fig. 25 Roi de friciune canelate
Pentru cazul acesta, fora de frecare devine:
Q Ff (46)
La depirea valorii maxime a puterii transmisibile, apare fenomenul
de patinare a roilor de friciune, caracterizat de alunecarea
relativ a zonelor de contact. Din cauza acestui fenomen se recomand
utilizarea doar în anumite condiii a roilor de friciune pentru
mecanisme de precizie.
Transmiterea micrii prin forele de frecare periferice se realizeaz
cu deformarea elasitc a zonei de contact – Fig.24. Aceasta se
numete alunecare elastic i determin ca vitezele periferice ale
celor 2 roi în zona de contact s nu fie egale, iar roata condus va
rmâne în urm. Raportul de transmitere se va determina dup cum
urmeaz:
BA vvv (47)
unde Av
v - coeficient de alunecare elstic, i se poate determina din
graficul prezentat în Fig.26
iar 1 2
Se poate calcula raportul de transmitere:
Fig.27 Transmisie prin curea – configuraie direct
D i
Se noteaz cu 1 i 2 elementele de tip roat i cu 3 elementul de tip
flexibil care asigur transmiterea micrii între cele dou elemente de
tip roat. Elementul 3 – curea este supus la traciune în partea de
sus a mecanismului dar în partea de jos (între punctele A i B) este
nesolicitat, rezultând astfel detensionarea elementului flexibil.
Acest fenomen conduce la efecte nedorite cum ar fi o patinare
accentuat sau vibraii introduse în sistemul mecanic. Problema se
poate soluiona întinzând aceast
zon, fie prin creterea distanei dintre elementele 1 i 2, punctul O
putând s execute o micare de translaie, fie prin introducerea unor
role întinztoare intermediare.
Fig.28 Transmisie prin curea – configuraie în cruce
Fig.29 Tipuri de curele
În Fig. 29 sunt prezentate câteva tipuri uzuale de curele folosite
pentru transmiterea micrii: a. – curea lat b. – curea rotund
(funie, cablu) c. – curea trapezoidal d. – curea lat dinat (curea
sincron) – micarea se transmite datorit dinilor curelei
Fig. 30 Transmisie cu fir flexibil
În Fig. 30 se prezint un mecanism cu element elastic pentru
transmiterea micrii de rotaie în
care raportul de transmitere este variabil în funcie de profilul
unei roi.
Anexa 1. Transmiterea micrii de rotaie. Axoizii micrii relative Aa
cum s-a artat mai sus, transmiterea micrii de rotaie se realizeaz
cu ajutorul unor elemente de tipul roilor. Pentru a determina forma
geometric a acestor roi în contact direct se vor determina axoizii
micrii relative pentru cele 3 cazuri de poziionare relativ a celor
dou axe între care se realizeaz transmiterea micrii de rotaie.
Cazul general este cel al axelor oarecare (încruciate) – Fig.4 din
care, prin particularizri se pot obine cazurile axelor paralele,
respectiv concurente. Pentru cazul general, se dorete demonstrarea
faptului c forma obinut este un hiperboloid cu o pânz.
Fig. 4 Angrenaj hiperboloidal – poziia relativ a axelor este
necoplanar [xxx]
Fig.5 Axele necoplanare (încruciate) ale unu angrenaj
hiperboloidal
Se consider elementul 1, rotindu-se în jurul axei "' 11 OO cu
viteza unghiular 10 i elementul
2 care se rotete în jurul axei "' 22 OO cu viteza unghiular 20 .
Poziia celor dou axe este încruciat în
spaiu sub unghiul cunoscut, dreapta 21OO fiind perpendiculara comun
a lor – Fig.5.
Pentru a analiza micarea celor dou elemente, se d întregului
ansamblu o micare de rotaie
cu viteza unghiular 10 în jurul axei "' 11 OO .
În felul acesta, elementul 1 va sta pe loc (aparent) iar elementul
2 va avea o micare complex
compus din rotaia în jurul axei proprii "' 22 OO i din rotaia în
jurul axei "' 11 OO (axa elementului 1
fixat acum). Suma celor dou micri este o micare elicoidal, având
axa instantanee de rotaie notat
cu "' II , care intersecteaz în punctul I perpendiculara comun 21OO
a axelor i formeaz cu acestea
unghiurile 1 i 2 .
i raportul de transmitere 12i este cunoscut.
Micarea elicoidal dup axa instantanee "' II rezultat în urma
compunerii celor dou micri are viteza unghiular:
201012 (2)
122012100 (3)
1
2
20
i (5)
Folosind relaiile (1) i (5) se pot determina unghiurile 1 i 2 , axa
"' II fiind i ea
perpendicular pe normala comun 21OO
Pentru a determina punctul I de intersecie a axei instantanee de
înurubare "' II cu normala comun se consider acest punct ca
aparinând atât elementului 1 cât i elementului 2, adic punctul
lor
de contact. Vitezele punctelor în contact 1I i 2I au
valorile:
1101 RvI (6)
2202 RvI (7)
iar viteza relativ a punctului 1I aparinând elementului 1 i 2I
aparinând de elementul 2 va fi:
2201102112 RRvvv III (8)
i este paralel cu direcia "' II deci i cu 12
Înmulind vectorial la stânga relaia (8) cu 12 i dezvoltând dublele
produse vectoriale rezult:
)( 2201101212 12 RRvI (9)
dar 0 1212 Iv
)()(0 2201211012 RR (10)
0)()()()( 20122212201012111210 RRRR (11)
dar 0112 R i 0212 R (vectori perpendiculari), astfel relaia (11)
devine
0coscos 220122110121 RR (12)
Din (12), cu 1R i 2R colineari, 012 i 1
2
20
(13)
din care se determin 1R i 2R , adic poziia lui I
Din relaiile (1), (5) i (13) rezult c axa "' II ocup o poziie
invariabil în raport cu axele
"' 11 OO i "' 22 OO .
În aceste condiii, la aplicarea micrii ipotetice suplimentare de
rotaie cu viteza unghiular
10 în jurul axei "' 11 OO , axa "' II va genera o suprafa de rulet
care reprezint un hiperboloid cu o
pânz pentru elementul 1. În mod asemntor, relativ la axa "' 22 OO ,
se obine configuraia
elementului 2 tot sub forma unui hiperboloid de rotaie cu o singur
pânz. Deci, axoizii micrii relative în cazul axelor de rotaie
încruciate sunt hiperboloizi de rotaie cu
o singur pânz, tangeni dup axa "' II - Fig.4. (Generarea unui
hiperboloid prin rotirea unei linii în jurul unei axe, linia
generatoare necoplanar fa de ax,
http://www.youtube.com/watch?v=Gsi0j9VUbow)
Cazuri particulare Cazul 1. Dac axele de rotaie a elementelor 1 i 2
sunt paralele,atunci
021 (14)
Fig.6 Axoizii micrii relative – cilindrii (cazul axelor
paralele)
Cazul 2. Dac axele de rotaie a elementelor 1 i 2 sunt
concurente,atunci lungimea normalei comune devine nul, adic
210 RRl (16)
1
2
1
2
20
Fig.7 Axoizii micrii relative – conuri (cazul axelor
concurente)
Se observ c axoizii micrii relative sunt în acest caz conuri
circulare drepte – Fig.7. Generatoarea
comun este identic cu axa "' II care devine ax instantanee de
rotaie deoarece conform relaiei (8),
0 2112 III vvv . Punctul P este un punct oarecare pe generatoarea
comun "' II
Anexa 2. Metoda grafo-analitic – Kutzbach
Metoda se bazeaz pe distribuia vitezelor dispuse pe raza unui disc
rotitor. Viteza punctului A va crete liniar odat cu deprtarea
acestuia de centrul discului.
Fig. 19 Distribuia vitezelor pe un disc
Pornind de la viteza punctului A, se dorete determinarea vitezei
unghiulare a discului:
rv (29) sau
rv (30) i
mzd (31) unde d – diametrul discului (roii dinate) m – modulul roii
dinate
2
(33)
unde vk este scara la care se face reprezentarea vectorilor
vitez
sk
r Oa (34)
unde sk este scara la care se face reprezentarea vectorilor de
poziie pentru punctul A
v
s
k
k
r
r
Oa
tg k
v (36)
Starea de micare a unui element este determinat de vitezele a dou
puncte distincte aparinând elementului.
φ
Pentru a face analiza unui mecanism prin aceast metod, se face
schema cinematic a mecanismului la scar i se proiecteaz punctele pe
o dreapt de vitez nul, dup care se compun vectorii, si rezult
viteza unghiular cutat la scar.
În Fig.20 se prezint un mecanism planetar. Se dorete analizarea
acestuia folosind metoda grafo-analitic Kutzbach.
Fig.20 Metoda Kutzbach pentru un mecanism planetar
Pentru aceasta se deseneaz schema cinematic a mecanismului la scar.
Se traseaz sistemul
de coordonate vOr, astfel încât Ov s treac prin axa de rotaie a
braului port-satelit. Pentru a reprezenta viteza punctului B, se
traseaz o paralel la axa Ov prin punctul B al mecanismului, aceasta
intersectând axa Or în punctul b. Se reine acest punct pentru c
viteza punctului B este 0, punctul B aparinând de elementul fix. Se
reprezint viteza punctului C, trasând o paralel la axa Ov prin
punctul C al mecanismului.
Aceasta intersecteaz axa Or în punctul c. Pe aceast direcie se
traseaz la scar vectorul 'cc la scara
sk .
32 32
mzmz rrlOc
Se unesc punctele c’ i O prin dreapta (1), rezultând astfel unghiul
1 .
Construim dreapta (2) prin unirea punctelor b i c’. Se reprezint
viteza punctului A, trasând o paralel la Ov prin punctul A al
mecanismului.
Aceasta se intersecteaz cu axa Or în punctul a, i cu dreapta (2) în
punctul a’, vectorul 'aa
reprezentând viteza punctului A la scara sk .
s
' , unde 'aa se msoar pe figur
Se unesc punctele a’ i O prin dreapta (3), rezultând astfel unghiul
3 .
Se calculeaz raportul de transmitere: 3
1
3
1
3
k
i
s
v
s
v
(37)
Pentru o determinare mai rapid i mai simpl, se poate face urmtoarea
construcie: se consider punctul p arbitrar pe axa Or. Prin acesta
se traseaz o paralel la axa Ov. Paralela intersecteaz dreapta (1)
în m i dreapta (3) în n.
Se poate scrie relaia: pn
pm
Op
pn
Op
pm
tg
(38)
lungimile segmentelor pm i pn fiind msurate pe grafic. În Fig.21 se
prezint un mecanism diferenial pentru care se dorete efectuarea
analizei cinematice prin metoda Kutzbach.
Fig.21 Metoda Kutzbach aplicat la un mecanism diferenial
Pentru c se cunosc vitezele 1 i 2 , se scriu relaiile pentru
vitezele punctelor A i B,
OaA lv 1 s
31 31
mzmz rrlOb
Se construiete dreapta (3) prin unirea punctelor a’ i b’. Pentru a
obine punctul c’, se unete dreapta (3) cu paralela la Ov prin
punctul c. Lungimea lui cc’ se va determina prin msurare, lungimea
lui Oc este
egal cu r4, deci se poate determina 4
Oc
k
k
s
v