Verificare. Bibliografie Mult ¸imea numerelor reale Mult ¸imea R Spat ¸iul R k Elemente de topologie pe R k (k ≥ 1) ¸ si R Analiz˘ a matematic˘ a - curs 1 Mult ¸imile R, R, R k . Elemente de topologie Facultatea de Mecanic˘ a Universitatea Tehnic˘ a “Gh. Asachi”, Ia¸ si 2013-2014, Facultatea de Mecanic˘ a Analiz˘ a matematic˘ a - curs 1
96
Embed
Analiz a matematic a - curs 1 Mult˘imile Rk …math.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c1b_AM...Veri care. Bibliogra e Mult˘imea numerelor reale Mult˘imea R Spat˘iul Rk
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Analiza matematica - curs 1Multimile R, R, Rk . Elemente de topologie
Facultatea de Mecanica
Universitatea Tehnica “Gh. Asachi”, Iasi
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Verificare
70% teza scrisa (35% partial saptamana a 9-a, care se ia ın considerare la final,daca nota este ≥ 5)
20% activitatea seminar
10% studiu individual
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Bibliografie
Manuale AM clasele XI-XII (Nastasescu et. al.).
Cursuri ın limba romana
I. Craciun, Calcul integral, Editura PIM, Iasi, 2007.
M. Nicolescu, Analiza matematica, Vol. I si II, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1971.
R. Strugariu, Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Performantica, Iasi,2013.
Culegeri
L. Arama, T. Morozan, Culegere de probleme de calcul diferential si integral,Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978
Gh. Bucur, E. Campu, S. Gaina, Culegere de probleme de calcul diferential siintegral, vol.II, III, Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978.
S. Chirita, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1989.
I. Nistor, Probleme de analiza matematica, vol. I, II, Editura Cermi, 2003.
Web
http://math.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri.html
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Bibliografie
Manuale AM clasele XI-XII (Nastasescu et. al.).
Cursuri ın limba romana
I. Craciun, Calcul integral, Editura PIM, Iasi, 2007.
M. Nicolescu, Analiza matematica, Vol. I si II, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1971.
R. Strugariu, Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Performantica, Iasi,2013.
Culegeri
L. Arama, T. Morozan, Culegere de probleme de calcul diferential si integral,Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978
Gh. Bucur, E. Campu, S. Gaina, Culegere de probleme de calcul diferential siintegral, vol.II, III, Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978.
S. Chirita, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1989.
I. Nistor, Probleme de analiza matematica, vol. I, II, Editura Cermi, 2003.
Web
http://math.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri.html
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Bibliografie
Manuale AM clasele XI-XII (Nastasescu et. al.).
Cursuri ın limba romana
I. Craciun, Calcul integral, Editura PIM, Iasi, 2007.
M. Nicolescu, Analiza matematica, Vol. I si II, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1971.
R. Strugariu, Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Performantica, Iasi,2013.
Culegeri
L. Arama, T. Morozan, Culegere de probleme de calcul diferential si integral,Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978
Gh. Bucur, E. Campu, S. Gaina, Culegere de probleme de calcul diferential siintegral, vol.II, III, Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978.
S. Chirita, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1989.
I. Nistor, Probleme de analiza matematica, vol. I, II, Editura Cermi, 2003.
Web
http://math.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri.html
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Bibliografie
Manuale AM clasele XI-XII (Nastasescu et. al.).
Cursuri ın limba romana
I. Craciun, Calcul integral, Editura PIM, Iasi, 2007.
M. Nicolescu, Analiza matematica, Vol. I si II, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1971.
R. Strugariu, Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Performantica, Iasi,2013.
Culegeri
L. Arama, T. Morozan, Culegere de probleme de calcul diferential si integral,Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978
Gh. Bucur, E. Campu, S. Gaina, Culegere de probleme de calcul diferential siintegral, vol.II, III, Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978.
S. Chirita, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1989.
I. Nistor, Probleme de analiza matematica, vol. I, II, Editura Cermi, 2003.
Web
http://math.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri.html
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Multimea numerelor reale
In continuare vom nota prin:
R+ – multimea numerelor pozitive;
R∗+ – multimea numerelor strict pozitive;
R− – multimea numerelor negative;
R∗− – multimea numerelor strict negative.
Cu aceste notatii, putem scrie R = R+ ∪ R−, unde R+ ∩ R− = {0}.
Fie a si b doua numere reale astfel ıncat a < b. Definim urmatoarele multimi:
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}, numit interval deschis;
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, numit interval ınchis;
(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}, numit interval deschis ın a, ınchis ın b;
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}, numit interval ınchis ın a, deschis ın b.
Spunem despre intervalele definite mai sus ca sunt intervale marginite. De asemenea,definim si urmatoarele tipuri de intervale nemarginite:
(−∞, a) := {x ∈ R | x < a};(−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} ;
(a,+∞) := {x ∈ R | a < x} ;
[a,+∞) := {x ∈ R | a ≤ x} ;
(−∞,+∞) := R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Multimea numerelor reale
In continuare vom nota prin:
R+ – multimea numerelor pozitive;
R∗+ – multimea numerelor strict pozitive;
R− – multimea numerelor negative;
R∗− – multimea numerelor strict negative.
Cu aceste notatii, putem scrie R = R+ ∪ R−, unde R+ ∩ R− = {0}.Fie a si b doua numere reale astfel ıncat a < b. Definim urmatoarele multimi:
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}, numit interval deschis;
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, numit interval ınchis;
(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}, numit interval deschis ın a, ınchis ın b;
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}, numit interval ınchis ın a, deschis ın b.
Spunem despre intervalele definite mai sus ca sunt intervale marginite.
De asemenea,definim si urmatoarele tipuri de intervale nemarginite:
(−∞, a) := {x ∈ R | x < a};(−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} ;
(a,+∞) := {x ∈ R | a < x} ;
[a,+∞) := {x ∈ R | a ≤ x} ;
(−∞,+∞) := R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Multimea numerelor reale
In continuare vom nota prin:
R+ – multimea numerelor pozitive;
R∗+ – multimea numerelor strict pozitive;
R− – multimea numerelor negative;
R∗− – multimea numerelor strict negative.
Cu aceste notatii, putem scrie R = R+ ∪ R−, unde R+ ∩ R− = {0}.Fie a si b doua numere reale astfel ıncat a < b. Definim urmatoarele multimi:
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}, numit interval deschis;
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, numit interval ınchis;
(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}, numit interval deschis ın a, ınchis ın b;
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}, numit interval ınchis ın a, deschis ın b.
Spunem despre intervalele definite mai sus ca sunt intervale marginite. De asemenea,definim si urmatoarele tipuri de intervale nemarginite:
(−∞, a) := {x ∈ R | x < a};(−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} ;
(a,+∞) := {x ∈ R | a < x} ;
[a,+∞) := {x ∈ R | a ≤ x} ;
(−∞,+∞) := R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Majorant. Minorant
Definitia 2.1
Fie A o multime de numere reale.
1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.
Exemplul 2.2
1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).
4. A =
{1
n| n ∈ N∗
}.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Majorant. Minorant
Definitia 2.1
Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.
2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.
Exemplul 2.2
1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).
4. A =
{1
n| n ∈ N∗
}.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Majorant. Minorant
Definitia 2.1
Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.
3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.
Exemplul 2.2
1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).
4. A =
{1
n| n ∈ N∗
}.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Majorant. Minorant
Definitia 2.1
Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.
Exemplul 2.2
1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).
4. A =
{1
n| n ∈ N∗
}.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Majorant. Minorant
Definitia 2.1
Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.
Exemplul 2.2
1. N.
2. Z.3. [a, b), (a, b).
4. A =
{1
n| n ∈ N∗
}.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Majorant. Minorant
Definitia 2.1
Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.
Exemplul 2.2
1. N.2. Z.
3. [a, b), (a, b).
4. A =
{1
n| n ∈ N∗
}.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Majorant. Minorant
Definitia 2.1
Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.
Exemplul 2.2
1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).
4. A =
{1
n| n ∈ N∗
}.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Majorant. Minorant
Definitia 2.1
Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimeaA ca este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita superior.2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimeaA ca este marginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In cazcontrar, spunem despre multimea A ca este nemarginita inferior.3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multimemarginita.
Exemplul 2.2
1. N.2. Z.3. [a, b), (a, b).
4. A =
{1
n| n ∈ N∗
}.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Supremum. Infimum
Definitia 2.3
1. Fie A ⊂ R. Spunem despre un numar real M ca este marginea superioara amultimii A, sau supremum al multimii A, si notam M = sup A, daca sunt ındepliniteurmatoarele conditii:
(i) M este un majorant al multimii A :
a ≤ M, ∀a ∈ A;
(ii) M este mai mic decat orice alt majorant al multimii A :
(a ≤ M′,∀a ∈ A)⇒ M ≤ M′.
2. Spunem despre un numar real m ca este marginea inferioara a multimii A, sauinfimum al multimii A, si notam m = inf A, daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:(i) m este un minorant al multimii A :
m ≤ a, ∀a ∈ A;
(ii) m este mai mare decat orice alt minorant al multimii A :
(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Supremum. Infimum
Definitia 2.3
1. Fie A ⊂ R. Spunem despre un numar real M ca este marginea superioara amultimii A, sau supremum al multimii A, si notam M = sup A, daca sunt ındepliniteurmatoarele conditii:(i) M este un majorant al multimii A :
a ≤ M, ∀a ∈ A;
(ii) M este mai mic decat orice alt majorant al multimii A :
(a ≤ M′,∀a ∈ A)⇒ M ≤ M′.
2. Spunem despre un numar real m ca este marginea inferioara a multimii A, sauinfimum al multimii A, si notam m = inf A, daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:(i) m este un minorant al multimii A :
m ≤ a, ∀a ∈ A;
(ii) m este mai mare decat orice alt minorant al multimii A :
(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Supremum. Infimum
Definitia 2.3
1. Fie A ⊂ R. Spunem despre un numar real M ca este marginea superioara amultimii A, sau supremum al multimii A, si notam M = sup A, daca sunt ındepliniteurmatoarele conditii:(i) M este un majorant al multimii A :
a ≤ M, ∀a ∈ A;
(ii) M este mai mic decat orice alt majorant al multimii A :
(a ≤ M′,∀a ∈ A)⇒ M ≤ M′.
2. Spunem despre un numar real m ca este marginea inferioara a multimii A, sauinfimum al multimii A, si notam m = inf A, daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:(i) m este un minorant al multimii A :
m ≤ a, ∀a ∈ A;
(ii) m este mai mare decat orice alt minorant al multimii A :
(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Supremum. Infimum
Definitia 2.3
1. Fie A ⊂ R. Spunem despre un numar real M ca este marginea superioara amultimii A, sau supremum al multimii A, si notam M = sup A, daca sunt ındepliniteurmatoarele conditii:(i) M este un majorant al multimii A :
a ≤ M, ∀a ∈ A;
(ii) M este mai mic decat orice alt majorant al multimii A :
(a ≤ M′,∀a ∈ A)⇒ M ≤ M′.
2. Spunem despre un numar real m ca este marginea inferioara a multimii A, sauinfimum al multimii A, si notam m = inf A, daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:
(i) m este un minorant al multimii A :
m ≤ a, ∀a ∈ A;
(ii) m este mai mare decat orice alt minorant al multimii A :
(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Supremum. Infimum
Definitia 2.3
1. Fie A ⊂ R. Spunem despre un numar real M ca este marginea superioara amultimii A, sau supremum al multimii A, si notam M = sup A, daca sunt ındepliniteurmatoarele conditii:(i) M este un majorant al multimii A :
a ≤ M, ∀a ∈ A;
(ii) M este mai mic decat orice alt majorant al multimii A :
(a ≤ M′,∀a ∈ A)⇒ M ≤ M′.
2. Spunem despre un numar real m ca este marginea inferioara a multimii A, sauinfimum al multimii A, si notam m = inf A, daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:(i) m este un minorant al multimii A :
m ≤ a, ∀a ∈ A;
(ii) m este mai mare decat orice alt minorant al multimii A :
(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Supremum. Infimum
Definitia 2.3
1. Fie A ⊂ R. Spunem despre un numar real M ca este marginea superioara amultimii A, sau supremum al multimii A, si notam M = sup A, daca sunt ındepliniteurmatoarele conditii:(i) M este un majorant al multimii A :
a ≤ M, ∀a ∈ A;
(ii) M este mai mic decat orice alt majorant al multimii A :
(a ≤ M′,∀a ∈ A)⇒ M ≤ M′.
2. Spunem despre un numar real m ca este marginea inferioara a multimii A, sauinfimum al multimii A, si notam m = inf A, daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:(i) m este un minorant al multimii A :
m ≤ a, ∀a ∈ A;
(ii) m este mai mare decat orice alt minorant al multimii A :
(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Caracterizari ale supremumului si infimumului
Teorema 2.4
1. Fie A ⊂ R, nevida si M ∈ R. Atunci M = sup A daca si numai daca:(i) a ≤ M, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat M − ε < xε.
2. Fie A ⊂ R, nevida si m ∈ R. Atunci m = inf A daca si numai daca:(i) m ≤ a, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat xε < m + ε.
Observatia 2.5
1. Daca a, b ∈ R, a < b, atunci sup(a, b) = b, inf(a, b] = a etc.2. Daca A =
{q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 2
}atunci sup A =
√2 /∈ Q iar inf A = 0. Desi Q este
un corp total ordonat, el nu este complet ın sensul precizat de urmatoarea axioma.
Axioma de completitudine (Cantor - Dedekind)
Orice submultime nevida a lui R care este majorata admite cel putin o marginesuperioara ın R, adica exista sup A ∈ R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Caracterizari ale supremumului si infimumului
Teorema 2.4
1. Fie A ⊂ R, nevida si M ∈ R. Atunci M = sup A daca si numai daca:(i) a ≤ M, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat M − ε < xε.2. Fie A ⊂ R, nevida si m ∈ R. Atunci m = inf A daca si numai daca:(i) m ≤ a, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat xε < m + ε.
Observatia 2.5
1. Daca a, b ∈ R, a < b, atunci sup(a, b) = b, inf(a, b] = a etc.2. Daca A =
{q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 2
}atunci sup A =
√2 /∈ Q iar inf A = 0. Desi Q este
un corp total ordonat, el nu este complet ın sensul precizat de urmatoarea axioma.
Axioma de completitudine (Cantor - Dedekind)
Orice submultime nevida a lui R care este majorata admite cel putin o marginesuperioara ın R, adica exista sup A ∈ R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Caracterizari ale supremumului si infimumului
Teorema 2.4
1. Fie A ⊂ R, nevida si M ∈ R. Atunci M = sup A daca si numai daca:(i) a ≤ M, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat M − ε < xε.2. Fie A ⊂ R, nevida si m ∈ R. Atunci m = inf A daca si numai daca:(i) m ≤ a, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat xε < m + ε.
Observatia 2.5
1. Daca a, b ∈ R, a < b, atunci sup(a, b) = b, inf(a, b] = a etc.
2. Daca A ={
q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 2}
atunci sup A =√
2 /∈ Q iar inf A = 0. Desi Q esteun corp total ordonat, el nu este complet ın sensul precizat de urmatoarea axioma.
Axioma de completitudine (Cantor - Dedekind)
Orice submultime nevida a lui R care este majorata admite cel putin o marginesuperioara ın R, adica exista sup A ∈ R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Caracterizari ale supremumului si infimumului
Teorema 2.4
1. Fie A ⊂ R, nevida si M ∈ R. Atunci M = sup A daca si numai daca:(i) a ≤ M, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat M − ε < xε.2. Fie A ⊂ R, nevida si m ∈ R. Atunci m = inf A daca si numai daca:(i) m ≤ a, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat xε < m + ε.
Observatia 2.5
1. Daca a, b ∈ R, a < b, atunci sup(a, b) = b, inf(a, b] = a etc.2. Daca A =
{q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 2
}atunci sup A =
√2 /∈ Q iar inf A = 0. Desi Q este
un corp total ordonat, el nu este complet ın sensul precizat de urmatoarea axioma.
Axioma de completitudine (Cantor - Dedekind)
Orice submultime nevida a lui R care este majorata admite cel putin o marginesuperioara ın R, adica exista sup A ∈ R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Caracterizari ale supremumului si infimumului
Teorema 2.4
1. Fie A ⊂ R, nevida si M ∈ R. Atunci M = sup A daca si numai daca:(i) a ≤ M, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat M − ε < xε.2. Fie A ⊂ R, nevida si m ∈ R. Atunci m = inf A daca si numai daca:(i) m ≤ a, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat xε < m + ε.
Observatia 2.5
1. Daca a, b ∈ R, a < b, atunci sup(a, b) = b, inf(a, b] = a etc.2. Daca A =
{q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 2
}atunci sup A =
√2 /∈ Q iar inf A = 0. Desi Q este
un corp total ordonat, el nu este complet ın sensul precizat de urmatoarea axioma.
Axioma de completitudine (Cantor - Dedekind)
Orice submultime nevida a lui R care este majorata admite cel putin o marginesuperioara ın R, adica exista sup A ∈ R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Proprietatea lui Arhimede. Densitatea lui Q ın R
Teorema 2.6 (Proprietatea lui Arhimede)
Daca x si y sunt numere reale strict pozitive, atunci exista n ∈ N astfel ıncat nx > y.
Observatia 2.7
1. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := ε > 0 oarecare si y := 1, obtinem
ca exista n ∈ N∗ astfel ıncat1
n< ε. De aici rezulta ca inf
{1
n| n ∈ N∗
}= 0.
2. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := 1 si y := a > 0, obtinem ca existan ∈ N astfel ıncat a < n.
Teorema 2.8 (Densitatea lui Q ın R)
Intre orice doua numere reale distincte se afla cel putin un numar rational.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Proprietatea lui Arhimede. Densitatea lui Q ın R
Teorema 2.6 (Proprietatea lui Arhimede)
Daca x si y sunt numere reale strict pozitive, atunci exista n ∈ N astfel ıncat nx > y.
Observatia 2.7
1. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := ε > 0 oarecare si y := 1, obtinem
ca exista n ∈ N∗ astfel ıncat1
n< ε. De aici rezulta ca inf
{1
n| n ∈ N∗
}= 0.
2. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := 1 si y := a > 0, obtinem ca existan ∈ N astfel ıncat a < n.
Teorema 2.8 (Densitatea lui Q ın R)
Intre orice doua numere reale distincte se afla cel putin un numar rational.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Proprietatea lui Arhimede. Densitatea lui Q ın R
Teorema 2.6 (Proprietatea lui Arhimede)
Daca x si y sunt numere reale strict pozitive, atunci exista n ∈ N astfel ıncat nx > y.
Observatia 2.7
1. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := ε > 0 oarecare si y := 1, obtinem
ca exista n ∈ N∗ astfel ıncat1
n< ε. De aici rezulta ca inf
{1
n| n ∈ N∗
}= 0.
2. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := 1 si y := a > 0, obtinem ca existan ∈ N astfel ıncat a < n.
Teorema 2.8 (Densitatea lui Q ın R)
Intre orice doua numere reale distincte se afla cel putin un numar rational.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Proprietatea lui Arhimede. Densitatea lui Q ın R
Teorema 2.6 (Proprietatea lui Arhimede)
Daca x si y sunt numere reale strict pozitive, atunci exista n ∈ N astfel ıncat nx > y.
Observatia 2.7
1. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := ε > 0 oarecare si y := 1, obtinem
ca exista n ∈ N∗ astfel ıncat1
n< ε. De aici rezulta ca inf
{1
n| n ∈ N∗
}= 0.
2. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := 1 si y := a > 0, obtinem ca existan ∈ N astfel ıncat a < n.
Teorema 2.8 (Densitatea lui Q ın R)
Intre orice doua numere reale distincte se afla cel putin un numar rational.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Multimea RMultimea R ∪ {−∞,+∞} o vom nota cu R si o vom numi dreapta reala ıncheiatasau compactificata. Vom prelungi ordinea uzuala a lui R la R prin:
−∞ < x , x < +∞, −∞ < +∞, ∀x ∈ R.
De asemenea, prelungim si operatiile algebrice din R la R, fara a fi ınsa definite pestetot:x +∞ =∞+ x =∞, ∀x ∈ R \ {−∞}x + (−∞) = −∞+ x = −∞, ∀x ∈ R \ {+∞}∞ · x = x · ∞ =∞, pentru x > 0 si x ∈ R∞ · x = x · ∞ = −∞, pentru x < 0 si x ∈ R.
Urmatoarele operatii sunt nedefinite (se mai numesc si nedeterminari, si vor fi reluatemai tarziu):
∞+ (−∞), (−∞) +∞, 0 · ∞, ∞ · 0,0
0,∞∞, ∞0, 00, 1∞.
Daca A ⊂ R este o multime nevida, majorata, atunci sup A ∈ R, conform axiomei decompletitudine. Daca A nu este majorata, atunci vom pune, prin definitie,sup A := +∞, iar daca A nu este minorata, vom pune inf A := −∞. In acest fel, oricesubmultime nevida din R are margine superioara si margine inferioara ın R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Multimea RMultimea R ∪ {−∞,+∞} o vom nota cu R si o vom numi dreapta reala ıncheiatasau compactificata. Vom prelungi ordinea uzuala a lui R la R prin:
−∞ < x , x < +∞, −∞ < +∞, ∀x ∈ R.
De asemenea, prelungim si operatiile algebrice din R la R, fara a fi ınsa definite pestetot:x +∞ =∞+ x =∞, ∀x ∈ R \ {−∞}x + (−∞) = −∞+ x = −∞, ∀x ∈ R \ {+∞}∞ · x = x · ∞ =∞, pentru x > 0 si x ∈ R∞ · x = x · ∞ = −∞, pentru x < 0 si x ∈ R.
Urmatoarele operatii sunt nedefinite (se mai numesc si nedeterminari, si vor fi reluatemai tarziu):
∞+ (−∞), (−∞) +∞, 0 · ∞, ∞ · 0,0
0,∞∞, ∞0, 00, 1∞.
Daca A ⊂ R este o multime nevida, majorata, atunci sup A ∈ R, conform axiomei decompletitudine. Daca A nu este majorata, atunci vom pune, prin definitie,sup A := +∞, iar daca A nu este minorata, vom pune inf A := −∞. In acest fel, oricesubmultime nevida din R are margine superioara si margine inferioara ın R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Multimea RMultimea R ∪ {−∞,+∞} o vom nota cu R si o vom numi dreapta reala ıncheiatasau compactificata. Vom prelungi ordinea uzuala a lui R la R prin:
−∞ < x , x < +∞, −∞ < +∞, ∀x ∈ R.
De asemenea, prelungim si operatiile algebrice din R la R, fara a fi ınsa definite pestetot:x +∞ =∞+ x =∞, ∀x ∈ R \ {−∞}x + (−∞) = −∞+ x = −∞, ∀x ∈ R \ {+∞}∞ · x = x · ∞ =∞, pentru x > 0 si x ∈ R∞ · x = x · ∞ = −∞, pentru x < 0 si x ∈ R.
Urmatoarele operatii sunt nedefinite (se mai numesc si nedeterminari, si vor fi reluatemai tarziu):
∞+ (−∞), (−∞) +∞, 0 · ∞, ∞ · 0,0
0,∞∞, ∞0, 00, 1∞.
Daca A ⊂ R este o multime nevida, majorata, atunci sup A ∈ R, conform axiomei decompletitudine. Daca A nu este majorata, atunci vom pune, prin definitie,sup A := +∞, iar daca A nu este minorata, vom pune inf A := −∞. In acest fel, oricesubmultime nevida din R are margine superioara si margine inferioara ın R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Multimea RMultimea R ∪ {−∞,+∞} o vom nota cu R si o vom numi dreapta reala ıncheiatasau compactificata. Vom prelungi ordinea uzuala a lui R la R prin:
−∞ < x , x < +∞, −∞ < +∞, ∀x ∈ R.
De asemenea, prelungim si operatiile algebrice din R la R, fara a fi ınsa definite pestetot:x +∞ =∞+ x =∞, ∀x ∈ R \ {−∞}x + (−∞) = −∞+ x = −∞, ∀x ∈ R \ {+∞}∞ · x = x · ∞ =∞, pentru x > 0 si x ∈ R∞ · x = x · ∞ = −∞, pentru x < 0 si x ∈ R.
Urmatoarele operatii sunt nedefinite (se mai numesc si nedeterminari, si vor fi reluatemai tarziu):
∞+ (−∞), (−∞) +∞, 0 · ∞, ∞ · 0,0
0,∞∞, ∞0, 00, 1∞.
Daca A ⊂ R este o multime nevida, majorata, atunci sup A ∈ R, conform axiomei decompletitudine. Daca A nu este majorata, atunci vom pune, prin definitie,sup A := +∞, iar daca A nu este minorata, vom pune inf A := −∞. In acest fel, oricesubmultime nevida din R are margine superioara si margine inferioara ın R.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Spatiul Rk
Consideram k ∈ N∗ si fie
Rk := R× R× ...× R︸ ︷︷ ︸de k ori
= {x = (x1, x2, ..., xk ) | xi ∈ R, i = 1, k}.
Aceasta multime se organizeaza ca spatiu liniar real ın raport cu operatiile
“ · ” : R× Rk → Rk , a · x = (ax1, ax2, ..., axk ),
pentru orice x , y ∈ Rk si orice a ∈ R, operatii numite adunarea si ınmultirea cuscalari. Dupa cum se va vedea la cursul de algebra liniara, acest lucru ınseamna defapt urmatoarele:I. (Rk ,+) este grup abelian;
II. Inmultirea cu scalari satisface proprietatile1. a · (x + y) = a · x + a · y , ∀a ∈ R, ∀x , y ∈ Rk ;2. (a + b) · x = a · x + b · x , ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ Rk ;3. a · (b · x) = (ab) · x , ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ Rk ;4. 1 · x = x , ∀x ∈ Rk .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Spatiul Rk
Consideram k ∈ N∗ si fie
Rk := R× R× ...× R︸ ︷︷ ︸de k ori
= {x = (x1, x2, ..., xk ) | xi ∈ R, i = 1, k}.
Aceasta multime se organizeaza ca spatiu liniar real ın raport cu operatiile
“ · ” : R× Rk → Rk , a · x = (ax1, ax2, ..., axk ),
pentru orice x , y ∈ Rk si orice a ∈ R, operatii numite adunarea si ınmultirea cuscalari. Dupa cum se va vedea la cursul de algebra liniara, acest lucru ınseamna defapt urmatoarele:I. (Rk ,+) este grup abelian;
II. Inmultirea cu scalari satisface proprietatile1. a · (x + y) = a · x + a · y , ∀a ∈ R, ∀x , y ∈ Rk ;2. (a + b) · x = a · x + b · x , ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ Rk ;3. a · (b · x) = (ab) · x , ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ Rk ;4. 1 · x = x , ∀x ∈ Rk .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Norme pe Rk
Definitia 4.1
O aplicatie ‖·‖ : Rk → R se numeste norma pe Rk daca ındeplineste relatiile:(N1) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;(N2) ‖λ · x‖ = |λ| ‖x‖ , ∀λ ∈ R, ∀x ∈ Rk ;(N3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , ∀x , y ∈ Rk .
Proprietatile (N1)− (N3) se mai numesc axiomele normei. Avand definita o norma‖·‖ pe Rk , vom spune ca (Rk , ‖·‖) este spatiu liniar normat. Pentru un elementx ∈ Rk , vom numi ‖x‖ norma sau lungimea vectorului x .
Propozitia 4.2 (Proprietati ale normei)
Presupunem ca ‖·‖ este o norma pe Rk . Atunci:(i) ‖−x‖ = ‖x‖ , ∀x ∈ Rk ;(ii) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ Rk ;(iii) |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x − y‖ , ∀x , y ∈ Rk .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Norme pe Rk
Definitia 4.1
O aplicatie ‖·‖ : Rk → R se numeste norma pe Rk daca ındeplineste relatiile:(N1) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;(N2) ‖λ · x‖ = |λ| ‖x‖ , ∀λ ∈ R, ∀x ∈ Rk ;(N3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , ∀x , y ∈ Rk .
Proprietatile (N1)− (N3) se mai numesc axiomele normei. Avand definita o norma‖·‖ pe Rk , vom spune ca (Rk , ‖·‖) este spatiu liniar normat. Pentru un elementx ∈ Rk , vom numi ‖x‖ norma sau lungimea vectorului x .
Propozitia 4.2 (Proprietati ale normei)
Presupunem ca ‖·‖ este o norma pe Rk . Atunci:(i) ‖−x‖ = ‖x‖ , ∀x ∈ Rk ;(ii) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ Rk ;(iii) |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x − y‖ , ∀x , y ∈ Rk .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Norme pe Rk
Definitia 4.1
O aplicatie ‖·‖ : Rk → R se numeste norma pe Rk daca ındeplineste relatiile:(N1) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;(N2) ‖λ · x‖ = |λ| ‖x‖ , ∀λ ∈ R, ∀x ∈ Rk ;(N3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , ∀x , y ∈ Rk .
Proprietatile (N1)− (N3) se mai numesc axiomele normei. Avand definita o norma‖·‖ pe Rk , vom spune ca (Rk , ‖·‖) este spatiu liniar normat. Pentru un elementx ∈ Rk , vom numi ‖x‖ norma sau lungimea vectorului x .
Propozitia 4.2 (Proprietati ale normei)
Presupunem ca ‖·‖ este o norma pe Rk . Atunci:(i) ‖−x‖ = ‖x‖ , ∀x ∈ Rk ;(ii) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ Rk ;(iii) |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x − y‖ , ∀x , y ∈ Rk .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Exemple de norme pe Rk
Exemplul 4.3 (Exemple remarcabile de norme)
1. Pentru k = 1, functia modul |·| : R→ R este o norma.
2. Aplicatia ‖·‖2 : Rk → R definita prin
‖x‖2 :=
√√√√ k∑i=1
x2i , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk , (1)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma euclidiana.3. Aplicatia ‖·‖1 : Rk → R definita prin
‖x‖1 :=k∑
i=1
|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (2)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma Manhattan.4. Aplicatia ‖·‖∞ : Rk → R definita prin
‖x‖∞ := maxi=1,k
|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (3)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma maximum.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Exemple de norme pe Rk
Exemplul 4.3 (Exemple remarcabile de norme)
1. Pentru k = 1, functia modul |·| : R→ R este o norma.2. Aplicatia ‖·‖2 : Rk → R definita prin
‖x‖2 :=
√√√√ k∑i=1
x2i , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk , (1)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma euclidiana.
3. Aplicatia ‖·‖1 : Rk → R definita prin
‖x‖1 :=k∑
i=1
|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (2)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma Manhattan.4. Aplicatia ‖·‖∞ : Rk → R definita prin
‖x‖∞ := maxi=1,k
|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (3)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma maximum.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Exemple de norme pe Rk
Exemplul 4.3 (Exemple remarcabile de norme)
1. Pentru k = 1, functia modul |·| : R→ R este o norma.2. Aplicatia ‖·‖2 : Rk → R definita prin
‖x‖2 :=
√√√√ k∑i=1
x2i , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk , (1)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma euclidiana.3. Aplicatia ‖·‖1 : Rk → R definita prin
‖x‖1 :=k∑
i=1
|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (2)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma Manhattan.
4. Aplicatia ‖·‖∞ : Rk → R definita prin
‖x‖∞ := maxi=1,k
|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (3)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma maximum.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Exemple de norme pe Rk
Exemplul 4.3 (Exemple remarcabile de norme)
1. Pentru k = 1, functia modul |·| : R→ R este o norma.2. Aplicatia ‖·‖2 : Rk → R definita prin
‖x‖2 :=
√√√√ k∑i=1
x2i , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk , (1)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma euclidiana.3. Aplicatia ‖·‖1 : Rk → R definita prin
‖x‖1 :=k∑
i=1
|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (2)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma Manhattan.4. Aplicatia ‖·‖∞ : Rk → R definita prin
‖x‖∞ := maxi=1,k
|xi | , ∀x = (x1, x2, ..., xk ) ∈ Rk . (3)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma maximum.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Verificare. BibliografieMultimea numerelor reale
Multimea RSpatiul Rk
Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
Exercitiu
Exercitiul 4.4
Sa se calculeze normele ‖·‖2 , ‖·‖1 , ‖·‖∞ pentru vectorii:a) x = (−1, 3) ∈ R2;b) y = (2,−1, 5) ∈ R3;c) z =
Sa consideram cazul lui R2. Pentru norma euclidiana ‖·‖2 , bila deschisa, bila ınchisa sisfera de centru a = (a1, a2) ∈ R2 si raza r > 0 vor fi, respectiv
Sa consideram cazul lui R2. Pentru norma euclidiana ‖·‖2 , bila deschisa, bila ınchisa sisfera de centru a = (a1, a2) ∈ R2 si raza r > 0 vor fi, respectiv
Se numeste vecinatate a punctului x ∈ Rk orice multime care contine o bila deschisacentrata ın x . Vom nota cu V(x) multimea tuturor vecinatatilor punctului x si o vomnumi sistem de vecinatati pentru punctul x .
Exemplul 5.6
Pentru k = 1, avem ca pentru orice x ∈ R,
V ∈ V(x)⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V .
Definitia 5.7
Fie x ∈ R.Daca x ∈ R, atunci V ∈ V(x) ⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V ;Daca x = +∞, atunci V ∈ V(+∞) ⇔ exista a ∈ R astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V ;Daca x = −∞, atunci V ∈ V(−∞) ⇔ exista b ∈ R astfel ıncat [−∞, b) ⊂ V .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Se numeste vecinatate a punctului x ∈ Rk orice multime care contine o bila deschisacentrata ın x . Vom nota cu V(x) multimea tuturor vecinatatilor punctului x si o vomnumi sistem de vecinatati pentru punctul x .
Exemplul 5.6
Pentru k = 1, avem ca pentru orice x ∈ R,
V ∈ V(x)⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V .
Definitia 5.7
Fie x ∈ R.Daca x ∈ R, atunci V ∈ V(x) ⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V ;Daca x = +∞, atunci V ∈ V(+∞) ⇔ exista a ∈ R astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V ;Daca x = −∞, atunci V ∈ V(−∞) ⇔ exista b ∈ R astfel ıncat [−∞, b) ⊂ V .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Se numeste vecinatate a punctului x ∈ Rk orice multime care contine o bila deschisacentrata ın x . Vom nota cu V(x) multimea tuturor vecinatatilor punctului x si o vomnumi sistem de vecinatati pentru punctul x .
Exemplul 5.6
Pentru k = 1, avem ca pentru orice x ∈ R,
V ∈ V(x)⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V .
Definitia 5.7
Fie x ∈ R.Daca x ∈ R, atunci V ∈ V(x) ⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V ;
Daca x = +∞, atunci V ∈ V(+∞) ⇔ exista a ∈ R astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V ;Daca x = −∞, atunci V ∈ V(−∞) ⇔ exista b ∈ R astfel ıncat [−∞, b) ⊂ V .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Se numeste vecinatate a punctului x ∈ Rk orice multime care contine o bila deschisacentrata ın x . Vom nota cu V(x) multimea tuturor vecinatatilor punctului x si o vomnumi sistem de vecinatati pentru punctul x .
Exemplul 5.6
Pentru k = 1, avem ca pentru orice x ∈ R,
V ∈ V(x)⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V .
Definitia 5.7
Fie x ∈ R.Daca x ∈ R, atunci V ∈ V(x) ⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V ;Daca x = +∞, atunci V ∈ V(+∞) ⇔ exista a ∈ R astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V ;
Daca x = −∞, atunci V ∈ V(−∞) ⇔ exista b ∈ R astfel ıncat [−∞, b) ⊂ V .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Se numeste vecinatate a punctului x ∈ Rk orice multime care contine o bila deschisacentrata ın x . Vom nota cu V(x) multimea tuturor vecinatatilor punctului x si o vomnumi sistem de vecinatati pentru punctul x .
Exemplul 5.6
Pentru k = 1, avem ca pentru orice x ∈ R,
V ∈ V(x)⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V .
Definitia 5.7
Fie x ∈ R.Daca x ∈ R, atunci V ∈ V(x) ⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x − r , x + r) ⊂ V ;Daca x = +∞, atunci V ∈ V(+∞) ⇔ exista a ∈ R astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V ;Daca x = −∞, atunci V ∈ V(−∞) ⇔ exista b ∈ R astfel ıncat [−∞, b) ⊂ V .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
O submultime D ⊂ Rk se numeste deschisa daca D = ∅ sau D este vecinatate pentruorice punct al sau.
Exemplul 5.9
1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.
Teorema 5.10 (Proprietati ale multimilor deschise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;(iii) Rk este o multime deschisa.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
O submultime D ⊂ Rk se numeste deschisa daca D = ∅ sau D este vecinatate pentruorice punct al sau.
Exemplul 5.9
1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.
2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.
Teorema 5.10 (Proprietati ale multimilor deschise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;(iii) Rk este o multime deschisa.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
O submultime D ⊂ Rk se numeste deschisa daca D = ∅ sau D este vecinatate pentruorice punct al sau.
Exemplul 5.9
1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.
3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.
Teorema 5.10 (Proprietati ale multimilor deschise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;(iii) Rk este o multime deschisa.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
O submultime D ⊂ Rk se numeste deschisa daca D = ∅ sau D este vecinatate pentruorice punct al sau.
Exemplul 5.9
1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.
4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.
Teorema 5.10 (Proprietati ale multimilor deschise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;(iii) Rk este o multime deschisa.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
O submultime D ⊂ Rk se numeste deschisa daca D = ∅ sau D este vecinatate pentruorice punct al sau.
Exemplul 5.9
1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.
Teorema 5.10 (Proprietati ale multimilor deschise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;(iii) Rk este o multime deschisa.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
O submultime D ⊂ Rk se numeste deschisa daca D = ∅ sau D este vecinatate pentruorice punct al sau.
Exemplul 5.9
1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.
Teorema 5.10 (Proprietati ale multimilor deschise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;
(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;(iii) Rk este o multime deschisa.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
O submultime D ⊂ Rk se numeste deschisa daca D = ∅ sau D este vecinatate pentruorice punct al sau.
Exemplul 5.9
1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.
Teorema 5.10 (Proprietati ale multimilor deschise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;
(iii) Rk este o multime deschisa.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
O submultime D ⊂ Rk se numeste deschisa daca D = ∅ sau D este vecinatate pentruorice punct al sau.
Exemplul 5.9
1. Orice bila deschisa B(x , r) din Rk este multime deschisa. In cazul k = 1, oriceinterval de forma (x − ε, x + ε) este o multime deschisa.2. Intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) sunt multimi deschise.3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r} este o multimedeschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu estevecinatate pentru 2.
Teorema 5.10 (Proprietati ale multimilor deschise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;(iii) Rk este o multime deschisa.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
O submultime D ⊂ Rk se numeste ınchisa daca multimea sa complementara,cD := Rk \ D, este deschisa.
Exemplul 5.12
1. ∅,Rk sunt multimi ınchise, deoarece c∅ = Rk , cRk = ∅ sunt deschise.2. Orice bila ınchisa D(a, r) dintr-un spatiu metric este multime ınchisa deoarececomplementara sa, Rk \ D(x , r) = {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r}, este deschisa.
Teorema 5.13 (Proprietati ale multimilor ınchise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune finita de multimi ınchise este o multime ınchisa;(ii) Orice intersectie (finita sau infinita) de multimi ınchise este o multime ınchisa.
Exercitiul 5.14
Precizati daca multimea urmatoare este deschisa sau ınchisa ın R4:
O submultime D ⊂ Rk se numeste ınchisa daca multimea sa complementara,cD := Rk \ D, este deschisa.
Exemplul 5.12
1. ∅,Rk sunt multimi ınchise, deoarece c∅ = Rk , cRk = ∅ sunt deschise.
2. Orice bila ınchisa D(a, r) dintr-un spatiu metric este multime ınchisa deoarececomplementara sa, Rk \ D(x , r) = {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r}, este deschisa.
Teorema 5.13 (Proprietati ale multimilor ınchise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune finita de multimi ınchise este o multime ınchisa;(ii) Orice intersectie (finita sau infinita) de multimi ınchise este o multime ınchisa.
Exercitiul 5.14
Precizati daca multimea urmatoare este deschisa sau ınchisa ın R4:
O submultime D ⊂ Rk se numeste ınchisa daca multimea sa complementara,cD := Rk \ D, este deschisa.
Exemplul 5.12
1. ∅,Rk sunt multimi ınchise, deoarece c∅ = Rk , cRk = ∅ sunt deschise.2. Orice bila ınchisa D(a, r) dintr-un spatiu metric este multime ınchisa deoarececomplementara sa, Rk \ D(x , r) = {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r}, este deschisa.
Teorema 5.13 (Proprietati ale multimilor ınchise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune finita de multimi ınchise este o multime ınchisa;(ii) Orice intersectie (finita sau infinita) de multimi ınchise este o multime ınchisa.
Exercitiul 5.14
Precizati daca multimea urmatoare este deschisa sau ınchisa ın R4:
O submultime D ⊂ Rk se numeste ınchisa daca multimea sa complementara,cD := Rk \ D, este deschisa.
Exemplul 5.12
1. ∅,Rk sunt multimi ınchise, deoarece c∅ = Rk , cRk = ∅ sunt deschise.2. Orice bila ınchisa D(a, r) dintr-un spatiu metric este multime ınchisa deoarececomplementara sa, Rk \ D(x , r) = {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r}, este deschisa.
Teorema 5.13 (Proprietati ale multimilor ınchise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune finita de multimi ınchise este o multime ınchisa;
(ii) Orice intersectie (finita sau infinita) de multimi ınchise este o multime ınchisa.
Exercitiul 5.14
Precizati daca multimea urmatoare este deschisa sau ınchisa ın R4:
O submultime D ⊂ Rk se numeste ınchisa daca multimea sa complementara,cD := Rk \ D, este deschisa.
Exemplul 5.12
1. ∅,Rk sunt multimi ınchise, deoarece c∅ = Rk , cRk = ∅ sunt deschise.2. Orice bila ınchisa D(a, r) dintr-un spatiu metric este multime ınchisa deoarececomplementara sa, Rk \ D(x , r) = {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r}, este deschisa.
Teorema 5.13 (Proprietati ale multimilor ınchise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune finita de multimi ınchise este o multime ınchisa;(ii) Orice intersectie (finita sau infinita) de multimi ınchise este o multime ınchisa.
Exercitiul 5.14
Precizati daca multimea urmatoare este deschisa sau ınchisa ın R4:
O submultime D ⊂ Rk se numeste ınchisa daca multimea sa complementara,cD := Rk \ D, este deschisa.
Exemplul 5.12
1. ∅,Rk sunt multimi ınchise, deoarece c∅ = Rk , cRk = ∅ sunt deschise.2. Orice bila ınchisa D(a, r) dintr-un spatiu metric este multime ınchisa deoarececomplementara sa, Rk \ D(x , r) = {x ∈ Rk | ‖x − a‖ > r}, este deschisa.
Teorema 5.13 (Proprietati ale multimilor ınchise)
Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune finita de multimi ınchise este o multime ınchisa;(ii) Orice intersectie (finita sau infinita) de multimi ınchise este o multime ınchisa.
Exercitiul 5.14
Precizati daca multimea urmatoare este deschisa sau ınchisa ın R4:
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct aderent multimii A daca pentruorice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor aderente multimii A senoteaza cu A sau cu clA si se numeste aderenta, sau ınchiderea multimii A.
Exemplul 5.18
1. In cazul k = 1, aderenta tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] estemultimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A = B = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅ si V ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem A = A.
Urmatoarea teorema face legatura ıntre notiunile de aderenta si interior.
Teorema 5.19
Fie A ⊂ Rk . Atunci:
c◦A = cA si cA =
◦︷︸︸︷cA .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct aderent multimii A daca pentruorice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor aderente multimii A senoteaza cu A sau cu clA si se numeste aderenta, sau ınchiderea multimii A.
Exemplul 5.18
1. In cazul k = 1, aderenta tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] estemultimea [a, b].
2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A = B = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅ si V ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem A = A.
Urmatoarea teorema face legatura ıntre notiunile de aderenta si interior.
Teorema 5.19
Fie A ⊂ Rk . Atunci:
c◦A = cA si cA =
◦︷︸︸︷cA .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct aderent multimii A daca pentruorice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor aderente multimii A senoteaza cu A sau cu clA si se numeste aderenta, sau ınchiderea multimii A.
Exemplul 5.18
1. In cazul k = 1, aderenta tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] estemultimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A = B = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅ si V ∩ B 6= ∅.
3. Pentru X = R2 si A ={
(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem A = A.
Urmatoarea teorema face legatura ıntre notiunile de aderenta si interior.
Teorema 5.19
Fie A ⊂ Rk . Atunci:
c◦A = cA si cA =
◦︷︸︸︷cA .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct aderent multimii A daca pentruorice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor aderente multimii A senoteaza cu A sau cu clA si se numeste aderenta, sau ınchiderea multimii A.
Exemplul 5.18
1. In cazul k = 1, aderenta tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] estemultimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A = B = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅ si V ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem A = A.
Urmatoarea teorema face legatura ıntre notiunile de aderenta si interior.
Teorema 5.19
Fie A ⊂ Rk . Atunci:
c◦A = cA si cA =
◦︷︸︸︷cA .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct aderent multimii A daca pentruorice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor aderente multimii A senoteaza cu A sau cu clA si se numeste aderenta, sau ınchiderea multimii A.
Exemplul 5.18
1. In cazul k = 1, aderenta tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] estemultimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A = B = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅ si V ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem A = A.
Urmatoarea teorema face legatura ıntre notiunile de aderenta si interior.
Teorema 5.19
Fie A ⊂ Rk . Atunci:
c◦A = cA si cA =
◦︷︸︸︷cA .
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Numim frontiera a multimii A, notata FrA, multimea A ∩ cA.
Exemplul 5.21
1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.2. Pentru R si A = Q, B = R \ Q, obtinem FrA = A ∩ B = R. Analog,FrB = R.3. FrR = ∅.4. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
FrA =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9= 1
}∪ {(3, 0)} .
Teorema 5.22
Fie A ⊂ Rk . Atunci:
(i)◦A = A \ FrA;
(ii) A = A ∪ FrA.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Numim frontiera a multimii A, notata FrA, multimea A ∩ cA.
Exemplul 5.21
1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.2. Pentru R si A = Q, B = R \ Q, obtinem FrA = A ∩ B = R. Analog,FrB = R.
3. FrR = ∅.4. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
FrA =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9= 1
}∪ {(3, 0)} .
Teorema 5.22
Fie A ⊂ Rk . Atunci:
(i)◦A = A \ FrA;
(ii) A = A ∪ FrA.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Numim frontiera a multimii A, notata FrA, multimea A ∩ cA.
Exemplul 5.21
1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.2. Pentru R si A = Q, B = R \ Q, obtinem FrA = A ∩ B = R. Analog,FrB = R.3. FrR = ∅.
4. Pentru X = R2 si A ={
(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
FrA =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9= 1
}∪ {(3, 0)} .
Teorema 5.22
Fie A ⊂ Rk . Atunci:
(i)◦A = A \ FrA;
(ii) A = A ∪ FrA.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Numim frontiera a multimii A, notata FrA, multimea A ∩ cA.
Exemplul 5.21
1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.2. Pentru R si A = Q, B = R \ Q, obtinem FrA = A ∩ B = R. Analog,FrB = R.3. FrR = ∅.4. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
FrA =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9= 1
}∪ {(3, 0)} .
Teorema 5.22
Fie A ⊂ Rk . Atunci:
(i)◦A = A \ FrA;
(ii) A = A ∪ FrA.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Numim frontiera a multimii A, notata FrA, multimea A ∩ cA.
Exemplul 5.21
1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.2. Pentru R si A = Q, B = R \ Q, obtinem FrA = A ∩ B = R. Analog,FrB = R.3. FrR = ∅.4. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
FrA =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9= 1
}∪ {(3, 0)} .
Teorema 5.22
Fie A ⊂ Rk . Atunci:
(i)◦A = A \ FrA;
(ii) A = A ∪ FrA.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct de acumulare al multimii A dacapentru orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor de acumulareale multimii A se noteaza cu A′ si se numeste multimea derivata asociata multimii A.
Un punct x ∈ A cu proprietatea ca x 6∈ A′ se numeste punct izolat al multimii A.
Exemplul 5.24
1. Pentru R, multimea derivata asociata tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]este multimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \Q, avem A′ = B′ = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅ si (V \ {x}) ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
A′ =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9≤ 1
}.
Punctul (3, 0) este punct izolat pentru multimea A.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct de acumulare al multimii A dacapentru orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor de acumulareale multimii A se noteaza cu A′ si se numeste multimea derivata asociata multimii A.Un punct x ∈ A cu proprietatea ca x 6∈ A′ se numeste punct izolat al multimii A.
Exemplul 5.24
1. Pentru R, multimea derivata asociata tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]este multimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \Q, avem A′ = B′ = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅ si (V \ {x}) ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
A′ =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9≤ 1
}.
Punctul (3, 0) este punct izolat pentru multimea A.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct de acumulare al multimii A dacapentru orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor de acumulareale multimii A se noteaza cu A′ si se numeste multimea derivata asociata multimii A.Un punct x ∈ A cu proprietatea ca x 6∈ A′ se numeste punct izolat al multimii A.
Exemplul 5.24
1. Pentru R, multimea derivata asociata tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]este multimea [a, b].
2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \Q, avem A′ = B′ = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅ si (V \ {x}) ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
A′ =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9≤ 1
}.
Punctul (3, 0) este punct izolat pentru multimea A.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct de acumulare al multimii A dacapentru orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor de acumulareale multimii A se noteaza cu A′ si se numeste multimea derivata asociata multimii A.Un punct x ∈ A cu proprietatea ca x 6∈ A′ se numeste punct izolat al multimii A.
Exemplul 5.24
1. Pentru R, multimea derivata asociata tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]este multimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \Q, avem A′ = B′ = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅ si (V \ {x}) ∩ B 6= ∅.
3. Pentru X = R2 si A ={
(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
A′ =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9≤ 1
}.
Punctul (3, 0) este punct izolat pentru multimea A.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct de acumulare al multimii A dacapentru orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor de acumulareale multimii A se noteaza cu A′ si se numeste multimea derivata asociata multimii A.Un punct x ∈ A cu proprietatea ca x 6∈ A′ se numeste punct izolat al multimii A.
Exemplul 5.24
1. Pentru R, multimea derivata asociata tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]este multimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \Q, avem A′ = B′ = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅ si (V \ {x}) ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
A′ =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9≤ 1
}.
Punctul (3, 0) este punct izolat pentru multimea A.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1
Fie A ⊂ Rk . Un punct x ∈ Rk se numeste punct de acumulare al multimii A dacapentru orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor de acumulareale multimii A se noteaza cu A′ si se numeste multimea derivata asociata multimii A.Un punct x ∈ A cu proprietatea ca x 6∈ A′ se numeste punct izolat al multimii A.
Exemplul 5.24
1. Pentru R, multimea derivata asociata tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]este multimea [a, b].2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \Q, avem A′ = B′ = R, deoarece pentru oricepunct x ∈ R si orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅ si (V \ {x}) ∩ B 6= ∅.3. Pentru X = R2 si A =
{(x , y) ∈ R2 | x2
4+ y2
9≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
A′ =
{(x , y) ∈ R2 |
x2
4+
y2
9≤ 1
}.
Punctul (3, 0) este punct izolat pentru multimea A.
2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 1