Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Struktur Statis Tak Tentu dengan Metode Slope-Deflection Pertemuan – 12, 13 Mata Kuliah : Analisis Struktur Kode : CIV - 209 SKS : 4 SKS
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Struktur Statis Tak Tentu dengan Metode Slope-Deflection
Pertemuan – 12, 13
Mata Kuliah : Analisis Struktur
Kode : CIV - 209
SKS : 4 SKS
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
• Kemampuan Akhir yang Diharapkan • Mahasiswa dapat melakukan analisis struktur statis tak tentu dengan metode Slope-
Deflection
• Sub Pokok Bahasan : • Persamaan Slope-Deflection
• Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
• Analisis Portal Tak Bergoyang
• Analisis Portal Bergoyang
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Perpindahan(displacement) merupakan variabel utama yang tak diketahui, disebut pula sebagai derajat kebebasan (degree of freedom)
• Jumlah Degree of Freedom yang dimiliki suatu struktur sering juga disebutkan sebagai derajat ketidaktentuan kinematik
• Perpindahan yang dimaksud selain lendutan dapat pula berupa sudut rotasi pada suatu titik
• Selanjutnya disusun pula persamaan kompatibilitas untuk mendapatkan perpindahan dari titik-titik kumpul, dan kemudian dapat digunakan untuk menghitung reaksi tumpuan
• Tiga metode analisis struktur berbasis displacement adalah : slope-deflection, distribusi momen dan metode matriks
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
1 DOF
4 DOF
3 DOF
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Merupakan sebuah persamaan yang menghubungkan antara sudut rotasi (slope) dan lendutan (deflection) dengan beban yang bekerja pada struktur
• Perhatikan balok AB yang merupakan bagian dari struktur balok menerus dengan beban sembarang sebesar q. dan memiliki kekakuan seragam sebesar EI.
• Selanjutnya akan dicari hubungan antara momen ujung MAB dan MBA dengan sudut rotasi qA dan qB serta lendutan D yang mengakibatkan penurunan pada tumpuan B.
• Sesuai dengan perjanjian tanda yang dipakai, maka momen dan sudut rotasi bernilai positif apabila memiliki arah putar searah jarum jam.
• Sedangkan lendutan D dianggap bernilai positif apabila mengakibatkan balok berputar sebesar sudut y searah jarum jam.
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• SMA’ = 0
• SMB’ = 0
(1)
(2)
03
2
2
1
32
1
LL
EI
MLL
EI
M BAAB
03
2
2
1
32
1
L
LL
EI
MLL
EI
MA
ABBA q
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• SMB’ = 0
(3)
032
1
3
2
2
1D
LL
EI
MLL
EI
M
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection • Dalam uraian sebelumnya telah diturunkan hubungan antara MAB
dan MBA yang bekerja pada titik A dan B dengan perpindahan yang diakibatkan olehnya, yaitu qA, qB dan D.
• Pada kenyataannya perpindahan yang terjadi, baik berupa sudut rotasi maupun lendutan pada balok terjadi bukan disebabkan oleh momen pada titik tersebut, namun disebabkan oleh beban luar yang bekerja pada bentangan balok.
• Supaya beban luar tersebut dapat diakomodasi dalam persamaan slope – deflection, maka beban luar tersebut harus ditransformasi menjadi momen ekuivalen yang bekerja pada titik ujung balok.
• Hal ini dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan menemukan reaksi momen yang timbul pada kedua ujung balok yang dianggap memiliki tumpuan jepit.
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Reaksi momen tersebut selanjutnya diistilahkan dengan sebutan Fixed-End Moment (FEM)
• Sesuai dengan perjanjian tanda, maka nilai FEM pada ujung A adalah negatif (berlawanan dengan jarum jam), dan nilai FEM pada ujung B adalah positif (searah jarum jam)
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Selanjutnya persamaan-persamaan 1, 2 dan 3 dapat dijumlahkan beserta beban luar yang bekerja, dan dapat dituliskan menjadi :
• Atau secara umum bentuk persamaan slope-deflection adalah :
(4)
BAABBA
ABBAAB
LL
IEM
LL
IEM
FEM322
FEM322
D
D
NFNN EkM )FEM(322 qq
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Dengan :
MN adalah momen internal pada ujung dekat
E,k adalah modulus elastisitas dan kekakuan balok k = I/L
qN, qF adalah sudut rotasi pada ujung dekat dan ujung jauh, memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam
y adalah rotasi balok akibat adanya penurunan pada tumpuan, y = D/L, besaran ini memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila searah jarum jam
(FEM)N adalah Fixed End Moment pada ujung dekat, bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Persamaan 4 berlaku apabila ujung-ujung balok terjepit, apabila salah satu ujungnya sendi, maka persamaan slope-deflection menjadi :
(5) NNN EkM )FEM(3 q
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan
BBBA
BBAB
NFNN
CB
BC
EIIEM
EIIEM
L
IEM
wL
wL
yqq
20)0(302
82
40)0(3)0(2
82
)FEM(322
deflection-slopepersamaan dari
mkN8,1020
)6(6
20FEM
mkN2,730
)6(6
30FEM
22
22
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Dengan meninjau keseimbangan titik B diperoleh :
SMB = 0 MBA + MBC = 0
Akhirnya didapatkan qB = 6,17/EI
Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya dan diperoleh :
MAB = 1,54 kNm MBA = 3,09 kNm
MBC = 3,09 kNm MCB = 12,86 kNm
8,103
8,10)0(3)0(26
2
2,73
22,7)0(302
62
BBCB
BBBC
EIIEM
EIIEM
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Free body diagram :
Ay = - (1,54/8) - (3,09/8) = - 0,579 kN ()
ByL = (1,54/8) + (3,09/8) = 0,579 kN ()
ByR = (3,09/6) - (12,86/6) + (0,5*6*6*2/6) = 4,37 kN ()
Cy = -(3,09/6) + (12,86/6) + (0.5*6*6*4/6) = 13,63 kN ()
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur :
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.2
Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan
120667,0120)0(3026
2
1203333,0120)0(3)0(26
2
)FEM(322
deflection-slopepersamaan dari
mkN5,2216
)2)(60(3
16
3FEM
mkN12012
)6(40
12FEM
mkN12012
)6(40
12FEM
22
22
BBBA
BBAB
NFNN
BC
BA
AB
EII
EM
EII
EM
L
IEM
PL
wL
wL
yqq
5,225,15,2202
3
)FEM(3
deflection-slopepersamaan gunakan ACbalok Untuk
BBBC
NNN
EII
EM
L
IEM
yq
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.2
Dari keseimbangan gaya titik B :
SMB = 0 MBA + MBC = 0
Dan nilai qB = 144/EI.
Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya guna mendapatkan :
MAB = 135 kNm
MBA = 90 kNm
MBC = 90 kNm
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.3 Tentukan momen di A dan B pada balok, apabila tumpuan B mengalami penurunan sebesar 80 mm. E = 200 GPa, I = 5(10)6 mm4
Dari kesetimbangan titik B : SMB = 0 MBA – 8000N(3m) = 0
qB = 0,054 rad
000.30000.000.1
0)02,0(3021025,1)m/N10200(2
000.30000.500
0)02,0(3)0(21025,1)m/N10200(2
m)10(25,14m
mm/m)10(mm)10(5
rad02,04
m08,0
629
629
36441246
B
BBA
B
BAB
AB
BAAB
M
M
L
Ik
q
q
q
q
yy
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.4
Tentukan momen internal pada tumpuan balok apabila titik C mengalami penurunan sebesar 30 mm. E = 200 GPa, I = 600(10)6 mm4
36126
36126
36126
22
22
m)10(33,1335,4
1010600
m)10(1006
1010600
m)10(33,832,7
1010600
rad00667,05,4
03,0 rad005,0
6
03,0
mkN4,8612
)2,7(20
12FEM
mkN4,8612
)2,7(20
12FEM
CD
BC
AB
CDBC
BA
AB
k
k
k
wL
wL
yy
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.4
0 0
0 0
7,10663,333.530)]00667,0(320][1033,133][10200[2
7,10667,666.1060)]00667,0(302][1033,133][10200[2
: CD Bentang
600000.40000.800)]005,0(32][10100][10200[2
600000.40000.800)]005,0(32][10100][10200[2
: BC Bentang
4,867,666.664,86)]0(302][1033,83][10200[2
4,863,333.334,86)]0(3)0(2][1033,83][10200[2
: AB Bentang
66
66
66
66
66
66
S
S
CDCBC
BCBAB
CCDC
CCCD
BCBCCB
CBCBBC
BBBA
BBAB
MMM
MMM
M
M
M
M
M
M
qqqq
qqqq
qB = 0,00444 rad qC = -0,00345 rad
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
TUGAS : Kerjakan soal dari textbook Bab XI Nomor 11.1 s/d 11.12
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
• Suatu portal dikategorikan sebagai portal tak bergoyang apabila :
1. Disediakan tumpuan yang cukup untuk menahan goyangan
2. Memiliki geometri dan pola pembebanan yang simetris
Contoh-contoh Portal Tak Bergoyang (No Sidesway)
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.5
Tentukan momen pada tiap titik kumpul, apabila EI konstan
bergoyang)(tak 0
0
mkN8096
)8)(24(5
96
5FEM
mkN8096
)8)(24(5
96
5FEM
A
22
22
CDBCAB
D
CB
BC
wL
wL
yyy
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.5
CCDC
CCCD
BCBCCB
CBCBBC
BBBA
BBAB
NFNN
EII
EM
EII
EM
EIEII
EM
EIEII
EM
EII
EM
EII
EM
EkM
qqqq
qqqq
yqq
1667,00)0(3)0(212
2
333,00)0(30212
2
8025,05,080)0(328
2
8025,05,080)0(328
2
333,00)0(30212
2
1667,00)0(3)0(212
2
FEM322
EIEIEI
EIEI
MM
MM
CBCB
CB
CDCB
BCBA
1,137
80833,025,0
8025,0833,0
0
0
qqqq
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.6
Tentukan momen pada tiap titik kumpul, gunakan E = 200 GPa
36126
36126
36126
36126
m)10(23,726,3
)10)(10(260
m)10(78,175,4
)10)(10(80
m)10(67,668,4
)10)(10(320
m)10(56,355,4
)10)(10(160
CE
CD
BC
AB
k
k
k
k
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.6
rad)10(113,5
rad)10(758,2
420,059.819,138.20
129,138.203,759.61
0
0
4
5
C
B
CB
CB
CECDCB
BCBA
MMM
MM
q
q
mkN 9,55
mkN 18,6
mkN 7,49
mkN 888,0
mkN 888,0
mkN 444,0
CE
CD
CB
BC
BA
AB
M
M
M
M
M
M
bergoyang)(tak 0
0
mkN818
)6,3(50
8FEM
mkN188
)8,4(30
8FEM
mkN188
)8,4(30
8FEM
A
22
CECDBCAB
CE
CB
BC
wL
PL
PL
yyyy
q
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Bergoyang Metode Slope-Deflection • Suatu struktur portal akan bergoyang
ke samping apabila geometri atau pembebanan yang terjadi tidak simetri
• Pada portal di samping beban P menimbulkan momen MBC dan MCB pada titik kumpul B dan C
• MBC cenderung memindahkan titik B ke kanan, sedangkan MCB cenderung memindahkan titik C ke kiri
• Karena MBC lebih besar daripada MCB sebagai hasilnya portal akan timbul simpangan sebesar D ke arah kanan, pada titik B maupun C
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.7
Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan.
• Struktur termasuk portal bergoyang karena baik geometri dan beban tidak simetri
• Beban bekerja pada titik B, sehingga tidak ada FEM
• Titik B dan C mengalami simpangan sama besar yaitu D
• Sehingga yAB = D/4 dan yDC = D/6
• Keduanya positif karena batang AB dan CD berotasi searah jarum jam
• yAB = (6/4)yDC
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.7
DCCDCCDC
DCCDCCCD
BCBCCB
CBCBBC
DCBDCBBA
DCBDCBAB
EII
EM
EII
EM
EII
EM
EII
EM
EII
EM
EII
EM
yqyq
yqyq
qqqq
qqqq
yqyq
yqyq
0,1333,003)0(26
2
0,1667,003026
2
4,08,00)0(324
2
4,08,00)0(325
2
25,20,104
6302
42
25,25,004
63)0(2
42
0
0
CDCB
BCBA
MM
MM
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.7
Sehingga diperoleh 3 buah persamaan :
064
200 0200 0
6 0
4 0
S
S
S
CDDCBAABDAx
CDDCDC
BAABAB
MMMMVVF
MMVM
MMVM
48,208
66,75
78,243
800833,5667,05,1
0467,14,0
025,24,08,1
DC
C
B
DCCB
DCCB
DCCB
EI
EI
EI
EIy
q
q
yqq
yqq
yqq
mkN 183 mkN 158
mkN 158 mkN 225
mkN 225 mkN 347
DCCD
CBBC
BAAB
MM
MM
MM
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.8
Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan. A dan D jepit, serta C adalah berupa sendi
• y yAB = yDC = D/4
• qA = qD = 0
yy
yqyq
yqyq
EII
EM
EII
EM
EIEII
EM
EIEII
EM
DC
BBBC
BBBA
BBAB
75,0004
3
003
3
5,103024
2
5,15,003)0(24
2
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.8
Substitusikan nilai MAB, MBA, MBC dan MDC sehingga diperoleh
0 BCBA MM
044
10 010 0
4 0
4 0
S
S
S
DCBAABDAx
DCDC
BAABAB
MMMVVF
MVM
MMVM
mkN 4,11 mkN 4,11
mkN 4,11 mkN 1,17
21EI
320
21
240
DCBC
BAAB
B
MM
MM
EIyq
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.8
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.10
Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan.
13121312
33
22
11
22
22
433,0 417,0 866,0 5,0
6
6,3
3
mkN4,3212
)6,3(30
12FEM
mkN4,3212
)6,3(30
12FEM
yyyy
yyy
DDDD
D
D
D
wL
wL
CB
BC
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.10
0)433,0(3)0(26
2
0)433,0(3026
2
4,32)417,0(326,3
2
4,32)417,0(326,3
2
03023
2
03)0(23
2
1
1
1
1
1
1
yq
yq
yqq
yqq
yq
yq
CDC
CCD
BCCB
CBBC
BBA
BAB
IEM
IEM
IEM
IEM
IEM
IEM
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.10
Dari kesetimbangan momen di titik B dan C :
Persamaan ketiga diperoleh dengan mengambil
jumlahan momen terhadap O
0
0
CBCD
BCBA
MM
MM
04,19404,104,24,34,2
0)8,1(108)24,12(6
)2,10(3
0
S
DCCDBAAB
CDDCBAABDCAB
O
MMMM
MMMMMM
M
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.10
Diperoleh 3 buah persamaan :
mkN 23 mkN 34,2 mkN 7,60
mkN 34,2 mkN 7,60 mkN 31,3
:diperoleh sehingga awalpersamaan ke kembali substitusi
47,27
33,33
51,35
32,58880,3512,0840,1
72,90784,0533,0167,0
72,9392,0167,0733,0
11
1
1
DCCBBA
CDBCAB
C
B
CB
CB
CB
MMM
MMM
EI
EI
EI
EI
EI
EI
y
q
q
yqq
yqq
yqq
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
TUGAS : Kerjakan soal dari textbook Bab XI Nomor 11.13 s/d 11.26