ANALISIS STABILITAS DAN OPTIMAL KONTROL PADA … · Definisi 2.1[2] Jika J adalah matriks berukuran n x n maka vektor taknol dinamakan vektor karakteristik dari J ... integer campuran

1

ANALISIS STABILITAS DAN OPTIMAL KONTROL PADA MODEL

EPIDEMI TIPE SIR DENGAN VAKSINASI

Oleh

Ikhtisholiyah

1207 100 702

Dosen Pembimbing

Dr. Subiono, M.Sc

ABSTRAK

Pemodelan matematika dan teori banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya teori

kontrol optimal diterapkan pada pengendalian berbagai jenis penyakit. Pada tugas akhir ini pengendalian

optimal tidak diterapkan pada penyakit yang khusus, akan tetapi digunakan untuk pola penyebaran penyakit

yang mempunyai model epidemi tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovery). Untuk menegendalikan pola

penyebaran penyakit ini, diperlukan suatu vaksin. Vaksin adalah bahan antigenik yang digunakan untuk

menghasilkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit sehingga dapat mencegah atau mengurangi pengaruh

infeksi. Pada tugas akhir ini pengendalian penyakit yang mempunyai model epidemi tipe SIR dilakukan dengan

vaksinasi untuk meminimalkan individu rentan (S) dan terinfeksi (I) serta memaksimalkan individu yang

sembuh (R) secara bersamaan. Kontrol optimal diperoleh dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin.

Kata Kunci : Model SIR, vaksinasi, kendali optimal, Prinsip Minimum Pontryagin

I. PENDAHULUAN

Penyakit measles (campak), mumps (gondong),

rubella (campak jerman) dan poliomyelitis (polio)

merupakan penyakit infeksi yang sangat berbahaya.

Penyakit tersebut disebabkan oleh virus yang dapat

menyebar melalui kontak langsung dengan

penderita, udara, batuk atau bersin dan kotoran

mausia [5].

The United Nations Children’s Fund

(UNICEF) [6] menyebutkan bahwa penyakit

tersebut dinilai berbahaya karena dapat

menyebabkan komplikasi, kerusakan otak dan

organ tubuh lain., cacat seumur hidup, kelumpuhan

dan kematian. Menurut UNICEF [6], sekitar 30.000

anak di Indonesia meninggal dunia setiap tahun

karena penyakit measles. Sedangkan menurut

World Health Organization (WHO) [8], sekitar

242.000 anak diseluruh dunia meninggal dunia pada

tahun 2006 karena penyakit measles. Sementara itu,

menurut UNICEF [7], sekitar 302 anak di Indonesia

mengalami kelumpuhan karena penyakit

poliomyelis. Besarnya jumlah kematian dan

kelumpuhan karena penyakit poliomyelis dan

measles menunjukkan bahwa penyakit tersebut

memang sangat berbahaya dan harus dicegah

penyebarannya.

Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang

matematika juga turut memberikan peranan dalam

mencegah meluasnya penye-baran penyakit.

Peranan tersebut berupa model matematika yang

mempelajari penyebaran penyakit yang bersifat

endemi dengan memperhatikan faktor kelahiran dan

kematian. Model yang dimaksud adalah model

epidemi tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovery)

klasik. Model epidemi tipe SIR klasik telah

dikenalkan oleh Kermack dan McKendrick pada

tahun 1927. Pada model epidemi SIR klasik,

populasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu

populasi yang rentan terhadap penyakit

(susceptible), populasi yang terinfeksi dan dapat

sembuh dari penyakit (infected), populasi yang

telah sembuh dari penyakit (recovery). Secara

garis besar, model epidemi tipe SIR klasik

menggambarkan alur penyebaran penyakit dari

populasi susceptible menjadi infected melalui

kontak langsung maupun perantara lain.

Selanjutnya, populasi infected yang mampu

bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan

memasuki populasi recovery. Pada sebagian kasus,

terdapat penyakit yang dapat memasuki kondisi

endemi yakni kondisi dimana penyakit menyebar

pada suatu wilayah dalam kurun waktu yang sangat

lama. Kondisi endemi tersebut dapat terjadi pada

penyakit measles, mumps, rubella, dan

poliomyelistis.

Berdasarkan data WHO [8], penyebaran

penyakit dapat ditekan dengan program vaksinasi.

Sampai saat ini, program vaksinasi masih dipercaya

sebagai cara yang efektif dalam menekan

penyebaran penyakit. Menurut WHO [8],

pemberian vaksin Measles Mumps Rubella (MMR)

terbukti mampu menekan jumlah kematian yang

disebabkan oleh penyakit measles, mumps, rubella

sekitar 68% pada tahun 2000-2006. Penurunan yang

signikan juga ditunjukkan pada penyakit

poliomyelitis yang dapat ditekan penyebarannya

2

dengan pemberian vaksin Oral poliomyelitis

Vaccine (OPV).

Dengan menganalisis suatu penyakit, maka

akan didapatkan titik kesetimbangan dan kestabilan

dari model epidemi suatu penyakit, sehingga dapat

diketahui arah pertumbuhan penyakit ini. Dan

dengan diketahui pola penyebaran penyakit,

pemerintah dapat memprediksi perkembangan suatu

penyakit sehingga dapat segera mengambil

kebijakan untuk mencegah terjadinya wabah

penyakit menular pada suatu daerah. Hal ini

nantinya berkaitan erat dengan pengendalian sistem

epidemi tersebut.

Pada penelitian sebelumnya, Anggraeni Eka

[1] telah mendapatkan penyelesaian numerik dan

menganalisis perilaku model epidemi tipe SIR

dengan vaksinasi tetapi tidak membahas kontrol

atau vaksinasi yang optimal dalam mengatasi

pencegahan penularan penyakit tersebut.

Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang

analisis stabilitas pada penyakit yang mempunyai

model epidemi tipe SIR dan akan didapatkan

kontrol / vaksinasi yang optimal untuk

meminimalkan individu rentan (S) dan terinfeksi (I)

serta memaksimalkan individu yang sembuh (R)

secara bersamaan dengan menggunakan Prinsip

Minimum Pontryagin.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Model Epidemi Tipe SIR

Model epidemi klasik adalah model SIR

dengan dinamika penting (kelahiran dan kematian)

yang diberikan oleh :

Untuk mendapatkan strategi vaksinasi yang

optimal, dalam tugas akhir ini digunakan teori

kontrol optimal serta digunakan model yang

disajikan dalam [9] untuk mengurangi jumlah

individu yang rentan dan terinfeksi serta

meningkatkan jumlah individu yang sembuh.

Dalam sistem persamaan diferensial pada

(2.1)-(2.3), digunakan tiga variabel state S (t), I (t)

dan R (t). Untuk masalah kontrol optimal,

digunakan variabel kontrol u(t) ∈ Uad yang

mempresentasikan proporsi jumlah individu rentan

yang diberikan vaksin pada saat t., disini

. Dengan adanya

pengontrol u(t), maka konstrain sistem dinamik dari

persamaan diferensial pada (2.1)-(2.3) menjadi :

Tujuan akhir dari masalah kontrol optimal dari

model epidemi tipe SIR adalah untuk mendapatkan

bentuk yang optimal sehingga meminimalkan

fungsi objektif dengan kontrol :

(2.7)

dengan

populasi susceptible (yang rentan terhadap

penyakit) pada saat t

populasi infectious (yang terjangkit

penyakit dan dapat menularkan penyakit

pada saat t.

populasi recovery (yang telah sembuh /

bebas penyakit) pada saat t.

konstanta positif untuk menjaga

keseimbangan ukuran S(t) dan I(t).

bobot parameter positif

prosentase jumlah individu rentan yang

diberikan vaksin pada saat t.

jumlah populasi keseluruhan

laju kelahiran dan kematian yang

dianggap sama tiap satuan waktu

koefisien transmisi

laju kesembuhan dari individu terinfeksi

2.2. Titik Setimbang dan Kestabilan Lokal

Suatu sistem persamaan diferensial berbentuk

Sebuah titik merupakan titik

kesetimbangan dari sistem persamaan (2.8) jika

memenuhi , ,

.

Kestabilan asimtotis lokal merupakan

kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari

linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada

titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian

real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks

Jacobian yang dihitung di sekitar titik

kesetimbangan. Untuk sistem tak linear harus

dilinearkan sehingga didapatkan bentuk sistem

linear.

2.2.1 Linearisasi Linearisasi adalah proses hampiran

persamaan diferensial non linear dengan bentuk

linear. Tinjau kembali persamaan (2.8) dimana X,

Y dan Z adalah persamaaan nonlinear dan

adalah titik kesetimbangan dari

persamaan (2.8). Selanjutnya akan dicari

pendekatan linear disekitar dengan

3

melakukan ekspansi menurut deret Taylor disekitar

titik sebagai berikut :

Karena adalah titik kesetimbangan,

maka berlaku

sehingga persamaan (2.9) menjadi

Bila dilakukan subtitusi

maka

sehingga diperoleh :

Persamaan (2.10) ini merupakan hasil

linearisasi dari persamaan (2.8) disekitar

. Persamaan tersebut dalam bentuk

matriks dapat ditulis :

dalam hal ini matriks

disebut matriks Jacobian

disekitar titik kesetimbangan

2.2.2 Akar- akar Persamaan Karakteristik

Definisi 2.1[2] Jika J adalah matriks berukuran n x n maka

vektor taknol dinamakan vektor karakteristik dari J

yang memenuhi :

Jx = x (2.12)

untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai

karakteristik dari J dan x dikatakan vektor

karakteristik yang bersesuaian dengan .

Untuk mencari nilai karakteristik matriks J

yang berukuran n x n, maka dapat dituliskan

kembali Persamaan (2.12) sebagai

Jx =Ix

atau secara ekivalen

( J - I ) x = 0 (2.13)

Supaya menjadi nilai karakteristik harus ada

penyelesaian taknol dari Persamaan (2.13),

sehingga persamaan tersebut akan mempunyai

penyelesaian taknol jika dan hanya jika

det ( J - I ) x = 0 (2.14)

atau dapat ditulis

| J - I | = 0

Misalkan jika matriks dengan

, , ,

dan maka dapat

diperoleh

Atau

Dengan akar-akar karakteristik

2.3. Kestabilan Routh – Hurwitz

Pada permasalahan tertentu kestabilan titik

setimbang tidak bisa diamati karena tanda bagian

real nilai eigen tidak mudah ditentukan, oleh karena

(2.5)

4

itu perlu digunakan metode lain untuk menentukan

tanda bagian real nilai eigen . Sebagai contoh

untuk matrik yang berukuran dengan

tanda bagian real nilai eigen dapat ditentukan

dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh-

Hurwitz (Routh-Hurwitz Stability Criterion).

Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah

suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem

dengan memperhatikan koefisien dari persamaan

karakteristik tanpa menghitung akar-akar

karakteristik secara langsung.

Jika diketahui suatu persamaan karakteristik

dengan orde ke-n sebagai berikut :

.

Kemudian susun koefisien persamaan

karakteristik menjadi :

Tabel 2.1 Tabel Routh – Hurwitz

dengan

Dengan menggunakan akar karakteristik (nilai

eigen ), sistem dikatakan stabil atau mempunyai

bagian real negatif jika dan hanya jika elemen –

elemen pada kolom pertama

memiliki tanda yang sama.

2.4. Masalah Kontrol Optimal

Pada prinsipnya, tujuan dari kontrol optimal

adalah menentukan signal yang akan diproses

dalam plant dan memenuhi konstrain fisik.

Kemudian, pada waktu yang sama dapat ditentukan

ekstrim (maksimum/minimum) yang sesuai dengan

kriteria performance index.

Gambar 2.1 Skema Kontrol

Pada gambar tersebut optimal control adalah

mendapatkan optimal control (u* ), tanda *

menyatakan kondisi optimal yang akan mendorong

dan mengatur plant C dari keadaan awal sampai

keadaan akhir dengan beberapa konstrain. Kontrol

dengan keadaan dan waktu yang sama dapat

ditentukan ekstrim berdasarkan performance index

yang diberikan. Secara umum, formulasi yang dapat

diberikan pada permasalahan kontrol optimal

adalah:

1. Mendiskripsikan secara matematik artinya

diperoleh metode matematika dari proses

terjadinya pengendalian (secara umum dalam

bentuk variabel keadaan).

2. Spesifikasi dari performance index.

3. Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik

pada keadaan (state) dan atau kontrol.

Pada umumnya, masalah kontrol optimal dalam

bentuk matematik dapat diformulasikan sebagai

berikut. Dengan tujuan mencari kontrol yang

mengoptimalkan (memaksimumkan atau

meminimumkan) performance index:

(2.15)

Dengan kendala

(2.16)

Performance index merupakan ukuran kuantitas

dari performance suatu sistem. Performance index

(2.15) dikatakan dalam bentuk Lagrange ketika

, dalam bentuk Mayer ketika

Kontrol merupakan kontrol optimal, jika

disubtitusikan ke dalam sistem dinamik (2.16) akan

memperoleh state yang optimal dan pada saat

yang sama juga mengoptimalkan performance

index (2.15).

2.5. Prinsip Minimum Pontryagin

Prinsip Minimum Pontryagin merupakan suatu

kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian

kontrol optimal yang sesuai dengan tujuan.

(memaksimalkan performance index).

Berikut ini, akan dibahas contoh kasus yang

menjadi ide dasar untuk membantu mendapatkan

penyelesaian optimal control pada suatu model.

Diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang

terbatas sebagai berikut:

untuk dapat ditulis

sedemikian hingga dengan menggabungkan

5

persamaan (2.17) dan (2.18) dengan pengali

lagrange dapat diperoleh

misalkan adalah integral dari sampai untuk L

padahal

sehingga diperoleh

berarti untuk bernilai minimum dapat ditulis

seperti berikut

maka dengan mengurangkan kedua persamaan

diatas akan diperoleh

karena mempunyai nilai awal

maka

kemudian dilakukan ekspansi deret Taylor terhadap

persamaan (2.22) sedemikian hingga menjadi

untuk

dengan mengasumsikan bahwa ,

sehingga dapat ditulis kembali

dengan memilih yang memenuhi (2.24)

sehingga persamaan (2.23) dapat direduksi menjadi

sedemikian hingga untuk merupakan solusi

yang optimal maka

untuk itu, dibutuhkan suatu kemungkinan untuk

memodifikasi yang memenuhi persamaan

(2.25). Jika kontrol optimal adalah pada batas

bawah untuk maka modifikasi control ,

jadi dibutuhkan , sehingga .

Dengan cara yang sama, jika kontrol optimal pada

batas atas maka bentuk modifikasi kontrol ,

jadi dibutuhkan , sehingga .

Kesimpulannya

jika

jika

jika

supaya persamaan (2.24) konsisten untuk semua

, karena itu dipilih

Jika

Jika

Jika

…………………………………………….(2.26)

atau ekuivalen dengan

berakibat

berakibat

berakibat

berarti jika penyelesaian persamaan (2.17)-

(2.19) maka harus terdapat fungsi sedemikian

hingga memenuhi persamaan (2.18),

(2.19), (2.24) dan (2.26).

2.6 Simulasi

Simulasi pada model epidemi tipe SIR, akan

diselesaikan dengan menggunakan DOTcvpSB

versi R2010_E3 (Dynamic Optimization Toolbox

Control Vector Parameterizations in System

Biology) merupakan salah satu toolbox matlab

6

untuk optimisasi dinamik dalam bidang biologi,

yang dibuat oleh Thomas Hirmajer, dkk, dari

Instituto de Investigaciones Marinas-CSIC.

DOTcvpSB menggunakan pendekatan parameter

vektor kontrol (Control Vektor Parameterization)

untuk menyelesaikan masalah dinamik optimisasi

integer campuran dan kontinu. DOTcvpSB sudah

berhasil diterapkan untuk menyelesaikan beberapa

masalah dalam bidang sistem biologi dan teknik

bioproses. DOTcvpSB diimplementasikan dalam

software Matlab yang juga didesain untuk sistem

operasi komputer yang berbasis windows dan linux

[3].

III. METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan untuk memecahkan

permasalahan dalam tugas akhir ini adalah sebagai

berikut:

1. Mencari Titik Setimbang

2. Analisis Stabilitas Model Epidemi tipe SIR.

3. Penyelesaian Optimal Kontrol

4. Simulasi

5. Analisis Hasil Penyelesaian dan Simulasi.

IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

4.1 Deskripsi Model dan Asumsi

Model epidemi tipe SIR yang akan dibahas

mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut:

a. Populasi dibagi menjadi 3 kelompok yaitu :

S(t) adalah populasi susceptible (individu-

individu yang rentan terhadap penyakit)

pada saat t.

I(t) adalah populasi infectious (individu-

individu yang terjangkit penyakit dan

dapat menularkan penyakit, tetapi belum

menunjukkan adanya gejala penyakit

awal) pada saat t.

R(t) adalah populasi recovery (individu-

individu yang telah sembuh/bebas

penyakit) pada saat t.

b. Diasumsikan adalah laju kelahiran yang

sama dengan laju kematian. Sedangkan N

adalah jumlah populasi keseluruhan dari

populasi susceptible, infectious, dan recovery,

jumlah poupulasi yang lahir dalam populasi

tiap satuan waktu selalu konstan. Jumlah

populai yang lahir proposional dengan total

populasi N. oleh karena itu, jumlah populasi

yang lahir dalam populasi adalah . Jumlah

populasi yang lahir tersebut akan memasuki

kelompok S(t).

c. Berdasarkan asumsi laju kelahiran sama

dengan laju kematian, maka jumlah populasi

yang mati pada setiap kelompok proposional

dengan jumlah populasi pada masing-masing

kelompok. Oleh karena itu, jumlah kematian

pada kelompok masing masing

sebesar .

d. adalah laju besarnya populasi yang

terinfeksi dimana adalah koefisien transmisi

yang merupakan konstanta yang menunjukkan

tingkat kontak sehingga terjadi penularan

penyakit, individu rentan memperoleh infeksi

pada per kapita dan laju

kejadian/timbulnya penyakit standar pada

populasi yang terinfeksi .

e. adalah laju kesembuhan dari individu yang

telah terinfeksi.

f. u(t) yang mempresentasikan prosentase

populasi rentan yang divaksinasi per unit

waktu.

Sehingga persamaan untuk :

Populasi Susceptible

yakni, besarnya laju populasi yang rentan

dipengaruhi oleh jumlah populasi yang lahir

dalam populasi dan akan menurun dengan

adanya laju kematian alami serta laju

populasi yang terinfeksi .

Populasi Infected

yakni, besarnya laju populasi yang terinfeksi

dipengaruhi oleh laju populasi yang terinfeksi

dan akan menurun dengan adanya

populasi yang sembuh serta laju kematian

alami .

Populasi Recovery

yakni, besarnya laju populasi yang sembuh

dipengaruhi oleh laju kesembuhan dari populasi

yang terinfeksi dan akan menurun dengan

adanya laju kematian alami .

4.2 Titik Setimbang Model

4.2.1 Titik Setimbang Bebas Penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit (

disease-free equilibrium) adalah suatu

keadaan dimana tidak terjadi penyebaran

penyakit menular dalam populasi.

Titik tersebut didapatkan pada saat I(t)=0

yakni suatu keadaan dimana tidak terjadi

infeksi/penularan pada populasi.

Sehingga didapatkan titik setimbang bebas

penyakit yaitu

4.2.2 Titik Setimbang Endemi

Titik setimbang endemi (endemic

equilibrium) yaitu suatu kondisi dimana

7

terjadi penyebaran penyakit menular di dalam

populasi tersebut.

Didapatkan dari .

Sehingga didapatkan titik setimbang endemi

yaitu :

1 , 1 + −1 .

4.3 Kestabilan Lokal

4.3.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas

Penyakit

Pada titik setimbang

matrik jacobiannya adalah

Nilai eigen diperoleh dari :

0=0 maka

sehingga didapatkan nilai eigen

Karena laju kematian alami untuk nilai

maka , sedangkan untuk

belum dapat ditentukan

tandanya (dapat bernilai positif atau negatif).

Oleh karena itu, akan dicari bilangan

Reproduksi Dasar terlebih dahulu.

Dari persamaan (2.1) - (2.3) dapat dicari

Basic Reproductive ( ), dimana

bertujuan untuk mengetahui dinamik

penyebaran penyakit, artinya apakah

penyakit tersebut terjadi endemi (wabah

penyakit) atau tidak. Berdasarkan nilai

eigen dapat dianalisa sebagai berikut :

dengan , Sedangkan

akan bernilai positif jika dan

bernilai negatif jika .

Oleh karena itu, Basic Reproductive ( )

adalah :

Dari nilai maka akan didapatkan nilai

sebagai berikut :

a. Jika atau

Akan didapatkan bahwa nilai eigen dari

dan , maka berdasarkan sifat

stabilitas titik setimbang dilihat dari akar – akar

karakteristiknya (nilai eigen ) maka titik

setimbang tidak stabil.

b. Jika atau

Akan didapatkan bahwa nilai eigen dari

, maka berdasarkan sifat

stabilitas titik setimbang dilihat dari akar – akar

karakteristiknya (nilai eigen ) maka titik

setimbang stabil asimtotis.

4.3.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemi

Pada titik setimbang dengan :

Nilai eigen diperoleh dari :

maka

persamaan karakteristiknya adalah :

misalkan :

8

dengan mensubtitusikan nilai-nilai pada

persamaan (4.1) sehingga diperoleh :

apabila persamaan diatas ditulis dalam bentuk

umum polynomial orde 3 menjadi :

Selanjutnya untuk mendapatkan akar-akar

karakteristik (nilai eigen ) dari polynomial derajat

3 digunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz

untuk menentukan kestabilannya

polynomial orde 3 mempunyai akar negatif pada

bagian realnya jika dan hanya jika elemem-elemen

dari kolom pertama pada tabel Routh-Hurwitz

mempunyai tanda yang sama.

Sehingga didapatkan ketika berakibat

. maka titik setimbang

endemi yaitu :

adalah stabil asimptotik.

4.4 Penyelesaian Kontrol Optimal

Pada penyelesaian kontrol optimal ini akan

dibahas tentang penyelesaian menggunakan kontrol

optimal untuk mendapatkan vaksinasi yang optimal

dengan fungsi tujuan sebagai berikut :

Model tersebut dapat diselesaikan dengan

menggunakan optimal kontrol dimana variabel

kontrolnya adalah u dan variabel keadaannya

Sedangkan konstrainnya adalah :

Dengan kondisi batas

Hal pertama yang harus dilakukan adalah

menentukan fungsi Hamiltonian

)

Berdasarkan Prinsip Minimum Pontryagin,

maka harus memenuhi persamaan state

, co-state dan kondisi stationer.

1. Persamaan State

Dengan kondisi batas sebagai berikut :

2. Persamaan co-state

Dengan kondisi batas sebagai berikut

3. Kondisi Stationer

Karena , sehingga diperoleh

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.11 )

maka didapatkan sistem yang optimal

9

0 100 200 300 400 500 600100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

Time(day)

Recovere

d I

ndiiduals

0 100 200 300 400 500 600

0

200

400

600

800

1000

1200

Time(day)

Susceptible

Indiv

iduals

0 100 200 300 400 500 600

0

200

400

600

800

1000

1200

Time(day)

Infe

cte

d I

ndiv

iduals

4.5 Simulasi

Tabel 4.1 Parameter dan Nilainya [9]

Parameter Nilai

0.95

0.053

0.001

1075

1

20

Tabel 4.2 Parameter Komputasi [9]

Parameter Komputasi Simbol Nilai

Waktu akhir 600 hari

Batas bawah kontrol

0

Batas atas kontrol 0.9

Initial condition

populasi susceptible 800

Initial condition

populasi infected 175

Initial condition

populasi recovery 100

Pemberian vaksinasi

HASIL SIMULASI

Gambar 4.1 Populasi Susceptible ( rentan )

Tanpa Kontrol

Gambar 4.2 Populasi Infected ( yang terinfeksi )

Tanpa Kontrol

Gambar 4.3 Populasi Recovered ( sembuh ) Tanpa

Kontrol

Gambar 4.4 Populasi Susceptible ( rentan ) Dengan

Kontrol

Gambar 4.5 Populasi Infected (yang terinfeksi)

Dengan Kontrol

0 100 200 300 400 500 6000

200

400

600

800

1000

1200

Time(day)

Suscetible

Indiv

iduals

0 100 200 300 400 500 6000

200

400

600

800

1000

1200

Time(day)

Infe

cte

d I

ndiv

iduals

10

0 100 200 300 400 500 6000

200

400

600

800

1000

1200

Time(day)

Recverd

Indiv

iduals

0 100 200 300 400 500 600

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Time(day)

Contr

ol V

ariable

s

u

1

Gambar 4.6 Populasi Recovered (sembuh) Dengan

Kontrol

Dari hasil analisis pada Gambar 4.1 – Gambar

4.6 menunjukkan bahwa populasi yang rentan

(susceptible) terjadi penurunan pada awal periode

dengan kontrol yang optimal berupa pemberian

vaksin dan nilai cost function dan

pada saat populasi yang terinfeksi (infected)

berkurang mengakibatkan populasi yang sembuh

(recovered) meningkat pada awal pengendalian

sampai akhir periode pengendalian. Dengan kondisi

seperti ini dapat diketahui bahwa selama 600 hari /

20 bulan populasi yang terinfeksi menurun karena

pemberian kontrol . Dan ini berarti bahwa

penyebaran penyakit yang mempunyai model

epidemi tipe SIR dapat ditekan dengan kontrol yang

optimal sebagai berikut :

Gambar 4.7 Kontrol

Untuk kontrol yaitu prosentase jumlah

populasi rentan yang diberikan vaksin pada saat t

pada awal periode pengendalian adalah maksimal

yakni sebesar 0.9, kemudian bergerak menurun dan

konstan pada saat kurang lebih 60 hari / 2 bulan

sampai pada akhir periode pengendalian sehingga

setelah itu hanya 0.3 dari populasi rentan yang

harus diberikan vaksin. Hal ini mengakibatkan

pemberian vaksin pada individu yang rentan

semakin berkurang karena populasi ini mulai

mengalami kesembuhan.

Hasil dari penerapan kontrol / pemberian vaksin

yang dilakukan dalam mengendalikan

populasi yang terinfeksi memberikan suatu hasil

yang optimal dengan fungsi objektif yang

minimum.

V. PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari analisis yang dilakukan pada model

epidemi tipe SIR, maka akan diperoleh kesimpulan

sebagai berikut :

1. Pada analisis stabilitas dapat diketahui bahwa

Kestabilan lokal titik setimbang bebas

penyakit bersifat

stabil asimtotis untuk sedangkan untuk titik

setimbang endemik

bersifat

stabil asimtotis untuk .

2. Pada optimal kontrol dapat diketahui bahwa

Pada model pengendalian epidemi tipe SIR

dengan kontrol vaksinasi diselesaikan dengan

menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin dan

dapat diketahui bahwa nilai kontrol yang

optimal didapat :

dengan

prosentase populasi rentan yang

diberikan vaksin pada saat t.

3. Hasil simulasi dengan DOTcvpSB menunjukkan

keefektifan pengendalian dengan kontrol

vaksinasi dapat mengurangi populasi yang

terinfeksi sehingga penyebaran penyakit dapat

ditekan dan meminimumkan biaya dalam

pemberian vaksin.

5.2 Saran

Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai

analisis kestabilan global dari model epidemi tipe

SIR, dan diasumsikan laju kelahiran sama dengan

laju kematian serta tidak diperhatikan masa

inkubasi, oleh karena itu penulis menyarankan pada

pembaca yang tertarik masalah ini agar pada

penelitian selanjut-nya menyertakan analisis global

dari model epidemi tipe SIR dan memperhatikan

masa inkubasi serta laju kelahiran yang tidak sama

dengan laju kematian.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anggraeni, E. (2010), Penyelesaian Numerik

dan Analisis Perilaku Model Epidemi Tipe SIR

dengan Vaksinasi Untuk Pencegahan Penularan

Penyakit. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS

Surabaya.

11

[2] Finizio, N. dan Landas, G. 1988. Ordinary

Differential Equations with Modern Applications.

California: Wadsworth Publishing Company.

[3] Hirmajer, T., Canto, E.B., dan Banga, J.R.,

(2009), DOTcvpSB: a Matlab Toolbox for Dynamic

Optimization in Systems Biology, User’s Guide

Technical Report, Instituto De Investigaciones

Marinas [IIM-CSIC], Spanyol.

[4] Kamien, M.I. dan Schwarz, N.L. 1991.

Dynamics Optimization: The Calculus Of

Variations and Optimal Control In Economics And

Management. Norh Holland. Amsterdam.

[5] Nugroho, Susilo. (2009). Pengaruh Vaksinasi

Terhadap Penyebaran Penyakit Dengan Model

Endemi SIR. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika

Universitas Sebelas Maret.

[6] UNICEF, Going the extra mile: UNICEF

Indonesia immunization drive reaches remote areas

http://www.unicef.org/indonesia/reallives_7295.ht

ml. Diakses pada tanggal 21 juni 2011, pukul 22.00

WIB.

[7] UNICEF, Polio: stories from West Java,

http://www.

unicef.org/indonesia/reallives_2956.html. Diakses

pada tanggal 21 juni 2011, pukul 22.00 WIB.

[8] WHO,Measles,http://www.who.int/mediacentre/

factsheets/fs286/en/. Diakses pada tanggal 21 juni

2011, pukul 22.00 WIB.

[9] Zaman. Gul, Hyo Jung. Il, Yang. H.K, 2010

Stability Analysis And Optimal Vaccination Of An

SIR Epidemic Model, Biosystem. 93 (2008) 240-

249.