Analisis Kompleksitas Algoritma Biogeography Based ...

JASIKA ISSN: 2722-4805

Vol. 1, No 1, April 2020, pp. 10-17 10

Analisis Kompleksitas Algoritma

Biogeography Based Optimization (BBO)

Pada Traveling Salesman Problem (TSP) Suci Ariani1*, Budi Santosa2, Stefanus Eko Wiratno3, Ruli Suprianti4

1Program Studi Sistem Informasi, Politeknik Bisnis KALTARA, Tarakan 2,3Jurusan Teknik Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

4Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Raharja, Tangerang [email protected], [email protected]

ARTICLE INFO ABST RACT

Article history:

Received : February 3, 2020

Revised : March 12, 2020

Accepted : March 29, 2020

This paper analyzes the complexity of the Biogeography Based Optimization (BBO) algorithm. The algorithm's intelligence is measured by how much time and space it takes to run. The characteristic of a good algorithm are small running time and less memory usage. The quantity used to explain the abstract model of time / space measurement is the complexity of the algorithm. There are two kinds of algorithm complexity, namely time complexity and space complexity. Time complexity is expressed as the number of computational stages needed to run the algorithm as a function of input size n. Space complexity is expressed as the amount of memory used by the data structure contained in the algorithm as a function of the input size of n. By using the magnitude of the time / space complexity of the algorithm, we can determine the rate of increase in time (space) required by the algorithm as the size of the input n increases. The steps for analyzing algorithm complexity are completing the BBO algorithm on the TSP, finding the relationship between iteration and time (second), looking for the relationship between the number of cities and processing time (second), and analyzing the algorithm complexity. The results showed that the BBO algorithm on the TSP is a quadratic algorithm O (n ̂2), which is the number of cities increasing, so the implementation time of the algorithm also increases. Biogeography Based Optimization (BBO) algorithm applied to the Traveling Salesman Problem (TSP).

Keywords:

Biogeography Based Optimization,

Complexity Analysis Of Algorithm

INFO ARTIKEL ABST RAK

Proses Artikel:

Artikel Diterima : 3 Februari 2020

Artikel Direvisi : 12 Maret 2020

Dinyatakan Diterima : 29 Maret 2020

Penelitian ini menganalisis kompleksitas algoritma Biogeography Based Optimization (BBO). Algoritma yang bagus adalah algoritma yang mangkus. Kemangkusan algoritma diukur dari berapa jumlah waktu dan ruang (space) memori yang dibutuhkan untuk menjalankan. Algoritma yang mangkus ialah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang. Besaran yang dipakai untuk menerangkan model abstrak pengukuran waktu/ruang dalah kompleksitas algoritma. Ada dua macam kompleksitas algoritma, yaitu kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang. Kompleksitas waktu diekspresikan sebagai jumlah tahapan komputasi yang dibutuhkan untuk menjalankan algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n. Kompleksitas ruang diekspresikan sebagai jumlah memori yang digunakan oleh struktur data yang terdapat di dalam algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n. Dengan menggunakan besaran kompleksitas waktu/ruang algoritma, kita dapat menetukan laju peningkatan waktu (ruang) yang diperlukan algoritma dengan meningkatnya ukuran masukan n. Langkah-langkah untuk analisis kompleksitas algoritma adalah menyelesaikan algoritma BBO pada TSP, mencari hubungan antara iterasi dengan waktu (sekon), mencari hubungan jumlah kota dan waktu proses (sekon), dan menganalisis kompleksitas algoritma. Hasil penelitian menunjukkan bahwa algoritma BBO pada TSP merupakan algoritma kuadratik O(n^2) yaitu

Kata Kunci:

Biogeography Based Optimization

Analisis Kompleksitas Algoritma

mailto:[email protected]

ISSN: 2722-4805 JASIKA 11 Vol. 1, No. 1, April 2020, pp. 10-17

Suci Ariani, dkk (Analisis Kompleksitas Algoritma ..)

I. Pendahuluan

Traveling Salesman Problem (TSP) telah banyak mendapatkan perhatian dari ahli matematika dan ahli komputer secara khusus karena merupakan permasalahan yang mudah dideskripsikan dan sangat sulit untuk dipecahkan [1].Traveling Salesman Problem (TSP) adalah permasalahan umum dalam optimasi kombinatorial dimana seorang salesman harus mengunjungi sejumlah N kota, disyaratkan setiap kota hanya dikunjungi sekali. Salesman ini harus memilih rute sehingga jarak total yang dia tempuh minimum [2].

Biogeography Based Optimization (BBO) pertama kali dipublikasikan oleh Simon [4] dengan melakukan uji terhadap beberapa fungsi (persamaan) dan membandingkan BBO dengan metode optimasi berdasarkan populasi lain seperti Genetic Algorithm (GA) , Ant Colony Optimization (ACO), Differential Evolution (DE), Particle Swarm Optimization (PSO), Evolutionary Strategy (ES), Probability-based incremental learning (PBIL). Hasil penelitian tersebut mengkonfirmasikan bahwa BBO mendapatkan solusi yang lebih baik. Hal ini menunjukkan bahwa BBO merupakan algoritma yang menjanjikan. Kelebihan BBO dibandingkan metode optimasi sejenis yang berdasarkan biologi (GA, ACO, dan sebagainya) yaitu solusinya, Suitable Indeks Variabel (SIV) dapat digunakan secara bersama dengan populasi (island) lain. Hal ini menyebabkan sebuah populasi dapat memiliki sifat baik yang diberikan oleh populasi yang lain sehingga kemampuannya dalam mencari solusi menjadi lebih baik. Namun, BBO juga memiliki kekurangan yaitu konvergensinya ke solusi optimum yang lambat [5]. Hal ini menyebabkan waktu komputasi BBO cenderung lama.

Menurut Boussaid et al [6], saat ini BBO masih dalam tahap pertumbuhan dan memiliki peluang untuk dikembangkan agar dapat menghasilkan solusi yang lebih baik. Salah satu pengembangan BBO yang telah dilakukan adalah dengan menghibridasi BBO dengan DE (disebut DBBO). Differential Evolution (DE) dipilih karena untuk mencegah stagnasi BBO dan memberi keragaman pada BBO sehingga solusi BBO lebih baik [7]. Differential Evolution (DE), adalah metode yang bagus dalam mengeksplor kemampuannya untuk mencari lokasi global optimal namun kurang dalam mengeksploitasi solusinya [7]. Sebaliknya, BBO adalah metode yang bagus dalam mengeksploitasi solusinya namun kurang dalam mengeksplor kemampuannya. Hal ini menyebabkan DE memiliki waktu komputasi yang cepat namun kurang dalam mengeksploitasi kemampuannya. Sedangkan BBO mampu mengeksploitasi kemampuannya namun memiliki waktu komputasi yang lambat. Sehingga, hibrid BBO dan DE, DE/BBO diharapkan mampu mengkombinasikan eksplorasi DE dan eksploitasi BBO secara efektif [8]. Penelitian lain mengatakan bahwa hibrid DE dan PSO (DE-PSO) mendapatkan hasil yang lebih baik dan lebih mudah konvergen dibandingkan hanya DE dan PSO saja [9].

II. Landasan Teori

A. Traveling Salesman Problem (TSP)

Traveling Salesman Problem (TSP) telah banyak mendapatkan perhatian dari ahli matematika dan ahli komputer secara khusus karena merupakan permasalahan yang mudah dideskripsikan dan sangat sulit untuk dipecahkan [3].Traveling Salesman Problem (TSP) adalah permasalahan umum dalam optimasi kombinatorial dimana seorang salesman harus mengunjungi sejumlah N kota, disyaratkan setiap kota hanya dikunjungi sekali. Salesman ini harus memilih rute sehingga jarak total yang dia tempuh minimum [4].

jumlah kota meningkat maka waktu pelaksanaan algoritma juga meningkat.Algoritma Biogeography Based Optimization (BBO) yang diaplikasikan pada Traveling Salesman Problem (TSP) termasuk algoritma yang mangkus.

12 JASIKA ISSN: 2722-4805

Vol. 1, No. 1, April 2020, pp. 10-17


B. Biogeography Based Optimization (BBO)

Biogeography Based Optimization (BBO) pertama kali dipublikasikan oleh Simon [5] dengan melakukan uji terhadap beberapa fungsi (persamaan) dan membandingkan BBO dengan metode optimasi berdasarkan populasi lain seperti Genetic Algorithm (GA) , Ant Colony Optimization (ACO), Differential Evolution (DE), Particle Swarm Optimization (PSO), Evolutionary Strategy (ES), Probability-based incremental learning (PBIL). Hasil penelitian tersebut mengkonfirmasikan bahwa BBO mendapatkan solusi yang lebih baik. Hal ini menunjukkan bahwa BBO merupakan algoritma yang menjanjikan. Kelebihan BBO dibandingkan metode optimasi sejenis yang berdasarkan biologi (GA, ACO, dan sebagainya) yaitu solusinya, Suitable Indeks Variabel (SIV) dapat digunakan secara bersama dengan populasi (island) lain. Hal ini menyebabkan sebuah populasi dapat memiliki sifat baik yang diberikan oleh populasi yang lain sehingga kemampuannya dalam mencari solusi menjadi lebih baik. Namun, BBO juga memiliki kekurangan yaitu konvergensinya ke solusi optimum yang lambat. Hal ini menyebabkan waktu komputasi BBO cenderung lama[6].

C. Kompleksitas Algoritma

Secara teoritis, model abstrak pengukuran waktu/ruang harus independen dari pertimbangan mesin dan compiler apapun. Model abstrak seperti itu dapat dipakai untuk membandingkan algoritma yang berbeda. Besaran yang dipakai untuk menerangkan model abstrak pengukuran waktu/ruang ini adalah kompleksitas algoritma. Ada dua macam kompleksitas algoritma, yaitu kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang. Kompleksitas waktu diekspresikan sebagai jumlah tahapan komputasi yang dibutuhkan untuk menjalankan algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n. Kompleksitas ruang diekspresikan sebagai jumlah memori yang digunakan oleh struktur data yang terdapat di dalam algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n. Dengan menggunakan besaran kompleksitas waktu/ruang algoritma, kita dapat menetukan laju peningkatan waktu (ruang) yang diperlukan algoritma dengan meningkatnya ukuran masukan n.

Terminologi yang diperlukan dalam membahas kompleksitas wkatu dan kompleksitas ruang suatu algoritma adalah:

Ukuran besar masukan data untuk suatu algoritma, n. Sebagai contoh, dalam algoritma pengurutan elemen-elemen larik, n adalah jumlah elemen larik, sedangkan dalam algoritma perkalian matriks n adalah ukuran matriks n x n. Pada beberapa kasus, ukuran masukan lebih tepat menggunakan dua buah besaran, misalnya jika masukan algoritma adalah graf, maka ukuran masukan adalah jumlah simpul dan jumlah sisi.

Kompleksitas waktu, T(n) adalah jumlah operasi yang dilakukan untuk melaksanakan algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.

Kompleksitas ruang, S(n), adalah ruang memori yang dibutuhkan algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.

1) Notasi O-Besar T(n)=O(f(n)) (dibaca “T(n) adalah O(f(n))” yang artinya T(n) berorde paling besar f(n) bila

terdapat konstanta C dan n0 sedemikian sehingga

𝑇(𝑛) < 𝐶. 𝑓(𝑛) (1)

Untuk n≥n0

Makna notasi o-besar adalah jika sebuah algoritma mempunyai waktu asimptotik O(f(n)), maka jika n dibuat semakin besar, waktu yang dibutuhkannya tidak akan pernah melebihi suatu konstanta C dikali dengan f(n). Jadi, f(n) adalah batas lebih atas (upper bound) dari T(n) untuk n yang besar. Kita katakana T(n) berorde paling besar f(n).



Gambar 1 memperlihatkan tafsiran geometri “O besar”. Meskipun T(n) pada mulanya berada di atas Cf(n), tapi setelah n= n0 ia selalu berada di bawah Cf(n)).

Gambar 1. Ilustrasi “O besar”

2) Pengelompokan algoritma berdasarkan Notasi O-Besar 𝑂(𝑛2) Algoritma yang waktu pelaksanaannya kuadratik hanya praktis digunakan untuk

persoalan yang berukuran kecil. Umumnya algoritma yang termasuk kelompok ini memproses setiap masukan dalam dua buah kalang bersarang, misalnya pada algoritma urut_maks. Bila n=1000, maka waktu pelaksanaan algoritma adalah 1.000.000. Bila n dinaikkan menjadi dua kali semula, maka waktu pelaksanaan algoritma meningkat menjadi empat kali semula[2].

III. Metode Penelitian

Langkah-langkah untuk analisis kompleksitas algoritma:

A. Menyelesaikan algoritma BBO pada TSP

Algoritma BBO pada TSP dapat dilihat pada penelitian sebelumnya yaitu Suci[8].

B. Mencari hubungan antara iterasi dengan waktu (sekon)

Algoritma BBO pada TSP terdapat hubungan antara iterasi dengan waktu. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman MATLAB, kemudian tampilan keluaran dapat berupa grafik.

C. Mencari hubungan jumlah kota dan waktu proses (sekon)

Algoritma BBO pada TSP terdapat hubungan antara jumlah kota dan waktu proses. Hal

ini dapat dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman MATLAB, kemudian

tampilan keluaran dapat berupa grafik.

D. Menganalisis kompleksitas algoritma

Algoritma asli BBO adalah sebagai berikut:

1. Secara random inisialisasi n solusi (habitat)

2. ketika kriteria tidak terpenuhi maka

3. for i=1 to n do

4. Hitung λ_i, µ_i, π_i berdasarkan f_i

5. for i=1 to n do

6. for d=1 to D do

7. jika rand() < λ_i maka migrasi

8. Pilih a habitat H_j dengan probabilitas α µ_j

9. H_(i,d) 〖←H〗_(j,d)


Vol. 1, No. 1, April 2020, pp. 10-17


10. for i=1 to n do

11. for d=1 to D do

12. if rand()<〖 π〗_imaka mutasi

13. H_(i,d) 〖←I〗_d+rand()x(µ_d-I_d)

14. Hitung nilai fitness dari habitat

15. update f_max, P_maxdan solusi terbaik

16. kembali ke solusi terbaik

Pada baris ke 8 kita dapat menggunakan metode roulette wheel untuk seleksi,

kompleksitas waktu dari O(n). Hal ini tidak sulit mengingat bahwa kompleksitas dari masing-

masing iterasi algoritma adalah O(n^2 D+nf), dimana f mengindikasikan kompleksitas dari

fungsi fitness [9].

IV. Hasil dan Pembahasan

Parameter penelitian yang digunakan adalah batas bawah untuk kemungkinan imigrasi (lambdaLower = 0), batas atas untuk kemungkinan imigrasi (lambdaUpper = 1), tingkat imigrasi maksimum (I=1), tingkat emigrasi maksimum E=1, kemungkinan modifikasi habitat (pmodif=1), kemungkinan mutasi (pmutate=0.005), jumlah island yang dielitkan (elit=1), jumlah spesies maximum dalam suatu island (n=20).

Tabel 1. Waktu Eksekusi BBO pada TSP 5 Kota

Iterasi Waktu (s)

100 0.1102

200 0.1603

300 0.2052

400 0.2454

500 0.2860

Gambar 2. Grafik Hubungan Iterasi dengan Waktu Pada TSP 5 Kota

Dilakukan pengujian pada n yaitu banyak kota adalah 5 dengan iterasi 100 dan waktu 0,1102 detik, iterasi 200 dan waktu 0,1603, iterasi 300 dan waktu 0,2052, iterasi 400 waktu 0,2454, iterasi 500 dan waktu 0,2860. Semakin banyak iterasi atau pengulangan maka semakin besar waktu yang dibutuhkan.




Iterasi Waktu (s)

100 0.2934

200 0.4057

300 0.6028

400 0.7566

500 0.9669




Iterasi Waktu (s)

100 0.5336

200 0.8422

300 1.0737

400 1.3066

500 1.5399


Vol. 1, No. 1, April 2020, pp. 10-17




Tabel 4. Hubungan Jumlah Kota (X) dan Waktu Proses (Y)

Jumlah Kota

(X) Waktu Proses

(sekon) (Y) XY X2

5 0.286 1.43 25

10 0.9669 9.669 100

15 1.5399 23.0985 225

Jumlah (∑) 30 2.7928 34.1975 3500

Gambar 5. Hubungan Jumlah kota (X) dan Waktu Proses (sekon)(Y)

Algoritma BBO pada TSP sangat cepat, namun algoritma ini sangat kompleks dan diproses secara rekursif.

𝑏 =𝑛Σ𝑋𝑌 − Σ𝑋Σ𝑌

𝑛Σ𝑥2 − (Σ𝑋)2=

3 ∗ (34.1975) − 30 ∗ 2.7928

3 ∗ 350 − (30)2= 0.1254

𝑎 =Σ𝑌

𝑛− 𝑏

ΣX

𝑛=

2.7928

3− 0.1254 ∗

30

3= −0.3231

Dengan demikian diperoleh persamaan regresi taksiran adalah Y=0.1254x-0.3231.

Pada penelitian ini, berdasarkan Gambar 5.4 dapat dilihat bahwa pengelompokan algoritma berdasarkan Notasi O besar, maka algoritma Biogeography Based Optimization (BBO) yang diaplikasikan pada Traveling Salesman Problem (TSP) merupakan algoritma kuadratik O(n^2) . Hal ini dapat ditunjukkan bahwa bila n yaitu jumlah kota meningkat maka waktu pelaksanaan algoritma juga meningkat.

y = 0.1254x - 0.323R² = 0.9975

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20

Wak

tu P

rose

s (s

eko

n)

(Y)

Jumlah Kota (X)

Hubungan Jumlah Kota (X) dan Waktu Proses (sekon) (Y)

Series1

Linear (Series1)



V. Kesimpulan

Hasil algoritma dan pengujian dapat ditarik kesimpulan yakni algoritma Biogeography Based Optimization (BBO) telah berhasil dianalisis kompleksitas algoritmanya. Analisis kompleksitas algoritma BBO pada TSP yaitu analisis waktu. Dari hasil pengujian, algoritma BBO pada TSP merupakan algoritma kuadratik O(n2) yaitu jumlah kota meningkat maka waktu pelaksanaan algoritma juga meningkat. Algoritma Biogeography Based Optimization (BBO) yang diaplikasikan pada Traveling Salesman Problem (TSP) termasuk algoritma yang mangkus. Dari hasil pengujian dapat dilihat bahwa kebutuhan waktu 5 hingga 15 kota hanya berkisar 0 hingga 2,9 detik saja.

Daftar Pustaka

[1] M. Rinaldi, Algoritma dan Pemrograman Dalam Bahasa Pascal dan C. Edisi Revisi. Penerbit Informatika, 2011.

[2] M. Rinaldi, Matematika Diskrit. Penerbit Informatika: Bandung, 2016.

[3] Hoffman L.Karla, Padberg Manfred, Rinaldi Giovanni, 2016. Traveling Salesman Problem. Encyclopedia of Operations Research and Management Science

[4] S. Budi and A. J. The, Pengantar Metaheuristik Implementasi dengan Matlab. ITS TEKNO SAINS, Surabaya, 2017.

[5] Simon, D. Biogeography Based Optimization, IEEE Transactions On Evolutionary Computation, Vol. 12, No. 6, December 2008

[6] Lohokare, M.R, Pattnaik, S.S, Devi, S. Panigrahi, B.K. Das, S and Jagdhav, D.G. Discrete Variables Function Optimization Using Accelerated Biogeography-Based Optimization. National Institute of Technical Teachers’ Training and Research Chandigarh, India, 2010.

[7] R.H. Sianipar, Pemrograman Matlab 150+ Soal dan Penyelesaian. Penerbit ANDI: Yogyakarta, 2015.

[8] A. Suci, ALGORITMA BIOGEOGRAPHY BASED OPTIMIZATION (BBO) PADA TRAVELING SALESMAN PROBLEM (TSP). Politeknik Bisnis Kaltara Tarakan, 2020.

[9] Zheng Yu-Jun, Ling Hai-Feng, Wu Xiao-Bei, Xue Jin-Yun,2013. Localized biogeography-based optimization.Soft Comput (2014)18:2323-2334 DOI 10.1007/s00500-013-1209-1

Analisis Kompleksitas Algoritma Biogeography Based ...

Documents