Microsoft Word - ANALISIS ESTRUCTURAL PARTE V.doc
MTODOS DE ANLISIS
1. Mtodo de las fuerzas o flexibilidad: Es convenientes para el
anlisis de estructuras pequeas con pocos elementos redundantes, las
incgnitas son las redundantes o fuerzas. Este mtodo tambin se usa
para deducir las relaciones fuerza- desplazamiento en elementos
necesarios para aplicar el mtodo de los desplazamientos.
2. Mtodo de los desplazamientos o rigidez: Es sistemtico, por lo
tanto fcil de programar. Se usa para estructuras grandes y con
muchas redundantes.Ingenieria Antisismica
1. MTODO DE LAS FUERZAS, O DE LA FLEXIBILIDAD O DE LAS
DEFORMACIONES COHERENTES.
Planteado por James C Maxwell en 1864. Consiste en eliminar
suficientes restricciones en una estructura estticamente
indeterminada, para volverla una estructura determinada, conocida
como estructura primaria o base y debe ser estable. Las reacciones
redundantes, se aplican como cargas desconocidas sobre la
estructura estticamente determinada o primaria y se resuelve por
medio de las ecuaciones de compatibilidad. En este mtodo las
incgnitas son las fuerzas.
1.1 PROCEDIMIENTO PARA ESTRUCTURAS CON GRADO DE INDETERMINACIN
ESTTICA GIE = 1
1. Determine el grado de indeterminacin esttica
2. Seleccione una de las reacciones como redundantes, la
estructura primaria debe ser estable y estticamente
determinada.
3. Aplique las cargas externas sobre la estructura primaria
dibuje la deformada y muestre la deflexin en el punto de la
redundante.
4. Aplique la redundante sobre la estructura primaria, con un
valor unitario de la fuerza en el punto y direccin positiva del
elemento redundante. Dibuje la deformada y asigne f como
coeficiente de flexibilidad, el cual representa la deflexin o
pendiente en el punto de aplicacin, la deflexin o pendiente es
igual a la redundante por f (coeficiente flexibilidad).
5. Escriba la ecuacin de compatibilidad, igualando deformacin de
la estructura primaria con cargas con la deformacin de la
estructura primaria con incgnitas, la suma algebraica de la
deflexin o rotacin se igualan a cero. Si hay movimiento en el apoyo
se iguala al movimiento prescrito, por ejemplo un asentamiento
diferencial.
6. Calcular las deflexiones por las cargas y por la carga
unitaria en el punto de aplicacin de la redundante.
7. Reemplazar el valor anterior en la ecuacin de compatibilidad
y halle la redundante.
8. Halle las otras reacciones usando las ecuaciones de
equilibrio.
9. Realice los diagramas V(x), M(x) , N(x).Ingenieria
AntisismicaI
Problema: Hallar las reacciones y diagramas V(x) y M(x). By:
Redundante Esttican la
Estructura Primaria bajo las cargasBM : Deflexin en B debido al
momento externo M
Viga estticamente indeterminada
Estructura primaria cargada co redundante By
BB : Coeficiente de flexibilidad. Representa la deflexin en B
debida a un valor unitario de la redundante By aplicada en B.
Ingenieria Antisismica
La deflexin en B debida a la redundante es BRB =
BB By
Ecuacin de compatibilidad
+ = +=By0
BMoBRBBMoBB
Deflexin de las vigas primarias
Se pueden calcular usando las formulas de deflexiones o
cualquier mtodo de las que se vieron anteriormente para calcular
deflexiones.
El signo (-) indica deflexin abajo
= M o L BM2EI2
BB
= L33EI
?
Reemplazando en la ecuacin de compatibilidad
M 0 L2
2EI
+ L33EI
* By = 0
By = 3M2L
Reacciones
Fx = 0 Ax = 0
A = 0 M A 0MM
+ 3M 0 = 02
M= M 0A2Fy = 0Ay = 3M2L
2. MTODO DE NGULOS DE GIRO Y DEFLEXIN, O DE LOS DESPLAZAMIENTOS
O RIGIDEZ.
Otto Mohr fue el precursor del mtodo aplicado en 1892, luego fue
introducido por GeorgeA. Money, profesor de la Universidad de
Minesota en 1915 los fundamentos proporcionan una introduccin al
mtodo matricial de la rigidez.
Se considera como incgnitas las rotaciones y desplazamientos en
los nudos, y con base en esto se plantean las ecuaciones de
compatibilidad.
La esencia del mtodo radica en relacionar los cambios geomtricos
producidos por las cargas (Rotaciones y desplazamientos en los
nudos) con los momentos en los nudos. Se aplican las ecuaciones de
equilibrio a cada nudo y se resuelve el sistema de ecuaciones y se
obtiene la solucin se considera y procede as:
Las conexiones son rgidas y se desprecian las deformaciones
axiales.
Desplazamientos y rotaciones en nudo son incgnitas.
Los momentos en los extremos se expresan en funcin de las cargas
aplicadas y giros y desplazamientos se suponen (+),contra
horario.
Para que haya equilibrio, la suma de momentos en los extremos de
los elementos debe ser cero, y aplicando sucesivamente esto a todos
los nudos y cualquier otra condicin, proporciona condiciones
necesarias para resolver giros y desplazamientos.
Despus de hallar los giros y desplazamientos, se reemplazan los
valores en la ecuacin de ngulos de giro y deflexin para encontrar
los momentos en los extremos de los elementos.
a) Elemento de prtico no deformada.
b) Elemento despus de deformarse por las cargas impuestas
: Translacin relativa entre los 2 extremos del elemento en
direccion perpendicular al eje no deformado.
Mi , Mj : Momento definitivo en el nudo i , j
c) Efecto de las cargas sobre el elemento (Se empotra la
estructura)
Mijf : Momento de empotramiento en el nudo i causados por cargas
aplicadas en j. Anlisis de Estructuras I115
Mi E , MjiE: Se hallan con tablas, mtodo rea momento, viga
conjugada etc.j
d) Efecto del giro en el nudo i () Se desprecian las
deformaciones axiales) Mii` : Momento en el nudo i causado por un
giro teta iMji` : Momento en el nudo j por la aplicacin de un
momento Mii` en el nudo i.
Viga Conjugada Teta = Cortante Y = Momentoe) Efecto del giro en
el nudo j
Mj ` : Momento en el nudo j causado por un giro teta jj
` : Momento en el nudo i por la aplicacin de un momento M ` en
el nudo j.Mijjj
Viga Conjugada con giro positivo
f) Desplazamiento relativo normal al eje del elemento en posicin
no deformada.
Mi ` : Momento en el nudo i causado por un desplazamiento
relativo en los extremos del elemento j.j
Mji` : Momento en el nudo j causado por un desplazamiento
relativo en los extremos del elemento i.
ij : Giro de la cuerda, puede ser positivo (contra horario)
Aplicando el principio de SuperposicinMi = MiF + Mii` + Mi ``j
Mj = M Fj
+ Mji`
+ Mj ``
Para el caso d) :j
M B = 0
Condiciones en los apoyos
Reemplazando en las ecuaciones giro deflexin
M= 37.5 + EI 6.656 = 38.83KN.mAB5EI
M= 37.5 + 2EI 6.656 = 34.84KN.mBA5EIM= 36 + 2EI 6.656 + EI *
16.824 = 34.84KN.mBC3EI3EIComprobandoM BA + M BC = 0M= 36 + EI *
6.656 + 2 EI * 16.824 = 45
CB3
EI3EI
M CB + M CD = 0Se encuentran las reacciones
Tramo AB30
38.8 34.8
RAB =+210
= 15.4KN
RBA = 15.4 + 30 = 14.6KN M max = 15.4 * 5 = 38.2KN.m
Tramo BC12 * 6
45 34.8
RBC =26
= 34.3KN
RCB = 12 * 6 34.3 = 37.7KN2
M max
= 34.32 *12
34.8 = 14.2KN.m
Matriz de flexibilidad.-
La geometra (deformada) de un slido deformado puede
caracterizarse por los movimientos (desplazamientos o giros) de un
conjunto de puntos o secciones particulares. En una estructura
plana el movimiento de un punto del slido ( seccin, si se trata de
barras) tiene tres componentes: dos traslaciones y un giro. Las
componentes del movimiento de un conjunto representativo de puntos
de un slido (entre ellos, probablemente, los propios puntos de
aplicacin de las cargas Pi) que caracterizan unvocamente el
comportamiento deformacional del slido sometido a las cargas Pi, se
denominan, a efectos de anlisis estructural, grados de libertad del
slido.
As, por ejemplo:
La proporcionalidad entre la variacin de longitud y la carga
aplicada expresada en la ley de Hooke, L = L/(EA) N, implica la
caracterizacin del comportamiento deformacional de la barra
mediante el movimiento del punto extremo en la direccin de
aplicacin de la carga; este movimiento sera, pues, el grado de
libertad elegido para el anlisis del problema La proporcionalidad
entre el movimiento perpendicular a la barra y la carga aplicada en
el extremo de la mnsula expresada en f = L3/(3EI) P, implica
caracterizar el comportamiento deformacional de la mnsula mediante
el desplazamiento del punto extremo en la direccin de aplicacin de
la carga; este movimiento sera el grado de libertad elegido para el
anlisis del problema; una alternativa podra ser utilizar como grado
de libertad descriptivo del problema, el giro en el extremo de la
mnsula.
Considrese un slido como el que se muestra en la figura 8.1
sometido a la accin de diferentes cargas (acciones) externas Pi
actuando cada una de ellas en un punto i.
Por efecto de aplicacin de las cargas, un punto genrico i se
desplazara hasta el punto i siendo el vector desplazamiento i del
cual la componente en la direccin de aplicacin de la carga es
i.
Definicin.- Se denomina coeficiente de influencia o de
flexibilidad fij al desplazamiento del punto de aplicacin de la
carga Pi, en la direccin de dicha carga, cuando acta una carga
unidad en el punto j en la direccin y sentido de Pj.
P111122P21223333P3
Figura 8.1
Cuando actan varias cargas, el desplazamiento i del punto de
aplicacin de una de ellas, justo en la direccin de la carga Pi, es
suma de los desplazamientos producidos por cada una de las cargas
actuantes.
1 = f11P1 + f12P2 + f13P32 = f21P1 + f22P2 + f23P33 = f31P1 +
f32P2 + f33P3
El sistema anterior puede ordenarse en forma matricial
resultando
1f11f12f13P1
2 = f21f22f23P2
3f31f32f33P3
A la matriz constituida por los coeficientes fij se la denomina
matriz de flexibilidad del slido. Propiedad.- Los coeficientes de
flexibilidad fij y fji son iguales. Aplicando el teorema de
Reciprocidad de Maxwell-Betti a los dos estados de carga distintos
que actan sobre un mismo slido, y que se muestran en la figura 8.2
(en el estado 1 slo actan la carga Pi y en el estado 2 solo la
carga Pj), se obtiene:
Matriz de rigidez.- Es decir, kii representa la carga a aplicar
en el punto i-simo para conseguir un desplazamiento unidad en este
punto en la direccin de la carga aplicada en dicho punto
permaneciendo el resto de los puntos sin movimiento. Algunas
precisiones.- La carga a aplicar se entiende que tiene la misma
direccin que Pi. El desplazamiento unidad debe entenderse que es la
componente sobre la direccin de Pi. Que el resto de los puntos
permanece sin movimiento se refiere a la ausencia de
desplazamientos en las direcciones de las cargas aplicadas Pj
(ji)
Si hubiera momentos los movimientos referidos son giros.
EJEMPLO.- Obtener la matriz de rigidez de la estructura y
sistema de cargas que se muestran enlafigura 8.14.