Análisis de redes comercio mediante procesos de consenso

Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones

Análisis de redes de comercio mediante procesosde consenso

Miguel RebolloDirigida por: Javier Galeano y Rosa M. Benito

Trabajo Final de MásterMáster en Física de Stmas. Complejos

Univ. Politécnica de Madrid

Septiembre, 2013

@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso


Contenidos

1 Introducción

2 Procesos de consenso en redes

3 Consenso en redes dinámicas

4 Caso de estudio: Comtrade

5 Conclusiones



Consenso

¿qué es el consenso?



Consenso

¿para qué sirve?



Algoritmo de consenso

1.cada nodo tiene un valor inicial

1 2

3 4

x1 = 0.4 x2 = 0.2

x3 = 0.3 x4 = 0.9

x1 = 0.4




2.pasa su valor a sus vecinos

1 2

3 4

x1 = 0.4 x2 = 0.2

x3 = 0.3 x4 = 0.9

x1 = 0.4

x1 = 0.4

x1 = 0.4




3.recibe los valores de los vecinos

1 2

3 4

x1 = 0.4 x2 = 0.2

x3 = 0.3 x4 = 0.9

x2 = 0.2

x4 = 0.9x3 = 0.3




4.calcula el nuevo valor con

x(t+1) = x(t)+ε∑j∈Ni

[xj(t)− xi(t)]

< m«ıni1di

1 2

3 4

x1 = 0.45 x2 = 0.425

x3 = 0.325 x4 = 0.6

x1 = 0.4



Proceso de consenso

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x = 0.45



Cálculo de valores agregados. Push-Sum

Limitación del algoritmo de consenso: no funciona para valoresagregados

hay una familia de algoritmos (gossip) que lo haceel proceso de convergencia es más lentosuelen introducir un elemento aleatorio

Eliminar aletoriedad + fórmula matricial + combinación conconsenso



Algoritmo Push-Sum

1 Sean {(sr , wr )} todos los pares enviados a i en el paso t − 12 si(t)←

∑r sr

3 wi(t)←∑

r wr

4 se escoge un destino fi(t) al azar de manera uniforme5 se envía el par

(12si(t), 1

2wi(t))a fi(t) y a i (sí mismo)

6 si (t)wi (t) es el valor estimado para el paso t



Eliminar componente aleatorio de Push-Sum

Repartir el valor de un nodo entre TODOS los vecinos

si(t + 1) = si(t)di + 1 +

∑j∈Ni

sj(t)dj + 1

La velocidad de convergencia es equivalente al modelo original



Formulación matricial

La fórmula de Push-Sum es equivalente a

G = (I + A)(I + D)−1

Con lo que puede calcularse como

s(t + 1) = Gs(t)w(t + 1) = Gw(t)

Que converge a

l«ımt→∞

s(t)w(t) =

∑i s(0)N , l«ım

t→∞s(t)w(t) =

∑i

s(0)



Consenso usando Push-Sum

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

iter

x



Combinación Push-Sum + consenso. PageRank

Supongamos que queremos usar el valor de PageRank como peso

PRi =1− d

N + d∑j∈Mi

PRjLi

Problema: N es el tamaño de la red ¿cómo se obtiene?



Combinación Push-Sum + consenso. PageRankAlgoritmo

s = 1, w = 0, w1 = 1repetir

s = Gs, w = Gwhasta que N = s/w convergePRi = 1/Nrepetir

PRi =1−d

N + d∑

j∈MiPRjLi

hasta que PR se estabilizarepetir

xi = xi +ε

PRi

∑j∈Ni (xj − xi)

hasta que x converge



Problemática con el consenso

El proceso de consenso asume que la red permanece invariablemientras se completa

cambios en los valores de los nodoscambios en los pesosinserción/borrado de nodosvalor global del factor de aprendizaje ε

cambios en ε por cambios estructurales



Idea central

Conservación de la suma

s =∑

ixi(0) =

∑i

xi(t) ∀t

los cambios dinámicos alteran la sumabuscamos correcciones locales a esas desviacionesexpresión como matrices de transformación



Cambio en el valor inicial

Es el caso más simplexi(0) pasa a zi(0)zi(t) = xi(t) + (zi(0)− xi(0))



Cambio en los pesos

El consenso pesado sigue la fórmula

xi(t + 1) = xi(t) +ε

wi

∑j∈Ni

[xj(t)− xi(t)], ε < m«ın widi

No se puede anular la influencia de i en sus vecinos con el pesoanterior wi

zi(t) = xi(t) +(vi − wi) [xi(0)− xi(t)]

vi

O su expresión matricial

Tw = (v − w)(x0 − x)v−1



Inserción y borrado de nodosLa inserción es trivial: basta con añadir el nuevo nodo y comenzaráa actualizarseProblemaEn el modelo matricial, afecta a la matriz de adyacencia, luego la Ly P también se ven afectadas

Borrado: Para que se conserve la suma hay que devolver a la red elexcedente

xi(0) +∑j∈Ni

xi(t)− xi(0)di

o de forma matricial

Td =xi(t)− xi(0)

diAi



Cambio en el factor de aprendizajeEstimación inicial

ProblemaEl algoritmo de consenso asume la existencia de un ε global

Puede resolverse haciendo previamente un consenso por mínimos

εi(t + 1) = m«ın(

εi(t),m«ınj∈Ni

εj(t))

O en su expresión matricial

E = diag(m«ın

jE (I + A)

)como fase previa al consenso



Cambio en el factor de aprendizajeCorrección por cambios

¿Qué ocurre si cambios estructurales o de peso de los nodos hacenque ε no sea válido?

El algoritmo no converge

Es un problema críticosi no se corrigen las desviaciones anteriores converge a unvalor distinto a la mediasi no se corrige el cambio en ε el algoritmo no acaba nunca



Cambio en el factor de aprendizajeCorrección por cambios

Solución semejante a la usada en los pesos

xi(t + 1) = xi(t) +1wi

∑j∈Ni

ε[xj(t)− xi(t)]

xi(t + 1) = xi(t) + ε∑j∈Ni

1wi(t)

[xj(t)− xi(t)]

Lo que nos lleva a corregirlo como

z(t) = x(t) +

(1ei− 1

εi

)[xi(0)− xi(t)]

1ei

O con mla expresión matricialTe = (I − DE ′D−1

E )(x0 − x)@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso


Cálculo de volumen de exportaciones

¿Que hay en Comtrade?Información sobre transacciones comerciales entre países,desglosadas por tipos de productos.

desde 2010 incluye información mensualdatos: exportación de vino entre 2010 y 2012

ObjetivoUsar consenso para poder obtener la misma información de formadescentralizada



Características de la red

287 países5.582 transacciones (enlaces)4.519 transacciones útilesdensidad de enlaces del 5,58%grado medio 15,74grado máximo 202



Características de la red

0 50 100 150 200 250

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Partner

Report

er

Wine Trade Export 2010−2012

5

10

15

20

25

30

35



Cálculo del valor medio

0 20 40 60 80 1000

500

1000

1500

2000

2500Consenso sobre el precio (100 iteraciones)

0 200 400 600 800 10000

500

1000

1500

2000

2500

iter

pre

cio

Consenso sobre el precio (1000 iteraciones)



Cálculo del valor medio ponderado

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3Consenso sobre el precio pesado (100 iteraciones)

0 200 400 600 800 10000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

iter

pre

cio

Consenso sobre el precio pesado (1000 iteraciones)



Consenso incremental con corrección

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4

5

x 106

pre

cio

iter

Exportaciones 2010−01 a 2010−02



Consenso sobre los datos globales

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

x 106

pre

cio

iter

Exportaciones 2010−01 a 2010−02



Interrupción antes de estabilizarse

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

x 106 Exportaciones 2010−01 a 2010−02

iter

pre

cio



Conclusiones

formulación matricial de Push-Sumcombinación con consensocorrección de desviaciones para redes dinámicas: cambios devalores, pesos y estructuraajuste del factor de aprendizaje ε

aplicación a Comtrade como caso de estudio



Trabajos futuros

estudio teórico de la convergenciaextensión a redes dirigidasextensión a modelos multivariableaplicación en redes multiplex



Conclusiones

formulación matricial de Push-Sumcombinación con consensocorrección de desviaciones para redes dinámicas: cambios devalores, pesos y estructuraajuste del factor de aprendizaje ε

aplicación a Comtrade como caso de estudio


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