Análisis de movimiento de usuarios en redes celulares y optimización de recursos

Análisis del movimiento de usuarios en redes celulares y optimización de recursos.

Especialidad: Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, Subespecialidad Telecomunicaciones,

Gran Reto de la Ingeniería Mexicana: Modelos Matemáticos en Redes Celulares

,1

ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE USUARIOS

EN REDES CELULARES Y OPTIMIZACIÓN DE

RECURSOS

Especialidad: Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica

Subespecialidad: Telecomunicaciones

Gran Reto de la Ingeniería Mexicana: Modelos Matemáticos en

Redes Celulares

Ramón Martín Rodríguez Dagnino

Doctor en Ingeniería Eléctrica: Telecomunicaciones

Fecha de ingreso (17, 03, 2016)

Monterrey, Nuevo León




,2

Contenido

Resumen ejecutivo 3-4

1. Objetivos, Alcances, Introducción 5

2. Contenido del trabajo 6

3. Conclusiones 16

4. Referencias 17




,3

RESUMEN EJECUTIVO

La optimización de recursos en redes celulares inalámbricas es de suma importancia

para tener un apropiado dimensionamiento de dichas redes. En un ambiente celular se

debe de tener una adecuada localización de las terminales móviles en las diferentes

áreas de localización (LAs) para un manejo aceptable de las llamadas con los niveles de

calidad requeridos. Existen muchos estudios que se enfocan a optimizar la potencia de

la señal y asegurarse que se cubran, con los niveles normados de potencia, las áreas

asignadas para el servicio. Nuestro enfoque en este trabajo es hacia otros aspectos de

las redes celulares que tiene que ver con el movimiento de usuarios, arquitecturas de

red, protocolos y estrategias para hacer un uso óptimo de recursos. Por ejemplo, el

movimiento de los usuarios ocurre generalmente en un plano o en tres dimensiones,

pero con algunas restricciones, por ejemplo, usuarios en un centro comercial con

edificios de varios niveles o los usuarios que van dentro de los automóviles en una

ciudad. En la actualidad no existen modelos estocásticos definitivos que capturen dicho

movimiento, pero si hay una variedad grande de modelos que aproximan

razonablemente el comportamiento real. Hay varios elementos aleatorios que hacen

difícil la construcción de modelos matemáticos, uno de ellos es que la duración de las

llamadas es aleatoria, el tiempo que permanecen en una célula, los usuarios de la red

celular, también es aleatoria. Asimismo, el número de usuarios en una célula es

aleatorio. Como una consecuencia se tiene que dichos modelos son necesariamente

probabilísticos. Otro aspecto de optimización que se debe de abordar es el de la

minimización del tráfico generado para mantener conectados y localizados a los

diferentes usuarios, este tipo de tráfico es de servicio de la red de telecomunicaciones,

y se cataloga como tráfico de señalización y voceo. Se han propuesto varias

arquitecturas, protocolos de red, y estrategias para tratar con estos problemas.

Se han estudiado básicamente tres estrategias para la localización de usuarios, y la

administración de esta información dentro de una red celular: La primera se basa en

estimar la distancia que ha viajado el usuario, la segunda pide confirmación de

localización una vez que ha transcurrido un tiempo periódico, y la tercera se basa en la

detección del movimiento, es decir, el usuario envía información de localización una vez

que ha cruzado la frontera de una célula. Para cada uno de estos esquemas se han

especificado funciones de costo que se deben de optimizar, e incluso para esquemas

híbridos que consideran un par de dichas estrategias.

Una de las estrategias más atractivas, debido a su facilidad en el manejo de la

información y que no genera gran cantidad de información de señalización es la que se

basa en el movimiento de usuarios. Para esta estrategia es necesario tener modelos

matemáticos que nos ayuden a predecir y contar el número de cruces de células

inalámbricas (handovers) que ocurren durante la duración aleatoria de una llamada, o

en los intervalos en que no hay llamadas. Una buena parte de mis contribuciones han

sido en estos modelos utilizando la teoría matemática de renovación y procesos de

Markov. Voy a describir algunos de estos modelos en este trabajo.




,4

ABSTRACT

Resources optimization in wireless cellular networks is very important for dimensioning. In

addition, it is relevant to have an appropriate scheme for location of users in a given service

area or location area (LA). These issues help to maintain a certain quality of service for a

service level agreement. Most of the studies in cellular networks are focused to the signal

power optimization to ensure the signal covering area. Our goal in this work is to deal with

users’ movement modeling, and the minimization of paging and signaling traffic. For

instance, the movements occur in a plane (2D) or sometimes in 3D with some restrictions,

e.g., users in a shopping mall or inside buildings. Nowadays, there are no definitive stochastic

models to capture this behavior, however, there are many proposed models to approximate

the motion in different scenarios. There are several stochastic elements making this modeling

construction as a difficult task. One of them is the random duration of a session or call,

another one is the residence time in a wireless cell, the number of users in the cellular

network, etc. Moreover, the number of users in a wireless cell is also random. As a

consequence of these facts, the models need to be stochastic. There are several proposals for

architectures, network protocols, and strategies to deal with these issues.

There are basically three strategies for users’ location, and the management of this

information in a cellular network. The first one is to estimate the distance travelled by a

particular user, the second one is based on periodic time stamps, and the third one detects the

movement of users through cell crossing detection. To each of these schemes there are cost

functions proposals to do optimization of signaling and paging traffic. There are also hybrid

schemes to deal with these problems as well.

The dynamic movement strategy is one of the most efficient and less complex to be

implemented. In this strategy we need to have mathematical models to predict and count the

number of cell crossings (handovers) occurring during a random session or call, or between

to calls. Most of my contributions in this topic have been in building more realistic

mathematical models. These models are based on the stochastic renewal theory and Markov

processes. The foundations of these models are described in this work.

Palabras clave: Redes celulares, optimización de recursos, conteo de handovers, modelos

matemáticos, aleatoriedad




,5

OBJETIVO

Describir mis contribuciones más relevantes en la creación de modelos de movilidad de

usuarios celulares e ilustrar uno de sus usos en la reducción en el costo de señalización para

el acceso a las bases de datos de los teléfonos celulares.

ALCANCES

Este trabajo se enfoca a la elaboración de los modelos matemáticos y no necesariamente se

detallan todas sus consecuencias en aplicaciones a la industria de las redes celulares, pero

cabe mencionar que estos fundamentos han sido la base para algunos algoritmos utilizados

en la práctica.

INTRODUCCIÓN

El desarrollo de las redes celulares ha sido impresionante en los últimos 30-40 años, y su

evolución se clasifica en generaciones tecnológicas, desde los primeros sistemas analógicos

(1G) hasta los modernos 4G y 5G. A partir de la segunda generación aparecen los sistemas

basados en tecnología de transmisión digital, y en la actualidad se han hecho muy sofisticados

con el fin de hacer un uso más eficiente del espectro radioeléctrico y proporcionar un ancho

de banda más amplio, apropiado para los nuevos servicios de video, imágenes, y datos de

alta velocidad. Se ha tomado ventaja de la evolución paralela en la electrónica que ha

permitido niveles de integración muy altos, que impacta en el bajo consumo de potencia y el

reducido tamaño físico de los dispositivos, además de agregar muchas más funciones. Desde

el punto de vista de transmisión se han incorporado una gran variedad de esquemas de

modulación, los cuales han evolucionado en gran medida y la inteligencia que se le ha

proporcionado a la red es significativa.

Sin embargo, un aspecto que se ha mantenido con pocas variaciones a través de los años es

la arquitectura básica del sistema celular, que consta de una distribución de celdas o células

que cubren una ciudad, así como las bases de datos utilizadas para localizar y validar a los

usuarios. Una de estas bases de datos sufre pocos cambios ya que tiene la información de los

usuarios que han contratado el servicio, y se llama HLR (Home Location Register). Aquí es

donde reside la información de validación de servicio nacional para los clientes. Las otras

bases de datos son más dinámicas y se conocen como VLR (Visitor Location Register) y su

función es almacenar información temporal correspondiente a los usuarios que residen en

cierta área o región. El sistema de señalización celular contempla peticiones a dichas bases

de datos. Dado que dichos intercambios de información se dan en el establecimiento, durante,

y en la conclusión de la llamada, resulta importante optimizar los costos de dicha

señalización. Nuestros modelos matemáticos están orientados a esta optimización, y dado

que se enfocan en la arquitectura genérica, estos modelos son válidos incluso para las

generaciones más recientes.




,6

DESARROLLO DEL TEMA

1) Algunos métodos para contar el número de cruces de células

Durante cada cruce de celda o célula en un ambiente celular se debe de transferir el control

de la llamada de la célula de origen a la célula de destino. La red celular tiene que asignar

nuevos recursos a la llamada entrante en la célula destino y liberar los recursos de la célula

de origen para permitir el manejo de nuevas conversaciones. Para que este proceso sea

transparente al usuario y no se interrumpa la llamada se descansa en los protocolos de

señalización. En una ciudad, donde se tiene un conjunto de células es conveniente contar con

las estadísticas de cruces de células de los diferentes usuarios con el fin de hacer una mejor

planeación de recursos en esa área. Desde el punto de vista de modelos probabilísticos este

problema ha sido retador para los investigadores, dado que consiste en encontrar la

distribución de probabilidad del proceso de conteo de cruces de células, es decir, se debe de

contar el número de cruces dado que el tiempo de residencia en una célula es aleatorio, y se

puede representar por la variable aleatoria 𝑋𝑘, para el tiempo de residencia en la célula k-

ésima, y también se tiene la aleatoriedad de la duración de la llamada, que representamos por

la variable aleatoria 𝑇. Los primeros esfuerzos en este sentido consideraron variables

aleatorias exponenciales para los tiempos de residencia en las células y para la duración de

las llamadas. Desde el punto de vista analítico dichos modelos fueron tratables debido a las

propiedades de falta de memoria de dichas variables aleatorias, pero con limitaciones

prácticas para capturar situaciones más realistas (Nanda, 1993; Lin, Mohan, Noerpel, 1994).

Por ejemplo, en ambientes multimedia se cuenta con una variedad grande de servicios

celulares, tales como voz, video, Internet, transferencia de datos, descarga de datos, vídeos,

y audio, etc. Cada uno de estos servicios tiene diferentes estadísticas de duración de llamada

o CHT (Call Holding Time). Por otro lado, el tiempo en que un usuario reside en una célula

o CRT (Cell Residence Time) también depende de varios factores, entre ellos podemos

mencionar el tamaño de la célula, la velocidad a la que viaja el móvil, densidad de tráfico, la

trayectoria en particular de que se trate, etc. No existe un consenso general de cuáles son las

distribuciones de probabilidad más adecuadas bajo todos estos factores. Ha habido algunas

mediciones reportadas, por ejemplo, Jedrzycki & Leung, 1996 y F. Barceló & J. Jordán, 2000,

que han sido valiosas en dar una mejor idea de la situación, y han corroborado que los

modelos exponenciales no son válidos para muchos de los escenarios, por ello ha sido

necesario desarrollar modelos más generales y que sean tratables analíticamente. En este

sentido me ha tocado participar activamente en el desarrollo de modelos probabilísticos

basados en la teoría de la renovación. En este trabajo elaboraré más sobre estos modelos y su

importancia.

En los ochenta se reportan algunos avances donde el CRT no es exponencial, por ejemplo,

Guérin en 1986 realizó estudios analíticos del tiempo de residencia en la celda para

geometrías hexagonales, mientras que Hong y Rappaport lo hicieron para geometrías

circulares. Al menos en el caso hexagonal los resultados no fueron muy populares debido a

su gran complejidad analítica que dificultaba el análisis posterior de costos.




,7

2.1 CRT generales y CHT Erlang

Denotaremos como N(T) el número de cruces de células o celdas en un intervalo aleatorio

(0,T], donde T es una variable aleatorio denotando el CHT y que consideraremos

independiente de los tiempos de residencia en las células. Cabe mencionar que dicho

problema fue formulado originalmente por Cox (Cox, 1962, Sección 3.4) para un proceso

de renovación ordinario cuando T se asume con una distribución de probabilidad k-Erlang,

con función de densidad de probabilidad (fdp)

𝑓𝑇(𝑡) = 𝜃𝑘𝑡𝑘−1

(𝑘 − 1)!𝑒−𝜃𝑡; 𝑡 ≥ 0.

La función generatriz de N(T) viene dada por

𝐺𝑁(𝑇)(𝑧) =𝜃𝑘

(𝑘 − 1)!(−

𝜕

𝜕𝑠)𝑘−1

{𝐺𝑁(𝑇)∗ (𝑠, 𝑧)}|

𝑠=𝜃

= ∫ 𝐺𝑁(𝑇)

∞

𝑡=0

(𝑡, 𝑧)𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡

donde

𝐺𝑁(𝑇)(𝑡, 𝑧): = 𝐄[𝑧𝑁(𝑇)|𝑇 = 𝑡] =∑𝑃[𝑁(𝑇) = 𝑗|𝑇 = 𝑡] 𝑧𝒋

∞

𝑗=0

es la función generatriz de 𝑁(𝑡), es decir, el número de cruces de células en un intervalo

determinístico (0,t]. También 𝐺𝑁(𝑇)∗ (𝑠, 𝑧) es la transformada de Laplace de 𝐺𝑁(𝑇)(𝑡, 𝑧).

Una gran ventaja de esta metodología es que la función de masa de probabilidad de N(T) se

encuentra a partir de derivadas parciales en lugar de realizar la transformada inversa de

Laplace directamente. El caso especial de variables aleatorias exponenciales para CHT se

obtiene fácilmente haciendo k=1.

A partir de 𝐺𝑁(𝑇)(𝑧) se puede encontrar la función de masa de probabilidad para el número

de cruces de células como

𝑃[𝑁(𝑇)] = 𝑚] =1

𝑚!

𝑑𝑚

𝑑𝑧𝑚𝐺𝑁(𝑇)(𝑧)|

𝑧=0𝑚 = 0,1,2, … .

Para el caso especial de k=1 y un proceso de renovación ordinario se tiene

𝑃[𝑁(𝑇) = 𝑚] = {1 − 𝜌[1 − 𝑓𝑋

∗(𝜃)], 𝑚 = 0

𝜌[1 − 𝑓𝑋∗(𝜃)]2[𝑓𝑋

∗(𝜃)]𝑚−1, 𝑚 = 1,2, …

donde 𝑓𝑋∗(𝜃) es la transformada de Laplace de la fdp de los tiempos de residencia en las

células. Este resultado ha sido obtenido por Lin, Mohan, Noerpel, 1994, por un método




,8

diferente. Ello sirve para corroborar la consistencia de los resultados, pero el método de Cox

es mucho más general, y es el que vamos a extender para aplicaciones más ambiciosas. El

parámetro 𝜌 se define como la razón de movilidad (Nanda, 1993)

𝜌 ∶= Valor esperdo de CHT

Valor esperado de CRT=𝐄[𝑇]

𝐄[𝑋].

Al conocer la función generatriz 𝐺𝑁(𝑇)(𝑧) también podemos conocer los momentos

estadísticos binomiales de 𝑁(𝑇), y por consiguiente valores medios y varianzas.

Estos resultados fundamentales para procesos de renovación ordinarios los hemos extendidos

a los casos más realistas de procesos de renovación de equilibrio en Rodríguez-Dagnino,

Takagi, 2003, y al caso de procesos de renovación modificados en Rodríguez-Dagnino,

Takagi, 2005. Para una definición precisa de estas variantes de los procesos de renovación

se recomienda consulta el libro de Cox, 1962. Esta nueva formulación para tratar este

problema fue propuesta y elaborada en sus aspectos básicos en Rodríguez-Dagnino, 1998.

Otras publicaciones donde se presentan avances en esta metodología se reportan en

Rodríguez-Dagnino, Hernández-Lozano y H. Takagi, 2000, Rodríguez-Dagnino y C.A.

Leyva-Valenzuela, 1999, Rodríguez-Dagnino y H. Takagi, 2001, Rodríguez-Dagnino y H.

Takagi, 2002. Resultados más elaborados se presentan en Rodríguez-Dagnino y H. Takagi,

2007, y en Takagi y Rodríguez-Dagnino, 2007, para el caso discreto, con aplicaciones en la

segmentación de paquetes en las redes de datos. Una revisión detallada de todos estos

métodos se puede consultar en Rodríguez-Dagnino y H. Takagi, 2010.

Algunas de nuestras fórmulas para la función de masa de probabilidad para 𝑁(𝑇) resultan

sofisticadas y muy elaboradas. Por ejemplo, para los procesos de renovación modificados se

tiene

𝑃[𝑁(𝑇) = 𝑚] =

{

1 −

𝜃𝑘

(𝑘 − 1)!(−

𝜕

𝜕𝑠)𝑘−1 𝑓𝑋1

∗ (𝑠)

𝑠|𝑠=𝜃

; 𝑚 = 0

𝜃𝑘

(𝑘 − 1)!(−

𝜕


∗ (𝑠)

𝑠 [1 − 𝑓𝑋

∗(𝑠)][𝑓𝑋∗(𝑠)]𝑚−1|

𝑠=𝜃

; 𝑚 = 1,2, …

.

Con desarrollos matemáticos resueltos en forma cerrada para los momentos binomiales de

𝑁(𝑇) tales como

𝐄 [(𝑁(𝑇)𝑙)] =

𝜃𝑘

(𝑘 − 1)!(−

𝜕


∗ (𝑠)[𝑓𝑋∗(𝑠)]𝑙−1

𝑠[1 − 𝑓𝑋∗(𝑠)]𝑙

|𝑠=𝜃

𝑙 = 1,2, … .

Para apreciar lo general que resultan estas fórmulas debemos de notar que se obtiene el caso

particular de los procesos de renovación ordinarios cuando 𝑓𝑋1∗ (𝑠) ≡ 𝑓𝑋

∗(𝑠). Asimismo,

cuando definimos




,9

𝑓𝑋1∗ (𝑠) ≡

1 − 𝑓𝑋∗(𝑠)

𝑠𝐄[𝑋] ,

se tiene el caso particular de los procesos de renovación de equilibrio. Adicionalmente,

hemos desarrollado expresiones matemáticas para el caso en que todas las distribuciones de

probabilidad para residencia en las células son diferentes, ver en este caso Rodríguez-

Dagnino y Takagi, 2005. Otras extensiones presentadas en la literatura ha sido hacia mixturas

de distribuciones Erlang y sumas de hiper-exponenciales (SOHYP) para el CHT (Orlik and

Rappaport, 1998), pero su análisis es un caso especial de nuestro análisis.

Hemos demostrado que mediante nuestro análisis podemos incorporar distribuciones de colas

pesadas que cuentan con una transformada de Laplace. En particular, hemos estudiado la

distribución Pareto con fdp

𝑓𝑋(𝑡) =𝛼𝛽𝛼

𝑡𝛼−1; 𝛽 > 0, 𝛼 > 0, 𝑡 > 𝛽, 1 < 𝛼 < 2

y transformada de Laplace

𝑓𝑋∗(𝑠) = 𝛼 (𝑠𝛽)

𝛼−12 𝑒−

𝑠𝛽2 𝑊

− (𝛼+1)2

,− 𝛼2

(𝑠𝛽); 𝑠𝛽 > 0

where 𝑊𝑎,𝑏(𝑥) is the Whittaker function (Rodríguez-Dagnino, Takagi, 2003). En este punto

vale la pena mencionar que hay otra representación para esta transformada de Laplace basada

en la función hiper-geométrica (Brennan, Reed y Sollfrey, 1968).

Si se cuenta con fdp’s que no se conocen sus transformadas de Laplace en forma cerrada,

pero cuentan con momentos finitos de todos los órdenes entonces es posible usar nuestro

método mediante la representación de la expansión de Taylor

𝑓𝑋∗(𝑠) = ∑

(−𝑠)𝑘

𝑘!𝐄[𝑋𝑘]

∞

𝑘=0

.

Algunos ejemplos importantes en este sentido se encuentran en Rodríguez-Dagnino y Takagi,

2005, para procesos de renovación modificados. También, el caso de la fdp gama

generalizada de Zonoozi y Dassanayake, 1997, puede analizarse mediante nuestra

metodología. Similarmente, el caso cuando el móvil viaja en una línea recta a través de una

célula circular (Hong y Rappaport, 1986, Coleman, 1969).

Es decir, nuestra metodología es suficientemente flexible como para capturar funciones de

densidad de probabilidad muy variadas que se pueden encontrar en la práctica. En lugar de

ajustar el análisis para una cierta fdp lo hemos generalizado para cualquier CRT con una fdp

que cuente con una transformada de Laplace o que tenga una expansión en series de Taylor.




,10

2.2 CHT Generales

Tomando otra perspectiva, ahora suponemos que los CRT’s 𝑋 se pueden modelar por una

fdp exponencial con parámetro 𝜇, por lo que el proceso de renovación es de Poisson. Para

este caso la función generatriz del proceso de conteo {𝑁(𝑡)}, en un intervalo determinístico

(0,t], se puede expresar, tanto para los procesos de renovación ordinarios y de equilibrio,

como

𝐺𝑁(𝑇)(𝑡, 𝑧) = ∑(𝜇𝑡)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

𝑒−𝜇𝑡𝑧𝑛 = 𝑒−𝜇(1−𝑧)𝑡.

Como una consecuencia, la función generatriz del proceso de conteo en un intervalo de

duración aleatoria, {𝑁(𝑇)}, se puede expresar para cualquier fdp de CHT como

𝐺𝑁(𝑇)(𝑧) = ∫ 𝑒−𝜇(1−𝑧)𝑡∞

𝑡=0

𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓𝑇∗[𝜇(1 − 𝑧)].

Es interesante constatar que la función de masa de probabilidad presenta una expresión

compacta y simple

𝑃[𝑁(𝑇) = 𝑚] =(−𝜇)𝑚

𝑚!𝑓𝑇∗(𝑚)(𝜇); 𝑚 = 0,1,2, … .

También resultan compactas y simples las expresiones para los momentos binomiales,

valores medios y varianzas. Es decir,

𝐄 [(𝑁(𝑇)𝑙)] =

𝜇𝑙

𝑙!𝐄[𝑇𝑙]; 𝑙 = 1,2, … .

De aquí obtenemos el valor medio

𝐄[𝑁(𝑇)] = 𝜇𝐄[𝑇] = 𝜌 y la varianza

𝐕𝐚𝐫[𝑁(𝑇)] = 𝜇2𝐄[𝑇2 ] + 𝜌(1 − 𝜌).

La generalización al caso de los procesos de renovación modificados es posible, como lo

demostramos en nuestro trabajo en Rodríguez-Dagnino y Takagi, 2005. El caso de Pareto

CHT puede aplicarse fácilmente en este caso también.

No existe a la fecha una solución para el caso de CRT y CHT generales y solo algunos casos

especiales hemos resuelto. Por ejemplo, en Rodríguez-Dagnino y Takagi, 2003, presentamos

la solución cuando ambos, el CHT y CRT se consideran con una fdp 2-Erlang para procesos

de renovación de equilibrio.




,11

Una metodología un tanto diferente ha sido propuesta por Fang, Chlamtac, and Lin, 1997a,

and Fang, 2005, donde ellos sugieren el uso de la fórmula de inversión compleja de la

transformada de Laplace, sin embargo, no resuelven casos que no se puedan resolver por

nuestra metodología, y su concepto de distribuciones “generales” es que se puedan

representar como una razón de polinomios, por lo tanto, la inversión de la transformada de

Laplace es relativamente fácil. Pueden consultarse los trabajos de Fang, Chlamtac, y Lin,

1997b, Fang, Chlamtac, y Lin, 1998, Fang y Chlamtac, 1999, y Fang, 2001, 2002, 2003.

Otros resultados nuestros que generalizan esta metodología se pueden encontrar en

Rodríguez-Dagnino y Takagi, 2010.

3. Administración de la Movilidad

En un ambiente de telecomunicaciones inalámbricas celulares los usuarios se mueven sin

restricciones impuestas por la red, solo por la geografía del lugar. Para mantener conectados

a dichos usuarios es necesario tenerlos localizados al nivel de cada célula. Por ejemplo,

cuando el usuario se encuentra activo en una conversación se le deben de asignar recursos de

red en esa célula en particular, y la red también debe de localizar a los usuarios cuando estén

inactivos con el fin de recibir llamadas entrantes.

Con el fin de localización se pueden asignar grupos de células y se renombran como áreas de

localización (LA, location areas) para que las atienda un centro de conmutación (MSC,

Mobile Switching Center). Aquí es necesario introducir un concepto nuevo llamado LART

(Location Area Residence Time). Es decir, el fin de la administración de la localización es

contar con procedimientos eficientes para hacer los registros de localización en una LA, y

mecanismos efectivos en costos de señalización para la entrega de llamadas entrantes a los

usuarios de esa LA cuando no están activos. En este contexto resulta importante considerar

la variable aleatoria que nos da el tiempo entre el final de una llamada y el inicio de la próxima

llamada para un usuario, y lo llamaremos ICT (Inter-Call Time). De hecho, desde el punto

de vista matemático el ICT es completamente equivalente al CHT. El problema ahora se

reduce a contar el número de cruces de células (CRTs) de un usuario móvil durante el tiempo

aleatorio de un ICT, pero ahora tomando en cuenta también cruces de las fronteras de los

LA’s. Se tiene la interacción de un MSC y las dos bases de datos VLR y HLR, que

intercambian mensajes a través del sistema de señalización número 7 (SS7).

En una topología de red se tiene típicamente una base de datos HLR que cuenta con los

perfiles de todos los usuarios, y varias bases de datos VLR que atienden las actualizaciones

de las terminales móviles. Debido al gran número de usuarios los mensajes de señalización

representan una carga de tráfico importante por lo que se deben de minimizar. Hay varias

estrategias para hacer esto en la literatura, una de ellas está basada en estampas de tiempo a

intervalos regulares (TiB) y el problema consiste en optimizar dicho intervalo de tiempo. Es

decir, intervalos muy largos implican que se pueda perder la localización de los usuarios e

intervalos muy cortos generan grandes cantidades de tráfico de señalización (Bar-Noy,

Kessler, Sidi, 1994). Otro de los esquemas se basa en la distancia recorrida por los móviles

(DiB) y se busca hacer las actualizaciones en las bases de datos VLR una vez que se haya




,12

recorrido cierta distancia. También hay que optimizar el valor de la distancia más apropiada

para hacer las actualizaciones, pero se corre el riesgo de no saber bien la dirección que ha

tomado el usuario móvil ni contar con buenos estimadores de distancia en topologías de red

irregulares (Ng, Chan, 2006). Una tercera estrategia ha sido la más recomendable a la fecha

y consiste en vigilar cuando el usuario móvil cruza una célula, esta se conoce como basada

en movimiento (MoB), ver por ejemplo Akyildiz, Ho, Lin, 1996. En la actualidad ha habido

propuestas interesantes donde se combinan algunas de estas estrategias, pero el esquema

MoB es el que mejor logra el compromiso entre complejidad, exactitud y costo de

implementación por lo que nos enfocaremos en este esquema.

3.1 Cálculo del costo incluyendo el costo de voceo (paging)

Tenemos dos tipos de costos que vamos a considerar: costo por la entrega de llamadas y un

costo por actualizaciones de localización. Además, el costo por las actualizaciones se divide

en actualizaciones de la base de datos HLR, que denotaremos como 𝛿𝐻𝐿𝑅, y el costo por las

actualizaciones de las bases de datos VLR, digamos 𝛿𝑉𝐿𝑅 . En estos costos se pueden incluir

aspectos de costo de cómputo para procesar las actualizaciones de localización, el uso del

ancho de banda y otros recursos de redes, tanto inalámbricas como alámbricas. En general se

tiene que 𝛿𝐻𝐿𝑅 > 𝛿𝑉𝐿𝑅 debido a que la base de datos HLR se localiza a una distancia mucho

mayor que las bases de datos VLR. Adicionalmente debemos de considerar el costo de voceo

(paging, polling) para buscar a un usuario en una célula. Lo denotaremos simplemente como

𝛿𝑝𝑜𝑙𝑙 y dependerá de la estrategia de búsqueda. Algunas de estas estrategias de voceo han

sido propuestas en Krishnamachari, Gau, Wicker, Hass, 2004, Rose, 1996. En el caso

específico de la estrategia MoB dinámica con una configuración hexagonal de células se

encuentra que el número de células en el proceso de voceo es igual a 1 + 3𝑑(𝑑 − 1) donde

d es el umbral definido para el esquema MoB, Li, Kameda, Li, 2000.

Por lo tanto, podemos considerar que el costo total promedio, 𝑇𝐶, puede definirse como

𝑇𝐶 = 𝛿𝐻𝐿𝑅𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝐻)] + 𝛿𝑉𝐿𝑅𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝑉)] + 𝛿𝑝𝑜𝑙𝑙 [1 + 3𝑑(𝑑 − 1)]

donde 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝐻)] es el valor medio del número de actualizaciones de localización en la base

de datos HLR y 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝑉)] es el valor medio del número de actualizaciones de localización

en las bases de datos VLR. Es necesario calcular estos dos valores medios para obtener 𝑇𝐶.

Los valores medios 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝐻)] y 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝑉)] dependen de las distribuciones de probabilidad

de LARTs, CRTs e ICT. En particular, el caso de considerar nada más distribuciones

exponenciales fue estudiado en Li, Pan, Jia, 2002, mientras que el caso CRTs generales,

LARTs hiper-exponenciales e ICT exponencial fue desarrollado en Rodríguez-Dagnino,

Takagi, 2007. Dicha generalización no es trivial y se tuvo que hacer uso de los procesos

estocásticos de renovación para llegar a resultados cerrados. Asimismo, el caso de LARTs y

CRTs con fdp con transformada de Laplace racional e ICT exponencial fue resuelto en Wang,

Fan, Li, Pan, 2008. Finalmente, el caso de ICT hiper-exponencial, LARTs exponenciales y

CRTs generales fue tratado en Rodríguez-Dagnino, Takagi, 2009. Describiremos enseguida

algunos de los puntos fundamentales para resolver estos problemas.




,13

Enseguida vamos a dar las ideas principales del caso resuelto en Rodríguez-Dagnino, Takagi,

2010, donde se hizo una ligera generalización al considerar LARTs hiper-exponenciales.

Vamos a considerar ICT hiper-exponencial con parámetros 𝜑𝑘 para cada una de las

exponenciales y parámetro de mezcla 𝑞𝑘, tal que ∑ 𝑞𝑘 = 1𝑁𝑘=1 , entonces la fdp se puede

escribir como

𝑓𝑇𝑐(𝑡) = ∑𝑞𝑘 𝜑𝑘𝑒−𝜑𝑘 𝑡

𝑁

𝑘=1

con valor medio

𝐄[𝑇𝑐] = ∑𝑞𝑘𝜑𝑘.

𝑁

𝑘=1

De una manera enteramente similar podemos definir la fdp hiper-exponencial para los

LARTs

𝑓𝑇𝐿(𝑡) = ∑𝑝𝑘 𝜃𝑘𝑒−𝜃𝑘 𝑡

𝑀

𝑘=1

con ∑ 𝑝𝑘 = 1𝑁𝑘=1 y valor medio

𝐄[𝑇𝐿] = ∑𝑝𝑘𝜃𝑘= 𝐿.

𝑀

𝑘=1

Una de las ventajas de esta formulación es que las transformadas de Laplace de estas fdp’s

son fáciles de obtener y tienen una forma matemática racional. Las denotaremos como 𝑓𝑇𝑐∗ (𝑠)

y 𝑓𝑇𝐿∗ (𝑠). Los CRTs tienen una fdp general 𝑓𝑋(𝑡) con transformada de Laplace 𝑓𝑋

∗(𝑠).

3.1 Valor medio de actualizaciones de localización en la base de datos HLR

Supongamos que 𝑁(𝑇𝑐𝐻) denota la variable aleatoria que cuenta el número de actualizaciones

de la base de datos HLR en un tiempo aleatorio, que sería el tiempo entre dos llamadas, es

decir un ICT de duración 𝑇𝑐. Por otro lado, debemos de suponer que el inicio del intervalo de

tiempo 𝑇𝑐 puede ocurrir en cualquier lugar dentro del primer LART, entonces el número de

variables aleatorias 𝑇𝐿 que ocurren en la duración 𝑇𝑐 constituye un proceso de renovación de

equilibrio, el cual fue estudiado extensivamente en este contexto en Rodríguez-Dagnino,

Takagi, 2003, ahí se demostró que para fdp´s que tienen un primer momento finito, la relación

entre los valores medios viene dada por

𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝐻)] = 𝐄[𝑇𝑐]

𝐄[𝑇𝐿].




,14

Debido a este resultado fundamental entonces el cálculo de 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝐻)] es sumamente

sencillo.

3.2 Valor medio del número de actualizaciones de localización en las bases de datos

VLR

Es mucho más complicado calcular este valor medio, dado que puede haber varias bases de

datos VLR. Para ello denotaremos como 𝑁(𝑇𝑐𝑉) la variable aleatoria que nos cuenta el

número de actualizaciones en las bases de datos VLR durante un intervalo aleatorio ICT con

una duración dada por la variable aleatoria 𝑇𝑐. El valor medio de 𝑁(𝑇𝑐𝑉) está dado por

𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝑉)] = ∑ 𝑛𝑣,𝑚𝑃[𝑁(𝑇𝑐𝐻) = 𝑚]

∞

𝑚=0

donde la función de masa de probabilidad de 𝑁(𝑇𝑐𝐻) puede calcularse de acuerdo al análisis

de Rodríguez-Dagnino, Takagi, 2003, y se puede expresar como

𝑃[𝑁(𝑇𝑐𝐻) = 𝑚] =

{

1 −

1

𝐿∑

𝑞𝑘𝜑𝑘[1 − 𝑓𝑇𝐿

∗ (𝜑𝑘)];

𝑁

𝑘=1

𝑚 = 0

1

𝐿∑

𝑞𝑘𝜑𝑘[1 − 𝑓𝑇𝐿

∗ (𝜑𝑘)]2[𝑓𝑇𝐿∗ (𝜑𝑘)]

𝑚−1;

𝑁

𝑘=1

𝑚 = 1,2,… .

Definamos el número promedio de actualizaciones en las bases de datos VLR 𝑛𝑣,𝑚. En el

esquema MoB para el cálculo de esta variable suponemos que hay m cruces de LARTs

durante 𝑇𝑐. La primer propuesta para calcular esta variable fue de los autores Li, Pan, Jia,

2002, y se hicieron algunas adecuaciones en Rodríguez-Dagnino, Takagi, 2007, y Wang,

Fan, Li, Pan, 2008. Algunas de las adecuaciones han consistido en modificar el cálculo de

las probabilidades 𝜖𝑛(𝑘), 𝑛 = 1,2,3,4 y las defino enseguida de acuerdo a nuestro

planteamiento del problema:

𝜖1(𝑘) es la probabilidad de que hay k cruces de células dentro del primer LART. En este caso

suponemos que 𝑇𝑐 está completamente contenido en el primer LART.

𝜖2(𝑘) es la probabilidad de que hay k cruces de células dentro del primer LART pero la

llamada previa y la actual se reciben en diferentes LARTs. Es decir, existe al menos un cruce

de LART durante 𝑇𝑐. Por tanto, necesitamos contar el número de CRTs durante 𝑇𝑅, que es

definido como el tiempo de vida residual de 𝑇𝐿.

𝜖3(𝑘) es la probabilidad de que hay k cruces de células en un intervalo de tiempo 𝑇𝐿. En este

caso, la llamada previa llega en cualquiera de los (m-1) LARTs y entra al LART m-ésimo




,15

donde reside por un tiempo mayor que 𝑇𝐿. Básicamente, necesitamos contar el número de

cruces de células durante 𝑇𝐿.

𝜖4(𝑘) es la probabilidad de que hay k cruces de células durante el último LART (donde la

llamada actual se origina ), es decir, necesitamos contar el número de CRTs durante el tiempo

aleatorio 𝑇𝐴, que representa la edad del tiempo de inter-arribo 𝑇𝐿.

Una vez definidas estas probabilidades básicas podemos evaluar 𝑛𝑣,𝑚 como

𝑛𝑣,𝑚 =

{

∑𝑖

∞

𝑖=1

∑ 𝜖1(𝑘);

(𝑖+1)𝑑−1

𝑘=𝑖𝑑

𝑚 = 0

∑𝑖

∞

𝑖=1

∑ {𝜖2(𝑘) + (𝑚 − 1)𝜖3(𝑘) + 𝜖4(𝑘)};

(𝑖+1)𝑑−1

𝑘=𝑖𝑑

𝑚 = 1,2,…

.

También tenemos que

𝑓𝑇𝑅(𝑡) =1

𝐿∫ 𝑓𝑇𝐿(𝜏) 𝑑𝜏

∞

𝜏=𝑡

=1

𝐿∑𝑝𝑘 𝜃𝑘𝑒

−𝜃𝑘 𝑡

𝑀

𝑘=1

= 𝑓𝑇𝐴(𝑡).

El cálculo detallado de las probabilidades 𝜖1(𝑚), 𝜖2(𝑚), 𝜖3(𝑚), 𝜖4(𝑚) se puede ver en

Rodríguez-Dagnino, Takagi, 2010 para varios escenarios de interés. Para el caso que nos

ocupa en este trabajo se tiene el siguiente resultado:

𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝑉)] =𝜑

𝐿∑

𝑝𝑘𝜃𝑘 1 − 𝑓𝑋

∗(𝜑 + 𝜃𝑘)

(𝜑 + 𝜃𝑘)2𝐄[𝑋]

𝑀

𝑘=1

[𝑓𝑋∗(𝜑 + 𝜃𝑘)]

𝑑−1

1 − [𝑓𝑋∗(𝜑 + 𝜃𝑘)]𝑑

+ 2𝐵

𝜑𝐿2 ∑

𝑝𝑘𝜃𝑘 1 − 𝑓𝑋

∗(𝜃𝑘)

𝜃𝑘𝐄[𝑋]

𝑀

𝑘=1

[𝑓𝑋∗(𝜃𝑘)]

𝑑−1

1 − [𝑓𝑋∗(𝜃𝑘)]𝑑

+ 𝐴

𝜑𝐿 ∑𝑝𝑘

1 − 𝑓𝑋∗(𝜃𝑘)

𝜃𝑘𝐄[𝑋]

𝑀

𝑘=1

[𝑓𝑋∗(𝜃𝑘)]

𝑑−1

1 − [𝑓𝑋∗(𝜃𝑘)]𝑑

, (3.2.1)

donde 𝐴 = 1 − 𝐵 = ∑ 𝑝𝑘 𝜃𝑘

𝜃𝑘+𝜑

𝑀𝑘=1 .

Asimismo se presentan algunas simulaciones para ejemplificar estas ecuaciones en dicho

artículo.




,16

4. bla bla

5. Conclusiones

Hemos dado una descripción somera de los aspectos matemáticos que constituyen este

problema y su importancia para la optimización de recursos en las redes de

telecomunicaciones. Cabe mencionar que algunos de nuestros modelos han sido citados por

patentes recientes otorgadas en los Estados Unidos de Norteamérica. Ello nos puede dar una

idea de la relevancia del tema. Este tipo de optimizaciones beneficia en principio a las

compañías proveedoras de servicios celulares, pero al tener ellos redes más eficientes

también puede bajar los costos en los usuarios, además de contar con una mejor calidad de

servicio. El hecho de ofrecer modelos matemáticos que sean más generales permite capturar

el comportamiento de una gran variedad de servicios en estas redes, por lo que estos modelos

se hacen cada vez más atractivos para las redes con servicios multimedia. Nuestros modelos

matemáticos permiten algo que los otros modelos no pueden, es decir, incorporar algunas

funciones de densidad de probabilidad de colas pesadas, como Pareto.

Otro aspect interesante de nuestros modelos es que permiten encontrar soluciones cerradas

para muchos escenarios. Es decir, los problemas son complicados y no nos enfocamos a

resolverlos de manera aproximada sino de manera exacta desde el punto de vista analítico.

Aunque nosotros no lo exploramos directamente, nuestros resultados también pueden ser de

ayuda en el dimensionamiento de la capacidad de las redes celulares en el sentido de

Yamazaki y Toshimitsu (2001) para aproximaciones de tráfico ligero y de Machihara y

Saitoh (2008) para clientes que realizan reintentos de llamada bajo suposiciones de tráfico

PASTA (o modelos que se aproximan a un comportamiento de Poisson).

Hemos hecho algunas modificaciones relevantes en las funciones de costo para las

actualizaciones de localización en las bases de datos HLR y VLR. Estas funciones incluyen

el costo de voceo (o paging) y proporcionamos expresiones matemáticas exactas para dichas

optimizaciones. Algunas otras propuestas de costo se pueden ver en Ma y Fang, 2002, 2004,

sin embargo su análisis de costo es mucho más limitado que el nuestro.

Agradecimientos

Se agradece al Tecnológico de Monterrey por el apoyo para realizar este trabajo. También a

mi colega y amigo Dr. Hideaki Takagi por todos estos años de convivencia e interés en

nuestro trabajo conjunto, y a mis estudiantes.




,17

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