ANALISIS DE LA RESPUESTA TEMPORAL La seal de entrada para un
sistema de control no se conoce con anticipacin, pero es de
naturaleza aleatoria, y la entrada instantnea no puede expresarse
en forma analtica. Slo en algunos casos especiales se conoce con
anticipacin la seal de entrada y se puede expresar en forma
analtica o mediante curvas; tal es el caso del control automtico de
herramientas de corte. En el anlisis y diseo de sistemas de
control, debemos tener una base de comparacin del desempeo de
diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando
las seales de entrada de prueba particulares y comparando las
respuestas de varios sistemas a estas seales de entrada. Muchos
criterios de diseo se basan en tales seales o en la respuesta del
sistema a los cambios en las condiciones iniciales (sin seales de
prueba). El uso de seales de prueba se justifica porque existe una
correlacin entre las caractersticas de respuesta de un sistema para
una seal de entrada de prueba comn y la capacidad del sistema de
manejar las seales de entrada reales. Seales de prueba tpicas. Las
seales de prueba que se usan regularmente son funciones escaln,
rampa, parbola, impulso, senoidales, etc. Con estas seales de
prueba, es posible realizar con facilidad anlisis matemticos y
experimentales de sistemas de control, dado que las seales son
funciones del tiempo muy simples. La forma de la entrada a la que
el sistema estar sujeto con mayor frecuencia bajo una operacin
normal determina cul de las seales de entrada tpicas se debe usar
para analizar las caractersticas del sistema. Si las entradas para
un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma
gradual, una funcin rampa sera una buena seal de prueba. Asimismo,
si un sistema est sujeto a perturbaciones repentinas una funcin
escaln sera una buena seal de prueba; y para un sistema sujeto a
entradas de choque, una funcin impulso sera la mejor. Una vez
diseado un sistema de control con base en las seales de prueba, por
lo general el desempeo del sistema en respuesta a las entradas
reales es satisfactorio. El uso de tales seales de prueba permite
comparar el desempeo de todos los sistemas sobre la misma base.
Respuesta transitoria y respuesta en estado estable. La respuesta
en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la
respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por
respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial
al estado final. Por respuesta en estado estable, nos referimos a
la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t
tiende a infinito. Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y
error en estado estable. disear un sistema de control, debemos ser
capaces de predecir comportamiento dinmico a partir del
conocimiento de los componentes. caracterstica ms importante del
comportamiento dinmico de un sistema Al su La de
control es la estabilidad absoluta, es decir, si el sistema es
estable o inestable. Un sistema de control est en equilibrio si, en
ausencia de cualquier perturbacin o entrada, la salida permanece en
el mismo estado. Un sistema de control lineal e invariante con el
tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de
equilibrio cuando el sistema est sujeto a una condicin inicial. Un
sistema de control lineal e invariante con el tiempo es crticamente
estable si las oscilaciones de la salida continan para siempre. Es
inestable si la salida diverge sin lmite a partir de su estado de
equilibrio cuando el sistema est sujeto a una condicin inicial. En
realidad, la salida de un sistema fsico puede aumentar hasta un
cierto grado, pero puede estar limitada por detenciones mecnicas o
el sistema puede colapsarse o volverse no lineal despus de que la
salida excede cierta magnitud, por lo cual ya no se aplican las
ecuaciones diferenciales lineales. Entre los comportamientos
importantes del sistema (aparte de la estabilidad absoluta) que
deben recibir una cuidadosa consideracin estn la estabilidad
relativa y el error en estado estable. Dado que un sistema de
control fsico implica un almacenamiento de energa, la salida del
sistema, cuando ste est sujeto a una entrada, no sucede a la
entrada de inmediato, sino que exhibe una respuesta transitoria
antes de alcanzar un estado estable. La respuesta transitoria de un
sistema de control prctico con frecuencia exhibe oscilaciones
amortiguadas antes de alcanzar un estado estable. Si la salida de
un sistema en estado estable no coincide exactamente con la
entrada, se dice que el sistema tiene un error en estado estable.
Este error indica la precisin del sistema. Al analizar un sistema
de control, debemos examinar el comportamiento de la respuesta
transitoria y el comportamiento en estado estable. SISTEMAS DE
PRIMER ORDEN Considere el sistema de primer orden. Fsica mente,
este sistema representa un circuito RC, un sistema trmico o algo
similar. La figura presenta un diagrama de bloques simplificado. La
relacin entrada-salida se obtiene mediante:
En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a
entradas tales como la funcin escaln unitario, rampa unitaria e
impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero.
Observe que todos los sistemas que tienen la misma funcin de
transferencia exhibirn la misma salida en respuesta a la misma
entrada. Para cualquier sistema fsico dado, la respuesta matemtica
recibe una interpretacin fsica. Respuesta escaln unitario de
sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la
funcin escaln unitario es l/s, sustituyendo R(s) = 1/s
obtenemos:
Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuacin
obtenemos La ecuacin anterior plantea que la salida c(t) es
inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una caracterstica
importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para
t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanz
63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad
sustituyendo t = T en c(t). Es decir,
Observe que, conforme ms pequea es la constante de tiempo T, ms
rpida es la respuesta del sistema. Otra caracterstica importante de
la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la lnea de
tangente en t = 0 es 1/T, dado que La respuesta alcanzara el valor
final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A
partir de la ecuacin anterior vemos que la pendiente de la curva de
respuesta c(t) disminuye en forma monotnica de 1/T en t = 0
La curva de respuesta exponencial c(t)) aparece en la figura
anterior. En una constante de tiempo, la curva de respuesta
exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes
de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor final. En t = 3T,
4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente, del
valor final. Por tanto, para t =4T, la respuesta permanece dentro
del 2% del valor final. El estado estable se alcanza matemticamente
slo despus de un tiempo infinito. Sin embargo, en la prctica, una
estimacin razonable del tiempo de respuesta es la longitud de
tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la lnea de
2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo. Respuesta rampa
unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de
Laplace de la funcin rampa unitaria es 1/s2, obtenemos la salida
del sistema como: Tomando la transformada inversa de Laplace,
obtenemos:
De este modo, la seal de error e(t) es:
Conforme t tiende a infinito, e-t/T se aproxima a cero y, por
tanto, la seal de error e(t) se aproxima a T o La entrada rampa
unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura. El error
despus de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t
suficientemente grande. Entre ms pequea es la constante de tiempo
T, ms pequeo es el error en estado estable despus de la entrada
rampa. Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para
la entrada impulso unitario, R(s) =1 y la salida del sistema
es:
o bien
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN La funcin de transferencia de un
sistema de segundo orden se expresa como:
El comportamiento dinmico del sistema de segundo orden se
describe a continuacin en trminos de dos parmetros y wn. El valor
de toma diferentes valores dependiendo de su ubicacin en el plano
s. El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un
amortiguamiento positivo (>0), esto causa que la respuesta
escaln unitario establezca un valor final constante en el estado
estable debido al exponente negativo (-wnt). Por lo tanto el
sistema es estable. El semiplano derecho del plano s corresponde a
un amortiguamiento negativo ( 1. La respuesta transitoria de los
sistemas crticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si
= 0, la respuesta transitoria no se amortigua.
Ahora obtendremos la respuesta del sistema para una entrada
escaln unitario. Consideraremos tres casos diferentes: (1) Caso
subamortiguado (0 < < 1): en este caso, C(s)/R(s) se escribe
como
en donde La frecuencia amortiguada Los polos del sistema se
encuentran en:
se denomina frecuencia natural
(2) Caso criticamente amortiguado ( = 1): si los dos polos de
C(s)/R(s) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno
criticamente amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en:
(3) Caso sobreamortiguado ( > 1): en este caso, los dos polos
de C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes. En resumen se tiene
lo siguiente:
La siguiente figura contiene una familia de curvas c(t) con
diversos valores de , en donde la abscisa es la variable
adimensional wt. Las curvas solo son funciones de
En la figura observamos que un sistema subamortiguado con entre
0.5 y 0.8 se acerca al valor final con mayor rapidez que un sistema
crticamente amortiguado o sobreamortiguado. Entre los sistemas que
responden sin oscilacin, un sistema crticamente amortiguado
presenta la respuesta ms rpida. Un sistema sobreamortiguado siempre
es lento para responder a las entradas. Definiciones de las
especificaciones de respuesta transitoria. En muchos casos
prcticos, las caractersticas de desempeo deseadas del sistema de
control se especifican en trminos de cantidades en el dominio del
tiempo. Los sistemas que pueden almacenar energa no responden
instantneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que estn
sujetos a entradas o perturbaciones. Con frecuencia, las
caractersticas de desempeo de un sistema de control se especifican
en trminos de la respuesta transitoria para una entrada escaln
unitario, dado que sta es fcil de generar y es suficientemente
drstica. (Si se conoce la respuesta a una entrada escaln, es
matemticamente posible calcular la respuesta para cualquier
entrada.). La respuesta transitoria de un sistema para una entrada
escaln unitario depende de las condiciones iniciales. Por
conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios
sistemas, es una prctica comn usar la condicin inicial estndar de
que el sistema est en reposo al inicio, por lo cual la salida y
todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo,
las caractersticas de respuesta se comparan con facilidad. La
respuesta transitoria de un sistema de control prctico exhibe con
frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado
estable. Al especificar las caractersticas de la respuesta
transitoria de un sistema de control para una entrada escaln
unitario, es comn especificar lo siguiente: 1. Tiempo de retardo,
td 2. Tiempo de levantamiento, tr 3. Tiempo pico, tp 4. Sobrepaso
mximo, Mp 5. Tiempo de asentamiento, ts
Estas especificaciones se definen enseguida y aparecen en forma
grafica en la figura:
1. Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo
requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del
valor final. 2. Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de
levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del
10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para
sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo comn se usa el
tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas
sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a
90%.
3. Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para
que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.
tp es proporcional a e inversamente proporcional a wn.. Al
incrementar la frecuencia natural no amortiguada, se reduce tp 4.
Sobrepaso mximo (porcentaje), Mp: el sobrepaso mximo es el valor
pico mximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad.
Si el valor final en
estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es
comn usar el porcentaje de sobrepaso mximo. Se define mediante
La cantidad de sobrepaso mximo (en porcentaje) indica de manera
directa la estabilidad relativa del sistema. Los sobrepasos se
presentan en nmeros impares de n (n=1,3,5) y los sobrepasos
negativos ocurren en valores positivos de n (n=2,4,6,). Debe
hacerse notar que si bien una respuesta para una entrad escaln con
0 no es peridica, los sobrepasos y los sobrepasos negativos se
presentan a intervalos peridicos. 5. Tiempo de asentamiento, ts: el
tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la
curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del
tamao especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por
lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de l. El tiempo de
asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del
sistema de control. Los objetivos del diseo del sistema en cuestin
determinan cul criterio de error en porcentaje usar.
El tiempo de asentamiento que corresponde a una banda de
tolerancia del 2 o f 5 % se mide en trminos de la constante de
tiempo T=1/wn si se usa el criterio del 2%, ts es aproximadamente
cuatro veces la constante de tiempo del sistema. Si se usa el
criterio del 5%, ts es aproximadamente tres veces la constante de
tiempo. El tiempo de asentamiento alcanza un valor mnimo alrededor
de = 0.76 (para el criterio del 2%) o de = 0.68 (para el criterio
del 5%) y despus aumenta casi linealmente para valores grandes de .
El tiempo de asentamiento es inversamente proporcional al producto
del factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no
amortiguada del sistema. Dado que el valor de se determina, por lo
general, a partir de los requerimientos del sobrepaso mximo
permisible, el tiempo de asentamiento se determina principalmente
mediante la frecuencia natural no amortiguada wn. Esto significa
que la duracin del transitorio puede variarse, sin modificar el
sobrepaso mximo, ajustando la frecuencia natural no amortiguada wn.
Para >0.69, el tiempo de asentamiento es inversamente
proporcional a y wn Una forma prctica de reducirlo es el incremento
de wn mientras se mantiene constante. An cuando la respuesta es ms
oscilatoria el Mp puede controlarse solo mediante .
Para >0.69 el tiempo de asentamient es proporcional a e
inversamente proporcional a wn, nuevamente ts puede reducirse a
travs de wn Las especificaciones en el dominio del tiempo que se
proporcionaron son muy importantes, dado que casi todos los
sistemas de control son sistemas en el dominio del tiempo; es
decir, deben presentar respuestas de tiempo aceptables. (Esto
significa que el sistema de control debe modificarse hasta que la
respuesta transitoria sea satisfactoria.) Observe que, si
especificamos los valores de td, t,, tp, ts y Mp, la forma de la
curva de respuesta queda prcticamente determinada. Todas estas
especificaciones no necesariamente se aplican a cualquier caso
determinado. Por ejemplo, para un sistema sobreamortiguado no se
aplican los trminos tiempo pico y sobrepaso mximo. (En los sistemas
que producen errores en estado estable para entradas escaln, este
error debe conservarse dentro de un nivel de porcentaje
especificado. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La respuesta natural de
los sistemas de tercero y rdenes superiores consta de una suma de
trminos, uno por cada raz caracterstica. Por cada raz caracterstica
real diferente existe un trmino exponencial real en la respuesta
natural del sistema. Por cada par de races complejas conjugadas,
existe un par de trminos exponenciales complejos, los cuales pueden
expresarse mejor mediante el producto de una exponencial y una
senoide. Las races repetidas proporcionan trminos adicionales que
contienen potencias del tiempo multiplicadas por la exponencial. El
tiempo de subida, sobreimpulso y tiempo de estabilizacin de la
respuesta escaln son tambin representaciones tiles de los sistemas
de orden superior. Estas cantidades, por otra parte, no son fciles
de calcular y deben ser tabuladas. Veamos un ejemplo: Un sistema
con la siguiente funcin de transferencia
Tiene una respuesta natural de la forma:
o sea:
Dada la dificultad de realizar un estudio completamente
riguroso, para obtener las caractersticas de los sistemas de orden
superior a dos, lo que se hace habitualmente es tratar de aplicar
los resultados obtenidos para los de segundo orden a sistemas de
orden superior, con el requisito de que stos dispongan de dos polos
complejos dominantes, lo que significa que si la parte real de
estos polos es mucho menor que la de los otros (estn mucho ms
prximos al eje imaginario que el resto), la respuesta del sistema
puede obtenerse aproximadamente considerando nicamente la accin de
los polos dominantes y despreciando los dems. Esto solamente puede
hacerse si el
sistema no tiene ceros (al menos prximos a los polos) ya que,
como hemos indicado anteriormente, un cero prximo a un polo
debilita el comportamiento de ste ltimo. En cualquier caso,
actualmente se dispone de procedimientos analticos directos para
reducir el orden de una funcin de transferencia, obteniendo otra,
de segundo grado, de tal forma que, por ejemplo, para un mtodo
concreto, las respuestas en frecuencia de ambas funciones sean
similares. En este caso no tenemos que preocuparnos de la posible
situacin de los ceros que existiesen. Veamos un ejemplo: Sea un
sistema de tercer orden, cuya funcin de transferencia en lazo
abierto es
y que est realimentado de forma unitaria, con lo que la funcin
de transferencia en lazo cerrado ser
cuyas races son: Las races dominantes son s2 y s3 , ya que estn
mucho ms prximas al eje imaginario que la raz s1. As pues, el
sistema de segundo orden aproximado ser
La ganancia K puede hacerse igual a 1.814 con objeto de que la
salida siga la entrada sin ningn error estacionario, e igualando
trminos semejantes, llegamos a que: El mtodo aproximativo
mencionado, puede aplicarse, llegando a un sistema cuyos valores
son: que son muy similares a los obtenidos por eliminacin de los
polos no dominantes. EFECTO DE AADIR POLOS Y CEROS A TRANSFERENCIA
LAS FUNCIONES DE
En la prctica, el diseo exitoso de un sistema de control no
puede depender solamente de la seleccin de valores de los parmetros
del sistema, de tal forma que se coloquen apropiadamente las races
de la ecuacin caracterstica. Puede demostrarse que, aun cuando las
races de la ecuacin caracterstica, que son los polos de la funcin
de transferencia en lazo cerrado, afectan la respuesta transitoria
de sistemas de control lineales e invariantes con el tiempo,
particularmente la estabilidad, los ceros de la la funcin de
transferencia, si existen algunos, son tambin importantes.
En esta seccin se mostrar cmo la adicin de polos y ceros a las
funciones de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado tiene
efectos variantes en la respuesta transitoria del sistema en lazo
cerrado. a)Adicin de un polo en la funcin de transferencia de la
trayectoria directa (Sistemas con realimentacin unitaria). Para un
sistema de segundo orden tpico, subamortiguado, cuya funcin en lazo
abierto sea
veamos el efecto de aadir un polo en la trayectoria directa de
un sistema con realimentacin unitaria
Se considera que se ha aadido el polo en s = -1/Tp. La funcin de
transferencia en lazo cerrado ser:
La figura ilustra las respuestas al escaln unitario del sistema
de lazo cerrado cuando wn = 1; = 1, y Tp = 0, 2, y 5.
En estas respuestas se observa que: La adicin de un polo a una
funcin de transferencia de trayectoria directo tiene generalmente
el efecto de incrementar el sobrepaso o sobreimpulso mximo del
sistema en lazo cerrado. Mientras que el valor de Tp se incrementa,
el polo (-1/Tp) se aproxima al origen en el plano s, y el
sobreimpulso mximo aumenta. Estas respuestas tambin muestran que el
polo adicional incrementa el tiempo de crecimiento de la respuesta
al escaln. Esto no es sorprendente, ya que el polo adicional tiene
el
efecto de reducir el ancho de banda del sistema (en su momento
se comprobar esta afirmacin), recortando los componentes de alta
frecuencia de la seal transmitida a travs del sistema. b) Adicin de
un polo en la funcin de transferencia de lazo cerrado. Debido a que
los polos de la funcin de transferencia de lazo cerrado son las
races de la ecuacin caracterstica, controlan directamente la
respuesta transitoria del sistema. SI consideramos la siguiente
funcin de transferencia en lazo cerrado
en donde el trmino (1 + Tps) se adiciona a una funcin de
transferencia prototipo de segundo orden, la figura muestra la
respuesta al escaln unitario del sistema con wn = 1; = 0.5, y Tp =
0.05, 1, 2 y 4. Mientras que el polo en s = -1/Tp se mueve hacia el
origen en el plano s, el crecimiento del tiempo se incrementa y el
sobreimpulso mximo decrece, por lo que podemos concluir: Al aadir
un polo a la funcin de transferencia en lazo cerrado, se tiene el
efecto opuesto, respecto al sobreimpulso, que el ocasionado al
aadir el polo en lazo abierto.
c) Adicin de un cero en la funcin de transferencia de lazo
cerrado. La figura muestra las respuestas al escaln unitario del
sistema en lazo cerrado con la funcin de transferencia
en donde wn = 1; = 0.5; y Tz = 0, 1, 3, 6, y 10. En este caso se
observa que: El adicionar un cero en la funcin de transferencia en
lazo cerrado disminuye
el tiempo de subida e incrementa el tiempo de sobreimpulso mximo
de la respuesta al escaln.
d) Adicin de un cero en la funcin de transferencia de la
trayectoria directa (Sistemas con realimentacin unitaria).
Supongamos que aadimos un cero en 1/Tz a la funcin de transferencia
de la trayectoria directa de un sistema de tercer orden,
obteniendo, por ejemplo,
La funcin de transferencia de lazo cerrado quedar
La diferencia en este caso y el anterior es que en el presente
caso, no solamente al trmino (1 + Tzs) aparece en el numerador de
T(s), sino que el denominador de T(s) contiene a Tz. El trmino
(1+Tzs) en el numerador de T(s) incrementa el sobreimpulso mximo,
pero Tz en el cociente de T(s) tiene el efecto de mejorar el
amortiguamiento o reducir el sobreimpulso mximo. La figura ilustra
las respuestas al escaln unitario cuando Tz = 0, 0.2, 0.5, 2, 5, y
10. Ntese que cuando T = 0, el sistema en lazo cerrado est al borde
de convertirse en inestable. Cuando Tz = 0.2 y 0.5, los
sobreimpulsos mximos se reducen, debido principalmente al
amortiguamiento mejorado, mientras que cuando Tz se incrementa por
encima de 2, aun cuando el amortiguamiento contina siendo
mejorado, el trmino (1 +Tzs) en el numerador se vuelve ms
dominante, por lo que el sobreimpulso mximo realmente se vuelve ms
grande mientras Tz contina aumentando.
Un resultado importante en esta discusin es: Aun cuando las
races de la ecuacin caracterstica se utilizan generalmente para
estudiar el amortiguamiento relativo y la estabilidad relativa de
sistemas de control lineales, los ceros de la funcin de
transferencia no deben sobrepasarse en sus efectos en el desempeo
transitorio del sistema.