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Análisis de la impedancia reflejada

Como una primera aproximación a una teoría cuantitativa, considere un

transformador con un devanado primario de N1 número de vueltas y un devanado

secundario de N2 número de vueltas, como se esquematiza en la siguiente figura.

Note que la corriente secundaria se define como positiva y hacia fuera del

devanado; por lo tanto, la corriente secundaria positiva produce una fem en

dirección opuesta con respecto a la corriente primaria. Considere que las

propiedades de este transformador se idealizaron bajo la suposición de que es

posible ignorar las resistencias del devanado, ya que todo el flujo se limita al

núcleo y vincula ambos devanados (por ejemplo, el flujo de dispersión no se

considera); asimismo, que no existen pérdidas en el núcleo y que la permeabilidad

del núcleo es tan alta que únicamente se requiere una fem de excitación

demasiado pequeña que es posible ignorar para establecer el flujo. Estas

propiedades son aproximadas a la realidad, sin embargo, para los transformadores

no es posible obtenerlas en la práctica. Un transformador hipotético que posee

estas propiedades con frecuencia se denomina transformador ideal.

Bajo las suposiciones citadas en el párrafo anterior, cuando se aplica un voltaje de

variación temporal v1 en las terminales primarias, deberá establecerse un flujo del

núcleo de tal modo que el medidor de fem el iguale el voltaje aplicado. Por lo

tanto, tenemos la siguiente expresión

v1=e1=N1ddt

a)

El flujo del núcleo también vincula el devanado secundario y produce una fem

inducida e2 y un voltaje en la terminal secundaria v2 igual, dada por la ecuación

v2=e2=N2ddt

b)

Figura 1: Transformador ideal y carga

A partir de las ecuaciones a) y b)

v1v2

=N 1

N 2

c)

De esta manera, un transformador ideal varía los voltajes en proporción directa

con el número de vueltas de sus devanados. Ahora considere que se ha conectado

una carga al devanado secundario. Una corriente i2 y un fem N2 i2 se encuentran

presentes en el devanado secundario. Dado que la permeabilidad del núcleo se

supone mayor y que el voltaje principal aplicado establece el flujo del núcleo como

se especifica en la ecuación 2.8, el flujo del núcleo no cambia por la presencia de

una carga en el devanado secundario, y por lo tanto, la fem de excitación neta

que actúa en el núcleo

(igual a N1 i1−N 2i2) no presentará una variación, y como consecuencia

permanecerá sin considerarse despreciable. Tenemos la siguiente expresión

N1 i1−N 2i2=0 d)

A partir de la ecuación anterior se observa que una fem compensadora principal

deberá cancelar la secundaria. Por lo tanto,

N1 i1=N 2i2 e)

De esta manera, se observa que el requisito para que la fem neta permanezca

constante es el medio por el cual el devanado principal sabe de la presencia de la

corriente de carga en el de-vanado secundario; cualquier cambio en el flujo de la

fem en el devanado secundario como consecuencia de una cara deberá

acompañarse por un cambio correspondiente en la fem del devanado primario.

Advierta que para las indicaciones de referencia que se presentan en la formula

❑má x=v1

√2 f N ¿

las fuerzas magnetomotrices de i1 é i2 se encuentran en

direcciones opuestas y por lo tanto se compensan. Como consecuencia, la fem

neta que actúa en el núcleo es cero, de acuerdo con la suposición de que la

corriente de excitación de un transformador ideal es cero.

A partir de la ecuación e) tenemos la siguiente ecuación

i1i2=N2N1

f)

De esta forma, un transformador ideal convierte las corrientes en la proporción

inversa del número de vueltas en los devanados que posee. También advierta que

a partir de las ecuaciones c) y f) tenemos la siguiente expresión

v1i1=v2 i2 g)

Por ejemplo, la entrada de potencia instantánea del devanado primario equivale a

la salida de potencia instantánea del devanado secundario, lo cual es una

condición necesaria debido a que se han ignorado todos los mecanismos de

dispersión y de acumulación de energía en el transformador.

2-a) 2-b) 2-c)

Figura 2: Se muestran tres circuitos que son idénticos en sus terminales ab cuando

el transformador es ideal.

Es posible observar una propiedad adicional del transformador ideal al considerar

el caso de un voltaje sinusoidal aplicado y una carga de impedancia. Puede ser

utilizado un simbolismo fasorial. El circuito aparece simplificado en la figura 2, en

donde las terminales punteadas del transformador corresponden a las terminales

marcadas de manera similar en la figura 1.

Estas marcas punteadas indican terminales de polaridad correspondiente; por

ejemplo, si una de ellas sigue a través de los devanados primario y secundario

como el caso de la figura 1, comenzando en sus terminales punteadas, se

encontrará que ambos devanados encierran al núcleo en la misma dirección que el

flujo. Por lo tanto, si se comparan los voltajes de ambos devanados, los voltajes de

una terminal punteada a una sin marcar serán de la misma polaridad instantánea

tanto para el devanado primario como para el secundario. En otras palabras, los

voltajes V 1 y V 2 de la figura 2-a) se encuentran en fase. También las corrientes I 1 e

I 2 se encuentran en fase, tal como se observa en la ecuación d). Advierta de nuevo

que la polaridad de I 1 se define como dentro de la terminal punteada y la polaridad

de I 2 se define como fuera de la terminal punteada.

A continuación se investigan las propiedades de transformación de impedancia del

transformador ideal. En forma de fasorial, las ecuaciones c) y f) se expresan de la

siguiente forma

V 1=N1N2V 2 y V 2=

N2N1V 1 h)

I 1=N 2

N 1

I 2 y I 2=N 1

N 2

I 1 i)

A partir de estas ecuaciones tenemos la siguiente expresión

V 1I1

=( N1N2 )2 V 2V 1

Observe que la impedancia de carga Z2 se relaciona con los voltajes secundarios y

las corrientes

Z2=V 2I 2

donde Z2 es la impedancia compleja de la carga. Como consecuencia, en lo que

respecta a este efecto, una impedancia Z2 en el circuito secundario puede

reemplazarse por una impedancia equivalente Z1 en el circuito primario, sólo si

Z1=( N1N2 )2

Z2

De esta forma, los tres circuitos de la figura 2 no se distinguen entre sí mientras su

funcionamiento se observe desde el punto de vista de sus terminales ab. A la

transferencia de impedancia de un lado al otro de un transformador se le

denomina referir o reflejar la impedancia al otro lado; las impedancias se

transforman al cuadrado de la razón del número de vueltas. De manera similar, es

posible referir los voltajes y las corrientes de un lado a otro utilizando las

ecuaciones h) é i) para evaluar el voltaje equivalente y la corriente de ese lado.

Para resumir, en un transformador ideal los voltajes se convierten en proporción

directa con el número de vueltas del devanado, las corrientes en proporción

inversa y las impedancias en proporción directa al cuadrado; la potencia y los volts

amperes permanecen sin cambios.

Reactancias del transformador y circuito equivalentes

Las diferencias técnicas de un transformador real a un transformador ideal

deberán incluirse en mayor o menor grado en la mayoría de los análisis del

funcionamiento de un transformador; un ejemplo más completo deberá tomar en

cuenta los efectos de la resistencia del devanado, los flujos de dispersión, así como

la corriente de excitación finita debido a la permeabilidad finita del núcleo (a su no

linealidad). En algunos casos las capacitancias de los devanados también afectan

de manera importante, lo cual es notable en problemas que tienen que ver con el

comportamiento del transformador en frecuencias por debajo de la gama de

frecuencias audibles o durante condiciones de rápida transición como las que se

encuentran en los transformadores de sistema de potencia; por ejemplo, el

sobrevoltaje causado por alumbrado o disyunción. El análisis de los problemas

relacionados con la frecuencia alta se encuentra fuera de los temas que se tratarán

en esta publicación, en consecuencia, las capacitancias de los devanados no serán

consideradas.

Los dos métodos de análisis que toman en cuenta las diferencias técnicas de los

transformadores citados con respecto a los transformadores ideales son: 1) una

técnica de circuito equivalente que se basa en el razonamiento físico y 2) una

aproximación matemática que se fundamenta en la teoría clásica de circuitos

acoplados magnéticamente. Ambos métodos se usan cotidianamente y poseen

analogías en las teorías de las máquinas rotativas. Debido a que estos métodos

ofrecen un valioso ejemplo del proceso de pensamiento relacionado con la

transformación de conceptos físicos a una teoría cuantitativa, en esta ocasión se

presenta la técnica de circuito equivalente.

Para iniciar la elaboración de un circuito equivalente, se considerará en primer

lugar al devanado principal. El flujo total que vincula el devanado principal se

divide en dos componentes: el flujo mutuo resultante, que está limitado

esencialmente al núcleo de hierro y es producido mediante el efecto combinado de

las corrientes primaria y secundaria; además del flujo de dispersión principal, que

vincula únicamente el devanado principal. Estos componentes se presentan en el

transformador esquemático que aparece en la figura 3, donde, para fines de

simplicidad, los devanados primario y secundario se ubican en columnas opuestas

del núcleo. En un transformador real con devanados de distribución alterna, los

detalles de cómo se distribuye el flujo son más complicados, pero las

características esenciales permanecen iguales.

Por su parte, el acoplamiento flujo de dispersión induce un voltaje en el devanado

principal que se añade al producido por el flujo mutuo. Debido a que el patrón de

dispersión es mayor a través del aire, este flujo y el voltaje inducido por dicho

patrón, varían linealmente con la corriente primaria I 1. Por lo tanto, pueden

representarse mediante una inductancia de dispersión primaria Ll1 (igual al flujo de

dispersión que vincula con el devanado primario por unidad de corriente primaria).

La reactancia de dispersión principal correspondiente X l1 se determina a partir de

la ecuación

X l1=2 f Ll1

Además, existirá una caída de voltaje en la resistencia principal R1.

En este momento se observa que el voltaje terminal principal V 1 se compone de

tres elementos: la caída: I 1R1 en la resistencia principal, la caída I 1X l1 que surge a

partir del flujo de dispersión principal y la fem E1 inducida en el devanado principal

por medio del flujo mutuo resultante.

Figura 4: Etapas del desarrollo de un circuito equivalente del transformador.

La figura 4 muestra un circuito equivalente para un devanado primario que incluye

cada uno de estos voltajes. El flujo mutuo resultante vincula ambos devanados y

se crea al combinar su fem. Es conveniente tratar estas fuerzas magnetomotrices

considerando que la corriente principal deberá estar al tanto de dos requisitos del

circuito magnético: no sólo deberá producir la fem que se requiere para producir

un flujo mutuo resultante, al mismo tiempo deberá contrarrestar el efecto de la

fem secundaria que actúa para desmagnetizar el núcleo. Un punto de vista

alternativo es que la corriente primaria no sólo deberá magnetizar el núcleo, sino

también suministrar corriente a la carga conectada al devanado secundario. De

acuerdo con este cuadro, es conveniente dividir la corriente principal en dos

componentes: un componente de excitación y un componente de carga. El

componente de excitación I❑ se define como la corriente principal adicional que se

requiere para producir el flujo mutuo resultante. Ésta es una corriente no

sinusoidal del tipo que se describió anteriormente. El componente de carga I ' 1 se

define como la corriente componente en el devanado principal que contrarrestará

de manera exacta la fem de la corriente secundaria I 2. Al considerar que el

componente de excitación es el que produce el flujo en el núcleo, la fem neta

deberá ser igual a la N1 I❑ por lo tanto, se obtiene la siguiente ecuación

N1 I❑ ¿N1 I 1−N 2 I 2

¿N1( I ¿¿❑+ I ' 2)−N2 I 2¿

Y apartir de la ecuación anterior se observa que

I ' 2=N 2

N 1

I2

De la ecuación anterior, se observa que el componente de carga de la corriente

principal iguala la corriente secundaria relacionada con la primaria, como en el

caso de un transformador ideal. La corriente de excitación, puede tratarse como

una corriente sinusoidal equivalente I❑ y dividirse en un componente de pérdida

del núcleo I c en fase con la fem E1 y un componente magnetizante Im que desfasa

E1 aproximadamente 90°. En un circuito equivalente (figura 4-b) la corriente de

excitación sinusoidal equivalente se mide por medio de una rama paralela

conectada a través de E1 que comprende una resistencia de pérdidas en el núcleo

Rc en paralelo con una inductancia magnetizante Lm cuya reactancia se denomina

reactancia magnetizante y está dada por la siguiente ecuación

X m=2 f Lm

En el circuito equivalente de la potencia E12/Rc (figura 4-b) se mide la pérdida de

núcleo que se debe al flujo mutuo resultante. Por lo tanto, Rc se conoce como la

resistencia magnetizante o resistencia de pérdidas del núcleo y junto con conforma

la X m rama de excitación del circuito equivalente; por lo tanto, a la combinación

paralela de Rc y X m se le conocerá como la impedancia de excitación Z❑. Cuando

se asuma que Rc es constante, se considera que la pérdida del núcleo tendrá una

variación como E12 o (para ondas seno) como ❑2

máx f2, donde ❑má x es el valor

máximo del flujo mutuo resultante. Hablando estrictamente, la reactancia

magnetizante X m varía según la saturación del hierro. Cuando se asume que X m es

constante, la corriente magnetizante se considerará independiente de la

frecuencia y directamente proporcional al flujo mutuo resultante. Tanto Rc como

X m por lo general se determinan de acuerdo con un voltaje y frecuencia

nominales; entonces se asume que estos dos términos permanecerán constantes

para las pequeñas diferencias técnicas de los valores establecidos asociados con

una operación normal.

A continuación, al circuito equivalente mostrado anteriormente se añadirá una

representación del devanado secundario. Se comenzará por reconocer que el flujo

mutuo resultante ❑ induce una fem E2 en el devanado secundario, y ya que este

flujo vincula ambos devanados, la proporción de fem inducida deberá igualar la

proporción del número de vueltas en el devanado, por ejemplo,

E1E2

=N1N2

tal como ocurre en un transformador ideal. Esta transformación de voltaje y la

conversión de corriente de la ecuación I ' 2=N 2

N 1

I2 pueden medirse introduciendo un

transformador ideal en el circuito equivalente, como en el caso de la figura 4-c.

Como en el caso del devanado primario, donde la fem E2 no es el voltaje terminal

secundario; sin embargo, debido a la resistencia secundaria R2 y también a la

corriente secundaria I 2 se crea un flujo de dispersión secundario (ver figura 3). El

voltaje terminal secundario V 2 difiere del voltaje E2 por la caída de voltaje que se

debe a la resistencia secundaria R2 y a la reactancia de dispersión secundaria X l2

(correspondiente a la inductancia de dispersión secundaria Ll2), como sucedió en la

porción del circuito completo equivalente al transformador (figura 4-c) a la derecha

de E2.

A partir del circuito equivalente de la figura 4, es posible observar que el

transformador real, por consecuencia, será equivalente a un transformador ideal

más sus impedancias externas. Al referir todas las cantidades al devanado

primario o secundario, el transformador ideal esquematizado en la figura 4-c podrá

moverse a la derecha o a la izquierda, respectivamente, del circuito equivalente.

Esto es invariablemente posible y el circuito equivalente por lo general se

esquematiza como en la figura 4-d con el transformador ideal no visible, además

de todos los voltajes, corrientes e impedancias referidas ya sea al devanado

primario o secundario. De forma específica para la figura 4-d,

X 'l2=( N1N2 )2

X l2

R '2=( N1N2 )2

R2

V '2=N1N2V 2

Al circuito de la figura 4-d se le denomina circuito equivalente T para un

transformador. En la figura 4-d, en donde las cantidades secundarias se refieren al

devanado primario los valores secundarios referidos se indican como primas, por

ejemplo X 'l2 y R '2, con el fin de distinguirlos de los valores reales en la figura 4-c.

Sólo debe recordarse el lado del transformador al que se referirán todas las

cantidades.

Para el transformador con nucleo de hierro de la figura.

a. encuentre la magnitud de la corriente en el primario y el voltaje aplicado en este.

b. Encuentre la resistencia de entrada del transformador.

para el suministro residencial que aparece en la figura determine (suponiendo una carga totalmente resistiva) lo siguiente:

a.el valor de R para asegurar una carga balanceada

b. la magnitud de I 1 e I 2c. el voltaje de la línea V L

d. la potencia total entregada

e. la razón de vueltas a =N P¿❑.