ANALISIS CHI KUADRAT - danjunisme.comdanjunisme.com/wp-content/uploads/2018/05/Pertemuan-12-Analisis...UJI KECOCOKAN (GOODNESS OF FIT) •Dalam uji kecocokan yang dibandingkan yaitu

ANALISIS CHI KUADRATMata kuliah : Statistika Terapan

Pengajar : Dany Juhandi, S.P, M.Sc

Semester : II

Pertemuan : XII

Pokok Bahasan : Analisis Chi Kuadrat

PROGRAM STUDI AGRIBISNIS HORTIKULTURA

Sub Pembahasan1. Distribusi X2

2. Uji Kecocokan (Goodness of Fit)

3. Uji Independensi

4. Uji Beda Lebih Dari Dua Proporsi Populasi

UJI KECOCOKAN (GOODNESS OF FIT)• Dalam uji kecocokan yang dibandingkan

yaitu antara frekuensi hasil observasi dengan frekuensi harapan/teoritis. Apakah frekuensi hasil observasi

menyimpang atau tidak dari frekuensi yang diharapakan.

• Jika nilai X2 kecil frekuensi hasil observasi sangat dekat dengan frekuensi harapan (adanya kesesuaian yang baik). Kesesuaian yang baik akan membawa pada penerimaan H0.

• Jika nilai X2 besar frekuensi hasil observasi berbeda cukup besar dari frekuensi harapan (kesesuaian buruk). Kesesuaian yang buruk akan membawa pada penolakan H0.

• Uji statistik yang dipakai adalah:

𝑋2 =

𝑖=1

𝑘(𝑜𝑖 − 𝑒𝑖)

2

𝑒𝑖=

𝑖=1

𝑘(𝑓𝑜 − 𝑓𝑒)

2

𝑓𝑒

Di mana:

𝑜𝑖 = 𝑓𝑜 = frekuensi observasi

𝑒𝑖 = 𝑓𝑒 = frekuensi harapan

v = Derajat bebas = k – 1

Uji kecocokan bisa digunakan untuk mengetahui normal tidaknya suatu distribusi data. Dalam uji normalitas data dapat dilakukan langkah-langkah berikut:

1. Membuat tabel distribusi frekuensi yang dibutuhkan.

2. Menentukan rata-rata dan standar deviasi.

3. Menentukan batas kelas, yaitu angka skor kiri kelas interval pertama dikurangi 0,5 dan kemudian angka skor kanan kelas interval ditambah 0,5.

4. Mencari nilai z skor untuk batas kelas interval dengan rumus:

5. Mencari luas 0 – Z dari tabel kurva normal dari 0 – Z dengan menggunakan angka-angka untuk batas kelas.

6. Mencari luas tiap kelas interval dengan cara mengurangkan angka-angka 0 – Z, yaitu angka baris pertama dikurangi baris kedua, angka baris kedua dikurangi baris ketiga dan seterusnya. Kecuali untuk angka yang berbeda arah (tanda “min” dan “plus”, bukan tanda aljabar atau hanya merupakan arah) angka 0 – Z dijumlahkan.

7. Mencari frekuensi harapan (Ei) dengan cara mengalikan luas tiap interval dengan jumlah responden.

8. Menentukan khi-kuadrat (𝑋2)

9. Membandingkan nilai uji 𝑋2 dengan nilai 𝑋2 tabel.

Kriteria perhitungan: Jika nilai uji 𝑋2 < nilai 𝑋2 tabel maka data tersebut berdistribusi normal. Dengan dk =(1 − 𝛼)(𝑑𝑘 = 𝑘 − 3), di mana dk = derajat kebebasan (degree of freedom), dan k = banyak kelas pada distribusi frekuensi.

Contoh soal:

• Diketahui distribusi frekuensi berikut:

• Diminta:

Periksalah distribusi frekuensi di atas apakah berdistribusi normal? (𝛼 = 5%)

Skor Fi

44 – 45 2

55 – 65 8

66 – 67 11

77 – 87 24

88 – 98 12

99 – 109 4

110 – 120 3

Ʃ 64

Penyelesaian:

Dari tabel di atas didapat ഥ𝒙 = 𝟖𝟏, 𝟑𝟏 dan Standar Deviasi (SD) = 14,91

Skor Fi = Eo Xi Fi.Xi 𝑿𝒊 − ഥ𝒙 (𝑿𝒊 − ഥ𝒙)𝟐 Fi.(𝑿𝒊 − ഥ𝒙)𝟐

44 – 55 2 49 98 -32,31 1043,94 2087,8722

55 – 65 8 60 480 -21,31 454,116 3632,9288

66 – 67 11 71 781 -10,31 106,296 1169,2571

77 – 87 24 82 1968 0,69 0,4761 11,4264

88 – 98 12 93 1116 11,69 136,656 1639,8732

99 – 109 4 104 416 22,69 514,836 2059,3444

110 – 120 3 115 345 33,69 1135,02 3405,0483

Ʃ 64 5204 14005,75

Penyelesaian:Skor Eo Xi BK 𝒁. 𝑩𝑲 𝐋𝐮𝐚𝐬

44 – 55 2 49 43,5 – 55,5 43,5 −81,31

14,91-54,5 −81,31

14,91= (−2,54) − (−1,80) 0,4945 – 0,4641 = 0,0304

55 – 65 8 60 54,5 – 65,5 54,5 −81,31

14,91-65,5 −81,31

14,91= (−1,80) − (−1,06) 0,4641 – 0,3554 = 0,1087

66 – 67 11 71 65,5 – 76,5 65,5 −81,31

14,91-76,5 −81,31

14,91= (−1,06) − (−0,32) 0,3554 – 0,1255 = 0,2299

77 – 87 24 82 76,5 – 87,5 76,5 −81,31

14,91-87,5 −81,31

14,91= (−0,32) − (0,42) 0,1225 + 0,1628 = 0,2883

88 – 98 12 93 87,5 – 98,5 87,5 −81,31

14,91-98,5 −81,31

14,91= (0,42) − (1,15) 0,1628 – 0,3749 = 0,2121

99 – 109 4 104 98,5 – 109,5 98,5 −81,31

14,91-109,5 −81,31

14,91= (1,15) − (1,89) 0,3749 – 0,4706 = 0,0957

110 – 120 3 115 109,5 – 120,5 109,,5 −81,31

14,91-120,,5 −81,31

14,91= (1,89) − (2,63) 0,4706 – 0,4957 = 0,0251

Ʃ 64

Z1 = -2,54 = 0,4945Z2 = -1,80 = 0,4641Z3 = -1,06 = 0,3554Z4 = -0,34 = 0,1255

Z5 = 0,42 = 0,1628Z6 = 1,15 = 0,3749Z7 = 1,89 = 0,4706Z8 = 2,63 = 0,4957

Lanjutan:Ei Eo – Ei (𝑬𝒐 − 𝑬𝒊)𝟐 (𝑬𝒐 − 𝑬𝒊)𝟐. 𝑬𝒊

0,0304 x 64 = 1,9456 2 – 1,9456 = 0,0544 0,0029 0,0015

0,1087 x 64 = 6,9568 8 – 6,9568 = 1,0432 1,0883 0,1564

0,2299 x 64 = 14,7136 11 - 14,7136 = -3,736 13,7908 0,9373

0,2883 x 64 = 18,4512 24 – 18,4512 = 5,5488 30,7892 1,6687

0,2121 x 64 = 13,5744 12 – 13,5744 = -1,5744 2,4787 0,1826

0,0957 x 64 = 6,1248 4 – 6,1248 = -2,1248 4,5148 0,7371

0,0251 x 64 = 1,6064 3 – 1,6064 = 1,3936 1,9421 1,2090

Ʃ 4,8926

Berdasarkan perhitungan tabel di atas di dapat nilai hitung 𝑋2= 4,8926. Sedangkan nilai tabel 𝑋2 adalah

𝑋2 = 1 − 𝛼 𝑑𝑘 = 𝑘 − 3= 95% 7 − 3= 95% 4 = 9,488.

Dengan demikian nilai uji 𝑋2 < nilai tabel 𝑋2. Kesimpulannya adalah distribusi frekuensi di atas berdistribusi normal.

UJI INDEPENDENSI (Test of Independency)

• Uji independensi dipakai untuk menguji ada tidaknya hubungan antar dua kategori (klasifikasi) suatu observasi dari suatu populasi dengan kategori (klasifikasi) populasi lain.

• Analisis dalam bentuk ini sering juga disebut analisis tabel kontingensi.

• Tabel kontingensi sebuha tabel yang berbentuk matrik (r x k), maksudnya sebuah tabel yang terdiri dari r baris dan k kolom.

• Derajat kebebasan bagi 𝑋2 di sini adalah v = (r – 1) (k – 1)

Bentuk umum tabel kontingensi

KLASIFIKASI AJUMLAH

A1 A2 Ai 𝐴k

KLA

SIFI

KASI

B

𝐵1 n11(e11)

n12(e12)

n1i(e1i)

n1k(e1k)

n1

𝐵2 n21(e21)

n22(e22)

n2i(e2i)

n2k(e2k)

n2

- - - - - -

𝐵𝑖 ni1(ei1)

ni2(e12)

nii(eii)

nik(eik)

ni

- - - - - -

𝐵𝑟 nr1(er1)

nr2(er2)

nri(eri)

nrk(erk)

nk

JUMLAH n1 n2 ni nk n

Di mana:n = n1 + n2 + ni + nk

• Frekuensi harapan sel (ij)

=Total Baris − i × (Total Kolom − j)

Total Observasi (Pengamatan)

Atau

• Dapat dinyatakan dengan

eij =(ni) × (nj)

n

Prosedur Pengujian:

1. Menentukan hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (H1).

2. Menentukan taraf nyata dan derajat kebebasan serta menentukan daerah kritisnya.Ho : Tidak ada hubungan antara kategori A dengan kategori BH1 : Ada hubungan antara kategori A dengan kategori B

3. Menentukan statistik uji yang cocok: 𝑋2 = σ𝑗=1𝑟 σ𝑖=1

𝑘 (𝑜𝑖𝑗−𝑒𝑖𝑗)2

𝑒𝑖𝑗

4. Menghitung statistik uji.

5. Menarik kesimpulan.

Kriteria keputusan:

• Terima H0 jika nilai hitung 𝑋2 > 𝑋2 tabel (𝛼, v)

• Tolak H0 jika nilai hitung 𝑋2 < 𝑋2 tabel (𝛼, v)

Contoh soal:• Untuk mengetahui apakah ada hubungan antara tingkat pendidikan

petani dengan kualitas tanaman, maka dipilihlah sampel secara acaksebanyak 300 petani untuk diteliti. Dari hasil penelitian itu diperoleh:

Diminta:

Dengan menggunakan taraf nyata 5%, ujilah apakah ada hubunganantara tingkat pendidikan petani dengan kualitas tanaman yangdiproduksi.

Kualitas Tanaman

Tinggi RendahTi

ngk

at

Pen

did

ikan

Peta

ni

SD 30 45

SMP 40 10

SMA 60 25

PT 70 20

Penyelesaian:1. Rumusan Hipotesis

• H0 : Tidak ada hubungan antara tingkat pendidikan petani dengan kualitas tanaman yang diproduksi.

• H1 : Ada hubungan antara tingkat pendidikan petani dengan kualitas tanaman yang diproduksi.

2. Taraf nyata, 𝛼 = 5%; v = (r −

Kualitas TanamanJUMLAH

Tinggi Rendah

Tin

gkat

Pen

did

ikan

Peta

ni SD 30

(e11)45

(e12)75

SMP 40(e21)

10(e22)

50

SMA 60(e31)

25(e32)

85

PT 70(e41)

20(e42)

90

JUMLAH 200 100 300

Frekuensi harapan masing-masing sel 𝑒𝑖𝑗 adalah:

• 𝑒𝑖𝑗 =(𝑛𝑖)×(𝑛𝑗)

𝑛

• 𝑒11 =(75)×(200)

300= 50

• 𝑒21 =(50)×(200)

300= 33,33

• 𝑒31 =(50)×(200)

300= 56,66

• 𝑒41 =(90)×(200)

300= 60

• 𝑒12 =(75)×(100)

300= 25

• 𝑒22 =(50)×(100)

300= 16,66

• 𝑒32 =(85)×(100)

300= 28,33

• 𝑒42 =(90)×(100)

300= 30

Frekuensi observasi masing-masing sel (𝑜𝑖𝑗)adalah:

• 𝑜11 = 30

• 𝑜21 = 40

• 𝑜31 = 60

• 𝑜41 = 70

• 𝑜12 = 45

• 𝑜22 = 10

• 𝑜32 = 25

• 𝑜42 = 20

• Sehingga diperoleh nilai khi-kuadrat:

Kesimpulan:

Oleh karena nilai uji 𝑋2 > 𝑋2tabel(𝛼,v) = 33,56 > 7,81.

Maka H0 ditolak. Artinya ada hubungan antara tingkat pendidikan petani dengan kualitas tanman yang diproduksi.

𝑋2 =(30 − 50)2

50+(45 − 25)2

25+(40 − 33,33)2

33,33+(10 − 16,66)2

16,66

+(60 − 56,66)2

56,66+(25 − 28,33)2

28,33+(70 − 60)2

60+(20 − 30)2

30= 33,56

UJI BEDA LEBIH DARI DUA PROPORSI POPULASIMerupakan pengujian tentang perbedaan lebih dari dua proporsi populasi, tahapannya sama dengan pengujian independensi, hanya rumusan hipotesisnya sebagai berikut:

• H0 = P1 = P2 = .........Pj = .......Pk = P Semua proporsi populasi sama

• H1 = Sekurang-kurangnya ada dua proporsi populasi yang berbeda

Statistik ujinya:

𝑋2=

𝑗=1

𝑟

𝑖=1

𝑘(𝑜𝑖𝑗−𝑒𝑖𝑗)

2

𝑒𝑖𝑗

Contoh Soal:• Seorang petani berpendapat bahwa

proporsi melon yang busuk berasal dari lahan A, B dan C adalah sama. Untuk menguji pendapat tersebut diambil 200 sampel melon secara acak yang terdiri dari 40 melon dari ahan A, 40 melon dari lahan B dan 120 melon dari lahan C. Ternyata 5 melon dari lahan A busuk, 15 melon dari lahan B busuk dan 20 melon dari lahan C busuk.

• Diminta: Dengan menggunakan taraf nyata 5%, ujilah pendapat petani tersebut.

Penyelesaian:

1. Rumusan hipotesis:• 𝐻0: 𝜌1 = 𝜌2 = 𝜌3 = 𝜌

• 𝐻1: 𝜌1 ≠ 𝜌2 ≠ 𝜌3 ≠ 𝜌 (sekurang-kurangnya ada dua proporsi yang berbeda)

2. Titik kritis:𝑋2 𝛼, 𝑑𝑓 = 𝑟 − 1 . 𝑘 − 1 = 𝑋2 0,05, 2 = 5,99

3. Statistik Uji:

𝑋2=

𝑗=1

𝑟

𝑖=1

𝑘(𝑜𝑖𝑗−𝑒𝑖𝑗)

2

𝑒𝑖𝑗

• Nilai Statistik Uji:KEADAANPRODUK

LAHANJUMLAH

A B C

RUSAK 5(e11)

15(e12)

30(e13)

50

TIDAKRUSAK

35(e21)

25(e22)

90(e23)

150

JUMLAH 40 40 120 200

• 𝑒𝑖𝑗 =(𝑛𝑖)×(𝑛𝑗)

𝑛

• 𝑒11 =(40)×(50)

200= 10

• 𝑒21 =(40)×(150)

200= 30

• 𝑒12 =(40)×(50)

200= 10

• 𝑒22 =(40)×(150)

200= 30

• 𝑒13 =(120)×(50)

200= 30

• 𝑒23 =(120)×(150)

200= 90

𝑋2 =(5 − 10)2

10+(15 − 10)2

10+(30 − 30)2

30+(35 − 30)2

30

+(25 − 30)2

30+(90 − 90)2

90= 2,5 + 2,5 + 0 + 0,83 + 0,83 + 0 = 66,6

• Maka:

Kesimpulan:

Oleh karena nilai uji 𝑋2 > 𝑋2tabel(𝛼,v) = 66,6 > 5,99.

Maka H0 ditolak. Artinya proporsi melon yang busuk dari ketiga melon tersebut tidak sama.

SOAL TUGAS

1. Suatu penelitian yang dilakukan untuk mengetahui apakah level manajerial dipengaruhi oleh jenis kelamin atau tidak. Observasi dilakukan pada sampel acak sebanyak 350 responden. Tabel kontingensi hasil penelitiannya adalah:

Ujilah apakah jenis kelamin mempengaruhi level manajerial. Gunakan 𝛼 = 5%.

Level Management Jenis Kelamin

Pria Wanita

Top Management 85 23

Middle Management 70 45

Low Management 32 95

2. Suatu penelitian ingin mengetahui apakah ada perbedaan antara proporsi petani di Kabupaten Deli Serdang, Samosir, Labura dan Tobasa yang setuju dengan penyuluhan pertanian di kelompok tani. Respon 500 petani yang diambil secara acak dari masing-masing kabupaten adalah sebagai berikut:

Dari data di atas, dapatkah kita menyimpulkan bahwa proporsi petani yang setuju dengan penyuluhan pertanian di kelompok tani tersebut adalah sama? Ujilah dan gunakan taraf nyata 5%

KabupatenPetani

Setuju Tidak Setuju

Deli Serdang 175 140

Samosir 80 50

Labura 45 10

Tobasa 40 70

Referensi:• Somantri, Ating et al.2006.Aplikasi Statistika Dalam

Penelitian.Bandung:Pustaka Setia

• Mulyono, Sri.1998.Statistika Untuk Ekonomi.Universitas Indonesia:Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia