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Civil. Vol. 9(1-2) 5
ANLISIS DE RIESGO Y CONFIABILIDAD DE SISTEMAS DE RETENCIN PARA
EL MANEJO DE LA ESCORRENTA PLUVIAL1
Rafael Segarra Garca2
Resumen: El desarrollo urbanstico ha tenido como consecuencia el
incremento en la frecuencia y magnitud de la ocurrencia de
inundaciones locales, con el potencial de ocasionar graves daos a
la infraestructura y rutas viales existentes. En este estudio se
desarrolla un modelo probabilstico que permite evaluar la
eficiencia operacional de un sistema de retencin de escorrenta
pluvial en trminos del riesgo y la confiabilidad con respecto a
desbordamientos de dicho sistema. Se evala la confiabilidad de un
sistema de retencin considerando la variabilidad del proceso de
escorrenta y en funcin de sus variables de diseo. El modelo es de
naturaleza analtica y sera de utilidad en la fase de planificacin
para el diseo de sistemas de manejo de escorrenta pluvial. Se han
validado los resultados del modelo probabilstico con resultados de
simulaciones con modelos numricos.
Palabras clave: anlisis de riesgo, confiabilidad, manejo de
escorrenta, modelo probabilstico, retencin de escorrenta.
RISK AND RELIABILITY ANALYSIS OF DETENTION SYSTEMS FOR STORM
WATER MANAGEMENT
Abstract: Urban development has had the consequence of
increasing the frequency and magnitude of local flooding, with the
potential of causing severe infrastructure and roadway damage. This
study develops a probabilistic model that allows for the evaluation
of the operational efficiency of a storm water detention system in
terms of risk and reliability as related to system overflows. The
detention systems reliability is assessed in terms of its design
variables, while also accounting for the variability of the storm
runoff process. The model is analytic in nature, and will be useful
at the planning stage of the design of storm water management
systems. The results of the probabilistic model have been validated
with results from numerical simulation models.
Keywords: probabilistic model, risk analysis, reliability,
stormwater management, stormwater detention.
INTRODUCCIN
El manejo de la escorrenta pluvial mediante el diseo de sistemas
de retencin, ya sea mediante charcas u otro tipo de estructura,
constituye una herramienta comnmente utilizada en proyectos de
desarrollo urbanstico, motivado en gran medida por la necesidad de
controlar problemas severos de inundacin o la carga de
contaminantes dispersos que se vierten al ambiente de una forma
desmedida. En variadas jurisdicciones, el manejo de la escorrenta
pluvial ha adquirido un matiz legal mediante la incorporacin de
requisitos especficos de control en reglamentos y normas de diseo
que persiguen proteger las reas receptoras de descargas pluviales
que puedan afectar vidas y propiedades.
El diseo de los sistemas de retencin de escorrenta requiere,
fundamentalmente, la determinacin de la capacidad de almacenaje y
la tasa a la cual se debe extraer la cantidad interceptada para
minimizar el riesgo de un desbordamiento descontrolado el cual
pueda ocasionar daos no-intencionados al ambiente o a la propiedad.
El problema mayor que existe en cuanto al diseo de dichas
instalaciones surge de la variabilidad natural del proceso de
escorrenta, el cual dificulta en extremo el proceso de diseo y
evaluacin de estos sistemas. Dicha variabilidad no permite la
utilizacin eficiente de mtodos determinsticos para la evaluacin
operacional de las instalaciones para el manejo de la
escorrenta.
1 Artculo recibido el 28 de noviembre de 2008 y aceptado para
publicacin el 25 de mayo de 2009. 2 Catedrtico, Departamento de
Ingeniera Civil y Agrimensura, Universidad de Puerto Rico, Recinto
Universitario de Mayagez, PR 00680-9000. [email protected]
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Tradicionalmente se han utilizado mtodos probabilsticos o la
simulacin a tiempo real de los sistemas de manejo para evaluar las
caractersticas operacionales de estos sistemas. La simulacin
usualmente se sirve de modelos tal como el Storm Water Management
Model (SWMM), el cual permite la simulacin continua de un sistema
de manejo con escorrentas derivadas de un historial horario de
lluvias dentro de un perodo de un ao o mayor. Representativo de los
mtodos probabilsticos son aquellos que utilizan la tcnica de las
funciones de variables aleatorias para derivar distribuciones de
las variables operacionales del sistema analizado.
Los mtodos probabilsticos en esta disciplina usualmente se
estructuran mediante la expresin de la capacidad de almacenaje
actual del sistema condicionada en el almacenaje residual al
finalizar el evento de lluvia previo a la ocurrencia del evento
presente. Durante el perodo de tiempo entre eventos de lluvia
consecutivos el sistema puede vaciarse, enteramente o parcialmente,
en funcin de la tasa de extraccin de la escorrenta almacenada, ya
sea por infiltracin, bombeo o evaporacin. La estructura
probabilstica de dichas formulaciones es de tipo Markov ya que las
probabilidades de estado actual del sistema [en la etapa (n)] estn
condicionadas en el estado anterior de ste [etapa (n-1)]. La
aplicacin fundamental de los mtodos ha consistido de estipular el
estado de almacenaje en la etapa (n 1) y condicionar la derivacin
para la etapa (n) en sta (Adams and Papa, 2000).
Pese a que la teora de las cadenas de Markov en principio
permitira manipular la estructura probabilstica del proceso para
obtener informacin sobre el sistema, dicha teora no ha sido de
utilidad prctica debido a la dificultad en definir las
probabilidades de transicin condicionadas en el estado de
almacenaje anterior. Usualmente se ha presumido un estado
condicional constante, tal como la mitad de la capacidad de
almacenaje del diseo del sistema, para as lograr el objetivo de
obtener soluciones analticas prcticas a la formulacin (Adams and
Chen, 2006; Li and Adams, 1994; 2000; Segarra and Loganathan, 1994;
Loganathan et al., 1985). Aunque dicha accin permita derivar
modelos prcticos, los resultados obtenidos estn condicionados en la
presuncin del nivel de almacenaje condicional. En este estudio se
relaja esta restriccin con el objetivo de proveer una formulacin ms
atemperada a la naturaleza aleatoria de la variable del estado de
almacenaje.
En la formulacin del modelo en esta investigacin se postul una
distribucin de probabilidad para el estado de almacenaje del
sistema al finalizar el evento de lluvia previo (n-1) al evento
presente (n) y de esta forma evitar utilizar un valor determinstico
para esta variable. Este enfoque altera la estructura Markoviana
del proceso, pero se considera ms realista que el procedimiento
convencional esbozado. El describir la transicin del almacenaje
mediante un proceso Markov presume cierta estructura para la
transicin de estado del sistema, principalmente que el proceso est
condicionado en el estado de la etapa anterior del mismo. Dicha
estructura terica no refleja la influencia de otros procesos que
afectan la transicin de estado en el ciclo dinmico real de un
sistema de retencin. En un sistema real existen mltiples
influencias de varios procesos que establecen el estado especfico
del almacenaje en determinado momento y los cuales no pueden ser
representados por un proceso terico Markov.
Variables tales como la sedimentacin y el grado de mantenimiento
ejercido en el sistema de retencin influyen sobre las
caractersticas operacionales de dicho sistema de una forma no
reproducible en un proceso estocstico estacionario. Entonces, la
dinmica temporal de la capacidad de almacenaje disponible en un
sistema de retencin no es solamente una funcin del proceso
climatolgico, sino tambin de otros procesos no enteramente
cuantificables en un modelo probabilstico. Basado en estas
consideraciones, se formula un modelo probabilstico en el cual se
considera la variabilidad del estado condicional de almacenaje de
un sistema de retencin de escorrenta.
FORMULACIN DEL MODELO
El modelo propuesto est estructurado sobre una generalizacin de
la formulacin bsica presentada por Loganathan et. al. (1985) y
elaborada por Segarra and Loganathan (1992) y Segarra (2001). La
expresin fundamental derivada en los estudios citados consiste de
un balance de masa en una unidad de retencin de escorrenta. El
proceso de llegada de tormentas se describe por un proceso de
Poisson. El concepto del sistema de retencin modelado se ilustra
esquemticamente en la Figura 1.
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Civil. Vol. 9(1-2) 7
Figura 1: Diagrama conceptual del sistema de manejo de
escorrenta.
El proceso fundamental ilustrado en la Figura 1 consiste de la
secuencia de n tormentas con precipitacin P(k); k = 1, 2, , n-1, n.
Las tormentas independientes de duracin tR(k) estn separadas por un
tiempo te, el tiempo entre eventos. Al finalizar la tormenta
anterior al evento de inters (n), el sistema se encuentra con un
almacenaje disponible definido por la variable Z(n-1). Durante el
tiempo entre eventos se sustrae agua a la tasa a, para un total
volumtrico ate. Al momento de ocurrir la tormenta en la etapa n, el
sistema se encuentra con la capacidad disponible T(n). El evento n
produce la precipitacin P(n), la cual se traduce en la acumulacin
de escorrenta R(n). Durante la duracin del evento n se sustrae agua
a la tasa q. La capacidad de almacenaje se reducira o incrementara
de acuerdo a la diferencia neta entre la escorrenta interceptada,
R(n), y aquella sustrada, atR. Si el sistema se desborda por una
alta acumulacin de escorrenta, ste desbordara el volumen Y(n).
Las variables de diseo del sistema consisten de la capacidad del
almacenaje (b), la tasa de sustraccin de agua durante el tiempo
entre tormentas (a) y la tasa de sustraccin de agua durante la
duracin de la tormenta (q). Dichas variables pueden combinarse en
un modelo que permita computar la magnitud del almacenaje
disponible en el sistema de retencin, aunque ste no sera de tanto
inters como la magnitud de desborde que podra ocurrir durante
cierto evento. Es por esta razn que se formula el modelo en trminos
de la magnitud de desborde, la cual define la eficiencia
operacional del sistema.
En la derivacin subsiguiente se omite el ndice de las etapas del
proceso hidrolgico ya que no existe ambigedad en la representacin
de las variables en cuanto a la etapa a las cuales stas se
refieren.
La medida de eficiencia del sistema se ha denominado (Di Toro
and Small, 1979) como la eficiencia de captura de escorrenta a
largo plazo, expresada en trminos de la variable de desborde
mediante la siguiente relacin:
Evento (n 1) con
Evento (n) con precipitacin
Z(n-
tR(n)
at
te
T(n)
qtR(n
R(n) b
Y(n)
Estado del almacenaje al finalizar
Estado del almacenaje al
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[ ][ ]REYE1= (1)
donde es la eficiencia en la captura de escorrenta; E[Y] es la
esperanza del volumen de desborde y E[R] es la esperanza del
volumen de escorrenta.
Las esperanzas del volumen de desborde y de escorrenta describen
el proceso a largo plazo. Luego se mostrar que la ecuacin (1)
describe tambin el riesgo asociado al desbordamiento del sistema de
almacenaje. La investigacin persigue obtener expresiones analticas
para la eficiencia de manera que se puedan evaluar las
caractersticas operacionales del sistema de almacenaje en trminos
de sus variables de diseo.
El volumen de desborde de cierta tormenta depende directamente
de la interaccin de las variables de diseo del sistema de
almacenaje (a, q y b) y del estado del almacenaje de la unidad de
retencin al finalizar la tormenta anterior. El volumen de desborde
puede expresarse mediante la relacin:
[ ]0tqTRY R ,max = (2)donde I es el volumen de desborde de la
tormenta (mm); R es el volumen de escorrenta de la tormenta (mm); T
es la capacidad de almacenaje disponible al comienzo de la tormenta
(mm) y q es la tasa de sustraccin de la escorrenta almacenada
(mm/hr) durante la duracin de la tormenta tR.
La ecuacin (2) expresa que el volumen de desborde para un evento
es el sobrante de escorrenta, cuando ste exceda el total de la
capacidad disponible al comenzar la tormenta (T) y la cantidad
sustrada durante la misma (qTR); de lo contrario el desborde sera
cero. La variable T a su vez depende de la cantidad de almacenaje
disponible al finalizar el evento anterior y la cantidad de
escorrenta sustrada del sistema durante el tiempo entre tormentas.
Esta variable puede expresarse de la siguiente forma:
[ ]btaZT e ,min += (3)donde Z es la capacidad de almacenaje
disponible al finalizar la tormenta anterior (mm); a es la tasa de
sustraccin (mm/hr) de la escorrenta acumulada durante el tiempo
entre tormentas te; b es la capacidad de almacenaje de diseo de la
unidad de retencin (mm).
La ecuacin (3) expresa que la capacidad de almacenaje disponible
al iniciar la tormenta actual (T) equivale al total de la capacidad
sobrante al finalizar la tormenta anterior (Z) y el volumen
sustrado durante el tiempo entre eventos de lluvia (ate), siempre
que dicho total sea menor que la capacidad de diseo disponible, de
lo contrario el espacio de almacenaje disponible no podra ser mayor
que la capacidad fsica del sistema (b).
El modelo descrito por las ecuaciones (2) y (3) es en gran
medida similar a la formulacin general de los estudios
referenciados anteriormente. La estructura Markoviana del modelo
surge de la variable Z, la cual condiciona el estado del proceso.
En vista de la complejidad de lidiar con el proceso de transicin de
estado en la formulacin de un proceso Markov para el modelo que se
pretende desarrollar, usualmente se ha presumido una naturaleza
determinstica para la variable Z, representando sta como Z = b,
donde representa una fraccin de la capacidad total del sistema.
En el presente estudio se describe el estado del sistema al
finalizar el evento anterior (Z) como una variable aleatoria con
cierta distribucin de densidad de probabilidad independiente.
Aunque dicha formulacin no pueda describirse como una estrictamente
Markoviana, no obstante sta posiblemente sera una ms realista al
considerar los factores operacionales que afectan el estado del
sistema. La incertidumbre de ciertas variables operacionales tales
como la sedimentacin y el nivel de mantenimiento influyen sobre el
estado del sistema de una manera que no permite caracterizar esta
variable con una estructura especfica tipo Markov.
Se propone una distribucin exponencial trunca para la variable
Z, acotada por los lmites fsicos de la capacidad de almacenaje que
sta representa. La consideracin de una distribucin exponencial no
surge de ninguna observacin experimental del proceso sino ms bien
de conveniencia analtica y el hecho de que, dado que las variables
hidrolgicas pueden describirse mediante distribuciones
exponenciales, no podra descartarse la observacin que una funcin de
dichas variables pueda a su vez describirse por este tipo de
distribucin. La conveniencia analtica no es tan arbitraria como
aparenta ser al considerar que la distribucin propuesta para la
variable Z puede reproducir, mediante la variacin
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Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura
Civil. Vol. 9(1-2) 9
de su parmetro, un sinnmero de formas de distribucin, incluyendo
la uniforme, lo cual aade gran flexibilidad al modelo. A tales
efectos, se propone la siguiente distribucin para la variable Z, la
cantidad de almacenaje disponible al finalizar el evento previo al
evento de diseo:
z
z eCzf =)( 0 z b; - (4)
y a su vez
ze1C
= (5)
donde fZ(z) es la funcin de densidad de probabilidad; es el
parmetro de forma de la distribucin (mm-1) y b es la capacidad de
diseo de almacenaje del sistema retenedor (mm).
El parmetro , especificado por el usuario, determina la forma
particular que asumir la distribucin de Z, permitiendo a su vez la
consideracin de situaciones de frontera tales como aquellas en la
que sea ms probable que el almacenaje este inicialmente lleno o
inicialmente vaco. La diferencia fundamental con los otros modelos,
en este aspecto, es que se prescinde del requerimiento de asignar
un valor determinstico a Z para obtener soluciones analticas.
La naturaleza del parmetro puede apreciarse si se normaliza la
esperanza de Z con la capacidad de diseo del sistema. La esperanza
normalizada de Z se presenta de la siguiente forma:
z
z
e1e
b1
bzE
=][ (6)
La magnitud asignada al parmetro permite determinar el estado
promedio del almacenaje en relacin a su capacidad nominal. Se puede
demostrar que:
1bzE =
][lim (7)
0bzE =
][lim (8)
50bzE
0 .][lim =
(9)
Se aprecia de las expresiones de los lmites que el parmetro
determinara el valor ms probable del estado del almacenaje Z, con
una alta probabilidad de que, en promedio, el sistema est vaco para
valores negativos grandes de , o de lo contrario, que se encuentre
lleno para valores positivos grandes de dicho parmetro. Una
magnitud pequea del parmetro, aproximndose a cero, favorecera la
condicin de que usualmente el sistema se encuentre a la mitad de su
capacidad. Sin utilizar una estructura determinstica para la
variable Z, el parmetro permite considerar la variabilidad de la
variable de estado del sistema. Este parmetro tambin permite
reproducir numerosas formas de la distribucin de la variable Z,
incluyendo la distribucin uniforme, la cual se obtiene para 0.
DERIVACIN DEL MODELO PROBABILSTICO
El modelo para eficiencia en la captura de escorrenta se deriva
mediante la aplicacin sucesiva del procedimiento de las
distribuciones derivadas de funciones de variables aleatorias, como
formulado por Benjamin and Cornell (1970). Las variables
hidrolgicas fundamentales del proceso consisten de la precipitacin
de la tormenta en la etapa n (P), la duracin de dicha tormenta
(tR), el tiempo entre las tormentas n-1 y n (te) y la capacidad de
almacenaje disponible en el sistema al finalizar la tormenta n-1
(Z).
Se presume que las variables P, tR y te son independientes e
idnticamente distribuidas, en este caso exponencialmente. El uso de
dicha estructura se justifica con los resultados de varias
investigaciones, las cuales sugieren que los procesos indicados
pueden representarse de la manera propuesta (Pagn, 1984; Loganathan
and Delleur, 1984; Delleur, 1983; Eagleson, 1978; Chow and Yen;
1976). En el caso del tiempo entre tormentas, la distribucin
exponencial est estipulada por la naturaleza del proceso de
Poisson. Adicionalmente y tal como se ha discutido anteriormente,
se presume que la variable Z es tambin independiente y exponencial.
Se argumenta a favor de la independencia de esta variable mediante
la observacin de que el estado de almacenaje del sistema es
afectado por
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Infraestructura Civil. Vol. 9(1-2)
procesos y actividades tales como la sedimentacin y la calidad
del mantenimiento provisto a las instalaciones, los cuales
introducen componentes que no estn funcionalmente relacionados al
proceso hidrolgico.
La derivacin del modelo por el mtodo de las distribuciones
derivadas procede en etapas, agrupando las variables independientes
funcionalmente en otras variables y hallando sus distribuciones
hasta obtener finalmente la distribucin de la variable del volumen
de desborde Y.
Distribucin de la variable T
La variable T, definida por la ecuacin (3), se refiere a la
capacidad de almacenaje disponible en el sistema al ocurrir la
tormenta n, y consiste del almacenaje disponible al finalizar el
evento anterior ms la capacidad adicional producida por la
sustraccin del agua acumulada durante el periodo de tiempo entre
tormentas sucesivas. A su vez, T es funcin de las variables Z y te,
en adicin a los parmetros a y b.
Primeramente conviene obtener la distribucin del trmino ate
definiendo una variable nueva como V = ate, la cual define el
volumen de agua sustrado durante el tiempo entre tormentas. El
tiempo entre tormentas sucesivas se describe por una distribucin
exponencial con parmetro . La distribucin de V entonces estara dada
por.
( ) vaV eavf = 0 v (10)
donde: = parmetro de la distribucin, definido por el inverso del
promedio poblacional del tiempo entre tormentas (hr-1).
Prosigue combinar las variables independientes de la ecuacin (3)
en un solo trmino, con el propsito de simplificar la relacin. Para
estos fines se define la siguiente variable:
W = Z + V (11)
donde: W es la capacidad de almacenaje total que se produce
durante el tiempo entre tormentas y el cual estara disponible al
arribo de la tormenta n (mm).
La variable W no representa una capacidad fsica real ya que la
misma es ilimitada en su dominio positivo. La distribucin de la
variable W se obtiene mediante el procedimiento de las
distribuciones derivadas. Una forma prctica de obtener dichas
distribuciones consiste de derivar primeramente la distribucin de
densidad cumulativa y luego obtener la densidad de probabilidad
mediante la derivacin de la cumulativa. Dicho procedimiento se ha
utilizado en el presente estudio.
Debido a que la variable Z es de naturaleza finita, se impone
cierta divisin en el dominio de W, de manera que la distribucin de
esta variable se formula en el rango W b y W > b. La distribucin
cumulativa se expresa como FW(w) = P[W w], la cual a su vez,
mediante la relacin (11), puede expresarse como P[W w] = P[Z + V
w]. Para W b se obtiene la siguiente expresin.
dvdzzfzfwF Vw
0z
zw
0yZW )()()( = == 0 w b (12)
Sustituyendo las distribuciones apropiadas e integrando, se
obtiene la densidad cumulativa de W:
( ) ww
aW ea
CeaaCCwF
+=)( 0 w b (13)
La distribucin acumulativa para el otro rango del dominio, W
> b, se obtiene de una expresin similar a la (12), pero ahora
sustituyendo w = b en el integral de la variable Z. Esta operacin
obtiene:
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Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura
Civil. Vol. 9(1-2) 11
= w
abw
aW eea
aC1wF
)( w > b (14)
La distribucin de densidad de probabilidad de W se obtiene
mediante la derivada de FW(w), resultando en las siguientes
expresiones:
( )
>
=
bweeaC
bw0eeaC
wfbww
abw
a
wwa
W
)( (15)
Obtenida la distribucin de W, la relacin entre T y W se reduce a
T = min[W, b]. Esta relacin significa que la variable T ser de
naturaleza mixta, consistiendo de una parte continua y otra
discreta en trminos de una probabilidad de masa. La parte continua
se obtiene cuando W < b, o sea, que el espacio que se haga
disponible durante el tiempo entre tormentas no exceda la capacidad
de almacenaje de diseo del sistema. En dicha regin T = W. De lo
contrario, T no podra exceder esta capacidad. Entonces, la parte
discreta de la distribucin de T est definida por P[T = b] = P[W b].
Finalmente, la densidad de probabilidad de la variable T se expresa
como:
=
=
bteeaC
bt0eeaC
tfbba
tta
T
)( (16)
Se aprecia que la distribucin de T es funcin del tiempo entre
eventos y de la tasa de sustraccin. El parmetro modifica la
distribucin dependiendo de qu estado del sistema de almacenaje sta
favorezca de acuerdo a su magnitud.
Distribucin de la variable Y
La distribucin del desborde (Y) se obtiene de la ecuacin (2),
tambin mediante la aplicacin sucesiva del mtodo de las
distribuciones derivadas. Para realizar esta tarea, primero se
agrupan las variables relacionadas al almacenaje de la ecuacin (2)
de la siguiente forma:
Y = max[R U,0] (17)
donde se introduce la variable U = T + qtR
La variable U define la capacidad de total de almacenaje que se
hace disponible durante la duracin de la tormenta presente (tR),
consistiendo de la capacidad disponible al comenzar el evento y
aquella adicional que se produce mediante la sustraccin de agua
(q).
Se ha postulado una distribucin exponencial para la duracin de
la tormenta, caracterizada por el parmetro , en este caso. A su
vez, se puede definir una variable D = qtR,y as definir la variable
U como U = T + D. Siendo D una sencilla funcin lineal de la duracin
de la tormenta, la distribucin de esta variable se puede
representar como:
( ) dqD eadf = d 0 (18)
La derivacin de la distribucin de U se complica por el hecho de
que T es una variable mixta. La derivacin se desarrolla utilizando
la relacin P[U u] = P[T + D u] y definiendo las regiones apropiadas
para la integracin de las distribuciones marginales de las
variables T y D. Considerando el dominio de T, se definen las
regiones U b y U > b
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12 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e
Infraestructura Civil. Vol. 9(1-2)
para la distribucin de esta variable. Para la primera de estas
regiones (U b), la cumulativa de U se obtiene de la relacin
dtdddftfuF Du
0t
tu
0dTU )()()( = == 0 u b (19)
Utilizando las distribuciones apropiadas, se obtiene la
siguiente expresin para la distribucin cumulativa en el dominio
indicado para 0 u b:
( )( ) ( )( ) ( )( )u
q2
uua2
u eqaqCqe
qaCe
aqaCaCuF
+=)( (20)
En la derivacin de la otra parte del dominio (U > b), se
utiliza la siguiente expresin:
[ ] [ ]buDPbTPdtdddftfuF Du0t
tu
0dTU =+= = = )()()( u > b (21)
Utilizando las distribuciones indicadas, se obtiene la
integracin en la parte del dominio correspondiente a U > b:
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )( )bu
qbbu
qu
a2u
q2
u eqaaqaqCe
qaCae
qaqCq1uF
++=
)(
(22)
para u > b
La derivada de la distribucin cumulativa permite obtener la
densidad de probabilidad de la variable U. Esta operacin obtiene la
siguiente distribucin, en la cual se han agrupado los coeficientes
para simplificar las expresiones:
++=
bueK
bu0eKeKeKuf
bq
1
uq
4u
3u
a2
U
;
;)(
(23)
Las constantes de la distribucin (23) agrupan combinaciones de
parmetros del modelo y se definen de la siguiente forma:
( )( )aqaCaK2
= (24)
( )( )
= qaCK3 (25)
( )( )
= qaqCaK4 (26)
bq
3
bqa
241 eKqaqaqeK
qaKK
+++=
(27)
Las constantes de las ecuaciones (24) a (27) combinan los
parmetros del proceso hidrolgico y las variables de diseo del
sistema. Con la distribucin de U, solamente restara derivar la
distribucin del trmino R U. La variable R representa la acumulacin
de escorrenta que produce la tormenta. Aunque sera necesario
obtener las estadsticas de la escorrenta para definir esta
variable, esto sera muy difcil en la prctica, particularmente para
las reas urbanas. Debido a que las estadsticas de la lluvia son ms
accesibles, es ms conveniente expresar R en trminos de una
transformacin sencilla de la precipitacin, similar en naturaleza al
Mtodo Racional. A tales fines, se presume que la escorrenta puede
expresarse como R = CP, donde C describe cierto coeficiente de
escorrenta y P representa la variable de la acumulacin de
precipitacin de la tormenta, la cual se ha presumido sigue una
distribucin exponencial con parmetro . Dicha
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Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura
Civil. Vol. 9(1-2) 13
representacin es ms apropiada para reas urbanizadas pequeas. En
localizaciones donde existan estadsticas de escorrenta, stas pueden
representarse en el modelo utilizando C = 1 y dejando que el
parmetro de la precipitacin represente dicho proceso.
En base a la variable exponencial de precipitacin, la densidad
de probabilidad de la escorrenta se deriva como
rC
R eCrF
=)( ; r 0 (28)
donde es el parmetro de la distribucin, definido por el inverso
del promedio poblacional de la acumulacin de precipitacin para cada
tormenta (mm-1).
Es conveniente transformar aun ms la expresin (17) para resaltar
la relacin entre el desborde de escorrenta y la capacidad de
almacenaje del sistema de retencin. Para lograr esto se define la
nueva variable S = R U, donde S sera el negativo del espacio de
almacenaje disponible al finalizar la tormenta. Valores negativos
de S representan la situacin donde la escorrenta no alcanza a
llenar el almacenaje y por consiguiente no habra desborde. Por esta
razn la variable de desborde puede expresarse como:
Y = max[S, 0] (29)
Como indica la expresin (29), valores negativos de S no
produciran desborde, mientras que valores positivos de S definen la
magnitud del desborde de escorrenta. La variable S podra tambin
representar la capacidad de almacenaje disponible si sta se
representa como S = U R, entonces el desborde se definira como Y =
R. Esta ltima definicin no es til en nuestro caso y, por
consiguiente, se utiliza la definicin original.
La derivacin de la distribucin de densidad de la variable S es
compleja debido a la interaccin de los dominios de las variables R
y U. Afortunadamente, no es necesario definir dicha distribucin en
todo su dominio por la razn que el desborde Y solamente exceder
cero para valores positivos de S. Es necesario definir la
distribucin slo para valores positivos del desborde. La razn de
esta simplificacin obedece al hecho de que se pretende finalmente
obtener la esperanza de Y, la cual debido a la naturaleza mixta de
la variable pesara el valor Y = 0 con la probabilidad de que S 0.
La expresin de la esperanza de Y tendra la siguiente forma:
[ ] ( ) [ ]0SP0dyysfyYE0y
+= = + (30)Aunque solamente hara falta definir la densidad de S
en la regin mayor de cero, aun as se deriv la distribucin
completa para verificar la correspondencia en los lmites del
dominio de la variable. Para el propsito del estudio solamente se
presentar la parte correspondiente al dominio positivo de la
distribucin. Utilizando la formulacin de las distribuciones
derivadas, la distribucin cumulativa del rango positivo de la
variable S se obtiene de la siguiente expresin:
( ) ( ) ( ) dudrrfufdudrrfufsF R
bu
su
0rbuUR
b
0u
su
0rbuU0SS )()()()()( = += >= += > += ; s > 0 (31)
Insertando las distribuciones apropiadas para las variables U y
R en el integral anterior, se obtiene la siguiente expresin para la
distribucin cumulativa del rango positivo de S:
( )s
Cs0sS eK1sF
> =)( ; s > 0 (32)
donde b
qC1b
qC4b
C3b
aC25 eCq
qCKe1Cq
qCKe1C
CKe1Ca
aCKK
+
+
+
+
++
++
++
+=
(33)
El trmino K5 incluye los parmetros del proceso hidrolgico y las
variables de diseo del sistema de retencin de
escorrenta. Los trminos K1, K2, K3 y K4 han sido definidos en
las expresiones (24) a (27).
-
14 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e
Infraestructura Civil. Vol. 9(1-2)
La densidad de probabilidad de la variable S se obtiene
derivando la expresin de la distribucin cumulativa (32):
( )s
Cs0sS eKC
sf
> =)(
; s > 0 (34)
Debido a que el desborde Y es equivalente a S en el dominio de
la distribucin de esta variable, la distribucin del desborde se
obtiene directamente de la relacin fY(y) = fS(S>0)(y). Cabe
notar que la distribucin de Y es de naturaleza mixta, con una
probabilidad de masa en P[Y = 0]. La expresin para esta
probabilidad no nos concierne debido a que en la determinacin de la
esperanza de Y, sta estara multiplicada por Y = 0, como se define
en la expresin (30).
Finalmente, se evala la expresin (30) haciendo uso de la
distribucin en la expresin (34). Realizando esta operacin, se
obtiene:
[ ] sKCYE = (35)La esperanza de Y se combina con la esperanza de
la cantidad de escorrenta para definir la eficiencia
operacional
del sistema mediante la expresin (1). La esperanza de la
acumulacin de escorrenta se obtiene con la distribucin (28):
[ ]s
CRE = (36)
La esperanza de R indica que la escorrenta es funcin del
coeficiente que transforma la precipitacin en escorrenta. Si
existen las estadsticas del proceso de escorrenta, obviando la
necesidad de transformar las de la lluvia, entonces un coeficiente
C = 1 permitira utilizar los datos de la escorrenta para definir el
parmetro en base a este proceso.
Utilizando las expresiones (35) y (36), la eficiencia en la
captura de escorrenta definida en la expresin (1) se obtiene
como
= 1 - K5 (37)donde K5 est definida por la expresin (33).
La naturaleza de se relaciona directamente con el concepto del
riesgo hidrolgico, el cual para nuestros fines se define como P[Y
> 0], o sea, la probabilidad de que ocurra el desbordamiento del
sistema de almacenaje durante cierta tormenta, la cual est
relacionada a los parmetros del proceso y las especificaciones de
diseo del sistema, ya sea de su capacidad y la tasa de extraccin de
agua que se utilice en ste. Utilizando la distribucin obtenida para
el desborde, el riesgo estara definido como
P[Y > 0] = 1 - FY(Y>0) (0) (38)
La evaluacin de la expresin (38) obtiene
P[Y > 0] = KS (39)
Se aprecia que la eficiencia operacional del sistema, definida
por la expresin (37), se relaciona directamente con el riesgo de
desborde del sistema de almacenaje. La eficiencia operacional a
largo plazo del sistema corresponde al riesgo de desborde. Un
resultado similar haba sido obtenido por Loganathan et al. (1985).
La evaluacin de este riesgo es completamente analtica y slo
requiere la solucin de la expresin (33). Dicha formulacin es amena
para utilizarse en modelos de planificacin y optimizacin ya que
provee una relacin tecnolgica que puede resolverse prontamente.
A continuacin se discute la validacin del modelo y varias
aplicaciones.
-
Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura
Civil. Vol. 9(1-2) 15
VALIDACIN DEL MODELO
La validacin del modelo estadstico con datos reales requiere un
historial extenso de mediciones de campo en facilidades existentes.
Lamentablemente, una vez construidos, el monitoreo de dichos
sistemas es limitado y fragmentado. Es por esta razn que el diseo
de un sistema de almacenaje frecuentemente se realiza mediante la
simulacin numrica con una serie histrica de lluvia. La serie de
lluvia puede consistir de datos horarios dentro de un periodo de un
ao o ms. Los modelos Storm Water Management Model (SWMM) y Storm
Water Runoff Model (STORM) han sido utilizados extensamente para
simulaciones detalladas de sistemas de manejo de escorrenta. Los
resultados de dichas simulaciones permiten obtener los parmetros
del funcionamiento del sistema y a la vez analizar su eficiencia
operacional para varias alternativas de diseo. Estudios
representativos de este enfoque han sido realizados por la
Environmental Protection Agency (1986), Goforth et al. (1983), Nix
(1982) y Heany et al. (1979). El modelo probabilstico puede
validarse mediante la comparacin con los resultados de este tipo de
estudio.
Un caso especial del modelo general puede validarse con los
resultados de los estudios de Nix (1982) y Goforth et al. (1983).
El estudio de Nix se realiz con el modelo SWMM, con datos de
precipitacin de la ciudad de Minneapolis, en el estado de
Minnesota, mientras que aquel de Goforth et al. utiliz el modelo
STORM, basndose en datos climatolgicos de la ciudad de Atlanta, en
el estado de Georgia.
Aplicacin a Minneapolis
La aplicacin del modelo probabilstico a los resultados de la
simulacin detallada de un sistema de retencin de escorrenta pluvial
en Minneapolis (Nix, 1982) requiere ciertas simplificaciones para
atemperar el modelo a la conceptualizacin del sistema utilizado en
la simulacin. El sistema utilizado en la simulacin consisti de un
rea urbana contribuyente a una unidad de retencin de la cual se
sustraa agua a una tasa constante mediante el bombeo. El sistema se
simul con la lluvia horaria de un ao representativo. Se utiliz un
modelo lineal sencillo para la transformacin de lluvia en
escorrenta. El anlisis de la serie resultante de eventos permiti
extraer las estadsticas del proceso, las cuales se utilizan para
definir los parmetros del modelo probabilstico. El anlisis del
ciclo de vaciado y llenado del almacenaje sirvi para determinar el
parmetro operacional de la eficiencia de captura de escorrenta para
numerosas combinaciones de las variables de diseo del sistema.
La conceptualizacin del sistema utilizado en la simulacin de
Minneapolis puede representarse en el modelo probabilstico
presumiendo una sustraccin uniforme de agua del almacenaje en todo
tiempo. En el modelo probabilstico, esta sustraccin uniforme puede
expresarse como q = a, o sea, que se extrae agua a una tasa
constante (a) durante todo el tiempo. Tambin, considerando el hecho
de que las estadsticas del mismo proceso de escorrenta estn
disponibles, es innecesario recurrir a la transformacin de lluvia
en escorrenta descrita por el parmetro C, el cual puede disponerse
como C = 1 en el modelo. Los trminos del modelo probabilstico, las
expresiones (24) a (27), y luego (33), se simplifican a los
siguientes:
( ) ba3
ab
221 eKaeKKK
+++=
(40)
( )( )
= aCK2 (41)
( )( )
= qaCK3 (42)
K4 = K2 (43)
( )[ ] ba1ba2b3ba25 eaaKe1aaKe1Ke1aaKK
+
++
+
++
++++
+=
(44)
Las expresiones (40) a (44) comparan con aquellas obtenidas por
Segarra and Loganathan (1992), aunque la
formulacin de los autores se bas en la presuncin de un nivel de
almacenaje conocido disponible en la unidad al finalizar la
tormenta en la etapa n-1. En el modelo propuesto, dicho estado es
variable y la posibilidad de cierto nivel est determinada por el
parmetro . Aun as, los resultados obtenidos en las formulaciones
anteriores, para sistemas presumiblemente vacos o llenos en la
etapa n-1, pueden aproximarse considerando los lmites establecidos
en las
-
16 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e
Infraestructura Civil. Vol. 9(1-2)
expresiones (7) y (9), reflejando una alta probabilidad de que
la unidad haya finalizado llena o vaca para el evento anterior.
En los resultados de la simulacin detallada presentada por Nix
(1982) se presentan los resultados en forma de las denominadas
isocuantas (isoquants), un trmino aplicado a las grficas de la
relacin entre la capacidad de almacenaje y la tasa de sustraccin de
agua que produzcan un nivel especfico de eficiencia de captura de
escorrenta. De esta forma, es posible estimar cul sera la
eficiencia operacional de cualquier combinacin de las variables de
diseo de un sistema de retencin.
Aunque se desconozca el estado inicial del sistema de
almacenaje, por ste ser una variable dinmica del proceso, el
parmetro permite construir las isocuantas que enmarcan las posibles
representaciones del sistema basado en los lmites establecidos en
las expresiones (7) y (9) ya que stas representan los lmites
operacionales del mismo.
El sistema simulado en Minneapolis consisti de un rea de
captacin sencilla, de unos 2.6 km2. El rea drena directamente hacia
la unidad de retencin de escorrenta. Se simul el sistema mediante
una transformacin lineal entre la lluvia horaria y la escorrenta,
con tormentas de cierto ao cuyas estadsticas de muestra eran
comparables a las de la serie total registrada. El anlisis de los
resultados de la escorrenta produjeron las estadsticas que se
ilustran en la siguiente tabla:
Tabla 1: Estadsticas de la escorrenta de Minneapolisa.
Variable Magnitud C.V.b Promedio de acumulacin de escorrenta,
E[R] 2.24 mm 1.40 Promedio de duracin de las tormentas, E[tR] 7.3
hr 1.10 Promedio de tiempo entre tormentas, E[te] 90.9 hr 0.96
a-adaptadas de Nix (1982); b- coeficiente de variacin
Las variables cuyas estadsticas se presentan en la Tabla 1 son
representadas en el modelo probabilstico por las
variable R, tR y te, respectivamente. Los parmetros asociados a
estas variables corresponden a = 0.446 mm-1, = 0.137 hr-1 y = 0.011
hr-1, respectivamente. La magnitud de estos parmetros se obtiene
del inverso de las magnitudes presentadas en la Tabla 1. El
coeficiente de variacin permite evaluar cun apropiado sera
describir la variable hidrolgica por una distribucin exponencial
(C.V. = 1). En el caso de la acumulacin de escorrenta, el
coeficiente presentado indica que esta variable podra tal vez no
representarse adecuadamente por una exponencial, con la salvedad de
que se trata de una muestra y no de la poblacin de dicha variable.
En el caso de los tiempos, la presuncin de exponencial es ms
adecuada.
La aplicacin del modelo consiste de la solucin de las
expresiones (37) y (44), incluyendo las constantes incluidas en
esta ltima. Considerando que las expresiones son analticas, es
posible aplicar cierto algoritmo matemtico para resolverlas
explcitamente. En este caso se utiliz una hoja de clculo
electrnica, universalmente disponible, para resolver las ecuaciones
mediante un algoritmo sencillo en el cual inicialmente se fijaba el
valor de la variable de la tasa de sustraccin, para luego obtener
mediante iteracin el valor correspondiente de la capacidad de
retencin para el nivel de eficiencia estipulado. De esta forma se
generaron las isocuantas para compararlas con aquellas obtenidas de
la simulacin detallada.
Para enmarcar los posibles lmites de las isocuantas y as
reflejar las condiciones determinsticas utilizadas en estudios
anteriores, solamente se generaron las correspondientes a las
condiciones extremas, enmarcadas por los lmites (para obtener
E[Z]/b 1) y (para obtener E[Z]/b 0). Los valores actuales empleados
para estos lmites de en la simulacin corresponden a {-2000, 5000}.
Los resultados, para varios niveles de eficiencia () se presentan
en las Figuras 2 a 3, comparados con los resultados del estudio de
Minneapolis.
Para facilitar la presentacin de los resultados del modelo, las
magnitudes de las variables de diseo a y b han sido normalizadas
para lograr una representacin no-dimensional de las isocuantas. La
variable de la tasa de sustraccin a ha sido normalizada por la razn
Qo = E[R]/E[te], la cual es equivalente a , en trminos de los
parmetros del modelo. A su vez, la variable de la capacidad de
almacenaje b ha sido normalizada por el promedio de la escorrenta,
E[R].
Los resultados presentados en las Figuras 2 y 3 son similares a
aquellos obtenidos por Segarra and El Basha (1992), demostrando que
el modelo probabilstico refleja adecuadamente los extremos de
estado del sistema. Los resultados del modelo comparan
favorablemente con aquellos de la simulacin detallada en el sentido
que enmarcan, en gran medida,
-
Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura
Civil. Vol. 9(1-2) 17
el rango de posibilidades de las variables de diseo para cierta
eficiencia. Para ms detalles sobre la comparacin de los resultados,
se refiere al lector a la literatura anteriormente citada.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 2 4 6 8 10 12
Capacidad de Almacenaje, b/E[R]
Tasa de Sustraccin, a/Qo
Resultados del modelo SWMM
Lmite superior, para condicin ? ? 8
Lmite inferior, para condicin ? ? - 8
Figura 2: Comparacin del modelo probabilstico con resultados de
simulacin para Minneapolis, con eficiencia = 50%.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 1 2 3 4 5 6 7
Capacidad de Almacenaje, b/E[R]
Tasa de Sustraccin, a/Qo
Resultados del modelo SWMM
Lmite superior, para condicin ? ? 8
Lmite inferior, para condicin ? ? - 8
Figura 3: Comparacin del modelo probabilstico con resultados de
simulacin para Minneapolis, con eficiencia = 80%.
-
18 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e
Infraestructura Civil. Vol. 9(1-2)
Vale indicar que las isocuantas convergen para valores altos de
la tasa de sustraccin debido a que en dicha regin no hara
diferencia el estado del sistema al finalizar la tormenta anterior.
Para razones de sustraccin ms pequeas existe una marcada
diferenciacin en las isocuantas del modelo probabilstico debido a
que el estado del sistema al finalizar la tormenta previa ejerce
una mayor influencia sobre el requerimiento de almacenaje del
sistema. Valores intermedios de produciran isocuantas ms cercanas a
las curvas experimentales, las cuales reflejan toda la dinmica del
proceso.
La regin de las isocuantas diagonalmente ms cercana al origen de
los ejes de coordenadas es la de mayor inters prctico debido a que
en esta regin existiran los diseos de menor costo (Segarra and El
Basha, 1996). Es precisamente en dicha regin que se obtiene una
mejor comparacin del modelo probabilstico con la simulacin, en
trminos de enmarcar las posibles soluciones del sistema.
Aplicacin a Atlanta
El modelo probabilstico se compara con otra simulacin similar a
la de Minneapolis. En este caso para la ciudad de Atlanta, en el
estado de Georgia. Dicha simulacin fue realizada por Goforth et al.
(1983), utilizando el modelo SWWM y aplicndolo a un rea de captacin
de 0.1 km2. Para la simulacin de un ao de lluvia, se obtuvieron las
estadsticas del proceso de escorrenta que se muestran en la Tabla
2.
Tabla 2: Estadsticas de la escorrenta de Atlantaa.
Variable Magnitud C.V.b
Promedio de acumulacin de escorrenta, E[R] 5.66 mm 1.10
Promedio de duracin de las tormentas, E[tR] 6.89 hr 1.12
Promedio de tiempo entre tormentas, E[te] 124.3 hr 0.94
a-adaptadas de Goforth et al. (1983); b- coeficiente de
variacin
El mismo procedimiento utilizado en la ilustracin de Minneapolis
se aplica aqu. En este caso, el coeficiente de variacin para la
escorrenta es ms cercano al de la exponencial que aquel de
Minneapolis.
Para esta aplicacin, se computan las isocuantas para un solo
nivel de eficiencia, pero ahora variando el parmetro del estado
inicial del sistema. Se aaden dos isocuantas intermedias, una
definida por = 0.001 (implicando una unidad con una distribucin
uniforme de estado inicial), y la otra para = 7.0, la cual refleja
un rango de estado inicial, definido por E[Z]/b, entre 0.22 y 0.33,
implicando que la unidad de retencin tendra, inicialmente, menos de
una tercera parte de su capacidad disponible, en promedio. Al igual
que la aplicacin anterior, los resultados presentados por Goforth
et al. (1983) tambin han sido normalizados para presentarlos en la
Figura 4.
Se aprecia en la Figura 4 una excelente comparacin con los
resultados de la simulacin. La correspondencia de la curva de
simulacin con aquella del modelo para = 7.0 sugiere que el sistema
estara, la mayor parte del tiempo, con menos de la mitad de la
capacidad de almacenaje disponible. Esto se debe a que la isocuanta
para este valor del parmetro se ubica sobre aquella correspondiente
a la mitad de la capacidad disponible ( 0). Estos resultados
comparan con aquellos obtenidos por Loganathan et al. (1985), pero
con la diferencia que el modelo probabilstico propuesto permite una
mejor evaluacin de las caractersticas operacionales del sistema,
como ilustran las siguientes aplicaciones.
-
Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura
Civil. Vol. 9(1-2) 19
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 2 4 6 8 10
Capacidad de Almacenaje, b/E[R]
Tasa de Sustraccin, a/Qo
Resultados del modelo SWMM
Lmite inferior, para condicin ? ? - 8
Condicin de distribucin uniforme, con ? ? 0
Condicin intermedia, con ? = 7.0
Lmite superior, para condicin ? ? 8
Figura 4: Comparacin del modelo probabilstico con resultados de
simulacin para Atlanta, con eficiencia = 80%.
Evaluacin de la confiabilidad de un sistema de retencin
La utilidad prctica del modelo probabilstico reside en la
capacidad de estimar la confiabilidad de alternativas de diseo de
un sistema de manejo de escorrenta. El diseo del sistema consiste
de la determinacin de los valores de las variables de sustraccin a
y q, y la variable de la capacidad de almacenaje b. La
confiabilidad del diseo se determina en trminos del rango de la
eficiencia en la captura de escorrenta que provee una combinacin
particular de sustraccin y capacidad de almacenaje en un sistema de
retencin. El rango se evala considerando las condiciones extremas
definidas por el parmetro y discutidas anteriormente.
Una forma prctica de representar el rango de confiabilidad de un
diseo consiste en fijar la capacidad de almacenaje del sistema y
luego evaluar la confiabilidad para distintos valores de la tasa de
sustraccin. Utilizando los parmetros y la configuracin de la
simulacin de Atlanta discutida anteriormente, se evala la
confiabilidad del sistema para un diseo con una capacidad de
retencin de 12.7 mm (0.5 pulg.). El procedimiento consiste en
evaluar la eficiencia de captura de escorrenta variando la
sustraccin para las condiciones extremas de una unidad con alta
probabilidad de estar inicialmente vaca ( ) o inicialmente llena (
). Los resultados de dicho anlisis se presentan en la Figura 5.
-
20 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e
Infraestructura Civil. Vol. 9(1-2)
30
40
50
60
70
80
90
100
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Eficiencia , ? (%)
Tasa de Sustraccin, a/Qo
Lmte superior de eficiencia Lmite inferior de eficiencia
Figura 5: Confiabilidad del sistema de retencin en Atlanta para
capacidad de almacenaje b = 12.7 mm.
Los resultados de la Figura 5 ilustran la confiabilidad del
sistema en base a los lmites de eficiencia del diseo del sistema de
retencin. Para valores bajos de la tasa de sustraccin, se observa
una posible alta variabilidad en la eficiencia potencial del
sistema, demostrando poca confiabilidad en el sentido que existe
una posibilidad razonable, considerando la banda del lmite inferior
de eficiencia, de que ocurra un desbordamiento. Los lmites de
eficiencia convergen al incrementar la tasa de sustraccin,
proveyendo una mayor confiabilidad al diseo y por ende un menor
nivel de riesgo.
Altos niveles de confiabilidad implicaran un mayor costo de las
facilidades de sustraccin. El diseador escogera aquella combinacin
de tasa de sustraccin y capacidad de almacenaje que provea una
confiabilidad deseable, cuyo nivel no necesariamente reflejara
consideraciones de costo. Consideraciones de otro tipo,
particularmente ambientales, no enteramente cuantificables en
trminos monetarios, podran fijar el nivel de confiabilidad deseado
para dichos sistemas.
APLICACIONES DEL MODELO GENERAL
Diseo con tasas de sustraccin distintas
Las aplicaciones ilustradas han considerado un caso especial del
modelo probabilstico. En esta seccin se consideran aplicaciones del
modelo general, descrito por las expresiones (33) y (37).
Primeramente se discute una aplicacin en la cual las razones de
sustraccin durante el tiempo entre tormentas y durante la duracin
de la tormenta actual son distintas (a q). La tasa de sustraccin a
puede representar infiltracin u otro proceso de remocin que aplique
durante el tiempo entre tormentas, mientras que q puede representar
bombeo o la descarga promedio controlada del sistema durante la
tormenta. Se considera la situacin en la cual se pretende
determinar qu tasa de sustraccin q sera recomendable ejercer
durante el evento y cmo sta afecta la capacidad del sistema para
cierta eficiencia operacional. Aplicando el modelo, se puede
establecer la relacin entre la capacidad de almacenaje y la tasa de
sustraccin. Con el fin de ilustrar esta aplicacin, para un rea
hipottica, se han definido los parmetros presentados en la Tabla
3:
-
Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura
Civil. Vol. 9(1-2) 21
Tabla 3: Parmetros para rea hipottica.
Parmetro Magnitud C 0.9 70% 0.079 mm1 0.5 hr1 0.017 hr1 a 0.13
mm/hr
Los datos de la tabla describen un rea urbanizada para la cual
se planifica un sistema de retencin donde se pretende lograr un 70%
de eficiencia en la intercepcin de la escorrenta pluvial. En este
sistema se proveer una sustraccin uniforme de 0.13 mm/hr (siempre
que exista escorrenta acumulada), la cual podra incrementarse
mediante bombeo durante la ocurrencia de las tormentas. El modelo
representado por las expresiones (33) y (37) se resuelve fijando
los valores de la capacidad b, la eficiencia y luego resolviendo
por la sustraccin q. La solucin obtenida se presenta en la Figura
6.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0 10 20 30 40 50 60
Capacidad de Almacenaje, b/E[R]
Tasa de Sustraccin Relativa, q/a
Figura 6: Variacin de requerimiento de almacenaje con tasa de
sustraccin relativa, para eficiencia = 70%.
En la Figura 6, los resultados obtenidos para la sustraccin q
han sido normalizados por la sustraccin durante el tiempo entre
tormentas. De esta forma se representa la magnitud relativa de
estas variables y como afectan la capacidad del sistema. Se aprecia
la razn decreciente entre la tasa de sustraccin y la capacidad de
almacenaje requerida para mantener la eficiencia operacional
estipulada. La generacin de estas relaciones permitira desarrollar
alternativas para escoger la mejor combinacin de sustracciones de
acuerdo a las consideraciones de diseo del sistema bajo
consideracin. El siguiente ejemplo ilustra la utilizacin de
resultados como los presentados en la Figura 6:
Se desea disear una charca de retencin con una eficiencia
estimada de 70% para manejar la escorrenta proveniente de un
desarrollo de 0.02 km2. Debido a la posible sedimentacin, se estima
que existir solamente una pequea capacidad de infiltracin en esta
unidad, consistiendo de 0.13 mm/hr. Se considera proveer una tasa
de sustraccin de escorrenta durante las tormentas, mediante bombeo,
equivalente a q/a = 30. Para esta tasa, la Figura 6 sugiere la
capacidad expresada por b/E[R] = b = 0.78. La capacidad de
almacenaje requerida estara dada por b =
-
22 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e
Infraestructura Civil. Vol. 9(1-2)
0.78/ = 9.9 mm. Considerando el rea contribuyente, el volumen de
capacidad de la charca se obtendra como brea = 198 m3. De la misma
forma, la tasa de bombeo requerida se obtiene como qrea = 0.022
m3/s.
Primordialmente, el modelo probabilstico permite la estimacin
del riesgo hidrolgico asociado a un diseo de un sistema de
retencin, en cuya evaluacin tambin podran incorporarse
observaciones de campo sobre el estado usual del sistema. Este
aspecto del modelo se ilustra en la siguiente aplicacin:
Aplicacin sobre la estimacin del riesgo hidrolgico para un
sistema de retencin
Cierto sistema de retencin de un sector urbanizado (C = 0.9)
posee una capacidad de almacenaje equivalente a b = 7.62 mm. La
unidad se ha desbordado varias veces en el pasado y se desea
evaluar su eficiencia operacional. El sistema provee para sustraer
agua, durante el tiempo entre tormentas, por infiltracin u otro
proceso a una capacidad nominal de a = 0.51 mm/hr. Durante la
ocurrencia de cualquier tormenta se activa una bomba con una
capacidad equivalente a q = 2.54 mm/r. Se ha observado a travs del
tiempo que usualmente, en promedio, el sistema se encuentra
aproximadamente a mitad de su capacidad al finalizar cualquier
evento. Para evaluar el riesgo hidrolgico considerando dicha
observacin de campo, se determina el valor de que produce el
resultado E[Z]/b = 0.50 en la expresin (6). Esta operacin obtiene =
0.01. El riesgo se computa mediante la expresin (39), siendo el
trmino K5 definido por la expresin (33). Utilizando la magnitud de
los parmetros hidrolgicos , , , definidos en la Tabla 3, se obtiene
para el riesgo P[Y > 0] = 37%. El riesgo computado refleja la
probabilidad de que ocurra cierta magnitud de desborde del sistema
para cada tormenta.
Anlisis del impacto de la impermeabilizacin sobre la
confiabilidad de un sistema de retencin
Finalmente, se ilustra una aplicacin que permite evaluar el
impacto de un desarrollo urbanstico sobre la eficiencia de una
unidad de retencin existente. Se logra esta evaluacin variando la
magnitud del coeficiente de escorrenta C. El efecto de la
impermeabilizacin de un terreno sera la reduccin de la eficiencia
operacional de la unidad.
En la aplicacin, se utilizan los parmetros hidrolgicos del rea
hipottica para un sistema de retencin con capacidad b = 17.8 mm y
razones de sustraccin a = q = 0.25 mm/hr. Se vara el coeficiente de
escorrenta entre aquel de un rea parcialmente desarrollada a una
casi completamente impermeabilizada. Los estados de almacenaje del
sistema se establecen variando el parmetro dentro del intervalo
{-200, 100}. La Figura 7 ilustra los resultados obtenidos con el
modelo probabilstico para las dos condiciones.
40
50
60
70
80
90
100
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Eficiencia, ? (%)
Esperanza de Capacidad de Almacenaje, E[Z]/b
Area completamente pavimentada (C = 1)
Area parcialmente pavimentada (C = 0.6)
Figura 7: Efecto de impermeabilizacin del rea contribuyente
sobre eficiencia operacional del sistema de retencin.
-
Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura
Civil. Vol. 9(1-2) 23
La eficiencia se ha relacionado con el valor normalizado del
promedio del la capacidad de almacenaje disponible al finalizar la
tormenta que precede la de diseo. De esta forma se evala todo el
rango de posibilidades de la eficiencia operacional del sistema de
retencin. A manera de ilustracin, si se impermeabiliza el rea que
sirve la unidad de retencin, la eficiencia mxima (para E[Z]/b = 1)
alcanzable de dicho sistema se reducira de 91% a solamente 76%.
Esta ltima compara con una eficiencia mnima de 68%, esperada para
la condicin original del rea.
Aunque es obvio que la impermeabilizacin reducira la
confiabilidad de cualquier sistema de retencin, la contribucin
particular del modelo propuesto consiste en permitir la
cuantificacin de dicho impacto sobre sus caractersticas
operacionales. Dicha capacidad permitira una mejor planificacin del
desarrollo urbanstico de un rea al incorporar el posible impacto de
tal accin sobre el sistema de manejo de escorrenta que pueda servir
a sta.
CONCLUSIONES
Se ha derivado un modelo probabilstico para el diseo y la
evaluacin operacional de sistemas de retencin de escorrenta que
considera la dinmica e incertidumbre del proceso hidrolgico
mediante una formulacin analtica que a la vez permite la pronta
evaluacin de alternativas de diseo para dichos sistemas. Las
variables de diseo se relacionan a los parmetros del proceso
hidrolgico que describen la ocurrencia, duracin y acumulacin de
precipitacin de tormentas. El modelo provee una herramienta prctica
para la evaluacin de alternativas de manejo de escorrenta en la
etapa de planificacin de un proyecto.
Uno de los aspectos ms significativos del modelo es que ste
provee para la evaluacin del riesgo y la confiabilidad asociada a
un diseo particular de un sistema de retencin. Se ha demostrado que
la medida de eficiencia operacional de un sistema se relaciona
directamente a su riesgo de desbordamiento. A su vez, la
confiabilidad de un sistema se ha evaluado en trminos del rango de
eficiencia operacional que resulta de variar la tasa de sustraccin
de escorrenta para cierta capacidad de almacenaje.
La comparacin de las isocuantas de almacenaje/sustraccin,
generadas para un caso particular de la metodologa, con aquellas
derivadas de resultados de simulaciones extensas con modelos
numricos result ser muy favorable, revelando un grado aceptable de
validacin para el modelo. La validacin del modelo general requerira
simulaciones ms complejas o la obtencin de datos de campo
levantados de facilidades existentes en donde se halla provisto un
monitoreo extenso del proceso.
El proceso simulado se condicion en el conocimiento de la
distribucin del estado del sistema previo a la ocurrencia de la
tormenta de inters. Los modelos existentes presumen cierto estado
de almacenaje fijo o estiman las probabilidades de estado en base a
la matriz estacionara de probabilidades de transicin, derivada de
la teora de las cadenas de Markov. Este ltimo procedimiento, aunque
tericamente vlido, no considera el efecto de ciertas variables
operacionales las cuales en la realidad ejercen un control
significativo sobre la dinmica del estado de almacenaje de un
sistema de retencin y por ende sobre su distribucin. La distribucin
propuesta en el estudio posee un alto grado de flexibilidad al
permitir la consideracin de todo el rango de estados de almacenaje
del sistema.
Investigaciones futuras podran reevaluar varios aspectos de la
metodologa propuesta para generalizar la formulacin bajo otras
consideraciones, con la salvedad de que modelos ms complejos
posiblemente se desarrollaran a expensas de la simplicidad
computacional del modelo original.
RECONOCIMIENTO
Se agradece los comentarios pertinentes del evaluador annimo
sobre el contenido y la redaccin del artculo y la colaboracin de la
estudiante Karen Gonzlez en el cotejo de la derivacin del
modelo.
Este trabajo est dedicado a la memoria del Dr. G. V. Loganathan,
mentor y amigo, trgicamente perdido en la masacre de Virginia
Tech.
SIMBOLOS
a = tasa de sustraccin de escorrenta durante el tiempo entre
tormentas, mm/hr b = capacidad de almacenaje de la unidad de
retencin, mm
-
24 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e
Infraestructura Civil. Vol. 9(1-2)
C = coeficiente de escorrenta D = cantidad de escorrenta
sustrada del sistema de retencin durante la tormenta, mm P =
acumulacin de lluvia de cierta tormenta, mm q = tasa de sustraccin
de escorrenta durante la duracin de la tormenta de diseo, mm/hr Qo
= E[R]/E[te], tambin equivalente a R = acumulacin de escorrenta de
cierta tormenta, mm S = capacidad de almacenaje del sistema de
retencin a finalizar la tormenta de diseo, mm T = capacidad de
almacenaje del sistema de retencin al inicio de la tormenta de
diseo, mm te = tiempo entre la ocurrencia de tormentas sucesivas,
hr tR = duracin de la tormenta de diseo, hr U = capacidad potencial
de almacenaje disponible en la unidad de retencin durante la
duracin de la tormenta de
diseo, mm V = cantidad de escorrenta sustrada del sistema de
retencin durante el tiempo entre tormentas, mm W = total de la
capacidad disponible en el sistema de retencin al finalizar la
tormenta anterior a la de diseo (Z) y el
volumen potencial extrado durante el tiempo entre tormentas
(ate),mm Y = cantidad de desborde del sistema de retencin para la
tormenta de diseo, mm = inverso del promedio de la acumulacin de
lluvia, mm1 = inverso del promedio de la duracin de las tormentas,
hr1 = inverso del promedio del tiempo entre tormentas sucesivas,
hr1 = parmetro de la distribucin de probabilidad de la capacidad de
almacenaje disponible en el sistema de retencin
al finalizar el evento anterior a la tormenta de diseo, mm1
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