Analisi delle Serie Temporali con R Guido Masarotto Facoltà di Scienze Statistiche Università di Padova [email protected]1 dicembre 2002 Indice 1 Introduzione 3 1.1 Avvertenze ...................................... 3 1.2 La biblioteca “ast” ................................... 3 2 Rappresentazione di una serie temporale 5 2.1 ts ............................................ 5 2.2 start, end, deltat, frequency ............................. 13 2.3 time, cycle ....................................... 14 2.4 window ........................................ 15 3 Diagrammi di autodispersione, stima della funzione di autocorrelazione, test di Ljung-Box e Box-Pierce 19 3.1 lag.plot ........................................ 19 3.2 acf ........................................... 20 3.3 Le linci canadesi ................................... 21 3.4 pacf .......................................... 22 3.5 Box.test ........................................ 26 1
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Analisi delle Serie Temporali con R - Sirio - Benvenutosirio.stat.unipd.it/files/ts02-03/tsR.pdfUna serie temporale può essere memorizzata in un vettore o, nel caso sia multiva-riata,
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Il parametro opzionale start serve per informare R dell’istante a cui deve essere
riferita la prima osservazione. Ad esempio, supponiamo che i valori contenuti in xsiano in realtà una serie storica annuale e che la prima osservazione sia da riferire al
Esercizio: Sempre utilizzando i valori in x, come possiamo costruire
- una serie temporale mensile la cui prima osservazione è stata presa nel giugno 1990;
- una serie temporale quadrimestrale che inizia con l’estate del 1721.
12
Esercizio: Si esplori l’utilizzo del parametro end.
2.2 start, end, deltat, frequency
Caratteristiche di una serie temporale
start(y): la data di “inizio” della serie yend(y): la data di “fine” della serie ydeltat(y): l’intervallo di tempo tra le osservazioni della serie yfrequency(y): il numero di osservazioni per unità di tempo per la serie y
Le funzioni nella tabella precedente possono essere utilizzate per “accedere” ad alcune
Esercizio: Come è possibile ottenere il grafico nel lucido 43?
Esercizio: I dati sulle linci catturate annualmente in Canada mostrati nel grafico sul
lucido 4 possono essere caricati con il comando
> data(lynx)
Usare lag.plot per disegnare i logaritmi di yt verso i logaritmi di yt−k con k =
1, . . . , 20 e commentare il grafico. In particolare, spiegare perchè il grafico ottenuto
suggerisce un comportamento ciclico con un periodo di 10 anni.
19
3.2 acf
acf(y, lag.max = NULL, . . . )
- y: serie temporale
- lag.max: sono calcolati i primi lag.max coefficienti
- . . . : altri argomenti o per il “sottosistema grafico” o di utilizzo meno comune (si
veda il manuale)
L’utilizzo di questa funzione è molto semplice. La funzione calcola le stime della funzio-
ne di autocorrelazione e, normalmente, ne produce un grafico. Ad esempio, il grafico
nel lucido 40 è stato ottenuto con il comando
> acf(nottem,120, ylim=c(-1,1))
Si noti l’uso di ylim per fissare “l’ampiezza” dell’asse delle ordinate.
Esercizio: Calcolare e commentare il correlogramma della serie delle linci catturate
in Canada.
Esercizio: Per simulare un white noise (vedi lucidi a pagina 27) gaussiano possiamo
utilizzare la funzione rnorm. In particolare, le seguenti istruzioni “generano” 300
osservazioni da una serie temporale incorrelata nel tempo, le disegnano e, sullo stesso
grafico, aggiungono la stima della funzione di autocorrelazione
> old <- par(mfrow=c(2,1))> y <- ts(rnorm(300))> plot(y)> acf(y)> par(old)
Ripeterle un certo numero di volte guardando ogni volta i risultati. Ripetere l’esercizio
utilizzando 30 come numerisità. Che cosa si nota di differente?
Esercizio: Le seguenti righe di istruzioni generano una serie temporale con un trend
lineare ed una componente erratica incorrelata e gaussiana e ne mostrano il grafi-
co e la funzione di autocorrelazione (stimata). Ripeterle un certo numero di volte
eventualmente cambiando i coefficienti della retta che descrive il trend.
20
> old <- par(mfrow=c(2,1))> a <- 10 #intercetta del trend> b <- 0.05 #coefficiente angolare del trend> y <- ts(rnorm(200)) #generiamo la componente erratica> y <- a+b*time(y)+y #aggiungiamo il trend lineare> plot(y)> acf(y)> par(old)
Esercizio: Le seguenti righe di istruzioni generano una serie temporale caratterizza-
ta dalla presenza di una componente periodica che si ripete ogni “12 mesi”. La serie
simulata viene disegnata e al grafico viene aggiunta la stima della funzione di autocor-
relazione. Ripeterle un certo numero di volte eventualmente cambiando l’ampiezza e
la frequenza della “componente stagionale”
> old <- par(mfrow=c(2,1))> a <- 5 #ampiezza della componente stagionale> f <- 12 #frequenza della componente stagionale> y <- rnorm(200) #generiamo la componente erratica> #e sommiamo quella "stagionale"> y <- ts(a*cos(2*pi*(1:length(y))/f)+y,frequency=f)> plot(y)> acf(y,60)> par(old)
3.3 Le linci canadesi
Svolgiamo brevemente i due esercizi precedenti sulle linci canadesi. Innanzitutto
“carichiamo” e disegnamiamo i dati
> data(lynx)> plot(lynx)
21
Il grafico è a pagina 4 nei lucidi.
I primi 20 diagrammi di autodispersione della serie originale e del logaritmo della
serie stessa possono essere ottenuti con i comandi
> lag.plot(lynx,20)> lag.plot(log(lynx),20)
I due grafici sono riportati rispettivamente nelle figure 3.4 e 3.5.
Innazitutto osserviamo come R quando le osservazioni non sono molte connetta i punti
con delle linee. Questo può essere evitato se si aggiunge il parametro do.lines=FALSEnella chiamata a lag.plot.
Le due figure mostrano chiaramente che le relazioni tra “passato” e “presente” sono
decisamente più lineari per la serie dei logaritmi. Guardando quindi la figura 3.5
osserviamo come la correlazione sia positiva al primo ritardo poi diventi negativa (in
particolare a ritardo 5 e 6) per poi ritornare positiva (con un massimo di “forza” della
relazione a ritardo 10) e poi nuovamente negativa. . . Questo comportamento è legato
alla presenza di una componente ciclica evidente nel grafico della serie e che ha un
periodo di circa 10 anni. Osservazioni di anni contigui tendono ad essere o ambedue
“grandi” o ambedue “piccole” e questo spiega la dipendenza osservata al primo ritardo.
Lo stesso vale per osservazioni distanti 10 anni. Mentre l’esatto opposto vale per
osservazioni distanti 5/6 anni: se una è nella fase “alta” del ciclo l’altra sarà in quella
“bassa” e viceversa.
Per ottenere le stime dei primi 20 coefficienti di autocorrelazione possiamo utilizzare
il comando
> acf(log(lynx),20)
Si osservi che continuamo a lavorare con la serie trasformata. La figura 3.6 mostra il
grafico. Il tipo di dipendenza prima descritto diventa ancora più evidente.
3.4 pacf
pacf(y, lag.max = NULL, . . . )
- y: serie temporale
- lag.max: sono calcolati i primi lag.max coefficienti
- . . . : altri argomenti come per acf
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lag 1
lynx
123 45
6
7
8
9
10
11121314 15
1617
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202122232425
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2728
2930313233
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3637
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39404142
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44
45
46
47
48495051
52
535455
565758596061 62
63
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65
66
676869707172 73
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7576
77787980
8182
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8485
86
87
888990
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92
9394 95
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979899100101102
103
104
105106
107
108109110111
112
113
020
0050
00
0 2000 6000
lag 2
lynx
12 3 45
6
7
8
9
10
111213 1415
1617
18
19
202122232425
26
2728
29303132 33
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35
3637
38
394041 42
43
44
45
46
47
484950 51
52
535455
5657585960 61 62
63
64
65
66
6768697071 72 73
74
7576
77787980
8182
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8485
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87
888990
91
92
939495
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979899100101 102
103
104
105106
107
108109110111
112
lag 3
lynx
1 2 3 45
6
7
8
9
10
1112 1314 15
1617
18
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20212223 2425
26
2728
293031 32 33
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35
3637
38
3940 41 42
43
44
45
46
47
4849 5051
52
535455
56575859 60 61 62
63
64
65
66
67686970 71 7273
74
7576
777879 80
8182
83
8485
86
87
88 8990
91
92
939495
96
979899100 101 102
103
104
105106
107
108109 110111
0 2000 6000
lag 4
lynx
1 2 3 45
6
7
8
9
10
111213 1415
161718
19
202122 232425
26
2728
2930 31 3233
34
35
3637
38
3940 41 42
43
44
45
46
47
48495051
52
535455
565758 59 60 6162
63
64
65
66
676869 70 717273
74
7576
7778 79 80
8182
83
8485
86
87
88 899091
92
939495
96
9798 99 100 101102
103
104
105106
107
108 109110
lag 5
lynx
1 2 345
6
7
8
9
10
1112 131415
161718
19
2021 2223242526
2728
2930 313233
34
35
3637
38
3940 4142
43
44
45
46
47
48495051
52
535455
5657
58 59 606162
63
64
65
66
6768 69 70717273
74
7576
7778 7980
8182
83
8485
86
87
888990
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92
939495
96
9798 99 100101102
103
104
105106
107
108109
lag 6
lynx
1 2345
6
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8
9
10
1112131415
161718
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20 2122232425
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2728
2930313233
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3637
38
39404142
43
44
45
46
47
48495051
52
535455
5657
58 59606162
63
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65
66
6768 6970717273
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7576
77787980
8182
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8485
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87
888990
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939495
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9798 99100101102
103
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lag 7
lynx
12345
6
7
8
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1617
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20212223242526
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36 37
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39404142
43
44
45
46
47
48495051
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535455
5657
5859606162
63
64
65
66
67686970717273
74
7576
77787980
8182
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8485
86
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88 8990
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939495
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979899100101102
103
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105106
107
lag 8
lynx
12345
6
7
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9
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1112131415
1617
18
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202122232425
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2930313233
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36 37
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39404142
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44
45
46
47
48495051
52
535455
5657
5859606162
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65
66
67686970717273
74
7576
77787980
8182
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8485
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87
88899091
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9394 95
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979899100101102
103
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105106
020
0050
00
lag 9
lynx
12345
6
7
8
9
10
1112131415
1617
18
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202122232425
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2728
293031323334
35
36 37
38
39404142
43
44
45
46
47
4849505152
53 5455
5657
5859606162
63
64
65
66
67686970717273
74
7576
77787980
8182
83
8485
86
87
88899091
92
9394 95
96
979899100101102103
104
105
020
0050
00
lag 10
lynx
12345
6
7
8
9
10
1112131415
1617
18
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202122232425
26
2728
2930313233
34
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3637
38
39404142
43
44
45
46
47
48495051
52
53 5455
5657
5859606162
63
64
65
66
676869707172 73
74
7576
77787980
8182
83
8485
86
87
88899091
92
9394 95
96
979899100101102
103
104
lag 11
lynx
1234
5
6
7
8
9
10
1112131415
1617
18
19
20212223 242526
2728
29303132 33
34
35
3637
38
394041 42
43
44
45
46
47
48495051
52
53 5455
56575859606162
63
64
65
66
6768697071 72 73
74
7576
77787980
8182
83
8485
86
87
88899091
92
939495
96
979899100101 102
103
lag 12
lynx
123 4
5
6
7
8
9
10
11121314 15
1617
18
19
202122 23 2425
26
2728
293031 32 33
34
35
3637
38
3940 4142
43
44
45
46
47
484950 51
52
535455
565758596061 62
63
64
65
66
67686970 71 7273
74
7576
777879 80
8182
83
8485
86
87
888990
91
92
939495
96
979899100 101102
lag 13
lynx
123 4
5
6
7
8
9
10
111213 1415
161718
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2021 22 232425
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2728
2930 31 32 33
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3637
38
39404142
43
44
45
46
47
4849 50 51
52
535455
5657585960 61 62
63
64
65
66
676869 70 717273
74
7576
7778 79 80
8182
83
8485
86
87
888990
91
92
939495
96
979899 100101
lag 14
lynx
1 2 3 45
6
7
8
9
10
1112 131415
1617
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20 21 22232425
26
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2930 31 3233
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3637
38
39404142
43
44
45
46
47
4849 50 51
52
535455
56575859 60 6162
63
64
65
66
6768 69 70717273
74
7576
7778 798081
82
83
8485
86
87
88 8990
91
92
939495
96
9798 99100
lag 15
lynx
1 2 345
6
7
8
9
10
1112131415
161718
19
20 212223242526
2728
2930 313233
34
35
3637
38
39404142
43
44
45
46
47
4849 5051
52
535455
565758 59 606162
63
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65
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6768 6970717273
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7576
7778798081
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83
8485
86
87
88 8990
91
92
939495
96
9798 99
lag 16
lynx
1 2345
6
7
8
9
10
1112131415
1617
18
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20212223242526
2728
2930313233
34
35
36 37
38
39404142
43
44
45
46
47
48495051
52
535455
5657
58 59606162
63
64
65
66
67686970717273
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7576
777879 80
8182
83
8485
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Figura 3.4: Linci canadesi. Diagrammi di autodispersione
23
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56
57
585960
6162
6364
65
66
67
68
697071
72
73
74
75 76
77
7879
80
8182
83
84 8586
87
8889
9091
92939495
96
97
98
45
67
89
lag 17
log(
lynx
)
12
34
5
67
8 9
10
11
12
1314
15
16 1718
19
20
21
2223
24
25
26
27 28
29
303132
33
34
353637
38
39
404142
43
44
45
4647
48
49
5051
52
535455
56
57
585960
6162
6364
65
66
67
68
697071
72
73
74
7576
77
7879
80
8182
83
84 8586
87
8889
9091
92939495
96
97
45
67
89
lag 18
log(
lynx
)
12
34
5
67
8 9
10
11
12
1314
15
16 1718
19
20
21
2223
24
25
26
27 28
29
303132
33
34
353637
38
39
404142
43
44
45
4647
48
49
5051
52
53 5455
56
57
585960
6162
6364
65
66
67
68
697071
72
73
74
7576
77
7879
80
8182
83
84 8586
87
8889
9091
929394 95
96
3 4 5 6 7 8 9lag 19
log(
lynx
)
12
34
5
67
89
10
11
12
1314
15
16 1718
19
20
21
2223
24
25
26
2728
29
30 3132
33
34
353637
38
39
4041 42
43
44
45
4647
48
49
5051
52
53 5455
56
57
585960
6162
6364
65
66
67
68
6970 71
72
73
74
7576
77
7879
80
8182
83
84 8586
87
8889
9091
9293 9495
lag 20
log(
lynx
)
12
34
5
6789
10
11
12
1314
15
161718
19
20
21
2223
24
25
26
2728
29
303132
33
34
353637
38
39
404142
43
44
45
4647
48
49
5051
52
53 5455
56
57
5859 60
6162
636465
66
67
68
6970 71
72
73
74
7576
77
7879
80
8182
83
848586
87
8889
9091
929394
3 4 5 6 7 8 9
Figura 3.5: Linci canadesi. Diagrammi di autodispersione del logaritmo della serie
originale
24
0 5 10 15 20
−0.
50.
00.
51.
0
Lag
AC
F
Series log(lynx)
Figura 3.6: Linci canadesi. Correlogramma
25
Questa funzione, gemella di acf, calcola le stime della funzione di autocorrelazione
parziale.
3.5 Box.test
Box.test (y, lag = 1, type=c(Box-Pierce, Ljung-Box))
- y: serie temporale
- lag: il test è basato sui primi lag coefficienti di autocorrelazione;
- type: tipo di test; si osservi che se questo argomento non viene specificato il test
calcolato è quello di Box-Pierce.
Continuamo ad utilizzare la serie delle linci catturate in Canada come esempio.