ANALISI CRITICA DI UN MODELLO COSTITUTIVO PER LA RISPOSTA CICLICA DEI TERRENI

ANALISI CRITICA DI UN MODELLO COSTITUTIVO PER LA RISPOSTA

CICLICA DEI TERRENI

Annamaria di Lernia

Politecnico di Bari

[email protected]

Angelo Amorosi

Politecnico di Bari

[email protected]

Daniela Boldini

Università di Bologna

[email protected]

Sommario

Nella presente nota si mostrano i risultati della simulazione numerica di prove di taglio ciclico monodirezionale

e multidirezionale eseguite su un elemento di volume adottando per il terreno un modello costitutivo elasto-

plastico isteretico implementato nella libreria di un codice di calcolo agli elementi finiti. L’obiettivo delle analisi

è quello di studiare la risposta ciclica del modello costitutivo con riferimento a semplici percorsi di deformazione

ciclica monodirezionale (taglio semplice) e a più complessi percorsi multidirezionali, più rappresentativi delle

condizioni deformative indotte durante un evento sismico reale.

1. Introduzione

Il comportamento ciclico dei terreni è generalmente simulato mediante modelli costitutivi più o meno

avanzati, capaci di tener conto della non linearità della risposta costitutiva del terreno sollecitato da

azioni cicliche e dinamiche. Una maggiore accuratezza nella previsione della risposta ciclica del

terreno corrisponde, in generale, ad una maggiore complessità nella formulazione costitutiva, anche in

ragione del maggior numero di parametri che è tipicamente necessario introdurre. Alla luce di ciò,

appare utile individuare soluzioni di compromesso, che assicurino realisticità dei risultati a fronte del

minore grado di complessità possibile in termini di ipotesi costitutive. In linea con tale esigenza nel

seguito si illustrano delle simulazioni numeriche basate su un modello costitutivo di complessità

intermedia, l’Hardening Soil model with small strain stiffness (HSsmall), recentemente implementato

nella libreria del codice di calcolo agli Elementi Finiti PLAXIS, che consente di tener conto della non

linearità della risposta del terreno anche alle piccole deformazioni, attraverso alcuni parametri di facile

valutazione ingegneristica (Schanz et al., 1999; Benz et al., 2009).

Il lavoro presentato si colloca in una più ampia trattazione relativa allo studio della risposta sismica

locale in condizioni tridimensionali con riferimento al sito di Lotung a Taiwan (Amorosi et al., 2014),

eseguito adottando per il terreno il suddetto modello costitutivo opportunamente calibrato sulla base

dei dati sperimentali disponibili. L’obiettivo del presente lavoro è di evidenziare la risposta costitutiva

del modello HSsmall per percorsi di sollecitazione ciclica di taglio semplice monodirezionale e

multidirezionale, questi ultimi maggiormente rappresentativi della condizione indotta in un deposito di

terreno dal propagarsi di un reale evento sismico.

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2. Modello costitutivo HSsmall

2.1 Descrizione modello costitutivo

Il modello costitutivo HSsmall costituisce un’evoluzione del modello Hardening Soil model,

sviluppato da Schanz et al. (1999), attraverso l’introduzione di una specifica formulazione para-

elastica proposta da Benz et al. (2009) al fine di tener conto della non linearità del terreno anche alle

piccole deformazioni. Il modello, infatti, consente di descrivere il comportamento isteretico del terreno

per stati all’interno della superficie di snervamento per mezzo di due parametri aggiuntivi rispetto alla

versione originale: il modulo di rigidezza a taglio iniziale G0 e la deformazione di taglio γ0.7, in

corrispondenza della quale il modulo di rigidezza a taglio secante Gs si riduce al 70% del modulo

iniziale. Esso inoltre consente di descrivere un andamento variabile con la profondità del modulo di

rigidezza a taglio iniziale, attraverso la dipendenza non lineare dallo stato tensionale. L’evoluzione

della rigidezza e dello smorzamento in funzione del livello deformativo raggiunto è descritta mediante

una relazione modificata delle curve di decadimento del modulo e dello smorzamento proposte da

Hardin & Drnevich (1972). Esse presentano un troncamento in corrispondenza di un determinato

valore della deformazione di taglio denominata γcut-off (funzione di γ0.7), in corrispondenza della quale il

modulo di rigidezza tangente diviene costante e pari al modulo di rigidezza tangente di scarico-ricarico

Gur. La formulazione paraelastica del modello consente di riprodurre il parziale o totale recupero di

rigidezza osservato in corrispondenza di parziali o totali inversioni nella direzione di carico e/o

deformazione. In particolare, tale aspetto è tenuto in conto attraverso una quantità scalare, γhist, che

descrive la storia deformativa deviatorica recente secondo l’espressione:

e

eHhist

3 (1)

nella quale e

rappresenta l’incremento di deformazione deviatorica lungo le sue tre direzioni

principali e H è un tensore che descrive la storia deformativa precedente. Ogni qualvolta che anche

una sola delle componenti principali della deformazione deviatorica subisce una inversione ne risulta

un aggiornamento del tensore H , e di conseguenza una inizializzazione parziale o totale dello scalare

γhist, dal quale dipende il valore di rigidezza normalizzata Gt/G0 adottato dal modello. La rigidezza

tangente così determinata caratterizza istantaneamente le relazioni tra incremento di sforzo e di

deformazione in tutte le direzioni di applicazione di quest’ultimo.

Per la risposta in regime irreversibile, il modello HSsmall appartiene alla classe dei modelli elasto-

plastici con incrudimento isotropo, in quanto caratterizzato da due superfici di snervamento che

delimitano il dominio paraelastico isteretico: una superficie deviatorica, che evolve in funzione delle

deformazioni deviatoriche plastiche fino al criterio di rottura di Mohr-Coulomb, ed una superficie

volumetrica, la cui dimensione dipende dalle deformazioni volumetriche plastiche accumulate.

2.2 Calibrazione modello

A titolo di esempio, lo studio numerico illustrato nella presente nota è stato condotto con riferimento

alle caratteristiche dello strato sabbioso presente nella parte sommitale del sito di Lotung. La

calibrazione dei parametri del modello adottati nelle analisi è eseguita sulla base dei dati sperimentali

disponibili in letteratura per il caso di studio (Elgamal et al., 1995; Zeghal et al., 1995; Borja et al.,

2000) come illustrato in Fig.1 e descritto in dettaglio in Amorosi et al. (2014), cui si rimanda per

dettagli. In Tabella 1 sono sintetizzati i parametri del modello adottati nelle simulazioni numeriche.

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-0.05

0

0.05

-0.05 0 0.05

γ zy (%)

γzx (%)

(a)

-0.05

0

0.05

0 5 10 15 20

γ (%

)

t (s) γzx γzy (b) γzx γzy

Fig 1. Calibrazione dei parametri del modello HSsmall: curve di decadimento del modulo di rigidezza e dello

smorzamento variabile con la deformazione di taglio.

Tabella 1. Parametri del modello HSsmall utilizzati nelle analisi

'c ' 0K ur 0.7

0

refG ref

urE 50

refE ref

oedE cut off

kPa ° - % MPa MPa MPa MPa %

0 30 0.5 0.33 0.011 90 60 20 20 0.029

3. Modello numerico

Il modello numerico adottato nelle simulazioni consiste in un elemento di volume cubico di lato 0.1 m,

assoggettato preliminarmente ad un percorso di carico in condizioni triassiali, seguito dalla fase di

taglio ciclico monodirezionale o multidirezionale a spostamento controllato.

La fase di carico triassiale è costituita a sua volta da un primo percorso di carico e scarico isotropo

seguito da una fase di carico e scarico deviatorico (Tabella 2), eseguite allo scopo di espandere il

dominio elastico imponendo un allontanamento delle superfici di snervamento.

La fase di taglio ciclico prevede l’applicazione di due tipi di percorsi di deformazione: un percorso di

taglio semplice ed un percorso multidirezionale “a farfalla” (Fig. 2a).

Tabella 2. Dettaglio della fase di carico triassiale simulata prima della fase di taglio ciclico

Carico Isotropo Scarico Isotropo Carico Deviatorico Scarico Deviatorico

p′ (kPa) 150 100 133 100

q (kPa) 0 0 100 0

Le condizioni al contorno adottate per simulare la prova ciclica monodirezionale prevedono

l’applicazione, lungo una sola direzione, di una distribuzione uniforme di spostamenti orizzontali sulla

faccia superiore dell’elemento cubico ed una linearmente decrescente con la profondità sulle due

corrispondenti facce verticali parallele. Le condizioni imposte per simulare la prova di taglio

Fig 2. Percorso di deformazione a farfalla applicato nelle prove di taglio multidirezionali (a); andamento nel

tempo delle singole componenti di deformazione (b).

0

5

10

15

20

25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0001 0.001 0.01 0.1 1

D (

%)

G/G

0

γ (%)

Borja et al. (2000)_ Gs/G0

HSsmall_Gs/G0

HSsmall_Gt/G0

Borja et al. (2000)_ D

HSsmall_D

HSsmall_Gs /G0

HSsmall_Gt /G0

HSsmall_D

Borja et al. (2000)_ Gs /G0

Borja et al. (2000)_D

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multidirezionale consistono invece nella applicazione sulla faccia superiore di spostamenti orizzontali

uniformi lungo due direzioni perpendicolari, le cui componenti hanno, in genere, diversa intensità,

contestualmente alle corrispondenti distribuzioni linearmente decrescenti con la profondità lungo le

rispettive facce verticali (Fig. 3). In entrambe le tipologie di analisi il provino è vincolato alla base in

tutte le direzioni.

Le prove di taglio ciclico monodirezionali sono eseguite imponendo prefissate deformazioni di taglio

massime (da 0.0001% a 0.5%) e assegnando allo spostamento un andamento sinusoidale di periodo T

pari a 10 s. Le prove di taglio ciclico multidirezionali sono invece eseguite applicando un solo livello

di deformazione di taglio massima (γ = 0.05%) in entrambe le direzioni, attraverso un segnale

sinusoidale caratterizzato da un differente periodo di oscillazione lungo le due direzioni orizzontali (il

periodo del segnale applicato nelle direzione y è metà di quello nella direzione x, come mostrato in

Fig. 2b), allo scopo di ottenere il percorso di deformazione prefissato (Fig. 2a).

4. Risultati

Per ciascun livello di deformazione massima applicato nelle simulazioni della prova di taglio semplice

monodirezionale sono stati valutati il modulo di rigidezza a taglio secante ed il corrispondente valore

dello smorzamento. Essi sono confrontati con le curve teoriche del modello in Fig. 4a. Lo

smorzamento D è valutato come rapporto, a meno di un coefficiente moltiplicativo, tra l’area racchiusa

dalla curva tensioni-deformazioni in un ciclo di deformazione e l’area del triangolo formato dalla retta

secante il medesimo ciclo. Il confronto dei risultati delle analisi numeriche mostra un buon accordo

con i valori attesi teoricamente, fino al valore limite della deformazione di taglio γcut-off, superato il

quale si osserva un leggero aumento del rapporto Gs/G0 ed una contestuale riduzione seguita da un

rapido incremento del rapporto di smorzamento D. Tale comportamento è ascrivibile alla natura del

modello in quanto, al raggiungimento della deformazione limite γcut-off, esso assume una rigidezza

tangente costante (Gur) che comporta incrementi di energia accumulata maggiori degli incrementi di

energia dissipata. Quando lo stato del materiale intercetta poi il dominio di snervamento (in questo

caso per un valore della deformazione di poco superiore a 0.1%), si verifica un accumulo delle

deformazioni plastiche che aumentano ulteriormente le capacità dissipative del modello.

La rappresentazione della risposta ciclica isteretica del modello è mostrata in Fig. 3b per i cicli di

deformazione di taglio massima di ampiezza pari a 0.02%, 0.1 % e 0.2%. La curva tensioni

deformazioni assume inizialmente una pendenza pari al modulo di rigidezza a taglio iniziale G0, per

poi ridursi all’aumentare della deformazione secondo la curva di decadimento; all’inversione di carico

la curva è caratterizzata dalla medesima pendenza iniziale, per poi decrescere fino alla successiva

inversione. In questo caso, infatti, il tensore H è completamente reinizializzato in relazione alla

Fig 3. Condizioni al contorno imposte nella fase di taglio ciclico multidirezionale

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inversione del percorso deformativo monodirezionale imposto, dando luogo al corrispondente

azzeramento dello scalare γhist che, a sua volta, riporta la rigidezza a taglio al suo valore iniziale G0.

Dalla Fig. 3b si osserva inoltre che il regime deformativo elastico imposto dalle condizioni iniziali (i.e.

superfici di snervamento allargate) fa sì che la risposta del materiale sia reversibile (la curva tensioni

deformazioni passa infatti dall’origine degli assi) per i due livelli deformativi più piccoli, mentre per il

ciclo spinto fino a γ = 0.2 % si osserva un accumulo di deformazione dovuto all’aver intercettato la

superficie di snervamento deviatorica.

La risposta ciclica del modello soggetto al percorso di deformazione multidirezionale è mostrata in

Fig. 5, in termini di curve tensioni-deformazioni per le due componenti orizzontali τzx-γzx e τzy-γzy. Le

curve sono confrontate con le corrispondenti curve ottenute dalle prove di taglio ciclico semplice,

eseguite applicando singolarmente ciascuna componente dello spostamento.

La risposta multidirezionale del modello costitutivo presenta delle non trascurabili differenze rispetto a

quella monodirezionale (Fig. 5), dovute essenzialmente alla modalità con cui il modello seleziona la

rigidezza tangente da associare ad ogni incremento di deformazione. Si osserva, ad esempio, che il

ramo di primo carico della curva τzy-γzy (Fig. 5b) presenta un andamento più “rigido” rispetto alla

curva τzx-γzx (Fig. 5a). Questo andamento è dovuto al fatto che nel generico intervallo di tempo Δt la

rigidezza tangente, determinata in funzione di γhist, è la stessa in entrambe le direzioni x ed y, ma le

deformazioni raggiunte in ciascuna direzione sono differenti in virtù del particolare percorso applicato.

Per meglio comprendere quanto sopra, ci si può riferire a titolo di esempio all’istante t=1.25 s di

Fig.2b: si osserva che la componente γzy ha raggiunto il valore massimo pari a 0.05%, mentre la γzx è

pari a 0.035%; ne consegue che il valore di rigidezza a taglio selezionato dal modello non può che

sottostimare quello atteso lungo un percorso monodirezionale per γzx=0.035%.

Alla prima inversione di carico, che avviene per la componente γzy appena dopo l’istante considerato

sopra, il materiale assume un comportamento più rigido, che non influenza solo il ramo di scarico

lungo la direzione zy ma caratterizza, sovrastimandola, anche la rigidezza nel tratto di primo carico

ancora da compiere lungo la direzione zx. Comportamenti analoghi si osservano anche nelle

successive fasi della prova, caratterizzate da una risposta nel complesso meno rigida rispetto a quella

prevista per percorsi di taglio monodirezionali, mentre le curve tensioni-deformazioni formano cicli di

isteresi piuttosto stretti, che riducono la capacità dissipativa del modello.

Il modello costitutivo soggetto a percorsi di deformazione multidirezionali esibisce dunque un

comportamento mediamente meno rigido e meno dissipativo, di cui è necessario essere consapevoli

Fig 4. Confronto fra curve di decadimento del modulo di rigidezza a taglio normalizzato e dello smorzamento

ottenute tramite le espressioni analitiche e per mezzo di analisi numeriche (a); Cicli di isteresi del provino

numerico per tre livelli di deformazione di taglio massima: γ=0.02%, γ=0.1% e γ=0.2% (b).

0

10

20

30

40

50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0001 0.001 0.01 0.1 1

D (

%)

Gs/

G0

γ (%)

Gs/G0 (Modello Teorico) Gs/G0 (Simulazione Numerica)

D (Modello Teorico) D (Simulazione Numerica)

Gs/G0 (Modello Teorico)

D (Modello Teorico)

Gs/G0 (Simulazione Numerica)

D (Simulazione Numerica)

(a)

-40

-20

0

20

40

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

τzx (kPa)

γzx (%)

γ = 0.02 %

γ = 0.1 %

γ = 0.2%

Gur

(b)

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ogni qualvolta lo si intende utilizzare in simulazioni tridimensionali di propagazione di eventi sismici

caratterizzati da componenti accelerometriche differenti lungo le due direzioni di applicazione.

5. Conclusioni

Oggetto della presente nota è lo studio della risposta ciclica del modello costitutivo elasto-plastico

isteretico HSsmall per prove di taglio ciclico mono o multidirezionali e multidirezionale; quest’ultima

condizione, infatti, è da considerarsi più rappresentativa delle condizioni di carico che subisce il

terreno in occasione di reali eventi sismici.

In condizioni monodirezionali il modello costitutivo è in grado di riprodurre fedelmente le risposte

attese in termini di evoluzione della rigidezza a taglio e del fattore di smorzamento con l’ampiezza dei

cicli di deformazione imposti. In condizioni multidirezionali il comportamento ciclico previsto è

affetto mediamente da una minore capacità dissipativa e da una risposta in genere meno rigida. Questo

comportamento è da mettere in relazione alla formulazione costitutiva della parte paraelastica

isteretica del modello, basata su equazioni scalari ottenute attraverso il fitting di curve di decadimento

ottenute in condizioni monodirezionali.

Bibliografia

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Fig 5. Curve tensioni deformazioni τzx- γzx (a) e τzy- γzy (b) relative alle prove di taglio ciclico multidirezionali

confrontate con le corrispondenti curve τ- γ ottenute dalle prove di taglio semplice.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

τzx (kPa)

γzx (%)

Monodirezionale

Multidirezionale

(a)

-30

-20

-10

0

10

20

30

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

τzy (kPa)

γzy (%)

Monodirezionale

Multidirezionale

(b)