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Módulo 07 – Análise e Síntese de Circuitos
Combinatórios
Marco Túlio Carvalho de AndradeProfessor Responsável
Versão: 2.0 (Agosto de 2.011)
PCS 2215Fundamentos de Engenharia de Computação II
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ConteúdoAnálise e Síntese de Circuitos Combinatórios
0. Notas e Definições Preliminares.1. Formas Canônicas.
1.1 Identidades Básicas.2. Análise de Circuitos Combinatórios
2.1 Circuitos a Portas.3. Síntese de Circuitos Combinatórios.
3.1 Síntese por Método Algébrico.3.2 Síntese por Mapa de Karnaugh.
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ConteúdoAnálise e Síntese de Circuitos Combinatórios
4. Minimização de Circuitos.4.1 Implicantes primários.
4.1.1 Tabela de Cobertura4.2 Minimização pelo Método Tabular4.3 Mapas de Karnaugh Considerando-se os
“Zeros” das Funções.4.4 Funções Incompletamente Definidas
5. Exemplos de Aplicação. Bibliografia
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Nota 1. - Uma Álgebra de Chaveamento({F.C.}, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ~, 0t, 1t) pode ser vista como um caso particular de uma estrutura algébrica genérica denominada Álgebra de Boole, onde o conjunto “S” gerador da estrutura é o conjunto de funções de chaveamento “{F.C.}”.
0. Notas e Definições Preliminares
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Nota 2. - Álgebra Booleana (ver Complementos de Álgebra Boolena) - É uma sêxtupla:
(S, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ~, fronteira inferior Máxima, Fronteira Superior mínima)
Nota 3. - Outra particularização de interesse é a Álgebra Booleana constituída pelas Classes de Equivalência geradas por funções de chaveamen-to de n variáveis (x1, x2, ..., xn), onde existe uma correspondência biunívoca entre elementos de {F.C.} e de {C.E.}:
({C.E.}, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ~, Ft, Vt)
0. Notas Preliminares
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Nota 4. - Todo teorema de uma Álgebra Booleana vale para uma Álgebra de Chaveamento.
Definição 1. - Literal - Representa uma variável ou uma variável complementada, tendo um sentido mais amplo que o de variável.
0. Notas Preliminares
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Definição 2. - Expressões Booleanas geradas sobre x1, x2, ..., xn são definidas recursivamente:1-) 0, 1, x1, x2, ..., xn são expressões Booleanas.2-) Se X1 e X2 são expressões Booleanas então,
também também são expressões Booleanas:(a) (X1) (b) ~X1 (c) X1 ∨ ∨ ∨ ∨ X2 (d) X1 ∧∧∧∧ X2
3-) Se X é uma expressão Booleana gerada sobre os símbolos x1, x2, ..., xn então podemos escrever
X = X(x1, x2, ..., xn)
onde cada símbolo xi (ou ~xi) é chamado de umLiteral.
0. Notas Preliminares
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Sejam, a Álgeb. de Chaveamento ({F.C.},∨∨∨∨,∧∧∧∧,~,0t,1t) e a Álgebra de Boole ({C.E.},∨∨∨∨,∧∧∧∧,~,Ft,Vt) das formas e Classes Booleanas geradas pelas variáveis x1, x2, ..., xn. Seja li uma metavariável que pode valer xi ou ~xi.
Definição 1.1 - Produto Canônico (ou minter-mo) é toda Expressão de Chaveamento (ou Booleana) composta pelo Produto de todas as variáveis, complementadas ou não:
1. Formas Canônicas
∏=
==n
j
jni llllPC1
21 )(,.,.,.
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1. Formas Canônicas
Definição 1.2 - Primeira Forma Canônica é toda Expressão de Chaveamento (ou Ex-pressão Booleana) composta pela Soma de produtos canônicos, ou de mintermos, dife-rentes entre si.
Teorema 1.1 - Toda Classe de Equivalência Cn
pode representar-se mediante sua Primeira Forma Canônica que é única para esta Classe.
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Observações (I):
– Como em um produto canônico intervém todas as variáveis, sua interpretação será sempre “0” a menos de uma determinada: aquela que associe “1” a todas variáveis sem “~” e “0” a todas com “~”.
– Portanto cada um dos 2n produtos canôni-cos serve para representar um, e apenas um, dos 2n átomos (ou elementos atômi-
cos).
1. Formas Canônicas
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Observações (II):
– Segundo Teorema da Álgebra de Chaveamento todo elemento desta Álgebra distinto de 0 pode expressar-se, de maneira única, como uma soma de átomos. Logo qualquer classe de equivalência distinta de C0 pode expressar-se de maneira única como uma soma de átomos.
– Portanto pode-se representar de maneira única como uma Soma de Produtos Canônicos, isto é, representar na Primeira Forma Canônica(ou Soma Canônica).
1. Formas Canônicas
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Observações (III) - Existe uma notação abreviada para descrever as formas canônicas:1-) Baseia-se em associar um número decimal a
cada produto canônico;2-) Este número é aquele que resulta ao
interpretar-se como um número binário a combinação de “Zeros” e “Uns” das variáveis para a qual a interpretação do produto em questão é “1”.
3-) Por exemplo: A interpretação de ~x3.x2.x1 é “1” para x3=0, x2=1 e x1=1 e “011” em binário é “3” em decimal (“m3”).
1. Formas Canônicas
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1. Formas Canônicas
Mintermos para três variáveis:x3 x2 x1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
m0 = ~x3 ~x2 ~x1
m1 = ~x3 ~x2 x1
m2 = ~x3 x2 ~x1
m3 = ~x3 x2 x1
m4 = x3 ~x2 ~x1
m5 = x3 ~x2 x1
m6 = x3 x2 ~x1
m7 = x3 x2 x1
Mintermos
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1. Formas Canônicas
C0 = ~(C1 + C2 + C4 + C8)C1 = C1
C2 = C2
C3 = C1 + C2
C4 = C4
C5 = C1 + C4
C6 = C2 + C4
C7 = C1 + C2 + C4
C8 = C8
C9 = C1 + C8
C10 = C2 + C8
C11 = C1 + C2 + C8
C12 = C4 + C8
C13 = C1 + C4 + C8
C14 = C2 + C4 + C8
C15 = C1 + C2 + C4 + C8
x2
0
0
1
1
x1
0
1
0
1
C2
0
0
1
0
C0
0
0
0
0
C1
0
0
0
1
C3
0
0
1
1
C4
0
1
0
0
C5
0
1
0
1
C6
0
1
1
0
C7
0
1
1
1
C1
0
1
0
1
0
C8
1
0
0
0
C9
1
0
0
1
C11
1
0
1
1
C1
2
1
1
0
0
C1
3
1
1
0
1
C1
4
1
1
1
0
C15
1
1
1
1
m0
m1
m2
m3
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Definição 1.3 - Soma Canônica (ou Maxtermo) é to-da Expressão de Chaveamento (ou Booleana) composta pela soma de todas as variáveis, comple-mentadas ou não:
1. Formas Canônicas
∑=
=+++=n
j
jni llllSC1
21 )(...
Definição 1.4- Segunda Forma Canônica é toda Expressão
de Chaveamento (ou Booleana) composta pelo produto de somas canônicas, ou de Maxtermos, diferentes entre si.
Teorema 1.2 - Toda Classe de Equivalência Cn pode repre-sentar-se mediante sua Segunda Forma Canônica que é única para esta Classe.
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Observações:� Como em uma soma canônica intervém todas as
variáveis, sua interpretação será sempre “1”, a menos de uma determinada: aquela que associe “0” a todas variáveis sem “~” e “1” a todas com “~”.
� Em resumo: Qualquer classe de equivalência pode também ser expressa de maneira única como um Produto de Somas Canônicas, isto é, pode ser representada na Segunda Forma Canônica. (ou “Produto Canônico”).
1. Formas Canônicas
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Observações (II) - Existe uma notação abreviada para descrever a segunda Forma Canônica:1-) Baseia-se em associar um número decimal a
cada soma canônica.2-) Este número é aquele que resulta ao
interpretar-se como um número binário a combinação de “Zeros” e “Uns” das variáveis para a qual a interpretação da soma em questão é “0”.
3-) Por exemplo: A interpretação de x3+~x2+~x1é “0” para x3=0, x2=1 e x1=1 e “011” em binário é “3” em decimal (“M3”).
1. Formas Canônicas
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1. Formas CanônicasMaxtermos para três variáveis:
x3 x2 x1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
M0 = x3 + x2 + x1
M1 = x3 + x2 + ~x1
M2 = x3 + ~x2 + x1
M3 = x3 + ~x2 + ~x1
M4 = ~x3 + x2 + x1
M5 = ~x3 + x2 + ~x1
M6 = ~x3 + ~x2 + x1
M7 = ~x3 + ~x2 + ~x1
Maxtermos
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1. Formas Canônicas
C0 = C7 . C11 . C13 . C14
C1 = C7 . C11 . C13
C2 = C7 . C11 . C14
C3 = C7 . C11
C4 = C7 . C13 . C14
C5 = C7 . C13
C6 = C7 . C14
C7 = C7
C8 = C11 . C13 . C14
C9 = C11 . C13
C10 = C11 . C14
C11 = C11
C12 = C13 . C14
C13 = C13
C14 = C14
C15 = ~(C7 . C11 . C13 . C14)
x2
0
0
1
1
x1
0
1
0
1
C2
0
0
1
0
C0
0
0
0
0
C1
0
0
0
1
C3
0
0
1
1
C4
0
1
0
0
C5
0
1
0
1
C6
0
1
1
0
C7
0
1
1
1
C1
0
1
0
1
0
C8
1
0
0
0
C9
1
0
0
1
C11
1
0
1
1
C1
2
1
1
0
0
C1
3
1
1
0
1
C1
4
1
1
1
0
C15
1
1
1
1
M0
M1
M2
M3
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Mintermos e Maxtermos para três variáveis:
1. Formas Canônicas
x3 x2 x1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
m0 = ~x3 ~x2 ~x1 = ~M0
m1 = ~x3 ~x2 x1 = ~M1
m2 = ~x3 x2 ~x1 = ~M2
m3 = ~x3 x2 x1 = ~M3
m4 = x3 ~x2 ~x1 = ~M4
m5 = x3 ~x2 x1 = ~M5
m6 = x3 x2 ~x1 = ~M6
m7 = x3 x2 x1 = ~M7
M0 = x3 + x2 + x1 = ~m0
M1 = x3 + x2 + ~x1 = ~m1
M2 = x3 + ~x2 + x1 = ~m2
M3 = x3 + ~x2 + ~x1 = ~m3
M4 = ~x3 + x2 + x1 = ~m4
M5 = ~x3 + x2 + ~x1 = ~m5
M6 = ~x3 + ~x2 + x1 = ~m6
M7 = ~x3 + ~x2 + ~x1 = ~m7
Mintermos Maxtermos
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Observações adicionais: A Álgebra de Chavea-mento ({F.C.}, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ~, 0t, 1t) tem o mesmo número de Funções de Chaveamento que o de classes de equivalência da Álgebra Booleana ({C.E.}, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ~, Ft, Vt), que é:
– {F.C.} tem um número de “n-tuplas” diferentes em {0,1}n igual a k = 2n e gera 2k combinações distintas para aplicar cada uma destas k “n-tuplas” em {0,1}.
1. Formas Canônicas
22
n =k
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Observações adicionais:– {C.E.} tem um número de k = 2n produtos
canônicos com os quais pode-se escrever as 2k primeiras formas canônicas diferentes.
– Pela definição 4.3 do material adicional de Álgebra Booleana, elas são isomorfas.
– Sendo isomorfas existe uma correspondên-cia biunívoca entre cada Função de Chavea-mento de ordem “n” e cada classe de equi-valência de Expressões Booleanas de “n” variáveis.
1. Formas Canônicas
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Observações (continuação): A correspondência é tal que se fi e fk estão em correspondência com Ci e Ck
então (fi+fk) e (fi.fk) estarão em correspondência com (Ci+Ck) e (Ci.Ck).
Importância na aplicação ao projeto de circuitos lógicos:– A saída de um circuito expressa como uma
Função de Chaveamento tem infinitas formas associadas a uma classe de equivalência.
– Como Engenheiros nos interessa encontrar a forma mínima!
1. Formas Canônicas
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A seguir são apresentadas identidades básicas para duas ou três variáveis:
I1 - x+0=x x.1=x
[Elemento neutro ou identidade]I2 - x+1=1 x.0=0
[Elementos máximo/mínimo ou elemento nulo]I3 - x+~x=1 x.~x=0
[Complemento]I4 - ~(~x) = x
[Involução]
1.1. Identidades Básicas
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Mais identidades:I5 - x + x = x x . x = x
[Idempotência]I6 - x+y=y+x x.y=y.x
[Comutativa]I7 - x+(y+z)=(x+y)+z x.(y.z)=(x.y).z
[Associativa]I8 - x.(y+z)=x.y+x.z x+(y.z)=(x+y).(x+z)
[Distributiva]I9 - x+x.y=x [I9a] x.(x+y)=x [I9b]
[Absorção ou cobertura]
1.1. Identidades Básicas
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Mais identidades:I10 - ~(x+y)=~x.~y ~(x.y)=~x+~y
[De Morgan]I11a-(x+y).(~x+z).(y+z)=(x+y).(~x+z)=x.z+~x.y
I11b - x.y+~x.z+y.z=x.y+~x.z
[Consenso]I12 - x . y + x . ~y = x (x + y) . (x + ~y) = x
[Combinação]I13 - (x+y).(~x+z)= x.z+~x.y
I14 - (x+~x.y)=(x+y) x.(~x+y)=x.y
1.1. Identidades Básicas
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Exemplo 1.1: Simplificar (x+y+z).(x.~y+y.z+x.~z) == x.x.~y+x.y.z+x.x.~z+x.y.~y+y.y.z+x.y.~z+x.~y.z+y.z.z+x.z.~z== x.~y + x.y.z + x.~z + x.0 + y.z + x.y.~z + x.~y.z + y.z + x.0 == x.(~y + y.z) + x.~z + x.y.~z + y.z + x.~y.z + y.z == x.(~y + z) + x.~z(1 + y) + z.(y + x.~y) + y.z == x.~y + x.z + x.~z + z.(y + x) + y.z == x.~y + x.z + x.~z + y.z + x.z + y.z == x.~y + x.z + x.z + x.~z + y.z + y.z == x.~y + x.(z + ~z) + y.z == x.~y + x.1 + y.z == x.~y + x + y.z == x + y.z
1.1. Identidades Básicas
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Exemplo 1.2: Calcular (desenvolver)f = ~(x.y+~y.z+x.~z)
Exemplo 1.3: Verificar que a expressão(~y + w.x.z + ~x.z + ~w.x) . (y + w.x + x.z)
é idêntica à expressãox . (w + y) . (~w + ~y) + z . (x + y)
Exemplo 1.4: Comprovar a validade da identidade I14, [(x + ~x.y) = (x+y)], por Diagrama de Venn.
1.1. Identidades Básicas
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Exemplo 1.4: Comprovar a validade da identidade I14, [(x + ~x.y) = (x+y)], por Diagrama de Venn.
1.1. Identidades Básicas
~x
y
~x . y
x
x + ~x . y
x + y
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Maxtermos/mintermos permitem a decomposiçãosistemática de Expressões de Chaveamento emsubexpressões com subconjuntos das variáveis.
Teorema da Expansão de Shannon:
Qualquer Expressão de Chaveamento do tipofn(x1, x2, x3, ..., xn)
pode ser decomposta na Expressão [I15a]x1 . fn(1, x2, x3, ..., xn) + ~ x1 . fn(0, x2, x3, ..., xn)
ou decomposta em sua Expressão dual [I15b][x1+fn(0, x2, x3, ..., xn)] . [ ~ x1+fn(1, x2, x3, ..., xn)]
1.1. Identidades Básicas
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Exemplo da aplicação de [I15a]:
f3(x1, x2, x3) = x1.f3(1, x2, x3) + ~ x1.f3(0, x2, x3)
f3(x1, x2, x3) = x1.x2.f3(1,1, x3) + x1.~x2.f3(1,0, x3)
+ ~x1.x2.f3(0,1, x3) + ~ x1.~x2.f3(0,0, x3)
f3(x1, x2, x3)= x1.x2.x3.f3(1,1,1) + x1.x2.~x3.f3(1,1,0)
+ x1.~x2.x3.f3(1,0,1) + x1.~x2.~x3.f3(1,0,0)
+ ~x1.x2.x3.f3(0,1,1) + ~x1.x2.~x3.f3(0,1,0)
+ ~x1.~x2.x3.f3(0,0,1) + ~x1.~x2.~x3.f3(0,0,0)
1.1. Identidades Básicas
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Exemplo da aplicação de [I15b]:
f3(x1, x2, x3)=[x1 + f3(0, x2, x3)].[~ x1 + f3(1, x2, x3)]
f3(x1, x2, x3)=[x1+x2+f3(0,0, x3)].[x1+~x2+f3(0,1, x3)]
.[~x1+x2+f3(1,0, x3)].[~ x1+~x2+f3(1,1, x3)]
f3(x1,x2, x3)=[x1+x2+x3+f3(0,0,0)].[x1+x2+~x3+f3(0,0,1)]
. [x1+~x2+x3+f3(0,1,0)] . [x1+~x2+~x3+f3(0,1,1)]
. [~x1+x2+x3+f3(1,0,0)] . [~x1+x2+~x3+f3(1,0,1)]
. [~x1+~x2+x3+f3(1,1,0)] . [~x1+~x2+~x3+f3(1,1,1)]
1.1. Identidades Básicas
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Mais Identidades:(fn
DUAL)DUAL = fn [I16] [fn = gn] → [fn
DUAL = gnDUAL] [I17]
fDUAL(x1, x2, ..., xn) = ~f(~x1, ~x2, ..., ~xn) [I18a]fDUAL(x, y, ..., z) = ~f(~x, ~y, ..., ~z) [I18b]
Exemplo: Dado fn = x.y + ~y.z
fnDUAL = (x+y) . (~y+z)
~fn=~(x.y+~y.z)=~(x.y).~(~y.z)= (~x+~y) . (y+~z)
Portanto: fnDUAL(x,y,z) = ~fn(~x,~y,~z)
1.1. Identidades Básicas
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Um Circuito Combinatório (ou circuito sem me-mória) pode ser visto como um dispositivo lógi-co cuja saída (isto é, o efeito da operação lógica que ele realiza) depende apenas das entradas no instante presente (isto é, das causas lógicas).
Em vista disto pode-se representar a saída de um circuito combinatório por uma função do tipo fn(x1, x2, ..., xn), sendo (x1, x2, ..., xn) as entradas lógicas. Ou ainda, por uma função do tipo fn(x,
y, ..., z), sendo (x, y, ..., z) as entradas lógicas.
2. Análise de Circuitos Combinatórios
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A forma de análise de um Circuito Combinatóriodepende do modelo utilizado para especificá-lo:
2. Análise de Circuitos Combinatórios
Diagrama Lógico Expressão de Chaveamento
Estrutura exposta;
comportamento escondido
(este pode ser extraído)
Comportamento exposto;
Estrutura escondida
(representa infinitas estruturas)
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Tipicamente extrai-se a Expressão de Chaveamen-to do Diagrama Lógico, quando então constrói-se a Tabela da Verdade.
2. Análise de Circuitos Combinatórios
Diagrama Lógico
Identificação exata das opera-
ções algébricas envolvidas:
- Modelo funcional
- Interpretação de Engenharia
Expressão de Chaveamento
Tabela da Verdade
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Ao analisar um circuito combinatório pode-se utilizar um de três procedimentos básicos:
1-) Enumeração de todos os caminhos de propaga-ção dos sinais de entrada - Levantam-se os cami-nhos possíveis das entradas para as saídas.
2-) Aplicação da Identidade de Shanonn (I15) - Fi-xam-se os valores lógicos de uma dada variável xi
gerando-se dois subcircuitos de n-1 variáveis. 3-) Decomposição - Divide-se o circuito em blocos
e faz-se a análise no nível de blocos elementares.
2. Análise de Circuitos Combinatórios
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Exemplo 2.1.1 - 1) Enumeração dos caminhos dos sinais de entrada:
2. Análise de Circuitos Combinatórios
x1
x2
~x1
~x2
~x1.~x2
x1.x2
x1.x2 + ~x1.~x2
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2020
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Exemplo 2.1.2-2) Aplicação da identidade de Shanonn (I15):f2(x1, x2) = x1 . f2(1, x2) + ~x1 . f2(0, x2)
2. Análise de Circuitos Combinatórios
[a] x1 = 0 →→→→ ~x1 = 1 →→→→ I15a →→→→ [b] x1 . f(1, x2) + ~x1 . f(0, x2)
[c] f(1, x2) = x2 e [d] f(0, x2) = ~x2
x1
x2
0
x2
1
~x2
0
~x2
~x2
x1
x2
1
x2
0
~x2
x2
0x2
Expressão final [e]: x1 . x2 + ~x1 . ~x2
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Exemplo 2.1.3 - 3) Decomposição em blocos elementares:
2. Análise de Circuitos Combinatórios
x1
x2
~x1
~x2
x1
x2
x1.x2 + ~x1.~x2
~x1.~x2
x1.x2
~x1.~x2
x1.x2
~x1
~x2
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Definição 2.1.1 - Portas Lógicas:– Uma porta lógica é uma função de em .– A porta AND (E) é a função ∧∧∧∧ de em .– A porta OR (OU) é a função ∨∨∨∨ de em .– A porta NOT (NÃO) é a função ~ de em .
Definição 2.1.2 - O conjunto {p1, p2, ..., pn} de por-tas é denominado funcionalmente completo se, dado qualquer inteiro positivo n e uma função f de em , é possível construir um circuito combinatório que compute a função f utilizando apenas {p1, p2, ..., pn}.
2.1. Circuitos a Portas
nZ2 2ZnZ2 2ZnZ2 2Z
2Z 2Z
nZ2 2Z
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Exemplo 2.1.4 - Os teoremas que atestam que toda classe de equivalência pode ser gerada a partir da primeira e da segunda formas canônicas (1.1 e 1.2) permitem mostrar que o conjunto de portas {AND, OR, NOT} é funcionalmente completo.
Definição 2.1.3 - Portas lógicas NAND e NOR.
Teorema 2.1.1 - Os conjuntos de portas{AND, NOT}={NAND} e {OR, NOT}={NOR}
são funcionalmente completos.
2.1. Circuitos a Portas
NAND NOR
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Quando o circuito aparece determinado por meio de um diagrama de portas lógicas a maneira mais eficiente de análise é a decomposição em funções intermediárias, da saída para a entrada, ou a composição de funções, da entrada para a saída.
2.1. Circuitos a Portas - Análise
x1
x2
x3
f3
f1
f2
x4
x5
f
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As entradas do circuito anterior são (x1, x2, x3, x4, x5)e sua saída é o valor lógico f(x1, x2, x3, x4, x5).
Da saída para a entrada tem-se:f(x1, x2, x3, x4, x5) = f1(x1, x2) + f2(x3, x4, x5) =f(x1, x2, x3, x4, x5) = x1. x2 + x3 . f3(x4, x5) =f(x1, x2, x3, x4, x5) = x1. x2 + x3 . (x4 + x5) =
f(x1, x2, x3, x4, x5) = x1. x2 + x3 . x4 + x3 . x5
2.1. Circuitos a Portas - Análisex1
x2
x3
f3
f1
f2
x4
x5
f
Exemplo 2.1.5
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Exemplo 2.1.6 - Análise de circuitos E-OU (OU-E) a dois níveis:
2.1. Circuitos a Portas - Análise
x1
x2
x3
f1
f2
f3
fx4
x5
x6
x1
x2
x3
f1
f2
f3
f
x4
x5
x6
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Exemplo 2.1.7 - Análise de circuitos XOR:
2.1. Circuitos a Portas - Análise
x1
x2
f1
x3 fx4x5
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
⊕⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕⊕
f2 f3
Verifica-se a associatividade da operação, de modo que f poderia ser representada por:
f⊕⊕⊕⊕
x1
x3
x2
x5
x4
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Exemplo 2.1.8 - Análise de circuitos NAND:
2.1. Circuitos a Portas - Análise
x1
x2
f1
x3 fx4x5
f2 f3
x1
x2
f1
x3 fx4x5
f2 f3
Exemplo 2.1.9 - Análise de circuitos NOR:
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3. Síntese de Circuitos Combinatórios
Síntese
Diagrama
Lógico
Expressão
Algébrica
Tabela da
Verdade
Inter-
pretação
Análise
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� Terminologia:
� Engenheiro de Computação - No exercício da profissão:
»Envolvimento na realização de Projeto de Sistemas Digitais.
� Projeto de Sistemas Digitais - Fases:»Especificação: requisitos, escopo.
»Modelo: técnicas, métodos de implementação.
»Implementação: simulação, laboratório.
3. Síntese de Circuitos Combinatórios
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� Projeto de Sistemas Digitais - Necessidade de representação:– Linguagem.– Diagramas.
� Álgebra Booleana e Álgebra de Chaveamento - Aparecem como ferramenta aderente ao encaminhamento da solução desta classe de problemas.
� Projeto de Sistemas Digitais - Envolve a atividade do Projeto Lógico Digital.
3. Síntese de Circuitos Combinatórios
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� Projeto Lógico Digital:
– Atividade na qual o projetista de um sistema eletrônico digital cria circuitos analisando um problema e elaborando sua solução no nível conceitual dos Circuitos Lógicos.
� Circuitos Lógicos -
– Circuitos que existem apenas como Abstrações Matemáticas:» Independentes do mundo físico da eletrônica digital;
» Constituídos de associações de Módulos Lógicos Funcionais.
3. Síntese de Circuitos Combinatórios
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� Módulos Lógicos Funcionais:– Associações de Portas Lógicas Fundamentais que
realizam as Operações Lógicas Primitivas definidas na Álgebra de Chaveamento adotada.
� Realização de um Projeto Lógico Digital:– É o projeto de uma Máquina Abstrata, ou
Equipamento Matemático, onde as primitivas (tijolos da construção) são operações matemáti-cas.
– O Circuito Lógico pode ser visto como uma associação (ou rede) de operadores matemáticos.
3. Síntese de Circuitos Combinatórios
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Engenharia do Projeto Lógico Digital [Fregni-95]:
– Muda o enfoque do projeto - Parte do princípio de que a Finalidade de todo Circuito Lógico é ser Materializado em um Circuito Físico.
– Define: Módulos Matemáticos a serem utilizados.
– Estabelece Técnicas e Métodos de implementação.
– Define as Características Físicas do circuito final.
– Projetista usa a Intuição - A ação do Projetista deixa de ser exclusivamente mecanizada ou formal e este usa sua experiência como ferramenta.
– Projetar passa a ser uma Arte, com método científico!
3. Síntese de Circuitos Combinatórios
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� Objetivo: Obter a solução mais econômica!
� Solução mais econômica - Difícil de ser definida com precisão.
� Critérios possíveis:
– Minimização do número de literais da função de chaveamento.
– Minimização do número de interconexões entre as portas.
– Minimização do número de pinos do circuito integrado a ser eventualmente construído.
3. Síntese de Circuitos Combinatórios
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O Teorema da Expansão de Shannon [I15] mostrou que pode-se decompor uma Expressão de Chavea-mento fn(x1, x2, x3, ..., xn) em duas formas canôni-cas: Soma de Produtos [“SP” - I15a] e
Produto de Somas [“PS” - I15b].
Ex. 3.1. f = x1.x2 + ~x2.x3 pode ser representada por:
f = x1.x2 .~x3 + x1.x2.x3 + x1.~x2.x3 + ~x1.~x2.x3 (SP)ou por
f=(x1+x2 +x3).(x1+~x2+x3).(x1+~x2+~x3).(~x1+x2+x3) (PS)
3.1. Síntese por Método Algébrico
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Usando a definição de mintermos e maxtermos:
f = x1.x2 .~x3 + x1.x2.x3 + x1.~x2.x3 + ~x1.~x2.x3 (SP)f = m3 + m7 + m5 + m4 (SP)
f = .
ou
f=(x1+x2 +x3).(x1+~x2+x3).(x1+~x2+~x3).(~x1+x2+x3) (PS)f= M0 . M2 . M6 . M1 (PS)
f = .
3.1. Síntese por Método Algébrico
∑ )7,5,4,3(m
∏ )6,2,1,0(M
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Teorema 3.1.1 - Uma Expressão de Chaveamento do tipo fn(x1, x2, x3, ..., xn) pode ser expressa de maneira única como uma soma de mintermos ou um produto de maxtermos.
Teorema 3.1.2 - Se a Expressão de Chaveamento fn(x1, x2, x3, ..., xn) é expressa como uma soma de p mintermos então ela também é expressa co-mo um produto de (2n - p) maxtermos.
, onde: ∀i ≠ ∀j.
3.1. Síntese por Método Algébrico
∏=∑=− )2( pn
j
p
in Mmf
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3.1. Síntese por Método Algébrico
� Síntese por Método Algébrico – Seja um sistema e uma especificação deste:– O processo de síntese consiste na obtenção de
uma Expressão de Chaveamento do tipo fn(x1, x2, x3, ..., xn), que represente o comportamento do sistema em questão.
� A especificação pode vir:– Por meio de linguagem natural (uma descrição
de seu comportamento lógico, por exemplo).– Tabela da verdade.
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Exemplo 3.1.1 - Sintetizar um circuito de chaveamento para detectar os códigos BCD correspondentes aos números ímpares.
3.1. Síntese por Método Algébrico
x1
x3
x2
x4
Detector y
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3.1. Síntese por Método Algébrico
x4 x3 x2 x1
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
~x4 . ~x3 . ~x2 . x1
y
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
~x4 . ~x3 . x2 . x1
~x4 . x3 . ~x2 . x1
~x4 . x3 . x2 . x1
x4 . ~x3 . ~x2 . x1
Soma Produtos Produto Somas
x4 + x3 + x2 + x1
x4 + x3 + ~x2 + x1
x4 + ~x3 + x2 + x1
x4 + ~x3 + ~x2 + x1
~x4 + x3 + x2 + x1
Exemplo 3.1.1
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Exemplo 3.1.1 - Soma de Produtos: y = ~x4.~x3.~x2.x1 + ~x4.~x3.x2.x1+~x4.x3.~x2.x1+~x4.x3.x2.x1+x4.~x3.~x2.x1
3.1. Síntese por Método Algébrico
y
x1x2x3x4x1x2x3x4
x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4
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Ex3.1.1-Produto de Somas: y=(x4+x3+x2+x1).(x4+x3+~x2+x1) .(x4+~x3+x2+x1).(x4+~x3+~x2+x1).(~x4+x3+x2+x1)
3.1. Síntese por Método Algébrico
y
x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4
x1x2x3x4
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Um Mapa de Karnaugh pode ser considerado como uma representação modificada de uma Tabela da Verdade, em n dimensões. Consegue-se visualizar propriedades explícitas por meio de padrões e/ou estruturas que permitem simplificações nas fun-ções de chaveamento, com complexidade de repre-sentação proporcional ao número de variáveis.
Célula - É um mintermo ou um Maxtermo.Células Adjacentes - Duas células são adjacentes quan-
do diferem apenas no valor de uma variável.Adjacências - Grupamentos (retangulares ou quadrados)
de 2n células adjacentes.
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
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Mapa de Karnaugh - Obtenção e interpretação para duas variáveis:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
~x2
~x1 (0) (2)
(1) (3)
x2
x1
~x2
~x1
x2
x1
~x2 x2Conjunto Universal
f=~x2.~x1
x2
0 1x1
0
1
1
f=x2.~x1
x2
0 1x1
0
1
1
f=~x2.x1
x2
0 1x1
0
1 1
f=x2.x1
x2
0 1x1
0
1 1
Mintermos
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Mapa de Karnaugh - Interpretação das Leis de De Morgan para duas variáveis:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
f=x2.x1
x2
0 1x1
0
1
x2
0 1x1
0
1 1
x2
0 1x1
0
1 11
1
f = ~(x2 . x1) = ~x2 + ~x1 = ~x2 + ~x1
1 1 1
x2
0 1x1
0
1
1
1
x2
0 1x1
0
1
11
f=x2+x1
x2
0 1x1
0
1
x2
0 1x1
0
1
x2
0 1x1
0
11
f= ~(x2 + x1) = ~x2 . ~x1 = ~x2 . ~x1
1 1
x2
0 1x1
0
1
1
1
x2
0 1x1
0
1
111
1
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Mapa de Karnaugh - Representação de alguns Conectivos Lógicos para duas variáveis:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
x2 x2
0 1x1
0
1
1 1
1 1
Conjunto Universal f=x2ORx1
0 1x1
0
1
1
f=x2XORx1
0 1
1
f=x2ANDx1
0 1
111
1
0 1
1 1
1 1
Conjunto Universal f=x2NORx1
0 1
f=x2NXORx1
0 1
1
f=x2NANDx1
0 1
11 1 1
1
x2
x1
0
1
x2
x1
0
1
x2
x1
0
1
x2
x1
0
1
x2
x1
0
1
x2
x1
0
1
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Mapa de Karnaugh - Representação:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
x1
0 1
(0) (1)
Uma variável
x2
0 1x1
0
1
(0) (2)
(1) (3)
Duas variáveis
x3x2
00 01 11 10x1
0
1
(0) (2) (6) (4)
(1) (3) (7) (5)
Três variáveis
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Mapa de Karnaugh - Representação:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
Três variáveis: x3,x2,x1
x3x2
00 01 11 10x1
0
1
(0) (2) (6) (4)
(1) (3) (7) (5)
~x1
x1
x3~x2x3x2~x3x2~x3~x2
x3~x2x3x2
~x3x2 ~x3~x2~x1
x1
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Mapa de Karnaugh - Representação:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
(0) (4) (12) (8)
(1) (5) (9)(13)
(3) (7) (15)
(2) (6) (14)
(11)
(10)
Quatro variáveis
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
x4x3
00 01 11 10 x2x1
00
01
11
10
(0) (4) (12) (8)
(1) (5) (9)(13)
(3) (7) (15)
(2) (6) (14)
(11)
(10)
(16) (20) (28) (24)
(17) (21) (25)(29)
(19) (23) (31)
(18) (22) (30)
(27)
(26)
x5 = 0 x5 = 1
Cinco variáveis
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Mapa de Karnaugh - Representação:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
Quatro variáveis
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
(0) (4) (12) (8)
(1) (5) (9)(13)
(3) (7) (15)
(2) (6) (14)
(11)
(10)
00 01 11 10
00
01
11
10
(0) (4) (12) (8)
(1) (5) (9)(13)
(3) (7) (15)
(2) (6) (14)
(11)
(10)
x3
x4
x1
x2
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Mapa de Karnaugh para Seis Variáveis:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
x4x3
00 01 11 10 x2x1
00
01
11
10
(0) (4) (12) (8)
(1) (5) (9)(13)
(3) (7) (15)
(2) (6) (14)
(11)
(10)
(16) (20) (28) (24)
(17) (21) (25)(29)
(19) (23) (31)
(18) (22) (30)
(27)
(26)
x5 = 0 x5 = 1
x4x3
00 01 11 10
00
01
11
10
x2x1
x4x3
00 01 11 10
00
01
11
10
x2x1
(32) (36) (44) (40)
(33) (37) (41)(45)
(35) (39)(47)
(34) (38) (46)
(43)
(42)
x6 = 0
x6 = 1
x6 = 0
x6 = 1
x5 = 0 x5 = 1
(48) (52) (60) (56)
(49) (57)
(51) (55) (63)
(50) (54) (62)
(59)
(58)
(53) (61)
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Exercício 3.2.1 - Determinar o menor conjunto de adja-cências que cubra (ou contenha) todos os mintermos das funções de três variáveis dadas:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
x3x2
00 01 11 10x1
0
1
1 1
1 1
0
0 0
0
x3x2
00 01 11 10x1
0
1
1 10
1 1
1
00
x3x2
00 01 11 10x1
0
1 1 10 0
1 10 0
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3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
Exercício 3.2.2 - Determinar o menor conjunto de adja-cências que cubra (ou contenha) todos os mintermos das funções de quatro variáveis dadas:
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
1
1
1
1 1
1
1 1
0 0 0 0
0 0
0
0
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
0 0
0 0
0
0
0 0
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Cubo-r (“cubo de ordem r” ou “cubo erre”) - É o elemento básico em um Mapa de Karnaugh. Sua definição pode ser gerada de maneira indutiva:
Cubo-0: Em um Mapa de Karnaugh de n variáveis, uma entrada qualquer com “1” (isto é, uma célula ou um mintermo) é um Cubo-0.
Cubo-1: Em um Mapa de Karnaugh de n variáveis sejam dois Cubos-0 que diferem apenas no valor de uma variável (Cubos-0 adjacentes). As n-1 va-riáveis em que dois Cubos-0 adjacentes são con-cordantes definem um Cubo-1.
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
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Cubo-r - Analogia com representações geométricas de variáveis contínuas:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
x10 1
x = 2,37
0 1 2 3x1
(2,37 ; 1,2)
0 1 2 3x1
x2
1
2
x1(0,0) (0,1)
(1,0) (1,1)
x2
(x2,x1)Duas
variáveis
Uma
variável
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Cubo-r (r ≥ 1): Em um Mapa de Karnaugh de n variáveis sejam dois Cubos-(r-1) diferindo exa-tamente no valor de uma variável (denominados Cubos-(r-1) adjacentes). As n-r variáveis em que dois Cubos adjacentes são concordantes definem um Cubo-r.
Cubo-r - Analogia com representações geométri-cas de variáveis contínuas. Exemplo com a função:
3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
)7,6,3,2,0(),,( 321 ∑=p
in mxxxf
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3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
x1(0,0,0)
x2
(0,0,1)
(1,1,0) (1,1,1)
x3
(0,1,0) (0,1,1)
(1,0,0)
(1,0,1)
m0 m1
m2 m3
m7m6
m5
m4
(x3,x2,x1)
Cubos-0 possíveis para uma
função de três variáveisTrês variáveis
(2,37;1,2;2)
0 1 2 3x1
x2
11
22
x3
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3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
Exemplo: Cubos-0 da
função de três variáveis.
Exemplo: Cubos-1 da
função de três variáveis.
(1,1,1)m7
(0,0,0)
(0,1,1)(0,1,0)
m0
m2 m3
(x3,x2,x1)
(1,1,0)m6
0,0,0
0,1,1
1,1,1
0,1,0
0,X,0
0, 1,XX, 1,1
(x3,x2,x1)
1,1,0
X,1,01,1,X
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3.2. Síntese por Mapa de Karnaugh
Exemplo: Cubo-2 da função de três variáveis.
Cubo-2
213321 ~~),,( xxxxxxfn +=
0,X,0
0, 1,XX, 1,1
(x3,x2,x1)
X,1,01,1,X
Cubo-1
)7,6,3,2,0(),,( 321 ∑=p
in mxxxf
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No momento de simplificar-se um circuito é conve-niente determinar uma topologia (ou formato) de circuito antes de definir-se o critério para o signi-ficado de mais simples possível. Vejamos as im-plementações de três formas distintas da seguinte função:
4. Minimização de Circuitos
)14,13,10,9,6,5(∑=p
in mf
123123124124 ~~~~ xxxxxxxxxxxxfn +++=
)~~)(( 121234 xxxxxxfn ++=
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Qual é a forma mais simples (I)?
4. Minimização de Circuitos
fn
x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4
m5
m6
m9
m10
m13
m14
(I)
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Qual é a forma mais simples (II e III)?
4. Minimização de Circuitos
fn
(II) (III)
fnx4
x3
x2
x1
x2
x1
x1x2x4
x1x2x4
x1x2x3
x1x2x3
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Implicante Primário: Um Cubo é um IP –implicante primário – se ele não estiver incluído em nenhum outro Cubo de ordem superior.
Uma função de chaveamento pode ser representada por uma soma de todos os seus implicantes primá-rios. Esta representação especial em Soma de Pro-dutos é denominada Soma Completa.
Tal representação não é necessariamente a função de chaveamento minimizada, porém é um passo importante para a minimização.
4.1. Implicantes Primários
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Implicante Primário Essencial: Seja Ipj um implicante primário e seja fn uma função expressa na forma da soma de todos os seus Ipi. Ipj é um Implicante Primário Essencial(IPE) se Ipj contiver um cubo qualquer não contido na somatória dos Ipi.
Os IPEs deverão estar presentes em uma realização mínima para fn. Se estes IPEs cubrirem fn total-mente então o problema de minimização está con-cluído.
4.1. Implicantes Primários
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4.1.1. Tabela de Cobertura
Tabela de Cobertura: Se ocorrer o caso de que os IPE’s não cubram fn totalmen-te, então deve-se usar algum procedi-mento que permita descobrir os IP’s (dentre os não essenciais), que façam parte da expressão mínima:
Expressão Mínima = = IPE1 + IPE2 + … + IPEn + [ΣΣΣΣ(Demais Implicantes)]
Um destes procedimentos denomina-se Tabela de Cobertura.
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4.1.1. Tabela de CoberturaConsidere-se o exemplo de uma função definida por
seu Mapa de Karnaugh, onde o custo (k) é igual ao número de Literais do IP. Para descobrir os demais implicantes realiza-se um processo de redução da Tabela de Cobertura:
1-) Por meio da eliminação das células já cobertas por IPE’s;
2-) Encontrando-se implicantes de menor custo (k) possível e que cobrem o maior número de células. Diz-se que estes implicantes dominam os demais.
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4.1.1. Tabela de CoberturaExemplo – Função dada por seu Mapa de Karnaugh:
IPE’s:IPE1 = ~x4.x1
IPE2 = x4.~x3.~x1
x4x
300 01 11 10x
2x
1
00
01
11
10
1
0
1
1
0
1
0 1
0 0
1
1
0 0
11IPE1
IPE2
*: Células não
cobertas por
nenhum outro
cubo que seja o
maior possível.
x4x
300 01 11 10x
2x
1
00
01
11
10
1
0
1*
1
0
1*
0 1
0 0
1
1*
0 0
11
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4.1.1. Tabela de CoberturaTodos os IP’s:
IPE’s:IP1 = IPE1 = ~x4.x1
IP2 = IPE2 = x4.~x3.~x1
Demais IP’s:
IP3 = ~x4.~x3.~x2
IP4 = ~x3.~x2.~x1
IP5 = x3.~x2.x1
IP6 = x4.x3.~x2
IP7 = x4.~x2.~x1
IP1=IPE1 IP2=IPE2
x4x
300 01 11 10x
2x
1
00
01
11
10
1
0
1*
1
0
1*
0 1
0 0
1
1*
0 0
11
IP7
IP3 IP6
IP4
IP5
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4.1.1. Tabela de CoberturaTabela de Cobertura- Para aplicação do processo de redução:
Obs: Lembrar que o custo (k) é igual ao número de Literais do Implicante.
IP1=IPE1
IP2=IPE2
IP7
IP3
IP6
IP4
IP5
0Implicantes
X
1 3 5 7 8 Custo(k)10 12 13
X X X 2
3
3
3
3
3
3
X X
X X
X X
X X
X X
XX
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4.1.1. Tabela de Cobertura
Tabela de Cobertura - Após processo de redução:
fmín = IP1 + IP2 + IP3 + IP6
OU
IP1 + IP2 + IP4 + IP6
(k=2+3+3+3=11)
(k=2+3+3+3=11)
IP7
IP3
IP6
IP4
IP5
0Implicantes Custo(k)12 13
3
3
3
3
3
X
X X
X
X
X
IP6
domina
IP5
e IP7
IP3 e IP4
são
indiferentes
(k e m0 iguais)
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Exemplo: Procedimento de extração dos Implican-tes Primários pelo método tabular. Dada a Função:
4.2 Minimização pelo Método Tabular
)15,12,10,8,7,5,4,2,0(∑=p
in mf
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
1 1 1 1
1
1
1 1
1
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
(0) (4) (12) (8)
(1) (5) (9)(13)
(3) (7) (15)
(2) (6) (14)
(11)
(10)
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Passo 1 -Listam-se os mintermos de fn com a nota-ção Cubo-0 correspondente (Ex:m7=~x4x3x2x1).
Agrupam-se os Cubos-0 de modo que:– No primeiro grupo todos possuam zero 1’s.– No segundo grupo todos possuam um 1, etc.
Identificam-se pares de Cubos-0 compatíveis, isto é, que exista um Cubo-1 que os contenha.
Define-se uma operação entre Cubos-0 compatíveis para gerar o Cubo-1 que os contém. Os Cubos-0 são marcados com “√” e os Cubos-1 gerados colocados em outra tabela para o passo 2.
4.2 Minimização pelo Método Tabular
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Exemplo – Método Tabular de extração dos Implicantes Primários :
4.2 Minimização pelo Método Tabular
Passo 1
0 0 0 0
x4 x3 x2 x1
(0)
(4)
(12)
(8)(5)
(7)
(15)
(2)
(10)
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 1 0 11 0 1 01 1 0 00 1 1 11 1 1 1
√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√
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Passo 2 - Os Cubos-1 gerados pelo Passo 1 são agrupados, de maneira que os elementos do pri-meiro grupo possuem zero 1’s, os do segundo grupo um 1, etc. É utilizado o mesmo procedi-mento de operação entre Cubos-1 para gerar Cubos-2 para o passo 3.
Passo 3 - O procedimento é análogo aos anterio-res. Como não são gerados Cubos-3 para este exemplo termina-se o algoritmo de geração de Implicantes Primários.
4.2 Minimização pelo Método Tabular
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4.2 Minimização pelo Método TabularExemplo - Método Tabular de extração dos Implicantes
Primários:
Passo 2
0 0 - 0
x4 x3 x2 x1
(0,2)
(2,10)
0 - 0 0- 0 0 0- 0 1 00 1 0 -- 1 0 01 0 - 01 - 0 00 1 - 1
(7,15) - 1 1 1
(0,4)
(0,8)
(5,7)
(8,12)
(4,5)
(4,12)
(8,10)Passo 3
- 0 - 0
x4 x3 x2 x1
(0,2,8,10)
- - 0 0(0,4,8,12)
f = ~x4x3~x2 + ~x4x3x1 + x3x2x1 +
+ ~x3~x1 + ~x2~x1
√√√√√√√√√√√√√√√√
√√√√√√√√√√√√
IPE1IPE2
IPE3IP4IP5
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Verificar se há necessidade dos termos (4,5) ou (5,7) dado que:– 4 ∈ (0,4,8,12) e 5 ∈ (5,7).
Ou outra maneira de ver é que:– 5 ∈ (4,5) e 7 ∈ (7,15).
4.2 Minimização pelo Método Tabular
f = ~x4x3~x2 + ~x4x3x1 + x3x2x1 + ~x3~x1 + ~x2~x1
(4,5) (5,7) (7,15) (0,2,8,10) (0,4,8,12)
IPE1IPE2IPE3IP4IP5
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4.2 Minimização pelo Método Tabular
fmín = ~x4x3x1 + x3x2x1 + ~x3~x1 + ~x2~x1
x4x
3
00 01 11 10x2x
1
00
01
11
10
0
7
5
8
10*
4 12*
15*
IPE2
(0,2*,8,10*)
2*
IPE1
(0,4,8,12*)
IPE3
(7,15*)
IP4
(5,7)
IP5
(4,5)
IPE1IPE2IPE3IP4
fmín = ~x4x3~x2 + x3x2x1 + ~x3~x1 + ~x2~x1
OU
IPE1IPE2IPE3IP5
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Até o momento identificamos Adjacências –isto é, grupamentos (retangulares ou quadra-dos) de 2n células (mintermos) adjacentes, para as quais o valor da Função é 1.
Pode-se identificar outro tipo de Adjacências– isto é, grupamentos (retangulares ou qua-drados) de 2n células (Maxtermos) adjacen-tes, para as quais o valor da Função é 0.
4.3 Mapas de Karnaugh Considerando-se os Zeros das Funções
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Exemplos:
4.3 Mapas de Karnaugh Considerando-se os Zeros das Funções
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
0
0
1
1
0
1
1
1
0 1
1 1
1
1
1 1x2
x4
f = x2 + x4
Realmente, considerando-se os uns chega-se ao mesmo valor.
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
1
1
1
0
0
1
1
1
1 1
0 1
0
1
1 1
~x1
f = ~x1 + ~x3
~x3
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Dicas: 1-) Constrói-se o Mapa de Karnaughde ~f; 2-) Escreve-se a expressão de ~f, considerando-se os uns (mintermos); 3-) Complementa-se ~f, obtendo-se f.
4.3 Mapas de Karnaugh Considerando-se os Zeros das Funções
Na prática nem se chega a construir o Mapa de ~f, define-se o Mapa de f considerando-se os Zeros(Maxtermos); Lembrar que os Maxtermos, identificados por seus índices, estão nas mesmas posições que os mintermos.
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
(0) (4) (12) (8)
(1) (5) (9)(13)
(3) (7) (15)
(2) (6) (14)
(11)
(10)
Maxtermos
M0=x4 + x3 + x2 + x1
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Exercício – Considerando-se os Zeros das Funções, determinar a expressão de chaveamento das seguintes funções:
4.3 Mapas de Karnaugh Considerando-se os Zeros das Funções
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
0
1
0
1
1
0
1
0
1 1
1 1
1
1
1 1
x4x3
00 01 11 10x2x1
00
01
11
10
1
0
1
1
0
1
0
1
1 1
1 1
0
1
1 1
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Funções Incompletamente Definidas – São aquelas que, por razões diversas, tem o do-mínio de interesse de respostas menor que o conjunto de combinações de todas suas en-tradas. São funções para as quais não impor-ta (Don’t Care - X) que, para algumas com-binações de entradas, a saída possa valer 0 ou 1 (X).
Pode-se tirar proveito deste grau de liberdade escolhendo-se o valor mais adequado de Xpara se obter a expressão mínima possível.
4.4 Funções Incompletamente Definidas
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Funções Incompletamente Definidas – Exemplo:� Quer-se sintetizar o Circuito2 de maneira que:
4.4 Funções Incompletamente Definidas
x1
⊕⊕⊕⊕
f1
fn
f2
Circuito2
x2
x3
x3
x2
)7,6,4,3,1(mfp
in ∑∑∑∑====
� Observa-se que a função f1=x3.x2 já foi fornecida, e que fn=f1+f2.
� Por meio dos Mapas de Karnaugh faz-se a análise de quais mintermos podem ser don’t care (X).
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� Pode-se ver que a função f2 deverá fornecer 1’s nas posições m1, m3 e m4, e não importa seu valor lógico (1 ou 0) nas posições m6 e m7 (onde foi anotado um X). Procura-se a melhor distribuição de 0’s e 1’s para os X’s, de maneira que se obtenha a menor expressão de chaveamento.
4.4 Funções Incompletamente Definidas
+
x1
0 1x3x2
00
01
11
10
(0) (1)
(2) (3)
(6) (7)
(4) (5)
x1
0 1x3x2
00
01
11
10
1
1
1 1
1
=
x1
0 1x3x2
00
01
11
10
1 1
x1
0 1x3x2
00
01
11
10
1
1
X X
1
)]}7,6(X)4,3,1(m[f{)}7,6(mf{)7,6,4,3,1(mfp
i
p
i2
p
i1
p
in ∑∑∑∑++++∑∑∑∑====++++∑∑∑∑========∑∑∑∑====
fn f1 f2
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� Para sintetizar a soma mínima é preciso:1. Marcar os Implicantes Primários (IP’s) considerando-
se as células X’s como se tivessem valor 1;2. Eliminar os IP’s que cubram apenas células X’s e
apagar os X’s do Mapa de Karnaugh;3. Eliminar IP’s contidos em outros deixando apenas os
IP’s Essenciais (IPE’s).
4.4 Funções Incompletamente Definidas
1 2 3x1
0 1x3x2
00
01
11
10
1
1
X X
1
x1
0 1x3x2
00
01
11
10
1
1
1
x1
0 1x3x2
00
01
11
10
1
1
1
1
x1.~x3
~x1.x3
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Funções Incompletamente Definidas – Exemplo:� Por meio da análise de quais mintermos podem ser
Don’t Care (X) nos Mapas de Karnaugh e a aplicação de técnicas de minimização conhecidas (identificação do Implicantes primários Essenciais – IPE’s) pode-se sintetizar o Circuito2:
4.4 Funções Incompletamente Definidas
x1
⊕⊕⊕⊕
f1
fn
f2
Circuito2
x2
x3
x3
x2
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5. Exemplos de Aplicação: 5.1. Somador1-) Análise – Fornece-se o circuito lógico e pede-se
para extrair a Expressão Algébrica e a Tabela da Verdade, interpretando-se suas Funções de Engenharia.
2-) Síntese:a.) Pela Função de Engenharia – A partir da espe-
cificação funcional vão sendo desenvolvidos os módulos constituintes dos sistema.
b.) Por Mapa de Karnaugh – O funcionamento do circuito é especificado por uma Tabela da Verdade, da qual, por Mapa de Karnaugh, são extraídas as expressões algébricas .
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5. Exemplos de Aplicação: 5.2. Half Adder Full Adder
x y c s
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 0
s
c
x
y
“Half Adder” - Equivale a um circuito “meio-somador” de dois dígitos binários.
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5. Exemplos de Aplicação:5.2. Meio Somador - Somador Completo
xi
yi
ci
ci+1
s
Meio Somador
sint
cint
x
y
Meio Somador
sint
cint
x
y
Somador Completo
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5. Exemplos de Aplicação:5.3. Soma de Dois Números
M = x3x2x1 N = y3y2y1
Meio
Somador
Somador
Completo
x1
x2
y1
y2
x3
y3
Somador
Completo
s
cs
cs
c
z1
z2
z3
z4
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Lição de Casa
Leitura Obrigatória:� Capítulo 4 do Livro-texto.
� Exercícios Obrigatórios:� Capítulo 4 do Livro Texto;
� Lista de Exercícios.
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Bibliografia
Dias, Francisco José de Oliveira; “Introdução aos circuitos de Chaveamento”; Apostila, PEL/EPUSP, 1.989.
Ercegovac, Milos D.; Lang, Tomás; “Digital Systems and Hardware/Firmware Algorithms”; John Wiley, 1.985.
Fernández, Gregório; Saez Vacas, Fernando; “Fundamentos de Informática”, Alianza Editorial, Colección Alianza Informática, 1.987.
Fregni, Edson; Saraiva, Antônio Mauro; “Engenharia do Projeto Lógico Digital”, Editora Edgard Blucher, 1.995.
Gersting, Judith L.; “Fundamentos Matemáticos Para a Ciência da Computação”, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1.995.
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BibliografiaGuerra Vieira, Antônio Hélio; Dias, Francisco José de
Oliveira “Notas de Aula de PEL 213 - Circuitos de Chaveamento”, Apostila, EPUSP, 1.979.
Hill, Frederic and Peterson, Gerald; “Introduction To Switching Theory and Logical Design”, John Wiley Sons, 1.974.
Mendelson, Elliott; “Álgebra Booleana e Circuitos de Chaveamento”, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill, 1.977.
Ranzini, Edith; Fregni, Edson; “Notas de Aula de PCS 214 -Teoria da Comutação: Introdução aos Circuitos Digitais”, Apostila, EPUSP, 1.996.
Tremblay, J. P. and Monohar, R.; “Discrete Mathematical Structures With Applications to Computer Science”, McGraw-Hill, 1.975.