Análise de Medidas Repetidas: Áreas de Uso São freqüentemente usadas em pesquisas científicas em áreas agrícolas, biológicas, médicas, geográficas, demográficas.

Análise de Medidas Repetidas: Áreas de Uso

• São freqüentemente usadas em pesquisas científicas em áreas agrícolas, biológicas, médicas, geográficas, demográficas dentre outras.

Medidas Repetidas: Suposições

• As observações para cada unidade experimental devem ser expressas em unidades comparáveis;

• As observações devem se distribuir normalmente com variância constante entre 2 observações dentro de cada unidade experimental;

Medidas Repetidas: Suposições

• Requer que as unidades experimentais sejam independentes.

Disposição dos DadosCondições de AvaliaçãoGrupos Unidade

Experimental 1 2 p1 1

111y 112y py11

1 2121y 122y

p 12y

1 n1

1n1 1y 2n1 1

y pny 11

2 1211y 212y

p 21y

2 2221y 222y

p 22y

2 n2

1n2 2y 2n2 2

y

pny 22

g 1

11gy 12gy

p 1gyg 2

21gy 22gy

p 2gy

g ng

1gngy 2gng

y

pgngy

Análise Univariada: Modelo

ijkikk)i(jiijky

Análise Univariada: Modelo

: representa a média geral;:i representa o efeito do i-ésimo tratamento;

:)(ij representa o efeito aleatório da j-ésima unidadeexperimental dentro do i-ésimo tratamento;

:k representa o efeito da k-ésima condição de avaliação;:ik representa o efeito de interação entre o i-ésimo

tratamento e a k-ésima condição de avaliação;:ijk representa o erro aleatório da observação ijky ,

Onde,

),0( 2)( NIDij

ikkiijkyE )(

),0( 2 NIDijk

)V( ijky

e

)(

2

1

1

1

pxp

: é a matriz de variâncias e covariâncias, também conhecida como matrizuniforme;

: representa a correlação entre dois elementos quaisquer dentro do mesmovetor resposta;

222

Anova e Teste de Efeitos

• A tabela de Anova é composta por dois tipos de erros: entre sujeitos e dentro de sujeitos;

• Esta Análise Univariada de Perfis admite uma estrutura de Covariâncias Uniforme dada pela matriz , significando que todos os pares de observações sobre o mesmo sujeito têm igual correlação;

Anova e Teste de Efeitos• Para os testes dos efeitos dentro de sujeitos a

matriz deve seguir um certo padrão, conhecido como covariância do tipo H (Huynh e Feldt);

• O teste de esfericidade testa este padrão. Se a esfericidade é aceita a matriz segue o padrão exigido, podendo-se usar o teste F tradicional para testar os efeitos dentro de sujeitos;

Anova e Teste de Efeitos

• Se o teste de esfericidade é rejeitado, dependendo da probabilidade de rejeição, pode-se usar o Epsilon de Greenhouse e Geisser ou Epsilon de Huynh-Feldt para se ter um F ajustado para testar cada efeito dentro de sujeitos.

Tabela Anova UnivariadaFonte de Variação GL SQ QM F

Grupo g -1 SQ_Grupo QM_Grupo QM_Grupo/QM_E(A)

Erro (A) n - g SQ_E(A) QM_E(A)

Cond.Avaliação p - 1 SQ_Cond.Aval. QM_Cond.Aval. QM_Cond.Aval./QM_E(B)

Cond.Aval*Grupo (g-1) (p-1) SQ_Cond*Grupo QM_Cond*Grupo QM_Cond*Grupo/QM_E(B)

Erro (B) (n-g) (p-1) SQ_E(B) QM_E(B)

Total np - 1

Análise Multivariada de Perfis

• O tamanho da amostra se baseia no número de unidades experimentais;

• O procedimento multivariado tem menos sensibilidade do que o procedimento univariado;

• Não exige o padrão da matriz de variâncias e covariâncias requerido pelo perfil univariado;


• A exemplo da univariada, exige que deve ser comum a todos os tratamentos, sendo que as componentes aleatórias do erro devem seguir uma distribuição normal;

• É assintoticamente equivalente a univariada para os tamanhos de amostras encontrados na prática;


• Só pode ser aplicada quando n-g p-1;

• No modelo para análise multivariada as observações são expressas na forma matricial.

Modelo Multivariado

• E(Y) (n x p) = X (n x g) (g x p)

onde,

Y=

gng

g

n

gngpgnggng

pggg

pnnn

p

p

y

y

y

yy

yyy

yyy

yyy

yyyyyy

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............

...............

...............

...

...

'1

'11

'12

'11

21

112111

11121111

12122121

11112111

ng

n

n

X

1...00.........0...100...01

2

1

'

'2

'1

21

22221

11211

.

.

.

............

...

...

ggpgg

p

p

Y (n x p) : matriz de dados; X (n x g) : matriz de especificação;

(g x p) : matriz de parâmetros que definem a estrutura de variação do comportamento médio da resposta. Os vetores linhas da matriz de parâmetros acima representam o perfil médio de respostas para as unidades experimentais do i-ésimo tratamento.

Análise Multivariada: Matriz de Variâncias e Covariâncias

221

22212

11221

...............

...

...

ppp

p

p

Onde,

ij : representa a covariância entre as observações medidas em

condições de avaliações distintas;

j2 : é a variância das observações medidas na mesma condição de

avaliação.

HipótesesH0 : não existe interação entre Grupo*Condições de Avaliação (Perfis paralelos)

gppg

gg

gg

pppp

H

1

32

21

212

2322

2221

111

1312

1211

0

...

...

......

...

...

...

...

...

...:

Hipóteses

H0 : não existe efeito de Grupo (Perfis Coincidentes)

:0H

gp

g

g

pp

.

.

....

.

.

.

.

.

.2

1

2

22

21

1

12

11

Hipóteses

H0 : não existe efeito das Condições de Avaliação (Perfis Horizontais)

:0H

gp

p

p

gg

.

.

....

.

.

.

.

.

.2

1

2

22

12

1

21

11

Estatísticas de Testes Multivariados

• O critério de Roy;

• O critério de Wilks;

• O traço de Hotelling-Lawley;

• O traço de Pillai.

Análise de Medidas Repetidas: Modelos Mistos

• É o procedimento mais difundido para análise de medidas repetidas;

• Dentre as várias estruturas da matriz de variâncias e covariâncias, tem-se o Componente Simétrico (CS), Auto Regressivo de 1ª Ordem, AR(1), e Não Estruturada (UN).

Modelos Mistos: Modelo

ZXY

Onde,

Y : é o vetor de dados observados; X : é matriz de planejamento para os efeitos fixos; : é o vetor de parâmetros associados aos efeitos fixos; : é o vetor de parâmetros associados aos efeitos aleatórios; Z : é a matriz de planejamento para os efeitos aletórios; : é o vetor de erros aleatórios.

~ N( 0; 2 G ) e ~ N( 0; 2 R ); e são não correlacionados; G : matriz de covariâncias associada a ; R : matriz de covariâncias associada a ;

00

E e

RG

V0

0

V = Var(Y) = ZGZ’ + R

Equações do Modelo Misto

yRZ

yRX

GZRZXRZ

ZRXXRX1

^

1^

^

^

1^

1^

1^

1^

1^

'

'

''

''

Solução para os Efeitos Fixos e Aleatórios

Fixos:

yVXXVX 1^1

1^^

''

Aleatórios:

bXyVZG 1^'^^

Análise de Medidas Repetidas: Áreas de Uso São freqüentemente usadas em pesquisas científicas em áreas agrícolas, biológicas, médicas, geográficas, demográficas.

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