ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS COM ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO Pedro Filipe Tiago Arruda Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira Orientador: Doutor Luís Manuel Soares dos Santos Castro Vogais: Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis Outubro de 2009
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ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS COM … · Engenharia Civil Júri Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira Orientador: Doutor Luís Manuel Soares dos Santos
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ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS COM ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO
Pedro Filipe Tiago Arruda
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira
Orientador: Doutor Luís Manuel Soares dos Santos Castro
Vogais: Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis
Outubro de 2009
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao Professor Luís de Castro pela possibilidade de desenvolver uma
dissertação sob a sua orientação.
Agradeço ao meu irmão, Mário Arruda, pelo enorme voluntarismo em todo o
processo e as diversas horas gastas na ajuda e compreensão da temática em estudo.
Um especial agradecimento aos meus pais, Vítor Arruda e Maria Tiago Arruda,
pois foi devido à sua exigência, incentivo e estimulo que me permitiram trabalhar para
atingir os objectivos.
Agradeço à instituição IST, nomeadamente ao trabalho de vários docentes
durante o meu Mestrado, bem como aos vários colegas que tive a oportunidade de
conhecer e trabalhar em conjunto.
i
RESUMO:
Neste trabalho é apresentado um modelo de elementos finitos Híbrido-Misto
de Tensão (HMT) para a análise linear de estabilidade de pórticos planos e lajes. Este
modelo foi implementado utilizando polinómios ortonormais de Legendre como
funções de aproximação para os campos de esforços e de deslocamentos. A utilização
deste tipo de funções permite o cálculo dos operadores matriciais do sistema
governativo através da utilização de expressões analíticas e possibilita a adopção de
refinamentos p-hierárquicos muito eficazes.
Demonstra-se que ainda que apesar do sistema governativo inicial dos HMT
não ser idêntico aos dos Elementos Finitos (EF) convencionais, é possível chegar a um
sistema governativo matematicamente semelhante, mas com significado físico
diferente. Desta forma, podem ser aplicadas as técnicas usais para o cálculo de valores
e vectores próprios de estruturas com os modelos HMT.
Assumindo um comportamento fisicamente linear, a solução do problema
pode ser determinada através da realização de uma análise geometricamente não
linear na posição deformada. Para validar o modelo apresentado e para demonstrar as
suas potencialidades, são apresentados e discutidos alguns exemplos numéricos. Os
resultados obtidos são comparados com soluções analíticas e com soluções obtidas
com recurso a outras técnicas numéricas de referência usando EF convencionais.
PALAVRAS-CHAVE
Elementos Finitos
Modelos Híbridos Mistos de Tensão
Análise Linear de Estabilidade
Pórticos Planos, Lajes Espessas
Polinómios de Legendre
ii
ABSTRACT:
This work presents a hybrid mixed stress finite element model for the linear
stability analysis of beams and Reissner-Mindlin plate bending problems. This model is
based on the use of complete sets of orthonormal Legendre polynomials as
approximation functions. The use of this type of functions allows the development of
analytical closed form solutions for the computation of all integrals involved in the
definition of the different structural operators. It enables also the implementation of
highly efficient p- refinement procedures.
Although the governing system may be different from the conventional finite
elements, it is possible to achieve a governing system mathematical identical, but with
different physical meanings. There for the conventional techniques of Eigen values in
structures can be applied with hybrid mixed stress finite elements.
Assuming a physically linear behaviour, the solution of the problem can be
determined by performing a non geometrical analysis in the deformed position. To
validate the model and to illustrate its potential, several numerical tests are presented
and discussed. The results obtained with the hybrid-mixed model are compared with
analytical solutions and with other numerical solutions computed with the classical
displacement finite element formulation.
KEYWORDS
Finite Elements
Hybrid Mixed Stress Models
Linear Stability Analysis
Beams, Reissner-Mindlin Plate Bending problems
Legendre Polynomials
iii
NOTAÇÃO Letras Latinas Minúsculas b – Forças de massa. e – Deformações generalizadas. f – Matriz que reúne os parâmetros elásticos - formato de flexibilidade. h – espessura da laje. mx – Momento flector de laje ao longo do x. my – Momento flector de laje ao longo do y. mxy – Momento torsor de laje ao longo de x e y . mρ – Matriz de massa do elemento infinitesimal. n – Normal exterior unitária à fronteira. qV – Pesos da aproximação dos deslocamentos generalizados no domínio. qΓ – Pesos da aproximação dos deslocamentos generalizados na fronteira. s – Esforços independentes no domínio. t – Forças na fronteira. u – Campo de deslocamentos do elemento. u – Deslocamento longitudinal de barra. uΓ – Deslocamento de fronteira generalizado.
u – Deslocamento longitudinal nodal de barra.
Γu – Operador dos deslocamentos de fronteira. uV – Campos de deslocamentos no domínio do elemento. uΓ – Campos de deslocamentos na fronteira do elemento. vx – Esforço transverso de laje ao longo de x. vy – Esforço transverso de laje ao longo de y. w – Deslocamento transversal de barra.
w – Deslocamento transversal de fronteira. Letras Latinas Maiúsculas A – Área da secção. Ac – Área de corte da secção. AV – Operador de compatibilidade no domínio. AΓ – Operador de compatibilidade na fronteira. D – Operador diferencial de equilíbrio. D* – Operador diferencia de compatibilidade. E – Módulo de elasticidade. Ee – Operador de flexibilidade linear. F – Operador de flexibilidade generalizado. Fi – Forças nodais de barra. N – Matriz das normais exteriores à fronteira. QV – Forças de massa generalizadas. QΓ – Forças de fronteira generalizadas. Pi(x) – Polinómio de Legendre de grau i. S – Função aproximação dos campos de esforços no domínio.
iv
T – Matriz dos cosenos directores. UV – Funções de aproximação dos campos de deslocamentos no domínio do elemento. UΓ – Funções de aproximação dos campos de deslocamentos na fronteira do elemento. V – Domínio do elemento. X – Pesos das aproximações dos campos de esforços no domínio. Letras Gregas Minúsculas α – Ângulo de rotação da barra. γ – Distorção. ε – Deformação. ζ – Coeficiente de proporcionalidade de amortecimento. θ – Rotação. λ – Coeficiente de normalização dos polinómios de Legendre. ς – Referencial de fronteira do elemento. σ – Tensão. υ – Coeficiente de poisson. χ – Curvatura. Letras Gregas Maiúsculas Γ – Fronteira do elemento. Γσ – Fronteira estática do elemento. Γu – Fronteira cinemática do elemento.. Φ – Coeficiente de Corte. Φn – Vector próprio normalizado do modo de vibração n. Abreviaturas EF – Elementos Finitos. HMT – Híbridos Mistos de Tensão.
ANEXO A .............................................................................................................................................. 58
A.1 – SISTEMA GOVERNATIVO DOS HMT PARA PÓRTICOS PLANOS ..................................................................... 58
A.2 – SISTEMA GOVERNATIVO DOS HMT PARA LAJES ...................................................................................... 64
ANEXO B .............................................................................................................................................. 68
B.1 – POLINÓMIOS DE LEGENDRE ................................................................................................................. 68
B.1.3 – PROPRIEDADES DOS POLINÓMIOS DE LEGENDRE ................................................................................... 68
B.1.4 – FORMULAS GERADORAS DOS POLINÓMIOS DE LEGENDRE ....................................................................... 68
B.1.5 – EXPRESSÕES PARA INTEGRAÇÕES ANALÍTICAS ....................................................................................... 70
ANEXO C .............................................................................................................................................. 73
C.1 – FORMULAS E TEOREMAS ..................................................................................................................... 73
C.1.1 – DIVERGÊNCIA DE UM CAMPO VECTORIAL ............................................................................................ 73
C.1.2 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA .............................................................................................................. 73
C.1.3 – MUDANÇA DE REFERENCIAL ............................................................................................................. 73
ANEXO D .............................................................................................................................................. 74
D.1 – ELEMENTOS CONVENCIONAIS .............................................................................................................. 74
Substituindo o campo dos deslocamentos pelas respectivas aproximações, define-se a
matriz geométrica GV.
� |² �(�112;�)#Г�����������¿
% |(;²) �;²#������������ÀÁ� � 0
(3.19)
17
Adicionando os termos da análise linear chega-se à equação de equilíbrio (3.20).
Acontece que nos EF convencionais a parcela denotada em (3.19) por F desaparece quando o
sistema governativo global é construído, visto estas serem formulações compatíveis que
asseguram a continuidade do campo de deslocamentos ao longo das fronteiras cinemáticas e
fronteiras inter-elementares [3].
(� � /v)� � } (3.20)
3.4 Análise dos Efeitos Geometricamente Não Lineares em Barras com Modelos HMT
Para os modelos HMT vão ser propostos três formatos alternativos para a matriz
geométrica, onde cada um parte de uma hipótese diferente de cálculo. A matriz GV1 parte dos
mesmos pressupostos dos adoptados para a dedução da matriz geométrica com elementos
finitos convencionais.
Ponderando as equações de equilíbrio no domínio, deduz-se que:
| w�� (�� � � � ��)#� � 0 (3.21)
Usando os mesmos passos dos elementos finitos convencionais, que envolve o uso do
teorema da divergência na parcela geometricamente não linear, define-se a matriz geométrica GV1 para os HMT. Desenvolvendo a equação (3.25), obtém-se sucessivamente:
|wv �t#� ���������ÃÁ�
u % |(;wv) �;wv#��������������ÀÁÄ�v � %| wv �#��������ÅÁ
Este sistema também pode ser condensado matricialmente exactamente como em
(3.30) resultando:
(� � /v=)�v � } (3.41)
3.4.3 Determinação de cargas críticas
O problema da determinação de cargas críticas consiste num simples problema de
valores e vectores próprios num ponto de bifurcação [14]. Tanto para os modelos de EF
convencionais como para os modelos HMT estas são determinadas com as equações
#�� � Ï/v � 0 (3.42)
#�(� � Ï/v;) � 0 (3.43)
21
#�(� % Ï/v<) � 0 (3.44)
#�(� � Ï/v=) � 0 (3.45)
Os valores próprios são dados por λ e os vectores próprios por qV. Os valores iniciais de N são determinados com base numa análise elástica linear com cargas unitárias.
3.5 Efeitos Geometricamente Não Lineares em Placas
Neste caso apenas se vão escrever as equações de equilíbrio no domínio, visto no
capítulo 3.4 se ter desprezado o efeito geometricamente não linear do equilíbrio na fronteira
para a matriz GV1. Neste trabalho apenas se determinam tensões críticas em lajes, onde a
única carga considerada é o esforço de membrana inicialmente existente.
Considerando o elemento de placa na sua configuração inicial e deformada, tal como
se encontra representado na Figura 3-4, deduz-se o equilíbrio na posição deformada, usando o
somatório de forças verticais e momentos totais [kN e kNm]. Maiores detalhes desta dedução
podem ser encontrados em [13], onde hij�σij x espessura. Admite-se como nula a carga
transversal aplicada no domínio da laje, q(x,y)�0.
Figura 3-4 – Equilíbrio no domínio na posição deformada do elemento placa.
Exactamente como nos EF convencionais, também estas matrizes geométricas têm o
mesmo significado matemático no sistema governativo anteriormente apresentado no
capítulo 3.4. Também é possível aplicar exactamente a mesma condensação matricial das
barras e respectivos algoritmos para o cálculo de valores e vectores próprios para a
determinação de tensões críticas. Maiores detalhes da construção das matrizes geométricas
com os modelos HMT encontram-se apresentadas no Anexo A.
25
4 Análise de Pórticos Planos
Neste capítulo apresentam-se e discutem-se vários testes para validar os modelos
propostos e para aferir a respectiva eficácia numérica na determinação de cargas críticas,
modos de encurvadura e esforços geometricamente não lineares em pórticos planos.
Começou-se por efectuar uma análise da eficiência da discretização tipo p- quando comparada
com uma discretização tipo h- para a barra simplesmente apoiada. É de seguida executado um
teste para a determinação de cargas críticas com deformabilidade por corte. É também
apresentado um teste para se demonstrar a não ocorrência de Shear Locking com os modelos
HMT. São apresentados vários exemplos de determinação de cargas críticas com os modelos
HMT e EF convencionais e comparados com as respectivas formulas teóricas conhecidas, para
barras sem deformabilidade por corte. Os resultados para os EF convencionais foram obtidos
por recurso ao programa comercial SAP2000. Por final são executados vários testes para aferir
a eficácia dos HMT em determinar os esforços geometricamente não lineares em pórticos.
4.1 Coluna Simplesmente Apoiada sem Deformabilidade por Corte
Neste exemplo efectua-se a de uma barra simplesmente apoiada, onde se pretende
demonstrar as vantagens numéricas do uso dos macroelementos. São ainda apresentados os
vários modos de encurvadura obtidos com uma discretização envolvendo a consideração de 2
elementos, de modo a poder mostrar a violação das condições de compatibilidade que pode
ocorrer quando se utilizam modelos HMT. Considera-se a coluna apresentada na Figura 4-1
Figura 4-1 – Coluna simplesmente apoiada comprimida.
ÚÛÜ � Ý<I< ,-< (4.1)
Na equação (4.1) é apresentado o valor teórico da carga crítica duma coluna
simplesmente apoiada, sem deformabilidade por corte. O valor de L é o comprimento do vão
da coluna e n o valor do modo de encurvadura para o qual se quer determinar a carga crítica.
Para a comparação de resultados na determinação da carga crítica, considerou-se a
discretização referida na Tabela 4-1. Para mostrar a eficácia dos macro elementos, atribui-se
um maior numero de graus de liberdade aos elementos com menores dimensões.
9 m
E=210 GPa
A=0,01 m
I=0,001 m
u=0,2
2
4
F=5/6
P
26
Grau Aproximação Polinómio
Discretizações Graus Liberdade M N V
A1 (1 elemento) 56 13 2 13
A12 (2 elementos) 64 7 2 7
A14 (4 elementos) 80 4 2 4
A18 (8 elementos) 96 2 2 2
Tabela 4-1 – Discretizações adoptadas.
Para os graus de aproximação dos deslocamentos, e para evitar algum problema
associado à existência de dependências no sistema governativo global, usou-se um grau abaixo
dos respectivos esforços. Na discretização A1 considerou-se apenas 1 único elemento. Os
valores da carga crítica estão associados a cada um dos modos de encurvadura, comparando-
se os resultados obtidos com os valores teóricos.
Os resultados obtidos para a determinação do valor absoluto do erro (isto porque os
HMT apresentam tanto majorantes como minorantes da carga crítica) entre a carga crítica
teórica e a carga crítica numérica, para as várias matrizes geométricas são apresentados de
seguida em escala logaritmica. No caso do erro ser 100% é porque não foi possível determinar
a carga crítica desse modo de encurvadura
Figura 4-2 – Erro da carga crítica com a matriz geométrica GV1.
Figura 4-3 – Erro da carga crítica com a matriz geométrica GV2.
0,0010%
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
100,0000%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Erro
(%)
Modo de Encurvadura
Erro A1
Erro A12
Erro A14
Erro A18
0,0000%
0,0000%
0,0001%
0,0100%
1,0000%
100,0000%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Erro
(%
)
Modo de Encurvadura
Erro A1
Erro A12
Erro A14
Erro A18
27
Figura 4-4 – Erro da carga crítica com a matriz geométrica GV3.
Os resultados são idênticos nos 3 casos. O macro elemento para os primeiros modos
de encurvadura é sempre o mais eficiente, mas para elevados modos de encurvadura os
resultados acabam por ser semelhantes. Verifica-se também que o macro elemento é mais
eficaz com a matriz geométrica GV3. Apresenta-se de seguida as deformadas para a
discretização A12 os 12 primeiros modos de encurvadura obtidos considerando a matriz
geométrica GV 3:
Figura 4-5 – Modos de encurvadura obtidos com a discretização A12 para GV3.
0,0000%
0,0000%
0,0000%
0,0010%
0,1000%
10,0000%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Erro
da(
%)
Modo de Encurvadura
Erro A1
Erro A12
Erro A14
Erro A18
28
Observa-se que as deformadas dos modos de encurvadura são coerentes com a
fronteira cinemáticas até ao 7º modo, visto este ultimo já ter violado a imposição do
deslocamento horizontal nulo no apoio. Também se observa que a partir do 7º modo se perde
a compatibilidade no nó central.
4.2 Coluna em Consola com Deformabilidade por Corte
Determinou-se a carga crítica com deformabilidade por corte usando a matriz
geométrica GV1 e os EF convencionais para diferentes tipos de discretização. Para a
determinação da carga crítica teórica com deformabilidade por corte usou-se a hipótese da
viga de Timoshenko dw/dx=α, ou seja o corte é perpendicular à fibra de flexão pura na posição
deformada.
Apresenta-se em (4.2) a carga crítica teórica duma consola com deformabilidade por
corte. A dedução desta equação [13] parte dos mesmos pressupostos, da determinação
numérica de cargas críticas com deformabilidade por corte usados neste trabalho
Figura 4-6 – Coluna comprimida.
ÚÞ � Ý< ,-< ÚÛÜ � ÚÞ1 � ÚÞ/.Û
(4.2)
Consideraram-se as seguintes discretizações da Tabela 4-1para os campos de esforços
M e V, onde o N tomou sempre o valor de grau 2. Para os graus de aproximação dos
deslocamentos, e para evitar dependências no sistema governativo usou-se um grau abaixo do
que é utilizado na aproximação dos respectivos esforços. Para os EF convencionais usou-se o
mesmo número total de graus de liberdade dos modelos HMT para cada uma das
discretizações adoptadas, tornando possível deste modo uma comparação directa entre os
valores da determinação de cargas críticas com deformabilidade por corte com os modelos
HMT e com os EF convencionais. O valor da discretização adoptada para os modelos HMT e o
número de graus de liberdade usados encontram-se representados na Tabela 4-2. O gráfico da
comparação em escala logaritmica do valor do erro da determinação da carga crítica com os
modelos de EF convencionais e com os modelos HMT encontra-se apresentado na Figura 4-7.
9 m
P
E=210 GPa
A=0,01 m
I=0,001 m
u=0,2
2
4
F=5/6
29
Grau para nM e nV Discretização Graus de liberdade
com os HMT
3 a 16
4 b 20
5 c 24
6 d 28
7 e 32
8 f 36
9 g 40
10 h 44
50 i 204
Tabela 4-2 – Discretizações adoptadas.
Figura 4-7 – Gráfico do erro da carga crítica com deformabilidade por corte.
Verifica-se que os EF convencionais apresentam uma maior rapidez de convergência
que os modelos HMT. O problema da convergência deve-se ao facto da matriz geométrica GV1
não ser muito eficaz, como demonstrado no exemplo 4.1, por apresentar o mais baixo índice
de convergência.
Apresentam-se de seguida as deformadas da discretização d) para os 6 primeiros modos de
encurvadura determinados com recurso à matriz geométrica GV 1:
Figura 4-8 – Modos de encurvadura da consola.
0,0000%
0,0001%
0,0010%
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
a b c d e f g h i
Erro
(%)
Tipo de Discretização
GV1
EF convencionais
30
Verifica-se que os modos de encurvadura são coerentes com as fronteiras cinemáticas
até ao 3º modo, visto que a partir deste último já se começa a violar a condição de rotação
nula na base. Isto demonstra mais uma vez alguma ineficácia da matriz geométrica GV1 em
determinar correctamente os modos de encurvadura, mesmo para discretizações envolvendo
um elevado número de graus de liberdade.
4.3 Sensibilidade ao Shear Locking
Nos modelos HMT, o fenómeno do Shear Locking não ocorre [8]. Para ilustrar a não
ocorrência deste efeito, varia-se a espessura da coluna e determina-se para cada caso o
quociente entre o valor das cargas críticas teóricas (com vigas sem deformabilidade por corte)
e o valor das cargas críticas determinadas numericamente com GV1 (com deformabilidade por
corte).
ßáEHF � ÚÛÜ(�óâHEF)ÚÛÜ(I��éâHEF) (4.3)
Considerou-se os seguintes graus de aproximação para os esforços: M-9,N-2,V-9. Para
os respectivos deslocamentos, e para evitar alguma dependência no sistema governativo usou-
se um grau abaixo dos esforços respectivos.
Figura 4-9 – Gráfico do rácio em função da esbelteza.
Verifica-se que à medida que a esbelteza vai aumentando o valor do rácio tende para a
unidade, o que significa que não se verifica a existência de Shear Locking quando se utilizam os
modelos HMT.
4.4 Testes numéricos
Para a análise da determinação de cargas críticas sem deformabilidade por corte
consideram-se as diversas estruturas apresentadas nos capítulos seguintes. Calculou-se a carga
crítica para estruturas usando os modelos HMT, com a matriz geométrica GV1, GV2, GV3 e com
recurso ao programa SAP2000 para os elementos finitos convencionais. As malhas tipo usadas
para os elementos finitos convencionais estão representadas no Anexo D. Comparam-se os
resultados em relação ao valor das cargas críticas teóricas e a sua variação em função do tipo
0,991
1,011,02
1,03
20 30 40 45 50 60 90
Rác
io P
e/P
cr
Esbelteza
Pe/Pcr
31
de discretização p- para os HMT. O Tipo de discretização varia segundo os graus de
aproximação como referido na Tabela 4-1 no capítulo 4.2.
4.4.1 Coluna em Consola
Considera-se a coluna apresentada na Figura 4-10 em conjunto com as suas
características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por corte,
considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.
Figura 4-10 – Coluna em Consola.
O valor teórico da carga critica duma consola é dado por:
ÚÛÜ � Ý< ,-4< (4.4)
Figura 4-11 – Erro da carga crítica em função da discretização.
No caso da barra em consola verifica-se uma convergência rápida do elemento HMT
com GV3, em comparação com os outros casos. Os EF convencionais são mais eficientes com
9 m
P
E=210 GPa
A=0,01 m
I=0,001 m
u=0,2
2
4
F=5/6
0,0000%
0,0000%
0,0000%
0,0001%
0,0100%
1,0000%
a b c d e f g h i
Erro
(%
)
Tipo de Discretização
GV1
GV2
GV3
EF
32
menos graus de liberdade que os HMT com GV1 e GV2, mas para maior refinamento o GV2, apresenta melhores resultados para maiores graus de discretização.
4.4.2 Coluna Bi-Encastrada
Para este exemplo considera-se a coluna apresentada na Figura 4-12 em conjunto com
as suas características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por
corte, considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.
Figura 4-12 – Coluna bi-encastrada.
O valor teórico da carga critica duma coluna bi-encastrada é dado por:
ÚÛÜ � Ý< ,-0,25< (4.5)
Figura 4-13 – Erro da carga crítica em função da discretização.
No caso da barra encastrada - encastrada deslizante verifica-se uma convergência
semelhante dos elementos HMT com GV1, GV2 e GV3, sendo no entanto esta última opção
ligeiramente melhor. Os EF convencionais são sempre mais eficientes com menos graus de
9 m
P
E=210 GPa
A=0,01 m
I=0,001 m
u=0,2
2
4
F=5/6
0,0000%
0,0000%
0,0000%
0,0001%
0,0100%
1,0000%
a b c d e f g h i
Erro
(%
)
Tipo de Discretização
GV1
GV2
GV3
EF
33
liberdade que os modelos HMT com GV1. Verifica-se também que os EF convencionais
apresentam menores erros com menores graus de liberdade.
4.4.3 Coluna Encastrada-Apoiada
Testa-se neste exemplo a coluna apresentada na Figura 4-14 em conjunto com as suas
características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por corte,
considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.
Figura 4-14 – Coluna encastrada-apoiada.
O valor teórico da carga critica é dado por:
ÚÛÜ � Ý< ,-0.699155575< (4.6)
Figura 4-15 – Erro da carga crítica em função da discretização.
No caso da barra encastrada-apoiada os elementos EF convencionais são mais
eficientes que os elementos HMT. Estes, para graus de aproximação elevados, com GV2, e GV3 , apresentam uma convergência assinalável. Os elementos HMT com GV1, apresentam os piores
resultados, tendo erros acima dos 1% para discretizações “abaixo” da d).
9 m
P
E=210 GPa
A=0,01 m
I=0,001 m
u=0,2
2
4
F=5/6
0,0000%
0,0001%
0,0010%
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
a b c d e f g h i
Erro
da
(%)
Tipo de Discretização
GV1
GV2
GV3
EF
34
4.4.4 Pórtico em L
Considera-se a coluna apresentada na Figura 4-16, em conjunto com as suas
características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por corte,
considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.
Figura 4-16 – Pórtico em L.
Neste exemplo o valor da carga crítica PCR foi determinada com base nas funções de
estabilidade referidas em [14].
Figura 4-17 – Erro da carga crítica em função da discretização.
No caso do pórtico representado acima, os elementos EF convencionais são os mais
eficientes. Apenas com o aumento dos graus de aproximação, os elementos HMT vão
apresentar uma convergência semelhante, mas mesmo assim com piores resultados. Mais uma
vez se verifica que a matriz geométrica GV3 fornece os melhores resultados
9 m
9 m
P
P
E=210 GPa
A=0,01 m
I=0,001 m
u=0,2
2
4
F=5/6
0,000%
0,000%
0,001%
0,010%
0,100%
1,000%
10,000%
a b c d e f g h i
Erro
(%
)
Tipo de Discretização
GV1
GV2
GV3
EF
35
4.5 Esforços Geometricamente Não lineares
Usando a mesma estrutura dos exemplos anteriores, calcularam-se esforços e
deslocamentos não lineares usando os modelos HMT e os EF convencionais. Os valores
teóricos foram comparados com os de uma análise linear de estabilidade [14].
4.5.1 Coluna Simplesmente Apoiada
Considera-se a coluna apresentada na Figura 4-18 em conjunto com o seu
carregamento e as suas características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra
deformabilidade por corte, considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.
Figura 4-18 – Coluna simplesmente apoiada.
Para a determinação dos esforços e deslocamento geometricamente não lineares
considerou-se que as cargas actuantes na Figura 4-18 são: q=10kN/m e P=2/3PCR.
Figura 4-19 – Gráfico do erro do momento flector a ½ vão da coluna simplesmente apoiada.
9 m
P
q
E=210 GPa
A=0,1 m
I=0,001 m
u=0,2
2
4
F=5/6
0,00000%
0,00000%
0,00010%
0,01000%
1,00000%
a b c d e f g
Erro
(%
)
Tipo de discretização
GV1
GV2
GV3
EF
36
Figura 4-20 – Gráfico do erro do deslocamento no centro da coluna simplesmente apoiada.
Verifica-se que os modelos HMT produzem em geral melhores resultados tanto para o
momento flector como para os deslocamentos geometricamente não lineares, em
comparação com os EF convencionais. O andamento de esforços e a deformada obtidos com a
matriz geométrica GV3 e com a discretização d) está representado na figura 4-21, onde azul se
apresenta os resultados de 1ª ordem, e a vermelho os resultados não lineares.
Figura 4-21 – Diagramas de esforços M,N,V e deformada w com consideração da matriz
geométrica GV3.
Observa-se que quando se considera a matriz geométrica GV3 apenas engloba os
esforços não lineares para os momentos flectores e deslocamentos transversais, isto porque
os eixos dos esforços se mantêm na posição inicial não deformada, ou seja não engloba a
rotação do eixo do esforço transverso na posição deformada. Em todo caso, observando a
Figura 4-22, verifica-se que a consideração da matriz geométrica GV1 para a discretização i)
consegue estimar os esforços não lineares para o esforço transverso, mas visto não se ter
considerado os efeitos geometricamente não lineares na fronteira estática, verifica-se que os
resultados apresentam uma instabilidade quando se aproximam da fronteira. De acordo com
[2] caso se considere os efeitos geometricamente não lineares na fronteira estática, já é
possível obter com sucesso os esforços transversos não lineares. É possível constatar este
facto observando a Figura 4-22, onde se verifica claramente a instabilidade da solução ao
longo da barra.
0,00000%
0,00010%
0,01000%
1,00000%
100,00000%
a b c d e f g
Erro
(%
)
Tipo de discretização
GV1
GV2
GV3
EF
37
Figura 4-22 – Resultados da discretização i) para a matriz GV1 sem e com efeitos
geometricamente não lineares na fronteira estática.
4.5.2 Coluna em Consola
Testa-se neste exemplo a coluna apresentada na Figura 4-23 em conjunto com o seu
carregamento e as suas características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra
deformabilidade por corte, considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte.
Figura 4-23 – Coluna em consola.
Para a determinação dos esforços e deslocamento geometricamente não lineares
considerou-se que as cargas actuantes na Figura 4-23 são Q=10kN e P=2/3PCR.
9 m
P
Q
E=210 GPa
A=0,1 m
I=0,001 m
u=0,2
2
4
F=5/6
38
Figura 4-24 – Gráfico do erro do momento flector na base da coluna em consola.
Figura 4-25 – Gráfico do erro do deslocamento no topo da coluna em consola.
Verifica-se que os modelos HMT produzem uma melhor aproximação aos esforços
teóricos, bem como aos deslocamentos, em comparação com os EF convencionais. O
andamento de esforços e a deformada para GV3 com a discretização d) são apresentados na
Figura 4-26
0,00000%
0,00001%
0,00100%
0,10000%
10,00000%
a b c d e f g
Erro
(%
)
Tipo de discretização
GV1
GV2
GV3
EF
0,00000%
0,00010%
0,01000%
1,00000%
100,00000%
a b c d e f g
Erro
(%
)
Tipo de discretização
GV1
GV2
GV3
EF
39
Figura 4-26 – Resultados da discretização d) para a matriz GV3.
4.5.3 Pórtico quadrado irregular
Para este caso considerou-se um exemplo mais geral, no qual se determinam em
pontos da estrutura esforços e deslocamentos devidos aos efeitos geometricamente não
lineares. O pórtico é constituído por cargas verticais pontuais e distribuídas e por cargas
horizontais. As fundações são todas feitas através de encastramentos perfeitos e é
considerada a deformabilidade por corte das barras. Para a determinação dos esforços e
deslocamento geometricamente não lineares considerou-se que as cargas actuantes na Figura
4-27 são q=10kN/m , P=10000kN e H=10kN.
40
Figura 4-27 – Pórtico quadrado irregular
Considerou-se apenas a discretização d) referida na Tabela 4-1 no capítulo 4.2 visto ter
sido a partir da qual os resultados do modelo pareceram convergir. O andamento de esforços
e a deformada conseguidos com recurso à matriz geométrica encontram-se representados na
Figura 4-28. O número total de graus de liberdade associado ao modelo HMT é de 263 em
comparação com os dos EF convencionais que consideram uma malha com 375 graus de
liberdade. É apresentado na Tabela 4-3 e na Tabela 4-4 em vários pontos das estrutura os
valores dos esforços e deslocamentos geometricamente não lineares com os HMT e com os EF
convencionais, para as várias matrizes geométricas.
9 m
9 m
H
H
P P
9 m
9 m
qqE=210 GPa
A=0,01 m
I=0,001 m
u=0,2
2
4
F=5/6
1
2
3
4
5
68
7
1
2 3
4 5
6
78
41
Figura 4-28 – Resultados da discretização d) para a matriz GV3.
Tabela 4-4 – Quadro dos resultados para o nó 3 na barra 7.
O valor momento positivo no nó 3 da barra 7 deve-se à fraca inércia axial da barra, que
permite uma deformada de modo a que a curvatura nessa zona seja negativa. Verifica-se que
apesar dos resultados com os EF convencionais e com os HMT serem bastante próximos, estes
últimos convergiram mais rápido com menos graus de liberdade. Também se observa que não
existe conclusão alguma sobre se os HMT providenciam majorantes ou minorantes de esforços
e deslocamentos.
42
5 Análise de Placas
Neste capítulo apresentam-se e discutem-se vários testes para validar os modelos
propostos e para aferir a respectiva eficácia numérica na determinação de cargas críticas,
modos de encurvadura em lajes. Começou-se por efectuar uma análise da eficiência associada
à utilização de macroelementos na análise de uma laje simplesmente apoiada. É de seguida
executado um teste para a determinação de tensões críticas com deformabilidade por corte. É
também apresentado um teste para se demonstrar a não ocorrência de Shear Locking com os
modelos HMT. São apresentados vários exemplos de determinação de cargas críticas com os
modelos HMT e EF e comparadas as respectivas soluções com soluções analíticas [14]
conhecidas, para lajes sem deformabilidade por corte.
Em todos os exemplos seguintes os resultados obtidos para a determinação do valor
absoluto do erro (isto porque os HMT apresentam tanto majorantes como minorantes da
tensão crítica) entre a tensão crítica teórica e a tensão crítica numérica, para as várias matrizes
geométricas são apresentados de seguida em escala logaritmica.
5.1 Placa Simplesmente Apoiada
Neste exemplo efectua-se uma análise da eficiência numérica associada ao uso de
macroelementos na análise de uma laje simplesmente apoiada. São ainda apresentados os
vários modos de encurvadura obtidos com recurso a uma discretização envolvendo apenas 1
elemento finito. Considera-se a laje apresentada na Figura 5-1 e as suas características
geométricas e mecânicas.
Figura 5-1 – Laje quadrada simplesmente apoiada.
Para a comparação de resultados na determinação da tensão, consideram-se as
discretizações apresentadas na Tabela 5-1.
Grau Aproximação Polinómio
Discretizações Graus Liberdade mx my mxy vx vy
D1 (1 elemento) 452 7 7 7 6 6
D12 (2 elementos) 492 5 5 5 4 4
D14 (4 elementos) 668 4 4 4 3 3
D116 (16 elementos) 1976 3 3 3 3 3
Tabela 5-1 – Discretizações adoptadas.
(0,0)
(0,6)
(6,0)
(6,6)
s s
E=210 GPa
h=0,005 m
F=5/6u=0,2
43
Para os graus de aproximação dos deslocamentos, e para evitar alguma dependência
no sistema governativo usou-se um grau abaixo dos respectivos esforços. Os resultados
obtidos para as cargas críticas baseadas na utilização das diferentes matrizes geométricas
foram os seguintes:
Figura 5-2 – Erro da tensão crítica com a matriz geométrica GV1.
Figura 5-3 – Erro da tensão crítica com a matriz geométrica GV2.
1,0000%
10,0000%
100,0000%
1 2 3 4 5 6 7
Erro
(%
)
Modos de Encurvadura
Erro D1
Erro D12
Erro D14
Erro D116
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
100,0000%
1 2 3 4 5 6 7
Erro
(%
)
Modos de Encurvadura
Erro D1
Erro D12
Erro D14
Erro D116
0,0001%
0,0010%
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
100,0000%
1 2 3 4 5 6 7
Erro
(%
)
Modos de Encurvadura
Erro D1
Erro D12
Erro D14
Erro D116
44
Figura 5-4 – Erro da tensão crítica com a matriz geométrica GV3.
Observa-se que o macroelemento com a matriz GV3 é o que apresenta melhores
resultados. No entanto, a discretização baseada na consideração de elementos de pequenas
dimensões e com grau mais baixo e onde se utilizam matrizes geométricas GV1 é mais eficiente,
e apresenta resultados semelhantes ao modelos HMT com GV2. As deformadas para a
discretização D1 dos modos de encurvadura são as seguintes:
1ª modo de encurvadura 2ª modo de encurvadura
3ª modo de encurvadura 4ª modo de encurvadura
5ª modo de encurvadura 6ª modo de encurvadura
Figura 5-5 – Modos de encurvadura; discretização D1 e matriz geométrica GV3.
Verifica-se que nos 4 primeiros modos de encurvadura se cumprem as condições de fronteira
cinemática. É apenas para modos de encurvadura superior ao 5º que as condições de fronteira
cinemática são violadas. A geometria das deformadas dos modos de encurvadura dos modelos
HMT coincidem com a dos EF convencionais
45
1ª modo de encurvadura 2ª modo de encurvadura
3ª modo de encurvadura 4ª modo de encurvadura
5ª modo de encurvadura 6ª modo de encurvadura
Figura 5-6 – Modos de encurvadura com EF convencionais
5.2 Laje Simplesmente Apoiada com Deformabilidade por Corte
Nos modelos HMT, o fenómeno do Shear Locking não ocorre [8]. Para ilustrar a não
ocorrência deste efeito, varia-se a espessura da laje e determina-se para cada caso o quociente
entre o valor das tensões críticas teóricas (com lajes sem deformabilidade por corte) e o valor
das tensões críticas determinadas numericamente com GV1 (com deformabilidade por corte).
ßáEHF � ~ÛÜ(�óâHEF)~ÛÜ(I��éâHEF) (5.1)
Observando a Figura 5-7 , verifica-se exactamente como nas colunas que o efeito de
Shear Locking não ocorre em placas com os HMT.
46
Figura 5-7 – Gráfico da variação da esbelteza da laje.
5.3 Testes numéricos
Para a análise da determinação da tensão crítica em lajes consideraram-se as
estruturas apresentadas de seguida. Em todos os casos são consideradas discretizações
envolvendo apenas 1 elemento finito. Calculou-se a tensão crítica com as matrizes geométricas GV1, GV2 e GV3, e procedeu-se também ao cálculo da mesma grandeza com recurso a modelos
de elementos finitos convencionais. As malhas tipo usadas para os elementos finitos
convencionais estão representadas no Anexo D .Compararam-se os resultados em relação ao
valor das tensões críticas teóricas e a sua variação em função do tipo de discretização p-. O
tipo de discretização varia segundo os graus de aproximação referidos na Tabela 5-2. Para os
EF convencionais com refinamento h- tentou-se usar aproximadamente o mesmo número de
graus de liberdade dos modelos HMT.
Discretização Grau de mx/my/mxy Grau de vx/vy
a 3 2
b 4 3
c 5 4
d 6 5
e 7 6
Tabela 5-2 – Discretizações adoptadas para os modelos HMT.
5.3.1 Placa Simplesmente Apoiada
Neste exemplo considerou-se a laje apresentada na Figura 5-8 em conjunto com as
suas características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por corte,
considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte. A laje é quadra e encontra-se
simplesmente apoiada com esforço de membrana constante segundo x.
0,95
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
6 10 15 30 75 100 600 1200
Rác
io
Esbelteza
Pte/Pcr
47
Figura 5-8 – Laje quadrada simplesmente apoiada.
Figura 5-9 – Erro da tensão crítica da laje simplesmente apoiada.
No caso da laje simplesmente apoiada, o elemento HMT baseado na consideração da
matriz geométrica GV3 é claramente o mais eficaz, com um pequeno erro para baixos valores
dos graus de aproximação. Os EF convencionais são melhores que os elementos HMT baseados
na utilização da matriz geométrica GV1 mas piores em relação aos que são obtidos com a matriz
geométrica GV2 para elevados graus de discretização. A deformada está de acordo com as
condições de fronteira cinemáticas para a discretização d) com a matriz GV3, sendo a
deformada desta apresentada na Figura 5-10.
Figura 5-10 – Modo de encurvadura da laje simplesmente apoiada.
(0,0)
(0,6)
(6,0)
(6,6)
s s
E=210 GPa
h=0,005 m
F=5/6u=0,2
0,0000%
0,0001%
0,0010%
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
100,0000%
a b c d e
Erro
(%)
Tipo de Discretização
GV1
GV2
GV3
EF
48
5.3.2 Placa Encastrada
Testou-se a laje com as características geométricas e mecânicas apresentadas na
Figura 5-11. Para que não ocorra deformabilidade por corte, considerou-se um baixo valor na
flexibilidade por corte. A laje é quadrada e encontra-se encastrada em todos os lados, com
esforço de membrana constante segundo x.
Figura 5-11 – Laje quadrada encastrada.
Figura 5-12 – Erro da tensão crítica da laje encastrada.
No caso da laje encastrada, o resultado é em tudo idêntico ao da laje simplesmente
apoiada. O elemento HMT com GV3 é claramente o mais eficaz, mas demora um pouco mais a
convergir. Os EF convencionais são melhores que os elementos HMT GV1 mas piores em
relação ao GV2. A deformada está de acordo com as condições de fronteira cinemáticas para a
discretização d) com a matriz GV3, sendo a deformada desta apresentada na Figura 5-13.
Figura 5-13 – Modo de encurvadura da laje encastrada.
s s
E=210 GPa
h=0,005 m
F=5/6u=0,2
(0,0)
(0,6)
(6,0)
(6,6)
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
100,0000%
a b c d e
Erro
(%)
Tipo de Discretização
GV1
GV2
GV3
EF
49
5.3.3 Placa Simplesmente Apoiada com Bordo Livre
Aferiu-se a eficácia dos modelos HMT com a laje apresentada na Figura 5-14 com as
respectivas características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por
corte, considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte. A laje é quadrada e encontra-se
simplesmente apoiada em 3 lados com 1 lado livre, com esforço de membrana constante
segundo x.
Figura 5-14 – Laje simplesmente apoiada com bordo livre.
Figura 5-15 – Erro da tensão crítica da laje simplesmente apoiada com bordo livre.
No caso da laje apoiada-livre, os elementos EF convencionais são sempre melhores
que os elementos HMT para GV1 e GV2 . Em todo caso verifica-se a superioridade da matriz GV3. Estas últimas necessitam de um grau de aproximação elevado para convergir para os valores
teóricos. A deformada está de acordo com as condições de fronteira cinemáticas para a
discretização d) sendo a deformada desta apresentada na Figura 5-16.
Figura 5-16 – Modo de encurvadura.
s s
E=210 GPa
h=0,005 m
F=5/6u=0,2
(0,0)
(0,6)
(6,0)
(6,6)
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
100,0000%
a b c d e
Erro
(%
)
Tipo de Discretização
GV1
GV2
GV3
EF
50
5.3.4 Placa Simplesmente Apoiada Carregada por Tensões de Corte
Analisa-se a laje apresentada na Figura 5-17 para testar a determinação de tensões
críticas com um estado de tensão corte puro. Para que não ocorra deformabilidade por corte,
considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte. A laje é quadra e encontra-se
simplesmente apoiada onde para se obter corte puro, aplicou-se as referidas cargas na
fronteira o que resultou nos seguintes esforços de membrana:
�~6ê � 0 �� H � ë~6ê � 1 �� H ì ë�
Figura 5-17 – Laje simplesmente apoiada com tensões de corte.
Figura 5-18 – Erro da tensão crítica da laje simplesmente apoiada com corte.
No caso da laje carregada por tensões de corte, a convergência dos HMT é igual nos 3
casos e mais eficaz que os elementos EF convencionais, que precisam de um elevado
refinamento para se aproximar dos valores teóricos. A deformada viola um pouco as condições
de fronteira cinemáticas para a discretização d) com a matriz GV3 sendo a deformada desta
apresentada na Figura 5-19.
t t
t
t
E=210 GPa
h=0,005 m
F=5/6u=0,2
(0,0)
(0,6)
(6,0)
(6,6)
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
100,0000%
a b c d e
Erro
(%)
Tipo de Discretização
GV1
GV2
GV3
EF
51
Figura 5-19 – Modo de encurvadura da laje simplesmente apoiada com corte.
5.3.5 Placa Rectangular Simplesmente Apoiada
Considera-se a laje apresentada na Figura 5-20 em conjunto com as suas
características geométricas e mecânicas. Para que não ocorra deformabilidade por corte,
considerou-se um baixo valor na flexibilidade por corte. A laje é rectangular longa e encontra-
se simplesmente apoiada com esforço de membrana constante segundo x.
Figura 5-20 – Laje rectangular simplesmente apoiada.
Figura 5-21 – Erro da tensão crítica da laje rectangular simplesmente apoiada.
No caso da laje carregada longa, os elementos EF convencionais apresentam maior
eficiência em relação aos HMT. No entanto ambos precisam de elevados refinamentos para
convergir para os valores teóricos
Neste caso verifica-se que as condições fronteira foram fortemente violadas. Isto é
devido a que a discretização adoptada não possuir um polinómio com um grau suficiente para
simular os pontos de inflexão do primeiro modo de vibração que se situam de 6 em 6 metros
(0,6)
(0,0)
(24,6)
(24,0)
s s
E=210 GPa
h=0,005 m
F=5/6u=0,2
1,0000%
10,0000%
100,0000%
a b c d e
Erro
(%)
Tipo de Discretização
GV1
GV2
GV3
EF
52
[14]. Para resolver este problema com modelos HMT com malhas apenas com um elemento
finito é necessário adoptar uma discretização diferente na direcção x e y, ou aumentar apenas
o grau na direcção y.
5.3.6 Placa Simplesmente Apoiada
Admite-se a laje apresentada na Figura 5-22 em conjunto com as suas características
geométricas e mecânicas, para testar os efeitos da distorção nas malhas utilizadas nos
modelos HMT. Para que não ocorra deformabilidade por corte, considerou-se um baixo valor
na flexibilidade por corte.
Figura 5-22 – Laje simplesmente apoiada distorcida.
Neste caso procedeu-se a uma distorção de elementos finitos numa laje simplesmente
apoiada. Calculou-se a tensão crítica para 3 situações de distorção para 3 graus de
aproximação diferentes e compararam-se os resultados obtidos com os respectivos valores
teóricos.
Distorção Ponto Central Inferior Ponto Central Superior
x y x y
A 3 0 3 6
B 2 0 4 6
C 1 0 5 6
Tabela 5-3 – Distorções efectuadas.
1º E.F.
2º E.F.
s s
E=210 GPa
h=0,005 m
F=5/6u=0,2
(0,0)
(0,6)
(6,0)
(6,6)
53
Figura 5-23 – Erro da tensão crítica da laje distorcida para a discretização c).
Figura 5-24 – Erro da tensão crítica da laje distorcida para a discretização d).
Figura 5-25 – Erro da tensão crítica da laje distorcida para a discretização f).
Verifica-se que quanto maior é a distorção, maior é o erro apresentado. Tal como
esperado, para maiores graus de aproximação menor é o erro em relação ao valor teórico,
onde se observa que à medida que a discretização aumenta os erros das várias matrizes
geométricas tendem para um valor único, ou seja à medida que se aumenta o grau da
aproximação diminui-se o efeito da distorção da malha.
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
100,0000%
A B C
Erro
(%)
Tipo de Distorção
GV1
GV2
GV3
0,0000%
0,0001%
0,0010%
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
100,0000%
A B C
Erro
(%)
Tipo de Distorção
GV1
GV2
GV3
0,0001%
0,0010%
0,0100%
0,1000%
1,0000%
10,0000%
100,0000%
A B C
Erro
(%)
Tipo de Distorção
GV1
GV2
GV3
54
55
6 Conclusões
O objectivo deste trabalho consistiu no desenvolvimento e teste de um modelo
híbrido-misto de tensão para a análise geometricamente não linear, para três hipóteses de
matrizes geométricas.
Embora utilizando uma formulação não-convencional, o formato condensado do
sistema governativo global obtido apresenta uma estrutura semelhante à que é habitual nas
formulações clássicas do Método dos Elementos Finitos, não obstante o significado físico dos
diferentes operadores e das grandezas generalizadas ser substancialmente distinto.
Foram apresentados alguns exemplos numéricos. A qualidade dos resultados obtidos
traduz um bom desempenho do modelo apresentado. As principais conclusões são as
seguintes:
- Os modelos HMT permitem a adopção de processos de refinamento p- e h- bastante
eficazes;
- Sendo possível o refinamento hierárquico sem alteração da malha, podem utilizar-se
na discretização da estrutura macro-elementos de grandes dimensões, o que simplifica de
forma significativa as operações de pós-processamento;
- A distorção da malha tem pouca influência na qualidade da solução fornecida pelos
modelos HMT, ao contrário do que acontece nos modelos de EF convencionais;
- No caso de lajes espessas o fenómeno do Shear Locking não ocorre nos modelos
HMT, ao contrário do que pode suceder nos modelos de EF convencionais.
- No modelo HMT, as discretizações podem conduzir a sistemas com um número
bastante elevado de graus de liberdade. No entanto, como as matrizes são sempre muito
esparsas, o uso de algoritmos especialmente desenhados para o armazenamento e tratamento
de sistemas esparsos de grandes dimensões permite assegurar a eficácia numérica de todo o
processo de cálculo;
- A relação entre os graus dos polinómios utilizados na aproximação dos campos
estáticos e os graus dos polinómios associados à aproximação dos campos cinemáticos deve
ser cuidadosamente estabelecida por forma a evitar o aparecimento de modos espúrios, os
quais se manifestam através da existência de dependências no sistema governativo global;
- Visto o modelo HMT não satisfazer localmente nem as condições de equilíbrio nem as
condições de compatibilidade, nada se pode concluir em relação à minoração ou majoração
das cargas críticas calculadas.
- Das 3 matrizes geométricas testadas, a que obteve melhores desempenhos
numéricos tanto ao nível de carga e tensões críticas como ao nível de esforços
geometricamente não lineares foi a GV3. Nas estruturas esbeltas a deformabilidade por corte é
desprezável. Assim sendo, esta matriz é aplicável na determinação de cargas críticas e esforços
geometricamente não lineares em estruturas do ramo de engenharia civil.
56
Como trabalhos futuros prevê-se:
- A utilização de outro tipo de funções de aproximação. Especial interesse terá a
aplicação de sistemas de wavelets e séries de Walsh para esse efeito [4];
- Desenvolvimento de modelos HMT para análises fisicamente e geometricamente não
lineares (plasticidade e dano) de estruturas sujeitas à acção de carregamentos cíclicos;
- Inclusão dos efeitos geometricamente não lineares com o uso da teoria
geometricamente exacta nos modelos HMT.
57
BIBLIOGRAFIA
[1] Almeida J.P.B.M, Freitas J.A.T., “Alternative approach to the formulation of hybrid
equilibrium finite elements”, Comput & Struct, 1991. [2] Arruda M.R.T.,” Análise Geometricamente não Linear de Pórticos Planos com Elementos
Finitos Híbridos-Mistos de Tensão”, www.civil.ist.utl.pt\~marruda\an_gnl.pdf. IST 2008. [3] Bathe K.J. “Finite Element Procedures In Engineering Analysis”, Prentice-Hall Englewood Cliffs, 1982. [4] Castro L.M.S.S., “Wavelets e Séries de Walsh em Elementos Finitos”, Tese para obtenção do grau de Doutor em Engenharia Civil, IST 1996. [5] Freitas J.A.T., “Análise Elástica de Estruturas”, Associação de Estudantes do IST, AEIST 1987. [6] Freitas J.A.T., “Duality and symmetry in mixed integral methods of elastostatics”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 28, pp. 1161-1179, 1989. [7] Freitas J.A.T., Almeida J.P.B e Pereira E.M.B.R., “Alternative Hybrid Formulations for the
Finite Element Method”, Proc. 7th World Congress Finite Element Method, pp. 264-271, Mónaco, 1993. [8] Mendes L.A.M., “Modelos de Elementos Finitos Híbridos Mistos de Tensão na Análise
Elastoplástica de Estruturas Laminares Planas”, Dissertação para obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Estruturas, IST, 2002. [9] Pereira E.M.B.R., e J.A.T. Freitas, “A Hybrid-mixed Element Model Based on Legendre
Polynomials for Reissner-Mindlin Plates”, Computer Methods in Applied Mechanics in Engineering, pp. 111 - 126, 1996. [10] SAP2000, “Structural Analysis Program”, Nonlinear version 10.1.0 CSI, 1984-2009. [11] Timoshenko S.P. e Goodier J.N., “Theory of Elasticity”, 3ª edição, McGraw Hill International Book Company, Tóquio, 1970. [12] Timoshenko S.P. e Woinowsky-Krieger S., “Theory of Plates and Shells”, 2ª edição, McGraw-Hill International Book Company, Tóquio, 1970. [13] Timoshenko S.P. ., “Theory of elastic stability”, 2ª edição, New York : McGraw-Hill, 1961. [14] Reis A., Camotin D., “Estabilidade Estrutural”, Mcgraw-Hill. 2000. [15] Wang C.M., Wang C.Y., Reddy J.N., “Exact solutions for buckling of structural members” Boca Raton : CRC Press, c2005. [16] Zienkiewicz, Taylor, “The Finite Element Method”, Volume 1 2 e 3, 5ª Edição, Londres 2003. [17] The MathWorks, MatLab 2008a, www.mathworks.com
58
Anexo A
A.1 – Sistema Governativo dos HMT para Pórticos Planos
Definem-se agora as matrizes de aproximação e os operadores estruturais utilizados
na análise de pórticos planos, considerando polinómios ortonomais de Legendre como funções
de aproximação.
Polinómios de Legendre:
- Funções aproximação
A aproximação para o campo de esforços no domínio pode ser escrita na forma:
Para a matriz AΓa1 entram a 5ª e 6ª coluna de AΓa, para AΓb1 entra a 2ª e 3ª coluna de AΓb e para AΓb2 entram a5ª e6ª coluna de AΓb. Apesar de X e qv não terem significado físico
imediato, isso já não contece com qΓ que está associado aos graus de liberdade. Neste caso
�Г; � �#;#<� �Г< � �#>#=�
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A.2 – Sistema Governativo dos HMT para Lajes
As definições das matrizes de aproximação e os operadores estruturais utilizados na
análise de lajes encontram-se detalhadas em [8]. Neste anexo apenas se apresenta as