ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA FUNÇÃO DE MUTAÇÃO DO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_207_228_28479.pdf · [email protected] Anderson Paulo de Paiva (UNIFEI) ... enquanto a mutação

ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA FUNÇÃO

DE MUTAÇÃO DO ALGORITMO

GENÉTICO NA SOLUÇÃO DE UM

PROBLEMA MULTIOBJETIVO

Taynara Incerti de Paula (UNIFEI)

[email protected]

Patricia Agnes Pereira da Silva (UNIFEI)

[email protected]

Jose Henrique de Freitas Gomes (UNIFEI)

[email protected]

DANIELLE MARTINS DUARTE COSTA (IFSULDEMINA)

[email protected]

Anderson Paulo de Paiva (UNIFEI)

[email protected]

Este artigo aborda a complexidade de problemas de otimização

multiobjetivo. A complexidade do problema de otimização

multiobjetivo pode aumentar dependendo da distribuição de pesos

atribuída às funções objetivo originais. Logo, pressupõe-se que os

parâmetros do algoritmo utilizado para a solução deste problema de

otimização devam ser adequados para uma tarefa mais complexa.O

método proposto por este trabalho visa avaliar a influência da função

de mutação utilizada pelo Algoritmo Genético na solução do problema

multiobjetivo e determinar qual das funções testadas oferece os

melhores resultados. O método proposto neste trabalho será aplicado

ao processo de soldagem com arame tubular no revestimento de

chapas de aço carbono ABNT 1020 utilizando o aço inoxidável

austenítico ABNT 316L, onde as características de qualidade do

processo constituem um problema de otimização multiobjetivo.

Palavras-chave: Otimização Multiobjetivo, Algoritmo Genético,

arranjo de misturas

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.



2

1. Introdução

Uma grande variedade de problemas de engenharia, entre outras áreas, envolvem

problemas de otimização multiobjetivo. A complexidade deste tipo de problema leva vários

pesquisadores a desenvolver métodos e algoritmos que permitam que estes problemas sejam

solucionados de maneira correta.

Este artigo aborda a complexidade de problemas de otimização multiobjetivo, em

relação à determinação dos pesos aplicados às funções objetivo e a interação que pode haver

entre os pesos e os parâmetros do algoritmo utilizado na solução deste problema. O objetivo

deste trabalho é avaliar a influência da função de mutação do algoritmo genético no resultado

obtido na otimização de um processo de soldagem de revestimento, onde as características de

qualidade do processo constituem um problema de otimização multiobjetivo.

O artigo está estruturado da seguinte forma: Seção 2 apresenta uma visão geral de

Otimização Multiobjetivo e o Método do Critério Global, método de otimização que será

utilizado neste trabalho. Seção 3 apresenta os conceitos fundamentais de Algoritmos

Genéticos, como o algoritmo funciona e apresenta alguns operadores e parâmetros genéticos.

Seção 4 apresenta uma introdução sobre planejamento de experimentos e arranjo de misturas,

principal técnica utilizada neste trabalho. Seção 5 apresenta o método proposto. Já a seção 6

apresenta a aplicação do método proposto em um processo de soldagem de revestimento,

apresentando e discutindo os resultados. Finalmente, a seção 7 apresenta as conclusões finais

desta pesquisa.

2. Otimização Multiobjetivo

Um problema de otimização multiobjetivo é aquele em que se deseja a otimização de

múltiplas características, que são situações comuns à maioria dos processos industriais. Para

Baril et al. (2011), o problema de otimização multiobjetivo consiste em determinar o vetor de

variáveis de decisão x = {x1, x2, ..., xn} que otimiza o vetor de funções objetivo F(x) = {f1(x),

f2(x), ..., fm(x)}, dentro de uma região de solução viável. O problema multiobjetivo pode ser

formulado da seguinte maneira:



3

maxmin

21

,,2,1 ,0)(

,,2,1 ,0)( :a. s.

)(, ),(),()(

xxx

x

x

xxxx

qjg

pih

fffFMin

j

i

m

(1)

Onde hi (x) são restrições de igualdade, gj (x) são restrições de desigualdade e xmin

e

xmax

são, respectivamente, os limites mínimo e máximo para o vetor das variáveis de decisão.

O principal objetivo da otimização multiobjetivo é encontrar um conjunto de soluções

(denominadas Pareto-ótimas), que minimize todas as funções simultaneamente. Inúmeros

métodos para otimização multiobjetivo podem ser encontrados na literatura. Dentre esses

métodos está o Método do Critério Global, definido por Rao (2009).

O Método do Critério Global (MCG) é uma técnica de programação de múltiplos

objetivos que utiliza a estratégia de “aglutinação”, considerando alvo e o escalonamento das

funções objetivo individuais. A função global G(x) pode ser escrita como:

qjg

xfxf

xfxfwGMin

j

p

i ii

iii

,,2,1 ,0)( :a. s.

)()(

)()()(

2

1*max

*

x

x (2)

Onde )( *xfi é o valor alvo estabelecido em função da otimização individual de cada

função objetivo e max)(xf i é o valor que mais se distancia de )( *xfi .

A estratégia de aglutinação fica clara quando os desvios relativos das funções objetivo

são combinados para compor a função global G(x). Além disso, o escalonamento dos mesmos

desvios pelos alvos faz com que respostas de unidades e magnitudes diferentes possam ser

tratadas num mesmo problema. Estas características fazem do MCG uma técnica eficiente e,

portanto, aplicável a diferentes tipos de processos (GOMES, 2013).

3. Algoritmo Genético

O algoritmo genético (AG) foi inicialmente proposto por Holland (1975), inspirando-

se no mecanismo da evolução das espécies, tendo como base os trabalhos de Darwin sobre a

origem das espécies e a genética natural devida principalmente a Mendel (FRAILE-

ARDANUY e ZUFIRIA, 2007; PINHO, 2008).



4

Através de um procedimento passo a passo, este algoritmo imita o processo de

evolução natural, baseando-se nos princípios de seleção e sobrevivência do mais apto.

Partindo de uma população de soluções ao invés de uma única solução, é então capaz de

encontrar ótimos globais para problemas de otimização restritos e irrestritos, assim como para

uma ou múltiplas funções objetivo (JIN e WONG, 2010; ZAIN et al., 2010; GOMES, 2013).

O Algoritmo Genético trabalha com uma coleção (população) de possíveis soluções.

Cada solução (cromossomo) é composta por valores aleatórios para cada uma das variáveis de

otimização (genes). O cromossomo é geramente codificado em séries binárias (0-1), apesar de

poderem ser representados por valores reais (COSTA et al., 2007).

O procedimento para identificação do ponto de ótimo ocorre em três estágios:

reprodução, crossover e mutação. A população aleatória inicial é avaliada em termos da

função objetivo de otimização. Se o melhor resultado não é obtido pela primeira avaliação,

pares dos melhores indivíduos são selecionados como “pais”. Estes pais são combinados,

criando uma nova geração de soluções (“filhos”) que substitui a primeira população

(GOMES, 2013).

A operação de crossover é responsável pela troca parcial dos genes dos pais, que gera

uma descendência criada a partir de uma seleção aleatória das informações genéticas,

enquanto a mutação consiste em uma mudança aleatória de 1 para 0 (ou vice-versa) do valor

binário do gene.

A cada nova solução x proposta pelo algoritmo, a função objetivo é avaliada e uma

ordem dos indivíduos mais aptos é estabelecida. Esta ordem é utilizada no processo de

seleção, que determina que os melhores indivíduos devam ser selecionados como pais,

semelhantemente ao princípio natural de sobrevivência do mais apto. Da mesma forma, a

ordem dos indivíduos é utilizada no procedimento de substituição para decidir quem, entre

pais e filhos, deve sobreviver para a próxima população (BUSACCA et al., 2001; ZAIN et al.,

2010).

A sequência de gerações populacionais é interrompida quando se atinge um dos

seguintes critérios de convergência: o número de gerações alcança o valor pré-estabelecido, o

tempo de processamento atinge o valor previsto, o fitness do indivíduo mais fraco atinge um

mínimo pré-estabelecido ou o fitness do indivíduo mais forte atinge um valor desejado

(GOMES, 2013). Nestas condições, chega-se ao ponto de ótimo.



5

Goldberg (1989) afirma que, no AG, o operador de mutação, executa um papel

secundário, porém muito importante, possibilitando a restauração da diversidade do código

genético que foi eventualmente perdida durante a evolução (PINHO, 2008). Na figura X

pode-se ver um exemplo de funcionamento do operador de mutação.

Figura 1 - Etapa de mutação do Algoritmo Genético (GOMES, 2013)

Existem diferentes funções de mutação que podem ser utilizadas no AG, como as

funções uniforme, gaussiana, adaptive feasible e não uniforme. Neste trabalho testaremos

duas dessas funções, a gaussiana e a adaptive feasible.

A mutação gaussiana substitui todos os genes de um cromossomo, seguindo uma

distribuição Gaussiana, centrada em 0. A função adaptive feasible gera direções de busca

aleatórias, respeitando a última geração bem sucedida ou não. Um comprimento de passo é

escolhido ao longo de cada direção para que as restrições sejam satisfeitas.

4. Arranjo de Misturas

Planejamento de experimentos (DOE - Design of Experiments) é uma metodologia de

planejamento experimental que combina técnicas matemáticas e estatísticas para o

desenvolvimento de arranjos experimentais eficientes, balanceados e econômicos, a partir dos

quais, o experimentador pode inferir com elevado nível de confiança. Usado de maneira

concatenada com os métodos de otimização, o DOE permite a criação de funções objetivo e

restrições para diversos processos industriais, o que justifica sua grande utilização em



6

diversos processos, tais como: usinagem, soldagem, conformação, fabricação, metrologia,

desenvolvimento de produtos, metamodelagem, etc. Com relação aos tipos de arranjos

experimentais, os mais utilizados são os fatoriais (completos ou fracionados), os arranjos de

Taguchi, as superfícies de resposta e os arranjos de misturas.

Os arranjos de misturas fazem parte de uma classe especial de experimentos do tipo

superfície de resposta nos quais os fatores independentes são proporções de diferentes

componentes, e a otimização da propriedade desejada dependerá das proporções de cada

elemento no conjunto. A soma das diferentes proporções de cada componente deve sempre

totalizar uma unidade (ou 100%). A existência dessa característica torna necessário que os

experimentos de misturas sejam planejados e conduzidos através de arranjos específicos

(MONTGOMERY, 2009).

O sistema triangular de coordenadas permite que os relacionamentos entre os

componentes de uma mistura de três elementos sejam visualizados. Em uma mistura, os

componentes se restringem mutuamente, uma vez que a sua soma deve ser igual à unidade.

Este sistema, portanto, permite que os valores mínimos e máximos dos três elementos da

mistura (x1, x2 e x3) sejam mostrados.

Figura 2 – Configuração de um arranjo de Misturas

Os principais arranjos de misturas são: simplex-lattice, simplex-centroid, e extreme-

vertices. Cada qual, de acordo com suas peculiaridades, é adequado a uma situação

experimental. O Simplex-lattice design é o arranjo que será utilizado neste trabalho. A

principal característica deste tipo de design para mistura é que os pontos são distribuídos

uniformemente por toda a região compreendida pelo simplex. Um simplex-lattice para q



7

componentes está associado a um polinômio de grau m, e pode ser denotado como um

Simplex-Lattice Design {q, m}. As proporções para cada um dos q componentes assumem os

possíveis (m+1) valores igualmente espaçados entre 0 e 1, tal que: xi = 0, 1/m; 2/m; ... ;1.

Todas as possíveis combinações das proporções totalizam 1 e definem os pontos a serem

usados no design.

Este tipo de design é restrito por fronteiras, isto é, todos os pontos do design estão nas

faces da região simplex. Para se pesquisar o comportamento da mistura no interior da região

simplex, o design precisa ser incrementado com “pontos interiores”.

Quanto aos modelos matemáticos utilizados para a representação das respostas, verifica-

se que os modelos de misturas apresentam algumas diferenças em relação aos polinômios

empregados na Metodologia de Superfície de Resposta. Tais diferenças se devem à existência

da restrição 11

k

i

ix (GOMES, 2013). Dependendo do comportamento da resposta

analisada, o modelo pode ser linear, quadrático, cúbico ou quártico. A figura 3 representa a

configuração dos pontos do arranjo, se acordo com o grau do polinômio, também chamado de

grau lattice.



8

Figura 3 - Configurações de arranjos de mistura

Existem algumas variações do experimento de misturas original. Em alguns problemas

de mistura, existem variáveis de processo em adição a mistura de componentes (MYERS,

R.H.; MONTGOMERY, D.C. e ANDERSON-COOK, 2009). Adicionar variáveis de

processo a um arranjo de misturas pode aumentar muito o escopo do esperimento, fornecendo

respostas sobre o que é afetado quando se faz alterações em uma ou mais variáveis do

processo, se o valor da resposta é afetado, se as propriedades da mistura muda e até mesmo se

essas variáveis podem alterar ou não a mistura ótima (CORNELL, 2011).

O tipo mais comum de arranjo de mistura combinado a variáveis de processo é um

arranjo comum de mistura configurado em cada ponto de um arranjo fatorial nos níveis das

variáveis de processo. O modelo mais completo deste arranjo combinado pode ser expresso

como o produto dos termos no modelo de componentes de mistura e os termos do modelo de

variáveis de processo (CORNELL, 2011).



9

5. Método proposto

A complexidade do problema de otimização multiobjetivo pode aumentar dependendo

da distribuição de pesos atribuída às funções objetivo originais. Logo, pressupõe-se que os

parâmetros do algoritmo utilizado para a solução deste problema de otimização devam ser

adequados para uma tarefa mais complexa. Este trabalho tem como proposta provar que pode

haver interação entre os pesos das funções objetivo e os parâmetros utilizados no algoritmo de

solução do problema, através da utilização de um arranjo de misturas combinado a variáveis

de processo.

O método proposto por este trabalho visa avaliar a influência da função de mutação

utilizada pelo Algoritmo Genético na solução do problema multiobjetivo e determinar qual

das funções testadas oferece os melhores resultados. Neste caso, a função de mutação será a

variável de processo. Para isso, a estratégia utilizada neste trabalho foi desenvolvida de acordo com

o seguinte procedimento, dividido em oito passos:

Figura 4 - Resumo da metodologia aplicada

No passo 1 as funções objetivo são modeladas através da metodologia de superfície de

resposta. No passo 2 o arranjo de misturas é definido para que os pesos das funções objetivo

sejam determinados. No passo 3 o problema de otimização multiobjetivo é definido aplicando

o Método do Critério Global, com as funções modeladas no passo 1 e os pesos determinados

no passo 2. No passo 4 é realizada a otimização da função definida no passo 3, alterando-se

os pesos e as funções de mutação como estabelecido no arranjo de misturas do passo 2, para

um determinado número de réplicas. No passo 5 é realizada uma análise de cluster para

determinar quais as réplicas apresentam maior similaridade. No passo 6 a função Erro

Percentual Global (EPG) é modelada, de maneira semelhante à modelagem das funções



10

objetivo. Por fim, no passo 8 é realizada a otimização final, onde são determinados os pesos

ótimos das funções objetivo e a função de mutação mais adequada para este problema

multiobjetivo. Avalia-se também o efeito da função de mutação sobre a função EPG

6. Aplicação do método proposto

O método proposto neste trabalho será aplicado ao processo de soldagem com arame

tubular no revestimento de chapas de aço carbono ABNT 1020 utilizando o aço inoxidável

austenítico ABNT 316L, realizado por Gomes (2013). O trabalho em questão realizou o

planejamento de experimentos, a coleta de dados e a modelagem das funções objetivo deste

processo de soldagem de revestimento, através da metodologia de superfície de resposta. Os

parâmetros de soldagem selecionados como variáveis de entrada foram velocidade de

alimentação do arame (Va), tensão (T), velocidade de soldagem (Vs) e distância bico de

contato peça (N). As respostas analisadas incluíram a largura do cordão (W), penetração (P),

reforço (R) e diluição (D), que representam as características geométricas do cordão de

revestimento. Mais detalhes sobre o procedimento experimental podem ser encontrados em

Gomes (2013).

6.1 Modelagem das funções objetivo

As funções objetivo para a otimização das características dos revestimentos do processo

de soldagem foram determinadas levando-se em consideração o modelo de superfície de

resposta de segunda ordem, que quando escrita como função dos quatro parâmetros de

soldagem relacionados neste estudo, chega-se ao seguinte polinômio:

VsNTNTVsVaNVaVsVaT

NVsTVaNVsTVay

342423141312

2

44

2

33

2

22

2

1143210

(3)

A estimação dos coeficientes i, ii e ij foi realizada através do software estatístico

Minitab®, que utiliza, para esta finalidade, o método dos Mínimos Quadrados Ordinários

(OLS). Após estes cálculos, obtiveram-se os coeficientes indicados na Tabela 1, que

representam os modelos quadráticos completos desenvolvidos para as respostas.



11

Tabela 1 - Coeficientes estimados para os modelos quadráticos completos

Coeficiente Respostas

W P R D

0 10,700 1,619 2,590 31,219

1 0,797 0,122 0,192 -0,282

2 0,656 0,122 -0,105 2,493

3 -1,451 0,093 -0,223 3,679

4 -0,629 -0,241 0,116 -4,250

11 -0,003 0,027 0,007 -0,230

22 -0,024 -0,030 0,035 -0,742

33 0,264 -0,116 0,020 -1,249

44 -0,044 0,019 0,037 0,031

12 0,266 0,034 -0,031 0,771

13 -0,114 0,076 -0,015 0,497

14 -0,031 -0,100 -0,022 -0,418

23 -0,102 0,000 -0,005 0,226

24 -0,006 0,005 0,015 -0,199

34 0,067 0,005 -0,014 -0,771

Fonte: Gomes (2013)

A adequação dos modelos foi verificada através da Análise de Variância (ANOVA),

feita também pelo software Minitab®. Os modelos encontrados foram adequados, pois

apresentaram p-values inferiores a 5% de significância e os valores de R2(adj.) foram

superiores a 80%. Os modelos para a largura do cordão e a diluição apresentaram falta de

ajuste (Lack-of-fit < 0,05). No entanto, estes dados puderam ser corrigidos através do

procedimento de redução dos modelos. Após a verificação da adequação dos modelos, estes

foram reduzidos através da remoção dos termos não significativos. O critério adotado para

esta remoção foi o aumento do valor de R2(adj.) e a redução da variância S dos modelos.

Assim, os modelos finais apresentaram os formatos descritos pelas equações 4-7

VsNTVsVaVs

VaTVsNVsTVaW

067,0102,0114,0

266,0270,0629,0451,1656,0797,0640,10 2

(4)

VaNVaVsVaTVs

TVaNVsTVaP

100,0076,0034,0118,0

032,0025,0241,0093,0122,0122,0639,1

2

22

(5)

VaNVaTN

VsTNVsTVaR

023,0030,0036,0

019,0034,0115,0223,0104,0191,0597,2

2

22

(6)



12

VsNVaNVaVsVaT

VsTNVsTVaD

771,0418,0497,0769,0

229,1723,0251,4679,3493,2282,0034,31 22

(7)

6.2 Definição do arranjo de misturas

Foi criado um arranjo de misturas simplex lattice de grau 4, para 4 respostas (W, P, R e

D) e uma varável de processo (função de mutação), que resultou em 70 experimentos, com 35

combinações de peso para cada uma das funções de mutação, como apresentado na tabela 2.

As proporções mínimas e máximas para cada peso foram definidas em 0 e 1.

Tabela 2 – Configuração do arranjo de misturas

w1 w2 w3 w4 w1 w2 w3 w4

1 1 0 0 0 Gaussiana 36 1 0 0 0 Adaptive Feasible

2 0,75 0,25 0 0 Gaussiana 37 0,75 0,25 0 0 Adaptive Feasible

3 0,75 0 0,25 0 Gaussiana 38 0,75 0 0,25 0 Adaptive Feasible

4 0,75 0 0 0,25 Gaussiana 39 0,75 0 0 0,25 Adaptive Feasible


6 0,5 0,25 0,25 0 Gaussiana 41 0,5 0,25 0,25 0 Adaptive Feasible

7 0,5 0,25 0 0,25 Gaussiana 42 0,5 0,25 0 0,25 Adaptive Feasible


9 0,5 0 0,25 0,25 Gaussiana 44 0,5 0 0,25 0,25 Adaptive Feasible






15 0,25 0,25 0,25 0,25 Gaussiana 50 0,25 0,25 0,25 0,25 Adaptive Feasible







22 0 0,75 0,25 0 Gaussiana 57 0 0,75 0,25 0 Adaptive Feasible

23 0 0,75 0 0,25 Gaussiana 58 0 0,75 0 0,25 Adaptive Feasible


25 0 0,5 0,25 0,25 Gaussiana 60 0 0,5 0,25 0,25 Adaptive Feasible







32 0 0 0,75 0,25 Gaussiana 67 0 0 0,75 0,25 Adaptive Feasible




TestePesos das Respostas

Função de MutaçãoPesos das Respostas

Teste Função de Mutação



13

6.3 Definição do problema de otimização

Após a modelagem das equações para W, P, R e D, os valores para os pontos de ótimo

( ) e os pontos de máximo ( max)(xf i ) para as quatro respostas foram estabelecidos

através da maximização individual restrita das mesmas. Os valores encontrados nas

otimizações individuais estão apresentados na tabela 3.

Tabela 3 - Resultados das otimizações individuais

i DeltaW 15,576 12,451 -3,125P 0,828 1,411 0,584R 3,342 3,055 -0,287D 16,275 24,071 7,796

max)(xf i)( *xfi

Tendo o Método do Critério Global como técnica de programação matemática, de

acordo com a Equação (2) e os resultados das otimizações individuais, pode-se escrever o

problema de otimização como:

0,4NVsTVa :. .

796,7

275,16

287,0

342,3

584,0

828,0

125,3

576,15

2222

2

4

2

3

2

2

2

1

as

Dw

Rw

Pw

WwGMin

(8)

6.4 Otimização pelo Método do Critério Global

Nesta etapa, o algoritmo genético foi empregado para solucionar a Equação (8),

levando em consideração cada combinação de pesos e funções de mutação estabelecidos pelo

arranjo de misturas definido anteriormente.

O problema foi programado no Matlab®, e o Algoritmo Genético foi aplicado através

do Optimization Toolbox. Em cada cenário de otimização, foram observados os valores

ótimos para as variáveis Va, T, Vs e N, assim como o resultado da função G e das respostas W,

P, R e D. O erro percentual global foi então calculado conforme estipulado pela Equação (9).

m

i i

i

T

y EPG

1

*

1 (9)



14

onde: EPG – Erro percentual global das respostas Pareto-ótimas em relação aos alvos

yi* – Valores das respostas Pareto-ótimas

Ti – Alvos definidos

m – Número de objetivos

Devido ao fato da variação das respostas determinadas pelo GA, para garantir um

modelo mais representativo, o arranjo foi replicado cinco vezes. Os resultados encontrados

para o EPG para as cinco réplicas estão apresentados na Tabela 4.

Tabela 4 – Resultados calculados para o Erro Percentual Global

1ª réplica 2ª réplica 3ª réplica 4ª réplica 5ª réplica Teste 1ª réplica 2ª réplica 3ª réplica4ª réplica5ª réplica

1 1,3395 1,4366 1,1283 1,1878 1,1370 36 1,352 1,443 1,248 1,282 1,337

2 0,5258 0,5085 0,5608 0,5282 0,4597 37 0,484 0,542 0,484 0,514 0,496

3 0,6161 0,4528 0,7684 0,7871 0,7227 38 0,677 0,667 0,634 0,634 0,695

4 0,5119 0,4915 0,4924 0,5365 0,5660 39 0,479 0,490 0,478 0,479 0,483

5 0,4265 0,4639 0,3765 0,4551 0,4166 40 0,379 0,399 0,381 0,381 0,396

6 0,4322 0,4159 0,3801 0,3937 0,4757 41 0,389 0,401 0,389 0,395 0,405

7 0,3786 0,3827 0,3804 0,4120 0,3889 42 0,368 0,371 0,368 0,370 0,369

8 0,4643 0,6470 0,4488 0,5061 0,4221 43 0,582 0,562 0,527 0,532 0,529

9 0,3655 0,3298 0,4193 0,5013 0,5018 44 0,410 0,420 0,408 0,405 0,430

10 0,4537 0,4403 0,3851 0,3655 0,4126 45 0,365 0,371 0,372 0,378 0,369

11 0,3204 0,3466 0,2784 0,3343 0,3688 46 0,302 0,301 0,299 0,300 0,299

12 0,2691 0,2917 0,3355 0,2728 0,2981 47 0,286 0,301 0,302 0,329 0,285

13 0,3010 0,2700 0,3304 0,3476 0,2768 48 0,287 0,288 0,293 0,288 0,283

14 0,3009 0,2968 0,3075 0,2483 0,2748 49 0,318 0,318 0,319 0,320 0,325

15 0,4003 0,3179 0,3237 0,2948 0,2765 50 0,290 0,290 0,291 0,292 0,301

16 0,2774 0,3386 0,2968 0,2786 0,2668 51 0,277 0,286 0,288 0,285 0,298

17 0,3263 0,3139 0,5530 0,4643 0,6049 52 0,486 0,470 0,547 0,460 0,539

18 0,2929 0,3556 0,3963 0,3936 0,4462 53 0,381 0,355 0,355 0,358 0,349

19 0,2818 0,2657 0,2476 0,3200 0,3396 54 0,310 0,318 0,310 0,329 0,310

20 0,3054 0,2378 0,3465 0,4248 0,2866 55 0,292 0,292 0,291 0,290 0,298

21 0,2071 0,2865 0,2182 0,2052 0,2548 56 0,221 0,221 0,224 0,222 0,203

22 0,2515 0,2066 0,3534 0,3138 0,2439 57 0,235 0,252 0,235 0,243 0,255

23 0,1929 0,2067 0,2778 0,2157 0,2269 58 0,202 0,216 0,217 0,202 0,235

24 0,2424 0,2555 0,2807 0,3700 0,2812 59 0,254 0,291 0,254 0,248 0,292

25 0,3004 0,2752 0,2867 0,2392 0,2766 60 0,250 0,254 0,349 0,237 0,237

26 0,3441 0,2003 0,2230 0,2791 0,2456 61 0,212 0,207 0,209 0,209 0,235

27 0,4182 0,3857 0,2640 0,3795 0,3539 62 0,274 0,264 0,267 0,294 0,276

28 0,2668 0,2721 0,2214 0,2630 0,3004 63 0,279 0,273 0,259 0,263 0,264

29 0,2777 0,2566 0,2441 0,3396 0,2575 64 0,243 0,246 0,256 0,250 0,258

30 0,3881 0,2864 0,2281 0,2153 0,1964 65 0,204 0,212 0,217 0,217 0,237

31 0,3833 0,6037 0,4458 0,4043 0,4327 66 0,443 0,430 0,489 0,409 0,435

32 0,4117 0,4441 0,2457 0,3724 0,3273 67 0,340 0,318 0,307 0,293 0,317

33 0,2638 0,2613 0,3002 0,4266 0,3783 68 0,289 0,291 0,299 0,305 0,291

34 0,3070 0,2688 0,3216 0,3010 0,2835 69 0,288 0,273 0,275 0,273 0,275

35 0,2903 0,2333 0,2922 0,3317 0,2313 70 0,244 0,232 0,243 0,239 0,239

Teste

EPG calculado EPG calculado



15

6.5 Análise de Cluster

Visando verificar a similaridade entre as respostas obtidas para o EPG nas cinco

réplicas, realisou-se uma análise de cluster, que agrupa as respostas com maior similaridade

entre si. Segundo a análise, as réplicas mais similares são as réplicas número 3, 4 e 5, como

pode-se perceber pela Figura 5:

5ªRéplica4ªRéplica3ªRéplica2ªRéplica1ªRéplica

94,18

96,12

98,06

100,00

Variables

Sim

ila

rity

Figura 5 - Análise de Cluster

Portanto, para que a modelagem do EPG não leve a um modelo com falta de ajuste

devido à grande diferença entre algumas réplicas, no próximo passo serão utilizados somente

os dados das réplicas com maior similaridade.

6.6 Modelagem do Erro Percentual Global

Com os dados para as 3ª, 4ª e 5ª réplicas, apresentados na Tabela 4 e utilizando o

método dos Mínimos Quadrados Ordinários, através do Minitab®, para a estimação dos

coeficientes, desenvolveu-se um modelo de misturas de quarta ordem para o erro percentual

global. O modelo quártico genérico para um arranjo de misturas é expresso pela Equação

(10). O modelo encontrado, após redução dos termos não-significativos é expresso pela

Equação (11). Os resultados da ANOVA para a Equação (11) também se mostraram



16

significativos, com um p-value de regressão inferior a 5% de significância e o R2(adj.)

indicando uma representatividade de 96,87% para o modelo.

6.7 Determinação dos pesos ótimos

Tendo-se realizado todas as etapas anteriores, o procedimento para a identificação dos

pesos ótimos na otimização global da soldagem de revestimento, foi concluído resolvendo-se

o problema formulado de acordo com a Equação (12) Esta otimização foi programada em

uma planilha do Microsoft Excel® e o algoritmo GRG foi utilizado para a determinação do

ponto de ótimo.

11

1

95,0,,,

05,0,,, :a. .

1

4321

4321

4321

X

wwww

wwww

wwwws

EPGMin

(12)

Feito isso, foram obtidos os valores ótimos de 0,058 para w1, 0 para w2, 0,062 para w3,

0,88 para w4 e 1 para X1, o que significa que a solução Pareto-ótima mais eficiente para a

otimização do processo de revestimento do aço carbono ABNT 1020 com o aço inoxidável

(10)

(11)



17

ABNT 316L ocorre para esta combinação de pesos e que a melhor função de mutação para a

utilização do GA é a adaptive feasible.

A influência da função de mutação pode é demonstrada pela Figura 6, que mostra a

diferença entre o EPG médio encontrado para as diferentes funções de mutação, onde gaus é a

função gassiana e adp é a função adaptive feasible.

adpgaus

0,380

0,375

0,370

0,365

0,360

Mutação

EP

G M

éd

io

Figura 6 - Gráfico de efeitos principais

Os gráficos de contorno para a função EPG (figuras X e X) também mostram como o

comportamento da função muda de acordo com a configuração dos pesos das funções e da

função de mutação utilizada. Percebe-se claramente que dependendo da configuração de

pesos e da função de mutação escolhidos o valor encontrado para o EPG poderá ser maior ou

menor.



18

w1

0

1

w2

1

0

w3

1

0

w1

0

1

w2

1

0

w4

1

0

w1

0

1

w3

1

0

w4

1

0

w2

0

1

w3

1

0

w4

1

0

w1 0

w2 0

w3 0

w4 0

Mutação adp

>

–

–

–

–

–

–

< 0,30

0,30 0,45

0,45 0,60

0,60 0,75

0,75 0,90

0,90 1,05

1,05 1,20

1,20

EPG

Figura 7 - Gráficos de contorno para a função adaptive feasible

w1

0

1

w2

1

0

w3

1

0

w1

0

1

w2

1

0

w4

1

0

w1

0

1

w3

1

0

w4

1

0

w2

0

1

w3

1

0

w4

1

0

w1 0

w2 0

w3 0

w4 0

Mutação gaus

>

–

–

–

< 0,4

0,4 0,6

0,6 0,8

0,8 1,0

1,0

EPG

Figura 8 - Gráficos de contorno para a função Gaussiana



19

Apesar de o método proposto ter avaliado apenas a função de mutação, muitos outros

parâmetros do algoritmo genético podem ser avaliados da mesma maneira, pois o método se

mostrou eficiente em provar que pode existir interações entre os parâmetros do algoritmo e os

pesos das funções objetivo e que a utilização dos parâmetros corretos pode influenciar a

eficiência da otimização do processo.

7. Conclusão

Este artigo investigou a influência da função de mutação na solução de um problema

multiobjetivo que utilizou o Algoritmo Genético na sua otimização, através da análise da

função Erro Percentual Global, modelada através de um arranjo de misturas. A principal

contribuição desta pesquisa consistiu na identificação da interação entre os pesos das funções

objetivo e a função de mutação utilizada. Além disso, foi possível identificar qual função de

mutação testada leva aos melhores resultados na otimização do processo de soldagem com

arame tubular no revestimento de chapas de aço carbono ABNT 1020 utilizando o aço

inoxidável austenítico ABNT 316L.

É importante acrescentar que os resultados encontrados neste trabalho não podem ser

generalizados, porém espera-se que esta metodologia possa ser aplicada em outros processos e

para avaliação de outros parâmetros e operadores do algoritmo genético, para que se possa

obter o melhor setup destess parâmetros, que levará a resultados mais adequados a cada tipo

de aplicação.

Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer a FAPEMIG, CNPq e CAPES pelo suporte nesta

pesquisa.

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