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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE ENGENHARIA ELEacuteTRICA E INFORMAacuteTICA
PROGRAMA DE POacuteS-GRADUACcedilAtildeO EM ENGENHARIA ELEacuteTRICA
Dissertaccedilatildeo de Mestrado
Anaacutelise Comparativa de Correntes de Curto-
Circuito Utilizando o Meacutetodo das
Componentes Simeacutetricas e o Meacutetodo das
Componentes de Fase
Greta Almeida Fernandes Moreira
Campina Grande ndash Paraiacuteba ndash Brasil
copyGreta Moreira Dezembro de 2011
Greta Almeida Fernandes Moreira
Anaacutelise Comparativa de Correntes de Curto-Circuito Utilizando o Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas e o
Meacutetodo das Componentes de Fase
Dissertaccedilatildeo apresentada agrave Coordenaccedilatildeo do Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Eleacutetrica da Universidade Federal de Campina Grande em cumprimento agraves exigecircncias para obtenccedilatildeo do Grau de Mestre em Ciecircncias no Domiacutenio da Engenharia Eleacutetrica
Aacuterea de Concentraccedilatildeo Processamento da Energia
Washington Luiz Arauacutejo Neves PhD
Orientador
Fernando Augusto Moreira PhD
Orientador
Campina Grande ndash Paraiacuteba ndash Brasil
Dezembro de 2011
iii
Dedico este trabalho aos meus pais minhas excelentes referecircncias que com amor e renuacutencias me proporcionaram oportunidades de formaccedilatildeo e crescimento me inspirando agrave busca contiacutenua do aperfeiccediloamento
iv
Agradecimentos
A Deus por me dar forccedilas me iluminando e me guiando em todos os
momentos
Aos professores Washington Neves e Fernando Moreira pela amizade pela
preciosa orientaccedilatildeo grande oportunidade de aprendizado pela disponibilidade e paciecircncia
durante o desenvolvimento deste trabalho
Aos professores Damaacutesio Fernandes e Wellington Mota pela atenccedilatildeo pelas
criacuteticas e sugestotildees de melhoria
Ao meu amado companheiro Rodrigo Tutu pelo enorme auxiacutelio e pela
compreensatildeo da minha ausecircncia em casa para dedicaccedilatildeo a este trabalho
A Marco Reis Frederico Cesaacuterio e Dennis Vianna pelo constante incentivo
Aos colegas do CIMATEC pela assistecircncia nas minhas atividades do
SENAI em especial a Alex Alisson Daniel Motta Marley Tavares e Luis Alberto Breda
Ao diretor regional do SENAI-BA Leone Peter pela compreensatildeo incentivo e apoio
Aos colegas do Grupo de Sistemas Eleacutetricos da UFCG sempre dispostos a
ajudar sou grata sobretudo a Alana Xavier Felipe Lopes e Wellinsiacutelvio Costa
Aos amigos e a famiacutelia pela grande torcida
v
Sumaacuterio
Lista de Figuras vii
Lista de Tabelas ix
Resumo x
Abstract xi
1 Introduccedilatildeo 1
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo 1
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados 2
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo 3
2 Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica 4
21 Revisatildeo Bibliograacutefica 4
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo 6
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo 6
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo 8
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha 9
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo 10
241 Circuito PI Exato 11
242 Circuito PI Nominal 13
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo 13
26 Teorema de Fortescue 16
261 Autovalores e Autovetores 19
262 Diagonalizaccedilatildeo de Matrizes 19
263 Componentes Simeacutetricas 20
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas 23
vi
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples 23
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo 24
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido 25
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos 26
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees 27
273 Maacutequinas Siacutencronas 29
3 Metodologia e Resultados 31
31 Metodologia Utilizada 31
311 Linhas Analisadas 31
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas 34
313 Comparaccedilotildees Realizadas 34
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas 35
32 Apresentaccedilatildeo dos Resultados 36
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
36
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
44
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
47
3221 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Duplo
50
4 Conclusotildees 52
Referecircncias Bibliograacuteficas 54
vii
Lista de Figuras
21 Distacircncia entre condutores imagens e solo 7
22 Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica 11
23 Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica 11
24 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples 14
25 Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples 14
26 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo 14
27 Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linha de circuito duplo 17
31 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo do tronco Norte-Sul I 32
32 Arranjo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza 32
33 Esquema de transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza
33
34 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo Paulo Afonso - Fortaleza 33
35 Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos 36
36 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
37
37 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
37
38 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
38
39 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
38
310 Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
39
311 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
40
312 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo 41
viii
na linha L1 com solo considerado ideal
313 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
41
314 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
315 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
316 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
317 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
318 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
44
319 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
45
320 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
47
321 Pontos de falta considerados para anaacutelise da linha de circuito duplo L3 48
ix
Lista de Tabelas
31 Erros para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
32 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
33 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo 47
34 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Ideal 48
35 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Real 49
36 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 sem Transposiccedilatildeo 49
37 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo Real Considerada como Idealmente Transposta 51
38 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo Considerada como Idealmente Transposta 51
x
Resumo
Em anaacutelise de curto-circuitos eacute usual assumir linhas de transmissatildeo como sendo
idealmente transpostas sem que haja um estudo dos erros acarretados pelas simplificaccedilotildees
adotadas Este trabalho apresenta uma comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de
falta fase-terra em linhas de transmissatildeo pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas e pelo
meacutetodo das componentes de fase O estudo eacute realizado em regime permanente em linhas
de transmissatildeo de circuito simples e de circuito duplo O meacutetodo das componentes de fase
permite realizar o estudo considerando o esquema transposiccedilatildeo real ou a ausecircncia de
transposiccedilatildeo na linha O caacutelculo dos paracircmetros e as simulaccedilotildees de curto-circuito satildeo
realizados com o auxiacutelio do programa ATP (Alternative Transients Program) Trecircs
situaccedilotildees satildeo analisadas linha perfeitamente transposta linha com transposiccedilatildeo real e
linha natildeo transposta A matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada para definiccedilatildeo dos
paracircmetros da linha idealmente transposta caracterizando a anaacutelise por componentes
simeacutetricas Para a modelagem da linha em componentes de fase cada trecho entre torres de
transposiccedilatildeo eacute representado por uma linha natildeo transposta atraveacutes de um circuito PI com
paracircmetros concentrados A transposiccedilatildeo eacute levada em consideraccedilatildeo atraveacutes da mudanccedila de
posiccedilatildeo dos condutores de cada fase utilizando torres de transposiccedilatildeo de modo que em
meacutedia ao longo da linha os condutores de cada fase tenham ocupado a posiccedilatildeo dos demais
condutores fase Os valores de corrente de falta em diversos pontos ao longo da linha satildeo
obtidos para cada caso e comparados entre si
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
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10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
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11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
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13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
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14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
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b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
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17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
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23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
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25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
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27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
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28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
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29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
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32
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Resultados
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c
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b
G1
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30 m
6 m
b
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33
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condutores
67
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linha de tran
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denominada
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7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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28 m
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Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
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120
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510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
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570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
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180
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240
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480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
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360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
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que corresp
33
de falta consi
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segunda e
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vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Dissertaccedilatildeo apresentada agrave Coordenaccedilatildeo do Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Eleacutetrica da Universidade Federal de Campina Grande em cumprimento agraves exigecircncias para obtenccedilatildeo do Grau de Mestre em Ciecircncias no Domiacutenio da Engenharia Eleacutetrica
Aacuterea de Concentraccedilatildeo Processamento da Energia
Washington Luiz Arauacutejo Neves PhD
Orientador
Fernando Augusto Moreira PhD
Orientador
Campina Grande ndash Paraiacuteba ndash Brasil
Dezembro de 2011
iii
Dedico este trabalho aos meus pais minhas excelentes referecircncias que com amor e renuacutencias me proporcionaram oportunidades de formaccedilatildeo e crescimento me inspirando agrave busca contiacutenua do aperfeiccediloamento
iv
Agradecimentos
A Deus por me dar forccedilas me iluminando e me guiando em todos os
momentos
Aos professores Washington Neves e Fernando Moreira pela amizade pela
preciosa orientaccedilatildeo grande oportunidade de aprendizado pela disponibilidade e paciecircncia
durante o desenvolvimento deste trabalho
Aos professores Damaacutesio Fernandes e Wellington Mota pela atenccedilatildeo pelas
criacuteticas e sugestotildees de melhoria
Ao meu amado companheiro Rodrigo Tutu pelo enorme auxiacutelio e pela
compreensatildeo da minha ausecircncia em casa para dedicaccedilatildeo a este trabalho
A Marco Reis Frederico Cesaacuterio e Dennis Vianna pelo constante incentivo
Aos colegas do CIMATEC pela assistecircncia nas minhas atividades do
SENAI em especial a Alex Alisson Daniel Motta Marley Tavares e Luis Alberto Breda
Ao diretor regional do SENAI-BA Leone Peter pela compreensatildeo incentivo e apoio
Aos colegas do Grupo de Sistemas Eleacutetricos da UFCG sempre dispostos a
ajudar sou grata sobretudo a Alana Xavier Felipe Lopes e Wellinsiacutelvio Costa
Aos amigos e a famiacutelia pela grande torcida
v
Sumaacuterio
Lista de Figuras vii
Lista de Tabelas ix
Resumo x
Abstract xi
1 Introduccedilatildeo 1
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo 1
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados 2
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo 3
2 Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica 4
21 Revisatildeo Bibliograacutefica 4
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo 6
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo 6
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo 8
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha 9
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo 10
241 Circuito PI Exato 11
242 Circuito PI Nominal 13
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo 13
26 Teorema de Fortescue 16
261 Autovalores e Autovetores 19
262 Diagonalizaccedilatildeo de Matrizes 19
263 Componentes Simeacutetricas 20
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas 23
vi
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples 23
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo 24
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido 25
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos 26
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees 27
273 Maacutequinas Siacutencronas 29
3 Metodologia e Resultados 31
31 Metodologia Utilizada 31
311 Linhas Analisadas 31
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas 34
313 Comparaccedilotildees Realizadas 34
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas 35
32 Apresentaccedilatildeo dos Resultados 36
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
36
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
44
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
47
3221 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Duplo
50
4 Conclusotildees 52
Referecircncias Bibliograacuteficas 54
vii
Lista de Figuras
21 Distacircncia entre condutores imagens e solo 7
22 Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica 11
23 Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica 11
24 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples 14
25 Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples 14
26 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo 14
27 Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linha de circuito duplo 17
31 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo do tronco Norte-Sul I 32
32 Arranjo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza 32
33 Esquema de transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza
33
34 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo Paulo Afonso - Fortaleza 33
35 Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos 36
36 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
37
37 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
37
38 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
38
39 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
38
310 Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
39
311 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
40
312 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo 41
viii
na linha L1 com solo considerado ideal
313 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
41
314 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
315 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
316 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
317 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
318 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
44
319 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
45
320 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
47
321 Pontos de falta considerados para anaacutelise da linha de circuito duplo L3 48
ix
Lista de Tabelas
31 Erros para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
32 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
33 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo 47
34 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Ideal 48
35 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Real 49
36 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 sem Transposiccedilatildeo 49
37 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo Real Considerada como Idealmente Transposta 51
38 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo Considerada como Idealmente Transposta 51
x
Resumo
Em anaacutelise de curto-circuitos eacute usual assumir linhas de transmissatildeo como sendo
idealmente transpostas sem que haja um estudo dos erros acarretados pelas simplificaccedilotildees
adotadas Este trabalho apresenta uma comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de
falta fase-terra em linhas de transmissatildeo pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas e pelo
meacutetodo das componentes de fase O estudo eacute realizado em regime permanente em linhas
de transmissatildeo de circuito simples e de circuito duplo O meacutetodo das componentes de fase
permite realizar o estudo considerando o esquema transposiccedilatildeo real ou a ausecircncia de
transposiccedilatildeo na linha O caacutelculo dos paracircmetros e as simulaccedilotildees de curto-circuito satildeo
realizados com o auxiacutelio do programa ATP (Alternative Transients Program) Trecircs
situaccedilotildees satildeo analisadas linha perfeitamente transposta linha com transposiccedilatildeo real e
linha natildeo transposta A matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada para definiccedilatildeo dos
paracircmetros da linha idealmente transposta caracterizando a anaacutelise por componentes
simeacutetricas Para a modelagem da linha em componentes de fase cada trecho entre torres de
transposiccedilatildeo eacute representado por uma linha natildeo transposta atraveacutes de um circuito PI com
paracircmetros concentrados A transposiccedilatildeo eacute levada em consideraccedilatildeo atraveacutes da mudanccedila de
posiccedilatildeo dos condutores de cada fase utilizando torres de transposiccedilatildeo de modo que em
meacutedia ao longo da linha os condutores de cada fase tenham ocupado a posiccedilatildeo dos demais
condutores fase Os valores de corrente de falta em diversos pontos ao longo da linha satildeo
obtidos para cada caso e comparados entre si
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
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27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
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28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
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Figura 32 -
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32
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Resultados
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c
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G1
245 m
30 m
6 m
b
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33
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67
22 m
linha de tran
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denominada
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7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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28 m
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Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
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CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
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600
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690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
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660
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720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
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150
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330
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570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
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a b e
Tab
L
Corre
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Fa
L
Corre
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Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
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Figura 3
Como a
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e Banabuiu
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elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
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mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
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33
de falta consi
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vados para
1 B1 e C1
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646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
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o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
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ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
iii
Dedico este trabalho aos meus pais minhas excelentes referecircncias que com amor e renuacutencias me proporcionaram oportunidades de formaccedilatildeo e crescimento me inspirando agrave busca contiacutenua do aperfeiccediloamento
iv
Agradecimentos
A Deus por me dar forccedilas me iluminando e me guiando em todos os
momentos
Aos professores Washington Neves e Fernando Moreira pela amizade pela
preciosa orientaccedilatildeo grande oportunidade de aprendizado pela disponibilidade e paciecircncia
durante o desenvolvimento deste trabalho
Aos professores Damaacutesio Fernandes e Wellington Mota pela atenccedilatildeo pelas
criacuteticas e sugestotildees de melhoria
Ao meu amado companheiro Rodrigo Tutu pelo enorme auxiacutelio e pela
compreensatildeo da minha ausecircncia em casa para dedicaccedilatildeo a este trabalho
A Marco Reis Frederico Cesaacuterio e Dennis Vianna pelo constante incentivo
Aos colegas do CIMATEC pela assistecircncia nas minhas atividades do
SENAI em especial a Alex Alisson Daniel Motta Marley Tavares e Luis Alberto Breda
Ao diretor regional do SENAI-BA Leone Peter pela compreensatildeo incentivo e apoio
Aos colegas do Grupo de Sistemas Eleacutetricos da UFCG sempre dispostos a
ajudar sou grata sobretudo a Alana Xavier Felipe Lopes e Wellinsiacutelvio Costa
Aos amigos e a famiacutelia pela grande torcida
v
Sumaacuterio
Lista de Figuras vii
Lista de Tabelas ix
Resumo x
Abstract xi
1 Introduccedilatildeo 1
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo 1
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados 2
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo 3
2 Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica 4
21 Revisatildeo Bibliograacutefica 4
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo 6
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo 6
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo 8
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha 9
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo 10
241 Circuito PI Exato 11
242 Circuito PI Nominal 13
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo 13
26 Teorema de Fortescue 16
261 Autovalores e Autovetores 19
262 Diagonalizaccedilatildeo de Matrizes 19
263 Componentes Simeacutetricas 20
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas 23
vi
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples 23
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo 24
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido 25
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos 26
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees 27
273 Maacutequinas Siacutencronas 29
3 Metodologia e Resultados 31
31 Metodologia Utilizada 31
311 Linhas Analisadas 31
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas 34
313 Comparaccedilotildees Realizadas 34
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas 35
32 Apresentaccedilatildeo dos Resultados 36
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
36
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
44
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
47
3221 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Duplo
50
4 Conclusotildees 52
Referecircncias Bibliograacuteficas 54
vii
Lista de Figuras
21 Distacircncia entre condutores imagens e solo 7
22 Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica 11
23 Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica 11
24 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples 14
25 Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples 14
26 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo 14
27 Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linha de circuito duplo 17
31 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo do tronco Norte-Sul I 32
32 Arranjo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza 32
33 Esquema de transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza
33
34 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo Paulo Afonso - Fortaleza 33
35 Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos 36
36 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
37
37 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
37
38 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
38
39 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
38
310 Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
39
311 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
40
312 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo 41
viii
na linha L1 com solo considerado ideal
313 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
41
314 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
315 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
316 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
317 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
318 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
44
319 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
45
320 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
47
321 Pontos de falta considerados para anaacutelise da linha de circuito duplo L3 48
ix
Lista de Tabelas
31 Erros para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
32 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
33 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo 47
34 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Ideal 48
35 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Real 49
36 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 sem Transposiccedilatildeo 49
37 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo Real Considerada como Idealmente Transposta 51
38 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo Considerada como Idealmente Transposta 51
x
Resumo
Em anaacutelise de curto-circuitos eacute usual assumir linhas de transmissatildeo como sendo
idealmente transpostas sem que haja um estudo dos erros acarretados pelas simplificaccedilotildees
adotadas Este trabalho apresenta uma comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de
falta fase-terra em linhas de transmissatildeo pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas e pelo
meacutetodo das componentes de fase O estudo eacute realizado em regime permanente em linhas
de transmissatildeo de circuito simples e de circuito duplo O meacutetodo das componentes de fase
permite realizar o estudo considerando o esquema transposiccedilatildeo real ou a ausecircncia de
transposiccedilatildeo na linha O caacutelculo dos paracircmetros e as simulaccedilotildees de curto-circuito satildeo
realizados com o auxiacutelio do programa ATP (Alternative Transients Program) Trecircs
situaccedilotildees satildeo analisadas linha perfeitamente transposta linha com transposiccedilatildeo real e
linha natildeo transposta A matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada para definiccedilatildeo dos
paracircmetros da linha idealmente transposta caracterizando a anaacutelise por componentes
simeacutetricas Para a modelagem da linha em componentes de fase cada trecho entre torres de
transposiccedilatildeo eacute representado por uma linha natildeo transposta atraveacutes de um circuito PI com
paracircmetros concentrados A transposiccedilatildeo eacute levada em consideraccedilatildeo atraveacutes da mudanccedila de
posiccedilatildeo dos condutores de cada fase utilizando torres de transposiccedilatildeo de modo que em
meacutedia ao longo da linha os condutores de cada fase tenham ocupado a posiccedilatildeo dos demais
condutores fase Os valores de corrente de falta em diversos pontos ao longo da linha satildeo
obtidos para cada caso e comparados entre si
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
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11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
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13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
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14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
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15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
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17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
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23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
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25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
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27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
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28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
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osiccedilatildeo de c
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32
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Resultados
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c
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b
G1
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b
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33
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denominada
Ca
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7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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28 m
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Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
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e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
iv
Agradecimentos
A Deus por me dar forccedilas me iluminando e me guiando em todos os
momentos
Aos professores Washington Neves e Fernando Moreira pela amizade pela
preciosa orientaccedilatildeo grande oportunidade de aprendizado pela disponibilidade e paciecircncia
durante o desenvolvimento deste trabalho
Aos professores Damaacutesio Fernandes e Wellington Mota pela atenccedilatildeo pelas
criacuteticas e sugestotildees de melhoria
Ao meu amado companheiro Rodrigo Tutu pelo enorme auxiacutelio e pela
compreensatildeo da minha ausecircncia em casa para dedicaccedilatildeo a este trabalho
A Marco Reis Frederico Cesaacuterio e Dennis Vianna pelo constante incentivo
Aos colegas do CIMATEC pela assistecircncia nas minhas atividades do
SENAI em especial a Alex Alisson Daniel Motta Marley Tavares e Luis Alberto Breda
Ao diretor regional do SENAI-BA Leone Peter pela compreensatildeo incentivo e apoio
Aos colegas do Grupo de Sistemas Eleacutetricos da UFCG sempre dispostos a
ajudar sou grata sobretudo a Alana Xavier Felipe Lopes e Wellinsiacutelvio Costa
Aos amigos e a famiacutelia pela grande torcida
v
Sumaacuterio
Lista de Figuras vii
Lista de Tabelas ix
Resumo x
Abstract xi
1 Introduccedilatildeo 1
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo 1
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados 2
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo 3
2 Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica 4
21 Revisatildeo Bibliograacutefica 4
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo 6
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo 6
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo 8
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha 9
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo 10
241 Circuito PI Exato 11
242 Circuito PI Nominal 13
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo 13
26 Teorema de Fortescue 16
261 Autovalores e Autovetores 19
262 Diagonalizaccedilatildeo de Matrizes 19
263 Componentes Simeacutetricas 20
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas 23
vi
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples 23
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo 24
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido 25
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos 26
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees 27
273 Maacutequinas Siacutencronas 29
3 Metodologia e Resultados 31
31 Metodologia Utilizada 31
311 Linhas Analisadas 31
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas 34
313 Comparaccedilotildees Realizadas 34
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas 35
32 Apresentaccedilatildeo dos Resultados 36
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
36
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
44
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
47
3221 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Duplo
50
4 Conclusotildees 52
Referecircncias Bibliograacuteficas 54
vii
Lista de Figuras
21 Distacircncia entre condutores imagens e solo 7
22 Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica 11
23 Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica 11
24 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples 14
25 Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples 14
26 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo 14
27 Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linha de circuito duplo 17
31 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo do tronco Norte-Sul I 32
32 Arranjo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza 32
33 Esquema de transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza
33
34 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo Paulo Afonso - Fortaleza 33
35 Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos 36
36 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
37
37 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
37
38 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
38
39 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
38
310 Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
39
311 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
40
312 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo 41
viii
na linha L1 com solo considerado ideal
313 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
41
314 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
315 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
316 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
317 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
318 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
44
319 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
45
320 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
47
321 Pontos de falta considerados para anaacutelise da linha de circuito duplo L3 48
ix
Lista de Tabelas
31 Erros para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
32 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
33 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo 47
34 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Ideal 48
35 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Real 49
36 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 sem Transposiccedilatildeo 49
37 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo Real Considerada como Idealmente Transposta 51
38 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo Considerada como Idealmente Transposta 51
x
Resumo
Em anaacutelise de curto-circuitos eacute usual assumir linhas de transmissatildeo como sendo
idealmente transpostas sem que haja um estudo dos erros acarretados pelas simplificaccedilotildees
adotadas Este trabalho apresenta uma comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de
falta fase-terra em linhas de transmissatildeo pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas e pelo
meacutetodo das componentes de fase O estudo eacute realizado em regime permanente em linhas
de transmissatildeo de circuito simples e de circuito duplo O meacutetodo das componentes de fase
permite realizar o estudo considerando o esquema transposiccedilatildeo real ou a ausecircncia de
transposiccedilatildeo na linha O caacutelculo dos paracircmetros e as simulaccedilotildees de curto-circuito satildeo
realizados com o auxiacutelio do programa ATP (Alternative Transients Program) Trecircs
situaccedilotildees satildeo analisadas linha perfeitamente transposta linha com transposiccedilatildeo real e
linha natildeo transposta A matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada para definiccedilatildeo dos
paracircmetros da linha idealmente transposta caracterizando a anaacutelise por componentes
simeacutetricas Para a modelagem da linha em componentes de fase cada trecho entre torres de
transposiccedilatildeo eacute representado por uma linha natildeo transposta atraveacutes de um circuito PI com
paracircmetros concentrados A transposiccedilatildeo eacute levada em consideraccedilatildeo atraveacutes da mudanccedila de
posiccedilatildeo dos condutores de cada fase utilizando torres de transposiccedilatildeo de modo que em
meacutedia ao longo da linha os condutores de cada fase tenham ocupado a posiccedilatildeo dos demais
condutores fase Os valores de corrente de falta em diversos pontos ao longo da linha satildeo
obtidos para cada caso e comparados entre si
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
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13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
NTEIRO (2
figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
agres (MLG
ema de tran
c
G1
1175 m
45 m
gura 31 ndash Co
uida foi r
condutores
e uma linha
expandido u
2004) com
a torre da lin
- Arranjo da
apresenta tr
G) Banabuiu
nsposiccedilatildeo da
634 m
40 m
45 m
a
nfiguraccedilatildeo d
realizado o
com maio
a de transmi
utilizada no
m dois cond
nha da CHE
linha de tran
ecircs trechos c
u (BNB) e
a linha de ci
32
b
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G2
da linha de tra
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or assimetr
missatildeo de 23
o trecho ent
dutores por
ESF eacute ilustra
nsmissatildeo em
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33
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Resultados
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e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
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150
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450
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510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
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150
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210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
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5000
6000
7000
8000
9000
30
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180
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240
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
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720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
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630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
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5
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15
20
25
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360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
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Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
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elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
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que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
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iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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v
Sumaacuterio
Lista de Figuras vii
Lista de Tabelas ix
Resumo x
Abstract xi
1 Introduccedilatildeo 1
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo 1
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados 2
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo 3
2 Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica 4
21 Revisatildeo Bibliograacutefica 4
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo 6
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo 6
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo 8
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha 9
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo 10
241 Circuito PI Exato 11
242 Circuito PI Nominal 13
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo 13
26 Teorema de Fortescue 16
261 Autovalores e Autovetores 19
262 Diagonalizaccedilatildeo de Matrizes 19
263 Componentes Simeacutetricas 20
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas 23
vi
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples 23
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo 24
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido 25
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos 26
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees 27
273 Maacutequinas Siacutencronas 29
3 Metodologia e Resultados 31
31 Metodologia Utilizada 31
311 Linhas Analisadas 31
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas 34
313 Comparaccedilotildees Realizadas 34
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas 35
32 Apresentaccedilatildeo dos Resultados 36
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
36
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
44
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
47
3221 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Duplo
50
4 Conclusotildees 52
Referecircncias Bibliograacuteficas 54
vii
Lista de Figuras
21 Distacircncia entre condutores imagens e solo 7
22 Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica 11
23 Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica 11
24 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples 14
25 Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples 14
26 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo 14
27 Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linha de circuito duplo 17
31 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo do tronco Norte-Sul I 32
32 Arranjo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza 32
33 Esquema de transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza
33
34 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo Paulo Afonso - Fortaleza 33
35 Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos 36
36 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
37
37 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
37
38 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
38
39 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
38
310 Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
39
311 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
40
312 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo 41
viii
na linha L1 com solo considerado ideal
313 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
41
314 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
315 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
316 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
317 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
318 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
44
319 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
45
320 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
47
321 Pontos de falta considerados para anaacutelise da linha de circuito duplo L3 48
ix
Lista de Tabelas
31 Erros para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
32 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
33 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo 47
34 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Ideal 48
35 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Real 49
36 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 sem Transposiccedilatildeo 49
37 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo Real Considerada como Idealmente Transposta 51
38 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo Considerada como Idealmente Transposta 51
x
Resumo
Em anaacutelise de curto-circuitos eacute usual assumir linhas de transmissatildeo como sendo
idealmente transpostas sem que haja um estudo dos erros acarretados pelas simplificaccedilotildees
adotadas Este trabalho apresenta uma comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de
falta fase-terra em linhas de transmissatildeo pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas e pelo
meacutetodo das componentes de fase O estudo eacute realizado em regime permanente em linhas
de transmissatildeo de circuito simples e de circuito duplo O meacutetodo das componentes de fase
permite realizar o estudo considerando o esquema transposiccedilatildeo real ou a ausecircncia de
transposiccedilatildeo na linha O caacutelculo dos paracircmetros e as simulaccedilotildees de curto-circuito satildeo
realizados com o auxiacutelio do programa ATP (Alternative Transients Program) Trecircs
situaccedilotildees satildeo analisadas linha perfeitamente transposta linha com transposiccedilatildeo real e
linha natildeo transposta A matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada para definiccedilatildeo dos
paracircmetros da linha idealmente transposta caracterizando a anaacutelise por componentes
simeacutetricas Para a modelagem da linha em componentes de fase cada trecho entre torres de
transposiccedilatildeo eacute representado por uma linha natildeo transposta atraveacutes de um circuito PI com
paracircmetros concentrados A transposiccedilatildeo eacute levada em consideraccedilatildeo atraveacutes da mudanccedila de
posiccedilatildeo dos condutores de cada fase utilizando torres de transposiccedilatildeo de modo que em
meacutedia ao longo da linha os condutores de cada fase tenham ocupado a posiccedilatildeo dos demais
condutores fase Os valores de corrente de falta em diversos pontos ao longo da linha satildeo
obtidos para cada caso e comparados entre si
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
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27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
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28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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Figura 32 -
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Fortaleza
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Resultados
onso ndash
strada na
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abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
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que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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vi
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples 23
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo 24
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido 25
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos 26
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees 27
273 Maacutequinas Siacutencronas 29
3 Metodologia e Resultados 31
31 Metodologia Utilizada 31
311 Linhas Analisadas 31
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas 34
313 Comparaccedilotildees Realizadas 34
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas 35
32 Apresentaccedilatildeo dos Resultados 36
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
36
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
44
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
47
3221 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Duplo
50
4 Conclusotildees 52
Referecircncias Bibliograacuteficas 54
vii
Lista de Figuras
21 Distacircncia entre condutores imagens e solo 7
22 Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica 11
23 Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica 11
24 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples 14
25 Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples 14
26 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo 14
27 Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linha de circuito duplo 17
31 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo do tronco Norte-Sul I 32
32 Arranjo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza 32
33 Esquema de transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza
33
34 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo Paulo Afonso - Fortaleza 33
35 Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos 36
36 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
37
37 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
37
38 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
38
39 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
38
310 Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
39
311 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
40
312 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo 41
viii
na linha L1 com solo considerado ideal
313 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
41
314 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
315 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
316 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
317 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
318 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
44
319 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
45
320 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
47
321 Pontos de falta considerados para anaacutelise da linha de circuito duplo L3 48
ix
Lista de Tabelas
31 Erros para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
32 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
33 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo 47
34 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Ideal 48
35 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Real 49
36 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 sem Transposiccedilatildeo 49
37 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo Real Considerada como Idealmente Transposta 51
38 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo Considerada como Idealmente Transposta 51
x
Resumo
Em anaacutelise de curto-circuitos eacute usual assumir linhas de transmissatildeo como sendo
idealmente transpostas sem que haja um estudo dos erros acarretados pelas simplificaccedilotildees
adotadas Este trabalho apresenta uma comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de
falta fase-terra em linhas de transmissatildeo pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas e pelo
meacutetodo das componentes de fase O estudo eacute realizado em regime permanente em linhas
de transmissatildeo de circuito simples e de circuito duplo O meacutetodo das componentes de fase
permite realizar o estudo considerando o esquema transposiccedilatildeo real ou a ausecircncia de
transposiccedilatildeo na linha O caacutelculo dos paracircmetros e as simulaccedilotildees de curto-circuito satildeo
realizados com o auxiacutelio do programa ATP (Alternative Transients Program) Trecircs
situaccedilotildees satildeo analisadas linha perfeitamente transposta linha com transposiccedilatildeo real e
linha natildeo transposta A matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada para definiccedilatildeo dos
paracircmetros da linha idealmente transposta caracterizando a anaacutelise por componentes
simeacutetricas Para a modelagem da linha em componentes de fase cada trecho entre torres de
transposiccedilatildeo eacute representado por uma linha natildeo transposta atraveacutes de um circuito PI com
paracircmetros concentrados A transposiccedilatildeo eacute levada em consideraccedilatildeo atraveacutes da mudanccedila de
posiccedilatildeo dos condutores de cada fase utilizando torres de transposiccedilatildeo de modo que em
meacutedia ao longo da linha os condutores de cada fase tenham ocupado a posiccedilatildeo dos demais
condutores fase Os valores de corrente de falta em diversos pontos ao longo da linha satildeo
obtidos para cada caso e comparados entre si
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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vii
Lista de Figuras
21 Distacircncia entre condutores imagens e solo 7
22 Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica 11
23 Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica 11
24 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples 14
25 Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples 14
26 Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo 14
27 Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linha de circuito duplo 17
31 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo do tronco Norte-Sul I 32
32 Arranjo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza 32
33 Esquema de transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo em circuito duplo Paulo Afonso - Fortaleza
33
34 Configuraccedilatildeo da linha de transmissatildeo Paulo Afonso - Fortaleza 33
35 Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos 36
36 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
37
37 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
37
38 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
38
39 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
38
310 Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
39
311 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
40
312 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo 41
viii
na linha L1 com solo considerado ideal
313 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
41
314 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
315 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
316 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
317 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
318 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
44
319 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
45
320 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
47
321 Pontos de falta considerados para anaacutelise da linha de circuito duplo L3 48
ix
Lista de Tabelas
31 Erros para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
32 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
33 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo 47
34 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Ideal 48
35 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Real 49
36 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 sem Transposiccedilatildeo 49
37 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo Real Considerada como Idealmente Transposta 51
38 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo Considerada como Idealmente Transposta 51
x
Resumo
Em anaacutelise de curto-circuitos eacute usual assumir linhas de transmissatildeo como sendo
idealmente transpostas sem que haja um estudo dos erros acarretados pelas simplificaccedilotildees
adotadas Este trabalho apresenta uma comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de
falta fase-terra em linhas de transmissatildeo pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas e pelo
meacutetodo das componentes de fase O estudo eacute realizado em regime permanente em linhas
de transmissatildeo de circuito simples e de circuito duplo O meacutetodo das componentes de fase
permite realizar o estudo considerando o esquema transposiccedilatildeo real ou a ausecircncia de
transposiccedilatildeo na linha O caacutelculo dos paracircmetros e as simulaccedilotildees de curto-circuito satildeo
realizados com o auxiacutelio do programa ATP (Alternative Transients Program) Trecircs
situaccedilotildees satildeo analisadas linha perfeitamente transposta linha com transposiccedilatildeo real e
linha natildeo transposta A matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada para definiccedilatildeo dos
paracircmetros da linha idealmente transposta caracterizando a anaacutelise por componentes
simeacutetricas Para a modelagem da linha em componentes de fase cada trecho entre torres de
transposiccedilatildeo eacute representado por uma linha natildeo transposta atraveacutes de um circuito PI com
paracircmetros concentrados A transposiccedilatildeo eacute levada em consideraccedilatildeo atraveacutes da mudanccedila de
posiccedilatildeo dos condutores de cada fase utilizando torres de transposiccedilatildeo de modo que em
meacutedia ao longo da linha os condutores de cada fase tenham ocupado a posiccedilatildeo dos demais
condutores fase Os valores de corrente de falta em diversos pontos ao longo da linha satildeo
obtidos para cada caso e comparados entre si
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
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tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
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300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
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Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
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simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
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A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
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e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
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2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
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242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
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A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
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b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
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17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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Figura 32 -
A linha a
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1175 m
45 m
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Resultados
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200 m
c
G
16
49 m
c
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primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
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meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
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33
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condutores
67
22 m
linha de tran
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denominada
Ca
ansmissatildeo ema
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7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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a
28 m
a
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
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150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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viii
na linha L1 com solo considerado ideal
313 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
41
314 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
315 Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
42
316 Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
317 Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
43
318 Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
44
319 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
45
320 Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
47
321 Pontos de falta considerados para anaacutelise da linha de circuito duplo L3 48
ix
Lista de Tabelas
31 Erros para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
32 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
33 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo 47
34 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Ideal 48
35 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Real 49
36 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 sem Transposiccedilatildeo 49
37 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo Real Considerada como Idealmente Transposta 51
38 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo Considerada como Idealmente Transposta 51
x
Resumo
Em anaacutelise de curto-circuitos eacute usual assumir linhas de transmissatildeo como sendo
idealmente transpostas sem que haja um estudo dos erros acarretados pelas simplificaccedilotildees
adotadas Este trabalho apresenta uma comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de
falta fase-terra em linhas de transmissatildeo pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas e pelo
meacutetodo das componentes de fase O estudo eacute realizado em regime permanente em linhas
de transmissatildeo de circuito simples e de circuito duplo O meacutetodo das componentes de fase
permite realizar o estudo considerando o esquema transposiccedilatildeo real ou a ausecircncia de
transposiccedilatildeo na linha O caacutelculo dos paracircmetros e as simulaccedilotildees de curto-circuito satildeo
realizados com o auxiacutelio do programa ATP (Alternative Transients Program) Trecircs
situaccedilotildees satildeo analisadas linha perfeitamente transposta linha com transposiccedilatildeo real e
linha natildeo transposta A matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada para definiccedilatildeo dos
paracircmetros da linha idealmente transposta caracterizando a anaacutelise por componentes
simeacutetricas Para a modelagem da linha em componentes de fase cada trecho entre torres de
transposiccedilatildeo eacute representado por uma linha natildeo transposta atraveacutes de um circuito PI com
paracircmetros concentrados A transposiccedilatildeo eacute levada em consideraccedilatildeo atraveacutes da mudanccedila de
posiccedilatildeo dos condutores de cada fase utilizando torres de transposiccedilatildeo de modo que em
meacutedia ao longo da linha os condutores de cada fase tenham ocupado a posiccedilatildeo dos demais
condutores fase Os valores de corrente de falta em diversos pontos ao longo da linha satildeo
obtidos para cada caso e comparados entre si
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
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13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
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14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
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17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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NTEIRO (2
figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
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c
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1175 m
45 m
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e uma linha
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2004) com
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- Arranjo da
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40 m
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utilizada no
m dois cond
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32
b
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CHESF em
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Resultados
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circuito
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200 m
c
G
16
49 m
c
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primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
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ransposiccedilatildeo d
meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
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duplo seraacute d
33
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condutores
67
22 m
linha de tran
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os circuitos
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um circuit
denominada
Ca
ansmissatildeo ema
s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
s Posteriorm
presentados
to simples
a L3
apiacutetulo 3 ndash Me
m circuito dup
s lados da
a
28 m
a
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etodologia e R
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
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420
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480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
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570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
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390
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
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vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
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o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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No 114 p 593 November 2004
Referecircncias Bibliograacuteficas
55
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LANCZOS C Applied Analysis Prentice-Hall New Jersey 1956
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Heverlee Belgium July 1987
MEYER C D Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM Philadelphia 2000
MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
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STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
ix
Lista de Tabelas
31 Erros para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
32 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo a cada 60 km 46
33 Erros Maacuteximos para a Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo 47
34 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Ideal 48
35 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 com Transposiccedilatildeo Real 49
36 Amplitude de Corrente em cada Fase para Falta na Fase a do Circuito 1 da Linha L3 sem Transposiccedilatildeo 49
37 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo Real Considerada como Idealmente Transposta 51
38 Erros Relativos para os Valores Obtidos para a Corrente na Linha de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo Considerada como Idealmente Transposta 51
x
Resumo
Em anaacutelise de curto-circuitos eacute usual assumir linhas de transmissatildeo como sendo
idealmente transpostas sem que haja um estudo dos erros acarretados pelas simplificaccedilotildees
adotadas Este trabalho apresenta uma comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de
falta fase-terra em linhas de transmissatildeo pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas e pelo
meacutetodo das componentes de fase O estudo eacute realizado em regime permanente em linhas
de transmissatildeo de circuito simples e de circuito duplo O meacutetodo das componentes de fase
permite realizar o estudo considerando o esquema transposiccedilatildeo real ou a ausecircncia de
transposiccedilatildeo na linha O caacutelculo dos paracircmetros e as simulaccedilotildees de curto-circuito satildeo
realizados com o auxiacutelio do programa ATP (Alternative Transients Program) Trecircs
situaccedilotildees satildeo analisadas linha perfeitamente transposta linha com transposiccedilatildeo real e
linha natildeo transposta A matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada para definiccedilatildeo dos
paracircmetros da linha idealmente transposta caracterizando a anaacutelise por componentes
simeacutetricas Para a modelagem da linha em componentes de fase cada trecho entre torres de
transposiccedilatildeo eacute representado por uma linha natildeo transposta atraveacutes de um circuito PI com
paracircmetros concentrados A transposiccedilatildeo eacute levada em consideraccedilatildeo atraveacutes da mudanccedila de
posiccedilatildeo dos condutores de cada fase utilizando torres de transposiccedilatildeo de modo que em
meacutedia ao longo da linha os condutores de cada fase tenham ocupado a posiccedilatildeo dos demais
condutores fase Os valores de corrente de falta em diversos pontos ao longo da linha satildeo
obtidos para cada caso e comparados entre si
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
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torre eacute ilus
Fortaleza
de corrente
ois circuitos
rer deste tra
minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
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240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
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150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
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Fa
L
Corre
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Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
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Figura 3
Como a
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e Banabuiu
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Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
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mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
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33
de falta consi
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segunda e
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vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
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646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
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as fases a
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e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
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echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
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de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
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ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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x
Resumo
Em anaacutelise de curto-circuitos eacute usual assumir linhas de transmissatildeo como sendo
idealmente transpostas sem que haja um estudo dos erros acarretados pelas simplificaccedilotildees
adotadas Este trabalho apresenta uma comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de
falta fase-terra em linhas de transmissatildeo pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas e pelo
meacutetodo das componentes de fase O estudo eacute realizado em regime permanente em linhas
de transmissatildeo de circuito simples e de circuito duplo O meacutetodo das componentes de fase
permite realizar o estudo considerando o esquema transposiccedilatildeo real ou a ausecircncia de
transposiccedilatildeo na linha O caacutelculo dos paracircmetros e as simulaccedilotildees de curto-circuito satildeo
realizados com o auxiacutelio do programa ATP (Alternative Transients Program) Trecircs
situaccedilotildees satildeo analisadas linha perfeitamente transposta linha com transposiccedilatildeo real e
linha natildeo transposta A matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada para definiccedilatildeo dos
paracircmetros da linha idealmente transposta caracterizando a anaacutelise por componentes
simeacutetricas Para a modelagem da linha em componentes de fase cada trecho entre torres de
transposiccedilatildeo eacute representado por uma linha natildeo transposta atraveacutes de um circuito PI com
paracircmetros concentrados A transposiccedilatildeo eacute levada em consideraccedilatildeo atraveacutes da mudanccedila de
posiccedilatildeo dos condutores de cada fase utilizando torres de transposiccedilatildeo de modo que em
meacutedia ao longo da linha os condutores de cada fase tenham ocupado a posiccedilatildeo dos demais
condutores fase Os valores de corrente de falta em diversos pontos ao longo da linha satildeo
obtidos para cada caso e comparados entre si
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
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9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
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2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
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242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
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14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
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b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
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A linha a
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1175 m
45 m
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Resultados
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200 m
c
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16
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c
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b
G1
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30 m
6 m
b
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33
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condutores
67
22 m
linha de tran
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denominada
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7 m
nsmissatildeo Pau
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28 m
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
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abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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55
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MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
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Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
xi
Abstract
Usually in short-circuit analysis transmission lines are assumed to be ideally transposed
without addressing the errors that this assumption may cause This work presents a
comparison of the values obtained for phase to ground fault current in transmission lines
using the symmetrical components method and the phase coordinates method The study is
carried out in steady-state for a single and a double circuit transmission lines The
calculation of parameters and short-circuit simulations are performed with the ATP
(Alternative Transients Program) Three situations are addressed ideally transposed line
actual scheme transposed line and untransposed line The Fortescue transformation matrix
is applied to define the ideally transposed line parameters characterizing the analysis using
symmetrical component method For phase coordinates modeling each line section
between transposition towers is represented by a PI circuit with lumped components The
actual transposition scheme is taken into account by interchanging each phase conductor
position at the transposition towers in such way that on the average along the line each
phase conductor occupies the position of the remaining phase conductors The values of
fault current at several points along the line are obtained for each case and compared
against
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
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13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
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25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
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27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
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28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
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G1
1175 m
45 m
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e uma linha
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2004) com
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- Arranjo da
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634 m
40 m
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32
b
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nsmissatildeo em
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Resultados
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200 m
c
G
16
49 m
c
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siderando ap
muacutetuos corre
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b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
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33
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condutores
67
22 m
linha de tran
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os circuitos
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denominada
Ca
ansmissatildeo ema
s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
s Posteriorm
presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
m circuito dup
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28 m
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
11 Motivaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
Os componentes mais vulneraacuteveis de um Sistema Eleacutetrico de Potecircncia (SEP) satildeo as
linhas de transmissatildeo de energia por serem extensas e atravessarem terrenos de
caracteriacutesticas diversas estando sujeitas a intempeacuteries e diferentes condiccedilotildees climaacuteticas
Conforme levantamento histoacuterico de defeitos nas empresas de energia mais de 80 das
faltas no SEP satildeo originadas nas linhas de transmissatildeo ou provocadas por elas
(KINDERMANN 1997) A determinaccedilatildeo de niacuteveis de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo dentre outras anaacutelises como de fluxo de carga e modelagem de fenocircmenos
eletromagneacuteticos tem grande importacircncia na especificaccedilatildeo dos seus componentes e
dimensionamento do sistema de proteccedilatildeo Os estudos e as anaacutelises de curto-circuito em
sistemas eleacutetricos realizados atraveacutes de simulaccedilotildees de defeitos satildeo fundamentais para o
seu planejamento projeto operaccedilatildeo e controle Atraveacutes das simulaccedilotildees eacute possiacutevel prever
os valores das correntes de curto-circuito
A anaacutelise de curto-circuito normalmente eacute realizada com o auxilio de
transformaccedilotildees matriciais com o intuito de separar o sistema em subsistemas monofaacutesicos
independentes reduzindo a complexidade do caacutelculo das grandezas de falta As matrizes
de transformaccedilatildeo mais utilizadas em anaacutelise de curto-circuito satildeo a matriz de
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
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Resultados
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
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55
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MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
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MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
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America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
2
transformaccedilatildeo de Fortescue e a matriz de transformaccedilatildeo de Clarke A maioria dos meacutetodos
de anaacutelises de curto-circuito em sistemas eleacutetricos de potecircncia utiliza a teacutecnica de
componentes simeacutetricas para a avaliaccedilatildeo da condiccedilatildeo do sistema durante a falta Isto se
deve principalmente agraves limitaccedilotildees dos recursos computacionais da eacutepoca em que foram
desenvolvidos Nos estudos de faltas as linhas de transmissatildeo satildeo comumente
consideradas como perfeitamente equilibradas e idealmente transpostas nas representaccedilotildees
matemaacuteticas em programas de simulaccedilatildeo Entretanto a natildeo transposiccedilatildeo dos condutores a
proacutepria geometria da torre de suporte a existecircncia de linhas com condutores muacuteltiplos
dentre outros fatores implicam em um desequiliacutebrio devido a distacircncia entre os condutores
ou dos condutores agrave terra natildeo ser sempre idecircntica ao longo do percurso da linha Quanto
maior o grau de desequiliacutebrio maior o erro decorrente da utilizaccedilatildeo deste meacutetodo
Para considerar o desequiliacutebrio dos sistemas no estudo de faltas outros meacutetodos
foram desenvolvidos permitindo uma representaccedilatildeo mais fidedigna do sistema trifaacutesico em
componentes de fase possibilitando a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos ao considerar
modelos que representam o desequiliacutebrio do sistema
12 Objetivos e Procedimentos Utilizados
O objetivo deste trabalho eacute comparar os valores de corrente para estudos de curto-
circuito franco monofaacutesico em regime permanente e quantificar o erro ao se tratar uma
linha aeacuterea de transmissatildeo de energia sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo como
idealmente transposta A anaacutelise do perfil da corrente em cada fase na saiacuteda do gerador
durante a falta e no ponto de falta na frequecircncia fundamental de transmissatildeo no Brasil 60
Hz em funccedilatildeo do comprimento da linha tambeacutem eacute realizada
Os paracircmetros eleacutetricos das linhas de transmissatildeo satildeo calculados para a frequecircncia
fundamental do sistema a partir da rotina suporte Line Constants do programa ATP
(Alternative Transients Program) Ainda utilizando o ATP a linha de transmissatildeo eacute
representada em componentes de fase por uma cascata de circuitos PI atraveacutes das matrizes
de admitacircncias de transferecircncia e derivaccedilatildeo para cada circuito PI considerando a maneira
como o circuito foi transposto
Em seguida o mesmo programa eacute utilizado para simulaccedilotildees de faltas na linha
sendo monitorados os valores da corrente no ponto de falta e na saiacuteda do gerador As linhas
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
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28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
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Figura 32 -
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32
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Resultados
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c
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G1
245 m
30 m
6 m
b
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33
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67
22 m
linha de tran
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denominada
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7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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28 m
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Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
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3000
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5000
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720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
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1400
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30
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600
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660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
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30
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510
540
570
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630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
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120
150
180
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330
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390
420
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510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
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5
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15
20
25
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35
30
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270
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360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
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a b e
Tab
L
Corre
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Fa
L
Corre
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Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
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Figura 3
Como a
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e Banabuiu
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elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
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mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
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33
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vados para
1 B1 e C1
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646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
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o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
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ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 1 ndash Introduccedilatildeo
3
de transmissatildeo satildeo consideradas idealmente transpostas para a anaacutelise dos valores obtidos
para a corrente de falta Em um segundo momento as linhas satildeo consideradas como natildeo
transpostas ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e as mesmas simulaccedilotildees satildeo
realizadas
Os valores obtidos das simulaccedilotildees em regime permanente para a corrente da fase
em falta em cada caso satildeo analisados e comparados Os resultados obtidos possibilitam
verificar a influecircncia do efeito do desequiliacutebrio da linha devido ao tipo ou ausecircncia de
transposiccedilatildeo em contraponto agrave linha perfeitamente transposta nos valores da corrente de
curto-circuito mostrando que as simplificaccedilotildees consideradas na anaacutelise convencional de
curto-circuito podem provocar erros no valor da corrente de falta
13 Organizaccedilatildeo da Dissertaccedilatildeo
A presente dissertaccedilatildeo estaacute organizada de acordo com a estrutura abaixo
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas a revisatildeo bibliograacutefica e a fundamentaccedilatildeo teoacuterica do
caacutelculo de paracircmetros de linhas de transmissatildeo de representaccedilatildeo das linhas possiacuteveis
esquemas de transposiccedilatildeo o meacutetodo das componentes simeacutetricas e algumas de suas
limitaccedilotildees
No capitulo 3 eacute apresentada a metodologia e os resultados satildeo analisados para
algumas configuraccedilotildees de linhas considerando um esquema de transposiccedilatildeo baseado em
uma linha da interligaccedilatildeo Norte-Sul e o de uma linha de transmissatildeo da CHESF entre as
subestaccedilotildees de Paulo Afonso e Fortaleza
No capiacutetulo 4 satildeo apresentadas as conclusotildees e sugestotildees para trabalhos futuros
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
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9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
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2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
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242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
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14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
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b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
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A linha a
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1175 m
45 m
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Resultados
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200 m
c
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16
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c
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b
G1
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30 m
6 m
b
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33
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condutores
67
22 m
linha de tran
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denominada
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7 m
nsmissatildeo Pau
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28 m
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
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abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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Transactions on Power Delivery Vol 13 April 1998
CARSON J R Wave Propagation in Overhead Wires With Ground Return Bell System
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88 pp 388-399 April 1969
DOMMEL H W EMTP Theory Book Microtran Power System Analysis Corporation
Vancouver B C Canada May 1996
FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
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Estadual de Campinas Campinas SP novembro 2006
FORTESCUE C L ldquoMethod of Simmetrical Coordinates Applied to the Solution of
Polyphase Networksrdquo Trans AIEE Vol 37 p 1027 1918
GAJBHIYE R K KULKARNI P SOMAN S A ldquoGeneric Fault Analysis in Phase
Coordinatesrdquo In International Conference on Power Systems Kathmandu Nepal Vol 2
No 114 p 593 November 2004
Referecircncias Bibliograacuteficas
55
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KINDERMANN G Curto-Circuito 2 ed Porto Alegre Sagra Luzzatto 1997
LANCZOS C Applied Analysis Prentice-Hall New Jersey 1956
LEUVEN EMTP CENTER ATP minus Alternative Transients Program minus Rule Book
Heverlee Belgium July 1987
MEYER C D Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM Philadelphia 2000
MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
4
Capiacutetulo 2
Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo
Teoacuterica
21 Revisatildeo Bibliograacutefica
O estudo da representaccedilatildeo mais adequada de linhas de transmissatildeo para anaacutelise de
curto-circuito tem grande importacircncia Neste trabalho os modelos de linha em
componentes de fase satildeo utilizados para representar a transposiccedilatildeo real ou falta de
transposiccedilatildeo da linha na anaacutelise da corrente de falta Foram encontrados alguns trabalhos
na literatura relacionados ao tema entretanto natildeo foram encontrados trabalhos que tratem
da comparaccedilatildeo da anaacutelise de curto-circuito em linhas de transmissatildeo de acordo com a
transposiccedilatildeo considerada ou ausecircncia de transposiccedilatildeo A seguir seraacute apresentado um
resumo das principais referecircncias estudadas
Em FORTESCUE (1918) satildeo apresentados princiacutepios gerais para representaccedilatildeo de
sistemas assimeacutetricos de n fases por n sistemas monofaacutesicos desacoplados Essa
representaccedilatildeo eacute de grande importacircncia possibilitando a reduccedilatildeo do esforccedilo computacional
para anaacutelise de sistemas de energia polifaacutesicos Entretanto com o avanccedilo do poder da
computaccedilatildeo a representaccedilatildeo e soluccedilatildeo de sistemas de energia em coordenadas de fase
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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Resultados
onso ndash
strada na
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abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
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Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
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elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
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6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
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que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
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vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
5
tornam-se praacuteticos Em BERMAN amp XU (1998) eacute apresentado um meacutetodo eficiente para
anaacutelise de faltas em sistemas de potecircncia usando coordenadas de fase O meacutetodo permite o
estudo de condiccedilotildees de faltas complexas e a inclusatildeo de componentes polifaacutesicos
desequilibrados como linhas sem transposiccedilatildeo As linhas de transmissatildeo satildeo consideradas
perfeitamente equilibradas
Em GAJBHIYE etal (2004) eacute descrita uma abordagem para anaacutelise de faltas em
coordenadas de fase usando o modelo equivalente trifaacutesico de Theacutevenin A abordagem
permite lidar com redes desequilibradas e faltas complexas como faltas seacuterie e faltas
simultacircneas As faltas satildeo representadas por matrizes de impedacircncias Eacute apontado que em
coordenadas de fase foacutermulas simples podem ser obtidas para os caacutelculos de corrente de
falta Como vantagens satildeo citadas a simplicidade conceitual e eficiecircncia computacional
sem a necessidade de fatoraccedilatildeo de matrizes Natildeo haacute comparaccedilatildeo com valores de corrente
de falta obtidos por componentes simeacutetricas
Em MONTEIRO (2004) eacute apresentada uma metodologia para calcular os
paracircmetros de linhas de transmissatildeo fisicamente proacuteximas para estudos de fluxo de
potecircncia levando em consideraccedilatildeo o acoplamento eletromagneacutetico entre as linhas de
transmissatildeo e a maneira como os circuitos foram transpostos Os esquemas de transposiccedilatildeo
das linhas satildeo representados por uma cascata polifaacutesica de circuitos PI Os paracircmetros
proacuteprios e muacutetuos calculados para uma linha de transmissatildeo de circuito duplo satildeo
utilizados para analisar o fluxo de potecircncia reativa considerando ou desprezando o
acoplamento entre os circuitos Para o sistema estudado foi observado que a potecircncia
reativa diminui quando eacute levado em consideraccedilatildeo o acoplamento da linha e eacute considerada a
maneira como os circuitos satildeo transpostos
FLORES (2006) discorre sobre o erro ao se tratar uma linha como idealmente
transposta para uma faixa de frequecircncia ateacute 10 kHz Apresenta uma anaacutelise de transitoacuterio
numa linha de transmissatildeo com carga em vazio ou em curto sem transposiccedilatildeo com
transposiccedilatildeo ciacuteclica e ideal A dependecircncia da frequecircncia dos paracircmetros eleacutetricos da linha
de transmissatildeo eacute representada Eacute demonstrado que a geometria da linha tem influecircncia
importante no comportamento eleacutetrico de uma linha de transmissatildeo sendo as matrizes de
paracircmetros longitudinais e transversais de uma linha idealmente transposta diferentes das
matrizes da linha natildeo transposta Uma uacutenica linha de circuito simples e comprimento
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
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11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
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13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
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14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
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27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
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28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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40 m
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32
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Resultados
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c
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49 m
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primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
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b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
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duplo seraacute d
33
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condutores
67
22 m
linha de tran
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denominada
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s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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28 m
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Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
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510
540
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600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
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510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
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120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
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90
120
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180
210
240
270
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330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
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vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
6
300 km eacute analisada Os resultados satildeo apresentados apenas graficamente natildeo eacute
apresentada anaacutelise do erro
22 Caacutelculo dos Paracircmetros de uma Linha de Transmissatildeo
Para a representaccedilatildeo das linhas de transmissatildeo por seus circuitos equivalentes ou
modelos matemaacuteticos devem ser definidos os valores dos seus paracircmetros proacuteprios e
muacutetuos de impedacircncia longitudinal e admitacircncia transversal Os valores desses paracircmetros
(resistecircncia indutacircncia condutacircncia e capacitacircncia) satildeo normalmente calculados pela
utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de simulaccedilatildeo que consideram as caracteriacutesticas eleacutetricas a
resistividade do solo a frequecircncia do sinal alternado de tensatildeo ou corrente e as dimensotildees
e configuraccedilotildees das estruturas tais como disposiccedilatildeo dos condutores distacircncia entre
condutores flechas dos condutores altura e nuacutemero de circuitos
221 Paracircmetros Longitudinais de uma Linha de Transmissatildeo
A impedacircncia longitudinal da linha consiste na resistecircncia dos condutores e na
indutacircncia resultante dos campos magneacuteticos ao redor dos condutores A resistecircncia
representa as perdas devido ao efeito Joule nos condutores A indutacircncia proacutepria deve-se
ao fluxo magneacutetico interno e externo gerado pelo proacuteprio condutor quando percorrido por
uma corrente eleacutetrica A indutacircncia muacutetua deve-se ao fluxo magneacutetico presente no ar
devido agrave proximidade dos outros condutores
Supondo o solo sob a linha com resistividade nula as expressotildees (21) e (22)
podem definir as reatacircncias indutivas proacuteprias e muacutetuas de linhas de transmissatildeo em Ωm
pelo meacutetodo das imagens (ZANETTA 2006)
(21)
(22)
Em que
ω = 2πf sendo f a frequumlecircncia do sinal alternado rads
μ ndash permeabilidade magneacutetica do meio Hm
reqi ndash raio meacutedio geomeacutetrico do condutor (ou feixe de condutores) ldquoirdquo m
hi ndash altura do condutor ldquoirdquo em relaccedilatildeo ao solo m
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Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
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simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
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A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
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e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
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2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
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(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
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242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
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A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
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b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
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26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
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e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
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23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
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Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
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osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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A linha a
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40 m
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Resultados
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200 m
c
G
16
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primeiro m
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b
G1
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30 m
6 m
b
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duplo seraacute d
33
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condutores
67
22 m
linha de tran
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os circuitos
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denominada
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ansmissatildeo ema
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7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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a
28 m
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
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210
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270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
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270
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330
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
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390
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
7
Dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e a imagem do condutor ldquojrdquo m
dij ndash distacircncia entre o condutor ldquoirdquo e o condutor ldquojrdquo m
Na Figura 21 eacute ilustrado o exemplo de dois condutores e as distacircncias utilizadas
nas expressotildees (21) e (22)
dij
hjDij
hi
hi
i
j
irsquo
jrsquo
Figura 21 ndash Distacircncia entre Condutores Imagens e Solo
Para uma linha trifaacutesica a impedacircncia longitudinal pode ser escrita na forma
matricial
(23)
Na equaccedilatildeo (23) os elementos da diagonal principal representam as impedacircncias
proacuteprias das linhas e os elementos fora da diagonal principal representam as impedacircncias
muacutetuas entres as fases Estes elementos satildeo definidos da seguinte maneira
(24)
(25)
Em que
Rii ndash resistecircncia do condutor da fase ldquoirdquo
Xii ndash reatacircncia proacutepria da fase ldquoirdquo definida em (21)
Xij ndash reatacircncia muacutetua entre fases ldquoirdquoe ldquojrdquo definida em (22)
As distacircncias entre fases bem como as distacircncias entre os condutores e a terra natildeo
satildeo exatamente as mesmas para uma linha trifaacutesica Assim a equaccedilatildeo (23) sempre seraacute
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
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b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
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A linha a
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1175 m
45 m
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Resultados
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200 m
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c
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G1
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30 m
6 m
b
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33
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condutores
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22 m
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nsmissatildeo Pau
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28 m
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Resultados
onso ndash
strada na
de falta
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abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
8
simeacutetrica mas os termos da diagonal principal podem natildeo apresentar valores iguais assim
como os termos fora da diagonal
Os valores das indutacircncias e resistecircncias aleacutem de depender de caracteriacutesticas
eleacutetricas dimensotildees e configuraccedilotildees da estrutura satildeo variaacuteveis com a frequecircncia Quando
um condutor eacute excitado por uma corrente alternada esta corrente se distribui de maneira
natildeo uniforme na secccedilatildeo transversal do condutor Quanto maior a frequecircncia maior a
resistecircncia do condutor e menor a indutacircncia interna (STEVENSON 1986)
222 Paracircmetros Transversais de uma Linha de Transmissatildeo
Os paracircmetros transversais das linhas de transmissatildeo satildeo representados pelas
admitacircncias capacitivas e por condutacircncias As linhas energizadas apresentam uma
diferenccedila de potencial em relaccedilatildeo ao solo e aos outros condutores o que faz com que
fiquem carregadas como capacitores A condutacircncia das linhas de transmissatildeo representa
as correntes de fuga para a terra atraveacutes dos isoladores Esta corrente eacute muito pequena e a
condutacircncia normalmente pode ser ignorada para linhas aeacutereas excetuando-se em estudos
de efeito corona (GLOVER amp SARMA 2008)
Quando o condutor i da Figura 21 eacute submetido a uma diferenccedila de potencial um
campo eleacutetrico eacute induzido cuja intensidade em um ponto afastado a uma distacircncia ldquorrdquo de
seu eixo pode ser calculada pela expressatildeo
Sendo qi a carga do condutor em Coulomb por metro e ε a permissividade do meio
dieleacutetrico em Fm A tensatildeo entre o condutor i e sua imagem irsquo pode ser calculada por
(26)
Em que
ri ndash raio externo do condutor ldquoirdquo
Para uma linha com n fases a relaccedilatildeo das tensotildees nos condutores com as cargas eacute
dada por
(27)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
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242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
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204 m
c
Fig
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Resultados
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e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
9
A capacitacircncia C eacute definida pela relaccedilatildeo entre a carga Q em Coulombmetro e a
tensatildeo V em volts
C
Sendo [P] a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell cujos elementos em
metro Farad satildeo dados por
Ɛ∙ (28)
Ɛ∙ (29)
Em que Ɛ eacute a permissividade dieleacutetrica do meio em Fm e riext eacute o raio externo
equivalente do conjunto de condutores em metros A matriz de capacitacircncias [C] do
conjunto de condutores pode ser obtida atraveacutes da inversatildeo da matriz [P]
[C] = [P]-1 (210)
Considerando a condutacircncia do ar como despreziacutevel a parte real da admitacircncia de
uma linha de transmissatildeo eacute nula e a matriz de admitacircncias transversais [Y] eacute dada por
[Y]= jω[C] (211)
A matriz de capacitacircncias [C] de uma linha de transmissatildeo eacute funccedilatildeo das posiccedilotildees
relativas entre condutores distintos entre condutores e cabos para-raios bem como em
relaccedilatildeo ao solo
23 Efeito do Solo na Impedacircncia Longitudinal da Linha
O solo real natildeo apresenta resistividade nula As extensas linhas de transmissatildeo
podem atravessar aacutereas com solos de altiacutessima resistividade como os solos rochosos Em
tais situaccedilotildees a influecircncia do campo magneacutetico no solo gera contribuiccedilotildees para os valores
de resistecircncia e reatacircncia longitudinais A formulaccedilatildeo matemaacutetica para os efeitos do solo
sobre os paracircmetros das linhas eacute relativamente complexa sob forma de seacuteries e integrais
Resultados satisfatoacuterios podem ser obtidos atraveacutes de um conjunto de foacutermulas
desenvolvidas por Carson (CARSON 1926) muito utilizadas para calcular a impedacircncia
de uma linha considerando o efeito do retorno de corrente pela terra Em suas hipoacuteteses
Carson considerou dois condutores ciliacutendricos i e j de extensatildeo infinita e paralelos ao solo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
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c
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Resultados
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e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
10
e entre si de pequeno diacircmetro em relaccedilatildeo a distacircncia entre os condutores e o solo e supocircs
que a superfiacutecie sob a linha eacute infinita plana soacutelida uniforme com resistividade constante
e natildeo nula Os paracircmetros dos condutores admitindo o solo com resistividade natildeo nula
podem ser calculados da seguinte maneira
∆ ∆ (212)
∆ ∆ (213)
Em que
Zii eacute a impedacircncia proacutepria do condutor i para resistividade do solo natildeo nula
Zij eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores i e j para resistividade do solo
natildeo nula
Rii eacute a resistecircncia do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade nula
Xii eacute a reatacircncia proacutepria do condutor ldquoirdquo admitindo o solo com resistividade
nula calculada em (21)
Xij eacute a reatacircncia muacutetua entre os condutores ldquoirdquoe ldquojrdquo admitindo o solo com
resistividade nula calculada em (22)
∆Rii ∆Rij ∆Xii e ∆Xij satildeo os termos de correccedilatildeo de Carson para a resistecircncia
proacutepria resistecircncia muacutetua reatacircncia proacutepria e reatacircncia muacutetua entre
condutores ldquoiumlrdquo e ldquojrdquo respectivamente
A interaccedilatildeo do campo magneacutetico com o solo com perdas resulta em impedacircncias
proacuteprias e muacutetuas constituiacutedas por componentes reais e imaginaacuterias em seus valores ou
seja a resistecircncia muacutetua entre os condutores deixa de ser nula
24 Modelos de Linhas de Transmissatildeo
As matrizes primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo satildeo a base para o
desenvolvimento de modelos matemaacuteticos das linhas Uma linha de transmissatildeo pode ser
representada por paracircmetros concentrados ou por paracircmetros distribuiacutedos de acordo com a
anaacutelise a ser realizada Para avaliaccedilatildeo de fenocircmenos eleacutetricos em regime permanente
senoidal eacute apropriada a utilizaccedilatildeo de modelos na forma de circuitos PI que representam a
linha como o ilustrado na Figura 22
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
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204 m
c
Fig
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Resultados
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Resultados
onso ndash
strada na
de falta
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abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
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150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
11
2Y
Rπ jXLπ
2Y
Figura 22 ndash Seccedilatildeo do circuito PI Exato de uma linha de transmissatildeo monofaacutesica
No circuito da Figura 22
Rπ eacute a resistecircncia da linha
XLπ eacute a reatacircncia indutiva da linha
Yπ eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo total da linha no circuito PI
A impedacircncia seacuterie da linha eacute Zπ = Rπ + jXLπ Os paracircmetros Zπ e Yπ do circuito que
representa a linha satildeo definidos de acordo com o modelo PI a ser adotado Os modelos
podem ser utilizados para linhas com qualquer nuacutemero de fases Na Figura 23 eacute ilustrado
um circuito PI para representaccedilatildeo de linha trifaacutesica com acoplamentos proacuteprios e muacutetuos
Figura 23 ndash Circuito PI para uma linha de transmissatildeo trifaacutesica
241 Circuito PI Exato
Para estudos em regime permanente as equaccedilotildees diferenciais parciais que definem
as relaccedilotildees entre tensatildeo e corrente em linhas de transmissatildeo longas satildeo ajustadas a um
modelo denominado PI Exato Neste modelo os paracircmetros eleacutetricos distribuiacutedos da linha
satildeo calculados para uma determinada frequecircncia para que a linha seja representada por
paracircmetros concentrados A impedacircncia seacuterie e a admitacircncia em derivaccedilatildeo no PI exato satildeo
definidas atraveacutes das seguintes equaccedilotildees hiperboacutelicas
2bbY
Zaa
2aaY
Zbb
Zcc
Zab
Zbc
Zca
2ccY
2ccY
2bbY
2aaY
2abY
2bcY
2acY
2abY
2bcY
2acY
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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A linha a
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c
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1175 m
45 m
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- Arranjo da
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40 m
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32
b
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Resultados
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200 m
c
G
16
49 m
c
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primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
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meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
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duplo seraacute d
33
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condutores
67
22 m
linha de tran
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os circuitos
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um circuit
denominada
Ca
ansmissatildeo ema
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7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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a
28 m
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de corrente
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
12
(214)
(215)
Em que
z eacute a impedacircncia seacuterie da linha por unidade de comprimento em Ωkm
y eacute a admitacircncia em derivaccedilatildeo da linha por unidade de comprimento em
Skm
l eacute o comprimento total da linha de transmissatildeo em km
eacute a constante de propagaccedilatildeo
Se a linha modelada eacute composta por n condutores z e y correspondem a matrizes
primitivas dos paracircmetros de linhas de transmissatildeo [Z] e [Y] de ordem n x n Normalmente
os cabos para-raios ou cabos-guarda satildeo contiacutenuos e estatildeo ligados a terra em cada torre de
suporte o que nos permite reduzir a matriz de impedacircncias longitudinais [Z] e a matriz de
admitacircncias transversais [Y] a matrizes de ordem n para um sistema de n fases A matriz
[Z] pode ser representada da seguinte maneira
(216)
Sendo
Zcc a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos condutores
Zgg a matriz de impedacircncias seacuterie dos cabos-guarda
Zcg a matriz de impedacircncias muacutetuas entre cabos condutores e cabos-guarda
Para as quedas de tensatildeo longitudinais na linha
∆∆ (217)
Para cabos-guarda aterrados ∆Vg = 0
∆
Em que
Da mesma maneira pode ser definida a matriz [Yreduzida]
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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NTEIRO (2
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A linha a
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c
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1175 m
45 m
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e uma linha
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2004) com
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40 m
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utilizada no
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32
b
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CHESF em
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Resultados
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circuito
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ra 34
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lamentos m
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squema de tr
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200 m
c
G
16
49 m
c
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primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
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ransposiccedilatildeo d
meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
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duplo seraacute d
33
da linha de tr Fortaleza
condutores
67
22 m
linha de tran
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os circuitos
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um circuit
denominada
Ca
ansmissatildeo ema
s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
s Posteriorm
presentados
to simples
a L3
apiacutetulo 3 ndash Me
m circuito dup
s lados da
a
28 m
a
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etodologia e R
plo Paulo Afo
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de corrente
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
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540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
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630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
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390
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450
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510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
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vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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DOMMEL H W EMTP Theory Book Microtran Power System Analysis Corporation
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FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
Transmissatildeo no Domiacutenio da Frequecircncia Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade
Estadual de Campinas Campinas SP novembro 2006
FORTESCUE C L ldquoMethod of Simmetrical Coordinates Applied to the Solution of
Polyphase Networksrdquo Trans AIEE Vol 37 p 1027 1918
GAJBHIYE R K KULKARNI P SOMAN S A ldquoGeneric Fault Analysis in Phase
Coordinatesrdquo In International Conference on Power Systems Kathmandu Nepal Vol 2
No 114 p 593 November 2004
Referecircncias Bibliograacuteficas
55
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BrooksCole 2002
KINDERMANN G Curto-Circuito 2 ed Porto Alegre Sagra Luzzatto 1997
LANCZOS C Applied Analysis Prentice-Hall New Jersey 1956
LEUVEN EMTP CENTER ATP minus Alternative Transients Program minus Rule Book
Heverlee Belgium July 1987
MEYER C D Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM Philadelphia 2000
MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
13
242 Circuito PI Nominal
O modelo PI Nominal eacute uma representaccedilatildeo aproximada vaacutelida para linhas que natildeo
satildeo muito longas
Os fatores e nas equaccedilotildees (214) e (215) incluem o efeito da
propagaccedilatildeo de onda em longas distacircncias no caacutelculo dos paracircmetros do circuito PI da
linha Quando estes fatores satildeo pequenos tendendo a unidade a linha pode entatildeo ser
representada somente como um PI Nominal Os paracircmetros Zπ e Yπ satildeo obtidos
simplesmente pelo produto do comprimento l da linha e da impedacircncia unitaacuteria z ou da
admitacircncia unitaacuteria y respectivamente
(218)
(219)
O modelo PI Nominal apresenta precisatildeo suficiente na representaccedilatildeo da linha de
transmissatildeo com comprimento de ateacute 100 km para estudos de fenocircmenos em 60 Hz
(DOMMEL 1996) Para linhas longas cada seccedilatildeo da linha pode tambeacutem ser representada
por um PI Nominal sendo a linha representada por uma cascata de PIrsquos nominais
Os paracircmetros das linhas de transmissatildeo podem ser supostos igualmente
distribuiacutedos ao longo da linha quando esta apresentar caracteriacutesticas homogecircneas As
linhas natildeo uniformes nas quais a geometria da seccedilatildeo transversal ou as caracteriacutesticas
eleacutetricas e magneacuteticas natildeo satildeo mantidas ao longo do seu comprimento tambeacutem podem ser
representadas por seccedilotildees de circuitos PI que possuam caracteriacutesticas similares
25 Transposiccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo
A matriz [Zabc] apesar de ser sempre simeacutetrica para linhas de transmissatildeo
dificilmente apresentaraacute valores proacuteprios e valores muacutetuos iguais entre si Para minimizar o
desequiliacutebrio das impedacircncias refletido nas tensotildees e correntes do sistema eacute utilizado o
artifiacutecio da transposiccedilatildeo de linhas A transposiccedilatildeo consiste em fazer com que o feixe de
condutores de cada fase ocupe cada uma das possiacuteveis posiccedilotildees nas torres por igual
distacircncia
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
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22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
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26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
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28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
NTEIRO (2
figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
agres (MLG
ema de tran
c
G1
1175 m
45 m
gura 31 ndash Co
uida foi r
condutores
e uma linha
expandido u
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e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
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150
180
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420
450
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510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
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120
150
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210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
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240
270
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330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
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90
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150
180
210
240
270
300
330
360
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420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
14
A Figura 24 ilustra o esquema de transposiccedilatildeo para uma linha de transmissatildeo
trifaacutesica dividida em trecircs seccedilotildees de igual comprimento
c
a
b
b
c
a
a
b
c
Figura 24 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito simples
No esquema de transposiccedilatildeo ilustrado na Figura 25 a linha de transmissatildeo eacute
dividida em quatro seccedilotildees correspondentes a 16 13 13 e 16 do comprimento total da
linha respectivamente
c
a
b
b
c
a
a
b
c
a
b
c
Figura 25 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de quatro seccedilotildees para linha de circuito simples
As linhas de transmissatildeo de circuito duplo tambeacutem podem ter a sua matriz de
impedacircncia aproximadamente equilibrada com o esquema de trecircs seccedilotildees para os seus dois
circuitos A rotaccedilatildeo de fases do circuito 1 pode ser realizada na mesma direccedilatildeo ou em
direccedilatildeo oposta a do circuito 2 Na Figura 26 eacute ilustrado o esquema de transposiccedilatildeo de uma
linha de circuito duplo com rotaccedilatildeo de fase no mesmo sentido
c1
a1
b1
b1
c1
a1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c2
a2
b2
b2
c2
a2
Figura 26 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees para linha de circuito duplo
O esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees tambeacutem utilizado para linhas de
circuito duplo eacute ilustrado na Figura 27
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
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150
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210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
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120
150
180
210
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330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
15
b1
c1
a1
a1
b1
c1
c1
a1
b1
b2
c2
a2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a2
b2
c2
Figura 27 ndash Esquema de transposiccedilatildeo de nove seccedilotildees para linhas de circuito duplo
Quando o comprimento de cada seccedilatildeo de transposiccedilatildeo eacute muito menor que o
comprimento de onda da frequecircncia considerada no estudo a linha pode ser considerada
equilibrada (DOMMEL 1996)
O procedimento usual para definir a matriz de impedacircncias de linhas de transmissatildeo
transpostas eacute considerar valores aproximados para os elementos proacuteprios e muacutetuos da
matriz de impedacircncias As impedacircncias proacuteprias das fases satildeo calculadas pela meacutedia dos
valores de impedacircncias proacuteprias referentes a cada trecho de transposiccedilatildeo e as impedacircncias
muacutetuas entre as fases apresentam um uacutenico valor definido pela meacutedia dos valores de
impedacircncias muacutetuas de cada seccedilatildeo da linha
Considerando-se a linha trifaacutesica dividida em trecircs trechos de transposiccedilatildeo de
mesmo comprimento [Zabc] pode ser calculada da seguinte maneira [DOMMEL 1996]
(220)
O sistema eacute entatildeo aproximadamente equilibrado com a seguinte matriz de
impedacircncias
(221)
Em que Zs eacute a impedacircncia proacutepria e Zm eacute a impedacircncia muacutetua entre os condutores
De maneira anaacuteloga pode ser calculada a matriz de capacitacircncias da linha de
transmissatildeo transposta
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
NTEIRO (2
figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
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c
G1
1175 m
45 m
gura 31 ndash Co
uida foi r
condutores
e uma linha
expandido u
2004) com
a torre da lin
- Arranjo da
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G) Banabuiu
nsposiccedilatildeo da
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40 m
45 m
a
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utilizada no
m dois cond
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linha de tran
ecircs trechos c
u (BNB) e
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32
b
m
G2
da linha de tra
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o trecho ent
dutores por
ESF eacute ilustra
nsmissatildeo em
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0457 m
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circuito dupl
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apiacutetulo 3 ndash Me
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omprimento
ntado na Fig
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te-Sul I
nsmissatildeo co
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CHESF em
rtaleza anali
rda por cir
nso ndash Fortalez
Paulo Afon
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gura 33
Resultados
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circuito
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Figur
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linha
repre
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ra 34
Figu
Em um p
a linha cons
lamentos m
a da Figura
esentada pel
squema de tr
buiccedilatildeo geom
200 m
c
G
16
49 m
c
ra 34 ndash Conf
primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
a 33 repres
lo circuito d
ransposiccedilatildeo d
meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
momento foi
penas um do
espondentes
entada por
duplo seraacute d
33
da linha de tr Fortaleza
condutores
67
22 m
linha de tran
i realizada
os circuitos
s foram rep
um circuit
denominada
Ca
ansmissatildeo ema
s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
s Posteriorm
presentados
to simples
a L3
apiacutetulo 3 ndash Me
m circuito dup
s lados da
a
28 m
a
lo Afonso - F
os valores d
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etodologia e R
plo Paulo Afo
torre eacute ilus
Fortaleza
de corrente
ois circuitos
rer deste tra
minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
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270
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510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
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CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
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30
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720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
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630
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690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
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vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
16
26 Teorema de Fortescue
Em seu trabalho intitulado ldquoMethod Of Symmetrical Co-ordinates Applied to the
Solution of Polyphase Networksrdquo Dr Charles L Fortescue (FORTESCUE 1918)
apresentou princiacutepios gerais de uma ferramenta matemaacutetica para representaccedilatildeo de sistemas
assimeacutetricos de n vetores coplanares por n sistemas simeacutetricos equilibrados denominados
componentes simeacutetricas dos fasores originais De acordo com a teoria de componentes
simeacutetricas um sistema polifaacutesico desequilibrado constituiacutedo por n fases pode ser
representado por n sistemas equilibrados denominados componentes de sequecircncia As
tensotildees de fase deste sistema podem ser expressas da seguinte maneira
Va = Va0 + Va1 + Va2 + + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + + Vc(n-1) (222)
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + + Vn(n-1)
Sendo
Va Vb Vn Conjunto de n fasores natildeo equilibrados que representam as
tensotildees de fase do sistema
Va0 Vb0 Vn0 fasores homopolares denominados componentes de
sequecircncia 0
Va1 Vb1 Vn1 fasores defasados de θc denominados de componentes de
sequecircncia 1
Va2 Vb2 Vn2 fasores defasados de 2middotθc denominados de componentes de
sequecircncia 2
Va(n-1) Vb(n-1) Vn(n-1) fasores defasados de (n-1)middotθc denominados de
componentes de sequecircncia (n-1)
Para facilitar as manipulaccedilotildees algeacutebricas foi definido o operador a
a (223)
Em que
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
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150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
17
e nuacutemero de Euler
acircngulo caracteriacutestico do sistema
Sendo n o nuacutemero de fases do sistema desequilibrado a aplicaccedilatildeo do operador ldquoardquo
em um fasor provoca um giro de 2πn radianos no sentido anti-horaacuterio sem alterar sua
amplitude
O conjunto de equaccedilotildees (222) pode ser escrito da seguinte forma
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
NTEIRO (2
figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
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c
G1
1175 m
45 m
gura 31 ndash Co
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condutores
e uma linha
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2004) com
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- Arranjo da
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G) Banabuiu
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40 m
45 m
a
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32
b
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G2
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dutores por
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nsmissatildeo em
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0457 m
ansmissatildeo do
e uma linh
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apiacutetulo 3 ndash Me
o tronco Nort
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te-Sul I
nsmissatildeo co
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CHESF em
rtaleza anali
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nso ndash Fortalez
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gura 33
Resultados
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circuito
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repre
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ra 34
Figu
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buiccedilatildeo geom
200 m
c
G
16
49 m
c
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primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
a 33 repres
lo circuito d
ransposiccedilatildeo d
meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
momento foi
penas um do
espondentes
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duplo seraacute d
33
da linha de tr Fortaleza
condutores
67
22 m
linha de tran
i realizada
os circuitos
s foram rep
um circuit
denominada
Ca
ansmissatildeo ema
s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
s Posteriorm
presentados
to simples
a L3
apiacutetulo 3 ndash Me
m circuito dup
s lados da
a
28 m
a
lo Afonso - F
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etodologia e R
plo Paulo Afo
torre eacute ilus
Fortaleza
de corrente
ois circuitos
rer deste tra
minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
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630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
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300
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390
420
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480
510
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570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
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9000
10000
30
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150
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600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
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120
150
180
210
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330
360
390
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
18
I I aI a I
Na forma matricial
VVV
1 1 11 a a1 a a
VVV
(227)
III
1 1 11 a a1 a a
III
(228)
Ou na forma reduzida [Vabc] = [F][V012] e [Iabc] = [F][I012] sendo a matriz [F]
definida como matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue
Aplicando a Lei de kirchhoff a um sistema trifaacutesico eacute obtida a seguinte equaccedilatildeo
matricial
[Vabc] = [Zabc][Iabc] (229)
Na equaccedilatildeo acima o sistema eacute representado em componentes de fase Ela tambeacutem
pode ser escrita representando o sistema em componentes de sequecircncia
[V012] = [Z012][I012] (230)
A equaccedilatildeo (230) pode ser obtida da equaccedilatildeo (229) pela utilizaccedilatildeo da matriz de
transformaccedilatildeo de Fortescue
[F][V012] = [Zabc][F][I012]
[F]-1[F][V012] = [F]-1[Zabc][F][I012]
[V012] = [F]-1[Zabc][F][I012]
A equaccedilatildeo acima fornece a relaccedilatildeo entre as matrizes de impedacircncias em
componentes de sequecircncia e em componentes de fase
[Zabc] = [F][Z012][F] -1 (231)
[Z012] = [F] -1[Zabc][F] (232)
Seraacute demonstrado a seguir que a matriz de impedacircncias em componentes simeacutetricas
eacute obtida a partir da transformaccedilatildeo de similaridade sendo as colunas da matriz de Fortescue
autovalores geneacutericos de uma matriz simeacutetrica que apresente os elementos proacuteprios iguais
entre si e um uacutenico valor para os elementos muacutetuos
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
19
261 Autovalores e Autovetores
A multiplicaccedilatildeo de uma matriz geneacuterica [A] de ordem n x n por um vetor x gera um
novo vetor b que pode ser definido como uma transformaccedilatildeo linear do vetor original x
(LANCZOS 1956)
[A]x = b (233)
Quando o vetor b tem mesma direccedilatildeo que o vetor x sendo simplesmente
proporcional a x a equaccedilatildeo (233) pode ser escrita da seguinte maneira
[A]x = λx
[A ndash λI] x = 0 (234)
Sendo [I] a matriz identidade de mesma ordem que a matriz [A]
λ eacute denominado autovalor de [A] e x denominado autovetor de [A] associado ao
autovalor λ Como os autovetores satildeo determinados apenas pela sua direccedilatildeo que deve ser
mantida pela transformaccedilatildeo linear [A]x qualquer vetor obtido pela multiplicaccedilatildeo de um
autovetor de [A] por um escalar tambeacutem eacute um autovetor de [A] Entretanto para ser
considerado um autovetor associado a um autovalor da matriz [A] x natildeo deve ser um vetor
nulo
Os autovalores da matriz [A] seratildeo as raiacutezes do polinocircmio caracteriacutestico da matriz
[A-λI] obtido pelas raiacutezes do polinocircmio definido pelo determinante det(A-λI) = 0 Como o
polinocircmio pode apresentar raiacutezes muacuteltiplas a matriz [A] de ordem n pode ter autovalores
repetidos apresentando no maacuteximo n autovalores distintos
Para cada autovalor podem ser associados inuacutemeros autovetores Autovetores
associados a um mesmo autovalor de multiplicidade maior que a unidade podem ser
linearmente dependentes ou linearmente independentes Os autovetores de [A] associados a
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
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21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
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figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
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G1
1175 m
45 m
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0457 m
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30 kV perte
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Resultados
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200 m
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b
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33
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Resultados
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de falta
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abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
19
261 Autovalores e Autovetores
A multiplicaccedilatildeo de uma matriz geneacuterica [A] de ordem n x n por um vetor x gera um
novo vetor b que pode ser definido como uma transformaccedilatildeo linear do vetor original x
(LANCZOS 1956)
[A]x = b (233)
Quando o vetor b tem mesma direccedilatildeo que o vetor x sendo simplesmente
proporcional a x a equaccedilatildeo (233) pode ser escrita da seguinte maneira
[A]x = λx
[A ndash λI] x = 0 (234)
Sendo [I] a matriz identidade de mesma ordem que a matriz [A]
λ eacute denominado autovalor de [A] e x denominado autovetor de [A] associado ao
autovalor λ Como os autovetores satildeo determinados apenas pela sua direccedilatildeo que deve ser
mantida pela transformaccedilatildeo linear [A]x qualquer vetor obtido pela multiplicaccedilatildeo de um
autovetor de [A] por um escalar tambeacutem eacute um autovetor de [A] Entretanto para ser
considerado um autovetor associado a um autovalor da matriz [A] x natildeo deve ser um vetor
nulo
Os autovalores da matriz [A] seratildeo as raiacutezes do polinocircmio caracteriacutestico da matriz
[A-λI] obtido pelas raiacutezes do polinocircmio definido pelo determinante det(A-λI) = 0 Como o
polinocircmio pode apresentar raiacutezes muacuteltiplas a matriz [A] de ordem n pode ter autovalores
repetidos apresentando no maacuteximo n autovalores distintos
Para cada autovalor podem ser associados inuacutemeros autovetores Autovetores
associados a um mesmo autovalor de multiplicidade maior que a unidade podem ser
linearmente dependentes ou linearmente independentes Os autovetores de [A] associados a
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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A linha a
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1175 m
45 m
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40 m
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Resultados
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200 m
c
G
16
49 m
c
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primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
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meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
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33
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condutores
67
22 m
linha de tran
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denominada
Ca
ansmissatildeo ema
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7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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a
28 m
a
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
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150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
20
Pode ser demonstrado que se [A] e [B] forem matrizes similares elas teratildeo o
mesmo polinocircmio caracteriacutestico ou seja os mesmos autovalores Se [B] = [T]-1[A][T]
Pela transformaccedilatildeo de similaridade eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal [D]nxn
similar a [A]nxn (MEYER 2000) Para obtenccedilatildeo de uma matriz diagonal eacute preciso que as
colunas da matriz de transformaccedilatildeo [T] correspondam a n autovetores de [A] Como [T]
deve ser matriz inversiacutevel a matriz [A] deve ter n autovetores linearmente independentes
[A] e [D] teratildeo os mesmos autovalores que seratildeo os elementos natildeo nulos da matriz
diagonal [D]
263 Componentes Simeacutetricas
Na equaccedilatildeo (232) pode ser observado que a matriz [Z012] eacute obtida de [Zabc] por
uma transformaccedilatildeo de similaridade com a utilizaccedilatildeo da matriz de transformaccedilatildeo [F] Caso
[Z012] seja diagonal o sistema de n fases com acoplamento entre as fases poderaacute ser
representado por n sistemas monofaacutesicos desacoplados e os caacutelculos na anaacutelise de redes
eleacutetricas poderatildeo ser simplificados
Uma matriz [Z012] diagonal poderaacute ser obtida se
0 00 00 0
0 00 00 0
00
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
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figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
agres (MLG
ema de tran
c
G1
1175 m
45 m
gura 31 ndash Co
uida foi r
condutores
e uma linha
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2004) com
a torre da lin
- Arranjo da
apresenta tr
G) Banabuiu
nsposiccedilatildeo da
634 m
40 m
45 m
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33
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Resultados
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e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
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300
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360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
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150
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240
270
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330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
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90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
21
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(236)
De maneira similar
(237)
Z Z ZZ Z ZZ Z Z
FFF
ZFFF
(238)
O que comprova que as colunas da matriz [F] deveratildeo ser os autovetores associados
respectivamente aos autovalores Z0 Z1 e Z2 da matriz [Zabc]
Os autovetores de uma matriz equilibrada do tipo (221) que definem a matriz [F]
podem ser calculados da maneira a seguir
(239)
Z λ Z ZZ Z λ ZZ Z Z λ
xxx
000
Z λ x Z x xZ λ x Z x xZ λ x Z x x
000
(240)
Como
λ 0
Entatildeo Zm pode ser escrito como
(241)
Substituindo nas linhas 2 e 3 da equaccedilatildeo (240)
0
Z λ x x x Z λ x x x 0
x x x x x x 0 (242)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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A linha a
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c
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1175 m
45 m
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- Arranjo da
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40 m
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32
b
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Resultados
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200 m
c
G
16
49 m
c
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primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
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meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
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duplo seraacute d
33
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condutores
67
22 m
linha de tran
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os circuitos
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um circuit
denominada
Ca
ansmissatildeo ema
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7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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a
28 m
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de corrente
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
22
e
0
λ 0
0 (243)
Se as equaccedilotildees (242) e (243) forem somadas
2 0
2 0 (244)
As raiacutezes de que tornam a equaccedilatildeo (244) verdadeira satildeo
(245)
e
(246)
Portanto a matriz (221) tem infinitos autovetores na forma V1 e V2 associados aos
seus autovalores
v (247)
v (248)
As colunas da matriz de Fortescue de ordem 3x3 satildeo possiacuteveis autovetores de uma
matriz do tipo (221) O vetor 111
atende a condiccedilatildeo (247) e os vetores 1aa
e 1aa
atendem
a condiccedilatildeo (248)
A matriz de Fortescue de ordem 3x3 pode entatildeo ser utilizada como matriz de
transformaccedilatildeo que diagonaliza a matriz de impedacircncias de um sistema trifaacutesico equilibrado
com elementos proacuteprios e muacutetuos iguais entre si Neste caso os autovalores da matriz
[Zabc] correspondem agraves impedacircncias de sequecircncia zero positiva e negativa e podem ser
definidos da seguinte maneira
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
23
111
222
2111
1aa
a aa 1 aa 1 a
aa
1aa
1aa
1 aa 1 aa 1 a
aa
1aa
Os autovalores da matriz [Zabc] satildeo 2 e e estes
compotildeem a diagonal da matriz [Z012]
0 00 00 0
2 0 00 00 0
Uma linha de transmissatildeo de n fases representada pela matriz de impedacircncia do
tipo (221) eacute dita no domiacutenio dos modos quando representada por n sistemas monofaacutesicos
desacoplados Neste caso as correntes e tensotildees podem ser obtidas por meio das equaccedilotildees
para linhas monofaacutesicas Uma vez calculadas as correntes e tensotildees no domiacutenio dos
modos estas podem ser transformadas para o domiacutenio das fases a partir das relaccedilotildees dadas
em (227) e (228)
27 Limitaccedilotildees do Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas
O Meacutetodo das Componentes Simeacutetricas apresenta restriccedilotildees sendo necessaacuterio
considerar aproximaccedilotildees na matriz de impedacircncias em determinadas situaccedilotildees para que a
sua utilizaccedilatildeo seja vantajosa Algumas destas limitaccedilotildees satildeo apresentadas nos toacutepicos a
seguir
271 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples
A matriz de impedacircncias que representa uma linha de transmissatildeo trifaacutesica eacute da
forma (23) Na matriz de impedacircncias (23) seja qual for o sistema representado
Zab = Zba Zac = Zca Zbc = Zca Considerando a linha equilibrada Zaa = Zbb = Zcc = Zs mas
os elementos muacutetuos da matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo natildeo seratildeo
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
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32
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Resultados
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c
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primeiro m
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b
G1
245 m
30 m
6 m
b
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33
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condutores
67
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linha de tran
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denominada
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7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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28 m
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Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
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600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
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5000
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660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
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690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
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150
180
210
240
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300
330
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480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
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240
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330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
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270
300
330
360
390
420
450
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510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
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210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
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vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
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o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
24
necessariamente todos iguais entre si Quando a transformaccedilatildeo de Fortescue eacute aplicada a
matriz [Z012] obtida natildeo eacute diagonal
Z1 1 11 a a1 a a
1 1 11 a a1 a a
Z (249)
A matriz de impedacircncias de uma linha de transmissatildeo soacute eacute diagonalizaacutevel pela
matriz transformaccedilatildeo de Fortescue se todos os elementos proacuteprios e muacutetuos forem iguais
entre si As linhas com transposiccedilatildeo satildeo consideradas aproximadamente equilibradas
como apresentado na equaccedilatildeo (220) Estas aproximaccedilotildees podem incrementar erros nos
resultados finais Caso a linha de transmissatildeo natildeo seja perfeitamente transposta a matriz
de impedacircncia natildeo seraacute do tipo (221) e natildeo haveraacute nenhuma vantagem em utilizar a matriz
de Fortescue Nestes casos eacute preciso calcular os autovetores da matriz de impedacircncias para
definir uma matriz de transformaccedilatildeo que a diagonalize
272 Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo
Nas linhas de transmissatildeo de circuito duplo assim como em linhas trifaacutesicas muito
proacuteximas surgem acoplamentos muacutetuos entre os circuitos de sequecircncia da linha Estes
acoplamentos dependem do esquema de transposiccedilatildeo adotado para cada circuito A matriz
de impedacircncias que representa linhas de circuito duplo eacute simeacutetrica e de dimensatildeo 6x6
como apresentado a seguir
Z (250)
Na matriz (249) os iacutendices sobrescritos indicam os circuitos e os iacutendices subscritos
indicam as fases das referidas impedacircncias Por exemplo representa a impedacircncia
proacutepria da fase a do circuito 1 jaacute representa a impedacircncia muacutetua entre fase a do
circuito 1 e a fase a do circuito 2
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
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27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
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3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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A linha a
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c
G1
1175 m
45 m
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e uma linha
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40 m
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32
b
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Resultados
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200 m
c
G
16
49 m
c
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primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
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lo circuito d
ransposiccedilatildeo d
meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
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duplo seraacute d
33
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condutores
67
22 m
linha de tran
i realizada
os circuitos
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um circuit
denominada
Ca
ansmissatildeo ema
s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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a L3
apiacutetulo 3 ndash Me
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a
28 m
a
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plo Paulo Afo
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de corrente
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
25
Para linhas de circuito duplo com transposiccedilatildeo a matriz de impedacircncias
aproximadamente equilibrada pode ser obtida pelo mesmo meacutetodo usado para linhas
transpostas de circuito simples como descrito na seccedilatildeo 23 No caso de linhas trifaacutesicas de
circuito duplo geralmente uma transposiccedilatildeo baseada em uma fundamentaccedilatildeo praacutetica
considera a transposiccedilatildeo independente de cada circuito trifaacutesico A matriz de impedacircncias
de ordem 6x6 em componentes simeacutetricas pode ser obtida a partir da equaccedilatildeo matricial
00
00
(251)
Em que [F] eacute a matriz de transformaccedilatildeo de Fortescue e [0] eacute uma matriz nula
ambas de ordem 3 A depender do esquema de transposiccedilatildeo diferentes configuraccedilotildees satildeo
encontradas para a matriz de impedacircncias em componentes de sequecircncia Conforme a
transposiccedilatildeo adotada correntes de sequecircncia positiva de um circuito podem por exemplo
induzir tensotildees de sequecircncia positiva ou negativa no outro circuito (DOMMEL 1996)
2721 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees no Mesmo Sentido
Caso seja adotado o esquema de transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees de igual comprimento
da linha conforme ilustrado na Figura 26 as rotaccedilotildees das fases dos circuitos 1 e 2 podem
ter mesmo sentido ou sentidos opostos Se a rotaccedilatildeo de fase apresentar o mesmo sentido
nos dois circuitos a matriz da meacutedia das impedacircncias nas trecircs seccedilotildees seraacute
Z (252)
Em que
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
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Resultados
onso ndash
strada na
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abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
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150
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210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
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120
150
180
210
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330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
26
Aplicando a equaccedilatildeo de transformaccedilatildeo (251) na matriz da equaccedilatildeo (252) a matriz
de impedacircncias da linha de circuito duplo em componentes simeacutetricas seraacute
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(253)
A matriz (253) pode tambeacutem ser escrita na forma
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(254)
Em que
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia zero do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia positiva do circuito i
eacute a impedacircncia proacutepria de sequecircncia negativa do circuito i
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia zero do circuito i e a sequecircncia
zero do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia positiva do circuito i e a
sequecircncia positiva do circuito j
eacute a impedacircncia muacutetua entre a sequecircncia negativa do circuito i e a
sequecircncia negativa do circuito j
Na equaccedilatildeo (254) pode ser identificado que para esta configuraccedilatildeo de transposiccedilatildeo
de linhas existe acoplamento de mesma sequecircncia entre os dois circuitos
2722 Transposiccedilatildeo de Trecircs Seccedilotildees em Sentidos Opostos
Caso a rotaccedilatildeo de fase na transposiccedilatildeo de trecircs seccedilotildees seja realizada em sentidos
opostos nos circuitos 1 e 2 a meacutedia das impedacircncias das trecircs seccedilotildees eacute dada por
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
NTEIRO (2
figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
agres (MLG
ema de tran
c
G1
1175 m
45 m
gura 31 ndash Co
uida foi r
condutores
e uma linha
expandido u
2004) com
a torre da lin
- Arranjo da
apresenta tr
G) Banabuiu
nsposiccedilatildeo da
634 m
40 m
45 m
a
nfiguraccedilatildeo d
realizado o
com maio
a de transmi
utilizada no
m dois cond
nha da CHE
linha de tran
ecircs trechos c
u (BNB) e
a linha de ci
32
b
m
G2
da linha de tra
o estudo de
or assimetr
missatildeo de 23
o trecho ent
dutores por
ESF eacute ilustra
nsmissatildeo em
compreendi
Fortaleza (F
ircuito dupl
Ca
0457 m
ansmissatildeo do
e uma linh
ria Como
30 kV perte
tre Paulo Af
fase e um
ada na Figur
circuito dupl
dos entre as
FTZ) O co
lo eacute apresen
apiacutetulo 3 ndash Me
o tronco Nort
ha de tran
referecircncia
encente a C
fonso e For
m cabo-guar
ra 32
lo Paulo Afon
s barras de P
omprimento
ntado na Fig
etodologia e R
te-Sul I
nsmissatildeo co
foi consid
CHESF em
rtaleza anali
rda por cir
nso ndash Fortalez
Paulo Afon
o de cada tre
gura 33
Resultados
om uma
derada a
circuito
isada em
cuito A
za
nso (PA)
echo e o
Fi
Figur
nesta
acop
linha
repre
igura 33 ndash Es
A distrib
ra 34
Figu
Em um p
a linha cons
lamentos m
a da Figura
esentada pel
squema de tr
buiccedilatildeo geom
200 m
c
G
16
49 m
c
ra 34 ndash Conf
primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
a 33 repres
lo circuito d
ransposiccedilatildeo d
meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
momento foi
penas um do
espondentes
entada por
duplo seraacute d
33
da linha de tr Fortaleza
condutores
67
22 m
linha de tran
i realizada
os circuitos
s foram rep
um circuit
denominada
Ca
ansmissatildeo ema
s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
s Posteriorm
presentados
to simples
a L3
apiacutetulo 3 ndash Me
m circuito dup
s lados da
a
28 m
a
lo Afonso - F
os valores d
mente os do
No decorr
seraacute denom
etodologia e R
plo Paulo Afo
torre eacute ilus
Fortaleza
de corrente
ois circuitos
rer deste tra
minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
27
(255)
Transformando a matriz (255) para componentes simeacutetricas
Z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(256)
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(257)
A matriz (257) indica que a corrente de sequecircncia zero do circuito 1 influencia na
queda de tensatildeo de sequecircncia zero do circuito 2 A corrente de sequecircncia negativa em um
circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia positiva no outro circuito assim como a
corrente de sequecircncia positiva em um circuito induz queda de tensatildeo de sequecircncia negativa
no outro uma vez que satildeo observadas impedacircncias muacutetuas natildeo nulas entre os circuitos de
sequecircncia positiva e negativa na equaccedilatildeo (257)
2723 Transposiccedilatildeo de Nove Seccedilotildees
A adoccedilatildeo do esquema de transposiccedilatildeo representado na Figura 27 reduz o
acoplamento entre sequecircncias para linhas de circuito duplo Para esta configuraccedilatildeo a
matriz de impedacircncias tem a seguinte forma
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
NTEIRO (2
figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
agres (MLG
ema de tran
c
G1
1175 m
45 m
gura 31 ndash Co
uida foi r
condutores
e uma linha
expandido u
2004) com
a torre da lin
- Arranjo da
apresenta tr
G) Banabuiu
nsposiccedilatildeo da
634 m
40 m
45 m
a
nfiguraccedilatildeo d
realizado o
com maio
a de transmi
utilizada no
m dois cond
nha da CHE
linha de tran
ecircs trechos c
u (BNB) e
a linha de ci
32
b
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G2
da linha de tra
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o trecho ent
dutores por
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nsmissatildeo em
compreendi
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0457 m
ansmissatildeo do
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fase e um
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circuito dupl
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FTZ) O co
lo eacute apresen
apiacutetulo 3 ndash Me
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referecircncia
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lo Paulo Afon
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CHESF em
rtaleza anali
rda por cir
nso ndash Fortalez
Paulo Afon
o de cada tre
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Resultados
om uma
derada a
circuito
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cuito A
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echo e o
Fi
Figur
nesta
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linha
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ra 34
Figu
Em um p
a linha cons
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200 m
c
G
16
49 m
c
ra 34 ndash Conf
primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
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ransposiccedilatildeo d
meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
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entada por
duplo seraacute d
33
da linha de tr Fortaleza
condutores
67
22 m
linha de tran
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os circuitos
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denominada
Ca
ansmissatildeo ema
s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
s Posteriorm
presentados
to simples
a L3
apiacutetulo 3 ndash Me
m circuito dup
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a
28 m
a
lo Afonso - F
os valores d
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plo Paulo Afo
torre eacute ilus
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de corrente
ois circuitos
rer deste tra
minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
28
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
(258)
Em que
A matriz (258) transformada em componentes simeacutetricas
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(259)
Ou
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
(260)
O acoplamento entre a sequecircncia zero do circuito 1 e a sequecircncia zero do circuito 2
permanece O acoplamento entre a sequecircncia zero dos dois circuitos existiraacute mesmo que
e ou seja a matriz [Zabc] tenha todos os elementos proacuteprios e todos os
elementos muacutetuos iguais entre si
Portanto natildeo eacute possiacutevel obter uma matriz diagonal pela transformaccedilatildeo de
Fortescue para representaccedilatildeo de matrizes de impedacircncias de linhas de transmissatildeo de
circuito duplo A transposiccedilatildeo dos condutores de fase possibilita a reduccedilatildeo das induccedilotildees
muacutetuas nas sequecircncias positiva e negativa que satildeo reduzidas a valores despreziacuteveis
Entretanto a transposiccedilatildeo natildeo tem influecircncia na induccedilatildeo muacutetua entre as sequecircncias zero
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
NTEIRO (2
figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
agres (MLG
ema de tran
c
G1
1175 m
45 m
gura 31 ndash Co
uida foi r
condutores
e uma linha
expandido u
2004) com
a torre da lin
- Arranjo da
apresenta tr
G) Banabuiu
nsposiccedilatildeo da
634 m
40 m
45 m
a
nfiguraccedilatildeo d
realizado o
com maio
a de transmi
utilizada no
m dois cond
nha da CHE
linha de tran
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Resultados
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e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
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180
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420
450
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510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
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90
120
150
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210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
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150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
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90
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150
180
210
240
270
300
330
360
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420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
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elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
29
dos circuitos Caso a impedacircncia muacutetua de sequecircncia zero entre os circuitos seja
desconsiderada na matriz [Z012] os valores obtidos para as correntes de falta que envolva a
terra podem apresentar erros consideraacuteveis
273 Maacutequinas Siacutencronas
Nas maacutequinas siacutencronas de poacutelos salientes geralmente as impedacircncias de sequecircncia
positiva e negativa natildeo satildeo iguais (GLOVER amp SARMA 2008) Mesmo que as maacutequinas
sejam eletricamente equilibradas o sentido de giro determina comportamentos distintos
para as componentes de sequecircncia positiva e negativa
Na maacutequina siacutencrona o fluxo magneacutetico produzido pela corrente de armadura de
sequecircncia positiva permanece em sincronismo com o giro do rotor Sob esta condiccedilatildeo o
fluxo magneacutetico que penetra no rotor eacute elevado e a impedacircncia de sequecircncia positiva tem
um elevado valor Segundo a natureza do problema pode ser considerado o valor siacutencrono
transitoacuterio ou subtransitoacuterio para a impedacircncia de sequecircncia positiva do gerador Para a
anaacutelise de curto circuito eacute considerado o valor subtransitoacuterio
Ao contraacuterio do fluxo gerado pela corrente de sequecircncia positiva o fluxo
magneacutetico produzido pela corrente de armadura de sequecircncia negativa gira no sentido
oposto ao do rotor Sob esta condiccedilatildeo a corrente induzida nos enrolamentos do rotor
dificulta a penetraccedilatildeo do fluxo magneacutetico no mesmo e a impedacircncia de sequecircncia negativa
eacute menor que a impedacircncia siacutencrona
Quando a maacutequina siacutencrona tem apenas correntes de sequecircncia zero a forccedila
magnetomotriz (fmm) produzida por essas correntes teoricamente seria zero
correspondendo a soma de trecircs curvas senoidais idecircnticas deslocadas de 120ordm entre si
Entretanto devido ao fluxo de dispersatildeo e fluxo de harmocircnicos os enrolamentos natildeo
produzem uma fmm perfeitamente senoidal e a impedacircncia de sequecircncia zero do gerador
natildeo eacute nula apresentando uma reatacircncia bem pequena
A matriz de impedacircncias de sequecircncia das maacutequinas eleacutetricas rotativas eacute do tipo
0 00 00 0
(261)
Sendo Z1 diferente de Z2 Se a equaccedilatildeo (231) eacute utilizada para recuperar a matriz de
impedacircncias de sequecircncia a partir da matriz (261)
Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
NTEIRO (2
figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
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ema de tran
c
G1
1175 m
45 m
gura 31 ndash Co
uida foi r
condutores
e uma linha
expandido u
2004) com
a torre da lin
- Arranjo da
apresenta tr
G) Banabuiu
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40 m
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a
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u (BNB) e
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Ca
0457 m
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30 kV perte
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fase e um
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Resultados
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200 m
c
G
16
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c
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primeiro m
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b
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245 m
30 m
6 m
b
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duplo seraacute d
33
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67
22 m
linha de tran
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os circuitos
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denominada
Ca
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nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
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presentados
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apiacutetulo 3 ndash Me
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28 m
a
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etodologia e R
plo Paulo Afo
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minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
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510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Capiacutetulo 2 ndash Revisatildeo Bibliograacutefica e Fundamentaccedilatildeo Teoacuterica
30
(262)
A matriz (262) apresenta diferentes valores para indutacircncias muacutetuas entre mesmas
fases e denotando uma inconsistecircncia na utilizaccedilatildeo do
meacutetodo das componentes simeacutetricas para maacutequinas eleacutetricas rotativas
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
o de feixe e
NTEIRO (2
figuraccedilatildeo da
Figura 32 -
A linha a
agres (MLG
ema de tran
c
G1
1175 m
45 m
gura 31 ndash Co
uida foi r
condutores
e uma linha
expandido u
2004) com
a torre da lin
- Arranjo da
apresenta tr
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nsposiccedilatildeo da
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40 m
45 m
a
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realizado o
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a de transmi
utilizada no
m dois cond
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linha de tran
ecircs trechos c
u (BNB) e
a linha de ci
32
b
m
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da linha de tra
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dutores por
ESF eacute ilustra
nsmissatildeo em
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Resultados
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buiccedilatildeo geom
200 m
c
G
16
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c
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primeiro m
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muacutetuos corre
a 33 repres
lo circuito d
ransposiccedilatildeo d
meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
momento foi
penas um do
espondentes
entada por
duplo seraacute d
33
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condutores
67
22 m
linha de tran
i realizada
os circuitos
s foram rep
um circuit
denominada
Ca
ansmissatildeo ema
s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
s Posteriorm
presentados
to simples
a L3
apiacutetulo 3 ndash Me
m circuito dup
s lados da
a
28 m
a
lo Afonso - F
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No decorr
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etodologia e R
plo Paulo Afo
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Fortaleza
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ois circuitos
rer deste tra
minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
31
Capiacutetulo 3
Metodologia e Resultados
28 Metodologia Utilizada
Para a obtenccedilatildeo do valor da corrente de falta na linha de transmissatildeo foi analisado
um sistema representado apenas pela linha conectada diretamente a uma fonte de tensatildeo
senoidal perfeitamente equilibrada O equivalente do sistema de distribuiccedilatildeo as cargas os
disjuntores ou quaisquer outros elementos da rede foram desconsiderados Esta forma de
representaccedilatildeo foi adotada para que fossem observadas as diferenccedilas devido apenas ao
desequiliacutebrio nas linhas para os valores de corrente de curto-circuito em linhas de
transmissatildeo com transposiccedilatildeo ideal com transposiccedilatildeo ciacuteclica e sem transposiccedilatildeo
311 Linhas Analisadas
Inicialmente foi analisada uma linha de transmissatildeo de circuito simples com
quatros condutores por fase cuja distribuiccedilatildeo de condutores eacute ilustrada na Figura 31 Os
dados de caracteriacutesticas dos condutores foram baseados nas informaccedilotildees das linhas do
tronco Norte-Sul I do sistema estudado em VIDIGAL (2010) com tensatildeo nominal de
500 kV No decorrer deste trabalho essa linha seraacute denominada L1
dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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Resultados
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Resultados
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abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
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as barras
e agrave terceira
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ito 2 da linh
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lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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dispo
confi
duplo
MON
confi
Mila
esque
204 m
c
Fig
Em segu
osiccedilatildeo de c
figuraccedilatildeo de
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2004) com
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45 m
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Resultados
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Resultados
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strada na
de falta
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abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Fi
Figur
nesta
acop
linha
repre
igura 33 ndash Es
A distrib
ra 34
Figu
Em um p
a linha cons
lamentos m
a da Figura
esentada pel
squema de tr
buiccedilatildeo geom
200 m
c
G
16
49 m
c
ra 34 ndash Conf
primeiro m
siderando ap
muacutetuos corre
a 33 repres
lo circuito d
ransposiccedilatildeo d
meacutetrica dos
b
G1
245 m
30 m
6 m
b
figuraccedilatildeo da
momento foi
penas um do
espondentes
entada por
duplo seraacute d
33
da linha de tr Fortaleza
condutores
67
22 m
linha de tran
i realizada
os circuitos
s foram rep
um circuit
denominada
Ca
ansmissatildeo ema
s de um do
7 m
nsmissatildeo Pau
a anaacutelise do
s Posteriorm
presentados
to simples
a L3
apiacutetulo 3 ndash Me
m circuito dup
s lados da
a
28 m
a
lo Afonso - F
os valores d
mente os do
No decorr
seraacute denom
etodologia e R
plo Paulo Afo
torre eacute ilus
Fortaleza
de corrente
ois circuitos
rer deste tra
minada L2 e
Resultados
onso ndash
strada na
de falta
s com os
abalho a
e a linha
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
34
312 Caacutelculo dos Paracircmetros das Linhas
As matrizes de paracircmetros eleacutetricos unitaacuterios longitudinais e transversais proacuteprios
e muacutetuos no domiacutenio de fase foram calculadas com o auxiacutelio da rotina Line Constants do
ATP Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha trifaacutesica as seguintes simplificaccedilotildees
foram consideradas
Operaccedilatildeo do sistema em regime permanente na frequecircncia de 60 Hz
Distribuiccedilatildeo geomeacutetrica dos cabos condutores de fase da linha e cabos para-
raios conforme ilustrado nas Figuras 31 32 e 34
Solo plano e homogecircneo na vizinhanccedila da linha com resistividade
constante e conhecida sendo a resistividade nula para o solo considerado
ideal e igual a 1000 Ωm para o solo real
Condutores paralelos entre si e em relaccedilatildeo ao solo
Cabos para-raios representados como condutores soacutelidos
Condutores de fase compostos de fios encordoados com alma de accedilo
representados por um condutor tubular
Condutacircncia da linha desprezada parte real da admitacircncia em derivaccedilatildeo
considerada nula
Influecircncia do solo na impedacircncia determinada com a aplicaccedilatildeo da correccedilatildeo
de Carson
Os trechos das linhas de circuito simples foram representados por matrizes [Z] e
[Y] de dimensatildeo 3x3 e os trechos das linhas de circuito duplo foram representados por
matrizes [Z] e [Y] de dimensatildeo 6x6 com os cabos-guarda considerados impliacutecitos de
acordo com o processo de reduccedilatildeo de matrizes
313 Comparaccedilotildees Realizadas
Neste trabalho foram simuladas faltas monofaacutesicas localizadas no extremo final
das linhas de transmissatildeo com diversos comprimentos Para o estudo as linhas foram
representadas com os terminais remotos em aberto e alimentadas por uma fonte senoidal
trifaacutesica equilibrada operando em regime permanente antes da falta Para a simulaccedilatildeo do
curto-circuito foram inseridas chaves nos terminais das linhas para conexatildeo do terminal de
uma das fases para a terra De forma a comparar os resultados dos valores de corrente de
falta em regime permanente na frequecircncia fundamental tal como eacute expresso nos objetivos
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
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510
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570
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690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
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90
120
150
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210
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270
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330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
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450
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510
540
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660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
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18000
20000
30
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690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
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720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
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CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
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2000
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3000
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240
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480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
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240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
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570
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660
690
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CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
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600
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660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
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180
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240
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450
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510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
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360
390
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
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segunda e
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vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
35
propostos deste trabalho as faltas foram simuladas para linhas de circuito simples e de
circuito duplo considerando cada linha analisada como idealmente transposta como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas e considerando a transposiccedilatildeo em determinados
pontos ou a ausecircncia de transposiccedilatildeo na linha para o meacutetodo das componentes de fase
As linhas de circuito simples analisadas foram modeladas com comprimento entre
60 km e 720 km Com o auxiacutelio da rotina Models (LEUVEN EMTP CENTER 1987) os
valores da amplitude da corrente de curto-circuito em regime permanente nas trecircs fases do
gerador bem como no ponto de falta foram monitorados Para a linha com transposiccedilatildeo
em componentes de fase foi considerada uma transposiccedilatildeo ciacuteclica fictiacutecia de condutores a
cada 60 km
Para anaacutelise da linha de circuito duplo a geraccedilatildeo foi considerada na barra de Paulo
Afonso Foi simulada falta do tipo monofaacutesica para a terra ocorrendo na fase a do
circuito 1 As correntes nas fases a b e c de cada circuito foram monitoradas nas barras de
Paulo Afonso Banabuiu e Milagres com o emprego da rotina Models
314 Forma de Representaccedilatildeo das Linhas Analisadas
Para estudos em regime permanente uma linha longa pode ser bem representada no
ATP por um circuito PI equivalente derivado de paracircmetros distribuiacutedos ou por paracircmetros
concentrados como uma conexatildeo em cascata de pequenos circuitos PI nominal Nestes
casos uma precisatildeo razoaacutevel eacute obtida com a representaccedilatildeo por um circuito PI nominal de
linhas com comprimento maacuteximo de 100 km (DOMMEL 1996)
No estudo realizado cada segmento de 30 km das linhas de circuito simples L1 e
L2 foi modelado por um circuito PI nominal como uma pequena linha natildeo transposta Os
segmentos foram conectados em cascata com a sequecircncia de transposiccedilatildeo adotada ou a
ausecircncia de transposiccedilatildeo representada entre um trecho e outro A linha de transmissatildeo de
circuito duplo L3 foi modelada por um circuito PI nominal para cada segmento de linha
entre duas torres apresentados na Figura 33
O meacutetodo utilizado eacute igual em tudo para cada tipo de transposiccedilatildeo na linha com a
diferenccedila apenas nas matrizes de impedacircncias longitudinais e admitacircncias transversais para
cada caso Para representaccedilatildeo das linhas sem transposiccedilatildeo nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores foi representada entre os circuitos conectados em cascata Para a modelagem de
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
36
linhas com transposiccedilatildeo em determinados pontos a transposiccedilatildeo entre os trechos foi
representada entre um circuito PI e o seguinte como ilustrado na Figura 35
a
b
c
Circuito
π
a
b
c
Circuito
π
c
a
b
c
a
b
Figura 35 ndash Linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo representada por Cascata de PIrsquos
Para as linhas L1 e L2 foi adotada a transposiccedilatildeo ciacuteclica apresentada na Figura 24
a cada 60 km de comprimento da linha Para o estudo da linha L3 foi considerada a sua
transposiccedilatildeo real apresentada na Figura 34
Para a modelagem das linhas idealmente transpostas nenhuma transposiccedilatildeo de
condutores entre os circuitos foi considerada Entretanto neste caso os valores dos
paracircmetros proacuteprios e muacutetuos para cada circuito PI foram definidos conforme a equaccedilatildeo
220 para a linha de circuito simples e conforme a equaccedilatildeo 257 para a linha de circuito
duplo a partir dos paracircmetros de sequecircncia obtidos com o uso do ATP supondo a linha
perfeitamente equilibrada como no meacutetodo das componentes simeacutetricas Neste caso a
linha trifaacutesica de circuito simples eacute diagonalizaacutevel por matrizes de transformaccedilatildeo padratildeo
como a de Fortescue ou a de Clarke Para as linhas de circuito duplo apenas o
acoplamento de sequecircncia zero entre os circuitos foi considerado para a linha idealmente
transposta
29 Apresentaccedilatildeo de Resultados
321 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Simples
Inicialmente foi considerada a linha fictiacutecia denominada L1 descrita na seccedilatildeo 311
No caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos foram consideradas duas situaccedilotildees solo ideal e solo
com resistividade igual a 1000 Ωm
As Figuras 36 e 37 apresentam o perfil da corrente em regime permanente em
funccedilatildeo do comprimento da linha com um curto-circuito franco na fase a monitorada no
ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador Pode ser observado que para os trecircs
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
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600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
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120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
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630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
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8000
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10000
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690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
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510
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570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
37
casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados independente do tipo de solo considerado
a corrente no ponto de falta decresce a medida que este eacute afastado do gerador
Figura 36 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 37 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Nos graacuteficos da corrente na fase a na saiacuteda do gerador apresentados nas Figuras 38
e 39 eacute observado um ponto de miacutenimo
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
30
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180
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390
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450
480
510
540
570
600
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660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
5000
10000
15000
20000
25000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
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150
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270
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330
360
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420
450
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510
540
570
600
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660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
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150
180
210
240
270
300
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
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150
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360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
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150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
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90
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150
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270
300
330
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450
480
510
540
570
600
630
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690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
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2000
3000
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690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
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660
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CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
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800
1000
1200
1400
1600
30
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150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
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420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
38
Figura 38 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Figura 39 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na
linha L1 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A corrente na fase a inicialmente apresenta comportamento decrescente agrave medida
que o comprimento da linha e consequentemente a distacircncia entre o ponto de falta e o
gerador aumenta Entretanto o valor da corrente de falta passa a crescer quando a distacircncia
entre o gerador e o ponto de falta eacute maior que 630 km para a linha cujos paracircmetros foram
calculados considerando o solo com resistividade nula O mesmo comportamento pode ser
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador (ρsolo= 1000 Ωmiddotm)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
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210
240
270
300
330
360
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420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
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300
330
360
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
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120
150
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210
240
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300
330
360
390
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
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vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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Referecircncias Bibliograacuteficas
55
GLOVER J D and SARMA M S Power Systems Analysis and Design Third Edition
BrooksCole 2002
KINDERMANN G Curto-Circuito 2 ed Porto Alegre Sagra Luzzatto 1997
LANCZOS C Applied Analysis Prentice-Hall New Jersey 1956
LEUVEN EMTP CENTER ATP minus Alternative Transients Program minus Rule Book
Heverlee Belgium July 1987
MEYER C D Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM Philadelphia 2000
MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
39
observado para a linha cujos paracircmetros foram calculados considerando o solo com
resistividade constante e igual a 1000 Ωm Neste caso o ponto de miacutenimo eacute observado a
uma distacircncia entre gerador e ponto de falta de aproximadamente 480 km
O comportamento observado para a corrente de falta pode ser explicado com a
anaacutelise da equaccedilatildeo que define o valor desta corrente Para demonstrar tal anaacutelise de
maneira simplificada seraacute considerada uma linha com transposiccedilatildeo ideal que pode ser
representada por trecircs circuitos monofaacutesicos desacoplados Na ocorrecircncia de uma falta
monofaacutesica estes circuitos devem ser conectados em seacuterie conforme ilustrado na Figura
310 para obtenccedilatildeo dos valores de corrente no ponto de falta e no gerador
XC0 XC2XC1 XC1 XC2 XC0
Z1
E1
Z0 Z2
~
Ia1 Ia2 Ia0 Ia1 Ia2 Ia0
Figura 310 ndash Conexatildeo de circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero para anaacutelise de falta
monofaacutesica para em uma linha idealmente transposta
Na Figura 310 Z1 Z2 e Z0 representam as impedacircncias dos circuitos de sequecircncia
positiva negativa e zero respectivamente Os paracircmetros XC1 XC2 e XC1 representam as
reatacircncias capacitivas de cada circuito de sequecircncia Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as correntes dos
circuitos de sequecircncia positiva negativa e zero no ponto de falta e Ia0 Ia1 e Ia2 indicam as
correntes de sequecircncia na saiacuteda do gerador A fonte de tensatildeo senoidal do circuito de
sequecircncia positiva eacute representada por E1
Para facilitar a anaacutelise seraacute considerada uma linha sem perdas sendo Z0 Z1 e Z2
representadas apenas pelas reatacircncias indutivas As equaccedilotildees que definem cada uma dessas
variaacuteveis obtidas da anaacutelise do circuito da Figura 310 satildeo apresentadas a seguir
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ (31)
∙
∙
∙ (32)
(33)
(34)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
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360
390
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
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90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
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120
150
180
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390
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
40
A corrente na fase a do gerador Iag em componentes de fase pode ser obtida a
partir da equaccedilatildeo 35
(35)
O desenvolvimento da equaccedilatildeo acima resulta em um polinocircmio com numerador de
grau 6 e denominador de grau 5 A derivada deste polinocircmio em relaccedilatildeo ao comprimento
da linha apresenta dez raiacutezes das quais apenas uma eacute real e positiva Para a linha sem
perdas o valor encontrado para a raiz real e positiva da primeira derivada foi de
aproximadamente 610 km Se substituirmos esta raiz na segunda derivada do polinocircmio
que representa a corrente Iag encontramos um valor positivo o que indica que este eacute um
ponto de miacutenimo da funccedilatildeo Iag
Nas Figuras 311 a 314 satildeo apresentados os graacuteficos com os valores de corrente
registrados para as fases b e c do gerador Pode ser observado que independente do tipo de
transposiccedilatildeo e de solo considerados na ocorrecircncia de uma falta na fase a para a terra o
comportamento da corrente na saiacuteda do gerador nas fases b e c eacute crescente com o aumento
da distacircncia entre o gerador e ponto de falta Quando o solo eacute considerado ideal as
correntes nas fases b e c passam a apresentar valores maiores que os obtidos para a
corrente na fase a a partir de um comprimento de linha igual a 450 km (ver Figura 38)
Figura 311 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com solo considerado ideal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
41
Figura 312 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1 com solo considerado ideal
Quando a resistividade do solo eacute considerada igual a 1000 Ωmiddotm esta caracteriacutestica eacute
observada a partir de 360 km (ver Figura 39)
Figura 313 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 0)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
42
Figura 314 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L1
com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
A mesma anaacutelise foi realizada para a linha trifaacutesica L2 No caacutelculo dos paracircmetros
eleacutetricos foi considerada resistividade do solo constante e igual a 1000 Ωm Apoacutes
simulaccedilotildees nesta linha os valores registrados para corrente em regime permanente durante
a ocorrecircncia da falta na fase a no ponto de falta e em cada fase na saiacuteda do gerador satildeo
apresentados nas Figuras 315 a 318
Figura 315 ndash Perfil de corrente no ponto de falta para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador (ρsolo = 1000 Ω∙m)
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente no Ponto de Falta
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
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450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
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5
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15
20
25
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35
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120
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450
480
510
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570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
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Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
43
Figura 316 ndash Perfil de corrente na fase a (em falta) do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Figura 317 ndash Perfil de corrente na fase b do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
0
1000
2000
3000
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CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase a do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
0
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400
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1000
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1400
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600
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690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase b do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
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120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
44
Figura 318 ndash Perfil de corrente na fase c do gerador para diferentes tipos de transposiccedilatildeo na linha L2 com resistividade do solo considerada constante e igual a 1000 Ωm
Pode ser observado nas Figuras 36 a 39 e nas Figuras 311 a 314 que os valores
de corrente no ponto de falta ou na saiacuteda do gerador apresentam pequenas diferenccedilas para
os trecircs casos de transposiccedilatildeo analisados para a linha L1 As diferenccedilas satildeo ligeiramente
maiores para a linha L2 conforme apresentado nas Figuras 315 a 318 quando uma
disposiccedilatildeo de condutores com maior assimetria eacute considerada
3211 Anaacutelise de Erros Relativos para Linhas de Circuito Simples
Foram verificadas diferenccedilas entre os valores da corrente de falta para uma linha de
circuito simples sem transposiccedilatildeo ou com transposiccedilatildeo em determinados pontos e os
valores obtidos para a linha considerada idealmente transposta como na anaacutelise de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas As comparaccedilotildees apresentadas foram
baseadas em erros relativos que neste trabalho satildeo determinados para valores de corrente
na frequumlecircncia fundamental 60 Hz da seguinte forma
ccedilatilde ccedilatilde
ccedilatilde (36)
Em que
ε o erro relativo entre as grandezas
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
CORREN
TE (A)
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Corrente na Fase c do Gerador
LINHA SEM TRANSPOSICcedilAtildeO LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO IDEAL LINHA COM TRANSPOSICcedilAtildeO A CADA 60 KM
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
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15
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35
30
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210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
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L
Corre
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Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
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Figura 3
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e Banabuiu
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Local da Fal
rente em peres da nas ases
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Figura 321
) da Figura 3
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e agrave terceira
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646 1000 1128 924 924 923
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416 632 723 558 558 557
48
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712 1034 1184 958 958 957
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474 666 774 590 591 589
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Milagres
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784 1069 1244 994 994 993
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540 700 829 624 624 623
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861 1103 1310 1031 1031 1030
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etodologia e R
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uito duplo L3
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1135 1381 1069 1070 1068
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Resultados
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3
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ocorrida
e nas trecircs
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as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
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de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
45
Ig(transposiccedilatildeo adotada) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando o
tipo de transposiccedilatildeo adotado para a linha (sem transposiccedilatildeo ou transposiccedilatildeo
de condutores em determinados pontos) eacute considerado na sua representaccedilatildeo
como no meacutetodo das componentes de fase
Ig(transposiccedilatildeo ideal) valor obtido para a corrente na barra de geraccedilatildeo quando a
linha eacute considerada com transposiccedilatildeo ideal na sua representaccedilatildeo como no
meacutetodo das componentes simeacutetricas
As curvas de corrente na fase a do gerador apresentadas nas Figuras 38 39 e na
Figura 315 estatildeo praticamente sobrepostas pois a diferenccedila entre os valores eacute pequena em
relaccedilatildeo a escala utilizada para apresentar devidamente todos os valores obtidos Para
verificar tal diferenccedila com maior precisatildeo os erros relativos foram calculados conforme a
equaccedilatildeo 36
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples com Transposiccedilatildeo
A Figura 319 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando as
linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica satildeo consideradas idealmente transpostas
Figura 319 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 com transposiccedilatildeo ciacuteclica quando consideradas idealmente transpostas
Para uma linha com transposiccedilatildeo ciacuteclica a cada 60 km o valor do erro oscila
variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o gerador e o ponto de
0
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720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta da Linha com Transposiccedilatildeo Real ou Ciacuteclica Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
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720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
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a b e
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e as barras B
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sentado na F
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Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
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mplitude de co
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lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
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que corresp
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de falta consi
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vados para
1 B1 e C1
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orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
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rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
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Transactions on Power Delivery Vol 13 April 1998
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FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
Transmissatildeo no Domiacutenio da Frequecircncia Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade
Estadual de Campinas Campinas SP novembro 2006
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Polyphase Networksrdquo Trans AIEE Vol 37 p 1027 1918
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Coordinatesrdquo In International Conference on Power Systems Kathmandu Nepal Vol 2
No 114 p 593 November 2004
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55
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MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
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FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
46
falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs trechos consecutivos
o erro relativo diminui Quando satildeo consideradas apenas as faltas ocorrendo nos pontos
situados no meio de cada ciclo de transposiccedilatildeo ou apenas no iniacutecio ou ao final dos
mesmos o erro apresenta comportamento geralmente crescente com o distanciamento do
ponto de falta ao gerador como pode ser observado na Tabela 31 Nessa tabela satildeo
apresentados os valores dos erros em percentagem para valores de corrente obtidos para
faltas ocorrendo no fim do segundo trecho de cada ciclo de transposiccedilatildeo
Tabela 31 ndash Erros para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Distacircncia entre o Ponto de Falta e a Barra de Geraccedilatildeo 120 km 300 km 480 km 660 km
Os erros maacuteximos encontrados em cada linha satildeo apresentados na Tabela 32
Tabela 32 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo com transposiccedilatildeo a cada 60 km
Linha de Transmissatildeo com Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 27 660 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 57 660 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 59 540 km
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Simples sem Transposiccedilatildeo
A Figura 320 apresenta os erros para os valores de corrente de falta quando a linha
L1 ou a linha L2 sem transposiccedilatildeo eacute considerada idealmente transposta Pode ser observado
que os valores dos erros relativos nas linhas sem transposiccedilatildeo aumentam com o
distanciamento do ponto de falta ao gerador Entretanto haacute um decreacutescimo acentuado para
o erro proacuteximo ao ponto de inflexatildeo das curvas de corrente na fase a do gerador Este
comportamento do erro eacute observado porque o ponto criacutetico das curvas natildeo ocorre a uma
mesma distacircncia para a linha com transposiccedilatildeo ideal e para a linha sem transposiccedilatildeo
Portanto as curvas dos valores de corrente considerando os diferentes tipos de
transposiccedilatildeo adotados para uma mesma linha passam de decrescentes para crescentes a
diferentes distacircncias havendo um ponto de intersecccedilatildeo entre elas Quando as curvas se
cruzam a diferenccedila nos valores de corrente eacute nula Imediatamente apoacutes as diferenccedilas entre
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
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a b e
Tab
L
Corre
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Fa
L
Corre
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e as barras B
14 km de
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Figura 3
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Local da Fal
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rente em peres da nas ases
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extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
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lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
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33
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1 B1 e C1
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Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
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o Afonso
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cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
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Milagres
zona de pro
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b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
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e Banab
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siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
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Transmissatildeo no Domiacutenio da Frequecircncia Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade
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Heverlee Belgium July 1987
MEYER C D Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM Philadelphia 2000
MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
47
os valores de corrente passam a aumentar pois as curvas passam a ter comportamento
opostos Quando as duas curvas passam a apresentar um comportamento crescente as
diferenccedilas voltam a diminuir Logo eacute observado uma acentuada reduccedilatildeo no valor do erro
proacuteximo a distacircncia equivalente ao ponto de intersecccedilatildeo O maior erro nas linhas de
transmissatildeo eacute observado logo apoacutes este ponto
Figura 320 ndash Erros relativos para valores de corrente na fase a do gerador nas linhas L1 e L2 sem transposiccedilatildeo quando consideradas idealmente transpostas
Os erros maacuteximos encontrados para as linhas sem transposiccedilatildeo satildeo apresentados na
Tabela 33
Tabela 33 ndash Erros maacuteximos para a linha de transmissatildeo sem transposiccedilatildeo
Linha de Transmissatildeo sem Transposiccedilatildeo
Erro Maacuteximo
Local de Ocorrecircncia
L1 (solo ideal) ε = 213 690 km
L1 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 174 570 km
L2 (ρsolo = 1000Ωm) ε = 303 600 km
322 Simulaccedilotildees para Linhas de Transmissatildeo Trifaacutesicas de Circuito Duplo
Para o caacutelculo dos paracircmetros eleacutetricos da linha de circuito duplo denominada L3 a
resistividade do solo foi considerada constante e igual a 1000 Ωm
Com o auxiacutelio do programa ATP foram simuladas faltas na fase a do circuito 1 para
a terra em seis pontos equidistantes situados entre os dois uacuteltimos trechos de transposiccedilatildeo
0
5
10
15
20
25
30
35
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
ERRO
Distacircncia Entre o Ponto de Falta e o Gerador (km)
Erros Relativos de Valores da Corrente de Falta para a Linha sem Transposiccedilatildeo Considerada Idealmente Transposta
Linha L1 (ρsolo = 0 Ω∙m) Linha L1 (ρsolo = 1000 Ω∙m) Linha L2 (ρsolo = 1000 Ω∙m)
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
Corre
AmpObtid
Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
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que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
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Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
BERMAN A XU W Analysis of Faulted Power Systems By Phase Coordinates IEEE
Transactions on Power Delivery Vol 13 April 1998
CARSON J R Wave Propagation in Overhead Wires With Ground Return Bell System
Technical Journal Vol 5 New York 1926
CHEN C T Linear System Theory and Design 1 ed New York Holt Rnehart and
Winston 1984
DOMMEL H W ldquoDigital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single and
Multi-Phase Networksrdquo IEEE Transactions Power Apparatus and Systems vol PAS-
88 pp 388-399 April 1969
DOMMEL H W EMTP Theory Book Microtran Power System Analysis Corporation
Vancouver B C Canada May 1996
FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
Transmissatildeo no Domiacutenio da Frequecircncia Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade
Estadual de Campinas Campinas SP novembro 2006
FORTESCUE C L ldquoMethod of Simmetrical Coordinates Applied to the Solution of
Polyphase Networksrdquo Trans AIEE Vol 37 p 1027 1918
GAJBHIYE R K KULKARNI P SOMAN S A ldquoGeneric Fault Analysis in Phase
Coordinatesrdquo In International Conference on Power Systems Kathmandu Nepal Vol 2
No 114 p 593 November 2004
Referecircncias Bibliograacuteficas
55
GLOVER J D and SARMA M S Power Systems Analysis and Design Third Edition
BrooksCole 2002
KINDERMANN G Curto-Circuito 2 ed Porto Alegre Sagra Luzzatto 1997
LANCZOS C Applied Analysis Prentice-Hall New Jersey 1956
LEUVEN EMTP CENTER ATP minus Alternative Transients Program minus Rule Book
Heverlee Belgium July 1987
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MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
entre
tem
apres
Forta
respe
entre
barra
Tabe
a b e
Tab
L
Corre
AmpObtid
Fa
L
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Fa
e as barras B
14 km de
sentado na F
aleza (FTZ)
Figura 3
Como a
ectivamente
e Banabuiu
as Os valo
elas 34 a 3
e c do circu
bela 34 ndash Am
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Local da Fal
rente em peres da nas ases
Banabuiu (B
extensatildeo e
Figura 321
) da Figura 3
21 ndash Pontos d
as barras
e agrave terceira
e Fortaleza
ores observ
6 sendo A
ito 2 da linh
mplitude de co
lta A1 B1 1C1 1A2 B2 C2
lta A1 B1 C1 A2 B2 C2
BNB) e For
esta foi a d
que corresp
33
de falta consi
de Paulo
segunda e
foram mon
vados para
1 B1 e C1
ha L3
orrente em catr
Barra deP1
646 1000 1128 924 924 923
Barra P1
416 632 723 558 558 557
48
rtaleza (FTZ
distacircncia ad
ponde ao tr
iderados para
o Afonso
e primeira z
nitorados os
cada tipo
as fases a
ada fase pararansposiccedilatildeo i
e Leitura PP2
712 1034 1184 958 958 957
a de LeituraP2
474 666 774 590 591 589
Ca
Z) Como o
dotada entre
echo entre a
a anaacutelise da li
Milagres
zona de pro
s valores de
de transpos
b e c do cir
a falta na faseideal
Paulo AfonsoP3
784 1069 1244 994 994 993
Milagres P3
540 700 829 624 624 623
apiacutetulo 3 ndash Me
o uacuteltimo trec
e cada dois
as barras de
inha de circu
e Banab
oteccedilatildeo para
e corrente em
siccedilatildeo foram
rcuito 1 e A
e a do circuit
o P4
861 1103 1310 1031 1031 1030
P4 613 734 889 659 659 658
etodologia e R
cho de tran
s pontos c
e Banabuiu
uito duplo L3
buiu corres
uma falta
m cada fase
m apresenta
A2 B2 e C2
to 1 da linha L
P5 945
1135 1381 1069 1070 1068
P5 695 768 954 695 696 694
Resultados
sposiccedilatildeo
onforme
(BNB) e
3
spondem
ocorrida
e nas trecircs
ados nas
as fases
L3 com
P6 1035 1167 1459 1109 1110 1108
P6 786 801
1024 733 734 732
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
BERMAN A XU W Analysis of Faulted Power Systems By Phase Coordinates IEEE
Transactions on Power Delivery Vol 13 April 1998
CARSON J R Wave Propagation in Overhead Wires With Ground Return Bell System
Technical Journal Vol 5 New York 1926
CHEN C T Linear System Theory and Design 1 ed New York Holt Rnehart and
Winston 1984
DOMMEL H W ldquoDigital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single and
Multi-Phase Networksrdquo IEEE Transactions Power Apparatus and Systems vol PAS-
88 pp 388-399 April 1969
DOMMEL H W EMTP Theory Book Microtran Power System Analysis Corporation
Vancouver B C Canada May 1996
FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
Transmissatildeo no Domiacutenio da Frequecircncia Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade
Estadual de Campinas Campinas SP novembro 2006
FORTESCUE C L ldquoMethod of Simmetrical Coordinates Applied to the Solution of
Polyphase Networksrdquo Trans AIEE Vol 37 p 1027 1918
GAJBHIYE R K KULKARNI P SOMAN S A ldquoGeneric Fault Analysis in Phase
Coordinatesrdquo In International Conference on Power Systems Kathmandu Nepal Vol 2
No 114 p 593 November 2004
Referecircncias Bibliograacuteficas
55
GLOVER J D and SARMA M S Power Systems Analysis and Design Third Edition
BrooksCole 2002
KINDERMANN G Curto-Circuito 2 ed Porto Alegre Sagra Luzzatto 1997
LANCZOS C Applied Analysis Prentice-Hall New Jersey 1956
LEUVEN EMTP CENTER ATP minus Alternative Transients Program minus Rule Book
Heverlee Belgium July 1987
MEYER C D Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM Philadelphia 2000
MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
49
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
BERMAN A XU W Analysis of Faulted Power Systems By Phase Coordinates IEEE
Transactions on Power Delivery Vol 13 April 1998
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Technical Journal Vol 5 New York 1926
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Winston 1984
DOMMEL H W ldquoDigital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single and
Multi-Phase Networksrdquo IEEE Transactions Power Apparatus and Systems vol PAS-
88 pp 388-399 April 1969
DOMMEL H W EMTP Theory Book Microtran Power System Analysis Corporation
Vancouver B C Canada May 1996
FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
Transmissatildeo no Domiacutenio da Frequecircncia Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade
Estadual de Campinas Campinas SP novembro 2006
FORTESCUE C L ldquoMethod of Simmetrical Coordinates Applied to the Solution of
Polyphase Networksrdquo Trans AIEE Vol 37 p 1027 1918
GAJBHIYE R K KULKARNI P SOMAN S A ldquoGeneric Fault Analysis in Phase
Coordinatesrdquo In International Conference on Power Systems Kathmandu Nepal Vol 2
No 114 p 593 November 2004
Referecircncias Bibliograacuteficas
55
GLOVER J D and SARMA M S Power Systems Analysis and Design Third Edition
BrooksCole 2002
KINDERMANN G Curto-Circuito 2 ed Porto Alegre Sagra Luzzatto 1997
LANCZOS C Applied Analysis Prentice-Hall New Jersey 1956
LEUVEN EMTP CENTER ATP minus Alternative Transients Program minus Rule Book
Heverlee Belgium July 1987
MEYER C D Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM Philadelphia 2000
MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
50
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Para os trecircs casos de transposiccedilatildeo de condutores analisados quanto mais proacutexima
do ponto de falta eacute a barra monitorada (Paulo Afonso Milagres ou Banabuiu) menor eacute o
valor de corrente observado Entretanto quanto mais distante o ponto de falta estaacute da
geraccedilatildeo maior eacute o valor da corrente verificada em cada fase Este comportamento foi
observado inclusive na fase a do circuito 1 em curto-circuito franco para a terra Foi
tambeacutem verificado que a corrente na fase a do circuito 1 eacute menor que a corrente nas
demais fases exceto para os valores obtidos na barra de Banabuiu que estaacute mais proacutexima
do ponto de falta De acordo com o comportamento observado para os graacuteficos das
correntes nas linhas de circuito simples provavelmente os pontos de falta na linha de
circuito duplo estatildeo localizados a uma distacircncia do gerador maior que a coordenada
correspondente ao ponto criacutetico do graacutefico da corrente em funccedilatildeo do comprimento da
linha
3221 Anaacutelise de Erros Relativos entre Valores de Correntes para Linhas de Circuito
Duplo com Diferentes Transposiccedilotildees
A) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo com Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para os valores de corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos
para a linha de transmissatildeo de circuito duplo com o esquema de transposiccedilatildeo real
representado na Figura 33 quando considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 37
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
BERMAN A XU W Analysis of Faulted Power Systems By Phase Coordinates IEEE
Transactions on Power Delivery Vol 13 April 1998
CARSON J R Wave Propagation in Overhead Wires With Ground Return Bell System
Technical Journal Vol 5 New York 1926
CHEN C T Linear System Theory and Design 1 ed New York Holt Rnehart and
Winston 1984
DOMMEL H W ldquoDigital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single and
Multi-Phase Networksrdquo IEEE Transactions Power Apparatus and Systems vol PAS-
88 pp 388-399 April 1969
DOMMEL H W EMTP Theory Book Microtran Power System Analysis Corporation
Vancouver B C Canada May 1996
FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
Transmissatildeo no Domiacutenio da Frequecircncia Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade
Estadual de Campinas Campinas SP novembro 2006
FORTESCUE C L ldquoMethod of Simmetrical Coordinates Applied to the Solution of
Polyphase Networksrdquo Trans AIEE Vol 37 p 1027 1918
GAJBHIYE R K KULKARNI P SOMAN S A ldquoGeneric Fault Analysis in Phase
Coordinatesrdquo In International Conference on Power Systems Kathmandu Nepal Vol 2
No 114 p 593 November 2004
Referecircncias Bibliograacuteficas
55
GLOVER J D and SARMA M S Power Systems Analysis and Design Third Edition
BrooksCole 2002
KINDERMANN G Curto-Circuito 2 ed Porto Alegre Sagra Luzzatto 1997
LANCZOS C Applied Analysis Prentice-Hall New Jersey 1956
LEUVEN EMTP CENTER ATP minus Alternative Transients Program minus Rule Book
Heverlee Belgium July 1987
MEYER C D Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM Philadelphia 2000
MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 3 ndash Metodologia e Resultados
51
Tabela 37 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo com transposiccedilatildeo real considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
41 24 07 08 22 30
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
12 35 55 73 89 100
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
09 30 54 77 99 117
O erro observado para a corrente nas barras de Banabuiu (1ordf zona de proteccedilatildeo) e
Milagres (2ordf zona de proteccedilatildeo) eacute crescente com o aumento da distacircncia do ponto de falta agrave
barra Jaacute na barra de Paulo Afonso (3ordf zona de proteccedilatildeo) nos trecircs primeiros pontos
considerados eacute verificada uma reduccedilatildeo do erro agrave medida que o ponto de falta se distancia
da barra Nos trecircs uacuteltimos pontos quando o comprimento do trecho sem transposiccedilatildeo da
fase a eacute maior o erro cresce com o aumento da distacircncia do ponto de falta a barra
B) Linhas de Transmissatildeo de Circuito Duplo sem Transposiccedilatildeo
Os erros relativos para a corrente de falta na fase a do circuito 1 obtidos para a
linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta satildeo
apresentados na Tabela 38 Conforme esperado o erro apresentado para os valores de
corrente na fase em falta apresenta um comportamento crescente com o aumento da
distacircncia entre o ponto de falta e a barra de monitoramento para as trecircs zonas de proteccedilatildeo
Tabela 38 ndash Erros relativos para os valores obtidos para a corrente na linha de circuito duplo sem transposiccedilatildeo considerada como idealmente transposta
Barra de Leitura Paulo Afonso Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
76 82 88 94 101 103
Barra de Leitura Milagres Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
122 125 129 133 137 139
Barra de Leitura Banabuiu Local da Falta P1 P2 P3 P4 P5 P6
Erro Relativo () para a Corrente de Falta
84 99 113 125 135 142
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
fonte senoidal com impedacircncias de sequecircncia positiva negativa e zero preacute-
definidas
54
Referecircncias Bibliograacuteficas
BERMAN A XU W Analysis of Faulted Power Systems By Phase Coordinates IEEE
Transactions on Power Delivery Vol 13 April 1998
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Winston 1984
DOMMEL H W ldquoDigital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single and
Multi-Phase Networksrdquo IEEE Transactions Power Apparatus and Systems vol PAS-
88 pp 388-399 April 1969
DOMMEL H W EMTP Theory Book Microtran Power System Analysis Corporation
Vancouver B C Canada May 1996
FLORES A V E Anaacutelise da Correta Modelagem da Transmissatildeo em Linhas de
Transmissatildeo no Domiacutenio da Frequecircncia Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade
Estadual de Campinas Campinas SP novembro 2006
FORTESCUE C L ldquoMethod of Simmetrical Coordinates Applied to the Solution of
Polyphase Networksrdquo Trans AIEE Vol 37 p 1027 1918
GAJBHIYE R K KULKARNI P SOMAN S A ldquoGeneric Fault Analysis in Phase
Coordinatesrdquo In International Conference on Power Systems Kathmandu Nepal Vol 2
No 114 p 593 November 2004
Referecircncias Bibliograacuteficas
55
GLOVER J D and SARMA M S Power Systems Analysis and Design Third Edition
BrooksCole 2002
KINDERMANN G Curto-Circuito 2 ed Porto Alegre Sagra Luzzatto 1997
LANCZOS C Applied Analysis Prentice-Hall New Jersey 1956
LEUVEN EMTP CENTER ATP minus Alternative Transients Program minus Rule Book
Heverlee Belgium July 1987
MEYER C D Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM Philadelphia 2000
MONTEIRO J S Caacutelculo dos Paracircmetros de Linhas de Transmissatildeo para Estudos de
Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da
Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
52
Capiacutetulo 4
Conclusotildees
Na graduaccedilatildeo de engenharia eleacutetrica eacute ensinada a anaacutelise convencional de curto-
circuito pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas mas natildeo eacute abordada a consideraccedilatildeo que
erros nos valores da corrente de falta podem decorrer das simplificaccedilotildees necessaacuterias para a
utilizaccedilatildeo deste meacutetodo Neste trabalho foi demonstrado que ao se considerar uma linha de
transmissatildeo como idealmente transposta para estudos de curto-circuito erros podem ser
observados nos valores obtidos para a corrente de falta
De acordo com as simulaccedilotildees realizadas em linhas de circuito simples e de circuito
duplo e a anaacutelise apresentada no Capiacutetulo 3 eacute mostrado que podem ser encontrados
resultados diferentes para os valores de corrente de curto-circuito obtidos no domiacutenio das
fases e os valores obtidos pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas A depender da
assimetria do sistema e do comprimento da linha o erro na corrente de falta pode
apresentar valores significativos Quanto maior for a distacircncia entre o gerador e o ponto de
falta maiores satildeo os erros observados
A comparaccedilatildeo dos valores obtidos para a corrente de curto-circuito na frequecircncia
fundamental mostra a influecircncia da transposiccedilatildeo da linha de transmissatildeo nos resultados
Para as linhas analisadas com transposiccedilatildeo em determinados pontos foi observado que o
valor do erro oscila variando de acordo com o nuacutemero de trechos de transposiccedilatildeo entre o
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
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de Campinas Campinas SP julho 2010
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Fiacutesica Satildeo Paulo 2006
Capiacutetulo 4 ndash Conclusotildees
53
gerador e o ponto de falta Apoacutes cada ciclo de transposiccedilatildeo completo compreendendo trecircs
trechos consecutivos o erro relativo diminui O erro eacute maior no iniacutecio ou no meio de cada
ciclo de transposiccedilatildeo Tambeacutem pode ser percebido que quanto maior eacute o cada trecho de
transposiccedilatildeo na linha de transmissatildeo maior eacute o erro observado pois maiores satildeo as
diferenccedilas nos valores dos paracircmetros em relaccedilatildeo a linha considerada no meacutetodo das
componentes simeacutetricas com transposiccedilatildeo ideal
Para as linhas de circuito simples ou circuito duplo sem transposiccedilatildeo foram
encontradas diferenccedilas maiores nos valores da corrente de falta obtidos pelo meacutetodo das
componentes de fase e pelo meacutetodo das componentes simeacutetricas Os erros relativos mais
significativos satildeo observados nas linhas sem transposiccedilatildeo sendo maiores para as linhas
mais longas A assimetria da disposiccedilatildeo dos condutores tambeacutem influencia no aumento do
erro apresentado
As simplificaccedilotildees utilizadas no meacutetodo convencional de anaacutelise de curto-circuito
satildeo vantajosas desde que seja enfatizado que as facilitaccedilotildees do meacutetodo das componentes
simeacutetricas podem causar erros nos valores obtidos para a corrente de falta Para os casos
onde estes erros satildeo elevados como em linhas longas ou sem transposiccedilatildeo a correta
representaccedilatildeo da transposiccedilatildeo das linhas eacute importante O meacutetodo das componentes de fase
permite a modelagem da linha com o tipo real de transposiccedilatildeo consentindo anaacutelises mais
precisas em estudos de curto-circuito
Os resultados desta dissertaccedilatildeo foram obtidos em regime permanente pela anaacutelise
de um sistema representado apenas pela linha trifaacutesica ligada a uma fonte de tensatildeo ideal
Como sugestotildees para trabalhos futuros as seguintes atividades podem ser desenvolvidas
1 Anaacutelise do erro no valor da corrente em estudos de transitoacuterios eletromagneacuteticos
atraveacutes de simulaccedilotildees na linha de transmissatildeo modelada no domiacutenio das fases e
considerada idealmente transposta uma vez que erros maiores podem ser
observados sendo verificada a importacircncia da representaccedilatildeo correta da
transposiccedilatildeo neste tipo de anaacutelise para diversas faixas de frequencia
2 Simulaccedilatildeo de curto-circuito envolvendo maacutequinas eleacutetricas de poacutelos salientes
permitindo verificar o impacto nos valores das correntes de falta no sistema quando
a geraccedilatildeo eacute devidamente representada por um sistema dinacircmico no lugar de uma
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definidas
54
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PB julho 2004
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FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
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de Campinas Campinas SP julho 2010
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54
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Fluxo de Potecircncia Considerando o Efeito de Outras Linhas Fisicamente Proacuteximas
Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande
PB julho 2004
MONTEIRO J S NEVES W L A SOUZA B A FERNANDES Jr D e
FERNANDES A B ldquoRepresentaccedilatildeo de Linhas de Transmissatildeo Mutuamente
Acopladas em Estudos de Fluxo de Potecircnciardquo Anais do IEEEPES TampD 2004 Latin
America Satildeo Paulo novembro 2004
STEVENSON Jr W D Elementos de Anaacutelise de Sistemas de Potecircncia 2ordf Ediccedilatildeo
McGraw-Hill Satildeo Paulo 1986
VIDIGAL R F Anaacutelise do Comportamento de uma Linha de um Pouco Mais de Meio
Comprimento de Onda sob Diferentes Condiccedilotildees de Operaccedilatildeo em Regime Permanente
e Durante a Manobra de Energizaccedilatildeo Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Estadual
de Campinas Campinas SP julho 2010
ZANETTA JR L C Fundamentos de Sistemas Eleacutetricos de Potecircncia Editora Livraria da