Teoria de colas Mgp Ing Grover Sánchez Eid 1 Análisis de Líneas de espera Contenido 1 Definiciones y aplicaciones del Análisis de Líneas de Espera. 2 Elementos y Sistemas de Líneas de Espera 3 Procesos estocásticos en L.E. 4 Modelos Analíticos 5 Modelos de Simulación 6 Costos en líneas de espera
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Teoria de colas
Mgp Ing Grover Sánchez Eid 1
Análisis deLíneas de espera
Contenido
1 Definiciones y aplicaciones del Análisis de Líneas de Espera.
2 Elementos y Sistemas de Líneas de Espera3 Procesos estocásticos en L.E.4 Modelos Analíticos5 Modelos de Simulación6 Costos en líneas de espera
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DefinicionesLínea de espera:Definición básica que identifica un proceso de flujo donde eventualmente puede existir retardo.
Teoría de colas:La disciplina fundamental que estudia el fenómeno de líneas de espera a través de modelos matemáticos.
Sistemas con retardo:Ámbito global de aplicación de la teoría de colas para el análisis de líneas de espera.
• Son frecuentes en nuestra vida cotidiana:– Los clientes en un Banco, en un Restaurante, al
matricular en la Universidad.– Los automóviles en una Gasolinera, los buses
en una Terminal, aviones para aterrizar en un Aeropuerto.
– Maquinas esperando reparación en un Taller, documentos para impresión en una Red, llamadas telefónicas esperando línea de Comunicación.
– Pacientes esperando cama para Hospitalización, automóviles esperando Parqueo.
Las colas…, líneas de espera
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• En general, a nadie le gusta esperar, cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar.
• El tiempo tiene un costo para el cliente y esperar en demasía es perjudicial.
• Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado para el administrador.
• Es necesario encontrar un balance adecuado entre los objetivos del Cliente y del Sistema.
Las colas…, líneas de espera
Teoría de colas• Una cola es una línea de espera, un flujo de una red
donde existe retardo en algún punto.
• La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares.
• Se basa en el análisis de un proceso que considera parámetros con variables estocásticas.
• El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada.
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Teoría de colas• Existen muchos sistemas de colas distintos, y no todos
pueden modelarse apropiadamente.
• Algunos modelos son muy especiales o resultan muy complejos de analizar.
• Otros sistemas se ajustan a modelos estándar más generales y permiten encontrar soluciones analíticas.
• La mayor parte se pueden tratar mejor a través de la simulación.
• Los procesos determinísticos se manejan también con la Teoría de redes.
Sistema de LE: modelo básico
• Un sistema de colas puede dividirse en tres componentes principales:
– Las unidades que llegan al sistema– La cola o línea de espera donde se
forman las unidades.– La instalación del servicio constituida
por servidores.
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FRONTERA DEL SISTEMA
UNIDAD DE SERVICIO
UNIDADES QUELLEGAN
ESQUEMA DEL SISTEMA BASICO DE LINEAS DE ESPERA
UNIDADES QUESALEN
COLA
Sistema de LE: modelo básico• Los clientes o llegadas pueden ser:
– Personas– Automóviles– Máquinas que requieren reparación– Documentos– Otros tipos de artículos
• Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio.
Unidades = u = k (número)
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Sistemas de LE: modelo básico
• Cuando el cliente llega y no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio.
• Si no, se une a la cola.• La cola no incluye a quien está recibiendo
el servicio.
Sistema de LE: modelo básico• Los servidores o instalación del
servicio puede ser:– Personas– Equipos, Maquinas o Instalaciones– Una combinación
• Los servidores se consideran en forma individual y se especifica el número.
SERVIDORES = s = Número
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Estructuras típicas de sistemas de LE: una línea, un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
Estructuras típicas de sistemas de LE: una línea, múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
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Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales
LlegadasSistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
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Proceso de LE: Las llegadas• Se considera que las llegadas son un proceso
aleatorio, vinculada a una función de probabilidad.• En general se considera un proceso independiente, es
decir que la ultima llegada no influye a la probabilidad de la siguiente llegada. Proceso Markoviano.
• El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas.
P(t) = Probabilidad que el tiempo sea t• El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable.• El número esperado de llegadas por unidad de tiempo
se llama tasa media de llegadas (λ): LambdaP(k) = Probabilidad que existan k llegadas
Proceso de LE: Las llegadas
• El tiempo esperado entre llegadas es 1/λ• Por ejemplo, si la tasa media de llegadas
es λ = 20 clientes por hora• Entonces el tiempo esperado entre
• Notación:– Pn : probabilidad de tener n clientes
en el sistema– P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un
cliente no espere en el sistema más de t horas
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Factor de utilización del sistema• Dada la tasa media de llegadas λ y la tasa
media de servicio μ, se define el factor de utilización del sistema ρ: rho.
• Generalmente se requiere que ρ < 1• Un factor ρ ≥ 1 implicaría la formación constante
de cola, con tendencia siempre creciente.• Su fórmula, con un servidor y con s servidores,
respectivamente, es:
μλρ
μλρ
s==
Factor de utilización del sistema -ejemplo
• Con base en los datos del ejemplo anterior, λ = 0.75, μ = 1
• El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es
ρ = λ/μ = 0.75/1 = 0.75 = 75%• Con dos servidores (s = 2):ρ = λ/sμ = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%
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Modelos de una cola y un servidor• M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y
tiempos de servicio exponenciales• M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio
• M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio
• M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio
Modelo M/M/12
1
(1 ) (1 )
( )1
( )(1 ) ( )
( ) ( )
0, 1
s q
s q
n nn s
t ts q
L L
W W
P P L n
P W t e P W t e
t
μ ρ μ ρ
λ λμ λ μ μ λ
λμ λ μ μ λρ ρ ρ
ρ
ρ
+
− − − −
= =− −
= =− −
= − > =
> = > =
≥ <
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Modelo M/M/1: ejemplo• Un lavado de autos puede atender uno cada 5
minutos y la tasa media de llegadas es de 9autos por hora
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1
• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema
Modelo M/M/1: ejemplo
17.0)60/30(
22.0)60/30(
32.0)3(25.0)1(
min1525.0)(
min2033.01
25.2)(
3
75.0129,12,9
)1(
)1(
1300
2
==>
==>
==>=−=
==−
=
==−
=
=−
==−
=
====
−−
−−
+
tq
ts
s
q
s
qs
eWP
eWP
LPP
hrsW
hrsW
clientesLclientesL
ρμ
ρμ
ρ
ρρρλμμ
λλμ
λμμλ
μλλ
ρμλ
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Modelo M/M/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.
• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1
• Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola
Modelo M/G/1
11
1)1(2
0
222
<=−=
=+=
−+
=+=
ρρρλμ
ρρσλρ
w
qqqs
qqs
PP
LWWW
LLL
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Modelo M/G/1: ejemplo• Un lavador de autos puede atender un auto
cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, σ = 2 min.
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1
• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio
Modelo M/G/1: ejemplo
75.025.01
min7.8145.0
min7.13228.01
31.1)1(2
06.275.31.1
0
222
===−=
===
==+=
=−+
=
=+=+=
ρρλ
μ
ρρσλ
ρ
w
qq
qs
q
qs
PP
hrsL
W
hrsWW
clientesL
clientesLL
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Modelo M/G/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.
• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga σ = 5 min
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1
• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un clientetenga que esperar por el servicio
Modelo M/D/1
1
1)1(2
2
<
=+=
−==
ρλμ
ρρλ
qqqs
qss
LWWW
LWL
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Modelo M/D/1: ejemplo• Un lavado de autos puede atender uno
cada 5 min.• La tasa media de llegadas es de 9
autos/hora.• Obtenga las medidas de desempeño
de acuerdo con el modelo M/D/1
Modelo M/D/1: ejemplo
min5.7125.0
min5.1221.01
125.1)1(2
875.12
===
==+=
=−
=
==
hrsL
W
hrsWW
clientesL
clientesWL
qq
qs
q
ss
λ
μ
ρρ
λ
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Modelo M/D/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio
80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.
• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1
Modelo M/Ek/12 ( 1)
2 (1 )1
11
s s q
qs q q
kL W Lk
LW W W
mediak
ρλρ
μ λρ
σ
+= =
−
= + =
<
=
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Modelo M/Ek/1: ejemplo
• Un lavado de autos puede atender un auto cada 5 min.
• La tasa media de llegadas es de 9autos/hora. Suponga σ = 3.5 min(aprox.)
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1
Modelo M/Ek/1: ejemplo
min25.111875.0
min25.162708.01
6875.1)1(2)1(
437.22
===
==+=
=−+
=
==
hrsL
W
hrsWW
clientesk
kL
clientesWL
qq
qs
q
ss
λ
μ
ρρ
λ
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Modelo M/Ek/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio
80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.
• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1
Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el cuadro ejemplo y ejercicio
M/Ek/1
M/D/1
M/G/1
M/M/1
WqLqWsLsModelo
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Modelos de varios servidores• M/M/s: s servidores con llegadas Poisson
y tiempos de servicio exponenciales• M/D/s: s servidores con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio
• M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio
M/M/s, una línea de espera
00
0
02
1
0
0
!1,
!
,!
1)()!1(
!!
1
Ps
ss
PknsiPss
P
knsiPn
PWW
LWLLP
ssL
nss
s
P
swsn
n
n
n
nqs
qqqs
s
q
s
n
ns
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=>=
≤=+=
=+=−−
=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
−
−
=∑
λμμρρ
ρμ
λμλ
λμλμρ
ρλμ
μρ
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M/M/s, una línea de espera
)46)(3(
34
2
2
4
2
3
ρρρρ
ρρ
+−−=
=−
=
=
q
q
L
sSi
L
sSi
Comparación resultados M/M/1 con M/M/2 Lavado de autos