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ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA - FACULTAD DE INGENIERA
REA DEPARTAMENTAL CONSTRUCCIONES
Carrera: INGENIERA CIVIL
Ctedra: ESTRUCTURAS III, IV y V Asignatura: Estructuras IV
E4
Anlisis Dinmico de Estructuras
Curso 2008 Elabor: Ing. Marcos De Virgiliis Rev: Fecha:
noviembre de 2007
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
1 INTRODUCCIN 1.1 GENERALIDADES
En este captulo de la asignatura analizaremos el comportamiento
de las estructuras sometidas a cargas dependientes del tiempo; es
decir, las solicitaciones no sern aplicadas en forma esttica sino
que nos interesar la distribucin en el tiempo de las acciones y de
los efectos dinmicos que stas producen en las estructuras.
Gran parte de las estructuras reales estn sometidas a distintos
tipos de acciones dinmicas como las derivadas de las actividades
humanas, los motores de maquinarias, el trnsito de vehculos, el
viento, el oleaje, los sismos, los choques o impactos, las
explosiones, etc. Estas acciones, cuya magnitud, posicin, direccin
y sentido pueden ser variables en el tiempo, provocan una respuesta
de la estructura tambin variable en el tiempo y que puede ocasionar
efectos de distinta importancia: desde vibraciones no perceptibles
por los sentidos hasta grandes desplazamientos, fisuras, ruidos
molestos, daos parciales o el colapso total de la estructura.
El anlisis dinmico se ocupa de establecer una relacin entre las
variables intervinientes en un sistema sometido a la accin de
cargas que varan con el tiempo, por ejemplo movimientos de vnculo y
fuerzas externas (causas); con desplazamientos y esfuerzos internos
(efectos).
Dos caractersticas esenciales distinguen al anlisis dinmico del
esttico: en primer lugar la variacin de las acciones con el tiempo
y en segundo lugar la aparicin de fuerzas de inercia en las
ecuaciones de equilibrio. Es decir, una estructura se encuentra
bajo una accin dinmica si la variacin de la carga en el tiempo es
tal que produce la aparicin de fuerzas de inercia de una magnitud
comparable a las fuerzas estticas. Por ejemplo, el desplazamiento
de vnculo en una estructura producido por la consolidacin del
terreno, si bien es variable en el tiempo, se produce a lo largo de
un tiempo suficientemente largo (meses o aos) que no provoca
efectos dinmicos (fuerzas de inercia) apreciables en la estructura,
por lo que se puede considerar como una accin esttica. En cambio,
el movimiento de las fundaciones de una estructura por la brusca
accin de un sismo podr provocar aceleraciones en la masa de la
estructura (fuerzas de inercia) comparables en mdulo a las fuerzas
estticas, caracterizando como dinmica dicha solicitacin.
Si bien el anlisis esttico se puede considerar como un caso
particular del anlisis dinmico, los mtodos de clculo difieren
sensiblemente, siendo el anlisis dinmico considerablemente ms
costoso. Por esto en la prctica, en el caso de estructuras de
comportamiento lineal, se procede a un anlisis esttico
(considerando las solicitaciones de fuerzas, desplazamiento de
vnculos y temperatura aplicados en forma esttica) y separadamente a
un anlisis dinmico (con las cargas dinmicas) para finalmente
superponer ambas soluciones. La complejidad de los clculos hace
imprescindible la aplicacin de la computadora en el anlisis
dinmico, an para la resolucin de estructuras de pocos grados de
libertad. El costo computacional es significativamente mayor que el
caso esttico.
Saberes previos:
Para poder abordar sin mayores dificultades los conceptos y
procedimientos contenidos en esta unidad temtica, son necesarios
conocimientos previos en:
Mtodos matriciales de clculo de estructuras.
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Anlisis matemtico: ecuaciones diferenciales. Clculo numrico.
Fsica: dinmica del cuerpo rgido.
1.2 VIBRACIONES
La aplicacin de cargas dinmicas sobre una estructura produce
como respuesta una vibracin, que es un movimiento cclico donde
existe una transferencia de energa cintica en energa potencial en
forma alternada. En las estructuras reales hay una disipacin de la
energa total del movimiento, por lo cual en un tiempo ms o menos
prolongado, la vibracin se detiene.
Podemos clasificar las vibraciones de distintas maneras segn las
variables intervinientes.
Si una estructura, despus de una perturbacin inicial, es dejada
vibrar libremente sin fuerzas externas que acten sobre ella, se
obtendr un movimiento vibratorio libre. Si, en cambio, existe una
fuerza externa que interviene en el movimiento, ste se denomina
forzado. El pndulo simple es un ejemplo de vibracin libre, mientras
que la accin de masas no balanceadas rotando (por Ej. un motor) es
un movimiento forzado.
Desde el punto de vista de la conservacin de la energa, si la
energa total del sistema no se disipa por fuerzas friccionales, la
vibracin ser no amortiguada y contina indefinidamente. Si, en
cambio, parte de la energa se pierde en cada ciclo (en calor o en
sonido) provocando una disminucin del movimiento, se trata de
vibraciones amortiguadas.
Cuando los elementos que componen una estructura (la masa, la
rigidez, etc.) tienen un comportamiento lineal y los
desplazamientos producidos son pequeos, se tendrn vibraciones
lineales. En el caso de existir un comportamiento no lineal en la
estructura las vibraciones sern no lineales. En este ltimo caso no
ser vlido el principio de superposicin de efectos.
Una distincin importante se debe hacer en cuanto a la variacin
de las acciones en el tiempo. Cuando esta variacin es conocida en
cada instante de tiempo, la respuesta del sistema estructural se
obtendr mediante un anlisis de tipo determinista y estar derivada
del proceso de clculo (por ejemplo cargas de motores). En el caso
que las cargas no sean conocidas exactamente, sino acotadas por
mtodos probabilsticos y estadsticos (el caso de viento y sismo por
ejemplo) se obtendrn como respuesta vibraciones aleatorias o no
deterministas y los efectos resultantes tambin tendrn carcter
estadstico.
En el siguiente cuadro se ordena la clasificacin propuesta:
Segn Clasificacin Caractersticas principales
Libre No actan causas externas. Debe existir una perturbacin
inicial para que exista movimiento. Fuerzas
Actuantes Forzada Acta una causa externa. No es necesaria una
perturbacin inicial para que exista movimiento.
No amortiguada La energa permanece constante. Conservacin de
la energa Amortiguada Hay una disipacin de energa en cada ciclo
del movimiento. Si la vibracin es libre, llega un momento en que se
detiene.
Lineal Es vlido el principio de superposicin de efectos. Es
posible calcular separadamente cargas estticas y dinmicas.
Comportamiento estructural
No lineal Los mtodos de clculo son ms complejos y la totalidad
de las cargas debe tenerse en cuenta en cada instante.
Determinista Se conoce en cada instante la variacin de la carga.
Se puede obtener la variacin de los efectos en cada instante. Tipo
de accin
Aleatoria La accin dinmica est dada por valores estadsticos y
los efectos en la estructura estarn acotados por valores
caractersticos.
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2 MODELIZACIN
La mayora de las estructuras reales presentan cierta complejidad
si se pretende realizar un modelo mecnico ajustado y con suficiente
detalle, por lo cual, para analizar estructuras desde el punto de
vista dinmico plantearemos modelos simplificados de tal forma que
justifiquen el alejamiento de la realidad por el beneficio en el
planteo, resolucin y manejo de datos numricos. Las caractersticas a
tener en cuenta en un modelo dinmico son la rigidez, la masa y el
amortiguamiento de la estructura.
La rigidez (k): es el mecanismo por el cual el sistema responde
con una fuerza proporcional al desplazamiento y en el cual se
almacena energa potencial.
La masa (m): este elemento del sistema vibratorio produce una
fuerza proporcional a la aceleracin y desde el punto de vista
energtico, almacena energa cintica.
El amortiguamiento (c): es un mecanismo disipador de energa ( en
calor o sonido) que responde con una fuerza opuesta al movimiento.
El amortiguamiento de tipo viscoso, que desarrolla una fuerza
proporcional a la velocidad (mecanismo de Newton) es el ms comn en
los modelos matemticos. Otro modelo de amortiguamiento es el de
tipo friccional (o de Coulomb), que proporciona una fuerza
constante opuesta al movimiento.
Si bien es deseable conocer los efectos en la estructura en
todas sus secciones y para cada instante de tiempo, en la prctica
resulta extremadamente laborioso, por lo que se analizan solamente
algunos puntos de la estructura (discretizacin espacial) y algunos
instantes de tiempo (discretizacin temporal). Las estructuras
reales presentan cierta continuidad y una distribucin ms o menos
compleja de su masa. Una forma de discretizar en el espacio es
suponer la masa concentrada en ciertos puntos de la estructura, de
manera de tener finitos puntos con masa asignada y no los infinitos
puntos de una distribucin continua en toda la estructura. De este
modo slo existirn fuerzas de inercia en las direcciones en que
estas masas concentradas puedan tener aceleracin, y el equilibrio
dinmico se limitar al anlisis de estas direcciones a las que se
denominan grados de libertad dinmicos.
En general se define grado de libertad de un sistema al nmero
mnimo de coordenadas independientes que permite determinar la
posicin de todas las partes de ese sistema. En el caso del problema
dinmico bastar conocer la respuesta de la estructura u(t) en los
grados de libertad dinmicos para poder determinar la solucin en
todos los puntos de la estructura. Se puede decir, entonces, que el
grado de libertad dinmico es aquella direccin en donde es posible
que se desarrollen fuerzas de inercia no despreciables cuando actan
cargas dinmicas.En el siguiente diagrama se presenta una secuencia
tpica del clculo dinmico.
Accin dinmica P(t)
Modelo dinmico E, J, A, L, c, m caractersticas mecnicas del
sistema
Resolucin desplazamiento u(t), velocidad, aceleracin
Respuesta del sistema esfuerzos M(t), N(t), Q(t), reacciones
R(t), etc.
Una vez obtenidos del anlisis dinmico los desplazamientos u(t),
el resto de los efectos se calcula en funcin de u por los mtodos
estticos conocidos, y sern variables con el tiempo.
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Ejemplo 1.1- Determinar el grado de libertad dinmico de las
siguientes estructuras planas.
u2 u3
m m u1 m m/2 m/2
estructura real modelo dinmico estructura real modelo
dinmico
Fig. 1.1 Fig.1.2 Fig.1.3 Fig.1.4
En el caso de la estructura de la Fig.1.1, que se ha
simplificado con una sola masa concentrada, los grados de libertad
corresponden con los del nudo libre, es decir, son dos
desplazamientos y una rotacin. Si se consideran despreciables las
deformaciones axiales (respecto de las flexionales), los
desplazamientos verticales, y por lo tanto las aceleraciones no
sern significativas en dicha direccin, y u2 no se considerar como
grado de libertad. En algunos casos tambin es posible despreciar la
inercia rotacional de la masa (que multiplicada por una aceleracin
angular produce un momento) por lo que u3 puede no considerarse un
grado de libertad. Entonces, el modelo dinmico puede consistir en
un sistema de un grado de libertad con las hiptesis propuestas,
significando que, de todas las fuerzas de inercia que pueden actuar
en la estructura, las correspondientes con la direccin u1 tienen
preponderancia y estarn en el orden de magnitud de las fuerzas
elsticas.
En la estructura de la Fig.1.3, que representa un prtico
doblemente empotrado, se ha supuesto concentrada toda la masa de la
estructura a nivel del dintel y en dos puntos. Si cada punto tiene
tres movimientos posibles, se tendrn entonces seis grados de
libertad. Es posible plantear hiptesis simplificativas como las
supuestas ms arriba, y llegar a un modelo de un grado de
libertad?
Problema 1.1- Determinar el grado de libertad dinmico de las
estructuras del ejercicio 1.1 considerando que se encuentran en el
espacio.
Problema 2.1- Determinar el grado de libertad dinmico de la
estructura espacial, explicando las hiptesis simplificativas en el
caso de proponerlas.
3 DELIMITACIONES
Excepto que se indique otra variante, es estas notas se
estudiarn estructuras de comportamiento lineal y con masas
discretas. El amortiguamiento a considerar ser de tipo proporcional
por su simple inclusin en el modelo matemtico.
Aunque la mayora de los desarrollos y ejemplos se presentan en
estructuras de barras en el plano, los conceptos y procedimientos
son trasladables a estructuras espaciales.
Los captulos siguientes describen los conceptos bsicos relativos
a la dinmica de estructuras que forman parte del contenido del
curso y tienen el carcter de gua de clase. Un estudio completo de
la temtica se puede seguir a partir de la bibliografa recomendada
en Cap. 4.
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2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
El modelo dinmico ms simple y con el que se pueden analizar gran
cantidad de estructuras reales, es el modelo de un grado de
libertad. La configuracin del sistema queda definida para cada
instante conociendo slo una coordenada.
Sea un sistema como el de la figura 2.1, donde se representan
los elementos caractersticos de un modelo dinmico de un grado de
libertad. El esquema muestra un bloque rgido que slo puede
deslizarse sin roce en la direccin horizontal, grado de libertad
del sistema. La rigidez se representa con un resorte de constante
k. La masa m se considera concentrada en el bloque y el
amortiguador tiene una constante c.
u(t) k fe P(t) fi P(t) c fa Fig. 2.1 Fig.2.2
En la figura 2.2 se presenta un diagrama de cuerpo libre, en
donde se indican las siguientes fuerzas: - fa: fuerza de
amortiguamiento. Es la fuerza opuesta al movimiento y proporcional
a la
velocidad. - fe: fuerza elstica. Es proporcional al
desplazamiento. - fi: fuerza de inercia, igual a la masa por la
aceleracin. - P(t): accin dinmica externa.
Aplicaremos el Teorema de los Trabajos Virtuales para cuerpos
rgidos con el objetivo de determinar la ecuacin de equilibrio
dinmico. El teorema dice: si a un cuerpo rgido que se halla bajo un
sistema de fuerzas en equilibrio, se le aplica un desplazamiento
virtual, el trabajo externo resultante es nulo. Aplicamos un
desplazamiento virtual :
fe fi P(t) Fig.2.3 fa
El trabajo externo estar dado por: ( ) 0=+= tPfafifeTe ( )( )
0=+ tPfafife
La ecuacin de equilibrio queda: ( )tPfefafi =++ al reemplazar
queda ( )tPukucum =++ &&& (2.1) que es la ecuacin de
equilibrio dinmico de un sistema de un grado de libertad. En este
caso el movimiento vibratorio es de tipo forzado con
amortiguamiento.
2.1 VIBRACIONES LIBRES
En este tipo de vibraciones no existen fuerzas exteriores
actuando sobre la estructura, es decir que no se agrega energa al
sistema. Para que este movimiento se produzca deben existir
condiciones iniciales no nulas (desplazamiento y/o velocidad
inicial).
m
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m
2.1.1 VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
Estas vibraciones se dan como respuesta a una perturbacin
inicial que la aparta de la posicin de equilibrio esttico y provoca
un movimiento en el que no actan fuerzas externas ni hay disipacin
de energa por lo que la amplitud del movimiento se mantiene
constante en el tiempo (es un sistema conservativo). La energa
inicial est compuesta por energa potencial (un desplazamiento
inicial) y/o por energa cintica (acumulada en la masa debido a una
velocidad inicial).
El estudio de este movimiento particular es relevante para
determinar caractersticas importantes en las estructuras como la
frecuencia natural y el periodo.
Sea un cuero de masa m que nicamente se puede deslizar en la
direccin u: u(t) fe k fi Fig. 2.4 Fig.2.5 En el diagrama de cuerpo
libre de la figura 2.5 se observan las fuerzas actuantes: las
fuerzas de inercia y las fuerzas elsticas. Planteando el TTV se
tiene la ecuacin de equilibrio dinmico:
0== fifeTe 0)( = fife y reemplazando por fi y fe
0=+ ukum && (2.2) Es una ecuacin diferencial lineal de
segundo orden, homognea y con coeficientes constantes y la solucin
es del tipo (ver Anexo 1) y corresponde con la ecuacin del
movimiento armnico simple:
( ) tsenututu nn
n 0
0 cos&+= (2.3)
siendo ( )00 uu = el desplazamiento inicial en t=0 y ( )00 uu
&& = la velocidad inicial en t=0. mk
n = se denomina la frecuencia natural de la estructura. Es la
frecuencia a la que vibra la estructura si no hay cargas externas
aplicadas. Se mide en [radianes/segundo].
El tiempo requerido para completar un ciclo del movimiento libre
no amortiguado se denomina perodo natural y es inversamente
proporcional a la frecuencia natural:
n
2T = [segundos] (2.4)
La frecuencia de oscilacin es el nmero de oscilaciones por
unidad de tiempo, es decir la inversa del perodo:
== 2T1f n [ciclos/seg] o [Hertz] (2.5)
Observacin: la frecuencia natural, como el perodo y la
frecuencia de oscilacin, dependen nicamente de las caractersticas
de la estructura (la rigidez y la masa) y no dependen de las
condiciones iniciales del movimiento.
La amplitud del movimiento es el mximo apartamiento desde su
posicin de equilibrio esttico. Se
mide en unidades de longitud. 2
020
+==
nmx
uuuA &
(2.6)
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depende de las condiciones iniciales.
En la siguiente figura se represente la grfica del movimiento
vibratorio libre sin amortiguamiento. Fig. 2.6.
Problema 2.1- Es posible hallar la ecuacin 2.2 si el modelo
dinmico de la figura 2.4 se desliza en direccin vertical actuando
la aceleracin de la gravedad? Justificar la respuesta.
Ejemplo 2.1- Dada la estructura de un tanque de reserva de agua
como se indica en la figura, calcular: a) la frecuencia natural y
el perodo b) si se aplica una velocidad inicial, hallar la
respuesta en desplazamiento y esfuerzos de corte y momento flector
en la base de la columna.
Datos: mL 0.15=
45.5 mJ = M 22000000 m
KNE =
msKNm2
70 = m L
msKNM2
260 = (tanque lleno con 100000 litros)
smu 2.00 =&
Hiptesis:
- No se tendr en cuenta en un primer anlisis la masa de la
columna. Solamente se considera la masa del tanque lleno
concentrada en un punto
- Se desprecia la deformacin axial de la columna y la inercia
rotacional del tanque.
Solucin:
con las hiptesis planteadas el modelo dinmico consistir en un
sistema de un grado de libertad, correspondiente con la direccin
horizontal.
U1
a) la rigidez en la direccin del grado de libertad mKN
LEJk 97783 3 ==
la frecuencia natural s
mKNs
mKN
Mk
n113.6
260
9778
2 ===
tiempo
u(t) T
Uo
Uo
Amplitud
.
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el perodo, de Ec. 2.4 s
s
T 02.1113.6
2 ==
la frecuencia en ciclos por segundo, de Ec.2.5 Hertzf 98.0= b)la
respuesta del sistema, de Ec.2.3 ( )tsentu 13.6033.0)( =
la amplitud del movimiento muA mx 033.0== el esfuerzo de corte
en la base )13.6(7.322)(3)( 3 tsentuL
EJtQ ==
el corte mximo KNQmx 7.322=
el momento flector en la base )13.6(4840)(3)( 2 tsentuLEJtM
==
el momento mximo KNM mx 4840=
Problema 2.2- Cambiar la solucin del ejemplo 2.1 si el tanque
estuviera vaco? Si cambia, en qu porcentaje? Justificar.
Problema 2.3- De qu manera se puede incluir la masa de la
columna en el ejemplo 2.1? Justificar la respuesta.
Problema 2.4- En el prtico triarticulado de la figura, calcular:
a)el perodo b) los esfuerzos internos en un movimiento libre
originado por un desplazamiento y una velocidad inicial.
Dastos: L=2.5 m Seccin : PNI 240
Masa distribuida por metro: mm
sKNm 115.02
=
Condiciones iniciales: mu 02.00 = y smu 10 =&
Hiptesis: rigidez axial infinita en barras y masas concentradas
en los nudos superiores extremos.
MODO DE VIBRACIN
Una estructura en movimiento libre sin amortiguamiento presenta
una forma caracterstica de vibrar en la cual toda la masa de la
misma se mueve con la misma frecuencia, adems de estar definida la
posicin relativa de todas las masas de la estructura.
En general existirn tantos modos de vibracin como grados de
libertad dinmicos tiene la estructura. En el caso de estructuras de
un grado de libertad, el modo de vibracin quedad definido por la
frecuencia natural (o el perodo) y por el desplazamiento relativo
de las masas, que al ser una sola se adopta unitario. Grficamente,
para el caso de una mnsula se representa el modo de vibracin (Modo
1).
U1=1
w1n
Modelo dinmico Modo de vibracin
2L
L
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Problema 2.5- Expresar el modo de vibracin de las estructura del
ejemplo 2.1 y del prtico del problema 2.4.
2.1.2 VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS
En las estructuras reales existen fuerzas de rozamiento interno
que se oponen al movimiento, provocando una disipacin de la energa
en cada ciclo de la vibracin y por lo tanto una disminucin de la
amplitud en el movimiento libre.
El amortiguamiento en las estructuras reales es difcil de medir
y se debe en general a un conjunto de causas. Por ejemplo: efectos
trmicos debido a las caractersticas cclicas de los esfuerzos
(traccin y compresin alternadas), friccin en las conexiones de las
estructuras de acero, la apertura y cierre de fisuras en las
estructuras de hormign armado, la friccin entre elementos de la
estructura y elementos no estructurales como mampostera y
cerramientos, la friccin entre los planos del material debidos a
una elasticidad no perfecta (se denomina amortiguamiento
estructural), etc.
Cuantificar cada una de estas causas en estructuras realaes es
prcticamente imposible y adaptar un modelo matemtico riguroso
presenta una elevada complejidad. Es por esto que usualmente se
adopta un mecanismo de amortiguamiento, de tipo viscoso, que
responde con una fuerza proporcional a la velocidad del movimiento
y supone englobar todos los mecanismos reales que disipan energa en
la estructura. La proporcionalidad est dada por el coeficiente de
amortiguamiento c, que se aproxima experimentalmente segn el tipo
de estructura y material que la constituye. Las unidades de c son
[Fuerza tiempo/distancia].
Analizaremos por lo tanto el caso de amortiguamiento viscoso que
produce una fuerza proporcional a la velocidad y desde el punto de
vista matemtico es simple su inclusin.
El modelo dinmico a utilizar para plantear la ecuacin de
equilibrio dinmico es el mismo que en el caso no amortiguado, slo
que se agrega el amortiguador: u(t) fe k fi
c fa Fig. 2.7 Fig.2.8
En el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.8 se observan las
fuerzas actuantes: las fuerzas de inercia, las fuerzas elsticas y
las fuerzas de amortiguamiento. Planteando el TTV para cuerpos
rgidos se tiene la ecuacin de equilibrio dinmico: 0== fefafiTe
0)( = fefafi y reemplazando por fi, fa y fe 0=++ ukucum
&&& (2.7)
Es una ecuacin diferencial de equilibrio dinmico de una
estructura de un grado de libertad en movimiento libre amortiguado.
La solucin de esta ecuacin es de la forma (ver Anexo 2): ( ) tsts
eAeAtu 21 21 += (2.8) donde A1 y A2 son constantes a determinar
segn las condiciones iniciales y s1,2 dependen del tipo de
amortiguamiento,
n2
2,1 1s
= (2.9)
con el valor ccc= denominado razn o factor de amortiguamiento
crtico. El amortiguamiento crtico
se define como nc mc 2= y es el amortiguamiento mnimo para que
la masa regrese a la posicin de equilibrio sin sobrepasarla.
m
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Segn el signo del radicando en Ec. (2.4) se tendrn distintos
tipos de movimiento:
1 - movimiento sub-amortiguado: 12 < 0. En este caso c <
cc , o
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DECREMENTO LOGARITMICO
Debido a la imposibilidad de acotar en forma analtica el valor
del amortiguamiento en las estructuras reales, se utiliza una
procedimiento experimental aplicado a modelos fsicos en laboratorio
y tambin en algunos casos a estructuras reales. El mtodo consiste
en provocar una vibracin en la estructura y medir la amplitud del
movimiento en dos ciclos cualesquiera (sucesivos o no), de manera
de estimar el factor de amortiguamiento.
El decremento logartmico se define como el logaritmo natural de
la relacin de dos amplitudes sucesivas en un movimiento libre
amortiguado. Sean t1 y t2 dos instantes cualesquiera separados un
ciclo; de la Ec. (2.10) se tiene:
( )( )
+
+
=+
+
20
20
10
10
2
1
02
01
cos
cos
tsenu
tue
tsenu
tue
tutu
dd
ud
t
dd
ud
t
nn
nn
&
&
y como t t T tdd
2 1 12= + = +
( ) ( ) ( )112 2 tsentsentsen ddd =+=
entonces ( ) dnd1n1tn
TTt2
1 ee
euu
+ ==
aplicando logaritmo 22
1
1
2ln
=== dnTuu
para pequeo amortiguamiento < < 1 se puede aproximar 2 En
el caso de estructuras con muy pequeo amortiguamiento, ser
conveniente la medicin de
amplitudes con una separacin de varios ciclos para poder
apreciar una diferencia significativa. Si las mediciones son
llevadas a cabo en instantes separados m ciclos, las expresiones
anteriores resultan:
( )mTm
m
m
dneuu
uu
uu
uu
uu
++==
14
3
3
2
2
1
1
1 ....
mTuu
dnm
=+11ln
2ln11
1
=
+muu
m
2 - movimiento con amortiguamiento crtico: 12 = 0. En este caso
c = cc , o =1, y las races s1,2 son iguales. En este movimiento la
estructura retorna a la
posicin de equilibrio esttico sin sobrepasarla, es decir, no es
un movimiento oscilatorio.
La respuesta del sistema est dada por:
( ) ( )[ ]tuuuetu ntn ++= 000 & (2.10) El amortiguamiento
crtico es el mnimo amortiguamiento requerido para obtener un
movimiento no oscilatorio.
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3 - movimiento sobre-amortiguado: 12 > 0. En este caso c >
cc , o >1, y las races s1,2 son ambas reales. En este movimiento
la estructura
retorna a la posicin de equilibrio esttico sin sobrepasarla y en
un tiempo mayor que en el caso del amortiguamiento crtico. No es
usual encontrar este tipo de amortiguamiento en las estructuras
civiles, aunque s son frecuentes en maquinarias, puertas con cierre
automtico o en puentes o estructuras bajo trnsito de vehculos
(trenes de alta velocidad, por ejemplo) donde amortiguar el
movimiento es prioritario para evitar problemas de resonancia.
En este caso las races de la ecuacin caracterstica sern:
n
22
n2
1
1s
1s
=
+=
y la solucin del movimiento:
( ) tsts eAeAtu 21 21 += con A 1 y A2 constantes dependientes de
las condiciones iniciales.
En el siguiente grfico se presentan los tipos de movimiento
amortiguado crtico y sobreamortiguamiento.
Ejemplo 2.2- Calcular el perodo de la estructura del Ejemplo 2.1
si se considera que tiene un factor de amortiguamiento de 0.2.
Datos: 2.0= Solucin: de la Ec. (2.13) == 21 nd TT 1 s El perodo
disminuy aproximadamente 2%.
Problema 2.6- Es posible que el movimiento con amortiguamiento
crtico supere la posicin de equilibrio esttico? Justificar la
respuesta.
Problema 2.7- Qu factor de amortiguamiento debera tener la
estructura del ejemplo 2.1 para que la frecuencia natural se
modifique en un 10%?
tiempo
u(t)
=1Uo
Uo.
>1
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Problema 2.8- El ensayo de una estructura de un grado de
libertad que vibra libremente, arroj el siguiente grfico de
respuesta. Aproximar el amortiguamiento de la estructura.
2.2 VIBRACIONES FORZADAS
El estudio de vibraciones libres tiene su importancia
fundamentalmente porque permite el conocimiento de caractersticas
dinmicas del sistema que resultan de utilidad en el anlisis de la
estructura bajo la accin de cargas dinmicas. Estas cargas
incorporan energa durante la vibracin y el movimiento vibratorio se
denomina forzado. La variacin en el tiempo de la accin se puede
deber a una o ms razones: variacin de magnitud, direccin, sentido o
punto de aplicacin. En cuanto al origen de la accin dinmica se
pueden mencionar las derivadas de las actividades humanas, como
maquinarias, vehculos, explosiones, etc., que en muchos casos es
conocida su variacin en cada instante de tiempo, dando al anlisis
un carcter determinista. Otras acciones tienen origen en fenmenos
naturales como el oleaje y el sismo, y en general son acotadas por
mtodos estadsticos, por lo que resulta un movimiento vibratorio de
tipo aleatorio o no-determinista.
Se presentan en adelante distintos tipos de acciones dinmicas y
los mtodos de resolucin usuales en cada caso. Las acciones a
considerar sern peridicas y no-peridicas, incluyendo la accin
ssmica. No se tendrn en cuenta las cargas estticas pues, como se
mencion al comienzo, por tratarse de estructuras de comportamiento
lineal, el anlisis esttico se puede realizar separado del dinmico y
superponer los efectos posteriormente.
2.2.1 CARGAS DE VARIACIN ARMNICA
Distintos tipos de acciones dinmicas pueden ser representados
matemticamente por cargas de variacin armnica, siendo su resolucin
elemental utilizada para abordar otras solicitaciones ms
complejas.
2.2.1.1 FUERZAS
La solicitacin peridica ms frecuente es la producida por masas
rotantes no balanceadas como por ejemplo los motores o sectores de
maquinarias.
La fuerza externa ser de la forma:
( ) tsenPtP = 0 con Po la amplitud y la frecuencia de la fuerza.
La ecuacin de equilibrio dinmico, de Ec. (1.2):
tsenPukucum =++ 0&&&
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tiempo
u(t)
t
P(t) 2/
Po
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MasterResaltado
MasterResaltado
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 14
SISTEMAS NO AMORTIGUADOS
Si no se tiene en cuenta el amortiguamiento, la ecuacin de
equilibrio es de tipo:
tsenPukum =+ 0&& y la solucin de esta ecuacin de segundo
orden incompleta no homognea estar dada por la suma de la solucin
homognea Ec.(2.1) ( ) tsenBtAtu nnh += cos ms la solucin particular
(ver Anexo 4) ( ) tsen
kP
tu
n
p
= 201
1
la solucin total queda: ( ) tsenkP
tBsentAtu
n
nn
++= 201
1cos
con A y B constantes a determinar segn las condiciones
iniciales. Finalmente,
( ) tsenkP
tsenkPu
tutu
n
n
n
n
nn
+
+= 2020001
1
1
cos&
se define n
= como la relacin entre la frecuencia de la fuerza externa y la
frecuencia natural de la estructura. La Ec. ( ) se reduce a:
( ) tsenkPtsen
kPututu n
nn
+
+= 20
200
0 11
1cos
& ( 2.16)
en donde los dos primeros trminos dependen de las condiciones
iniciales y la carga externa. A esta componente del movimiento se
lo denomina transitorio. El ltimo trmino constituye la parte
permanente del movimiento y contribuye con ste siempre y cuando
acte la carga. La parte transitoria vibra con la frecuencia natural
de la estructura y en los sistemas reales disminuye con el
amortiguamiento, prevaleciendo, con la frecuencia de la carga, la
parte permanente por lo que esta ltima presenta un mayor inters en
el anlisis. Se presenta la grfica del movimiento forzado no
amortiguado, donde se superpone la respuesta permanente para
comparar (esta ltima tiene la frecuencia de la fuerza externa):
tiempo
P(t)2/
tiempo
U(t)
Up
MasterResaltado
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 15
El valor kP
est0= es el desplazamiento producido por una fuerza Po aplicada
en forma esttica, y se
lo utiliza para relacionar los desplazamientos mximos estticos y
dinmicos, a travs del factor de
amplificacin del movimiento: ( )
est
mx tuM =
Que indica cunto mayor o menor es el desplazamiento del grado de
libertad si la carga est aplicada en forma dinmica (con una
variacin en el tiempo, es decir con una frecuencia no nula) o en
forma
esttica. El valor del factor de amplificacin vara con la relacin
de frecuencias: n
=
( )20
20
111
1
===kP
kP
tuMest
mx (2.16a)
si se considera el desplazamiento mximo en mdulo
se agregan barras de valor absoluto, quedando:
211=M
teniendo en cuenta que para valores de < 1 el desplazamiento
es positivo, por lo tanto tiene el mismo sentido que la fuerza
aplicada y se dice que el movimiento est en fase ; mientras que
para valores de > 1 el desplazamiento tiene signo negativo, en
sentido opuesto a la aplicacin de la carga y se dice que el
movimiento est fuera de fase o con fase de 180.
Del grfico anterior se puede observar lo siguiente:
- para valores de prximos a cero, la magnitud del desplazamiento
esttico y dinmico son similares (M 1). La frecuencia de la fuerza
externa es tan pequea que se aproxima a una carga esttica.
- En el caso de 1 el movimiento est fuera de fase y las
amplitudes de la accin dinmica son mayores a las estticas hasta 2=
, para luego disminuir y tender a cero para valores grandes de
(M0).
En la situacin de resonancia, la Ec. ( ) no est definida por lo
que se buscar el lmite cuando n .Si reagrupamos los trminos en Ec.
( )
( )
++= 2000
1
cos
n
nn
nn
tsentsenkPtsenututu
& (2.17)
y calculamos el lmite de u(t) para n (aplicando la regla de
LHospital), se tiene la respuesta en la condicin de resonancia:
( ) tsentkPtsenututu nnn
nn ++= 2cos
000
&
00,5
11,5
22,5
33,5
4
0 1 2 3 4
M
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 16
observndose que el ltimo trmino de la solucin se incrementa
linealmente con el tiempo. Una grfica de este movimiento particular
(para condiciones iniciales nulas) es la siguiente:
Como se mencion anteriormente, en las estructuras reales la
amplitud no tiende a infinito en el tiempo, pues adems de existir
algn tipo de amortiguamiento, hay un lmite en el comportamiento
lineal del material y la geometra (incluye una disipacin adicional
de energa, dao de magnitud variable y el colapso) que produce un
cambio en las condiciones de equilibrio planteadas al comienzo de
este anlisis.
SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO
Al incluir el amortiguamiento se agrega en la ecuacin de
equilibrio el trmino correspondiente a la fuerza proporcional a la
velocidad. De la Ec. ()
tsenPukucum =++ 0&&& y la solucin de esta ecuacin de
segundo orden completa no homognea estar dada por la suma de la
solucin homognea Ec.( )
( ) ( )tsenBtAetu ddth n += cos con A y B dependientes de las
condiciones iniciales, ms la solucin particular (ver Anexo 5)
( ) tsenDtCtu p += cos con C y D constantes dependientes de la
carga y el amortiguamiento
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tkPtsenkPtu p cos21 221 1 22202222
0 +
++
= (2.18)
La respuesta total contendr una parte transitoria (la solucin de
la homognea) cuyo efecto disminuye en el tiempo debido al
amortiguamiento, ms una parte permanente (la solucin particular)
que permanece mientras existe la carga externa y vibra con la misma
frecuencia que sta.
( ) ( ) tDtsenCtsenBtAetu ddth n coscos +++= respuesta
transitoria respuesta permanente
En las figuras siguientes se grafica la solucin homognea,
particular y total del movimiento (la solucin total est superpuesta
a la homognea para comparar)
tiempo
U(t)
tiempo
Uh(t)
MasterResaltado
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 17
El desplazamiento mximo de la respuesta permanente ser: ( ) 22
DCtumx += Que reemplazando y agrupando valores queda:
( ) ( ) ( )2220 211
+=
kPtumx ( 2.19)
Debido al amortiguamiento habr un ngulo de fase entre la carga y
el movimiento, indicado por
211
12tantan =
= CD
(2.20)
la respuesta permanente se puede expresar a partir de Ec. ( ) y
Ec. ( )
( ) ( ) ( ) ( ) += tsenkPtu p
222
0
21
1 (2.21)
de Ec. ( ) y Ec. ( ) , el factor de amplificacin del movimiento
con amortiguamiento queda:
( )( ) ( )222 21
1
+==
est
mx tuM (2.22)
observando que depende del amortiguamiento y de la relacin de
frecuencias. Si el amortiguamiento es nulo se obtiene la Ec.
(2.16a). Los grficos siguientes representan la variacin del factor
de amplificacin y del ngulo de fase, con la relacin de frecuencias
para distintos valores de amortiguamiento.
tiempo
Up(t)
tiempo
U(t)
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3
M0,01
0,1
0,3
0,6
12
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 18
Del anlisis de los grficos se puede observar lo siguiente:
- para valores de prximos a cero, la magnitud del desplazamiento
esttico y dinmico son similares (M 1). La frecuencia de la fuerza
externa es tan pequea que se aproxima a una carga esttica y el
amortiguamiento casi no incide, por lo que la rigidez de la
estructura ser determinante en el desplazamiento. El movimiento est
en fase con la carga.
kPu estmx 0=
- En el caso de >>1 las amplitudes de la accin dinmica
disminuyen y la respuesta de la estructura depende fundamentalmente
de la masa. El movimiento est fuera de fase con un ngulo de fase
prximo a 180.
mP
mk
kPu nestestmx 002
2
21 ===
Si se analiza la respuesta de la estructura en la situacin de
resonancia, cuando n (sin tener en cuenta la respuesta transitoria
para simplificar) se tiene:
( )
+= ttsentekPtu ndd
tn
cos
1cos
21
20
donde la envolvente de la respuesta es exponencial (comparar con
el movimiento sin amortiguamiento) y
para pequeos valores de amortiguamiento se puede expresar ( ) (
) tekPtu n
tn cos1
210
grficamente:
0
90
180
0 1 2 3
0,010,1
0,3
0,61
2
tiempo
U(t)
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 19
A medida que aumenta t el valor de la respuesta tiende a
2est
mxu = .
TRASMISIN DE LA CARGA A LOS VNCULOS
La fuerza trasmitida a los vnculos de una estructura bajo cargas
dinmicas estar compuesta por la fuerza elstica y la fuerza de
amortiguamiento.
( ) ( )tuctkuffP aeT &+=+= si se considera la respuesta
permanente del movimiento de Ec. ( )
( ) ( ) ( ) ( ) += tsenkPtu p
222
0
21
1
( ) ( ) ( ) ( ) += tkPtu p cos
21
1222
0&
el mdulo de la fuerza trasmitida ( )( ) ( )( )22 tuctkuPT
&+= operando con Ec. ( ) Ec. ( ) y Ec. ( ), resulta
( ) ( ) 2222220 211
ck
kPPT +
+=
nmc 2= y mk
n =2 entonces la fuerza trasmitida a los vnculos ( ) ( ) 222220
4121
1
++
= PPT
La relacin entre la mxima fuerza
trasmitida y la fuerza armnica aplicada
en la estructura se denomina
trasmisibilidad de fuerza PT
( ) ( )22222
0 21
41
++==
PPT Tp
y depende del amortiguamiento y de la
relacin de frecuencias. En el grfico se
puede observar:
- para valores de prximos a cero, la trasmisibilidad de fuerza
es igual a la unidad, es decir, la fuerza externa Po se trasmite en
la misma magnitud a los vnculos, como si se aplicara en forma
esttica. El amortiguamiento no incide.
- En el caso de < 2 la fuerza trasmitida disminuye al
aumentar el amortiguamiento. - En = 2 la trasmisibilidad es
nuevamente unitaria ( TPP =0 ) y no depende del amortiguamiento. -
Para valores de > 2 , la fuerza trasmitida a los vnculos es
siempre menor a la carga externa y es mayor cuanto ms grande es el
amortiguamiento.
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3
T p =0,01
0,1
0,2
0,4
12
2
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-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 20
- Se observa que un valor alto de amortiguamiento disminuye la
fuerza trasmitida para frecuencias bajas de la carga externa, pero
incrementa la fuerza para frecuencias altas. Esto requiere un
estudio de las acciones de mquinas cuya frecuencia es variable
durante el arranque por un tiempo prolongado.
2.2.1.2 DESPLAZAMIENTO DE VNCULO IMPUESTO
Se analizar una solicitacin armnica producida por un
desplazamiento de vnculo en funcin del tiempo. Ejemplos de este
tipo de carga se presentan en estructuras cuyas fundaciones son
afectadas por el paso de vehculos (como trenes y subterrneos) y
tambin el propio vehculo si se considera rodando sobre una
superficie ondulada como en el esquema de la figura.
U(t) k c movimiento del vehculo
El desplazamiento de vnculo ( ) tsenyty = 0 tiene una variacin
en el tiempo como se indica en el grfico siguiente.
Las fuerzas elsticas en la estructura son proporcionales al
desplazamiento relativo u-y (en el esquema de la figura es el
alargamiento neto o el acortamiento neto del resorte). Las fuerzas
de amortiguamiento a su vez son proporcionales a la velocidad
relativa yu && , mientras que las fuerzas de inercia son
proporcionales a la aceleracin absoluta. Como no existen fuerzas
exteriores actuando sobre el sistema, la ecuacin de equilibrio
dinmico queda de la forma:
( ) ( ) 0=++ yukyucum &&&& reagrupando y
reemplazando por y
tyctsenykyckykuucum cos00 +=+=++ &&&& el ltimo
miembro de la ecuacin se puede expresar como una carga armnica,
( ) =++ tsenAkuucum &&& con ( )220 ckyA += y
=
kc 1tan
si se reemplaza en la Ec. ( ) el valor de A por Po, se tiene la
respuesta de la estructura al desplazamiento de vnculo armnico.
c
t
Y(t)
Yo
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-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 21
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
++= tsenk
ckytu p
222
220
21
1
como nmc 2= y mk
n =2
entonces ( ) ( ) ( ) ( )
++= tsenyu t
222
22
021
41
el mximo desplazamiento de la estructura respecto del mximo
desplazamiento impuesto del vnculo se denomina trasmisibilidad de
desplazamiento, y resulta:
( ) ( )22222
0 21
41
++==
yuT mxd que tiene la misma forma que la Ec. ( )
de trasmisibilidad de fuerzas y por lo tanto tambin una
representacin grfica similar.
2.2.2 CARGAS DE VARIACIN PERIDICA EN GENERAL
Las cargas peridicas son aquellas que se repiten en un intervalo
de tiempo determinado denominado perodo de la carga. Ejemplos de
acciones dinmicas que se pueden aproximar como peridicas son el
funcionamiento de maquinarias, el oleaje sobre estructuras offshore
y el viento en mstiles y estructuras esbeltas.
P(t)
t
To To To
Una funcin peridica P(t) de perodo To puede ser expresada a
travs de las series de Fourier como la sumatoria de funciones
armnicas:
( ) ( ) ( ) =
=++=
110 cos
nn
nn tnsenbtnaatP
con la frecuencia de la carga 0
2T =
el valor de los coeficientes ( )dttPT
aTo
=00
01
( ) ( )dttntPT
aTo
n =00
cos2 .............3,2,1=n
MasterResaltado
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 22
( ) ( )dttnsentPT
bTo
n =00
2 .............3,2,1=n
en estructuras de comportamiento lineal, la respuesta final ser
la superposicin de las respuestas de cada trmino de la serie de
Fourier. De esta manera la ecuacin de equilibrio ser:
( ) ( )tnsenbtnaaukucumn n
nn ++=++ =
=1 10 cos2
&&&
el segundo miembro de la ecuacin es una suma de funciones
armnicas y por el principio de superposicin la solucin particular
ser la suma de las soluciones particulares de cada trmino (no se
considera por simplicidad la respuesta transitoria).
El primer trmino representa una fuerza constante
2aukucum 0=++ &&&
con la solucin particular ( )k2
atu 0p = Los trminos restantes corresponden a fuerzas
armnicas
( )tnaukucum n cos=++ &&&
con solucin particular ( ) ( ) ( )n222222n
p tncosn4n1
ka
tu
+
=
y finalmente ( )tnsenbukucum n =++ &&&
con solucin particular ( ) ( ) ( )n222222n
p tnsenn4n1
kb
tu
+
=
de esta forma la solucin particular queda:
( ) ( ) ( )
( ) ( )n222222n
n222222
n0
p
tnsen1n n4n1
kb
tncos1n n4n1
ka
2atu
= +
+
= +
+=
Para obtener la solucin completa se debe agregar la solucin
homognea e introducir las condiciones iniciales (rgimen
transitorio).
Cuando la fuerza peridica externa tiene una forma irregular o se
conoce en forma experimental a travs de tablas o grficos se puede
utilizar el mtodo de la integracin de Fourier con procedimientos
numricos.
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 23
P(t)
0 t
P1 P2 P3 PN-1 PN
=N t
Sean P1, P2, P3, ....PN los valores conocidos de la fuerza P
para N puntos equidistantes dentro de un perodo , los valores de
los coeficientes sern:
==N
1ii0 PN
2a iN
1iin
tn2cosPN2a =
=
iN1i
intn2senP
N2b =
=
la respuesta permanente se obtiene con la Ec. ( ) donde la
relacin de frecuencias es n
2=
2.2.3 CARGAS DE VARIACIN ARBITRARIA
Existen muchas ocasiones en la prctica en las cuales las
acciones dinmicas no responden a una variacin armnica, ni siquiera
peridica, sino que la fuerza actuante puede tener una magnitud y
una duracin variable cualquiera en el tiempo. Ejemplos de acciones
de variacin arbitraria son los choques, el sismo o la onda de
presin debida a una explosin.
Los mtodos de clculo para hallar la respuesta de una estructura
a cargas de variacin arbitraria difieren de los vistos
anteriormente, avanzando en generalidad. En esta seccin se analizar
el mtodo de la integral de convolucin o integral de Duhamel.
2.2.3.1 IMPULSO INTEGRAL DE CONVOLUCIN
La forma ms simple de carga de variacin cualquiera es la de un
impulso, que es una fuerza de gran magnitud en un intervalo muy
corto de tiempo. Una fuerza arbitraria ser considerada una sucesin
de impulsos de duracin infinitesimal y la respuesta total ser la
superposicin de la respuesta de cada impulso.
De la dinmica del cuerpo rgido, recordamos que el impulso queda
determinado por el cambio en la cantidad de movimiento del sistema,
causado por tal impulso.
Entonces el impulso I
12 umumtPI && == con 2um & : cantidad de movimiento
del sistema despus de aplicar el impulso
1um & : cantidad de movimiento del sistema antes de aplicar
el impulso
t1 t2
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MasterResaltado
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 24
en general dtPItt
t= +
y el impulso unitario esta dado por 10
=== + dtPdtPlmI tttt Si bien el impulso unitario no tiene
significado fsico (pues la fuerza debera tender hacia infinito
cuando el tiempo tiende hacia cero), ser de utilidad en el
desarrollo del siguiente anlisis.
Analizaremos la respuesta de un sistema amortiguado de un grado
de libertad a la accin de un impulso unitario en el tiempo t=0. El
impulso provoca un movimiento libre amortiguado (limitaremos el
anlisis al movimiento tipo sub-amortiguado).
La ecuacin de equilibrio es, de Ec.( ): 0=++ ukucum
&&&
cuya solucin, de Ec.( ) ( )
++= tsenuutuetu d
d
nd
tn 000 cos &
En los grficos siguientes se observa la accin y la
respuesta:
Si el desplazamiento y velocidad iniciales son nulos en el
instante inmediato anterior a la aplicacin del impulso y
denominamos a =0tu& y +=0tu& la velocidad antes y despus de
aplicar el impulso, siempre en el tiempo t=0.
El impulso unitario aplicado 1000 === + == umumumI tt
&&& De donde se pueden obtener las condiciones
iniciales del movimiento libre sub-amortiguado:
( ) 000 == =tuu ( ) muu t1
00 == =&& y reemplazando en Ec. ( ) queda
( ) ( ) tsenmetgtu d
d
tn
==
llamando g(t) a la funcin respuesta del impulso unitario.
Si el impulso no es unitario, sino de magnitud I, la velocidad
inicial luego del impulso ser
mIu =0& y la respuesta ser: ( ) ( )tgItsenm
eItu dd
tn ==
Adems, si en lugar de aplicar el impulso en el tiempo t=0, se
aplica I en un instante de tiempo , y suponiendo que el
desplazamiento es nulo en ese instante, la respuesta tendr una
traslacin en el tiempo
( ) ( ) ( )( )
==
tsenmeItgItu d
d
tn t
grficamente:
P(t)
t t
u(t)
P(t)
t t
u(t)
P
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 25
Ahora consideremos una fuerza cualquiera a la que igualamos a
una sucesin de impulsos. El valor
de la fuerza P() producir un impulso en el tiempo igual a I=P()
y la respuesta a este impulso, segn Ec. ( ) es
( ) ( ) ( ) = tgPtu la respuesta total estar dada por la suma de
todas las respuestas a impulsos elementales actuando en distintos
instantes de tiempo (se aplica superposicin)
en el lmite cuando 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
dtgtPtu
tgPtut =
0
reemplazando por Ec. ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] dtsenePmtu dtt
d
n =01
que es la respuesta de una estructuta de un grado de libertad,
sub-amortiguada, bajo la accin de una fuerza arbitraria. La
integral se llama integral de convolucin o integral de Duhamel, y
se aplica a cualquier carga en todo sistema de comportamiento
lineal. Se observa que esta solucin no tiene en cuenta las
condiciones iniciales (antes de aplicar cada impulso las
condiciones iniciales son nulas).
La secuencia de clculo se representa grficamente, donde se
observa primeramente la descomposicin de la accin dinmica en
impulsos de duracin infinitesimal, el clculo de la respuesta a cada
uno de esos impulsos y finalmente la respuesta total como
superposicin de las respuestas anteriores.
En los casos en que la fuerza tiene una expresin sencilla se
podr integrar la Ec. (2.30) por mtodos analticos y obtener la
integral exacta, de otra forma se deber integrar a travs de mtodos
numricos.
P()
u1(t) t
t
t
uk(t)
(t) ........
........
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 26
Si el sistema vibratorio es no amortiguado, la Ec. (2.30)
queda:
( ) ( ) ( ) dtsenPmtu nt
n= 01
Ejemplo:
Analizaremos una carga constante en el tiempo y aplicada en
forma instantnea en una estructura de un grado de libertad sin
amortiguamiento.
De Ec. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tnn
nt
nt
mPdtsenP
mtu 02
00
cos1 == ( ) [ ] ( )t
mPt
mPtu n
nn
n cos1cos0cos 2
02
0 ==
la respuesta es una funcin armnica de amplitud constante, por la
ausencia de amortiguamiento, de valor
(para =t ) ( )kPtumx 0
2= Se observa que el desplazamiento mximo al aplicar una fuerza
en forma instantnea es el doble que
el mismo efecto al aplicarla en forma esttica, oscilando la
estructura respecto de una nueva posicin de equilibrio esttico,
como se observa en la figura.
2.2.3.2 CARGAS DE CORTA DURACIN - ESPECTROS DE RESPUESTA
En la seccin anterior se analizaron cargas dinmicas de variacin
arbitraria en el tiempo a travs de la integral de Duhamel. Estas
cargas se consideraban actuando durante todo el movimiento
vibratorio.
Ahora analizaremos aquellas cargas que tienen una duracin
definida y pequea en el tiempo, a las que se denominan pulsos.
Ejemplos tpicos de estas acciones se presentan en las siguientes
figuras, con una duracin de la carga de t1 segundos.
pulso rectangular pulso triangular pulso senoidal
P(t)
t
P(t)
Po
u(t) 2Po/k
Po/k
0 t
P(t)
t t1
P(t)
t1
P(t)
t1 t t
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-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 27
La respuesta a estas acciones puede hallarse utilizando la
integral de convolucin utilizando superposicin de funciones P(t).
Por ejemplo en el caso del pulso rectangular de duracin t1:
La caracterstica de la respuesta a estas acciones es que est
compuesta por dos fases: una que corresponde con el movimiento
forzado, mientras dura la aplicacin del pulso (to, t1) y una
segunda fase de movimiento libre cuyas condiciones iniciales son
las que tiene la estructura en el instante en que deja de aplicarse
el pulso (t1). La respuesta a un pulso determinado depender slo de
la relacin entre el tiempo de duracin de la carga y el periodo
natural de la estructura (u =f (t1/T))
Los espectros de respuesta son grficos que muestran la mxima
respuesta, a una carga dinmica dada, de un sistema de un grado de
libertad (mximo desplazamiento, velocidad, aceleracin) para cada
valor del perodo (o la frecuencia natural) del sistema. En el caso
de cargas de corta duracin, el mximo desplazamiento ser el mayor
que se produzca en ambas fases del movimiento, forzada o libre.
Los espectros de respuesta dependen de las caractersticas
propias del sistema (perodo, amortiguamiento) y del tipo de fuerza
aplicada (intensidad y duracin) y tienen aplicacin principalmente
en el caso de acciones ssmicas y otro tipo de solicitaciones cuya
magnitud y distribucin en el tiempo no se corresponda con
expresiones matemticas sencillas.
Los espectros de respuesta tpicos representan la relacin ( )
=
Ttftu
mxest
1
t1: duracin de la carga
T: periodo natural de la estructura
u/est: factor de amplificacin Ejemplos de espectros de respuesta
para carga tipo pulso rectangular y senoidal se presentan a
continuacin.
Pulso rectangular: =+00Pkuum &&
1
1
tttt
>
Pulso senoidal:
=+
0
10 T
tsenPkuum
&& 1
1
tttt
>
t
P(t)
t t1
P(t)
=
P(t)
t1 t
+ t1 t1
Po Po
-Po
t
P(t)
t1 00,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4
t1/T
u / e
st
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 28
Si la duracin de la aplicacin de la carga (t1) es menor que
aproximadamente la mitad del periodo, es decir t1
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 29
0=++ ukucum T &&& ( ) ( ) 0=+++ ukucuum g
&&&&& ( )tpumukucum efg ==++
&&&&& ( )
( )tpef es la carga efectiva aplicada en la estructura a causa
de un movimiento de su base. La Ec. ( ) indica que un movimiento en
la base de aceleracin ( )tug&& es equivalente a aplicar una
fuerza en la estructura de valor ( ) ( )tumtp gef &&= .
El signo negativo es indistinto ya que la accin ssmica puede
tener cualquier sentido alternndose en el tiempo.
Dividiendo Ec. ( ) por la masa, queda
gnn uuuu &&&&& =++ 22 que es otra forma de
expresar la ecuacin de equilibrio dinmico de un sistema de un grado
de libertad bajo la aceleracin del suelo.
2.3 MTODOS DE RESOLUCIN
2.3.1 CLCULO DE LA FRECUENCIA NATURAL - MTODO DE RAYLEIGH
Es un mtodo aproximado para hallar la frecuencia natural de una
estructura en base al principio de conservacin de la energa. En una
estructura en donde no existen cargas exteriores ni amortiguamiento
(movimiento libre no amortiguado), la energa total permanecer
constante. Si se adopta un modo de vibracin (es necesario para el
planteo energtico del mtodo) para una estructura de un grado de
libertad, en movimiento libre no amortiguado, por ejemplo:
( ) tAsentu n= La velocidad ser: ( ) tAtu nn cos=& La energa
potencial: ( ) tsenkAkutV n222 2
121 ==
La energa potencial mxima: 221 kAVmx =
La energa cintica: ( ) tmAumtT nn 2222 cos21
21 == &
La energa cintica mxima: 2221
nmx mAT = En estas condiciones para dos instantes cualquiera se
tiene:
T 1 + V 1 = T 2 + V 2 = cte. T: energa cintica
ug
pef
=
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-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 30
V: energa potencial elstica.
Si denominamos 1 a la posicin de equilibrio esttico de la masa y
2 a la posicin de mximo apartamiento de 1:
221 21
nmx mATT == V1 = 0
T2 = 0 22 k21 AVV mx ==
Por lo tanto se tiene:
222
21
21 kAmA n =
obtenindose la frecuencia natural de la estructura mk=
expresin ya conocida, a la que se haba arribado anteriormente.
Este mtodo presentado con una estructura simple, presenta ventajas
en sistemas de varios grados de libertad y en estructuras con masa
distribuida (con infinitos grados de libertad).
2.3.2 SOLUCIN DE LA EC. DE EQUILIBRIO DINMICO POR MTODOS
NUMRICOS
En los casos en que la fuerza externa aplicada en la estructura
tiene una variacin compleja o no hay linealidad en alguna
componente de la estructura, no es posible hallar la solucin exacta
de la ecuacin diferencial de equilibrio dinmico, y sta debe ser
integrada en forma numrica.
El problema numrico est en la clasificacin de problema de valor
inicial (PVI), pues se trata de integrar en el tiempo una ecuacin
diferencial de segundo orden contando con las condiciones iniciales
del problema que permiten iniciar el clculo (desplazamiento y
velocidad en el tiempo inicial).
La variable continua tiempo es discretizada en pasos, de manera
que la fuerza exterior se expresar como un conjunto de valores
correspondientes con cada tiempo del nuevo dominio discreto. Del
mismo modo, la respuesta de la estructura (solucin de la
integracin) estar dada slo en los puntos del dominio (en lugar de
obtener u(t) ser ui)
Si se adopta un paso de tiempo ii ttt = +1 La ecuacin de
equilibrio del movimiento quedar:
iiii pkuucum =++ &&& Como en todo procedimiento
numrico, debe controlarse:
la convergencia, tal que a medida que el paso de tiempo sea
menor, la solucin numrica tiende a la solucin exacta.
La estabilidad, de modo que la solucin no se aparte de la exacta
por la acumulacin de errores.
Si bien existe una gran variedad de mtodos de resolucin numrica
del problema dinmico, mencionaremos como ejemplos:
1) resolucin como sistema de ecuaciones de primer orden:
consiste en reemplazar la ecuacin diferencial de segundo orden
por un sistema de dos ecuaciones de primer orden y resolverlas
simultneamente.
Sea iiii pkuucum =++ &&& Si uz &= uz
&&& =
MasterResaltado
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 31
Quedando el sistema
==
ii
iiii
zuczkupz
&&
con las condiciones iniciales ( )( )
====00
0
0
tuztuu
&
El sistema se puede resolver con distinto mtodos como los del
tipo de Euler o Runge Kutta.
2) resolucin por el mtodo de diferencias finitas: se trata de
reemplazar la derivada primera y segunda de u por una aproximacin
en diferencias finitas.
Si se utilizan diferencias centradas:
tuuu iii
= +2
11& ( )2 112t
uuuu iiii += +&&
reemplazando en Ec. ( )
( ) iiiiiii pku
tuu
ct
uuum =+
++ ++
22 11
211
de esta ltima ecuacin es posible despejar 1+iu en forma explcita
en funcin de los parmetros en un paso de tiempo anterior, por lo
que recibe el nombre de mtodo explcito. Sin embargo, estos mtodos,
que no requieren la resolucin de un sistema de ecuaciones, tienen
condicionamientos en cuanto a la estabilidad, debiendo cumplirse
que el paso de tiempo est relacionado con el periodo de la
estructura en:
Tt 1
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 32
3 ESTRUCTURAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Cuando un sistema requiere mas de una coordenada para describir
el movimiento se trata de un sistema de varios grados de libertad.
En general un sistema de n grados de libertad requiere de n
coordenadas independientes para determinar su movimiento.
Los grados de libertad de un sistema se determinan por el nmero
de masas multiplicado por los desplazamientos posibles de cada
masa.
3.1 ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINMICO
El anlisis realizado para el sistema de un grado de libertad es
trasladable a sistemas de mltiples grados de libertad. Existir una
ecuacin diferencial del movimiento para cada grado de libertad. Si
cada ecuacin involucra a mas de una coordenada se dice que es un
sistema acoplado, en cambio si cada ecuacin contiene solo una
coordenada se trata de un sistema desacoplado.
Veamos un sistema de dos grados de libertad como el
siguiente.
u1 u2
k1 k2
m1 P1(t) m2 P2(t)
c1 c2
a partir del diagrama de cuerpo libre para cada grado de
libertad planteamos las ecuaciones de movimiento
u1 u2
P1(t) P2(t)
k1u1 k2(u2-u1)
c1 u1 m1 c2 (u2-u1) m2
( ) ( )22212221222
1221212212111
Pukukucucum
Pukukkucuccum
=++
=++++
&&&&
&&&& (3.1)
en la ecuacin correspondiente con la coordenada u1 aparece
involucrada la coordenada u2, de manera que se trata de un sistema
acoplado.
Si expresamos (3.1) en forma matricial:
pukucum =++ &&&
con
=2
1m00m
m matriz masa
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ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 33
+=22
221ccccc
c matriz amortiguamiento
+=22
221kkkkk
k matriz rigidez
y
=2
1uu
u
=2
1uu&&&u
=
2
1uu&&&&&&u
=
2
1PP
p
son los vectores desplazamiento, velocidad, aceleracin y cargas
exteriores.
El acoplamiento del sistema se advierte en las matrices k, m y
c. Para que exista desacoplamiento total las matrices deben ser
diagonales de manera de tener ecuaciones que contengan una sola
coordenada. En este ejemplo la matriz m diagonal significa que el
sistema es desacoplado dinmicamente. Las matrices k y c no
diagonales indican que hay acoplamiento elstico y cinemtico
respectivamente.
En general es posible encontrar un sistema de coordenadas en el
cual cada ecuacin contenga slo una coordenada. Estas coordenadas se
denominan principales. De esta forma cada ecuacin se soluciona
independientemente de las otras y la solucin total del movimiento
ser la combinacin de las soluciones para cada coordenada.
Analizaremos primeramente un sistema de dos grados de libertad
para luego generalizarlo a n grados de libertad.
3.2 VIBRACIONES LIBRES 3.2.1 FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE
VIBRACIN
Sean dos masas mi conectadas por barras de rigidez ki
m2 u2
k2
m1 u1
k1
Las ecuaciones de equilibrio dinmico para cada coordenada
( )0ukukum
0ukukkum
221222
2212111
=+
=++
&&
&&
en forma matricial
0ukum =+ && (3.2) Una solucin posible esta dada por
( ) ( )( ) ( )
+=+=tsenAtutsenAtu
n22
n11
en forma matricial ( ) ( ) += tsent nAu (esta solucin supone que
las dos masas se mueven con la misma frecuencia y ngulo de fase
pero
distinta amplitud)
MasterResaltado
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ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 34
al derivar y reemplazar en(3.2)
( ) ( ) += tcost nn Au& ( ) ( ) ( )ttsent 2nn2n uAu
&&&& =+= ( ) 0umk = 2n (3.3) se obtiene la ecuacin
caracterstica del sistema. Este sistema tiene una solucin trivial
con u1= u2 =0,
y una no trivial cuando el determinante es nulo.
De esta forma 0mk = 2n
0m00m
kkkkk
2
12n
22
221 =
+
( ) 0
mkkkmkk
2n222
22
n121 =+
( ) ( ){ } 0kmkmkkmm 12n122214n21 =+++ al resolver el
determinante queda un polinomio de grado dos en wn2, cuyas races,
llamadas
autovalores, sern wn12 y wn2 2 y las races reales y positivas de
stas son las frecuencias naturales del sistema: wn1 y wn2. Estas
frecuencias son distintas en general y la menor frecuencia se
denomina principal.
Sustituyendo cada frecuencia en (3.3) obtenemos un sistema de
dos ecuaciones homogneo por lo cual los valores de las incgnitas
son expresados en funcin de un valor arbitrario de una de
ellas.
Para el caso de la frecuencia natural wn1 tendremos
( )( ) 0umkuk 0ukumkk 2221n22
2212
1n21
=+=+
las soluciones para este sistema son infinitas mantenindose
siempre una relacin entre u1 y u2 que
estar dada por: 2
21n2
2
2
12
1n21
1
2mk
kk
mkkuu
=+=
valores de u1 y u2 forman los denominados autovectores y se
adopta la siguiente notacin, donde el segundo subndice indica la
frecuencia:
212
111uu
==
para la frecuencia w1 el autovector
=21
111
r El mismo procedimiento realizado para la frecuencia wn1 se
sigue para la segunda frecuencia,
obtenindose:
222
121uu
==
con
=22
122
r
De manera que para cada frecuencia natural (autovalores) existir
un autovector asociado que representa los desplazamientos mximos
relativos en cada coordenada cuando el sistema vibra de una
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ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 35
forma sincrnica con esa frecuencia. Esta forma particular de
vibracin del sistema en el cual todas los grados de libertad vibran
en forma sincrnica con una frecuencia dada se denomina modo de
vibracin.
En forma grfica:
11 12
21 22
modo 1 modo 2
Existirn tantos modos de vibracin como grados de libertad tiene
el sistema y el movimiento en general ser una superposicin de todos
los modos por lo tanto no armnico.
La matriz modal resulta de ordenar los vectores columna de cada
modo.
[ ]212221
1211 =
=
El primer modo de vibracin es el que corresponde a la frecuencia
natural ms baja y se denomina modo fundamental (todas las masas
estn en fase) y los siguientes se denominan primer, segundo, etc.
armnicos. (el movimiento de las masas esta fuera de fase).
3.2.2 COORDENADAS PRINCIPALES
Una importante propiedad que verifican los modos de vibracin es
la ortogonalidad.
Sean dos modos i y j cualesquiera de un sistema de n grados de
libertad. Segn (3.3) se cumple para cada modo:
ii2in = km (3.4)
donde el primer miembro de(3.4) representa la fuerza de inercia
aplicada en cada masa.
1i f1i 1j f1j
2i f2i 2j f2j
modo i modo j
Por la ley de Betti, se cumple:
jTii
Tj ff =
reemplazando de (3.4)
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ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 36
jTi
2nii
Tj
2nj = mm
( ) 0iTj2ni2nj = m como en general 2nj
2ni entonces se obtiene la condicin de ortogonalidad
0iTj = m para i j (3.5)
Si premultiplicamos (3.4) por Tj i
Tji
Tj
2in = km
si aplicamos (3.5) 0iTj = k para i j (3.6)
Las ecuaciones (3.5) y (3.6) indican que los vectores modales
son ortogonales por lo que son independientes y forman una base de
un sistema de coordenadas n-dimensional. De esta forma cualquier
vector en este espacio puede ser expresado como combinacin lineal
de los vectores modales.
=
=n
1iiiy u (3.7)
u2 12 22
u1 = 11 x Y1 12 x Y2
2221122
2121111
yyuyyu
+=+=
en forma matricial yu = (3.8) representa un cambio de
coordenadas a travs de la matriz modal. El vector desplazamiento
de
cada masa en las coordenadas originales (u) es expresado como
combinacin lineal de un nuevo sistema de coordenadas (y) a travs de
los coeficientes de la matriz modal.
Cuando i=j las ecuaciones (3.5) y (3.6) sern distintas de cero y
constituyen las llamadas matriz masa principal y matriz rigidez
principal dadas por,
iTi
iTi
==
kKn
mMn (3.9)
Estas matrices son diagonales por lo tanto no existir
acoplamiento en este nuevo sistema de coordenadas lo que permite
resolver las ecuaciones (3.2) en forma independiente para cada
coordenada. Estas coordenadas se denominan principales.
-
ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 37
Entonces, dado un sistema de varios grados de libertad que se
encuentre acoplado en forma dinmica o elstica en sus coordenadas
originales, es posible encontrar otro sistema de coordenadas donde
cada ecuacin sea independiente. Esta transformacin se logra por
medio de la matriz modal.
Aplicaremos la transformacin mencionada al problema anterior de
dos grados de libertad. Inicialmente, el planteo de las
ecuaciones:
0ukum =+ && si reemplazamos yu = yu && = yu
&&&& = 0ykym =+ && premultiplicamos por T
0kym =+ yTT && de (3.9) 0ykyMn =+ && queda de esta
forma un sistema de ecuaciones independientes en Y
0yy
K00K
yy
M00M
2
1
2n
1n
2
1
2n
1n =
+
&&&&
que se pueden resolver en forma independiente para cada modo de
vibracin, como sistemas de un grado de libertad como los ya
analizados, siendo las soluciones:
( )( )22n22
11n11tsenAytsenAy
+=+=
A y dependen de las condiciones iniciales que deben
transformarse a coordenadas principales, ( ) ( )00 uy = 1
( ) ( )00 uy && = 1 Una vez obtenidas las soluciones en
coordenadas principales, para conocer los desplazamientos
reales de cada masa se debe aplicar la transformacin (3.8)
entonces
yu = se tienen los desplazamientos reales superponiendo los
desplazamientos de cada modo (mtodo de
superposicin modal).
2221212
2121111yyuyyu
+=+=
3.2.3 - MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
Si bien el amortiguamiento en las estructuras en general es muy
pequeo y de difcil determinacin, existen casos como los prximos a
la resonancia en los cuales el amortiguamiento tiene gran
importancia. La ecuacin diferencial de equilibrio dinmico para un
sistema de varios grados de libertad en movimiento libre
amortiguado es, en expresin matricial: 0ukucum =++
&&&
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ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 38
donde
=2221
1211cccc
c es la matriz de amortiguamiento
La transformacin (3.8) que convierte en diagonales la matriz
masa y la matriz rigidez, no
transforma en general a la matriz amortiguamiento en diagonal,
es decir, no desacopla al sistema cinemticamente.
Para simplificar el problema se asignar a cada modo un
amortiguamiento y se construye una matriz Cn diagonal sin necesidad
de hallar la matriz c
ii
i
cr
ii M2
CCC
i== (para cada modo)
=222
111M20
0M2
Cn
Las ecuaciones de movimiento en coordenadas principales son
0yKnyCnyMn =++ &&& y se resuelven en forma
independiente para cada modo como sistemas de un grado de libertad.
Una vez obtenidas las soluciones en cada modo se aplica la
transformacin (3.8) obtenindose los desplazamientos reales de cada
masa en las coordenadas originales.
para cada modo ( ) ( )iditii tseneAty nii += con Ai y i
dependientes de las condiciones iniciales ( ) ( )i01ii0 uy = ( ) (
)i01ii0 uy && = luego ( ) ( )tt yu =
3.3 VIBRACIONES FORZADAS 3.3.1 FUERZAS
Si en un sistema vibratorio de varios grados de libertad acta
una fuerza externa, las ecuaciones de
equilibrio sern: pukucum =++ &&& (3.10) un conjunto
de ecuaciones diferenciales lineales no homogneas acopladas.
Aplicamos la transformacin yu = y premultiplicamos por T
pykycym =++ TTTT &&& PnyKnyCnyMn =++ &&&
se obtiene as un sistema de ecuaciones desacoplado. Pn es el vector
carga exterior en coordenadas principales.
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ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 39
Las ecuaciones se resuelven en forma independiente para cada
modo en coordenadas principales y luego