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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Per,
DECANA DE AMRICA)FACULTAD DE QUMICA E INGENIERA QUMICA
ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA QUMICADEPARTAMENTO
ACADMICO DE ANLISIS Y DISEO DE PROCESOS
ANLISIS NUMRICO
Sistemas de Ecuaciones Algebraicas LinealesIng. CIP Jorge Luis
Crdenas Ruiz
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Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales* Un ingeniero
supervisa la produccin de tres tipos de automviles. Se requieren
tres clases de materiales - metal, plstico y caucho - para la
produccin. La cantidad necesaria para producir cada automvil es
de:Si se dispone de un total de 106 toneladas de metal, 2,17
toneladas de plstico y 8,2 toneladas de caucho diariamente, cuntos
automviles se pueden producir por da? Se desea hallar los voltajes
en los nodos a ,b y c de una red elctrica conectada en tres
terminales con voltajes conocidos. Se obtuvieron las tres
ecuaciones siguientes:(ea - 20)/2 + (ea - eb)/4 + (ea - ec)/3 =
0(eb - ea)/4 + (eb - 0)/3 + (eb - ec)/5 = 0(ec - 5)/3 + (ec - ea)/3
+ (ec - eb)/3 = 0Hallar ea, eb y ec voltaje, en voltios.Un arreglo
de tres resortes en serie cuando se comprimen con una fuerza F de 2
000 kg. En el equilibrio, se pueden desarrollar las ecuaciones de
equilibrio de fuerzas, definiendo las interrelaciones entre
resortes:k2(x2 x1) = k1x1Donde las k son las constantesk3(x3 x2) =
k2(x2 x1)del resorte. Si de k1, k2, k3 son de:F = k3(x3 x2)150, 50,
75, respectivamente,Calcule las x.
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Pasos para una simulacinMODELO
MATEMTICOALGORITMOPROGRAMACINOPERACININTERPRETACIN DE
RESULTADOSREALIDAD
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Bases para el estudio de un sistemaSISTEMAS DE
ECUACIONESALGEBRAICAS LINEALESECUACIONES DE BALANCELEYES DE LA
CONSERVACINMASA, ENERGA, CANTIDAD DE MOVIMIENTO, ETC.MASA, ENERGA,
CANTIDAD DE MOVIMIENTO, ETC.
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Hay un nuevo caso de determinacin de valores x1, x2, , xn que
satisfacen simultneamente un conjunto de ecuaciones
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Tales sistemas pueden ser lineales. La forma general de las
ecuaciones algebraicas lineales es
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Dos tipos de sistemas que pueden ser modelados usando ecuaciones
algebraicas lineales: a) sistemas de variable englobada que
involucran componentes finitos acoplados; b) El sistema de variable
distribuido que involucra un continuo
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Una matriz
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Matriz identidadMatriz tridiagonalMatriz simtrica
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Producto de dos matrices
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Tres paracaidistas en cada libre mientras estn conectados con
cuerdas de masa despreciable.Diagrama de cuerpo libre para cada uno
de los tres paracaidistas en cada libre .
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a = 8,594 1 m/s2T = 34,411 8 NR = 36,764 7 N
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Matriz inversa
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Representacin de ecuaciones algebraicas lineales en forma
matricial[Interacciones]{respuesta} = {estmulo}
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{Respuesta} = [interacciones]-1 {estmulo}
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Mtodo de Gauss-Seidel
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Criterio de convergenciaCuando la matriz del SEAL es
diagonalmente dominante, es decir,El mtodo de Gauss-Seidel
converge.En caso de no cumplir este criterio, el mtodo an converge
pero muy lentamente, por lo que se debe emplear una tcnica de
sobrerrelajacin (overrelaxing method) para acelerar la velocidad de
convergencia.
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Ilustracin de a) convergencia y b) divergencia del mtodo de
Gauss-Seidel. Note que las mismas funciones son graficadas en ambos
casos (u: 11x1 + 13 x2 = 286; v: 11x1 - 9x2 = 99). As el orden en
el que las ecuaciones se implementan dicta si el clculo
converge.
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CONCLUSIONESEl mtodo de inversin matricial es recomendable para
SEAL de hasta de 50x500, ya que el error de redondeo crece en cada
etapa de clculo.
El mtodo de Gauss-Seidel puede manejar SEAL de hasta 1000x1000
con la ventaja de que no se ve afectado por el nmero de iteraciones
ya que el error de redondeo no lo afecta por el criterio de
detencin, basado en el nmero de cifras significativo.