An Introduction to Efimov Effect

Ειςαγωγι ςτο Φαινόμενο Efimov

Λάμπροσ Λάμπρου

1110 2007 00093

2010-2011

Εργαςία ςτα πλαίςια του μαθήματοσ «Μαθηματική Φυςική»

Ειςαγωγι

-Τι είναι το φαινόμενο Efimov?

Ζςτω ςφςτθμα 3 ταυτοτικϊν μποηονίων. Αν:

αλλθλεπιδροφν με δυναμικό μικρισ εμβζλειασ (ςυγκεκριμζνα, δυναμικό που πζφτει ταχφτερα από 1/𝑟2),

βρίςκονται ςε κατάςταςθ μθδενικισ ςχετικισ ςτροφορμισ,

θ αλλθλεπίδραςθ του ςυςτιματοσ 2 ςωμάτων βρίςκεται ςε ςυντονιςμό ( 𝛼 → ∞) (δθλαδι θ ενζργεια ςφνδεςισ τουσ είναι μθδενικι και θ δζςμια κατάςταςθ οριακά εξαφανίηεται),

τότε ζχουμε εμφάνιςθ άπειρων δζςμιων καταςτάςεων για το ςφςτθμα των 3 ςωμάτων, που εμφανίηουν γεωμετρικό scaling!

Γενικά: ΟΧΙ απαραίτθτα ταυτοτικά ςωμάτια 3 τυχαία ςωμάτια

(Διατφπωςθ Efimov)

Ειςαγωγι

-Τι κα παρουςιάςω: Απόδειξθ τθσ φπαρξθσ του φαινομζνου για το απλοποιθμζνο ςφςτθμα:

𝑚1 = 𝑚2 ≫ 𝑚3

«Διαχωρίςιμο» ελκτικό δυναμικό αλλθλεπίδραςθσ: 𝑉 = −λ g⟩⟨g , λ > 0

Το ςφςτθμα αυτό βοθκά διότι:

Μετριάηει τθν τεχνικι πολυπλοκότθτα του προβλιματοσ 3 ςωμάτων

Διατθρεί τθ φυςικι του προβλιματοσ

Ειςαγωγι

Η πορεία που κα ακολουκιςουμε:

Περίλθψθ τθσ κεωρίασ ςκζδαςθσ (ανάλυςθ μερικϊν κυμάτων, κεωρία ενεργοφ εμβζλειασ + μικουσ ςκζδαςθσ)

Πρόβλθμα 2 ςωμάτων με διαχωρίςιμο δυναμικό

Πρόβλθμα 2 ςωμάτων με δυναμικό 1/𝑟2

Περίλθψθ τθσ προςζγγιςθσ Born-Oppenheimer

Πρόβλθμα 3 ςωμάτων (χριςθ όλων των προθγοφμενων ςυμπεραςμάτων για τθν τελικι εξαγωγι του Efimov effect)

Θεωρία Σκζδαςθσ

• Προςπίπτουςα Δζςμθ: 𝜓1 𝑥 = 𝑁 𝑒𝑖𝑘∙𝑥 (1) Ιδιοκατάςταςθ τθσ ελεφκερθσ Χαμιλτονιανισ:

𝛨𝜊 𝜓 = 𝛦|𝜓⟩

• Σκεδαηόμενθ Δζςμθ: 𝜓2 𝑥 Ιδιοκατάςταςθ τθσ ολικισ Χαμιλτονιανισ:

𝛨𝜊 + V 𝜓 = 𝛦|𝜓⟩


Πϊσ κα προςδιορίςουμε τθν κατάςταςθ 𝜓2?

𝐻𝑜 − 𝐸 𝜓 = −𝑉 𝜓 𝜒ώ𝜌𝜊𝜎 𝜃 𝜍 𝜔𝜈

𝛻2 + 𝑘2 𝜓 𝑥

= 2𝑚 𝑑3𝑥′ ⟨𝑥 |𝑉|𝑥 ′⟩𝜓(𝑥 ′)

όπου: 𝑘2 = 2𝑚𝐸

• Ζςτω 𝐺 𝑥 , 𝑥 ′ : θ ςυνάρτθςθ Green τθσ εξίςωςθσ Helmholtz


Τότε:

𝜓 𝑥 = 𝑁 𝑒𝑖𝑘∙𝑥 + 𝑑3𝑥′ 𝐺 𝑥 , 𝑥 ′ 𝑑3𝑥′′ 𝑥 ′ 𝑉 𝑥 ′′ 𝜓 𝑥 ′′

Για απλοποίθςθ τθσ μορφισ κεωροφμε τοπικό δυναμικό:

⟨𝑥 |𝑉|𝑥 ′⟩ = 𝑉(𝑥 ) 𝛿 3 (𝑥 − 𝑥 ′)

Οπότε: 𝜓 𝑥 = 𝑁 𝑒𝑖𝑘∙𝑥 + 𝑑3𝑥′ 𝐺 𝑥 , 𝑥 ′ 𝑉(𝑥 ′)𝜓 𝑥 ′

• Συνάρτθςθ Green για τθν εξίςωςθ Helmholtz:

𝐺 ± 𝑥 , 𝑥 ′ = −1

4휋

𝑒±𝑖𝑘 𝑥 −𝑥 ′

𝑥 − 𝑥 ′


• Πρζπει να λφςουμε τθν ολοκλθρωτικι εξίςωςθ!

• Προςζγγιςθ: Μασ ενδιαφζρει θ κυματοςυνάρτθςθ ςε αποςτάςεισ πολφ μεγαλφτερεσ του εφρουσ του δυναμικοφ!

-Θζτω: 𝑥 = 𝑟, 𝑥 ′ = 𝑟′ -Προςζγγιςθ: 𝑟 ≫ 𝑟′

𝑥 − 𝑥 ′ = 𝑟 1 − 𝑟 ∙𝑥 ′

𝑟+ 𝑂

𝑟′

𝑟

2

→ 𝑟 − 𝑟 ∙ 𝑥 ′

Τότε: 𝜓 𝑥 → 𝑁 𝑒𝑖𝑘∙𝑥 +𝑒±𝑖𝑘𝑟

𝑟𝑓 𝑘′, 𝑘 (2)


• Επομζνωσ: Τελικι κυματοςυν.= επίπ. κυμ.+ ςφαιρικό κφμα

Ειςερχόμενο αν 𝐺 = 𝐺−

Εξερχόμενο αν 𝐺 = 𝐺+

Επιλέγουμε το εξερχόμενο για φυςικούσ λόγουσ!

Στόχοσ


Διαφορικι Ενεργόσ Διατομι: 𝑑휎

𝑑Ω𝑑Ω =

=# 휎𝜔휇. 휋휊𝜐 휎휅휀𝛿𝛼휁휊휈𝜏𝛼휄 휎휀 휎𝜏휀휌휀𝛼 𝛾𝜔휈휄𝛼 𝑑Ω ςτη μονάδα χρόνου

# προςπ. ςωμ. που διέρχονται μοναδιαίασ επιφάνεασ ςτη μονάδα χρόνου

=𝑟2 𝑗 𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡 𝑑Ω

𝑗 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑= 𝑓 𝑘, 𝑘′ 𝑑Ω

• Όταν το δυναμικό είναι ςφαιρικά ςυμμετρικό

𝑓 𝑘, 𝑘′ = 𝑓(𝑘, 휃), όπου 휃 θ γωνία ωσ προσ τθν

διεφκυνςθ τθσ προςπίπτουςασ δζςμθσ


• Η 𝜓2 είναι λφςθ τθσ ςφαιρικισ εξίςωςθσ Schrodinger

(𝛻2+(𝑘2 − 2𝑚𝑉))𝜓2 = 0 όπου: 𝑉(𝑟 > 𝑟𝑉) → 0, αν 𝑟𝑉: εμβζλεια του V Άρα: (𝛻2+𝑘2)𝜓2 = 0 για 𝑟 > 𝑟𝑉

𝜓2

𝑟>𝑟𝑉 𝐴𝑙𝑗𝑙 𝑘𝑟 + 𝐵𝑙𝑛𝑙 𝑘𝑟 𝑃𝑙(휃)

∞

𝑙=0

• Αρχικι κυματοςυνάρτθςθ:

𝜓1 = 𝛮 𝑒𝑖𝑘𝑧 = 𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑗𝑙 𝑘𝑟 𝑃𝑙 cos 휃

∞

𝑙=0

Διατιρθςθ ςτροφορμισ


• Από τισ παραπάνω εκφράςεισ, τθ ςχζςθ (2) και τισ αςυμπτωτικζσ εκφράςεισ:

𝑗𝑙 𝑘𝑟𝑘𝑟≫1 1

𝑘𝑟sin 𝑘𝑟 −

𝑙휋

2

𝐴𝑙𝑗𝑙 𝑘𝑟 + 𝐵𝑙𝑛𝑙 𝑘𝑟𝑘𝑟≫1 𝐴𝑙

2 + 𝐵𝑙2

12

𝑘𝑟sin 𝑘𝑟 −

𝑙휋

2+ 𝛿𝑙

Προκφπτει:

𝑓 휃 = 2𝑙 + 1

𝑘 𝑒𝑖𝛿𝑙 sin 𝛿𝑙 𝑃𝑙 cos 휃

∞

𝑙=0

Κακορίηεται από το V !!


• Θεωρία Ενεργοφ Εμβζλειασ

-S κατάςταςθ, ενζργεια 𝐸 =𝑘1

2

2𝑚, δυναμικό V:

𝑑2𝑢1

𝑑𝑟2+ 𝑘1

2𝑢1 − 2𝑚𝑉𝑢1 = 0 (3)


2

2𝑚, δυναμικό V:

𝑑2𝑢2

𝑑𝑟2+ 𝑘2

2𝑢2 − 2𝑚𝑉𝑢2 = 0 (4)

Όπου: 𝑢𝑖 𝑟 = 𝑟𝑅𝑖 𝑟 , με ςυνοριακζσ ςυνκικεσ: 𝑢𝑖 𝑟 = 0 = 0


• Πολλαπλαςιάηουμε τθν (3) με 𝑢2 και τθν (4) με 𝑢1, τισ αφαιροφμε και ολοκλθρϊνουμε, οπότε:

𝑢2

𝑑𝑢1

𝑑𝑟− 𝑢1

𝑑𝑢2

𝑑𝑟 0

𝑅= 𝑘2

2 − 𝑘12 𝑢1𝑢2𝑑𝑟

𝑅

0

(5)



2

2𝑚, δυναμικό V=0:

𝑑2𝑣1

𝑑𝑟2+ 𝑘1

2𝑣1 = 0


2

2𝑚, δυναμικό V=0:

𝑑2𝑣2

𝑑𝑟2+ 𝑘2

2𝑣2 = 0

• Ιςχφει και πάλι:

𝑣2

𝑑𝑣1

𝑑𝑟− 𝑣1

𝑑𝑣2

𝑑𝑟 0

𝑅= 𝑘2

2 − 𝑘12 𝑣1𝑣2𝑑𝑟

𝑅

0

(6)

Θεωρία Σκζδαςθσ • Αφαιρϊντασ τισ (5) και (6) και με τθν παρατιρθςθ ότι

𝑢𝑖 𝑟 > 𝑟𝑉 = 𝑣𝑖 𝑟 > 𝑟𝑉 , προκφπτει:

𝑣1

𝑑𝑣2

𝑑𝑟− 𝑣2

𝑑𝑣1

𝑑𝑟 𝜊

= 𝑘22 − 𝑘1

2 𝑣1𝑣2 − 𝑢1𝑢2 𝑑𝑟

∞

0

(7)

• Χρθςιμοποιϊντασ τισ λφςεισ για τα 𝑣1,2 όταν 𝑘1 = 0, 𝑘2 = 𝑘 ≠ 0:

𝑘 cot 𝛿 = −1

𝑎+ 𝑘2 𝑣1𝑣2 − 𝑢1𝑢2 𝑑𝑟

∞

0

(8)

Μικοσ Σκζδαςθσ ≈ 𝑣1

2 − 𝑢12 𝑑𝑟

∞

0

+𝑂 𝑘2 =𝑟02

Ενεργόσ Εμβζλεια

Θεωρία Σκζδαςθσ -Φάςθ 𝛿𝜊 για τθν S κατάςταςθ (ςφμφωνα με τθ κεωρία ενεργοφ εμβζλειασ):

𝑘 cot 𝛿𝜊 = −1

𝛼+

1

2 𝑟𝑜𝑘2

-Πλάτοσ ςκζδαςθσ ςε κατάςταςθ ςτροφορμισ S:

𝑓 θ =1

𝑘 𝑒𝑖𝛿𝑜 sin 𝛿𝜊 =

1

𝑘 cot 𝛿𝜊 − 𝑖𝑘

𝑟𝑜→0 −1

1𝛼

+ 𝑖𝑘

• α<0 Δεν υπάρχουν δζςμιεσ καταςτάςεισ • α=∞ 1 θμιδζςμια μθδενικισ ενζργειασ

• α>0 Υπάρχει δζςμια με ενζργεια 𝛦 = −1

2𝑚𝛼2 (Πόλοσ του πλάτουσ ςκζδαςθσ)

Το δυναμικό υπειςζρχεται μζςω των 2 αυτϊν

παραμζτρων!

Ικανοποιθτικι περιγραφι για ενζργειεσ μζχρι ~10 ΜeV

Πρόβλθμα 2 Σωμάτων

(i) Διαχωρίςιμο Δυναμικό Αλλθλεπίδραςθσ

• Ζςτω 2 ςωμάτια με μάηεσ 𝑚, 𝑀.

• Θζτω: 휌 =𝑀

𝑚 , 휈′ =

𝜌

𝜌+1

• Η εξίςωςθ Schrodinger ςτο χϊρο Hilbert κα είναι: (𝐻𝑜+𝑉) 𝜓 = 𝐸 𝜓

𝑝 2

2휇+ 𝑉 𝜓 =

𝑘2

2휇𝜓 =

𝑘2

2𝑚휈′𝜓

όπου: 𝑉 = −λ g⟩⟨g

• Στο χϊρο των ορμϊν:

𝑝2 − 𝑘2

2𝑚휈′𝜓𝑘 𝑝 = 휆𝑔 𝑝 𝑑3𝑝′𝑔 𝑝′ 𝜓𝑘 𝑝′

Πρόβλθμα 2 Σωμάτων • Αναηθτοφμε δζςμιεσ καταςτάςεισ για τθν περίπτωςθ:

𝑀 ≫ 𝑚 • 𝑘 = 𝑖휅𝜊 , 휌 → ∞, 휈′ → 1 • Επιλζγω κατάλλθλεσ μονάδεσ ϊςτε 2𝑚 = 1 για

ευκολία.

𝜓𝜅𝜊𝑝 =

휆𝑔 𝑝

휅𝜊2 + 𝑝2

𝑑3𝑝′𝑔 𝑝′ 𝜓𝜅𝜊𝑝′ (9)

• Πολλαπλαςιάηουμε με 𝑔(𝑝) και ολοκλθρϊνουμε ωσ προσ 𝑝, οπότε το ενεργειακό φάςμα των δζςμιων καταςτάςεων προςδιορίηεται από τθ ςχζςθ:

휆 𝑔2 𝑝

휅𝜊2 + 𝑝2

𝑑3𝑝 = 1 (10)


Σθμείωςθ:

• Στο Efimov ΔΕΝ παίηουν ρόλο οι λεπτομζρειεσ του δυναμικοφ (παρά μόνο ότι πρζπει να φκίνει ~𝑟−2− )

• Για να γίνει ξεκάκαρο το φυςικό περιεχόμενο, ςτθν ανάλυςθ παρακάτω κα επιλζξουμε ζνα δυναμικό που διευκολφνει τισ πράξεισ και επιτρζπει τον άμεςο και εφκολο ζλεγχο τθσ εμβζλειάσ του.

• Yamaguchi potential:

𝑔 𝑝 =1

𝑝2 + 𝛽2 (11)

𝑔 𝑟 = 휋

2

𝑒−𝛽𝑟

𝑟 (12)


(ii) Δυναμικό Αλλθλεπίδραςθσ 1/𝑟2

• Ζςτω το δυναμικό:

𝑉 =휇

2𝑚𝑟2, ό휋휊𝜐 𝑟: 휎𝜒휀𝜏휄휅휂 휃휀휎휂

• Θα αναηθτιςουμε δζςμιεσ καταςτάςεισ για ςφςτθμα 2 ςωματιδίων ςτθν s-κατάςταςθ.

• Εξίςωςθ Schrodinger για τθ ςχετικι κζςθ:

−𝑑2𝑢

𝑑𝑟2+

휇

𝑟2𝑢 = 2𝑚𝐸𝑢 = −𝑘2𝑢 (13)

όπου: 𝑢 𝑟 = 𝑟𝜓 𝑟 , με Σ.Σ.: 𝑢 𝑟 = 0 = 0


• Αλλαγι μεταβλθτισ: 𝑧 = 𝑘𝑟 • 𝑢 = 𝑧𝑓 𝑧 • Παραμετροποίθςθ τθσ ςτακεράσ ςφηευξθσ ωσ:

휇 = − 𝑠 +1

4

• Η εξίςωςθ γίνεται: 𝑑2𝑓

𝑑𝑧2+

1

𝑧

𝑑𝑓

𝑑𝑧+

𝑠

𝑧2− 1 𝑓 = 0 (14)

• Αν 𝑠 < −1/4, δθλαδι 휇 > 0 ΔΕΝ υπάρχουν δζςμιεσ, αφοφ το δυναμικό είναι απωςτικό!

• Αν 𝑠 < 0, δθλαδι 휇 > −1/4 Η εξίςωςθ είναι ίδιασ μορφισ, ΔΕΝ υπάρχουν δζςμιεσ

• Αν 𝑠 > 0, δθλαδι 휇 < −1/4 ?

Πρόβλθμα 2 Σωμάτων • Όταν 𝑠 > 0 οι λφςεισ είναι:

𝐾𝑖 |𝑠| 𝑘𝑟 휅𝛼휄 𝐼𝑖 |𝑠|(𝑘𝑟)

(Modified Bessel functions)

• H 𝐼𝑖 |𝑠|(𝑘𝑟) απειρίηεται εκκετικά ςτο όριο 𝑟 → ∞,

οπότε δεν μπορεί να περιγράφει δζςμια κατάςταςθ. • Εφαρμογι τθσ Σ.Σ ςτο r=0 οδθγεί ςτθν εξίςωςθ:

sin 𝑠 log𝑘𝑟

2− arg Γ 1 + i 𝑠

𝑟=0= 0

• Το παραπάνω θμίτονο περνάει άπειρεσ φορζσ από το 0 κακϊσ 𝑟 → 0 και θ ενζργεια δεν είναι φραγμζνθ από κάτω!

• Λφςθ του προβλιματοσ: Επιλζγω cut off ςε κάποια κοντινι ςτο 0 απόςταςθ 𝑟𝑐


• Το ενεργειακό φάςμα τϊρα δίνεται από τθ ςχζςθ:

𝑘𝑛𝑟𝑐𝑘𝑛𝑟𝑐≪1

2𝑒−

𝑛𝜋

𝑠 𝑒−

arg Γ 1+i 𝑠

𝑠

• Οπότε: 𝛦𝑛+1

𝐸𝑛= 𝑒

−2𝜋

𝑠 (15)

• Το πρόβλθμα των 2 ςωμάτων που αλλθλεπιδροφν με δυναμικό αντιςτρόφου τετραγϊνου εμφανίηει geometric scaling ςτο ενεργειακό φάςμα των δζςμιων καταςτάςεων!

• Επίςθσ, ο αρικμόσ των δζςμιων καταςτάςεων είναι

άπειροσ 𝑁 ≅ 𝑠 ln𝑎

𝑟𝑐

Πρόβλθμα 2 Σωμάτων • Εξαγωγι του πλικουσ των δζςμιων ςτακμϊν:

• 𝑁 𝐸1, 𝐸2 = 𝑑𝐸 𝑔(𝐸)𝐸2

𝐸1

• 𝑍 𝛽 = 𝑑𝐸 𝑔 𝐸 𝑒−𝛽𝐸∞

0

• Για το πρόβλθμά μασ: 𝑉𝑙 = −𝑠+

1

4

2𝑚𝑟2 +𝑙 𝑙+1

2𝑚𝑟2 ≈ −𝑠+

1

4

2𝑚𝑟2 +𝑙+

1

2

2

2𝑚𝑟2

𝑍𝑙 𝛽 = 2휋 𝑑𝑝𝑟 𝑒−

𝛽𝑝𝑟2

2𝑚

+∞

−∞

𝑑𝑟∞

0

𝑒−𝛽𝑉𝑙 𝑟

𝑍𝑙 𝛽 =𝑚

2휋

12 𝛽−

12 𝑑𝑟

∞

0

𝑒−𝛽𝑉𝑙 𝑟

• 𝑔𝑙 𝐸 =𝑚

2

1

2 1

𝜋

𝑑𝑟

𝐸−𝑉𝑙 𝑟 Θ 𝐸 − 𝑉𝑙 𝑟

∞

0

• 𝑁 = 𝑑𝐸 𝑔𝑜 𝐸0

−∞ 𝑁 =

𝑚

2

1

2 2

𝜋 𝐸 − 𝑉𝑜 𝑟

𝑎

𝑟𝑐 𝐸 → 0

𝑁 ≅𝑠

휋ln

𝑎

𝑟𝑐

Διόρθωςη Langer

Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Θα μελετιςουμε το ςφςτθμα 3 ςωμάτων για το οποίο

ιςχφουν: • 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑀 ≫ 𝑚3 = 𝑚 • Τα δυναμικά αλλθλεπίδραςθσ 𝑉1 (μεταξφ των

ςωμάτων 2 και 3), 𝑉2 και 𝑉3 πζφτουν ταχφτερα από 1/𝑟2 και είναι τθσ διαχωρίςιμθσ μορφισ Yamaguchi.

• Τότε: 𝐻𝛹 = 𝛦𝛹

όπου:

𝐻 = −1

2𝑀𝛻1

2 −1

2𝑀𝛻2

2 −1

2𝑚𝛻3

2 + 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 (17)

Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Αλλαγι ςυντεταγμζνων:

𝑅 = 𝑟 1 − 𝑟 2

𝑟 = 𝑟 3 −𝑟 1 + 𝑟 2

2

𝑅𝑐𝑚 =𝑀𝑟 1 + 𝑀𝑟 2 + 𝑚𝑟 3

2𝑀 + 𝑚

• Ο τελεςτισ τθσ Χαμιλτονιανισ γίνεται:

𝐻 = −1

μ 𝛻

R2 −

1

휈 𝛻𝑟

2 −1

2𝑚𝑡𝑜𝑡 𝛻

𝑅𝑐𝑚

2 + 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 (18)

όπου:

휇 =휌

2=

𝛭

2𝑚= 𝑀, 휈 =

2휌

2휌 + 1

𝜌→∞1

Προςζγγιςθ Born-Oppenheimer • Αποτελεί αδιαβατικι προςζγγιςθ όπου θ ποςότθτα που

εξελίςςεται αδιαβατικά είναι δυναμικι μεταβλθτι (πχ κζςθ)

• Ζςτω ςφςτθμα που αποτελείται από βαριά και ελαφρά ςωμάτια με κινθτικοφσ όρουσ: 𝐻𝑀 και 𝐻𝑚 αντίςτοιχα.

• Χαμιλτονιανι:

𝐻 = 𝐻𝑀 𝑅𝑖 + 𝐻𝑚 𝑟𝑖 + 𝑉 𝑅𝑖 , 𝑟𝑗

• Κίνθςθ των βαρφτερων ςωματιδίων Βραδφτερθ • Τα ελαφρά ςωμάτια «αιςκάνονται» τα βαρφτερα ωσ

ακίνθτα κάκε ςτιγμι

Η κζςθ των βαρφτερων είναι απλά παράμετροσ για το πρόβλθμα των ελαφρϊν που εξελίςςεται αδιαβατικά!

Προςζγγιςθ Born-Oppenheimer

• Ολικι κυματοςυνάρτθςθ:

Ψ 𝑅𝑖 , 𝑟𝑗 = 𝜑 𝑅𝑖 𝜓 𝑟𝑗; 𝑅𝑖 (19)

• Τότε για τθν 𝜓 𝑟𝑗; 𝑅𝑖 κα ιςχφει:

𝐻𝑚 𝑟𝑖 + 𝑉 𝑅𝑖 , 𝑟𝑗 𝜓 = 휀 𝑅𝑖 𝜓

• Ειςάγοντασ τθν ολικι κυματοςυνάρτθςθ ςτθν εξίςωςθ

Schrodinger (με δεδομζνθ τθν παραπάνω ςυνκικθ): 𝐻𝑀 𝑅𝑖 + 휀 𝑅𝑖 𝜑 𝑅𝑖 = 𝐸 𝜑 𝑅𝑖

Ενζργεια του ςυςτιματοσ


• Εφαρμογι τθσ Β-Ο ςτθν περίπτωςι μασ δίνει:

−1

휈𝛻𝑟

2 + 𝑉1 + 𝑉2 𝜓 𝑟 ; 𝑅 = 휀 𝑅 𝜓 𝑟 ; 𝑅 (20)

−1

휇𝛻

𝑅2 + 𝑉3 + 휀 𝑅 𝜑 𝑅 = 𝐸𝜑 𝑅 (21)

• Η (20) για 휈 → 1 και διαχωρίςιμο δυναμικό γίνεται (ςτο

χϊρο Hilbert):

𝛻𝑟 2 + 휆𝐷 𝑔 𝑔 𝐷† + 휆𝐷† 𝑔 𝑔 𝐷 𝜓 = 휀 𝑅 |𝜓⟩

όπου: 𝐷 = exp 𝑖𝑝 𝑟 ∙𝑅

2 Τελεςτισ χωρικισ μετάκεςθσ κατά 𝑅/2

Διότι:

𝑉1 𝑟 −𝑅

2 휅𝛼휄 𝑉2 𝑟 +

𝑅

2


• Θζτω: 휀 𝑅 = −휅2 𝑅 (εφ’ όςων αναηθτϊ δζςμιεσ)

𝜓 = 휆 −𝛻𝑟2 + 𝑘2 −1 𝐷 𝑔 𝑔 𝐷† + 𝐷† 𝑔 𝑔 𝐷 𝜓

𝑔 𝐷 𝜓

= 휆 −𝛻𝑟2 + 𝑘2 −1 𝑔 𝐷2 𝑔 𝑔 𝐷† 𝜓 + 𝑔 𝑔 𝑔 𝐷 𝜓

(Δεδομζνου του ότι: [D, −𝛻𝑟

2 + 𝑘2 −1] = 0)

• Επειδι: 𝐻, 𝑃𝑅 = 0 𝜓𝑔𝑠 𝑟 ; 𝑅 = 𝜓𝑔𝑠 𝑟 ; −𝑅

𝑔 𝐷† 𝜓 = 𝑔 𝐷 𝜓 = 𝑁(𝑅)

Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Στο χϊρο των ορμϊν θ προθγοφμενθ εξίςωςθ γίνεται:

휆 𝑑3𝑝𝑔2 𝑝 1 + 𝑒𝑖𝑝 ∙𝑅

𝑝2 + 휅2= 1 (22)

• Αν κυμθκοφμε από το πρόβλθμα των 2 ςωμάτων ςε διαχωρίςιμο δυναμικό ζχουμε (ςχζςθ (10)):

휆 𝑔2 𝑝

휅𝜊2 + 𝑝2

𝑑3𝑝 = 1

• Οπότε μποροφμε εξαλείψουμε τθ ςτακερά λ ςτθν (22) με χριςθ τθσ (10)

• Χρθςιμοποιϊντασ και το δυναμικό Yamaguchi που αναφζραμε για απλοποίθςθ των πράξεων (ςχζςθ 11):

𝑔 𝑝 =1

𝑝2 + 𝛽2

Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Προκφπτει τελικά:

1 −𝛽 + 휅𝜊

𝛽 + 휅

2

=𝛽 + 휅𝜊

𝛽 + 휅

22𝛽

𝛽 − 휅 2

𝑒𝜅𝑅 − 𝑒−𝛽𝑅

𝑅−

𝛽 + 휅

𝛽 − 휅𝑒−𝛽𝑅

• Μασ ενδιαφζρει να μελετιςουμε το ςφςτθμα όταν τα διμερι

βρίςκονται ςτο όριο τθσ αποδζςμεςθσ

(δθλαδι 𝛼 → ∞ και ςυνεπϊσ 𝐸 → 0 휅𝜊 → 0) • Επίςθσ, κζλουμε θ εμβζλεια τθσ αλλθλεπίδραςθσ να είναι

πολφ μικρι όπωσ αναφζραμε ςτθν αρχι.

Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Άρα:

• 𝛽𝑅 ≫ 1

• 𝑎 ≫ 𝑅 휅𝜊𝑅 ≪ 1 • 휅𝜊 ≪ 𝛽

• Αν κζςουμε: 휉 = 휅 − 휅𝜊 τότε: 휉 ≪ 𝛽 διότι για R μεγαλφτερα τθσ εμβζλειασ του δυναμικοφ το ελαφρφ ςωμάτιο κα τείνει να δεςμευτεί ςε ζνα από τα 2 βαριά οπότε 휅 → 휅𝜊

• Με τισ παραπάνω προςεγγίςεισ καταλιγουμε ςτθ ςχζςθ:

𝑒−𝜉𝑅 ≅ 휉𝑅 (24)

Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Με αρικμθτικι επίλυςθ τθσ εξίςωςθσ καταλιγουμε

τελικά ςτθ ςχζςθ:

휅 𝑅 = 휅𝜊 +0,5671

𝑅

𝑎→∞ 0,5671

𝑅

• Άρα:

휀 𝑅 = −𝐴2

𝑅2

• Χρθςιμοποιϊντασ το αποτζλεςμα αυτό ςτθ δ.ε. για τθ 𝜑 𝑅 (ςχζςθ (21) και δεδομζνου του ότι το 𝑉3 ζχει μικρι εμβζλεια (ζςτω 𝑅𝑜) προκφπτει:

−1

휇𝛻

𝑅2 −

Α2

𝑅2𝜑 𝑅 = 𝐸𝜑 𝑅 𝑅 > 𝑅𝑜

A

Έχει λυθεί ήδη για την s κατάςταςη που μασ ενδιαφέρει!!!

Θα χρθςιμοποιθκεί ωσ cut off

Συμπεράςματα • Συνεπϊσ: ςτο όριο που 𝛼 → ∞, παρότι τα διμερι οριακά

αποδεςμεφονται το ςφςτθμα των 3 ςωμάτων εμφανίηει μια απειρία «ρθχϊν» δζςμιων καταςτάςεων με γεωμετρικι κλιμάκωςθ (και ςυνεπϊσ ςχθματίηεται τριμερζσ –με μεγάλθ ζκταςθ λόγω τθσ αςκενοφσ ηεφξθσ).

Σχόλια

-Φυςικά το Efimov μπορεί να αποδοκεί ςτο ότι όταν τα διμερι τείνουν να αποδεςμευτοφν το μζγεκοσ του ςυςτιματοσ των 2 ςωματιδίων είναι πολφ μεγάλο και θ φπαρξθ ενόσ ακόμθ ςωματιδίου μπορεί να γίνει αντιλθπτι από αυτό. Η εμφάνιςθ του 3ου ςωματιδίου οδθγεί ςτθν δθμιουργία ενόσ effective δυναμικοφ τθσ μορφισ 1/𝑟2 που κακορίηει τισ ενεργειακζσ ςτάκμεσ. -Στθν ειδικι περίπτωςθ που μελετιςαμε εμείσ, ουςιαςτικά το ελαφρφ ςωμάτιο με τθν (ταχφτερθ) κίνθςι του λειτουργεί ωσ φορζασ τθσ αλλθλεπίδραςθσ, διότι ανταλλαςςόμενο οδθγεί ςτθν εμφάνιςθ του effective δυναμικοφ.

Σχόλια -Ζνα ςυγγενζσ φαινόμενο: Thomas effect Για ςτακερι ενζργεια δζςμευςθσ για το διμερζσ (ςτακερό κετικό 𝛼), όταν θ εμβζλεια τείνει ςτο 0 εμφανίηεται απειρία δζςμιων καταςτάςεων με 𝐸 → −∞. -Το φαινόμενο Thomas δεν επιδζχεται πειραματικισ επιβεβαίωςθσ ςε αντίκεςθ με το Efimov που επαλθκεφτθκε το 2006.

Βιβλιογραφία • R.K. Bhaduri, A. Chatterjee, B.P. van Zyl, “An elementary exposition to the

Effimov Effect”, Am. J. Phys. 79 (3) 2011 • S.A. Coon, B.R. Holstein, “Anomalies in quantum mechanics: The 1/𝑟2

potential”, Am. J. Phys. 70 (5) 2002 • H.A. Bethe, “Theory of Effective Range in Nuclear Scattering”, Phys. Rev. 76

(1) 38-45 (1949) • J.J. Sakurai, “Modern Quantum Mechanics” • S.M. Wong, “Introductory Nuclear Physics”

An Introduction to Efimov Effect

Documents

sin

efimov

schrodinger

cut

phys

gt

lt

cot 1