AMA1D01C Lecture Notes Set #01 中國古代數學 fileAMA1D01C Lecture Notes Set #01 中國古代數學 An overview 概論 By 李向榮博士 梁信謙博士 香港理工大學應用數學系

AMA1D01C Lecture Notes Set #01

中國古代數學 An overview 概論

By

李向榮博士 梁信謙博士

香港理工大學應用數學系

參考資料

• 李繼閔，“試論中國傳統數學的特點”，中國數學史論文集，No.2，pp.9-18，1986。

• 錢寶琮，中國數學史，科學出版社，1981。

• 李儼、杜石然, John N. Crossley, Anthony W.C. Lun,《中國數學》Chinese Mathematics A Concise History, Clarendon Press Oxford, 1987。

• 李迪，中國數學史簡編，遼寧人民出版社，1984。

• 劉純，大哉言數，遼寧教育出版社，1995。

•  and many other very good web sites

洛書

• 中國古代流傳的一段神話：在夏禹治水的時候，洛水出現一隻大龜，背上有圖有字，稱為洛書，據說洛書出現後才產生了數學。

概況 • 源遠流長─從五六千年前結繩記數，發展到夏商

時以甲骨記載大數字，籌算、珠算支配中國數學數千年，確立十進位值記數法。

• 發展到宋元時期，成就斐然。

• 明朝八股取士，局限發展，從此一落千丈。

• 中國的數學經典大都是不容易讓人讀得懂，難以普及。

• 由於偏重具體實際問題的解決，理論之間缺乏緊密的聯繫，沒有形成一個嚴密的演繹體系。

算學 vs數學 • 數學是中國古代甚為發達的基

礎學科，當時稱為算術，即「算數之術」。涵蓋今天數學領域中算術、代數、幾何、三角等內容，後來又稱為算學、算法等。至1939年，正式確定使用「數學」而廢止「算學」的名稱。

濃厚的應用、實用色彩

• 中國數學發展過程中的其中一項特色，便是與百姓的日常生活息息相關，並不掛空於理論層面上。在兌換、土地丈量、稅收、穀倉容積、堤壩和河渠的修建等牽涉數學計算的領域，都有相關的實踐經驗，。

古人之路

• 數學的概念雖極其抽象，卻也極具吸引力。從無到有、從抽象到具象，而後應用於實際，並發展成為理論，是一段漫長的探索過程。沒有數字與計算，我們在生活中根本寸步難行，回顧傳統數學的萌芽，可以看到先民如何在蒙昧之中生發概念，並漸漸走向傳統數學框架的確立。

記數

• 古代中國人早已有記數的習慣，從結繩記數到書契，是 原始而實用的方法。從新石器時代出土的陶器中表明，當時已有表示數的刻劃符號，開始了記數文字的創造，而從稍後所發現於甲骨文的數字，則可以看出開始逐步走向規範化，並發展出中國自己的記數文字。　　

算籌 • 古時的中國，一般使用的計算工具

稱為算籌，數學家以簡單的算籌為工具，所計算出的一些數學問題，如祖沖之推算的圓周率，竟然與現代先進科技計算出的相去不遠，其成效是非常驚人的，而祖沖之所處的是中國歷史上南北朝中的南朝時期，距離今天約一千五百年。

是種十進位值記數法

算籌

(蘇州碼子、番仔碼、草碼、菁仔碼)： +)� � � #$�

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於南宋時期由符號演變

過來，常用於、 ，

配合 使用。

在香港、澳門的街市、小販、茶餐廳、藥材舖等依然採用。某程度上可以說是種「非物質文化遺產」。

亦是種

算法、算具

• 取算籌地位而代之的計算工具是一般中國人皆知道的珠算盤。珠算盤的走向廣泛使用，其重要基礎是乘除法的成熟。

• 「九因歌」口訣，與在元代朱世傑所著《算學啟蒙》中稱為「釋九數法」的口訣，基本上完全相同，而且看來會一直流傳到永遠。　　

古籍

• 中數史現存 早的一本著作，是1983至1984在湖北出土的《算數書》(竹簡) ，它被斷定為秦代或秦以前的著作；而中數史上 重要的一部經典著作，是為學術界所公認的《九章算術》，它是秦漢時代的作品，集先秦至西漢年間數學知識之大成，歷來被奉為算經之首。

有外國學者對中國古代數學的看法

• 李約瑟( 1900－1995 ) （Joseph Terence Montgomery Needham，英國近代生物化學家和科學技術史專家，著有《中國科學技術史》）：『…mathematics had a very great development in China. This was perhaps to be expected in view of the advanced nature of their astronomy……Chinese always preferred algebraic methods; and indeed by the 13th century AD, they were the best algebraist in the world.』

• 三上義夫(1875-1950)（日本中國數學史家）：

『以數學之發達，包含于如此之大文明中而有如此久長之歷史，世界諸國未嘗有也。』

也有外國人對古代華夏科學數學的

• 第二任香港總督 爵士 Sir  John Francis Davis • 《The Chinese, General Description of The Empire of China and its Inhabitants,

中國人：中華帝國及其居民概述》，1836。

中國古代數學 特點１：社會依從性

•  有濃厚的應用、實用色彩。

•  周朝，六藝之一，列入貴族子弟的教育。

•  十部算經由國家頒布，用於國子監科舉考試中。政府主導編纂、增補、注釋。

•  曆法推算，用上了『大衍求一術』、『招差術』、分數近似法等等。

•  明代中期興起珠算，應用於商業活動。

•  《九章算術》─問題集解體例。涉及社會政治、經濟、軍事、文化等實際情況和需要。含典章制度（特別是度量衡）及工程技術（土木建築、地圖測繪），土地丈量、穀物容量、堤壩河渠修建、稅收、兌換率等等。

•  北周「甄鸞」的《五曹算經》：

1.  田曹﹝各種田畝面積的計算問題﹞

2.  兵曹﹝軍隊配置、運籌等數學問題﹞

3.  集曹﹝貿易交換的計算問題﹞

4.  倉曹﹝糧食稅收和倉窖體積問題﹞

5.  金曹﹝絲織物交易等問題﹞

•  長期封建專制的政治控制下數學對於社會有直接的依從關係。

•  秦、漢時期，封建社會初期生產力迅速發展，科學技術進步，推動數學前進，受新興地主階級思想、先秦諸子思想的影響。

•  邏輯思想，令數學發展趨向理論化、系統化。

•  漢代以後，獨專儒術，要求所有對自然界的解釋為其倫理學說服務，有極為頑固的抗變性與保守性及封建觀念。

•  中國古代數學淪為附庸地位，為『恭順婢女』。跟西方現代數學被冠以Queen of Science的地位，有強烈的對比。

•  宋代儒家利用《河圖》、 《洛書》等道家神秘主義注解《周易》，亦有影響數學的發展。

特點２：形數結合、以算為主、使用算器、建立算法體系

•  算籌

•  十進位值記數法 •  公 元 前 100 年 右 的 春 秋 時 代 ， 中 國 人 巳 經

利 用 算 籌 來 計 算 。 算 籌 是 一 束 同 樣 粗 幼 的 竹 枝 或 木 條 ， 古 人 稱 這 種 計 算 的 方 法 稱 為 籌 算。

•  中國古代幾何內容豐富

•  在面積、體積、勾股理論有卓越成就

•  圖形多有數量計算，如長度、面積、體積

•  但沒有太多『角』的討論與量度

•  算為主，形數結合，幾何、代數相互滲透

•  幾何代數化：比率算法、高次方程數值解法

•  代數、數論幾何化：開方術、整勾股數一般公式

•  程序語言　─　固定的演算程序

•  運用演算的對稱性、循環性等，將演算設計得十分精簡巧妙。

•  算法、算具的改進。

特點３：『寓理於算』與理論的高度精煉

•  不言而喻，不証自明

•  例如『大衍求一術』，由『孫子剩餘定理』逐步推廣，自然信服。

•  例如《海島算經》九問，由簡到繁，類推衍化。

•  經典深奧難懂，賴注釋者“以究古人之意”。

• 三國時期 主張“析理以辭、解體用圖”。

•  例如《九章注》包含豐富邏輯，重要數學概念，如率、正負數、方程等，都給了明確而精闢的定義，推理既有歸納，也有演繹，証明用上了綜合、分析、反証。

•  出入相補、截面比較 、不失本率等簡明原理

特點４：持續穩緩、理論局限性

•  古希臘：公元前６世紀到公元後四世紀止

•  中國數學平穩緩進發展，成就輝煌。

•  社會實用性，令數學的發展擺脫封建專制、唯心主義、神秘主義的種種束縛。

•  社會實用性亦使理論的豐富蘊藏未能得以發掘，局限進展。

•  明朝八股取士，從此一落千丈

•  中國符號體系的原始、不完備。

•  經過千年黑暗時代，１６世紀歐洲數學突飛猛進。

先秦數學

• 十進位值制記數法

•  方圓是 基本的圖形，規矩就是當時 基本的的繪圖與測量工具，規是圓規，用以畫圓或正圓，矩就是直角曲尺，用以畫方或正方。

• 《周髀算經》中記載了周公與商高的談話：「平矩以正繩，偃矩以望高，履矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。」

勾股定理

•  直角三角形

• 《周髀算經》 提出一個特例：「勾廣三，股修四，徑隅五」。

墨子

• 春秋末戰國初期，生卒年不詳。

• 約為公元前479年 — 公元前381年以內。

• 至今無法確定墨子的真實姓名 。

• 《墨子》是闡述墨家思想的著作，原有71篇，現存五十三篇，其中的《經上》、《經下》、《經說上》、《經說下》、《大取》、《小取》等6篇，一般稱作《墨經》或《墨辯》，著重闡述認識論和邏輯學。

《墨子》

• 卷十 

(1) : 故，所得而後成也。(The reason/cause is what must be obtained before something will occur/form.)

: 故： ，有之不必然，無之必不然 (necessary condition)。體也，若有端。 ，有之必然，無之必不然 (necessary and sufficient condition)，若見之成見也 。

B

A

B Condition P : x in A Condition Q : x in B

Q is a necessary condition of P ( ). If x is in B, x may or may not be in A (有之不必然). If x is not in B, then x must not be in A (無之必不然) .

P is a sufficient condition of Q If x is in A, x must be in B (有之必然) . If x is not in A, x may or may not be in B (無之不必然) .

A necessary and sufficient condition ( ). A=B

• 經上 (2) : 體，分於兼也。

• 經說上 : 體：若二之一，尺之端也。

• 經上 (59) : 圜，一中同長也。

A Outside A, i.e. not A, or complement of A.

端

尺

惠施辯論哲學與邏輯問題 • 春秋戰國時代，由於手工業、土木工程等的發

展，積累了較多的幾何知識。百家爭鳴中，由於辯論的需要，推動了邏輯學的發展。這種因素的結合，就導致了理論幾何學的萌芽。在這方面，惠施（公元前370-310 ）等人因辯論哲學與邏輯問題而有所涉及，而真正進行了較廣泛研究的是墨子及其學派。

• 《莊子天下篇》徵引了惠施的「歷物十事」，又列舉了桓團，公孫龍等辯者提出的論題，例如「無厚不可積也，其大千里」、「矩不方」、「輪不輾地」、「鵝之影未嘗動也」、「鏃矢之疾而有不行不止之時」、「一尺之捶，日取其半，萬世不絕」等。

體系的形成 — 秦、漢，到唐

• 西漢末年《周髀算經》成書

• 《九章算術》在東漢初年成書

•  中國傳統數學自古就受到天文曆法的推動，秦漢時期天文曆法有了明顯的進步，涉及的數學知識水平也相應提高

• 算術、代數、幾何等各方面形成體系，在其自身的發展歷程中，逐步走向高峰，呈現著久盛不衰的局勢。

魏晉南北朝 • 公元三世紀時的三國時代數學家趙爽的《周髀算

經注》是中國古代對數學定理和公式進行證明的早的數學家之一，對《周髀算經》做了詳盡的

注釋。自從趙爽注釋《周髀算經》後，中國傳統數學裡才開始有証明過程的論述。

• 大約公元２６３年的三國時代數學家劉徽的《九章算術注》，不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，且在論述過程中多有創新，更撰寫《海島算經》，應用重差術解決有關測量的問題。劉徽其中一項重要的工作是創立割圓術，為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的算法。劉徽藉「割圓術」求得圓周率的值為3.1416，準確至四位小數。後世稱這個數為「徽率」。

趙爽的『勾股定理』證明

• 勾股各自乘，並之為弦實。開方除之，即弦。

• 以弦為邊長作一個正方形，它的面積稱為「弦實」，在這個正方形內的四個直角三角形，其面積稱為「朱實」，中間所圍出的小正方形，其面積稱「中黃實」，這就是弦圖的結構。

• 按弦圖又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實，加差實一亦成弦實。

• 顯然這個小正方形邊長等於勾、股之差。因為「弦實」等於四個「朱實」與中間「黃實」的和，於是

劉徽的『勾股定理』證明

•  勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。

•  《九章算術》卷第一  「方田」篇

•  第三十五問 •  今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何? •  答曰：一畝九十七步半。

•  第三十六問 •  又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之

七。問為田幾何? •  答曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。

•  術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

《九章算術》: 弧田 a shape that might be one of those which motivated later works for a more accurate value of π

c = 弦

v = 矢

術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

弧田（如圖一邊凸弓形而底直）

c = 弦

v = 矢

v = 矢

梯形面積 =

其面積相當於這個梯形

弧田

在《九章算術》卷一 「方田」篇中也特意分別觸及兩種梯形，有較為普遍性的「邪田」（梯形）及特殊的「箕田」(等腰梯形)。

Not in the shape of a circular arc, but if treated as a circular arc, and assuming π= 3,…

• 劉徽說這個公式「指驗半圓之冪耳，若不滿半圓者，益復疏闊。」意即在 π=3（九章算術的 「周三徑一」圓周率）的情形下，A 是半圓的面積。

• 究竟怎樣的「弓形」弧田才有梯形的面積呢？

• 若果假設這「弓形」有現代數學 常用的 形態

• 即

• 那麼，用現代微積分方法，可以找出

《九章算術》第九卷「勾股」第二十四問

• 今有井徑五尺，不知其深。立五尺木於井上，從木末望水岸，入徑四寸。問井深幾何？

• 答曰：五丈七尺五寸。

• 術曰：置井徑五尺，以入徑四寸減之，餘，以乘立木五尺為實。以入徑四寸為法。實如法得一寸。

•  Note : 1丈=10尺， 1尺=10寸。

•  y = 五尺 - 四寸 = 四尺六寸 = 46寸

b = 四寸

a = 五尺

五尺

x = 井深

y

x =井深

寸

About slope and angle

實

法

Note the definition of 井深 does not go below the point 水岸 vertically with no water above the point, thus, assuming no refraction of light by water

水岸

木末

木

《九章算術》卷九「勾股」第十九問 :

• 今有邑方不知大小，各中開門。出北門三十步有木，出西門七百五十步見木。問邑方幾何？

• 答曰：一里。 (Note : 一里 = 三百步)

• 術曰：令兩出門步數相乘，因而四之，為實。開方除之，即得邑方。 木

a = 三十步

b = 七百五十步

x

x Therefore,

= 22500 步

邑方 步 = 三百步 = 一里

《海島算經》

• 劉徽著，內容乃是關於「重差術」

• 劉徽認為《周髀算經》裡提到測量方法若用在地面上測量物之高遠還可以，但用以測量日高、日遠，難免會出現很大的誤差，有鑒於此，便撰寫《重差》一卷，附在《九章算術》中《勾股》章之後。

• 唐初，這一部分才被人從《九章算術》中抽出來，成為一部獨立的著作。

《孫子算經》

• 今有物不知數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二。問物幾何？答曰：二十三

• 今有雞兔同籠，上有三十五頭， 下有九十四足，問雞兔各幾何？ 答曰：雞二十三，兔一十二

確切成書年代不詳。根據書中事物估計成書於南北朝。

祖沖之 • 南北朝的數學家 （429年—500年）

字文遠 ，生於建康（今江蘇南京）。

•  在《九章算術》劉徽注的基礎上，將傳統數學大大向前推進了一步，成為重視數學思維和數學推理的典範。其著作《綴術》有比劉微更精密的圓周率近似值，正確的球體積量法公式，三次方程解法等輝煌成就，內容非常豐富，可惜已失傳。

• 根據《舊唐書》和《新唐書》記載，《綴術》五卷，為李淳風注釋。

• 《綴術》在唐代被收入《算經十書》，成為唐代國子監算學課本，當時學習《綴術》需要四年的時間，可見《綴術》的艱深。

• 《綴術》曾經傳至朝鮮、日本，但到北宋元豐七年（1084年）秘書省重新刊刻《算經十書》時，這部書就已亡佚。

• 相傳日本有「算聖」之稱的名數學家 （1642－1708）於奈良得一算書......

• 祖沖之在估算圓周率成就比劉徽更上一層樓。他推算出圓周率的值介乎3.1415926和3.1415927之間，也是世界上第一位把圓周率的值計算準確至七位小數的人。

• 此外，祖沖之還出用 355/113(稱為密率) 代替準確度較低的22/7 (稱為疏率)作為圓周率的近似分數。

• 然而，究竟祖沖之用什麼方法把圓周率的值計算準確至七位小數，而他又怎樣找出 355/113作為圓周率的近似分數呢?這些問題至今仍是數學史上的謎。

• 祖沖之、祖暅 父子採用「冪勢既同，則積不容異」這一原理，求出了「牟合方蓋」的體積，從而 終算出球體積。

• 「冪勢既同，則積不容異」: 現在常被稱之為祖暅原理，又名等冪等積定理，是指 等高處 的兩個同高立體，其體積也必然相等的定理。

• More generally, 設空間中有兩個物體。若以某特定法向量的任意平面跟兩物體相截，截出來的兩塊 面積之 總是固定的，則此兩物體的體積比也是同一個比值。

• 

半球體

Cross-section area of the half sphere

= Cross-section area of the cylinder with an inverted cone hole (for all cross-sections)

Therefore, volume of the half-sphere is given by volume of the cylinder with an inverted cone hole

This is just an illustration of the use of the principle, not the actual solid shape 祖暅 was using at the time.

《九章算術》卷5 商功篇 錐體體積

祖暅 was using 牟合方蓋

• 《九章算術》指，球體的外切圓柱體積與球體體積之比等於正方形與其內切圓面積之比。劉徽在《九章註》指出，原書的說法是不正確的，只有「牟合方蓋」（垂直相交的兩個圓柱體的共同部分的體積）與球體積之比，才正好等於正方形與其內切圓的面積之比，也就是：

• 球體積 :  牟合方蓋體積  =

• 但劉徽沒有給出牟合方蓋的體積公式，所以也就得不出球體的體積公式。

• 後來由祖沖之、祖暅 父子求出了「牟合方蓋」的體積 ，從而 終算出球體積。

柯志明 “化圓為方 —— 球體體積與牟合方蓋”, 數學教育第二十四期 (6/2007)

• …劉徽考慮一個稱為「牟合方蓋」的 立體(蕭，1993)。首先想像球體由一疊圓形所組成，然後每個圓形被它的 外接正方形代替(圖二(a))，這樣得出的立體就是牟合方蓋了(圖二(b))。 牟合方蓋也可以看成是兩個大小一樣垂直相交的圓柱體(圖三(a))的重疊 部份(圖三(b))。

• 由於球體和牟合方蓋於任何一個高度的橫切面面積比率都是 π : 4，而 且它們的高度相等，所以它們的體積比率也是 π : 4。若果能夠求出牟合方蓋的體積，球體的體積也可以得出來了。

• …祖沖之、祖暅父子用以下的方法求出了牟合方蓋 的體積:考慮八分之一個牟合方蓋，並把它放在一個邊長等於球體半徑 r 的正方體內。祖氏父子考慮正方體和八分一牟合方蓋之間的空間，及另一 個有相同的底和高度的倒轉方錐體(見圖四)。這個方錐體中國古時稱為「陽 馬」。

• 如圖四，考慮兩個立體於高度 h 的橫切面的面積。

• 由畢氏定理，x2 = r2 – h2，所以，

• 左邊的橫切面面積 = r2 – x2 = r2 – (r2 – h2) = h2

• 右邊的橫切面面積 = y2 = h2

• 所以，兩個橫切面面積相等，而立方和八分一牟合方蓋之間的空間體 積也該等於「陽馬」的體積了。剛好三個「陽馬」可合成一個正方體(圖 五)，所以它體積是 。

• 「冪勢既同，則積不容異」這一原理，在歐洲由義大利數學家卡瓦列里（B·Cavalieri，1598年—1647年）於17世紀重新發現，所以西方文獻一般稱該原理為卡瓦列里原理。

• 為紀念這位偉大的古代科學家，人們將月球背面的一座環形山命名為「祖沖之環形山」，將小行星1888命名為「祖沖之小行星」。

《張丘建算經》（約公元466 - 485年）

•  涉及廣泛的社會實際問題，在 大公因數與 小公倍數、等差數列、不定方程等方面都有新的創造。書中有十餘問題涉及等差數列。

• 《張丘建算經》著名的「百雞問題」：

• 今有雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一，凡百錢買雞百隻，問雞翁、母、雛各幾何？」

• 答曰：雞翁四、母十八、雛七十八；又答：雞翁八、母十一、雛八十一； 又答：雞翁十二、母四、雛八十四 術曰：雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得。

《夏侯陽算經》﹝估計成書約公元6世紀﹞

• 現在有傳本的《夏侯陽算經》三卷，是北宋元豐七年所刻算經中的一部，根據它的序文和書中有時代性的種種資料，我們斷定它是一部第８世紀中的實用算術書，決不是《夏侯陽算經》的原本。

• 這部書亦徵引了《夏侯陽算經》的原文約六百字，概括地敘述了籌算乘除法則，分數法則，有83個數學問題，也是數學問題集的形式，內容與《孫子算經》相類似，至於其他的部份，已無法查考了。作者可能是韓延。

隋唐時期 • 代表人物：王孝通、李淳風

• 文人相輕 (Sadly to say)： – 李淳風高度評价《綴術》(可能只因要為其作注釋) ，卻批評劉徽

– 王考通批評《綴術》也沒好評劉徽

• 隋唐期的數學主要以實用算法的進步和數學教育制度的確立為特色，其間 突出的成就是三次方程與二次內插法，與此同時，中國與印度的文化交流為傳統數學的發展注入了新的血液。

• 唐中期天文學家一行編製了大衍曆，創立了不等間距二次內插法，還有其他數學成就，如三次差分，等差級數求和，二次方程求根公式等，特別是在印度數學的影響下，一行編製了世上 早的正切表(tan)。

• 到了隋唐時期，在教育制度上，設置了由國家掌握的學校 — 國子監，其中也設置了數學科目，當時所用的教科書，也由國家統一編訂。這是在歷史上第一次由皇帝頒行的第一套數學教書 — 十部算經，由許多數學著作中選出來的， 後定為國子監學習用和科舉考試用的必讀書。

• 《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《緝古算經》和《綴術》。

隋唐 王孝通 《緝古算經》

• 第十五問

• 假令有勾股相乘冪七百六十五分之一，弦多於勾三十六十分之九。問：三事各多少？

a 勾

b 股 c 弦 The problem is to solve the cubic equation:

LHS :

RHS :

Apply algebraic views (solving equation) on geometric problems

Solving cubic and other higher order equations

• 答曰：

– 勾十四二十分之七，

– 股四十九五分之一，

– 弦五十一四分之一。

• 術曰：冪自乘，倍多數而一，為實。半多數，為廉法，從。開立方除之，即勾。以弦多勾加之，即弦。以勾除冪，即股勾股相乘冪自乘，與勾冪乘股冪積等。故以倍勾弦差而一，得一勾與半差之共乘勾冪，為方。故半差為廉法，從，開立方除之。

• 按：此術原本不全，今依勾股義擬補十三字。

• 《緝古算經》原名《緝古算術》，王孝通著於武德九年(626年)前。後被列入算經十書，改名為《緝古算經》。

We are not looking into this 術. In Set #2, we are looking into finding roots more generally

宋元時期 •  宋代社會經濟繁榮，傳統數學必須加快改

革與簡化舊有的籌算，而印刷術也在這個時候獲得發揚，同時唐朝科舉考試所設的明算科，至宋朝中止了，數學脫離了科舉考試的朿縛，向一個更為廣闊天地邁進。宋元是中國數學史上的黃金時代，宋元數學在很多領域都達到了當時世界數學的巔峰。

• 南方的秦九韶、楊輝， 北方的李冶、朱世傑，合稱秦、李、楊、朱四家。

• 增乘開方法、大衍求一術、天元術、四元術、招差術、垛積術、勾股形解法新的發展、球面直角三角形的研究、縱橫圖的研究、小數的應用。

• 賈憲的《黃帝九章算法細草》、劉益的《議古根源》、秦九韶的《數書九章》、李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》、楊輝的《詳解九章算法》、《日用算法》和《楊輝算法》、朱世杰的《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。

•  元朝以後，存在有許多不利於數學發展的社會因素，使進入十四世紀之後，元代數學逐漸蕭條，出現了後繼乏人，理論停頓的現象。

秦九韶 ﹝約公元1202-1261年﹞

• 秦九韶，字道古， 於淳祐七年﹝公元1247年﹞九月，寫出《數書九章》十八卷。

• 《數書九章》是一部劃時代的數學巨著。全書共81道題，分為九大類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類、市易類。

• 其中對「大衍求一術」﹝一次同餘組解法﹞和「正負開方術」﹝高次方程的數值解法﹞等有十分深入的研究。

賈憲(約公元1023-1050年) • 賈憲所著的書都已失傳，人們只可通過楊

輝的<<詳解九章算法附纂類>>(公元1261年)知道。

• 賈憲三角是開方作法本源圖的今稱。西方稱之為帕斯卡三角，晚於賈憲六百多年。

•  元初朱世杰把賈憲三角由七層推廣到九層﹝八次冪﹞，為高階等差級數求和問題和高次招差法的發展，提供了有力的數學工具，賈憲三角對宋元數學的發展實有肇始之功。

楊輝 ﹝約公元13世紀中至後半葉﹞ • 楊輝，字謙光，錢塘﹝今浙江杭州﹞人，

南宋數學家。生平事蹟所知不多。

• 楊輝一生中寫過許多著作，共五種二十一卷。著作中收錄了不少現已失傳的、古代各類數學著作中很有價值的算題和算法，保存了許多十分寶貴的宋代數學史料。

• 楊輝十分留心數學教育，並在自己的實踐中貫徹其教育思想。更對於垛積問題﹝高階等差級數﹞及幻方作過詳細的研究。

李冶 （公元1192-1279）

• 元數學家，重要數學著作有《測圓海鏡》、《益古演段》，是現存 早的天元術著作，也是 有系統而完整的 。

•  也是一位數學教育家，隱居於封龍山，收徒講學達二十多年，推動了天元術的普及與傳播 。

•  「吾平生著述，死後可盡燔去，獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾嘗精思致力焉，後世必有知者，庶可布廣垂永乎！」

朱世傑 ﹝約在13世紀後期的20-30年和14世紀開頭的10-20年間﹞

•  朱世傑，字漢卿，號松庭，關於他的生平和生卒年代不詳。寓居燕山﹝今北京市﹞，不知他的原籍何處。

• 元數學家，在中國古代數學家之中，朱世傑還要算是第一個以數學為專業的職業數學家，他也是第一個職業教育家，重要數學著作有《算學啟蒙》﹝公元1299年﹞ 和《四元玉鑒》 ﹝1303年﹞ 。

• 《四元玉鑒》是論述四元術、垛積術及招差術的傑作。

• 「四元高次方程理論」用「天、地、人、物」這四「元」代表未知數﹝即相當於現在的X、Y、Z、U﹞並用「四元術」來求解。

• 方法是用消元方法解題的，把四元四式消去一元，變成三元三式，再消去一元變二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元開方式，然後用增乘開方法求得正根。

• 招差術這方面的工作，比歐洲的數學家們早了將近四百年。

• 高階等差數列

射影定理 The  Right Triangle Altitude Theorem  or  Geometric Mean Theorem

p q

h

or

《四元玉鑒》卷上「混積問元」第七題 is considered equivalent to

圓冪定理 Tangent Secant Power Theorem

《四元玉鑒》卷中「拔換截田」第十四體 is considered equivalent to

P

s

a

b

• 招差術

•  Interpolation, Divided Difference (Newton-Gregory forward polynomial)

• 朱世傑《四元玉鑒》 「如像招數」 • 今有官司依平方招兵，初段方面五尺，次段方面轉多一尺，…。

已招兵二千四百四十人，…問招來幾日？ • 依平方招兵

• 上差: 25，36，49，64…

• 二差: 11, 13, 15

• 下差: 2, 2

Solving the cubic gives

明朝

• 元末明初出現了大量的民間實用數學書，其特點是內容淺顯，多為日用尤其是商業計算所必須。

•  系統的理論敘述不復存在，書中將各種公式和法則編成歌訣，方便了記憶、推廣和使用 。

•  珠算理論已成系統， 著名的是「程大位」的《算法統宗》 。

•  明末徐光啟和利瑪竇（Matteo Ricci,　1552-1610）合譯歐幾里得Euclid的《幾何原本Elements》前六卷

• 李之藻、利瑪竇合譯的《同文算指》 。

清代

•  沉寂以後的一個復興時期 •  有影響力的數學家「梅文鼎」

• 一生著述宏富，能全面理解掌握中西數學，他的數學研究範圍廣

•  康熙皇帝，對西方先進的科學知識產生了濃厚興趣，帶頭鑽研學習，御定《數理精蘊》五十三卷，全面系統地介紹了當時傳入的西方數學知識。

• 由於雍正時期開始對傳教士實行禁壓政策，逐漸走向閉關鎖國，朝廷加強了思想統治，知識分子受到打擊

• 高壓政策迫使大批知識分子走向研究古籍考據經典

•  《四庫全書》收入數學著作二十六部，基本上把宋元以前的主要數名著都發掘出來了

• 清代後期，洋務運動促進了西學的引入，中西數學開始合流

• 中國數學家在冪級數PowerSeries、尖錐術等方面已獨立地得到一些相當於積分學的成果，在不定分析和組合分析方面也獲得了出色的成績

• 「李善蘭」在英國傳教士(Alexander Wylie)的幫助下用了四年時間譯出《幾何原本》後九卷

• 又譯出《代數學》、《代微積拾級》、《圓錐曲線》等

• 《代數學》是西方近代代數學的第一部中譯本，既論代數，也論指數函數、對數的冪級數展開式。

•  《代微積拾級》是中國第一部微積分學的譯本，介紹了解析幾何中的極坐標、笛卡兒坐標、直線、坐標變換、圓、拋物線、橢圓、雙曲線、二次曲線分類以及三次、四次代數曲線的分類，此外還介紹了擺線、對數曲線、螺線等等超越曲線，微學中的一階和高階微分，函數的一般概念如常數、變數、函數。

• 《圓錐曲線》是一部討論圓錐曲線各種性質的著作 。

• 「華蘅芳」翻譯的數學書有《代數式》、《微積溯源》、《三角數理》、《代數難題解法》、《決疑數學》、《算法解法》

•  華蘅芳譯的數學書內容比李善蘭譯的書平易而廣博，譯文也明白通暢，被當時學堂選為課本 。

•  清代中葉以後，清政府採取閉關鎖國政策，甚至多次興起文字獄，使西方數學的傳入受到阻礙，數學家只得埋頭於傳統數學的整理與研究工作。1840年鴉片戰爭後，中國大門被打開，來華的西方傳教士不滿足於翻譯介紹西方數學，他們在中國辦教會學校，編寫數理化教科書，與此同時，清朝統治者也注意到辦學的重要。

數學進入近代軌道 • 從理論上來說，數學是各門科學都需要的工具，

在進入機器生產的時代，中國傳統的天元術、四元術及傳統的計算方式、書寫方式等再無用武之地。

• 由於中國數學一向發達，傳統數學基礎雄厚，數學研究從未間斷，自歐氏幾何傳入中後，中國數學家十分欣賞它的嚴密邏輯推理方法，認為這是一門應該學習的學問。清中葉整理籍，中算家發現了曾在世界上起過領先作用，後又失傳了五百年之久的宋元數學天元術、四元術，從而使清代在方程式的研究上取得了很高成就。在西方微積分傳入之前，中國數學家已經在冪級數方面取得了近似微積分的成果，雖然這項成果在世界上已落後了一個多世紀。但是它說明中國人是有才智的，所以當西方數學再度傳入中國時，就能很快找到知音，很快被中國數學家接受而得到很快的傳播。