FRANCISCANO CENTRO UNIVERSITÁRIO Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Orientadora: Drª. Orientadora: Drª. ELENI BISOGNIN ELENI BISOGNIN Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Cigarro: Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Matemática uma Forma de Contextualizar a Matemática Link para dissertação (PDF): http://sites.unifra.br/Portals/13/CD_Recursos2008/dissertacao_cristina.pdf
Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Orientadora: Drª . ELENI BISOGNIN. CENTRO UNIVERSITÁRIO. FRANCISCANO. Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Matemática. - PowerPoint PPT Presentation
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FRANCISCANO
CENTRO UNIVERSITÁRIO
Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVESAluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES
Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do
Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Cigarro: uma Forma de Contextualizar a
MatemáticaMatemática
Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do
Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Cigarro: uma Forma de Contextualizar a
MatemáticaMatemática
Link para dissertação (PDF): http://sites.unifra.br/Portals/13/CD_Recursos2008/dissertacao_cristina.pdf
O USO DA METODOLOGIA DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Nesse trabalho de dissertação optamos pela utilização da metodologia da Modelagem Matemática por propiciar um estudo da matemática relacionando-o à situações da realidade.
A escolha do tema referente ao uso de drogas, em particular o uso do álcool e do cigarro, deu-se em comum acordo entre a professora da turma e os alunos.
Durante o desenvolvimento das etapas da Modelagem foi possível aos alunos pesquisarem sobre o tema escolhido, elaborar problemas, resolvê-los matematicamente e, sempre que possível, fizeram a análise crítica da solução.
LANÇAMENTO DO TEMALANÇAMENTO DO TEMAO início do trabalho
foi no auditório do colégio. Na apresentação, foram utilizadas reportagens de revistas, dados estatísticos e montagens de fotos que permitiram que o assunto fluísse livremente. Os alunos puderam fazer colocações sobre o uso do álcool e do cigarro, comentando seus malefícios.
Utilizamos uma linguagem própria à idade dos alunos.Mostramos percentuais estatísticos do consumo de álcool e de cigarro pelos jovens, no Brasil e em alguns países; reportagens da revista SAÚDE! de março de 2005, que falava sobre o consumo de álcool entre os jovens; reportagem da revista GALILEU de fevereiro de 2005, que tratava dos efeitos de uma bebedeira; reportagem da revista SUPERINTERESSANTE de junho de 2003, comentando a ascensão e queda do consumo de tabaco;reportagem do jornal A RAZÃO de 30 agosto de 2005 sobre esse assunto.
Procuramos deixá-los interessados em buscar informações sobre o consumo de álcool e de cigarro e sobre seus efeitos no organismo humano.
Orientamos os alunos a coletarem informações em jornais, livros, revistas, internet, periódicos especializados, etc.
CONFECÇÃO DE CARTAZESCONFECÇÃO DE CARTAZES
Após a apresentação os alunos confeccionaram cartazes referentes ao tema. Abaixo estão algumas imagens.
Selecione a Figura
ATIVIDADES PROPOSTAS AOS ALUNOSATIVIDADES PROPOSTAS AOS ALUNOS
Após a confecção dos cartazes e ampla
discussão sobre o tema, levantamos junto com os
alunos, dados e, em função destes, criaram-se
situações problema.
A primeira atividade referiu-se ao Estudo
Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas
por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e
Superior de Santa Maria – RS.
Foi dado um pequeno texto retirado de uma
revista alertando que o álcool entra cada vez mais
cedo e em doses altíssimas na vida dos adolescentes.
A seguir, apresentamos as seguintes A seguir, apresentamos as seguintes
atividades:atividades:
- Nos últimos anos, o percentual de estudantes do
Ensino Médio que usaram álcool tem aumentado
10% a cada ano.
- No ano 2000, havia, em Santa Maria,
aproximadamente 11000 estudantes do Ensino
Médio usuários de álcool.Com base nessas informações
perguntamos:
Qual a previsão do número de usuários de
álcool no Ensino Médio em Santa Maria, para os
anos de 2005, 2010, 2015 e 2020, caso a taxa de
crescimento permaneça constante?
ATIVIDADE 1ATIVIDADE 1
Vamos considerar o número inicial de
estudantes que havia em Santa Maria no ano
2000, ou seja, 11000 estudantes e pela taxa de
crescimento , 10% , para obtermos o número de
usuários nos anos 2005, 2010, 2015 e 2020.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Para organizar os dados numa tabela, Para organizar os dados numa tabela,
indicou-se o ano 2000 como sendo o ano zero:indicou-se o ano 2000 como sendo o ano zero:
Tabela 1Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria.
Tempo(anos) Usuários (Álcool)
2000 11000
2001 12100
2002 13310
2003 14641
2004 16605
2005 17716
Fonte: Dados construídos a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS
Dividindo-se o número de usuários de um ano pelo número de usuários do ano anterior, obteve-se uma constante
Considerando-se o número inicial de usuários, tem-se:
Valor inicial: 11000
Após 1 ano: 11000 . 1,1
Após 2 anos: 11000 . 1,1 . 1,1 = 11000 . (1,1)2
Após 3 anos: 11000 . (1,1)3 e
Após t anos: 11000 . (1,1)t
1,111000
12100
2000
2001
emusuários
emusuários
1,112100
13310
2001
2002
emusuários
emusuários
1,113310
14641
2002
2003
emusuários
emusuários
Falando-se numa linguagem mais Falando-se numa linguagem mais formal:formal:
Esses valores foram analisados de maneira
crítica, e verificou-se sua compatibilidade com
a realidade, o que na Modelagem identifica-se
como “VALIDAÇÃO” do modelo encontrado.
Os alunos acharam que esses resultados
estavam altos demais. Concluiu-se então, que
para serem verdadeiros, a taxa de aumento
de usuários de álcool teria que ser mantida
constante, assim como o aumento na taxa de
crescimento do número de estudantes do
Ensino Médio também teria que ser
proporcional.
Usando o programa Excel foi construído o gráfico da
Função Exponencial para analisar seu comportamento.
Inicialmente construiu-se uma tabela com os valores
encontrados:Tabela 2
Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria.
Tempo (anos) Usuários (MILHARES)
0 11
1 12,1
2 13,31
3 14,64
4 16,1
5 17,71
10 28,49
15 45,98
20 74,03
Fonte: Dados OBTIDOS a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.
Usuários (Álcool)
010
203040
5060
7080
0 5 10 15 20 25
Usuários(Á lcool)
Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:
Construir no Excel, o gráfico das funções
e compare-os. O que podemos concluir?
xxU )1,1.(11)( xxP )3,1.(11)( xxQ )5,1.(11)(
ATIVIDADE 2ATIVIDADE 2
Para construir o gráfico, elaborou-se uma tabela, usando a lei das funções para determinar pontos do seu gráfico.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Tabela 3Valores de U(x), P(x) e Q(x).
x
0 11 11 11
1 12,1 14,3 16,5
2 13,31 18,59 24,75
3 14,64 24,17 37,12
4 16,1 31,42 55,68
5 17,71 40,85 83,52
xxU )1,1.(11)( xxP )3,1.(11)( xxQ )5,1.(11)(
Fonte: Dados da autora
Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:
0102030405060708090
1 2 3 4 5 6
y
x
Gráficos comparativos
U(x)P(x)Q(x)
ATIVIDADE 3ATIVIDADE 3
O modelo matemático que nos dá o número de
usuários de álcool no Ensino Médio, em Santa
Maria, a partir do ano 2000 é:
Em que ano em que o número de usuários
chegará a 98,50 milhares?
ttU 1,1.11)(
. Resolvendo fica , ou ainda
. Para descobrir “t”, usa-se a
calculadora, fazendo-se diversas substituições até
encontrar o valor mais aproximado, chegando-se,
assim, há 23 anos.
t1,1.1150,98 11
50,981,1 t
95,81,1 t
Igualando-se a lei da função a esse valor, pretende-se
encontrar o ano, que será representado por t.
Igualando-se os valores, obtém-se
Dinâmica de Resolução da Atividade
Como o ano inicial (ano 0) é contado em
2000, passados 23 anos, conclui-se que o
número de usuários de álcool, no Ensino
Médio, em Santa Maria, chegará a 98,50
milhões, aproximadamente em 2023. Fazendo-
se a interpretação crítica do resultado
encontrado, conclui-se que ele não condiz com
a realidade, pois seria muito alto, mesmo para
2023. Faz-se necessário lembrar que as
populações crescem exponencialmente por um
certo intervalo de tempo. Quando são
transcorridos muitos anos, os crescimentos
populacionais deixam de ser exponenciais
ATIVIDADE 4ATIVIDADE 4A atividade a seguir teve o objetivo de explorar várias situações relacionadas à Função Exponencial, principalmente no que se refere ao seu gráfico.
Estime em quanto tempo o número de Estime em quanto tempo o número de
usuários de álcool no Ensino Médio em usuários de álcool no Ensino Médio em
Santa MariaSanta Maria::dobrará
Construa no Excel o gráfico da função, Construa no Excel o gráfico da função, aparecendo as situações aparecendo as situações aa e e bb.
triplicará
Dinâmica de Resolução da Atividade
a) Para descobrir o ano em que o número de
usuários vai dobrar, basta tomar o valor
inicial, que é de 11 milhares e calcular o
dobro, ou seja, 22 milhares. Como o
modelo matemático é descrito por
, para obter o dobro, ou seja,
22, procura-se o valor de t, tal que .
Fazendo-se ,isto é, t é
aproximadamente 7,5 anos. Portanto,
conclui-se que, para a população de usuários
de álcool no ensino Médio em Santa Maria
dobrar, seriam necessários,
aproximadamente, 7 anos e 6 meses.
ttU 1,1.11)(
22)( tUt1,1.1122
c) Para construir o gráfico no Excel, constrói-se
inicialmen- te a tabela, incluindo-se os resultados
encontrados nas letras a e b:
b) Para o número de usuários chegar ao triplo,
basta triplicar-se o valor inicial, passando-se de
11 milhares para 33 milhares. De maneira
análoga a anterior, faz-se
, igualando-se , de onde se
conclui que o valor de t é de aproximadamente
11,5 anos.
Assim, descobre-se que seriam necessários 11
anos e 6 meses para que o número de usuários
de álcool no ensino Médio, em Santa Maria,
triplique.
33)( tU t1,1.1133
Tabela 4Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria.
Tempo (anos) Usuários (Milhares)
0 11
1 12,1
2 13,31
3 14,64
4 16,1
5 17,71
7,5 22
11,5 33
Fonte: Dados construídos a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.
Usuários Álcool
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12 14
Tempo (anos)
Usu
ário
(milh
ares
)
Gráfico da função:
Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS.
Pode-se observar, graficamente, o ano em que a população dobrou e também quando triplicou.
ATIVIDADE 5ATIVIDADE 5
Como o modelo encontrado tem como ano 0 o ano
2000, e a pergunta refere-se ao ano 1990, isto é, há
dez anos atrás, deve-se usar para t 0 o valor -10:
ttU 1,1.11)( 18,438,0.111,1.11)10( 10 U milhares
Assim, o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria, no ano de 1990 é de 41804180.
Use o modelo que construímos para o número de
usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria
para estimar o número de usuários que havia em 1990,
admitindo-se que a taxa de crescimento é a mesma e
construa o gráfico no Excel, incluindo essa situação.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Figura 4 - Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS.
Construção do Gráfico
ATIVIDADE 6ATIVIDADE 6
Identifique nas tabelas a seguir se elas representam
ou não os dados de uma Função Exponencial:
x y
0 20,0
1 21,0
2 22,10
3 23,2775
4 24,6425
5 26,2650
x y
0 20,0
1 21,0
2 22,05
3 23,1525
4 24,3101
5 25,5256
a) b)
Dinâmica de Resolução da Atividade
ATIVIDADE 7ATIVIDADE 7
O número de usuários (em milhares) de álcool numa cidade tem crescido nos últimos 6 anos segundo o gráfico da Função Exponencial dada abaixo:
a) Use o gráfico para estimar
em que ano a população
dobrou.
b) Verifique graficamente que
o tempo necessário para a
população duplicar não
depende do ponto onde se
começa a analisar.
0 1 2 3 4 5 6 7
800
700
600
500
400
300
200
100
Considerando a população inicial como sendo
a ordenada inicial, percebe-se, pelo gráfico,
que esta é menor do que 100 e que, para
dobrar precisa de quase 2 anos, associando-a
à abscissa correspondente. Esse é o tempo
necessário para que qualquer valor da
população venha a dobrar, que nada mais é do
que o fator de crescimento desta função.
Dinâmica de Resolução da Atividade
ATIVIDADE 8ATIVIDADE 8
Pesquise a população do estado de São
Paulo no ano 2000, após descubra o número de
dependentes de álcool nessa população e a taxa
de crescimento do número de dependentes a cada
ano.
Responda às seguintes questões:Responda às seguintes questões:
a) Qual é o modelo matemático que descreve o
número de dependentes de álcool a partir do
ano 2000, em função do tempo t?
b) Se essa taxa permanece constante, qual será a
previsão para o número de dependentes em
2010?
Obteve-se as seguintes informações:Obteve-se as seguintes informações:
no ano 2000, a população do Estado de São
Paulo era de aproximadamente 37 milhões,
segundo dados do Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística (IBGE),
aproximadamente 6,6% da população eram
dependentes de álcool nesse ano;
a taxa de crescimento do número de
dependentes era de 1,4% a cada ano (IBGE,
2005 e CEBRID, 2000).
Primeiramente, calcula-se o número
inicial de dependentes no ano 2000, que
corresponde a 2,44 milhões. Sabendo a taxa
anual de dependentes, que é de 1,4% , ou
seja, 0,014 , encontra-se o fator de
crescimento, que é 1,014.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Tabela Representativa dos Dependentes de
Álcool no Estado de São Paulo.
Tempo (anos) Dependentes (Álcool)
0 2,44
1 2,47
2 2,50
3 2,54
Fonte: Dados da autora.
ATIVIDADE 9ATIVIDADE 9
Em 2000, a população do Rio Grande do Sul
era de 10 milhões. Supondo que a porcentagem do
número de dependentes de álcool seja a mesma de
São Paulo, ou seja, 6,6% da população e que a taxa
de crescimento do número de dependentes também
é de 1,4% ao ano, pede-se:
a) O modelo matemático para o número de dependentes de álcool no RS, desde o ano 20002000, em função do tempo tt.
b) Se essa taxa permanecer constante, qual a previsão para o número de dependentes nos anos 20052005,
20102010 e 20202020 ?
Dinâmica de Resolução da Atividade
Dinâmica de Resolução da Atividade
ATIVIDADE 10ATIVIDADE 10
O risco de acidentes automobilísticos cresce com a
quantidade de álcool ingerido. Usando como
referência o número de cálices de vinho ingeridos,
tem-se a seguinte tabela do risco de acidentes (em
porcentagem):
Risco de acidentes automobilísticos Risco de acidentes automobilísticos
em função do número de cálices ingeridosem função do número de cálices ingeridos..
Nº de CálicesRisco de Acidentes
(%)
0 0,95
1 1,23
2 1,59
3 2,05
4 2,64
Fonte: Dados adaptados (BASSANEZI, 2002, p.275).
a) O modelo matemático que indica o risco de acidentes automobilísticos, em função do número de cálices de vinho bebidos.
Sabendo-se que a taxa de risco é constante, pede-se:Sabendo-se que a taxa de risco é constante, pede-se:
Dinâmica de Resolução da Atividade
a) Primeiramente, sugere-se que se encontre o fator de
crescimento, usando-se os valores fornecidos na tabela: