Stefania Pozio Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale? Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale? Stefania Pozio Nucleo: Spazio e Forme PREREQUISITI conoscenza delle altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo ATTIVITÁ Altezze, mediane, bisettrici e assi nei triangoli Scheda di lavoro 1 Le altezze nei triangoli Scheda di lavoro 2 Le bisettrici nei triangoli Scheda di lavoro 3 Le mediane nei triangoli VALUTAZIONE ATTIVITÁ All’interno delle schede di lavoro Scheda di lavoro 4 Gli assi nei triangoli Scheda per attività per le eccellenze
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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di ... · bisettric i e assi nei triangoli Scheda di lavoro 1 Le altezze nei triangoli Scheda di lavoro 2 Le bisettrici nei ...
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Stefania Pozio Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?
Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?
Stefania Pozio
Nucleo: Spazio e Forme
PREREQUISITI
conoscenza delle altezze, mediane,
bisettrici e assi di un triangolo
ATTIVITÁ
Altezze, mediane,
bisettrici e assi nei triangoli
Scheda di lavoro 1
Le altezze nei
triangoli
Scheda di lavoro 2
Le bisettrici nei triangoli
Scheda di lavoro 3
Le mediane nei
triangoli
VALUTAZIONE ATTIVITÁ
All’interno delle schede di lavoro
Scheda di lavoro 4
Gli assi nei triangoli
Scheda per attività
per le eccellenze
Stefania Pozio Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?
Introduzione
Tematica: Altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo.
Finalità e obiettivi di apprendimento: l’obiettivo di questa attività è quello di far lavorare
gli studenti su modelli di triangoli costruiti in carta o in cartoncino, far localizzare altezze,
mediane, bisettrici e assi senza l’uso di riga e/o squadra, ma sfruttando le loro proprietà, e,
infine, insegnare loro ad utilizzare il software Geogebra che permette di avere una visione
dinamica delle proprietà di questi segmenti particolari.
Metodologia: si tratta sempre di attività laboratoriali da svolgersi in piccoli gruppi o
singolarmente. L’unità è divisa in quattro diverse attività. Per ciascuna di esse è stata messa a
punto una scheda rivolta all’insegnante in cui è spiegato come far svolgere agli studenti tale
attività. Ogni attività è divisa in due fasi: nella prima fase si lavora con le mani per costruire
triangoli di diversi tipi di carta o cartoncino e per individuare una volta le altezze, un’altra le
bisettrici, un’altra ancora le mediane e infine, gli assi. Nella seconda parte si lavora al
computer utilizzando Geogebra.
Stefania Pozio Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?
Descrizione dell’attività
Condizione, problema o stimolo da cui nasce l'attività
In prima media, quando si cominciano ad analizzare i triangoli e a studiarne le loro proprietà,
si affronta anche l’argomento che riguarda la localizzazione e costruzione delle altezze,
bisettrici, mediane e assi di un triangolo. Molto spesso questo argomento si limita a far
disegnare agli studenti i tre diversi tipi di triangoli (acutangoli, rettangoli ottusangoli) e a far
disegnare questi segmenti “speciali” con l’uso della riga e della squadra, ma, come sostiene la
Castelnuovo:
1) il disegno non suggerisce dei problemi perché offre un numero finito di casi (…);
2) non conduce all’osservazione per il fatto che è statico;
3) non può fornire un’immagine reale di una situazione spaziale.
(Didattica della matematica pag. 85-86)
Ecco dunque da che cosa è nata l’esigenza di un’attività pratica che riguardava questo
argomento.
Inoltre, ormai l’era dell’informatica mette a disposizione gratuitamente dei software come
Geogebra che hanno delle enormi potenzialità per far comprendere meglio determinati
concetti, ma che ancora sono sotto utilizzati sia dagli insegnanti, ma soprattutto dagli studenti.
Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l’attività
Per tutte le attività è necessario che gli studenti sappiano cosa siano le altezze, le mediane, le
bisettrici e gli assi di un triangolo. È sufficiente che ne conoscano la definizione, ma non è
necessario che abbiano già provato a disegnarli con la riga e/o la squadra.
Strumenti forniti agli allievi
Per tutte le attività proposte gli studenti devono avere con loro un righello, un paio di forbici,
del cartoncino (Attività 1 e Attività 3) o dei fogli di carta di tipo A4 (Attività 2 e Attività 4). Per
l’Attività 1 è necessario un filo a piombo (è sufficiente un filo ogni 2-3 studenti). Per l’Attività 3
è necessario un ago con del filo per cucire colorato, uno per ogni studente.
Inoltre, per poter realizzare la seconda fase di ciascuna attività sono necessari i computer,
possibilmente uno per studente. Necessario, ma non indispensabile, un computer per
l’insegnante collegato ad un videoproiettore, in modo che gli studenti possano più facilmente
seguire le istruzioni.
Organizzazione della classe e metodologia
Tutte le attività dovrebbero essere svolte singolarmente, o al massimo in coppia, in modo da
dare a tutti la possibilità di svolgere un’attività pratica. L’insegnante deve coordinare il lavoro e
dare agli studenti le istruzioni necessarie per svolgere il lavoro in modo corretto. Dovrebbe
cercare di controllare che gli studenti lavorino con precisione, eventualmente invitarli a rifare il
lavoro nel caso fosse stato fatto in modo troppo approssimativo. Al termine di ogni fase è
necessario fermarsi per far emergere dagli studenti tutte le possibili osservazioni e anche
uguaglianze e differenze rispetto a ciò che è emerso nell’attività precedente.
Alla fine si potrebbe far costruire agli studenti un quadro sinottico del seguente tipo che
riassume un po’ tutte le loro osservazioni:
Stefania Pozio Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?
Nome Definizione Punto d’incontro Caratteristiche
particolari
Nome Interno
(tipo di
triangolo)
Esterno (tipo
di triangolo)
Altezza Perpendicolare
dal vertice al
lato opposto
Ortocentro Sì (triangolo
acutangolo)
Sì (triangolo
ottusangolo)
Nel triangolo rettangolo
l’ortocentro coincide con
il vertice dell’angolo
retto.
Bisettrice Segmento che
divide a metà
ciascun angolo
del triangolo
Incentro Sempre Mai L’incentro rappresenta il
centro della
circonferenza inscritta
nel triangolo.
È equidistante dai lati
del triangolo.
Mediana Segmento che,
partendo da un
vertice, arriva
alla metà del
lato opposto.
Baricentro Sempre Mai È il punto di equilibrio
del triangolo.
Divide la mediana in due
parti di cui una il doppio
dell’altra.
Asse Perpendicolare
a un lato nel
punto medio
Circocentro Sì (triangolo
acutangolo)
Sì (triangolo
ottusangolo)
Nel triangolo rettangolo
il circocentro coincide
con il punto medio
dell’ipotenusa.
Il circocentro
rappresenta il centro
della circonferenza
circoscritta al triangolo.
È equidistante dai
vertici.
Per quanto riguarda la seconda fase di ciascun attività, quella relativa al lavoro al computer,
ciascuna meta scheda riporta le istruzioni che è necessario seguire per le diverse costruzioni.
Sarebbe utile se il docente potesse avere a disposizione un computer collegato ad un
videoproiettore su cui proiettare di volta in volta le diverse schermate riportate sulla meta
scheda per facilitare gli studenti nella comprensione delle istruzioni.
Fasi e tempi
L’unità comprende 4 diverse attività articolate, ciascuna, in due fasi dello stesso lavoro
(l’Attività 4 è suddivisa in 3 fasi). Le attività non devono necessariamente essere svolte
nell’ordine in cui sono state numerate. Tutta l’unità dovrebbe essere svolta nell’arco di quattro
settimane, un’attività a settimana. È meglio mantenere questo ritmo in modo da non far
passare troppo tempo tra un’attività e l’altra e, nello stesso tempo, in modo da dare il tempo
agli studenti di riflettere sugli stimoli forniti. I tempi di svolgimento sono stati stimati uguali
per tutte le attività, anche se, ovviamente, la fase 2, quella che riguarda il lavoro al computer,
richiederà, man mano che le attività vengono svolte, sempre meno tempo nello svolgimento in
quanto gli studenti dovrebbero diventare sempre più “esperti” nel lavorare con Geogebra.
Stefania Pozio Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?
Attività 1
Le altezze nei triangoli
Tipologia: attività laboratoriale con costruzione di modelli in cartoncino di triangoli di diverso
tipo e relativa individuazione delle altezze, mediane, bisettrici e assi.
Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di far visualizzare concretamente le altezze,
mediane, bisettrici e assi perché, come afferma la Castelnuovo: “più tempo i nostri ragazzi
avranno dato allo studio del concreto, quanto più tempo avranno perduto nell’osservare, tanto
meglio passeranno dopo alla comprensione delle forme astratte”.
(Didattica della matematica p.75)
Tempo: 3 ore (1 ora + 2 ore)
Fase 1
A ogni alunno fate disegnare e ritagliare su un
cartoncino (va bene il cartoncino delle scatole
dei Corn Flakes) tre triangoli, uno acutangolo,
uno rettangolo e uno ottusangolo (Foto 1).
Costruite un filo a piombo utilizzando del filo da
cucire colorato e un dado di acciaio.
Le dimensioni sono indicative. È meglio che
ciascun alunno disegni un triangolo diverso dai
suoi compagni in modo da avere una maggiore
quantità di esempi e poter quindi effettuare
delle generalizzazioni. I triangoli devono essere
abbastanza grandi, con lati maggiori di 10-12
cm.
Foto 1: i triangoli
Stefania Pozio Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?
Dividete gli alunni a coppie. Fate prendere il triangolo
acutangolo. Uno studente poggia il triangolo su un lato
e fa passare il filo a piombo per il vertice opposto (vedi
Foto 2), l’altro, con una matita, segna, sul triangolo, il
punto in cui il filo a piombo tocca il lato. Poi, con il
righello, traccia l’altezza unendo il punto trovato con il
vertice opposto.
Fate ripetere lo stesso procedimento per gli altri due lati
(Foto 3).
In questo modo dovrebbero aver trovato l’ortocentro.
Foto 2: la costruzione della prima altezza
Foto 3: la costruzione della seconda e terza altezza
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Ora fate ripetere lo stesso procedimento con il triangolo rettangolo. Gli
studenti dovrebbero osservare subito che il filo a piombo coincide con i
cateti e quindi i cateti rappresentano due delle tre altezze. L’ortocentro
si trova in corrispondenza del vertice dell’angolo retto (Foto 4).
Fate ripetere lo stesso procedimento con il triangolo ottusangolo. Gli studenti vedranno
immediatamente che due delle tre altezze non cadono all’interno del triangolo e quindi
l’ortocentro dovrà trovarsi necessariamente fuori dal triangolo (Foto 5). Per far visualizzare
l’ortocentro in un triangolo ottusangolo, fate disegnare a ciascun alunno un triangolo
ottusangolo su un foglio e, con l’aiuto di riga e squadra, fate individuare l’ortocentro.
Foto 4: le altezze nel triangolo rettangolo
Foto 5: le altezze nel triangolo ottusangolo
Stefania Pozio Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?
Fase 2
In questa seconda fase, la costruzione delle altezze viene fatta utilizzando Geogebra. Questo
software si può scaricare gratuitamente da Internet. Andate all’indirizzo
http://geogebra.softonic.it/ e poi cliccate su Download.
Quando aprite Geogebra vi appare il seguente foglio.