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A LGICA TK EM DEDUO NATURAL, CLCULO DE SEQUENTES E TABLEAUX
THE TK LOGIC IN NATURAL DEDUCTION, SEQUENT
CALCULUS AND TABLEAUX
Ana Claudia de Jesus Golzio*
Angela Pereira Rodrigues*
Resumo: (Feitosa, Grcio, Nascimento, 2007) introduziram uma nova
lgica, a Lgica TK, que foi apresentada inicialmente no estilo
hilbertiano. O objetivo deste trabalho apresentar a Lgica TK em
sistemas de deduo natural, clculo de sequentes e tableaux assim
como demonstrar a equivalncia entre esses novos sistemas e o
original. Palavras-chave: Sistema hilbertiano. Deduo natural.
Clculo de seqentes. Tableaux. Lgica TK. Abstract: (Feitosa, Grcio,
Nascimento, 2007) introduced a new logic, the TK Logic, that was
presented initially in the Hilbert style. The objective of this
work is to present the TK Logic in systems of natural deduction,
sequent calculus and tableaux as well as to show the equivalence
between this new systems and the original one. Keywords: Hilbert
system. Natural deduction. Sequent calculus. Tableaux. TK
Logic.
1. Introduo
A lgica aparentemente nasceu na Grcia, com os sofistas, por
volta do sculo V
a. C., entretanto foi Aristteles [384-322 a.C.], filsofo grego
quem sistematizou e or-
ganizou esse conhecimento, elevando-o categoria de cincia.
Na lgica moderna, a anlise dos mtodos de inferncias feita a
partir de lin-
guagens artificiais, formadas por um conjunto de smbolos que
permitem encontrar ex-
presses que tm significado nico para uma teoria, isto , sem
ambiguidade. A presen-
a de linguagens artificiais uma das principais caractersticas de
um sistema formal.
Um sistema formal o componente sinttico de uma teoria e o estudo
dos signi-
ficados que esses smbolos adquirem caracteriza o componente
semntico. O Clculo
Proposicional Clssico (CPC) um exemplo de sistema formal.
* Faculdade de Filosofia e Cincias - Universidade Estadual
Paulista. [email protected]. * Faculdade de Filosofia e
Cincias. Universidade Estadual Paulista.
[email protected].
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David Hilbert [1862-1943] um dos matemticos mais importantes da
virada do
Sculo XIX para o Sculo XX, em 1920, apresentou a proposta de que
teorias matem-
ticas deveriam ser fundadas em princpios axiomticos e mostrar
que as teorias matem-
ticas eram isentas de contradio.
Atualmente relacionada Proposta de Hilbert temos a teoria da
prova, que se
constitui num notrio ramo da Lgica. Seu objetivo central
pesquisar mtodos de pro-
va ou de deduo. Alguns exemplos de mtodos de deduo so: sistema
hilbertiano,
sistema de deduo natural, sistema de clculo de sequentes e
sistema de tableaux.
Outros conceitos de fundamental importncia para este trabalho
esto relaciona-
dos noo de consequncia lgica.
Tarski (2001), em seu artigo Acerca do conceito de consequncia
lgica, afir-
ma que o conceito de consequncia lgica no foi introduzido
arbitrariamente no campo
das investigaes estritamente formais, mas foram feitos esforos
para aproxim-lo do
conceito usual de consequncia, isto , do conceito usado na
linguagem do dia-a-dia.
No artigo citado acima encontramos a primeira tentativa de
formular uma defi-
nio precisa do conceito apropriado de consequncia, feita por
Carnap, e que pode ser
enunciada como:
A sentena X segue-se logicamente das sentenas da classe K se, e
somente se,
a classe consistindo de todas as sentenas de K e da negao de X
contraditria.
No artigo Sobre alguns conceitos fundamentais da metamatemtica
de Tarski
(2001) existe uma primeira introduo lgica abstrata (ou
universal), definindo o sig-
nificado e estabelecendo as propriedades elementares de alguns
conceitos importantes
pertencentes s cincias dedutivas, a partir da definio de um
sistema lgico constitu-
do somente por sentenas e pelo operador de consequncia. O
operador de consequncia
de Tarski indica, dado um conjunto de sentenas, qual a
consequncia do conjunto
dado.
Ainda de acordo com o artigo citado acima, o campo de pesquisa
da metamate-
mtica formado pelas disciplinas dedutivas formalizadas, e estas
disciplinas so con-
sideradas como conjuntos de sentenas, tambm chamadas de sentenas
significativas,
nos quais, a partir das sentenas de qualquer conjunto X, outras
sentenas podem ser
obtidas por meio de operaes denominadas regras de inferncia.
Essas sentenas so
chamadas de consequncias do conjunto de sentenas X. O conjunto
de todas as senten-
as denotado por S e o conjunto de todas as consequncias de X
denotado pelo sm-
bolo Cn(X).
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Velasco (2004) apresenta algumas propriedades do operador de
consequncia
presentes no texto On some fundamental concepts of
metamathematics de Alfred
Tarski, em que L = (S, Cn) uma estrutura de Tarski, Cn o
operador de consequncia
e S um conjunto no vazio e enumervel. importante ressaltar que a
enumerabilida-
de j no exigida nas definies de (Feitosa, Grcio, Nascimento,
2007) acerca do
operador de consequncia.
Ainda segundo (Velasco, 2004) o operador Cn definido no conjunto
dos sub-
conjuntos de S, isto , Cn: P(S) P(S) e deve satisfazer os
axiomas:
Ax1: X Cn(X)
Ax2: Cn(Cn(X)) = Cn(X)
Ax3: Cn(X) = Cn(X), para todo X X tal que X finito e
Ax4: Existe uma sentena x tal que Cn({x}) = S.
Tarski assumiu posteriormente a condio X Y Cn(X) Cn(Y) como
axi-
oma ao invs do axioma Ax3, entretanto esse novo sistema mais
fraco que o primeiro,
pois o axioma Ax3 no dedutvel de um sistema que contenha a
condio acima e os
axiomas Ax1, Ax2 e Ax4.
De forma similar, Feitosa, Grcio e Nascimento (2007) definem o
operador de
consequncia em S como uma funo Cn: P(S) P(S) tal que, para todo
X, Y S,
ocorre (1), (2) e (3):
X Cn(X) (1)
X Y Cn(X) Cn(Y) (2)
Cn(Cn(X)) Cn(X) (3).
O item (1) diz que toda sentena que pertence a certo conjunto X
considerada
como consequncia desse conjunto. J o item (2) diz que se um
conjunto X est contido
em um conjunto Y e se uma sentena pertence s consequncias do
conjunto X, ento
esta sentena pertence s consequncias do conjunto Y. O item (3)
diz que se uma sen-
tena pertence ao conjunto das consequencias das consequencias do
conjunto X, ento
esta sentea pertence s consequencias do conjunto X. E dos itens
(1) e (3), possvel
obter Cn(Cn(X)) = Cn(X), isto , o conjunto das consequncias das
consequncias de
um conjunto X coincide com o conjunto das consequncias de X.
A partir dessa definio do operador de consequncia, vrios
resultados envol-
vendo o conceito de espaos quase topolgicos so obtidos - ver
(Feitosa, Grcio, Nas-
cimento, 2007).
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As definies de (Feitosa, Grcio, Nascimento, 2007) e de (Velasco,
2004) fo-
ram apresentadas concomitantemente devido relevncia das
primeiras para este traba-
lho. Pois usando recursos algbricos, Feitosa, Grcio e Nascimento
(2007) interpretaram
uma verso simplificada do operador de consequncia de Tarski como
operador de uma
estrutura algbrica. A partir da, esses autores introduziram uma
nova lgica, a Lgica
TK, de cunho modal, que caracteriza as noes acima indicadas e
que foi apresentada
no estilo hilbertiano, com axiomas e regras de deduo.
O objetivo central desse trabalho apresentar a Lgica TK em
sistemas de
deduo natural, cculo de sequentes e tableaux e mostrar a
equivalncia entre esses
novos sistemas e a verso introduzida por Feitosa, Grcio e
Nascimento (2007). Mostrar
essa equivalncia significa mostrar que todas as dedues obtidas
na Lgica TK
tambm podem ser obtidas atravs de cada novo sistema apresentado
neste trabalho e
vice-versa.
2. O Clculo Proposicional Clssico num sistema hilbertiano
O mtodo axiomtico surgiu na Grcia antiga e podemos dizer que um
grande
colaborador foi Euclides de Alexandria [330-275 a.C.], que
sistematizou a geometria em
sua obra Elementos, formada por 13 livros. A partir de axiomas e
postulados Euclides
demonstrou 465 proposies. Durante sculos, a geometria de
Euclides foi considerada
como manifestao mxima do saber rigoroso e organizado.
Atualmente, sabemos que
Euclides fazia uso, em suas dedues, de conceitos no explicados
anteriormente e de
definies que apenas do uma idia intuitiva do que se queria
definir, tal como o de
uma linha ser um comprimento sem largura.
Apenas no final do Sculo XIX, o mtodo axiomtico adquiriu um
aspecto for-
mal cabalmente rigoroso devido a trabalhos como o do matemtico
alemo David Hil-
bert. Hilbert axiomatizou a geometria euclidiana.
A verso hilbertiana para o CPC utilizada aqui baseada em
(Schwichtenberg,
Troelstra, 2000) com algumas pequenas adaptaes.
Definio 2.1: Faremos uso de uma linguagem , determinada por um
alfabeto (conjun-
to de smbolos), um conjunto de frmulas, axiomas (que so frmulas
da lgica s quais
se atribui um status especial de verdades bsicas) e pela regra
de deduo Modus
Ponens (que nos permitir inferir novas frmulas a partir de
outras frmulas):
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Alfabeto: os smbolos de so os seguintes: , , , , ), (, p1, p2,
p3, ...
Observaes: (i) consideramos (falso) uma constante lgica e
introduziremos o co-
nectivo (negao) por definio
A =df A .
(ii) o smbolo (se, e somente se) tambm definido
AB =df (AB) (BA).
Naturalmente, =df significa que o termo da esquerda definido
pelo termo da direita.
Conjunto de frmulas:
a) as variveis proposicionais so frmulas atmicas;
b) uma frmula atmica;
c) se A e B so frmulas, ento AB, AB, A B e A so frmulas;
d) todas as frmulas so dadas pelos itens (a), (b) e (c).
Axiomas:
(Ax1) A (B A)
(Ax2) (A (B C)) ((A B) (A C))
(Ax3) A AB
(Ax4) B AB
(Ax5) (A C) ((B C) (AB C))
(Ax6) AB A
(Ax7) AB B
(Ax8) A (B (AB))
(Ax9) A
(Ax10) A(A ).
Observao: o que chamamos de axiomas so na realidade esquemas de
axiomas, isto
, A, B e C so frmulas quaisquer e, portanto, existem infinitas
instncias destes axio-
mas.
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Regra de deduo - Modus Ponens (MP):
A, A B B.
Definio 2.2: Uma demonstrao uma sequncia de frmulas A1,..., An,
tal que, toda
frmula na sequncia uma instncia de um axioma ou obtida de dois
membros ante-
riores da sequncia atravs da regra Modus Ponens.
Definio 2.3: Um teorema A uma frmula, tal que existe uma
demonstrao A1,...,
An, em que o ltimo termo da sequncia A (ou seja, An = A).
Representamos que A um teorema por A.
Os axiomas tambm so teoremas cujas demonstraes so sequncias com
ape-
nas uma frmula.
Definio 2.4: Uma deduo a partir de um conjunto de frmulas uma
sequncia
A1, ..., An, 1 i n, em que vale alguma das condies
seguintes:
a) Ai um axioma;
b) Ai ;
c) Ai obtida, por meio da regra Modus Ponens, de dois membros
anteriores.
O ltimo membro da sequncia, An, uma consequncia de , e denotamos
isto
por An.
Temos a seguir o enunciado do Teorema da Deduo. No o provaremos,
mas
sua prova pode ser encontrada em (Feitosa, Paulovich, 2005).
Teorema 2.5: (Teorema da Deduo, T.D.) Seja {A, B} um conjunto de
frmulas
de . Se {A} B, ento A B.
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Como rvores iro desempenhar um papel importante ao longo deste
trabalho,
vamos comear apresentando a sua definio.
Definio 2.6: Um rvore uma estrutura S, L, R, tal que:
S representa um conjunto de elementos {A1, A2, A3,..., An}
chamados pontos.
L uma funo que associa a cada ponto A, um inteiro positivo L(A)
chamado
nvel de A.
R uma relao definida em S, na qual A chamado antecessor de B e
B
chamado sucessor de A. Essa relao deve obedecer as seguintes
condies:
i. H um nico ponto A1 de nvel 1, chamado origem da rvore.
ii. Todos os pontos de S, menos a origem (a origem no tm
antecessor), tem
um nico antecessor.
iii. Para quaisquer pontos A e B, se B um sucessor imediato de
A, ento L(B)
= L(A) + 1.
3. O Clculo Proposicional Clssico dado em um sistema de deduo
natural
Segundo Hilbert, os sistemas de axiomatizao no espelham a forma
como as
pessoas, em geral, procedem em suas dedues. Ento, em 1935,
Gerhard Gentzen, na
tentativa de criar um sistema que fosse o mais prximo do
procedimento humano usual
e instigado por questes sobre a Fundamentao da Matemtica, mais
especificamente,
sobre a consistncia da Aritmtica, desenvolveu o sistema de prova
denominado dedu-
o natural. Porm, devido presena de uma regra no sistema de deduo
natural,
chamada regra do corte, Gentzen no conseguiu demonstrar a
consistncia da aritmtica
apresentada neste sistema.
O procedimento de deduo num sistema de deduo natural consiste em
aplicar
um conjunto de regras de inferncias a um conjunto de premissas,
gerando alguns resul-
tados. Se ainda no o resultado desejado, ento aplicam-se
novamente regras at que o
resultado desejado aparea.
As regras do sistema so de dois tipos: de introduo e de
eliminao, ou seja, o
sistema possui regras para introduzir conectivos e regras para
elimin-los.
As regras do sistema de deduo natural so regras postuladas, ou
seja, so re-
gras aceitas sem demonstrao. Entretanto, a escolha destas regras
no aleatria, elas
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devem preservar a principal caracterstica de uma deduo lgica: se
as premissas de
uma deduo so verdadeiras, ento a concluso tem que ser
verdadeira.
O mtodo de deduo natural apresentado aqui ser determinado sobre
a lingua-
gem ou alfabeto proposicional = { , , , , , ( , ) , p1, p2, p3,
...}do Clculo
Proposicional Clssico e composto das seguintes regras:
Regras de introduo (I) Regras de eliminao (E)
Conjuno
( ) BA
B
A
A
BA
B
BA
Disjuno
( ) BAA
BA
B
C
BA se A C ou B C
Condicional
( ) BA
B
A
M
B
A
BA
Bicondicional
( ) BA
AB
BA
BA
BA
AB
BA
Negao
( ) AA
A
A
Cada regra receber um nome. A regra de introduo da conjuno ser
repre-
sentada por (I ) e a de eliminao por (E ), ou seja, se a regra
for de introduo o seu
nome ter a letra I e o smbolo do operador que ela introduz e se
a regra for de elimina-
o o seu nome ser composto pela letra E seguida do operador que
ela elimina.
Definio 3.1: Sejam um conjunto qualquer de frmulas e A uma
frmula. Uma de-
duo atravs do mtodo de deduo natural de A a partir de uma
sequncia finita
C1, ..., Cn de frmulas, tal que Cn = A e todo Ci, 1 i n, uma
frmula, de modo que
Ci ou Ci foi obtida de frmulas anteriores da sequncia, por meio
da aplicao de
alguma das regras de inferncia apresentadas acima.
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Definio 3.2: Sejam um conjunto qualquer de frmulas e A uma
frmula. Dizemos
que deriva A por deduo natural, se existe uma deduo de A a
partir de atravs do
mtodo de deduo natural. Denotamos tal fato por A.
4. O Clculo Proposicional Clssico num clculo de sequentes
Para solucionar o problema que ocorreu com a deduo natural, em
1935, Gent-
zen criou o sistema de clculo de sequentes, o qual possibilitou
a demonstrao do Teo-
rema da Eliminao do Corte (ou Hauptsatz). Este teorema garante
que toda prova pode
ser transformada em uma prova normal, ou seja, uma deduo sem a
presena da regra
do corte. Assim, Gentzen pde provar a consistncia da aritmtica.
Apenas em 1965,
Prawitz conseguiu demonstrar a consistncia da aritmtica usando
um sistema de dedu-
o natural.
O sistema que ser utilizado uma adaptao do sistema encontrado em
(Schwi-
chtenberg, Troelstra, 2000). Usamos tambm algumas definies dadas
por Gentzen
(1969).
Nossa linguagem far uso de um alfabeto, um conjunto de frmulas,
axiomas e
regras. O alfabeto e o conjunto de frmulas sero os mesmos dados
no mtodo axiom-
tico, porm acrescentaremos o smbolo no alfabeto.
Definio 4.1: Multiconjuntos finitos so conjuntos finitos com
possvel repetio de
elementos.
Em conjuntos {A, A, A, B} e {A, B} so conjuntos iguais, mas,
quando traba-
lhamos com multiconjuntos, temos que {A, A, A, B} {A, B}.
Definio 4.2: Sequentes so expresses da forma , em que e so
multicon-
juntos finitos. Chamamos de antecedente e de consequente do
sequente.
Observao: No sistema hilbertiano, entendemos o sequente , com =
{A 1,
A2,..., An}, = {B1, B2,, Bm} e C uma frmula qualquer, da
seguinte maneira:
a) Se e no so vazios, ento: (A1 A2 ... An) (B1 B2 Bm).
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b) Se vazio e no , ento: B1 B2 ... Bm.
c) Se vazio e no , ento: A1 A2 ... An C C.
d) Se e so vazios, ento: C C.
Definio 4.3: Considerando A e B frmulas arbitrrias e e
multiconjuntos finitos,
os seguintes axiomas e regras regem este sistema:
Axiomas:
(Ax) A A
(L) .
Regras estruturais:
-atenuao:
(LW)
A,
(RW)
, A
-contrao:
(LC) A, A,
A,
(RC) , A, A
, A
Regras operacionais:
(L) A, B,
AB,
(R) , A; , B
, AB
(L) A, ; B,
AB,
(R) , A, B
, AB
(L) , A; B,
A B,
(R) A, , B
, A B.
Definio 4.4: Chamamos de sequentes superiores e inferiores aos
sequentes que esto,
respectivamente, acima ou abaixo das linhas em que aparecem as
regras consideradas.
Definio 4.5: Uma prova construda a partir de axiomas por meio de
regras de infe-
rncia e tem a forma de uma rvore (invertida) , tal que:
a) Os pontos mais altos de so axiomas;
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b) Cada ponto de , exceto o ltimo, o sequente superior de uma
aplicao de
uma regra de inferncia cujo sequente inferior tambm ocorre em ,
imediata-
mente abaixo de .
Definio 4.6: Uma frmula A um teorema do clculo de sequentes se o
sequente
A pode ser provado.
5. O Clculo Proposicional Clssico em um sistema de tableaux
O mtodo dos tableaux analtico um mtodo de prova baseado em
refutao
que permite verificar se uma determinada frmula ou no um teorema
de uma teoria.
Alguns textos remetem a origem do mtodo dos tableaux Gentzen,
pois muitos
trabalhos que levaram ao desenvolvimento dos sistemas de
tableaux foram de algum
modo, inspirados pelos trabalhos de Gentzen em relao aos
sistemas de provas.
Segundo o Handbook of Tableaux Methods (1999) Beth e Hintikka,
tambm
contriburam com o desenvolvimento dos tableaux. O primeiro
artigo de Hintikka apa-
receu em 1955, no mesmo ano em que apareceu o artigo de Beth,
entretanto as apresen-
taes dos sistemas de tableaux de Beth e de Hintikka no possuam
uma notao sim-
plificada. Isso s foi possvel graas aos trabalhos de Zbigniew
Lis e de Raymond
Smullyan. Lis publicou suas idias em 1960, mas devido ao grande
abismo fixado entre
o ocidente e o oriente da Europa, elas permaneceram por muito
tempo desconhecidas e
o trabalho e Lis s voltou a receber ateno nos ltimos anos.
Smullyan aprimorou diversos conceitos e idias relacionadas aos
tableaux, cul-
minando, em 1968, com a publicao de seu livro First-Order Logic
e foi com esse
completo trabalho de Smullyan que o mtodo dos tableaux se tornou
bastante conheci-
do.
Uma apresentao formal desse mtodo de refutao com base em
(Smullyan,
1994) feita atravs das definies abaixo:
Definio 5.1: Uma rvore ordenada uma rvore no ordenada acrescida
de uma fun-
o que atribui a cada ponto de juno z uma seqncia (z) que no
contm repeti-
es, e cujo conjunto de termos consiste em todos os sucessores de
z.
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Definio 5.2: Uma rvore didica uma rvore ordenada em que cada
ponto juno
tem no mximo dois sucessores.
Definio 5.3: Um ponto chamado de ponto final quando no possui
pontos sucesso-
res. Se ele tem exatamente um sucessor chamado de ponto simples
e se ele possui
mais que um sucessor chamado de ponto de juno.
Definio 5.4: Um ramo qualquer sequncia finita ou infinita de
pontos, comeando
pela origem, de maneira que cada termo da sequncia, exceto (se
houver) o ltimo,
antecessor do prximo.
Definio 5.5: Quando um ramo tem um nmero finito de pontos, o
ltimo ponto dessa
sequncia o ponto final do ramo (da rvore) e esse ramo finito.
Quando um ramo
tem um nmero infinito de pontos um ramo infinito.
Definio 5.6: Os elementos bsicos do sistema de tableaux T
so:
I) Um alfabeto (AlfT) formado por um conjunto enumervel de
smbolos proposicionais
p1, p2, ..., pn, smbolos de pontuao ( e ), um conjunto de
operadores lgicos { ,
, , };
II) Um conjunto de frmulas (ForT), tal que, suas frmulas so
obtidas recursivamente
por:
i) Todo smbolo proposicional uma frmula, dita frmula atmica;
ii) Se A uma frmula, ento A uma frmula;
iii) Se A e B so frmulas, ento A B, AB, A B tambm so
frmulas;
iv) O conjunto de todas as frmulas gerado apenas pelos itens
acima.
III) Conjunto de regras de deduo.
Definio 5.7: A noo de subfrmula imediata dada pelas condies
abaixo:
I) Variveis proposicionais no tm subfrmulas imediatas.
II) A tem apenas A como subfrmula imediata.
III) As frmulas A B, AB e AB tm apenas A e B como subfrmulas
imediatas.
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Definio 5.8: A noo de subfrmula implicitamente definida pelas
regras:
I) Se A uma subfrmula imediata de B ou se A coincide com B, ento
A uma sub-
frmula de B.
II) Se A uma subfrmula de B e B subfrmula de C, ento A uma
subfrmula de
C.
Definio 5.9: As regras de expanso do tableau so as
seguintes:
I) Regras do tipo conjuntivo: so regras que adicionam novas
frmulas ao final do ramo.
As frmulas desse tipo so representadas pela letra e quando
ocorrer no ramo alguma
frmula do tipo , ser acrescentado no mesmo ramo as frmulas 1 e
2.
Nome da regra 1 2
R (A B) A B
R (A B) A B
R A B A B
II) Regras do tipo disjuntivo: so regras que bifurcam um ramo em
dois. As frmulas
desse tipo so representadas pela letra e quando ocorrer no ramo
alguma frmula do
tipo , sero acrescentadas as frmulas 1 e 2, uma do lado da
outra, no final do ramo e
cada uma ser a origem de um novo ramo.
Nome da regra 1 2
R A B A B
R A B A B
R (A B) A B
III) Regra especial: A regra da Dupla Negao (DN) ser considerada
uma regra de tipo
especial. Ela adiciona uma nova frmula ao final do ramo. As
frmulas desse tipo so
representadas pela letra e quando ocorrer no ramo alguma frmula
do tipo , ser a-
crescentado no mesmo ramo a frmulas 1.
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Nome da Regra 1
R A A
Definio 5.10: Um tableau analtico T para uma frmula A uma rvore
ordenada
didica , cujos pontos so frmulas, e que construda como se segue.
Inicia-se colo-
cando A na origem. Supe-se que j um tableau construdo para A e B
um
ponto final. Ento se pode estender atravs de uma das seguintes
operaes:
i) Se alguma frmula do tipo ocorre no ramo (em que B est), ento
se pode adicionar
ou 1 ou 2 como nico sucessor de B;
ii) Se alguma frmula do tipo ocorre no ramo (em que B est), ento
se pode simulta-
neamente adicionar 1 como sucessor da esquerda de B e 2 como
sucessor da direita de
B;
iii) Se alguma frmula do tipo ocorre no ramo (em que B est),
ento se pode adicio-
nar ou 1 como nico sucessor de B.
Definio 5.11: Um ramo de tableau fechado quando existem neste
ramo pontos que
correspondam s frmulas A e A.
Definio 5.12: Um tableau para uma determinada frmula A fechado
quando todos
os seus ramos so fechados.
Definio 5.13: Dizemos que deriva A por tableau, se existe um
tableau fechado para
o conjunto {, A}. Denotamos tal fato por =|| A.
6. A Lgica TK na verso hilbertiana
Existem muitas outras lgicas alm da lgica clssica. Podemos
classificar as
lgicas em: lgicas ampliadas, que estendem a lgica clssica e
lgicas alternativas, que
se propem a substituir a lgica clssica.
A lgica introduzida por Feitosa, Grcio e Nascimento (2007),
chamada Lgica
TK, um exemplo de lgica ampliada, pois estende a lgica clssica
ao enriquecer sua
linguagem com um novo operador de carter modal, motivado pelo
operador de conse-
quncia de Tarski.
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Como a Lgica TK uma extenso do CPC, ento todos os resultados que
valem
para o CPC, em particular o que j foi visto, so vlidos na Lgica
TK. Porm, teremos
alguns resultados a mais, dados pelo novo operador lgico.
Definio 6.1: A Lgica proposicional TK, de linguagem LH(,, , ,
p1, p2, p3,...),
definida por meio dos seguintes axiomas e regras:
Axiomas:
Axiomas do Clculo Proposicional Clssico
AxTK1 A A
AxTK2 A A.
Regras de Deduo:
MP: A, A B B
R: A B A B.
Observao: Quando trabalhamos com o operador de consequncia, o
Teorema da De-
duo no se aplica.
Proposio 6.2: (AB) A.
Demonstrao:
1. (AB) A Tautologia
2. (AB) A R em 1.
Proposio 6.3: A (AB).
Demonstrao:
1. A (AB) Tautologia
2. A (AB) R em 1.
Proposio 6.4: A frmula (A B) (A B) no vlida. Podemos
encontrar
este resultado em Feitosa, Grcio e Nascimento (2007).
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Proposio 6.5: A A.
Demonstrao:
1. A Premissa
2. A A AxTK1
3. A MP em 1 e 2.
7. A Lgica TK em um sistema de deduo natural
Definio 7.1: A Lgica proposicional TK em um sistema de deduo
natural de lin-
guagem LDN(,, , , , p1, p2, p3,...), obtida atravs do acrscimo
de novas regras
as regras do sistema de deduo natural para o CPC. Essas novas
regras, especficas
para o operador , so:
R: A
A
R: A_
A
R: AB_
AB
R: A
A
Definio 7.2: As definies de demonstrao e deduo (derivabilidade)
so as mes-
mas apresentadas no clculo proposicional clssico.
Agora ser estabelecida a equivalncia entre a Lgica TK na verso
axiomtica
introduzido por Feitosa, Grcio e Nascimento (2007) e a lgica TK
em deduo natural
apresentada neste trabalho.
A equivalncia entre um sistema de deduo natural e um sistema
hilbertiano j
foi feita em Gentzen (1969) para a lgica proposicional clssica.
Assim, neste trabalho a
demonstrao desta equivalncia ser estendida apenas para os casos
que envolvem o
operador .
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Teorema 7.3: Todas as regras da Lgica TK em deduo natural podem
ser deduzidas
atravs do sistema da Lgica TK na verso axiomtica.
R: A A
1. A Premissa
2. A A Axtk1
3. A MP em 1 e 2
R: A A
1. A Premissa
2. A A Ax tk2
3. A MP em 1 e 2
R: A B A B
1. AB Premissa
2. AB R em 1
R: A A
1. A Premissa
2. A A tautologia
3. A A R em 2
4. A MP em 1 e 3.
Teorema 7.4: Todos os axiomas e regras da Lgica TK na verso
axiomtica podem ser
deduzidos atravs do sistema da Lgica TK em deduo natural.
AxTK1: A A
1. A H
2. A (R) em 1
3. A A (I) de 1 a 2
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AxTK2: A A
1. A H
2. A (R) em 1
3. A A (I) de 1 a 2
R: A B A B.
1. A B H
2. A B (R) em 1.
Portanto, pelos Teoremas 7.3 e 7.4, est estabelecida a
equivalncia entre os sistemas
da Lgica TK nas verses axiomtica e deduo natural.
8. A Lgica TK em clculo de sequentes
Estenderemos o sistema de clculo de sequentes visto neste
trabalho atravs da
introduo do operador na linguagem e das seguintes regras para
este operador:
(TK1) A
A
(TK2) A
A
(TK3) A B
A B.
Observao: A regra (R) no pode ser aplicada aps a regra (TK3),
caso isso ocorra,
provaramos o Teorema da Deduo. Dessa forma, esta lgica teria
mais teoremas do
que a Lgica TK introduzida em (Feitosa, Grcio, Nascimento,
2007).
Provaremos um resultado vlido na Lgica TK atravs do clculo de
sequentes:
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A A
A A (Ax)
A A (TK1).
Agora mostraremos a equivalncia entre o sistema hilbertiano da
Lgica TK in-
troduzida em (Feitosa, Grcio, Nascimento, 2007) e o sistema em
clculo de sequentes
introduzido neste trabalho. Para mostrarmos a equivalncia entre
estes dois sistemas
estenderemos a equivalncia entre os sistemas hilbertiano e de
clculo de sequentes para
o Clculo Proposicional Clssico encontrada na literatura para as
regras do operador de
consequncia.
() Provaremos que as regras (TK1), (TK2) e (TK3) podem ser
deduzidas dentro da
Lgica TK na verso hilbertiana.
(TK 1) A
A
1. A Premissa
2. A A AxTK1
3. A MP em 1 e 2.
(TK 2) A
A
1. A Premissa
2. A A AxTK2
3. A MP em 1 e 2.
(TK 3) A B
A B
1. A B Premissa
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2. A B R.
() Provaremos, agora, que os axiomas AxTK1 e AxTK2 e a regra R
correspondem a
algum sequente vlido.
A A
A A (Ax)
A A (TK1)
A A (R)
A A
A A (Ax)
A A (TK2)
A A (R)
A B A B
A B A B (Ax)
A B A B (TK3).
9. Um sistema de tableaux para a Lgica TK
Definio 9.1: A Lgica proposicional TK em um sistema tableaux de
linguagem
LT(,, , , , p1, p2, p3,...), composta de regras do sistema de
tableaux para o CPC
e de regras, especficas para o operador , que so:
R : A
A
R: A
A
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R: )BA(
B
A
, quando =|| A B
Observaes: A regra R s deve ser aplicada no caso da frmula A B
ser hip-
tese do argumento ou um teorema da Lgica TK em tableaux.
Os resultados vlidos para o CPC em um sistema de tableaux ainda
so vlidas
aqui.
Abaixo ser estabelecida a equivalncia entre a Lgica TK na verso
hilbertiana
introduzida por Feitosa, Grcio e Nascimento (2007) e a lgica TK
no sistema de table-
aux apresentada neste trabalho.
Teorema 9.2: Os conjuntos (, A) e (, A) so T-inconsistentes o
conjunto T-
inconsistente.
Demonstrao: A demonstrao desse teorema j foi feita em
(Carnielli; Coni-
glio; Bianconi, 2006, p. 88) para a parte clssica de TKtab.
Portanto, ser apenas esten-
dida para o operador .
() Se os conjuntos (, A) e (, A) so T-inconsistentes, ento o
conjunto T-
inconsistente.
Demonstrao por induo sobre a complexidade de A:
I. J foi analisado para o caso de A ser uma frmula atmica.
II. Se a frmula A do tipo B:
(i) Por hiptese, o conjunto (, B) T-inconsistente e, pela
definio 5.12, existe um
tableau fechado para (, B):
.3
B.2
.1
Como existe um tableau fechado para (, B), ento ou existe um
tableau fe-
chado para ou o tableau fecha com o acrscimo da frmula B. No
segundo caso,
conclui-se que B ocorre no tableau.
(ii) Por hiptese, o conjunto (, B) tambm T-inconsistente. Assim,
pela definio
5.12, existe um tableau fechado para (, B):
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.3
B.2
.1
Como tambm existe um tableau fechado para (, B), ento ou existe
um
tableau fechado para ou o tableau fecha com o acrscimo da frmula
B. Logo,
B ocorre no tableau, isto , B ocorre no tableau.
De (i) e (ii) segue que fechado, pois B B ocorre no tableau de
ou h
um tableau fechado para independente destas frmulas.
Portanto, T-inconsistente.
O teorema seguinte mostra que todos os teoremas que podem ser
obtidos no sis-
tema hilbertiano de TK tambm podem ser obtidos no sistema de
tableaux de TK.
Teorema 9.3: Se A, ento A.
Demonstrao: A demonstrao desse teorema, j foi feita em
Silvestrini (2005) para a
parte clssica da Lgica TK em tableaux. Assim, a demonstrao por
induo sobre o
comprimento da deduo de A, a partir de ser estendida para o
operador .
Seja A um esquema de axioma da Lgica TK. Devemos verificar que
existe um
tableau fechado para {A}.
Para o esquema de axioma Axtk1, tem-se, A1 B B.
Para o esquema Axtk2, tem-se, A2 B B.
,5,3.6
R,4B.5
R,2)B(.4
R,2B.3
)BB(.2
.1
,5,4.6
R,3B.5
R,2)B(.4
R,2B.3
)BB(.2
.1
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Hiptese de Induo: Ai Ai, para todo i n.
Como j foi visto no caso clssico, as trs possibilidades para
An+1 em um passo
n+1 da deduo de A, a partir de so:
i. An+1 uma premissa ou
ii. An+1 um esquema de axioma da Lgica TK ou
iii. An+1 deduzida a partir de alguma regra da Lgica TK.
Para (i) e (ii), a demonstrao a mesma feita anteriormente para
verificar a ba-
se da induo. Para o caso (iii), preciso analisar a nica regra
ainda no avaliada que
exclusiva da Lgica TK, a R.
H uma deduo em que An B C e An+1 B C. Assim B C.
Pela hiptese de induo, h um tableau fechado para B C.
Logo, preciso mostrar que o tableau B C tambm fecha. Para
isso
ser construdo o tableau de { (B C)}:
Como B C, ento possvel aplicar a regra R na linha 5 do tableau
acima,
entretanto, por hiptese de induo B C e, portanto, o tableau
fecha.
Com esses resultados conclumos que se A, ento A.
Teorema 9.4: Se A, ento A.
Demonstrao: A demonstrao desse teorema ser estendida para o
operador , pois j
foi feita em Silvestrini (2005) para a parte clssica da Lgica TK
em tableaux.
R,4)CB(.5
R,2C.4
R,2B.3
)CB(.2
.1
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Para cada regra da Lgica TK em tableaux ser obtida na Lgica TK
uma cor-
respondente deduo usando uma reduo ao absurdo (RAA), ou seja,
uma deduo
indireta.
A regra (R ) tem uma deduo vlida na Lgica TK: A A:
1. A p.
2. A p.p.
3. A A tautologia
4. A MP em 2 e 3
5. A A Axtk1
6. A MP em 4 e 5
7. A (A(AA)) tautologia
8. A(AA) MP em 1 e 7
9. AA MP em 6 e 8
10. A RAA de 2 a 9
A regra (R) tem uma deduo vlida na Lgica TK: A A:
1. A p.
2. A p.p.
3. A A Axtk2
4. A MP em 1 e 3
5. A (A(AA)) tautologia
6. A(AA) MP em 2 e 5
7. AA MP em 4 e 6
8. A RAA de 2 a 7
A regra (R) tem uma deduo vlida na Lgica TK: A, B (AB):
1. A p.
2. B p.
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3. (AB) p. p.
4. (AB) (AB) tautologia
5. A B MP em 3 e 4
6. A B R em 5
7. B MP em 1 e 6
8. B (B (B B)) tautologia
9. B (B B) MP em 2 e 8
10. B B MP em 7 e 9
11. (AB) RAA de 3 a 10
Com esses resultados, temos que se A, ento A.
Portanto, pelos Teoremas 9.3 e 9.4, este trabalho apresenta a
equivalncia entre a
Lgica TK na verso axiomtica e a Lgica TK em um sistema de
tableaux.
10. Consideraes Finais
A Lgica TK foi inicialmente apresentada por Feitosa, Grcio e
Nascimento
(2007) em um sistema hilbertiano, na qual, para verificar se uma
frmula ou no um
teorema da Lgica TK, as dedues so feitas a partir de axiomas e
regras de infern-
cias.
O presente trabalho apresenta a equivalncia entre a Lgica TK na
verso axio-
mtica e a Lgica TK em sistemas de deduo natural, clculo de
sequente e tableaux, o
que torna possvel verificar se uma frmula um teorema da Lgica
TK, tambm atra-
vs de um sistema de deduo natural, ou de um sistema de clculo de
sequentes ou
ainda de um sistema de tableaux. Assim todas as dedues obtidas
na Lgica TK dada
no sistema hilbertiano, tambm podem ser obtidas atravs da Lgica
TK nos demais
sistemas e vice-versa.
Essa equivalncia tambm permite concluir que a correo e a
completude, pro-
priedades j demonstradas por Feitosa, Grcio e Nascimento (2007)
para a Lgica TK
na verso hilbertiana, tambm so vlidas para os sistemas de deduo
natural, de clcu-
lo de sequentes e de tableaux para a Lgica TK.
Dessa forma, em trabalhos envolvendo a Lgica TK, possvel
escolher dentre
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Knesis, Vol. II, n 04, Dezembro-2010, p. 285-311 310
os sistemas acima o melhor para se obter os resultados
pretendidos.
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Artigo recebido em: 16/08/10 Aceito em: 02/12/10