Aljabar matriks kofaktor

ALJABAR MATRIKSBy

Dzikri Nashrul Fauzi142151021

MINOR

Untuk mencari nilai kofaktor terlebih dahulu kita harus mencari nilai minor dari setiap elemen matrik. Untuk memudahkan, selanjutnya minor kita beri simbol dengan huruf M dan minor untuk setiap elemen matrik akan kita beri simbol dengan Mij dimana i adalah letak baris dan j adalah letak kolom dari setiap elemen matrik.contoh:diketahui matrik A sebagai berikut:

• maka minor elemen 2 yang terletak pada baris ke 1 kolom ke 1 diberi simbol dengan M11. Untuk mencari harga minornya dapat kita lakukan dengan mencoret atau menghilangkan baris ke 1 dan kolom ke 1 sehingga didapatkan matrik baru seperti berikut:

• jadi minor elemen 2 (M11) adalah :

• Serupa dengan cara di atas , minor elemen 3 (M12) adalah :

KOFAKTOR

Setelah mendapatkan harga minor dari masing-masing elemen matriks kita dapat menentukan nilai atau harga dari kofaktor. Cara mencarinya adalah dengan mengalikan masing-masing nilai minor di atas dengan tanda tempat masing-masing elemen. Adapun tanda tempatnya dapat dilihat pada gambar berikut:

Jadi berdasarkan tanda tempat di atas kita dapat mencari nilai kofakto dari masing-masing elemen matriks. Untuk selanjutnya kita akan berikan simbol untuk nilai kofaktor masing-masing elemen dengan Cij, dimana i menandakan baris dan j menandakan kolom. jadi untuk setiap elemen di atas kita dapatkan harga kofaktornya sebagai berikut:

MATRIK KOFAKTOR

Setelah kita mendapatkan harga atau nilai kofaktor dari masing-masing elemen matrik di atas, maka kita sekarang akan menyusun setiap nilai kofator tersebut sesuai dengan alamat tempatnya masing-masing. Susunan masing-masing elemen dari nilai kofaktor ini akan menghasilkan sebuah matrik baru yang kita namakan dengan matrik kofaktor. Untuk selanjutnya matrik kofaktor akan kita beri simbol dengan huruf C. Jadi matrik kofaktor (C) dari matrik di atas adalah:

EKSPANSI KOFAKTORDeterminan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom PertamaPada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A3x3

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a11 - a21 + a31

= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32

Contoh Soal: A =

Tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertamaJawab:det(A) =  = 1 -4 +3 = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8

ADJOIN MATRIK BUJUR SANGKAR

Jika kita sudah mendapatkan matrik kofaktor (C) maka kita sudah bisa mendapatkan adjoin dari matrik tersebut. Adjoin matrik bujur sangkar sama nilainya dengan transpose dari matrik kofaktor, jadi dengan mencari transpose dari matrik kofaktor kita sudah mendapatkan nilai adjoin matrik. Transpose dari matrik C adalah :

Maka matrik transpose dari matrik kofaktor dinamakan dengan matrik adjoin dari matrik A.

Jadi untuk memperoleh adjoin dari suatu matrik bujur sangkar A kita harus

- Membentuk matrik kofaktor C

- Menuliskan transpose dari matrik C yaitu CT

10

Aturan Cramer:Solusi untuk Sistem Persamaan Linier Ax = b

A matriks koefisien; b vektor (nx1); x vektor yang dicari

xi = i = 1, 2, 3, …, n

det(Ai)

det(A)

di mana Ai adalah matriks A dengan menggantikan kolom-i dengan (vektor) b

11

ATURAN CRAMER : A . X = B

Aj mengganti kolom ke j dengan matrix B

det(A1) det(A2) det(An)

x1= , x2= … , xn= det(A) det(A)

det(A)

12

Contoh : x + y + 2z = 92x + 4y - 3z = 13x + 6y - 5z = 0

=

A . X = B

Det (A) = = -1

9

10

xy

z

1 1 22 4 -3

3 6 -5

1 1 22 4 -33 6 -5

13

Det (A1) = = -1 x= det(A1)/det(A) = -1/-1 = 1

Det (A2) = = -2 y= det(A2)/det(A) = -2/-1 = 2

Det (A3) = = -3 z= det(A3)/det(A) = -3/-1 = 3

9 1 21 4 -30 6 -5

1 9 22 1 -33 0 -5

1 1 92 4 13 6 0

TERIMAKASIH