Aljabar linear
Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari
sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi
linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan
erat dengan bidang aljabar linear.
Daftar isi
1 Persamaan Linear & Matriks
1.1 Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
1.1.1 Bentuk Eselon-baris
1.1.2 Operasi Eliminasi Gauss
1.1.3 Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
1.2 Operasi Dalam Matriks
1.3 Matriks Balikan (Invers)
1.4 Transpose Matriks
1.5 Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
1.5.1 Matriks Diagonal
1.5.2 Matriks Segitiga
1.5.3 Matriks Simetris
2 Determinan
2.1 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
2.1.1 Determinan dengan Minor dan kofaktor
2.1.2 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
2.1.3 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
2.1.4 Adjoin Matriks 3 x 3
2.1.5 Determinan Matriks Segitiga Atas
2.1.6 Metode Cramer
2.1.7 Tes Determinan untuk Invertibilitas
2.2 Mencari determinan dengan cara Sarrus
2.3 Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
2.4 Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
2.5 Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = x
3 Vektor dalam Ruang Euklide
3.1 Euklidian dalam n-Ruang
3.2 Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi
3.3 Menemukan norm dan jarak
3.4 Bentuk Newton
3.5 Operator Refleksi
3.6 Operator Proyeksi
3.7 Operator Rotasi
3.8 Interpolasi Polinomial
Persamaan Linear & Matriks
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya
persamaan:
3x1 + 4x2 2 x3 = 5
x1 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
3
4
-2
5
1
-5
2
7
2
1
-3
9
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat
dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau
dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem
persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk
mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris
tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi
balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila
mempunyai bentuk:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah
tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0
sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial.
Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi
nontrivial.
Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
Bentuk Eselon-baris
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi
persyaratan berikut:
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading
1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus
dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya,
angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol
maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut leading 1
1
4
-2
5
0
-5
2
7
0
0
-3
9
0
0
-8
8
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
1
4
-2
5
0
-5
2
7
0
0
-3
9
0
0
0
0
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
1
4
-2
5
0
1
2
7
0
0
-3
9
0
0
0
0
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut
Eselon-baris tereduksi
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
2
5
0
0
3
0
0
0
0
6
Operasi Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di
dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana
(ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan
melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks
yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode
penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya
dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks
teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks
Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari
variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss
yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan
operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks
yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah
satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan
matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam
matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi
matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan
nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi
Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = 1 ,dan z = 1
Operasi Dalam Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut
mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka
penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen
A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks
yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau
dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo
sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang
seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah
matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap
elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang
diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1.
Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam
penjumlahan dan pengurangan matriks:
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang
berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m
x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
Matriks Balikan (Invers)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B
= B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat
dituliskan B = A 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga
mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B 1. Jika tidak
ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular).
Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc 0
Dengan Rumus =
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka
AB dapat di-invers dan (AB) 1 = B 1A 1
Contoh 1:
Matriks
A = dan B =
AB = = = I (matriks identitas)
BA = = = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A 1 (B Merupakan invers dari
A)
Contoh 2:
Matriks
A = dan B =
AB = =
BA = =
Karena AB BA I maka matriks A dan matriks B disebut matriks
tunggal.
Contoh 3:
Matriks
A =
Tentukan Nilai dari A-1
Jawab:
Contoh 4:
Matriks
A = , B = , AB =
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
, ,
Maka
=
Ini membuktikan bahwa (AB) 1 = B 1A 1
Transpose Matriks
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah
mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi
kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks
A = ditranspose menjadi AT =
Matriks
B = ditranspose menjadi BT =
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1. ((A)T)T = A
2. (A + B)T = AT + BT dan (A B)T = AT BT
3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar
4. (AB)T = BTAT
Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis
diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol
disebut dengan matriks diagonal. Contoh:
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus
berikut:
D 1=
DD 1 = D 1D = I
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif
maka
Dk=
Contoh:
A=
maka
A5=
Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di
atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah
matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks
segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal
utama nol.
Matriks segitiga
Matriks segitiga bawah
Teorema
Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga
atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga
bawah.
Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga
bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks
segitiga atas.
Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya
tidak ada yang nol.
Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga
bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks
segitiga atas.
Contoh:
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =
Inversnya adalah
A 1=
Matriks yang tidak bisa di invers
B =
Matriks Simetris
Matriks kotak A disebut simetris jika A = AT
Contoh matriks simetris
Teorema
Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama,
dan jika k adalah skalar maka
AT adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah
simetris (AB)T = BTAT = BA
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A 1
adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse,
bahwa A = AT maka:
(A 1)T = (AT) 1 = A 1
Yang mana membuktikan bahwa A 1 adalah simetris.
Produk AAT dan ATA
(AAT)T = (AT)TAT = AAT dan (ATA)T = AT(AT)T = ATA
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A =
lalu
ATA = =
AAT = =
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AAT dan ATA
juga bisa di inverse
Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu
bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Determinan dengan Minor dan kofaktor
A = tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
M11 = = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=Mij untuk membedakan
apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat
matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 = = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor
adalah,
det(A) = a11 - a12 + a13
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 -
a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 -
a11a23a32
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris
pertama
Jawab:
det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris
seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu
faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan
komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom
pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor
adalah,
det(A) = a11 - a21 + a31
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 -
a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 -
a11a23a32
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom
pertama
Jawab:
det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8
Adjoin Matriks 3 x 3
Bila ada sebuah matriks A3x3
A =
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom
menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) =
Determinan Matriks Segitiga Atas
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga
bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali
diagonal matriks tersebut
Contoh
= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
Metode Cramer
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui
dan det(A) 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang
unik
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j
dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah
ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
A = b =
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
A1 = A2 = A3 =
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan
dari matrik-matrik di atas
maka,
[sunting] Tes Determinan untuk Invertibilitas
Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari . Sebagai
langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R)
keduanya adalah nol atau tidak nol: E1,E2,...,Er menjadi matrix
element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan
Rdari A. Maka,
R=Er...E2 E1 A
dan,
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent
statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 0 dan det(A) 0.
Sebaliknya, jika det(A) 0, maka det(R) 0, jadi R tidak memiliki
baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat
di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang
proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal:
A=
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.
Mencari determinan dengan cara Sarrus
A = tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
A =
kemudian hitung kofaktor dari matrix AC11 = 12 C12 = 6 C13 =
-16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose
matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi
adj(A) =
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari
matrix A
det(A) = 64
Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = x
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
Ax = x ; dimana adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan x-Ax=0, atau
dengan memasukkan matrix identitas menjadi
(I - A) x = 0
contoh:
diketahui persamaan linear
x1 + 3x2 = x1
4x1 + 2x2 = x2
dapat ditulis dalam bentuk
=
yang kemudian dapat diubah
A =dan x =
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
sehingga didapat bentuk
I - A =
namun untuk menemukan besar dari perlu dilakukan operasi
det ( I - A) = 0 ; adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh diperoleh
det ( I - A) = = 0
atau ^2 - 3 - 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat 1 = -2 dan 2 = 5
dengan memasukkan nilai pada persamaan ( I - A) x = 0, maka
eigenvector bisa didapat bila = -2 maka diperoleh
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
x =
Vektor dalam Ruang Euklide
Euklidian dalam n-Ruang
Vektor di dalam n-Ruang Definisi: Jika n adalah sebuah integer
positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real
(a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel
dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan
istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada
2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n grup topel
terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai
set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set
ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari
(a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda: ini
bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2,
a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai
vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector. Selanjutnya
kita bisa melihat bahwa n grup topel (a1, a2, ...., an) bisa
dilihat sebagai antara sebuah poin umum atau vector umum- perbedaan
antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa
menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau
vector pada R5.
u1 = v1 u2 = v2 un = vn
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
u + v = (u1 + v2, u2 + v2, ...., un + vn)
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku
didefinisikan oleh
ku = (k u1, k u2,...,k un)
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini
disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan
oleh 0 dan difenisikan ke vektor
0 = (0, 0,...., 0)
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka
negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh u dan
dijelaskan oleh
-u = (-u1, -u2, ...., -un)
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh
v u = v + (-u)
atau, dalam istilah komponen,
v u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)
Sifat-sifat dari vektor dalam Rn
jika , , dan adalah vektor dalam Rn sedangkan k dan m adalah
skalar, maka:
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u
Perkalian dot product didefinisikan sebagai
Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi
Data Eksperimen Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n
pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap
experiment bisa disebut sebagai vector y = (y1,y2,...,yn) dalam Rn
dalam setiap y1,y2,....,yn adalah nilai yang terukur.
Penyimpanan dan Gudang Sebuah perusahaan transportasi mempunyai
15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin
dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai
15-topel x = (x1,x2,...,x15) dalam setiap x1 adalah jumlah truk
dalam depot pertama dan x2 adalah jumlah pada depot kedua., dan
seterusnya.
Rangkaian listrik Chip prosesor didesain untuk menerima 4
tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input
bisa ditulis sebagai vector dalam R4 dan tegangan output bisa
ditulis sebagaiR3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang
mengubah setiap vektor input v = (v1,v2,v3,v4) dalam R4 ke vector
keluaran w = (w1,w2,w3) dalamR3.
Analisis citra Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar
komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap
[pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka
yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu
sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel
dari bentuk v = (x,y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar
dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
Ekonomi Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk
membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan
seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan
nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari
semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s =
(s1,s2,s3,...,s10) dalam setiap angka s1,s2,...,s10 adalah output
dari sektor individual.
Sistem Mekanis Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam
garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka
adalahx1,x2,...,x6 dan kecepatan mereka adalah v1,v2,...,v6.
Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
V = (x1,x2,x3,x4,x5,x6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,t) Dalam R13. Vektor
ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.
Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa
dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku
seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4
dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
Menemukan norm dan jarak
Menghitung Panjang vektor u dalam ruang Rn
jika u = (u1,u2,u3,...,un)
Maka Panjang vektor u
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v
Bentuk Newton
interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah
bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain .
Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data
(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
bentuk equivalentnya:
p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo ,
sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang
disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan:
p(x0)=b0
p(x1)=b1h1+b0
p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0
p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:
Operator Refleksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor
dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka
persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = -x = -x + 0y
x2 = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik:
Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor
pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar
dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.
Operator Proyeksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor
dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x),
maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = x = x + 0y
x2 = 0 = 0x + y
atau dalam bentuk matrik:
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator
linier dan matrikx T adalah:
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan
operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada
sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
Operator Rotasi
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut
disebut operator rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya
adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor
searah jarum jam melalui sudut positif yang tetap. Unutk menemukan
persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan adalah sudut dari sumbu
x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus
trigonometri dasar x = r cos ; y = r cos dan w1 = r cos ( + ); w2=
r sin ( + )
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w1 = r cos cos - r sin sin
w2 = r sin cos + r cos sin
kemudian disubtitusi sehingga:
w1 = x cos - y sin
w2 = x sin + y cos
Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan
operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas
adalah:
Interpolasi Polinomial
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk
deret n + 1 di titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk
menemukan kurva p(x) = amxm + am-1xm 1 + ... + a1x + a0 dari sudut
minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus
memenuhi
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah
ini
=
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan
menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien
interpolasi polinomial p(x):
= (1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j
merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut
menjadi Sistem Vandermonde.
Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6)
menggunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
=
Untuk data di atas, kita mempunyai
=
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan
3
Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dibagi dengan 2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
Jadi, interpolasinya adalah