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ALGORITMO DE LANE
Conceptos que el lector debe manejar para un adecuado
entendimiento de este artculo:
Proceso bsico de minado desde la explotacin hasta el
procesamiento final para
su venta.
Conceptos bsicos de minera (ley, ley de corte, recuperacin,
dilucin, costos de
minado, de procesamiento, etc)
Conceptos bsicos de minera Open pit.
Concepto y conocimiento de Valor Actual Neto
A medida que el lector contine con la lectura de este artculo se
le sugiere que cualquier
calculo que vea siendo desarrollado lo desarrolle por sus
propios medios en una hoja
aparte para que de este modo pueda familiarizarse ms con el
algoritmo y enriquecer el
aprendizaje, se dejan 2 ejercicios propuestos al final de la
lectura con la finalidad que
estos sean resueltos y puestos a discusin entre los lectores
para asi asegurar que este
articulo cumpla con su objetivo de enriquecer la mente de todos
aquellos estudiantes de
UNMSM deseosos de aprender acerca de minera.
ELIGIENDO LA LEY DE CORTE OPTIMA
En 1964 K.F. Lane publico uno de los artculos ms importantes en
el mundo de la
Ingeniera de minas en el describa un algoritmo capaz de brindar
un secuenciamiento de
leyes de mineral para obtener el mximo VAN tomando como
restricciones a la MINA, LA
PLANTA y/o LA REFINERIA que son las diferentes fases por las que
el mineral pasa, estas
fases presentan sus respectivos costos y capacidades.
A continuacin se describir brevemente cada una de las fases
mencionadas:
MINA: Comprende el proceso de extraccin del mineral mediante
palas ya sean estas
hidrulicas o elctricas y volquetes mineros de grandes
capacidades.
CAPACIDAD MINA (M): Comprende tanto a la de mineral como a la de
desmonte y
nos dice que tan rpido se puede explotar el pit, se expresa en
toneladas de
material.
COSTOS MINA (m): Sus costos abarcan la perforacin, voladura,
carguo y
transporte se expresan en dlares por tonelada de material.
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PLANTA: Comprende el procesos de concentracin del mineral
obtenido por mina y busca
incrementar el valor del producto final haciendo uso de procesos
metalrgicos, cada
planta en cada mina posee ndices de recuperacin metalrgica que
dependern del tipo
de mineral que la mina le brinde y del proceso que esta planta
use.
CAPACIDAD PLANTA (C): Esta capacidad se expresa en toneladas de
mineral
concentrado y representa las toneladas de mineral que la planta
puede procesar
en forma ptima para generar concentrado.
COSTOS DE PLANTA (c): Estos costos abarcan el chancado, molienda
y los costos
respectivos al proceso metalrgico seleccionado como el ptimo
para esta mina
(flotacin, lixiviacin, etc), se expresa en dlares por tonelada
de mineral.
REFINERIA: Comprende procesos de purificacin del mineral
obtenido de planta para
poder obtener el metal puro el cual se vender como producto
final de todo el proceso
minero.
CAPACIDAD REFINERIA (R): Representa la cantidad de metal que la
refinera puede
entregar asumiendo una continua alimentacin por parte de PLANTA,
se puede
limitar solo por la misma refinera o por restricciones de
mercado, se expresa en
unidades de metal.
COSTOS REFINERIA (r): Abarcan los costos de fundicin, refinera,
fletes, seguros,
etc; se expresa en dlares por unidad de metal.
COSTOS FIJOS (f): Son aquellos costos que no varan al variar la
produccin en mina pero
terminan junto con la vida de la mina, como por ejemplo los
costos administrativos, de
mantenimiento de edificios, vas de acceso, etc; se expresan en
dlares.
RECUPERACION (y): Representa una recuperacin final para
concentradora y refinera, en
pocas palabras es la cantidad de mineral alimentado a planta que
no llego a formar parte
del producto final, se expresa en porcentaje.
PRECIO DE VENTA (s): Es el precio de venta establecido por el
mercado para cada metal y
vara en funcin de muchas variables tanto econmicas como
polticas.
Adems tendremos las siguientes cantidades propias de cada mina
consideradas en un
periodo de produccin (T).
Qm: Cantidad de material a ser minado.
Qc: Cantidad de mineral a ser enviado a planta.
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Qr: cantidad de producto final (metal) producido.
ECUACIONES BASICAS:
K. F. Lane parte de las siguientes ecuaciones bsicas de la
minera para su algoritmo:
COSTOS TOTALES
= + + + INGRESOS
= GANANCIAS
= Recordemos estas frmulas expresadas para poder agregar la
siguiente que se basa en el
valor presente neto:
Si fijamos un periodo T entonces tendremos 2 valores el valor
obtenido del proceso de
minado durante el periodo T y el valor obtenido del proceso de
minado realizado despus
con los remanentes del proceso del periodo T, estos sern y
respectivamente. = + = +
Donde d es una tasa de descuento.
El valor presente seria la suma de estos 2 valores:
= + + + Que es lo mismo que:
+ = +
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Podemos obtener la diferencia entre el valor presente V y los
valores remanentes W a un
periodo T variable, lo denominaremos v:
= Reduciendo la expresin + tendremos que por expansin
binomial:
+ = + + ! +
! + Analizando para d que generalmente toma valores entre 0.08 y
0.15 los cuales son muy
bajos ! Esta expresin variara entre 0.0032 y 0.01125 que son
valores muy prximos a 0,
estos valores tendern ms a 0 en ! Por lo que solo asumiremos
esta igualdad:
+ = +
Combinando esta equivalencia con la de valor presente
tendremos:
+ = + = + Que sera lo mismo que:
= = Combinando la ecuacin de ganancia con esta ltima
ecuacin:
= + A continuacin calcularemos las leyes de corte asumiendo
primero 3 escenarios que son:
La mina como restriccin
La planta como restriccin
La refinera como restriccin
Primero asumiendo que la mina es restriccin:
El periodo T estar definido por la cantidad a minar entre la
capacidad de la mina M:
= Reemplazando en la ecuacin de v:
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= + + Derivando respecto a la ley g tendremos:
! = ! ! + + !
Como minaremos material y no mineral esta cantidad no depender
de la ley (g) por lo que:
! = Adems la relacin entre las cantidades y es:
=!"# Donde !" es la ley media enviada a concentradora y y la
recuperacin metalrgica, diferenciando esta ltima ecuacin en funcin
de la ley g:
! = !"#! Adems esta ley !" se puede definir como la ley de corte
de minado ! cuando:
! = Estas expresiones reemplazadas en la ecuacin inicial
obtenemos:
! = # Notamos que esta ecuacin no depende del valor
presente.
La segunda opcin es si la planta es restriccin:
Si la planta es restriccin de forma similar al caso anterior
tendremos:
=$
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Luego reemplazando en la ecuacin de valor presente
tendremos:
= + + $ Dado que la ley de corte solo afecta a y y no a pues el
material debe removerse de todas formas (de igual modo no afecta a
), entonces:
= %&'&( Adems la relacin entre a y no vara:
=!"# Reemplazando tendremos que:
= ) !"# + + $ * Al derivar en funcin de g tendremos que para un
= 0 (es decir hacer que !" sea la ley de corte) solo basta con
que:
) !"# + + $ * = De donde obtenemos lo siguiente:
! = + + $ #
El tercer escenario seria si la refinera es la restriccin:
Para una restriccin como la refinera tendramos que:
=+ Las siguientes expresiones siguen siendo ciertas:
= %&'&( =!#
Reemplazndolas obtendremos que:
= ) + + !"# *
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Al derivar en funcin de g tendremos que para un = 0 (es decir
hacer que ! sea la ley de corte) solo basta con que:
+ + !# =
De donde obtenemos lo siguiente:
! = + + #
Notemos que nuestro objetivo es el mximo valor presente y de
estas 3 formulas:
! = #
! = + + $ #
! = + + #
Tanto ! como ! dependen de un valor presente, esto ser motivo de
numerosas iteraciones partiendo de un valor presente igual a 0
Adems de estas 3 leyes de corte que consideran como
restricciones individualmente a
mina planta o refinera tambin debe tomarse en cuenta casos en
los que tanto planta y
mina o mina y refinera o inclusive planta y refinera sean la
restriccin, es decir un
balance entre 2 de las restricciones, para esto plotearemos las
curvas Ganancia Ley de
cada uno de los 3 casos anteriores, las ecuaciones sern:
= +
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= +$ = +
Las intersecciones entre las distintas curvas nos darn las 3
leyes que sern:
! ! !
La siguiente imagen ilustrara mejor este procedimiento:
Una vez obtenidas estas leyes se seleccionara de estas 6 solo a
3 mediante el siguiente
criterio:
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, = - !.! !!.! !!(&%12.2''&(.%(
, = - !.! !!.! !!(&%12.2''&(.%(
, = - !.! !!.! !!(&%12.2''&(.%( De estos 3 valores se
elige el valor intermedio como la ley de corte.
Se explic la peculiaridad de que tanto ! como ! dependen de un
valor neto, para hallar la ley de corte real es necesario partir de
un valor 0 y hacer varias iteraciones en
funcin de valores presentes calculados con las leyes obtenidas
hasta que quede fijo el
valor de la ley de corte, veremos esto con claridad en un
ejercicio aplicativo ms adelante.
Luego de tener la ley de corte final despus de las iteraciones
se debe calcular la cantidad
a minar en funcin a la ley media obtenida de la ley de corte
optima, esta cantidad a
minar se restringe por las cantidades a concentrar y a refinar,
luego de calcular esta
cantidad se extrae de forma uniforme y se proceder a obtener la
ley de corte ptima
para el siguiente periodo.
A continuacin se presenta un ejercicio resuelto con la finalidad
de absolver cualquier
pregunta que se haga el lector, es muy importante que el lector
resuelva en forma
paralela el ejercicio para ganar confianza y familiarizarse con
el algoritmo.
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PROBLEMA PROPUESTO
Se pide calcular las leyes de corte ptimas por ao para el pit
San Marcos cuyo
inventario de mineral se detalla a continuacin:
Ley (lbs/ton) toneladas
0 - 0.1 110
0.1 - 0.2 110
0.2 - 0.3 110
0.3 - 0.4 110
0.4 - 0.5 110
0.5 - 0.6 110
0.6 - 0.7 110
0.7 - 0.8 110
0.8 - 0.9 110
0.9 - 1.0 110
1.0 - 1.1 110
1.1 - 1.2 110
Adems tenemos los siguientes datos:
Qm 1320
s 20 $/lb
r 4.5 $/lb
y 0.95
c 2.1 $/ton
m 0.9 $/ton
f 275 $/ao
M 110 ton/ao
C 52 ton/ao
R 42 lb/ao
d 0.12
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Solucin
Lo principal ser hallar datos como la ley media en funcin a la
ley y conocer el tonelaje
acumulado en funcin de cada ley como se puede apreciar en este
cuadro:
g Ley media Tonelaje
0.1 0.55 1210
0.2 0.6 1100
0.3 0.65 990
0.4 0.7 880
0.5 0.75 770
0.6 0.8 660
0.7 0.85 550
0.8 0.9 440
0.9 0.95 330
1 1 220
1.1 1.05 110
1.2 1.1 0
Asi podremos graficar nuestras curvas g Vs Ley media y g Vs
Tonelaje:
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Tambin podemos graficar las ganancias a determinadas leyes
aplicando estas frmulas:
= + = +$ = +
Se pide que el lector calcule estas ganancias en funcin de las
leyes y lo grafique para
compararlo con el cuadro y graficas adjuntas:
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g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 1210 632.225 2770.4875 -328.550962 1930.91905
0.2 0.6 1100 627 2920.5 403.192308 2115.14286
0.3 0.65 990 611.325 2908.5375 972.960577 2205.81429
0.4 0.7 880 585.2 2734.6 1380.75385 2202.93333
0.5 0.75 770 548.625 2398.6875 1626.57212 2106.5
0.6 0.8 660 501.6 1900.8 1710.41538 1916.51429
0.7 0.85 550 444.125 1240.9375 1632.28365 1632.97619
0.8 0.9 440 376.2 419.1 1392.17692 1255.88571
0.9 0.95 330 297.825 -564.7125 990.095192 785.242857
1 1 220 209 -1710.5 426.038462 221.047619
1.1 1.05 110 109.725 -3018.2625 -299.993269 -436.7
1.2 1.1 0 0 -4488 -1188 -1188
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Como se podr apreciar en las intersecciones de las grficas se
encuentran las 3 leyes:
! ! !
Cuyos valores son:
gmc 0.633
gmr 0.595
gcr 0.7
Adems con las frmulas para las leyes ptimas cuando las
restricciones son mina planta y
refinera asumiendo un primer valor de V = 0:
! = #
! = + + $ #
! = + + #
gm 0.143
gc 0.502
gr 0.247
Luego de las 6 leyes calculadas seleccionaremos 3
gm 0.143
gc 0.502
gr 0.247
gmc 0.633
gmr 0.595
gcr 0.7
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, = - !.! !!.! !!(&%12.2''&(.%(
, = - !.! !!.! !!(&%12.2''&(.%(
, = - !.! !!.! !!(&%12.2''&(.%( La seleccin ser:
Gmc 0.502
Gmr 0.247
Gcr 0.502
De estas 3 opciones se elegir un valor medio, para este caso ser
0.502
Goptima 0.502
Con esta ley ptima para la primera iteracin deberemos calcular
la ley media y el tonelaje
a enviar a planta y por ende a refinera basndonos en las grficas
creadas al inicio.
Ley media Qm Qc Qr
0.502 0.751 1320 767.8 547.78691
Realizado este paso sabemos la relacin entre las cantidades Qm
Qc y Qr y asumimos un
Qm que asegure que ni Qc ni Qr se excedan se sus capacidades
mximas C y R
respectivamente.
M C R
110 52 42
Qm Qc Qr
1320 767.80 547.78691
89 51.77 36.93
Con un Qm = 89 se pude calcular un tiempo estimado de vida el
cual seria 1320/89 = 14.83
aos. Con estos datos podemos calcular la ganancia para un
periodo (T=1).
Y con la tasa de descuento y el nmero de aos obtener un valor
presente, el cual
usaremos para la siguiente iteracin lo que cambiara las leyes gc
y gr.
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aos 14.83
Ganancia 108.67
VP 736.95
Calculando nuevamente las leyes con este nuevo valor presente
tendremos:
gm 0.143
gc 0.617
gr 0.323
gmc 0.633
gmr 0.595
gcr 0.7
Es necesario resaltar que las ultimas 3 leyes no dependen del
valor presenta al igual que la
primera por lo que se mantienen constantes en todo el proceso,
se puede demostrar
igualando las ecuaciones de valor presente cuando las
restricciones son mina, planta y
refinera.
Se vuelve a realizar la seleccin de 3 leyes:
Gmc 0.617
Gmr 0.323
Gcr 0.617
De las cuales se elige 0.617 por ser valor medio, a continuacin
se calcula las cantidades,
el nmero de aos , la ganancia y el nuevo valor neto:
M C R
110 52 42
Goptima
anterior 0.502 Ley media Qm Qc Qr
Goptima 0.617 0.809 1320 641.30 492.57
Seleccin de cantidades 107 51.98 39.93
aos 12.34
Ganancia 138.41
VP 868.44
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Con este nuevo valor presente calculamos la tercera iteracin que
nos dara los siguientes
datos:
gm 0.143
gc 0.638
gr 0.342
gmc 0.633
gmr 0.595
gcr 0.7
Gmc 0.633
Gmr 0.342
Gcr 0.638
M C R
110 52 42
Goptima
anterior 0.617 Ley media Qm Qc Qr
Goptima 0.633 0.817 1320 623.70 483.79
Seleccin de cantidades 110 51.98 40.32
aos 12.00
Ganancia 141.75
VP 878.05
Este valor presente de 878.05 ser el nuevo punto de partida de
una cuarta iteracin
obtenindose los siguientes datos:
gm 0.143
gc 0.639
gr 0.343
gmc 0.633
gmr 0.595
gcr 0.7
Gmc 0.633
Gmr 0.343
Gcr 0.639
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M C R
110 52 42
Goptima
anterior 0.633 Ley media Qm Qc Qr
Goptima 0.633 0.817 1320 623.70 483.79
Seleccin de cantidades 110 51.98 40.32
aos 12.00
Ganancia 141.75
VP 878.05
Apreciamos que la ley ptima se estabiliza en 0.633 lo que indica
un final de las
iteraciones y tendramos una cantidad a minar de 110 toneladas
con una ley de 0.633
como ley de corte.
Segundo periodo:
Distribuimos la cantidad a minar y obtendramos:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 1109.17 579.54 2539.62 -301.17 1770.01
0.2 0.6 1008.33 574.75 2677.13 369.59 1938.88
0.3 0.65 907.50 560.38 2666.17 891.88 2022.00
0.4 0.7 806.67 536.43 2506.73 1265.69 2019.36
0.5 0.75 705.84 502.91 2198.81 1491.03 1930.97
0.6 0.8 605.00 459.80 1742.42 1567.89 1756.81
0.7 0.85 504.17 407.12 1137.55 1496.27 1496.91
0.8 0.9 403.34 344.85 384.20 1276.18 1151.24
0.9 0.95 302.50 273.01 -517.62 907.61 719.82
1 1 201.67 191.59 -1567.92 390.56 202.65
1.1 1.05 100.84 100.58 -2766.69 -274.96 -400.28
1.2 1.1 0.00 0.00 -4113.94 -1088.96 -1088.97
Donde:
Qm 1210
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Solo variara la curva Ley Vs Tonelaje
Realizando los mismos procedimientos que en el periodo 1:
M C R
110 52 42
Goptima
anterior 0.633 Ley media Qm Qc Qr
Goptima 0.633 0.817 1210 571.75 443.49
Seleccin de cantidades 110 51.98 40.32
aos 11.00
Ganancia 141.77
VP 841.79
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Tercer periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 1008.33 526.85 2308.74 -273.79 1609.10
0.2 0.6 916.67 522.50 2433.75 335.99 1762.62
0.3 0.65 825.00 509.44 2423.77 810.80 1838.18
0.4 0.7 733.33 487.67 2278.82 1150.62 1835.77
0.5 0.75 641.67 457.19 1998.89 1355.47 1755.41
0.6 0.8 550.00 418.00 1583.98 1425.34 1597.09
0.7 0.85 458.33 370.10 1034.09 1360.22 1360.80
0.8 0.9 366.66 313.50 349.22 1160.13 1046.56
0.9 0.95 275.00 248.18 -470.63 825.06 654.35
1 1 183.33 174.16 -1425.46 355.01 184.19
1.1 1.05 91.66 91.43 -2515.27 -250.02 -363.94
1.2 1.1 0.00 0.00 -3740.06 -990.04 -990.03
Qm 1100
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M C R
110 52 42
0.625 Ley media Qm Qc Qr
0.625 0.813 1100 527.08 406.84
Seleccin de cantidades 108 51.75 39.94
aos 10.19
Ganancia 138.26
VP 788.9
Cuarto periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 909.33 475.13 2082.06 -246.91 1451.11
0.2 0.6 826.67 471.20 2194.80 303.00 1589.56
0.3 0.65 744.00 459.42 2185.80 731.19 1657.70
0.4 0.7 661.33 439.79 2055.08 1037.65 1655.53
0.5 0.75 578.67 412.30 1802.64 1222.39 1583.06
0.6 0.8 496.00 376.96 1428.46 1285.39 1440.28
0.7 0.85 413.33 333.76 932.56 1226.67 1227.19
0.8 0.9 330.66 282.72 314.93 1046.23 943.80
0.9 0.95 248.00 223.82 -424.43 744.05 590.10
1 1 165.33 157.06 -1285.51 320.15 166.10
1.1 1.05 82.66 82.46 -2268.32 -225.48 -328.21
1.2 1.1 0.00 0.00 -3372.86 -892.84 -892.83
Qm 992
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M C R
110 52 42
0.619 Ley media Qm Qc Qr
0.619 0.809 992 480.62 369.52
Seleccin de cantidades 107 51.84 39.86
aos 9.27
Ganancia 137.62
VP 745.78
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Quinto periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 811.25 423.88 1857.49 -220.28 1294.59
0.2 0.6 737.50 420.38 1958.06 270.32 1418.11
0.3 0.65 663.75 409.87 1950.04 652.33 1478.90
0.4 0.7 590.00 392.35 1833.43 925.73 1476.97
0.5 0.75 516.25 367.83 1608.21 1090.54 1412.31
0.6 0.8 442.50 336.30 1274.40 1146.76 1284.94
0.7 0.85 368.75 297.77 831.99 1094.37 1094.84
0.8 0.9 295.00 252.23 280.99 933.39 842.01
0.9 0.95 221.25 199.68 -378.61 663.81 526.47
1 1 147.50 140.13 -1146.81 285.64 148.20
1.1 1.05 73.75 73.57 -2023.61 -201.13 -292.79
1.2 1.1 0.00 0.00 -3009.00 -796.50 -796.50
Qm 885
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 24
M C R
110 52 42
0.610 Ley media Qm Qc Qr
0.610 0.805 885 435.35 332.87
Seleccin de cantidades 105 51.65 39.49
aos 8.43
Ganancia 134.17
VP 687.92
Sexto Periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 715.00 373.59 1637.11 -194.14 1141.00
0.2 0.6 650.00 370.50 1725.75 238.25 1249.86
0.3 0.65 585.00 361.24 1718.68 574.93 1303.44
0.4 0.7 520.00 345.80 1615.90 815.90 1301.73
0.5 0.75 455.00 324.19 1417.41 961.16 1244.75
0.6 0.8 390.00 296.40 1123.20 1010.70 1132.49
0.7 0.85 325.00 262.44 733.28 964.53 964.94
0.8 0.9 260.00 222.30 247.65 822.65 742.11
0.9 0.95 195.00 175.99 -333.69 585.06 464.01
1 1 130.00 123.50 -1010.75 251.75 130.62
1.1 1.05 65.00 64.84 -1783.52 -177.27 -258.05
1.2 1.1 0.00 0.00 -2652.00 -702.00 -702.00
Qm 780
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 25
M C R
110 52 42
0.610 Ley media Qm Qc Qr
0.610 0.805 780 383.70 293.38
Seleccin de cantidades 105 51.65 39.49
aos 7.43
Ganancia 134.17
VP 636.3
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 26
Septimo Periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 618.75 323.30 1416.73 -168.01 987.40
0.2 0.6 562.50 320.63 1493.44 206.18 1081.61
0.3 0.65 506.25 312.61 1487.32 497.54 1127.97
0.4 0.7 450.00 299.25 1398.38 706.07 1126.50
0.5 0.75 393.75 280.55 1226.60 831.77 1077.19
0.6 0.8 337.50 256.50 972.00 874.64 980.04
0.7 0.85 281.25 227.11 634.57 834.69 835.04
0.8 0.9 225.00 192.38 214.31 711.91 642.21
0.9 0.95 168.75 152.30 -288.77 506.30 401.54
1 1 112.50 106.88 -874.69 217.86 113.04
1.1 1.05 56.25 56.11 -1543.43 -153.41 -223.31
1.2 1.1 0.00 0.00 -2295.00 -607.50 -607.50
Qm 675
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 27
M C R
110 52 42
0.592 Ley media Qm Qc Qr
0.592 0.796 675 342.00 258.62
Seleccin de cantidades 102 51.68 39.08
aos 6.62
Ganancia 130.42
VP 573.43
Octavo periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 525.25 274.44 1202.64 -142.62 838.19
0.2 0.6 477.50 272.18 1267.76 175.02 918.16
0.3 0.65 429.75 265.37 1262.57 422.35 957.52
0.4 0.7 382.00 254.03 1187.07 599.37 956.27
0.5 0.75 334.25 238.15 1041.25 706.08 914.41
0.6 0.8 286.50 217.74 825.12 742.48 831.94
0.7 0.85 238.75 192.79 538.68 708.56 708.86
0.8 0.9 191.00 163.31 181.93 604.33 545.17
0.9 0.95 143.25 129.28 -245.14 429.79 340.87
1 1 95.50 90.73 -742.51 184.94 95.95
1.1 1.05 47.75 47.63 -1310.20 -130.22 -189.57
1.2 1.1 0.00 0.00 -1948.20 -515.70 -515.70
Qm 573
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 28
M C R
110 52 42
0.592 Ley media Qm Qc Qr
0.592 0.796 573 290.32 219.54
Seleccin de cantidades 102 51.68 39.08
aos 5.62
Ganancia 130.42
VP 511.83
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 29
Noveno Periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 431.75 225.59 988.56 -117.23 688.99
0.2 0.6 392.50 223.73 1042.09 143.87 754.72
0.3 0.65 353.25 218.13 1037.82 347.17 787.07
0.4 0.7 314.00 208.81 975.75 492.68 786.05
0.5 0.75 274.75 195.76 855.90 580.39 751.64
0.6 0.8 235.50 178.98 678.24 610.31 683.85
0.7 0.85 196.25 158.47 442.79 582.43 582.68
0.8 0.9 157.00 134.24 149.54 496.75 448.12
0.9 0.95 117.75 106.27 -201.50 353.28 280.19
1 1 78.50 74.58 -610.34 152.02 78.87
1.1 1.05 39.25 39.15 -1076.97 -107.04 -155.82
1.2 1.1 0.00 0.00 -1601.40 -423.90 -423.90
Qm 471
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 30
M C R
110 52 42
0.571 Ley media Qm Qc Qr
0.571 0.786 471 246.88 184.23
Seleccin de cantidades 99 51.89 38.72
aos 4.76
Ganancia 127.14
VP 441.57
Decimo Periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 341.00 178.17 780.77 -92.59 544.17
0.2 0.6 310.00 176.70 823.05 113.63 596.09
0.3 0.65 279.00 172.28 819.68 274.20 621.64
0.4 0.7 248.00 164.92 770.66 389.12 620.83
0.5 0.75 217.00 154.61 675.99 458.40 593.65
0.6 0.8 186.00 141.36 535.68 482.03 540.11
0.7 0.85 155.00 125.16 349.72 460.01 460.20
0.8 0.9 124.00 106.02 118.11 392.34 353.93
0.9 0.95 93.00 83.93 -159.15 279.03 221.30
1 1 62.00 58.90 -482.05 120.07 62.30
1.1 1.05 31.00 30.92 -850.60 -84.54 -123.07
1.2 1.1 0.00 0.00 -1264.80 -334.80 -334.80
Qm 372
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 31
M C R
110 52 42
0.559 Ley media Qm Qc Qr
0.559 0.780 372 198.71 147.15
Seleccin de cantidades 97 51.81 38.37
aos 3.84
Ganancia 123.62
VP 363.12
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 32
Dcimo primer Periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 252.08 131.71 577.18 -68.45 402.27
0.2 0.6 229.17 130.62 608.43 84.00 440.65
0.3 0.65 206.25 127.36 605.94 202.70 459.54
0.4 0.7 183.33 121.92 569.70 287.65 458.94
0.5 0.75 160.42 114.30 499.71 338.86 438.85
0.6 0.8 137.50 104.50 395.98 356.33 399.26
0.7 0.85 114.58 92.52 258.50 340.05 340.19
0.8 0.9 91.66 78.37 87.28 290.02 261.63
0.9 0.95 68.75 62.04 -117.68 206.25 163.57
1 1 45.83 43.54 -356.40 88.73 46.03
1.1 1.05 22.91 22.86 -628.85 -62.53 -91.00
1.2 1.1 0.00 0.00 -935.06 -247.54 -247.53
Qm 275
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 33
M C R
110 52 42
0.559 Ley media Qm Qc Qr
0.546 0.773 275 149.87 110.06
Seleccin de cantidades 95 51.77 38.02
aos 2.89
Ganancia 120.09
VP 279.89
Decimo segundo Periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 165.00 86.21 377.79 -44.80 263.31
0.2 0.6 150.00 85.50 398.25 54.98 288.43
0.3 0.65 135.00 83.36 396.62 132.68 300.79
0.4 0.7 120.00 79.80 372.90 188.28 300.40
0.5 0.75 105.00 74.81 327.09 221.81 287.25
0.6 0.8 90.00 68.40 259.20 233.24 261.34
0.7 0.85 75.00 60.56 169.22 222.58 222.68
0.8 0.9 60.00 51.30 57.15 189.84 171.26
0.9 0.95 45.00 40.61 -77.01 135.01 107.08
1 1 30.00 28.50 -233.25 58.10 30.14
1.1 1.05 15.00 14.96 -411.58 -40.91 -59.55
1.2 1.1 0.00 0.00 -612.00 -162.00 -162.00
Qm 180
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 34
M C R
110 52 42
0.559 Ley media Qm Qc Qr
0.532 0.766 180 100.20 72.92
Seleccin de cantidades 93 51.77 37.67
aos 1.94
Ganancia 116.51
VP 191.23
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 35
Dcimo tercer Periodo:
g Ley media Qc Qr Pm Pc Pr
0.1 0.55 79.75 41.67 182.60 -21.65 127.27
0.2 0.6 72.50 41.33 192.49 26.57 139.41
0.3 0.65 65.25 40.29 191.70 64.13 145.38
0.4 0.7 58.00 38.57 180.24 91.00 145.19
0.5 0.75 50.75 36.16 158.10 107.21 138.84
0.6 0.8 43.50 33.06 125.28 112.73 126.32
0.7 0.85 36.25 29.27 81.79 107.58 107.63
0.8 0.9 29.00 24.80 27.62 91.76 82.77
0.9 0.95 21.75 19.63 -37.22 65.26 51.75
1 1 14.50 13.78 -112.74 28.08 14.57
1.1 1.05 7.25 7.23 -198.93 -19.77 -28.78
1.2 1.1 0.00 0.00 -295.80 -78.30 -78.30
Qm 87
-
UNMSM
EDWARD JONATHAN CHIRINOS PERALTA 36
M C R
110 52 42
0.559 Ley media Qm Qc Qr
0.515 0.758 87 49.66 35.74
Seleccin de cantidades 87 49.66 35.74
aos 1.00
Ganancia 96.35
VP 86.03
Resumiendo en la siguiente tabla: