Definiciones Transformada r´ apida de Fourier Algoritmo de la transformada r´ apida de Fourier Lecci´ on 07.2 Dr. Pablo Alvarado Moya CE5201 Procesamiento y An´ alisis de Im´ agenes Digitales ´ Area de Ingenier´ ıa en Computadores Tecnol´ogico de Costa Rica I Semestre, 2017 P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 1 / 21
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Algoritmo de la transformada rápida de Fourier - … · De niciones Transformada r apida de Fourier DFT directa e inversa Cambio a notaci on con WN Transformada Discreta de Fourier
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DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Algoritmo de la transformada rapida de FourierLeccion 07.2
Dr. Pablo Alvarado Moya
CE5201 Procesamiento y Analisis de Imagenes DigitalesArea de Ingenierıa en Computadores
Tecnologico de Costa Rica
I Semestre, 2017
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 1 / 21
DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Contenido
1 DefinicionesDFT directa e inversaCambio a notacion con WN
2 Transformada rapida de FourierDiezmado en el tiempoDiezmado en la frecuencia
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 2 / 21
DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Historia
FFT: Algoritmo para calculo eficiente de la DFT
Propuesto por Gauss (1805) y redescubierto varias veces
Ultimo redescubrimiento en 1965 por
James Cooley (IBM, Watson Research Center)John Tukey (Priceton U., AT&T Bell Labs)
Gilbert Strang (MIT): “el algoritmo numerico mas importantede nuestras vidas”
IEEE: uno de los top 10 algoritmos del Siglo XX
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DefinicionesTransformada rapida de Fourier
DFT directa e inversaCambio a notacion con WN
Transformada Discreta de Fourier
La transformada discreta de Fourier DFT:
X (k) =N−1∑n=0
x(n)e−j2πkn/N , k = 0, 1, . . . ,N − 1
Para cada uno de los N posibles k :N productos complejos, N − 1 sumas complejas4N productos reales, 4N − 2 sumas reales
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DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Diezmado en el tiempoDiezmado en la frecuencia
Operador de mariposa
Operacion basica de “mariposa” (butterfly):1
1
W rN
Wr+N/2N
Por etapa, se requieren N/2 mariposas
Hay log2 N etapas
Se cumple WN/2N = −1 y por tanto
Wr+N/2N = W r
NWN/2N = −W r
N
Se reduce ası en un factor 2 los productos complejos:1
W rN
1
1
−1
1
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DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Diezmado en el tiempoDiezmado en la frecuencia
FFT Diezmado en la frecuencia (1)
Resultado es el proceso inverso: inversion de bits en el espectro
Identica complejidad que DiT
Muestras pares de espectro son:
X (2r) =N−1∑n=0
x(n)Wn(2r)N
=
N2−1∑
n=0
x(n)W 2nrN +
N−1∑n=N
2
x(n)W 2nrN
=
N2−1∑
n=0
x(n)W 2nrN +
N2−1∑
n=0
x(n + N/2)W2(n+N/2)rN
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DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Diezmado en el tiempoDiezmado en la frecuencia
FFT Diezmado en la frecuencia (2)
Con W2(n+N/2)rN = W 2nr
N WNrN = W 2nr
N = W nrN/2 se tiene
X (2r) =
N2−1∑
n=0
[x(n) + x(n + N/2)]W nrN/2
que es una DFT de N/2 muestras, de la suma de la primera yultima mitad de la secuencia de entrada.
De forma similar se puede demostrar que
X (2r + 1) =
N2−1∑
n=0
[x(n)− x(n + N/2)]W nNW
nrN/2
que es la DFT de N/2 muestras de la resta de la primera ysegunda mitad de la secuencia de entrada, multiplicada porW n
N .
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DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Diezmado en el tiempoDiezmado en la frecuencia
Diezmado en la frecuenciaPrimera etapa
DFTN/2 puntos
DFTN/2 puntos
x[0]
x[1]
x[2]
x[3]
x[4]
x[5]
x[6]
x[7]
X[0]
X[2]
X[4]
X[6]
X[1]
X[3]
X[5]
X[7]
g[0]
g[1]
g[2]
g[3]
h[0]
h[1]
h[2]
h[3]
0NW
1NW
2NW
3NW
-1
-1
-1
-1
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DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Diezmado en el tiempoDiezmado en la frecuencia
Diezmado en la frecuenciaFlujo de datos
x[0]
x[1]
x[2]
x[3]
x[4]
x[5]
x[6]
x[7]
X[0]
X[4]
X[2]
X[6]
X[1]
X[5]
X[3]
X[7]
0NW
1NW
2NW
3NW
0NW
2NW
2NW
0NW
0NW
0NW
0NW
0NW
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
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DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Diezmado en el tiempoDiezmado en la frecuencia
Otros algoritmos
Existen diversidad de algoritmos para la FFT
Esquemas anteriores asumen que N = 2p (Radix-2)
Otros esquemas reducen multiplicaciones si N = 4p o N = 8p
(Radix-4, Radix-8)
Algoritmo de Factores Primos (Good-Thomas) y el de RadixMixto asumen N = N1N2, lo que permite optimizar casosdonde N 6= 2p.
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DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Diezmado en el tiempoDiezmado en la frecuencia
Resumen
1 DefinicionesDFT directa e inversaCambio a notacion con WN
2 Transformada rapida de FourierDiezmado en el tiempoDiezmado en la frecuencia
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 20 / 21
DefinicionesTransformada rapida de Fourier
Diezmado en el tiempoDiezmado en la frecuencia
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