HI1029 HÅKAN STRÖMBERG NICKLAS BRANDEFELT Algoritmer och datastrukturer
Jan 24, 2016
HI1029HÅKAN STRÖMBERG
NICKLAS BRANDEFELT
Algoritmer och datastrukturer
Föreläsning 1
Inledande om algoritmerRekursionStacken vid rekursionRekursion – iterationMöjliga vägarGCDInlämningsuppgifter
Algoritm
En algoritm är ett begränsat antal instruktioner/steg för att lösa en uppgift, som från givna indata med säkerhet leder till korrekta utdata.
Precision - varje steg är noggrant bestämtDeterminism -resultatet av varje steg är
entydigtÄndlig - når målet efter ett ändligt antal steg
Ett exempel
Problem: Hitta det största av tre talGivet: Tre tal a, b och c.Sökt: Det största av de tre talenAlgoritm (pseudokod):
TRETALMAX(a,b,c)local xx ← aif b > x then x ← bif c > x then x ← creturn (x)
Frågor
Terminerar algoritmenFungerar den för alla giltiga indata
(gränsvärden)Producerar den korrekt resultatÄr den tillräckligt effektiv, går den att
effektivisera?
Rekursion
Rekursion är en mycket mäktig problemlösnings-strategi
Det är ofta det enklaste sättet att lösa ett problem och kräver ofta mycket mindre kod än alternativen (iteration)
Däremot är det inte säkert att lösningen blir effektiv och specifikt brukar den kunna kräva mycket minne
För den ovane känns rekursion ofta krångligt men när man fått grepp om tekniken är den oumbärlig
Rekursivt definierad talföljd
Innan vi tittar på rekursion för problemlösning värmer vi upp med en rekursivt definierad talföljd
Fibonacci-följden:fn = fn-1 + fn-2 , n=2,3,4,…
f0 = f1 = 1En funktion i C som beräknar godtyckligt
Fibonaccital: 1 int f(int n){2 if(n==0| |n==1)3 return 1;4 else5 return f(n−1)+f(n−2);6 }
Rekursionsträd
f(3)=f(2)+f(1)
f(2)=f(1)+f(0) f(1)=1
f(1)=1 f(0)=1 1 int f(int n){2 if(n==0| |n==1)3 return 1;4 else5 return f(n−1)+f(n−2);6 }
Observera att vi får ”räkna” ut f(1) två gånger
Stacken vid funktionsanropNär en funktion anropas i C, så skapas utrymme på stackenför de lokala variablerna, parametrarna och återhoppsadressen
Rekursivt-iterativt
Det är bevisat matematiskt att alla problem som kan lösas rekursivt också kan lösas iterativt
Att hitta den iterativa lösningen kan däremot vara svårt.
Fibbonaci:Rekursivt:int fib(int n){ if(n==0||n==1) return 1; else return fib(n-1)+fib(n-2);}
Iterativt:int fib(int n){ int i,fi,fim1=1,fim2=1; for(i=2;i<=n;i++) { fi=fim1+fim2; fim2=fim1; fim1=fi; } return fi;}
Ännu bättre:
5
251
251
11
nn
nf
Varje värde beräknas en gång!
Fakultet
Nu ska vi titta på ett av de mest klassiska av problem att lösa rekursivt nämligen fakultet:
Definition: n! = 12…(n-1)nExempel 5! = 12345Den rekursiva lösningen får vi genom att
observera att 5! = 54! eller n!=n(n-1)! Rekursivt:int fak(int n){ if(n==0) return 1; else return n*fak(n-1);}
Iterativt:int faki(int n){ int i,p=1; for(i=2;i<=n;i++) p*=i; return p;}
Ökar vi n med 1 ökar antalet anrop av den rekursiva funktionen med ett och antalet varv i den iterativa rutinen med ett. Mängden arbete växer linjärt med n.
Gissa ett tal
Vi ska konstruera en algoritm som ska hitta ”rätt” tal mellan tex 1 och 100. Vid varje gissning man gör får man veta om man gissat rätt, för högt eller för lågt. Algoritmen ska då hitta rätt tal på så få gissningar som möjligt.
Hur skulle du göra?Kan du formulera en algoritm?
Lösning
int gissa(int min, int max, int antal){ int x = (min+max)/2;//gissning if(x==hemlig) return antal; else { if(x<hemlig) { return gissa(x+1,max,antal+1); } else { return gissa(min, x-1, antal+1); } }}
Antal möjliga vägar
Hur många unika vägar finns det från övre högra hörnet till nedre vänstra hörnet om vi bara får gå väst och syd?
Lösning
Vi löser problemet genom att gå alla vägar och räkna hur många det blir.
Låt m vara antal rader och n vara antal kolumner
Vid varje vägval kan vi då välja att gå väst och därmed minska n med ett eller gå syd och minska m med ett
När m och n är noll är vi framme
m = 5
n = 6
Algoritm
Rekursionsträd
Största gemensamma delaren
Greatest common divisor: GCD(78,21)=3Fås enklast med Euklides algoritm:
GCD(78,21)78 = 3 21 + 15 ger GCD(21,15)21 = 1 15 + 6 ger GCD(15,6)15 = 2 6 + 3 ger GCD(6,3) 6 = 2 3 + 0 ger GCD(3,0)och då är svaret 3!
Implementering
Rekursiv:
Implementering
Iterativ:
ba / -hakarna betyder avrunda nedåt till närmsta heltal
Inlämningsuppgifter
Följande uppgifter redovisas senast måndag den 21 januari och kan inte redovisas senare:1.5, 1.7, 1.9, 1.14, 1.15, 1.16
Dessa uppgifter bör göras nu för att ni ska kunna följa kursen på ett bra sätt. Övriga kan ni göra vid tillfälle för högre betyg. I början kommer jag prioritera att ta emot redovisningar av dessa tidsbegränsade uppgifter!