Algorithmes rapides de multiplication - perso.univ-perp.frperso.univ-perp.fr/guillaume.revy/teaching/201516/Arithmetique... · Plan du cours 1. Multiplication par additions et décalages

Licence Sciences, Technologies, Santé Université de Perpignan Via DomitiaSemestre 6 (L3) - Mention Mathématiques, Informatique Année universitaire 2015/2016

Arithmétique des Ordinateurs

Algorithmes rapides de multiplication

Guillaume [email protected]

Université de Perpignan Via Domitia

Guillaume Revy (Univ. de Perpignan Via Domitia) Algorithmes rapides de multiplication 1/58

[email protected]

Plan du cours

1. Multiplication par additions et décalagesMultiplication binaire classiqueMéthode de BoothMéthode de Booth modifiée

2. Multiplieurs par réseaux cellulaires

3. Décomposition récursive de la multiplicationPrincipe de baseArbres de WallaceMéthode de Dadda

4. D’autres types de multiplieursMultiplieurs série “poids faible d’abord”Multiplieurs “en ligne”


Multiplication par additions et décalages

Plan du cours






Multiplication par additions et décalages Multiplication binaire classique

Plan du cours







Multiplication de deux nombres entiers en base 2 codés en numération simple à position

Exemple : soient X et Y deux nombres binaires sur 4 bits

I X = (x3x2x1x0) et Y = (y3y2y1y0)

y3

x2

y2 y1

x1 x0

y0

x3

×

Algorithme proche de ce qu’on fait sur papier en base 10

Résultat de la multiplication : représentable exactement sur 8 bits

I plus généralement : si X sur n bits et Y sur m bits résultat sur n+m bits

Remarque : comment multiplier deux nombres en complément à deux ?





I X = (x3x2x1x0) et Y = (y3y2y1y0)

0 × 0→ 00 × 1→ 01 × 0→ 01 × 1→ 1

et y3

x2

y2 y1

x1 x0

y0

x3

×









I X = (x3x2x1x0) et Y = (y3y2y1y0)

0 × 0→ 00 × 1→ 01 × 0→ 01 × 1→ 1

et

+

y3

x2

y2 y1

x1 x0

y0

x3

×









I X = (x3x2x1x0) et Y = (y3y2y1y0)

0 × 0→ 00 × 1→ 01 × 0→ 01 × 1→ 1

et

+

+

y3

x2

y2 y1

x1 x0

y0

x3

×









I X = (x3x2x1x0) et Y = (y3y2y1y0)

0 × 0→ 00 × 1→ 01 × 0→ 01 × 1→ 1

et

+

+

+

y3

x2

y2 y1

x1 x0

y0

x3

×









I X = (x3x2x1x0) et Y = (y3y2y1y0)

0 × 0→ 00 × 1→ 01 × 0→ 01 × 1→ 1

et

+

+

+

y3

x2

y2 y1

x1 x0

y0

x3

×









I X = (x3x2x1x0) et Y = (y3y2y1y0)

0 × 0→ 00 × 1→ 01 × 0→ 01 × 1→ 1

et

+

+

+

y3

x2

y2 y1

x1 x0

y0

x3

×







Multiplication de deux nombres entiers en base 2 codés en complément à deux


I X est négatif×

1 1 0 1

0 1 0 1

Application de l’algorithme précédent :

I calcul des produits partielsI addition des produits partiels

Problème : X = −3 et Y = 5 résultat 6=−15 mais résultat = 65

I les produits partiels doivent être sur 8 bitsI solution : extension de signe (11110001)2 = (−15)10





I X est négatif

1011

0 000

1011

0000

×1 1 0 1

0 1 0 1


I calcul des produits partiels

I addition des produits partiels







I X est négatif

1011

0 000

1011

0000

×1 1 0 1

0 1 0 1

+

+

+

10 0 0 0 010









I X est négatif

1011

0 000

1011

0000

×1 1 0 1

0 1 0 1

+

+

+

10 0 0 0 010









I X est négatif

−3 sur 4 bits, mais 13 sur 8 bits 1011

0 000

1011

0000

×1 1 0 1

0 1 0 1

+

+

+

10 0 0 0 010




I les produits partiels doivent être sur 8 bits

I solution : extension de signe (11110001)2 = (−15)10





I X est négatif

1111

1 1

0

0 0 0

+

+

+

1011

0 000

1011

0000

×1 1 0 1

0 1 0 1

00 0 11111









I Y est négatif

Solution 1 : inverser les signes de X et Y application de l’algorithme précédent

Solution 2 : adaptation de l’algorithme précédent :

I calcul des produits partielsI addition des 3 premiers produits partielsI soustraction du dernier produit partiel

+

+

−

−

1010

0 000

101

0

0

0 1 1

×1 0 1

1 0 1

0

1

1

00 0 11111

0 0 11 10

0 0 1





I Y est négatif




+

+

−

−

1010

0 000

101

0

0

0 1 1

×1 0 1

1 0 1

0

1

1

00 0 11111

0 0 11 10

0 0 1





I Y est négatif



I calcul des produits partielsI addition des 3 premiers produits partiels

I soustraction du dernier produit partiel

+

+

−

−

1010

0 000

101

0

0

0 1 1

×1 0 1

1 0 1

0

1

1

00 0 11111

0 0 11 10

0 0 1





I Y est négatif




+

+

−

−

1010

0 000

101

0

0

0 1 1

×1 0 1

1 0 1

0

1

1

00 0 11111

0 0 11 10

0 0 1



Comment implanter un multiplieur ?

Algorithme de multiplication :

P← 0pour i de 0 à n−1 faire

P← P + { X ·Yi décalé de i positions vers les poids forts }

fpour

Remarque : implantation P sur 2n chiffres

Finalement à l’étape i

I P n+ i +1 chiffresI Y n− i chiffres

Et donc : 2n+1 chiffres au total sont nécessaires pour stocker P et Y







fpour











fpour







Architecture de multiplication en numération simple à position

Multiplicande X

accu. poids faiblesaccu. poids fortsR

Additionneur

Multiplicande X

n n

n+ 1

reten

uen1

AC1 AC0

AC0[0]

Initialisation :

I R 0I AC1 0I AC0 Y



Exemple d’utilisation de cette architecture

Considérons la multiplication de X = 3 et Y = 9

Itération X R AC1 AC0 Action

0 0011 0 0000 1001

addition / décalage

1 0011 0 0001 1100 décalage

2 0011 0 0000 1110 décalage

3 0011 0 0000 0111 addition / décalage

4 0011 0 0001 1011

Finalement : X ·Y = (00011011)2 = 27







1 0011 0 0001 1100

décalage

2 0011 0 0000 1110 décalage


4 0011 0 0001 1011

Finalement : X ·Y = (00011011)2 = 27







1 0011 0 0001 1100 décalage

2 0011 0 0000 1110

décalage


4 0011 0 0001 1011

Finalement : X ·Y = (00011011)2 = 27







1 0011 0 0001 1100 décalage

2 0011 0 0000 1110 décalage

3 0011 0 0000 0111


4 0011 0 0001 1011

Finalement : X ·Y = (00011011)2 = 27







1 0011 0 0001 1100 décalage

2 0011 0 0000 1110 décalage


4 0011 0 0001 1011

Finalement : X ·Y = (00011011)2 = 27



Architecture de multiplication en complément à 2, si le multiplicande est négatif

Multiplicande X

accu. poids faiblesaccu. poids fortsRMultiplicande X

n n

n

n

AC1 AC0

Additionneurcomplement a 2

AC0[0]

Initialisation :

I R 0I AC1 0I AC0 Y

Remarques :

I si AC0[0] = 1 R = 1I le décalage laisse invariant le

contenu du registre R




Multiplicande X


n n

n

n

AC1 AC0


AC0[0]

Initialisation :

I R 0I AC1 0I AC0 Y

Remarques :

I si AC0[0] = 1 R = 1

I le décalage laisse invariant lecontenu du registre R




Multiplicande X


n n

n

n

AC1 AC0


AC0[0]

Initialisation :

I R 0I AC1 0I AC0 Y

Remarques :

I si AC0[0] = 1 R = 1I le décalage laisse invariant le

contenu du registre R




Considérons maintenant la multiplication de X =−3 et Y = 5


0 1101 0 0000 0101

R = 1 / addition / décalage

1 1101 1 1110 1010 décalage

2 1101 1 1111 0101 R = 1 / addition / décalage

3 1101 1 1110 0010 décalage

4 1101 1 1111 0001

Finalement : X ·Y = (11110001)2 =−15







1 1101 1 1110 1010

décalage


3 1101 1 1110 0010 décalage

4 1101 1 1111 0001

Finalement : X ·Y = (11110001)2 =−15







1 1101 1 1110 1010 décalage

2 1101 1 1111 0101

R = 1 / addition / décalage

3 1101 1 1110 0010 décalage

4 1101 1 1111 0001

Finalement : X ·Y = (11110001)2 =−15







1 1101 1 1110 1010 décalage


3 1101 1 1110 0010

décalage

4 1101 1 1111 0001

Finalement : X ·Y = (11110001)2 =−15







1 1101 1 1110 1010 décalage


3 1101 1 1110 0010 décalage

4 1101 1 1111 0001

Finalement : X ·Y = (11110001)2 =−15


Multiplication par additions et décalages Méthode de Booth

Plan du cours







Méthode de Booth

Soient deux nombres binaires X (sur n bits) et Y (sur m bits)

I en numération simple à position ou complément à 2

Multiplication X ·Y addition de m produits partiels sur n+m bits

+

+

+

y3

x2

y2 y1

x1 x0

y0

x3

×

I remarque : on additionne le i-ème produit partiel uniquement si yi 6= 0

Idée de la méthode de Booth (Booth, 1951) : faire apparaître des 0 dans l’écrituredu multiplicateur Y pour accélérer la multiplication



Méthode de Booth

Soient deux nombres binaires X (sur n bits) et Y (sur m bits)

I en numération simple à position ou complément à 2

Multiplication X ·Y addition de m produits partiels sur n+m bits

+

+

+

y3

x2

y2 y1

x1 x0

y0

x3

×

I remarque : on additionne le i-ème produit partiel uniquement si yi 6= 0

Idée de la méthode de Booth (Booth, 1951) : faire apparaître des 0 dans l’écrituredu multiplicateur Y pour accélérer la multiplication



Méthode de Booth

Méthode de Booth : basée sur l’identité

2i+k +2i+k−1 + · · ·+2i+1 +2i+k = 2i+k+1−2i

I remplacer les chaînes 0111 · · ·1110 par 1000 · · ·0010I utilisation des chiffres signés {1,0,1}I exemple : 62 = (00111110)2 = (01000010)2

I remarque : si le bit de poids fort = 1 la chaîne recodée aura un bit de plus, et lepoids fort sera = 1

Problème : dans certain cas, on peut faire apparaître plus de 1 dans la chaînerecodée que dans la chaîne initiale :

01010101 11111111.



Méthode de Booth

Méthode de Booth : basée sur l’identité

2i+k +2i+k−1 + · · ·+2i+1 +2i+k = 2i+k+1−2i

I remplacer les chaînes 0111 · · ·1110 par 1000 · · ·0010I utilisation des chiffres signés {1,0,1}I exemple : 62 = (00111110)2 = (01000010)2

I remarque : si le bit de poids fort = 1 la chaîne recodée aura un bit de plus, et lepoids fort sera = 1

Problème : dans certain cas, on peut faire apparaître plus de 1 dans la chaînerecodée que dans la chaîne initiale :

01010101 11111111.



Méthode de Booth

Remarque : utilisation de chiffres signés coûteuse (2 bits / chiffre)

I on n’utilisera pas directement des chiffres signésI à chaque étape i : addition, soustraction ou rien

Finalement, on effectue les opérations suivantes (avec y−1 = 0)

yi yi−1 action

0 0 rien ← 0 en i-ème position du recodage

0 1 addition ← 1 en i-ème position du recodage

1 0 soustraction ← 1 en i-ème position du recodage

1 1 rien ← 0 en i-ème position du recodage



Architecture basée sur la méthode de Booth

Multiplicande X

accu. poids faiblesaccu. poids fortsMultiplicande X

n n

n

n

AC0


AC0[0]

AC1 H

Initialisation :

I H 0I AC1 0I AC0 Y

Déroulement :

I si AC0[0] = 0 et H = 1 additionI si AC0[0] = 1 et H = 0 soustraction




Multiplicande X


n n

n

n

AC0


AC0[0]

AC1 H

Initialisation :

I H 0I AC1 0I AC0 Y

Déroulement :

I si AC0[0] = 0 et H = 1 addition

I si AC0[0] = 1 et H = 0 soustraction




Multiplicande X


n n

n

n

AC0


AC0[0]

AC1 H

Initialisation :

I H 0I AC1 0I AC0 Y

Déroulement :

I si AC0[0] = 0 et H = 1 additionI si AC0[0] = 1 et H = 0 soustraction




Revenons sur la multiplication de X = 5 et Y =−3

Itération X AC1 AC0 H Action

0 0101 0000 1101 0

soustraction / décalage


2 0101 0001 0111 0 soustraction / décalage

3 0101 1110 0011 1 décalage

4 0101 1111 0001 1

Effectivement : X ·Y = (11110001)2 =−15







1 0101 1101 1110 1



3 0101 1110 0011 1 décalage

4 0101 1111 0001 1









2 0101 0001 0111 0

soustraction / décalage

3 0101 1110 0011 1 décalage

4 0101 1111 0001 1










3 0101 1110 0011 1

décalage

4 0101 1111 0001 1










3 0101 1110 0011 1 décalage

4 0101 1111 0001 1



Multiplication par additions et décalages Méthode de Booth modifiée

Plan du cours







Méthode de Booth modifiée

Principe : représenter une chaîne avec le plus de zéro possible

I garantir qu’au moins la moitié des bits sont nulsI réduire le nombre moyen et maximum d’additions/soustractions

Remarque sur la méthode de Booth

I 11 équivalent à 01I 11 équivalent à 01

introduire de nouveau 0

Finalement, le méthode de Booth modifiée consiste à remplacer séquentiellementde droite à gauche

11 01 et 11 01










11 01 et 11 01










11 01 et 11 01



Par exemple...

Soit la chaîne binaire suivante :

A = 010111011011101111011

Après recodage par la méthode de Booth, on obtient :

B = 111001101100110001101

En remplaçant séquentiellement de droite à gauche 11 01 et 11 01, onobtient :

C = 101000100100010000101

Conclusions :

I C contient plus de 0 que A et B réécriture minimale de AI C = recodage de A par la méthode de Booth modifiée recodage canonique de A



Par exemple...


A = 010111011011101111011


B = 111001101100110001101


C = 101000100100010000101

Conclusions :




Par exemple...


A = 010111011011101111011


B = 111001101100110001101


C = 101000100100010000101

Conclusions :




Principe de la méthode de Booth modifiée

Il existe plus rapide que d’appliquer la méthode de Booth et ensuite modifier lachaîne résultat par remplacement séquentiels et successifs

Remarque : après application de la méthode de Booth, les séquences

I 11 0 isolés de la chaîne initialeI 11 1 isolés de la chaîne initiale

Par exemple : recodons la chaîne 01111011

I application de la méthode de Booth 10001101I remplacement séquentiel (Booth modifié) 10000101

Remarque : la chaîne recodée jamais deux chiffres consécutifs non nuls

I au plus n/2 additions/soustractions



Principe de la méthode de Booth modifiée

Idée : remplacer les chaînes

111 · · ·11011 · · ·111 par 1000 · · ·00100 · · ·001

et laisser inchangées les chaînes 000 · · ·00100 · · ·000.

Finalement au i-ème pas de l’agorithme de multiplication (avec c0 = 0)

I les ci permettent de localiser les 0 ou 1 isolés

ci yi+1 yi action à l’étape i ci+1

0 0 0 rien ← 0 en i-ème position du recodage 0

0 0 1 addition ← 1 en i-ème position du recodage 0


0 1 1 soustraction ← 1 en i-ème position du recodage 1

1 0 0 addition ← 1 en i-ème position du recodage 0


1 1 0 soustraction ← 1 en i-ème position du recodage 1





Multiplicande X


n n

n

n

AC0


AC1

AC0[1]

AC0[0]

ci

ci+1

Initialisation :

I ci 0I AC1 0I AC0 Y

Déroulement : avec yi+1 = AC0[1] et yi = AC0[0]

I si (ci ,yi+1,yi ) = (0,0,1) ou (1,0,0) additionI si (ci ,yi+1,yi ) = (0,1,1) ou (1,1,0) soustraction




Multiplicande X


n n

n

n

AC0


AC1

AC0[1]

AC0[0]

ci

ci+1

Initialisation :



I si (ci ,yi+1,yi ) = (0,0,1) ou (1,0,0) addition

I si (ci ,yi+1,yi ) = (0,1,1) ou (1,1,0) soustraction




Multiplicande X


n n

n

n

AC0


AC1

AC0[1]

AC0[0]

ci

ci+1

Initialisation :



I si (ci ,yi+1,yi ) = (0,0,1) ou (1,0,0) additionI si (ci ,yi+1,yi ) = (0,1,1) ou (1,1,0) soustraction




Revenons enfin sur la multiplication de X = 5 et Y =−3

Itération X AC1 AC0 ci Action

0 0101 0000 1101 0


1 0101 0010 1110 0 décalage

2 0101 0001 0111 0 soustraction / décalage et ci+1 = 1

3 0101 1110 0011 1 décalage

4 0101 1111 0001 1

Confirmation : X ·Y = (11110001)2 =−15, mais en 1 soustraction de moins







1 0101 0010 1110 0

décalage


3 0101 1110 0011 1 décalage

4 0101 1111 0001 1








1 0101 0010 1110 0 décalage

2 0101 0001 0111 0

soustraction / décalage et ci+1 = 1

3 0101 1110 0011 1 décalage

4 0101 1111 0001 1








1 0101 0010 1110 0 décalage


3 0101 1110 0011 1

décalage

4 0101 1111 0001 1








1 0101 0010 1110 0 décalage


3 0101 1110 0011 1 décalage

4 0101 1111 0001 1



Multiplieurs par réseaux cellulaires

Plan du cours







Principe des multiplieurs cellulairesSoient deux nombres entiers X et Y , encodés en base 2 sur n bits :

X = (Xn−1Xn−2 · · ·X1X0)2 et Y = (Yn−1Yn−2 · · ·Y1Y0)2

I numération simple à position

Multiplieurs cellulaires : cellules simples sur un réseau d’interconnexion régulier

Principe : utilisation de cellules full adder (FA) pour calculer les sommes partielles

I on ne propage pas la retenue sur chaque ligneI utilisation de la notation carry saveI bémol : utilisation d’un additionneur à propagation de retenue à la fin pour déterminer

le résultat

Exemple : multiplieur de Braun (1963)

I réseau très régulierI entrées sur n bits n−1 additionneurs carry save et 1 additionneur séquentiel à la

fin pour déterminer le résultat









le résultat












le résultat






Multiplieur de Braun

FAFAFA

FA

FAFAFA

FAFA

FAFAFA

X0X1X2X3

Y3

Y2

Y1

Y0

P0P2 P1P3P4P5P6P7

ab

a · b0 00

0

Temps de calcul :I proportionnel au plus long cheminI entrées sur n bits traversée de 2n−2 cellules


Décomposition récursive de la multiplication

Plan du cours






Décomposition récursive de la multiplication Principe de base

Plan du cours







Principe de la décomposition récursive de la multiplication

Soient deux nombres entiers X et Y , encodés en base 2 sur n bits :



Principe : on peut découper X et Y en deux blocs de n/2 bits

X (1) = (Xn−1 · · ·Xp)2 et X (0) = (Xp−1 · · ·X0)2 ⇒ X = 2p ·X (1)+X (0).

Et finalement

X ·Y = 22p ·X (1)Y (1)+2p ·(X (1)Y (0)+X (0)Y (1))+X (0)Y 0.




Principe : on peut découper X et Y en deux blocs de n/2 bits

X ·Y = 22p ·X (1)Y (1)+2p ·(X (1)Y (0)+X (0)Y (1))+X (0)Y (0).

Remarque : les 4 multiplications peuvent être exécutées en parallèles

I on parle de décomposition 4M

Complexité : en considérant les additions en temps constant carry save

D(n) = D(n/2)+ cst

D(n) = O(logn)

I théoriquement : proportionnel au logarithme de la taille des opérandes




Remarque 1 : on peut également calculer X ·Y de la manière suivante :

X ·Y = 22p ·B+2p ·(A−B−C

)+C, avec

A =(X (1)+X (0))(Y (1)+Y (0)), B = X (1)Y (1) et C = X (0)Y (0).

I 3 multiplications seulement : décomposition 3M

Remarque 2 : on peut encore calculer X ·Y en décomposant récursivement unseul opérande :

X ·Y = 2p ·XY (1)+XY (0).

I multiplier X par un entier de 1 bit trivialI en fait, c’est mon multiplieur avec mes lignes d’additionsI décomposition 2M

Mais comment construire des multiplieurs utilisant ces décompositions ?





X ·Y = 22p ·B+2p ·(A−B−C

)+C, avec

A =(X (1)+X (0))(Y (1)+Y (0)), B = X (1)Y (1) et C = X (0)Y (0).



X ·Y = 2p ·XY (1)+XY (0).







X ·Y = 22p ·B+2p ·(A−B−C

)+C, avec

A =(X (1)+X (0))(Y (1)+Y (0)), B = X (1)Y (1) et C = X (0)Y (0).



X ·Y = 2p ·XY (1)+XY (0).




Décomposition récursive de la multiplication Arbres de Wallace

Plan du cours







Rappel

Rappel de la cellule full-adder (FA)

FA cincout

Si

Xi Yi

Xi Yi cin cout = maj(Xi ,Yi ,ci

)Si = Xi ⊕Yi ⊕ ci

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

I assimilable à un compteur : (cout Si ) écriture binaire de Xi +Yi + cin

I on compte le nombre d’entrées = 1



Arbres de Wallace

La cellule FA est une cellule de Wallace à 3 entrées

W3

2020

W3

W3W3

2020 20

21 20

20 20 20

0

22

20

21

21

21 20

W5

Remarques :

I une cellule de Wallace à p entrées dlog2 pe sortiesI une cellule de Wallace à 2p+1−1 entrées peuvent être facilement construit à l’aide

de cellules à 2p−1

Comment utiliser les cellules de Wallace pour construire des multiplieurs ?



Arbres de Wallace

La cellule FA est une cellule de Wallace à 3 entrées

W3

2020

W3

W3W3

2020 20

21 20

20 20 20

0

22

20

21

21

21 20

W5

Remarques :

I une cellule de Wallace à p entrées dlog2 pe sortiesI une cellule de Wallace à 2p+1−1 entrées peuvent être facilement construit à l’aide

de cellules à 2p−1

Comment utiliser les cellules de Wallace pour construire des multiplieurs ?



Construisons un arbre de Wallace à 15 entrées avec des cellules à 7 entrées

W7 W7

W3

W3

W3

20 20 20 20 20 2020 20 20 20 20 20 20 20

2122 20 2022 21

20

2223 21 20



Construisons un arbre de Wallace à 15 entrées avec des cellules à 7 entrées

W7 W7

W3

W3

W3

20 20 20 20 20 2020 20 20 20 20 20 20 20

2122 20 2022 21

20

2223 21 20



Intérêt des arbres de Wallace

Les arbres de Wallace permettent d’additionner très rapidement plusieurs termes

I en un temps proportionnel au logarithme du nombre de termes et du logarithme de lataille des données

I en n’effectuant qu’une seule vraie addition

Par exemple : comment additionner rapidement 7 nombres de 4 bits ?

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

W7 W7

20 20 20 20 20 2020

23

W7 W7

232425 2224 2223 21 21 2022

W3W3W3

0

Additionneur 5 bits

20

21220

25 24 23

212223242526



Intérêt des arbres de Wallace

Les arbres de Wallace permettent d’additionner très rapidement plusieurs termes

I en un temps proportionnel au logarithme du nombre de termes et du logarithme de lataille des données

I en n’effectuant qu’une seule vraie addition

Par exemple : comment additionner rapidement 7 nombres de 4 bits ?

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

W7 W7

20 20 20 20 20 2020

23W7 W7

232425 2224 2223 21 21 2022

W3W3W3

0

Additionneur 5 bits

20

21220

25 24 23

212223242526



Utilisation des arbres de Wallace pour la multiplication

On souhaite implanter un multiplieur 8 bits, à l’aide de multiplieurs cellulaires 4 bits

X = 24 ·X (1)+X (0) et Y = 24 ·Y (1)+Y (0).

Donc X ·Y = 28 ·X (1)Y (1)+24 ·(X (1)Y (0)+X (0)Y (1))+X (0)Y (0).





X = 24 ·X (1)+X (0) et Y = 24 ·Y (1)+Y (0).

Donc X ·Y = 28 ·X (1)Y (1)+24 ·(X (1)Y (0)+X (0)Y (1))+X (0)Y (0).

X(0) · Y (1)

X(1) · Y (1) X(0) · Y (0)

4 W34 W3

7 · · · 411 · · · 8

7 · · · 411 · · · 8

7 · · · 4 3 · · · 011 · · · 815 · · · 12

Additionneur 12 bits

3 · · · 015 · · · 12 7 · · · 411 · · · 8

X(1) · Y (0)





X = 24 ·X (1)+X (0) et Y = 24 ·Y (1)+Y (0).

Donc X ·Y = 28 ·X (1)Y (1)+24 ·(X (1)Y (0)+X (0)Y (1))+X (0)Y (0).

4× 4

4× 4 4× 4

4× 4

Additionneur

W3




Finalement : 4 multiplieurs 4 bits + 8 cellules W3 + 1 additionneur 12 bits

Ce schéma peut facilement être généralisé pour traîter des opérandes de taillen bits, pour n une puissance de 2

W7 W5 W3W5W3



Complexité

Remarque : tous les multiplieurs 4×4 s’exécutent en parallèle

Coût

I coût multiplieur 4×4I temps de traversée du plus grand arbre de Wallace, à n/2−1 entréesI coût de l’additionneur final

D(n) = Dmul(4)+DW(n/2−1)+Dadd ≈ O(logn)


Décomposition récursive de la multiplication Méthode de Dadda

Plan du cours







Méthode de L. Dadda (1965)

Amélioration de la méthode des arbres de Wallace

Rappel du problème : multiplier 2 nombres n bits additionner n prodtuitspartiels de 2n bits

Principe : utilisation de la notation suivante

22

I colonne j : nj points nj bits de poids 2j à additionner

Comment réduire la hauteur des colonnes de points ?I jusqu’à ce que toutes les colonnes soient de hauteurs ≤ 2



Principe de la méthode de L. Dadda (1965)

Utilisation de la cellule full adder

FA

somme

retenue

Utilisation de la cellule half adder

somme

retenue

HA




Exemple

Objectifs :(1) réduire le plus vite possible la hauteur des colonnes,(2) en utilisant le moins de cellules FA/HA possible

Observation : si un niveau de cellules FA/HA produit une colonne de hauteur h, lahauteur de la colonne d’entrées est au plus égale à b3 ·h/2c




Exemple

Objectifs :(1) réduire le plus vite possible la hauteur des colonnes,(2) en utilisant le moins de cellules FA/HA possible

Observation : si un niveau de cellules FA/HA produit une colonne de hauteur h, lahauteur de la colonne d’entrées est au plus égale à b3 ·h/2c




À la fin, la hauteur des colonnes est ≤ 2

u0 = 2, u1 = 3, u2 = 4, · · · uj+1 = b3 ·uj/2c

Algorithme de Dadda

I si h est la hauteur maximale des colonnes, faire en sorte d’obtenir un schéma où lacolonne la plus élevée ait une hauteur h′ = maxj

{uj |uj < h

}, en utilisant le moins de

cellules HA/FAI ensuite, on passe successivement de la hauteur maximale uj à uj−1, pour atteindre la

hauteur u0 = 2

Remarque sur la méthode de Dadda :

I méthode gloutonneI on ne sait pas vraiment quoi faire à chaque étape




À la fin, la hauteur des colonnes est ≤ 2

u0 = 2, u1 = 3, u2 = 4, · · · uj+1 = b3 ·uj/2c

Algorithme de Dadda

I si h est la hauteur maximale des colonnes, faire en sorte d’obtenir un schéma où lacolonne la plus élevée ait une hauteur h′ = maxj

{uj |uj < h

}, en utilisant le moins de

cellules HA/FAI ensuite, on passe successivement de la hauteur maximale uj à uj−1, pour atteindre la

hauteur u0 = 2

Remarque sur la méthode de Dadda :

I méthode gloutonneI on ne sait pas vraiment quoi faire à chaque étape



Exemple d’utilisation de la méthode de L. Dadda (1965) sur le multiplieur 5 bits

EXPL p. 125


D’autres types de multiplieurs

Plan du cours






D’autres types de multiplieurs Multiplieurs série “poids faible d’abord”

Plan du cours







Principe des multiplieurs série “poids faible d’abord”

Jusque maintenant, on a considéré que les bits des opérandes étaient tousdisponibles au même instant

Multiplieurs série : les bits des opérandes arrivent en série, deux à deux

I commencer les calculs dès l’arrivée des premières donnéesI arrivée en commençant par les bits de poids faible

Exemple : multiplieur de Chen & Willoner

I multiplieur sérieI nombres binaires en numération simple à position



Multiplieurs de Chen & Willoner



I au temps i , le multiplieur reçoit les bits de poids i−1 : Xi et Yi

I arrivée en commençant par les bits de poids faibles : X0 et Y0

Soit P le produit de X et Y : P = (P2n−1P2n−2 · · ·P1P0)2

I le bit Pk ne dépend que des bits X0 · · ·Xk et Y0 · · ·Yk

I au temps i : le multiplieur fournit le bit Pi−1

Soit P(k) le produit de (Xk Xk−1 · · ·X1X0)2 et (Yk Yk−1 · · ·Y1Y0)2

P(k) = Xk ·2k · (Yk · · ·Y0)2 +Yk ·2k · (Xk−1 · · ·X0)2 +P(k−1) avec P(0) = X0Y0

I P0 · · ·Pk : ne dépendent que des bits de poids ≤ k des facteursI P0 · · ·Pk : k +1 premiers bits de P(k+1)






I au temps i , le multiplieur reçoit les bits de poids i−1 : Xi et Yi

I arrivée en commençant par les bits de poids faibles : X0 et Y0

Soit P le produit de X et Y : P = (P2n−1P2n−2 · · ·P1P0)2

I le bit Pk ne dépend que des bits X0 · · ·Xk et Y0 · · ·Yk

I au temps i : le multiplieur fournit le bit Pi−1

Soit P(k) le produit de (Xk Xk−1 · · ·X1X0)2 et (Yk Yk−1 · · ·Y1Y0)2

P(k) = Xk ·2k · (Yk · · ·Y0)2 +Yk ·2k · (Xk−1 · · ·X0)2 +P(k−1) avec P(0) = X0Y0

I P0 · · ·Pk : ne dépendent que des bits de poids ≤ k des facteursI P0 · · ·Pk : k +1 premiers bits de P(k+1)




Construction d’un multiplieur : 2n modules à 5 entrées / 3 sorties

I 2n arbres de Wallace W5I 2n compteurs (5,3) de Dadda

X(i, j)C1(i− 1, j − 1)

C2(i− 1, j − 2)

S(i− 1, j)Y (i, j)

S(i, j)

C1(i, j)C2(i, j)

Module j, au temps i

X(i, j) =

{YiXj−i si i ≤ j < 2i

0 sinon

Y (i, j) =

{XiYj−i si i ≤ j ≤ 2i

0 sinon

X(i, j)+Y (i, j)+C2(i−1, j−2)+C1(i−1, j−1)+S(i−1, j) = 4 ·C2(i, j)+2 ·C1(i, j)+S(i, j)

avec C1(i,0) = 0 C2(i,0) = C2(i,1) = 0 S(−1, j) = C1(−1, j) = C2(−1, j) = 0




ATTENTION... SCHEMA (4.56) + EXEMPLE ! !


D’autres types de multiplieurs Multiplieurs “en ligne”

Plan du cours







Principe des multiplieurs “en ligne”

Dans certains cas, on a intérêt à connaître rapidement les bits de poids forts durésultat de la multiplication

I la division traîte les chiffres de poids fort d’abordI arithmétique réelle : seuls les n bits de poids fort d’un produit n×n sont “intéressants”

Mais les retenues se propagent de gauche à droite→ des poids faibles vers lespoids forts

I utilisation de systèmes sans propagation de retenues : système redondantd’Avizienis, par exemple

Exemple : multiplieur d’Ercegovac et Trivedi (1977)



Principe des multiplieurs “en ligne”

Dans certains cas, on a intérêt à connaître rapidement les bits de poids forts durésultat de la multiplication

I la division traîte les chiffres de poids fort d’abordI arithmétique réelle : seuls les n bits de poids fort d’un produit n×n sont “intéressants”

Mais les retenues se propagent de gauche à droite→ des poids faibles vers lespoids forts

I utilisation de systèmes sans propagation de retenues : système redondantd’Avizienis, par exemple

Exemple : multiplieur d’Ercegovac et Trivedi (1977)



Multiplieur en ligne d’Ercegovac et Trivedi

On considère une base β≥ 3(pour pouvoir utiliser l’algorithme parallèle d’addition d’Avizienis)

Soient deux nombres X et Y sur n bits

X =n−1

∑i=0

xi ·βi et Y =n−1

∑i=0

Yi ·βi




On note

I X (k) = (Xn−1 · · ·Xk ) et Y (k) = (Yn−1 · · ·Yk )

I P(k) = X (k) ·X (k).

On remarque que

X (k−1) = β ·X (k)+Xk−1 et Y (k−1) = β ·Y (k)+Yk−1

On obtient finalement

P(k−1) = β2 ·P(k)+Xk−1 ·Y (k−1)+β ·Yk−1 ·X (k)

Conclusion : on calcule de proche en proche P(n−2), P(n−3), · · · P(0) = P,avec P(n−1) = Xn−1 ·Yn−1




On note


I P(k) = X (k) ·X (k).

On remarque que



P(k−1) = β2 ·P(k)+Xk−1 ·Y (k−1)+β ·Yk−1 ·X (k)





On note


I P(k) = X (k) ·X (k).

On remarque que



P(k−1) = β2 ·P(k)+Xk−1 ·Y (k−1)+β ·Yk−1 ·X (k)





On note


I P(k) = X (k) ·X (k).

On remarque que



P(k−1) = β2 ·P(k)+Xk−1 ·Y (k−1)+β ·Yk−1 ·X (k)



Questions ?


Algorithmes rapides de multiplication - perso.univ-perp.frperso.univ-perp.fr/guillaume.revy/teaching/201516/Arithmetique... · Plan du cours 1. Multiplication par additions et décalages

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