Algorithmes et Complexit des Probl mes de … et Complexité des Problèmes de Satisfaction de Contraintes (cours no 1) Nicolas (Miki) Hermann Manuel Bodirsky LIX, École Polytechnique

Algorithmes et Complexite desProblemes de Satisfaction de Contraintes

(cours no 1)

Nicolas (Miki) HermannManuel Bodirsky

LIX, Ecole Polytechnique

[email protected]

Miki Hermann Algorithmes et complexite des csp (1) 1 / 30

[email protected]

Notes de cours

Les transparents seront disponibles sur la page web

http://www.lix.polytechnique.fr/~hermann/teaching.html

en format PDF.

Il suffit de chercher Miki Hermann sous Google, puis aller sur ma pageweb et cliquer sur le lien teaching.

Si vous avez des questions plus tard, envoyez-moi un corrier electroniqueavec la mention [mpri] au debut du sujet du message.


http://www.lix.polytechnique.fr/~hermann/teaching.html

Bibliographie

E. Bohler, N. Creignou, S. Reith, and H. Vollmer.Playing with Boolean blocks, part I : Post’s lattice with applicationsto complexity theory.SIGACT News, Complexity Theory Column 42, 34(4) :38–52, 2003.

E. Bohler, N. Creignou, S. Reith, and H. Vollmer.Playing with Boolean blocks, part II : Constraint satisfactionproblems.SIGACT News, Complexity Theory Column 43, 35(1) :22–35, 2004.

N. Pippenger.Theories of Computability.Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

T. J. Schaefer.The complexity of satisfiability problems.In Proceedings 10th Symposium on Theory of Computing(STOC’78), San Diego (California, USA), pages 216–226, 1978.


Prerequis

construction et analyse d’algorithmes,

complexite des problemes de decision, P, NP, coNP, . . .


Motivation

Rationale

Beaucoup de problemes algorithmique de decision peuvent etre(re)formules en tant que problemes de satisfaction de contraintes (csp).Il est donc preferable et souhaitable de developper et utiliser une theorieuniforme des csp pour pouvoir dire immediatement si l’instanceparticuliere d’un probleme algorithmique donne est facile (polynomiale)ou difficile (NP-complet) a resoudre.

Exemple

Le probleme d’affectation de frequences peut etre presente commek-coloriage.

La correction d’un processeur (Intel ou AMD) est systematiquementpresente en forme d’un probleme de satisfaction d’une formulepropositionnelle en forme normale conjonctive (1000 clauses et 350variables).

C’est l’un des approches serieux pour resoudre la question P 6= NP.


But de ce cours

Vous presenter cette theorie.

Vous apprendre vous en servir.

Vous motiver de faire la recherche dans ce domaine.


Domaines et Relations

Definition

Un domaine est un ensemble fini D d’elements, d’habitudeD = {0, . . . , n − 1}.

Cardinalite du domaine est note par |D| = n.

Une relation R d’arite ar(R) = k sur D est un sous-ensemble R ⊆ Dk.

Attention

Ne pas confondre cardinalite du domain D et arite de la relation R !


Contrainte et Satisfaction

Definition

Une contrainte est une application R(~x) de la relation R (d’arite k) surun vecteur de variables ~x = (x1, . . . , xk).

Attention

Une relation R peut donner lieu a plusieurs contraintes :

R(x, y) et R(y, x) sont des contraintes differentes


Contrainte et Satisfaction

Definition

Une valuation est une function I : V → D qui instancie chaque variablex ∈ V par une valeur du domaine I(x) ∈ D.

Une valuation I satisfait la contrainte R(x1, . . . , xk) si(I(x1), . . . , I(xk)) ∈ R, note par I |= R(x1, . . . , xk).

Un modele m de la contrainte R(x1, . . . , xk) est une valuation m quisatisfait R(x1, . . . , xk).

Convention

Si le vecteur de variables ~x = (x1, . . . , xk) est fixe, on associe unmodele m avec le vecteur m = (m[1], . . . ,m[k]), tel que m(xi) = m[i]pour chaque i.


Exemple de contraintes

Egalite et inegalite

Domaine D = {0, . . . , n − 1} :

eq = {00, 11, . . . , (n − 1)(n − 1)}

neq = D2r eq

Vecteur 33 satisfait eq(x, y), mais pas neq(x, y).

Un-parmi-trois et pas-tous-egaux

Domaine D = {0, 1} :

nae = D3r {000, 111}

1-in-3 = {100, 010, 001}

Vecteur 101 satisfait nae(x, y, z) mais pas 1-in-3(x, y, z).


Exercice

Exercice 1

Construisez la relation adn (all different), dont l’arite est egale a lacardinalite du domaine et qui satisfait pour chaque vecteur m ∈ adn lacondition

∀i∀j i 6= j implique m[i] 6= m[j]

pour les domaines suivants :

1 D = {0, 1},

2 D = {0, 1, 2},

3 D = {0, 1, 2, 3, 4},

4 D = {0, . . . , p − 1}, p premier.

A quoi ressemble la contrainte adn(x1, . . . , xn) ?


Probleme de Satisfaction de Contraintes

Probleme csp

Entree: Un domaine fini D, un ensemble de variables V et un ensemblefini de contraintes C = {R1(~x1), . . . , Rp(~xp)} sur D et V .

Question: L’ensemble de contraintes C est-il satisfaisable, c.-a-d.existe-t-il une valuation m : V → D qui satisfait toutes les contraintesRj(~xj) ∈ C ?


3-coloriage comme contrainte

Probleme 3col

Entree: Un graphe G = (V,E) avec les sommets V et les aretes E.

Question: Existe-t-il une fonction f : V → {0, 1, 2} telle que f(x) 6= f(y)si (x, y) ∈ E ?

Explication

Domaine D = {0, 1, 2}.

Relation 3col = D2r {00, 11, 22} = {01, 02, 10, 12, 20, 21}

Pour chaque arete (x, y) ∈ E l’ensemble C contient la contrainte3col(x, y) : C = {3col(x, y) | (x, y) ∈ E}.

Le probleme csp(D,V,C) est satisfaisable si et seulement si on peut3-colorier le graphe G.


Exemple de 3-coloriage

Le graphe G suivant est-il 3-coloriable ?

1 2

3 4

csp correspondant

Domaine D = {r, g, b}

V = {x1, x2, x3, x4}

C = {3col(x1, x2), 3col(x1, x3), 3col(x2, x3), 3col(x2, x4), 3col(x3, x4)}


Exemple de 3-coloriage

Solution

OUI

Le graphe G suivant est 3-coloriable

1 2

3 4

Explication

Le modele m = (r, g, b, r) pour le vecteur ~x = (x1, x2, x3, x4) satisfaitl’ensemble de contraintes

C = {3col(x1, x2), 3col(x1, x3), 3col(x2, x3), 3col(x2, x4), 3col(x3, x4)}


Parametrisation des csp

Domaine D est fixee

On dispose d’un ensemble infinit et denombrable de variables V

Classe de problemes parametree par un ensemble de relations S

Probleme csp(S)

Entree: Un ensemble fini de contraintes C = {R1(~x1), . . . , Rp(~xp)}sur D et V , ou Rj ∈ S pour chaque j.

Question: L’ensemble de contraintes C est-il satisfaisable, c.-a-d.existe-t-il une valuation m : V → D qui satisfait toutes les contraintesRj(xj) ∈ C ?

But

Classifier la complexite des csp(S) selon les ensembles de relations S


Complexite des csp

Theorem (Appartenance a NP)

csp(S) appartient a la classe de complexite NP pour chaque ensemble derelations S.

Demonstration.

Pour un domaine D et un ensemble de variables V utilisees dans lescontraintes du probleme il y a |D|

|V |(un nombre fini) valuations

possibles. Ayant choisi une valuation au hasard, nous pouvons verifier sielle satisfait toutes les contraintes de l’ensemble C en tempspolynomial.


Complexite des csp . . .

Theoreme de Ladner

Selon le choix de l’ensemble de relations S, csp(S) peut etre

NP-complet

polynomial, i.e., dans P

flottant, ni NP-complet, ni dans P, a condition que P 6= NP

3col vs 2col

csp(3col) est NP-complet.

Par contre, csp(2col) pour le domaine D = {r, b} et la relation2col = {rb, br} est polynomial. On va voir la preuve pour cette derniereplus tard.


csp booleens

Convention

A partir de maintenant (pour ce cours), le domaine est toujours ledomaine booleen D = {0, 1}.

Avantage

Il existe une correspondance entre les ensembles de contraintes, construitssur les relations R ∈ S et les formules ϕ en forme normale conjonctive.Nous pouvons donc caracteriser les relations booleennes par des formules.Nous pouvons aussi caracteriser les formules par des relations booleennes.


Formules en cnf et dnf

cnf (conjunctive normal form) = forme normale conjonctive

Un litteral est une variable x ou sa negation ¬x.Une clause est une disjonction de litteraux.Une formule en cnf est conjonction de clauses.

dnf (disjunctive normal form) = forme normale disjonctive

Un terme est une conjonction de litteraux.Une formule en dnf est une disjonction de termes.


Satisfaisabilite de formules en cnf

Probleme sat

Entree: Un ensemble de variables V et une formule ϕ en cnf sur V .

Question: La formule ϕ est-elle satisfaisable, c.-a-d. existe-t-il unevaluation I : V → {0, 1} qui evalue la formule ϕ a 1 ?

Theorem (Cook 1970)

Le probleme de decision sat est NP-complet.

Question

Y-a-t-il un moyen de reformuler sat en csp ?


sat comme csp

Pour sat c’est difficile, car nous avons besoin d’un ensemble infini derelations S. Mais il existe un autre probleme plus adapte.

Probleme 3sat

Entree: Un ensemble de variables V et une formule ϕ en CNF sur V avecau plus trois litteraux par clause.

Question: La formule ϕ est-elle satisfaisable ?

Theorem (Cook 1970)

Le probleme de decision 3sat est NP-complet.


De sat au 3sat

3sat est NP-complet

3sat appartient a la classe NP. La reduction de sata 3sat est basee surla possibilite de raccourcir une clause en la transformant en conjonctionde nouvelles clauses plus courtes.

Principe divide et impera

La clause (l1 ∨ l2 ∨ c) est logiquement equivalente a la conjonction declauses (l1 ∨ l2 ∨ x) ∧ (¬x ∨ c), ou x est une nouvelle variable.Formellement

l1 ∨ l2 ∨ c = ∃x (l1 ∨ l2 ∨ x) ∧ (¬x ∨ c)

Autrement dit . . .

La clause (l1 ∨ l2 ∨ c) est satisfaisable si et seulement si la formule∃x (l1 ∨ l2 ∨ x) ∧ (¬x ∨ c) est satisfaisable.


Des formules aux relations

Convention

Pour chaque formule ϕ nous allons noter [ϕ] l’ensemble de ses modeles.

Formules et relations booleennes correspondantes

Formule ϕ Relation [ϕ]¬x {0}

x ∨ y {01, 10, 11}x ∧ y {11}

x → y = ¬x ∨ y {00, 01, 11}x ≡ y = (¬x ∨ y) ∧ (x ∨ ¬y) {00, 11} = eq2

x 6≡ y = (x ∨ y) ∧ (¬x ∨ ¬y) {01, 10} = neq2

x ∨ y ∨ z {001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}


3sat comme csp

Types de clauses de 3 variables

(x ∨ y ∨ z), (x ∨ y ∨ ¬z), (x ∨ ¬y ∨ ¬z), (¬x ∨ ¬y ∨ ¬z)

Relations correspondantes

[x ∨ y ∨ z] = {0, 1}3r {000} = or0

[x ∨ y ∨ ¬z] = {0, 1}3r {001} = or1

[x ∨ ¬y ∨ ¬z] = {0, 1}3r {011} = or2

[¬x ∨ ¬y ∨ ¬z] = {0, 1}3r {111} = or3

Contraintes correspondantes

or0(x, y, z) = (x ∨ y ∨ z), or1(x, y, z) = (x ∨ y ∨ ¬z),or2(x, y, z) = (x ∨ ¬y ∨ ¬z), or3(x, y, z) = (¬x ∨ ¬y ∨ ¬z).


3sat comme csp . . .

Quide des clauses de deux litteraux ?

Clauses de deux litteraux par identification de variables

(x ∨ y) = (x ∨ y ∨ y) = or0(x, y, y)(x ∨ ¬y) = (x ∨ ¬y ∨ ¬y) = or2(x, y, y)

= (x ∨ x ∨ ¬y) = or1(x, x, y)(¬x ∨ ¬y) = (¬x ∨ ¬y ∨ ¬y) = or3(x, y, y)

Clauses d’un litteral par identification de variables

x = (x ∨ x ∨ x) = or0(x, x, x)¬x = (¬x ∨ ¬x ∨ ¬x) = or3(x, x, x)


3sat comme csp . . .

Comment fabriquer les autres clause de 3 litteraux ? Facilement !

Permutation de variables

(x ∨ ¬y ∨ z) = or1(x, z, y)

(¬x ∨ y ∨ z) = or1(y, z, x)

(¬x ∨ y ∨ ¬z) = or2(y, x, z)

(¬x ∨ ¬y ∨ z) = or2(z, x, y)

Conclusion pour 3sat

3sat est egal a csp(or0, or1, or2, or3), i.e., csp(or0, or1, or2, or3) estNP-complet.


Exercice 2

Question

Est-il necessaire d’utiliser les quatre relations or0, or1, or2 et or3 ?

Precision

Nous n’allons pas tres loin avec une seule relation, mais est-t-il possiblede faire pareil avec deux relations ?

Vrai ou faux ?

1 3sat = csp(or0, or1)





Solution de l’Exercice 2

Solution

1 3Sat = csp(or0, or1) FAUX

2 3Sat = csp(or0, or3) VRAI

3 3Sat = csp(or2, or3) FAUX

4 3Sat = csp(or1, or2) VRAI

Information importante

Ce cours presentera la theorie qui nous permettera de decider facilementces questions.


Fin

C’est tout pour aujourd’hui.

Avez-vous des questions ?


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