INSTITUT F ¨ UR THEORETISCHE INFORMATIK -LEHRSTUHL F ¨ UR ALGORITHMIK (PROF.WAGNER) Algorithmen f ¨ ur Ad-hoc- und Sensornetze VL 04 – Topologiekontrolle Fabian Fuchs | 04. Nov. 2015 (Version 2) KIT – Universit¨ at des Landes Baden-W ¨ urttemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
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Algorithmen fur¨ Ad-hoc- und Sensornetze · eine optimale Losung bis auf einen Faktor 2.¨ Fabian Fuchs – Algorithmen fur Ad-hoc- und Sensornetze¨ VL 04 – Topologiekontrolle
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TopologiekontrolleTopologiekontrolle bezeichnet alle Techniken, die die Menge deraktiven Links zwischen Knoten verringern, um Eigenschaften desKommunikationsnetzes herzustellen, ohne andere Eigenschaften zuzerstoren.
Zwei grundsatzliche AnsatzeVerringern der Sendeleistung der KnotenBeschrankung auf ausgewahlten Subgraphen
Ziel: Genug, aber nicht zu viel abschalten!In der Regel Balance zwischen mehreren Eigenschaften.
TopologiekontrolleTopologiekontrolle bezeichnet alle Techniken, die die Menge deraktiven Links zwischen Knoten verringern, um Eigenschaften desKommunikationsnetzes herzustellen, ohne andere Eigenschaften zuzerstoren.
Zwei grundsatzliche AnsatzeVerringern der Sendeleistung der KnotenBeschrankung auf ausgewahlten Subgraphen
Ziel: Genug, aber nicht zu viel abschalten!In der Regel Balance zwischen mehreren Eigenschaften.
ErinnerungSendet ein Knoten mit Sendeleistung P,empfangt ein Knoten in Entfernung d das Signalmit einer Starke P/dα (2 < α ≤ 6). Ein Knotenkann ein ungestortes Signal dekodieren, wenneine bestimmte Starke uberschritten wird.
Geeignet normiert heißt das: Knoten u erreicht Knoten v genaudann, wenn Pu ≥ d(u, v)α.
DefinitionZu einer Menge von Knoten V in der Ebene ist eine Reichweiten-zuweisung eine Abbildung RA : V → R+. Sie induziert einengerichteten Kommunikationsgraphen GRA = (V ,E) mit(u, v) ∈ E ⇔ d(u, v) ≤ RA(u)
entspricht SendeleistungszuordnungPA(v) = RA(v)α
eine Reichweitenzuordnung heißt uniform,wenn allen Knoten dieselbe Reichweitezugeordnet wird.
DefinitionZu einer Menge von Knoten V in der Ebene ist eine Reichweiten-zuweisung eine Abbildung RA : V → R+. Sie induziert einengerichteten Kommunikationsgraphen GRA = (V ,E) mit(u, v) ∈ E ⇔ d(u, v) ≤ RA(u)
entspricht SendeleistungszuordnungPA(v) = RA(v)α
eine Reichweitenzuordnung heißt uniform,wenn allen Knoten dieselbe Reichweitezugeordnet wird.
DefinitionZu einer Menge von Knoten V in der Ebene ist eine Reichweiten-zuweisung eine Abbildung RA : V → R+. Sie induziert einengerichteten Kommunikationsgraphen GRA = (V ,E) mit(u, v) ∈ E ⇔ d(u, v) ≤ RA(u)
entspricht SendeleistungszuordnungPA(v) = RA(v)α
eine Reichweitenzuordnung heißt uniform,wenn allen Knoten dieselbe Reichweitezugeordnet wird.
DefinitionDer Maxpower-Graph ist der Graph der sich ergibt, wenn man jedenKnoten mit allen Knoten verbindet, mit denen er kommunizierenkann, wenn beide mit maximaler Sendeleistung Pmax (d.h. maximalerReichweite) senden.
Maxpower-Graph ist Unit-Disk-Graph
Topologiekontrolle macht vor allem dannSinn, wenn man davon ausgeht, dass derMaxpower-Graph ”zu dicht“ ist.
Wie stark kann man die Reichweite der Knoten verringern, ohne dassder Kommunikationsgraph unzusammenhangend wird?
Minimale uniforme Sendeleistung fur ZusammenhangGegeben: Zusammenhangender Maxpower-Graph G = (V ,E).Gesucht: Minimale uniforme Reichweitenzuordnung RA, so dass
Minimaler SpannbaumSei G = (V ,E) ein zusammenhangender Graph und w : E → R+
eine Gewichtsfunktion. Ein Minimaler Spannbaum (MST) ist einSpannbaum T ⊆ E , der
∑T w(E) minimiert.
LemmaDie minimale uniforme Reichweite fur Zusammenhang entspricht dermaximalen Lange einer Kante in einem minimalen Spannbaum T miteuklidischem Abstand als Gewichtsfunktion.
Gibt es einen zusammenhangenden Graphen nur mit kurzeren Kanten,dann gibt es auch einen Spannbaum T ′ nur mit kurzeren Kanten.Entferne die langste Kante aus T und fuge die Kante aus T ′ hinzu, diedie beiden Teilbaume verbindet. Das verringert das Gesamtgewicht in Tim Widerspruch zu ”T ist MST“.
Minimaler SpannbaumSei G = (V ,E) ein zusammenhangender Graph und w : E → R+
eine Gewichtsfunktion. Ein Minimaler Spannbaum (MST) ist einSpannbaum T ⊆ E , der
∑T w(E) minimiert.
LemmaDie minimale uniforme Reichweite fur Zusammenhang entspricht dermaximalen Lange einer Kante in einem minimalen Spannbaum T miteuklidischem Abstand als Gewichtsfunktion.
Gibt es einen zusammenhangenden Graphen nur mit kurzeren Kanten,dann gibt es auch einen Spannbaum T ′ nur mit kurzeren Kanten.Entferne die langste Kante aus T und fuge die Kante aus T ′ hinzu, diedie beiden Teilbaume verbindet. Das verringert das Gesamtgewicht in Tim Widerspruch zu ”T ist MST“.
Satz (vorerst ohne Beweis...)Es gibt einen verteilten Algorithmus zur Bestimmung eines MinimalenSpannbaums mit Laufzeit in O(n) und NachrichtenkomplexitatO(n log n + m).
MSTs sind extrem wertvoll, im Hinterkopf behalten!
Das lost das Reichweitenzuordnungsproblem fur uniformeReichweiten. Was ist, wenn wir unterschiedliche Sendeleistungenzulassen und den Durchschnitt minimieren wollen?
Satz (vorerst ohne Beweis...)Es gibt einen verteilten Algorithmus zur Bestimmung eines MinimalenSpannbaums mit Laufzeit in O(n) und NachrichtenkomplexitatO(n log n + m).
MSTs sind extrem wertvoll, im Hinterkopf behalten!
Das lost das Reichweitenzuordnungsproblem fur uniformeReichweiten. Was ist, wenn wir unterschiedliche Sendeleistungenzulassen und den Durchschnitt minimieren wollen?
SatzSchrankt man einen zusammenhangenden UDG (V ,E) auf Kantendes GG ein, bleiben (fur α ≥ 2) alle energieoptimalen Pfade erhalten.
Beweis:Annahme: Es gibt u, v ∈ E , so dass gunstigster Pfad wegfalltwahle solches Paar mit minimalem Abstandgunstigster Pfad muss direkte Verbindung gewesen sein
⇒ u, v ist weggefallen wegen eines Knotens im Umkreisdann war die direkte Verbindung nicht der gunstigster Weg(α ≥ 2!)
XTC-Algorithmus1 Jeder Knoten erstellt ein Ranking seiner Nachbarn nach Gute2 Knoten teilen ihre Rankings den Nachbarn mit3 ein Link u, v wird ignoriert, wenn es einen Knoten w gibt, den
u besser rankt als v und umgekehrt.
fur euklidische Abstande: Teilgraph des RNG⇒ planar, Maximalgrad,...
Erinnerung InterferenzWenn Knoten senden, dann storen sie den Empfang anderer Knoten.Ziel von Topologiekontrolle kann auch sein, interferenzminimaleTeilgraphen zu identifizieren.
Gesucht: Ungerichteter zusammenhangender Graph auf einer Mengevon Punkten, der die maximale Interferenz / Summe der Interferenzminimiert. Wo ist das leicht, wo ist das NP-schwer? Bei Kanten- oderKnoteninterferenz?
Gesucht: Ungerichteter zusammenhangender Graph auf einer Mengevon Punkten, der die maximale Interferenz / Summe der Interferenzminimiert. Wo ist das leicht, wo ist das NP-schwer? Bei Kanten- oderKnoteninterferenz?
8
Wie viele Knoten ”stort“ eineKante?Leicht! MST mit Interferenzals Kantengewicht!
2
Wieviele Senderadienuberdecken einen Knoten?NP-schwer! (ohne Beweis)
Topologiekontrolle ist Kompromiss widerspruchlicher Zielemanchmal sind die Ziele noch nicht einmal klar formuliert!
Topologiekontrolle zum EnergiesparenWahl minimaler Sendeleistungen, ohne Zusammenhang zuverlieren
TK durch lokale Entscheidungen gegen unnotige LinksSpanner-Eigenschaften vs. Grad, Planaritat, ..Schnitt geometrischer Graphen mit MaxPower-GraphRNG/XTC: auch ohne Geometrie noch hilfreich
Topologiekontrolle zur Minimierung der Interferenzselbst bei einfachen Modellen uberraschend schwer
1 Paolo Santi: Topology Control in Wireless Ad Hoc and SensorNetworks, Wiley, 2005
2 L. Kirouses, E. Kranakis, D. Krizanc, A. Pelc: Power consumptionin packet radio networks. In: Theoretical Computer Science 243,289–305, 2000
3 R. Wattenhofer, A. Zollinger: XTC: A practical topology controlalgorithm for ad-hoc networks. In: 18th IEEE InternationalParallel and Distributed Processing Symposium (IPDPS’04),IEEE Press, 2004
4 M. Burhart, P. von Rickenbach, R. Wattenhofer, A. Zollinger:Does Topology Control Reduce Interference?. In Proceedings ofThe 5th ACM International Symposium on Mobile Ad HocNetworking and Computing (MobiHoc ’04)