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1Captulo 1
Nmeros reales
La cobertura que brindan las plizas de seguros mdicos difieren
segn el tipo de plizaque tenga un individuo. Adems de los pagos
anuales, ciertos planes para el cuidado dela salud requieren el
pago de un deducible por cada visita al consultorio mdico. Otros
tiposde pliza requieren que el individuo pague anualmente, cierta
cantidad de dinero en gas-tos mdicos, y la compaa aseguradora cubre
un gran porcentaje de los costos restantes. Enlas pginas 11 y 12
emplearemos las tcnicas desarrolladas por el famoso matemtico
GeorgePolya para determinar la proporcin de una cuenta de gastos
mdicos que una persona tienela responsabilidad de pagar, y la parte
que cubrir la compaa aseguradora.
1.1 Habilidades de estudiopara tener xito enmatemticas
1.2 Solucin de problemas
1.3 Fracciones
1.4 El sistema de nmerosreales
1.5 Desigualdades
1.6 Suma de nmeros reales
1.7 Resta de nmeros reales
1.8 Multiplicacin y divisin denmeros reales
1.9 Exponentes, parntesis yorden de las operaciones
1.10 Propiedades del sistemade nmeros reales
Resumen del captuloEjercicios de repaso
del captuloExamen de prctica
del captulo
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2 Captulo 1 Nmeros reales
Avance de la leccin n este captulo proporcionaremos las bases
tanto de este curso como de cursosposteriores. Para muchos
estudiantes, la seccin 1.1, Habilidades de estudio pa-
ra tener xito en las matemticas, podra ser la ms importante del
libro. Lala concuidado y siga sus consejos. Si adopta estas
habilidades de estudio, aumentarnsus posibilidades de xito en este
curso de matemticas.
En la seccin 1.2, presentaremos un procedimiento de solucin de 5
pasos quese emplear a lo largo del libro. Otros temas importantes
que cubriremos en estecaptulo son las fracciones y la estructura
del sistema de nmeros reales.Antes depasar al captulo siguiente, es
esencial comprender la suma, resta, multiplicacin ydivisin de
nmeros reales que estudiaremos en las secciones 1.6 a 1.8.
E
1.1 HABILIDADES DE ESTUDIO PARA TENER XITO EN MATEMTICAS
1 Reconocer los objetivos de este libro de texto.
2 Adquirir hbitos de estudio adecuados.
3 Estudiar y presentar exmenes.
4 Administrar el tiempo.
5 Aprender a utilizar una calculadora.
Esta seccin es muy importante; lala con calma y siga sus
consejos; para muchospodra ser la seccin principal del libro.
La mayora de quienes siguen este curso pertenecen a una de las
siguientestres categoras: (1) aquellos que no estudiaron lgebra en
el bachillerato, (2) quie-nes asistieron a un curso de lgebra en el
bachillerato pero no comprendieron elmaterial, o (3) los que
asistieron a un curso de lgebra en el bachillerato y tuvie-ron xito
pero han estado fuera de la escuela por un tiempo y necesitan tomar
elcurso nuevamente. Cualquiera que sea el caso, usted necesita
adquirir hbitos deestudio para los cursos de matemticas.
Antes de analizar los hbitos de estudio, presentaremos los
objetivos del li-bro, que le ayudarn a darse cuenta de la razn de
incluir ciertos temas y de laforma de exponerlos.
1 Reconocer los objetivos de este libro de texto
Los objetivos de este libro de texto son:
1. Presentarle los temas tradicionales del lgebra.
2. Prepararlo para cursos ms avanzados.
3. Darle confianza y fomentar el gusto por las matemticas.
4. Mejorar su razonamiento y capacidad de pensamiento
crtico.
5. Incrementar su comprensin acerca de la importancia de las
matemticas enla solucin de problemas de la vida cotidiana.
6. Animarlo a pensar en forma matemtica, de modo que se sienta
cmodo al tra-ducir problemas de la vida cotidiana a ecuaciones
matemticas, para despusresolver los problemas.
Es importante darse cuenta de que este curso de matemticas es la
base paraotros cursos ms avanzados. Si tiene una buena comprensin
del lgebra le ser mssencillo tener xito en cursos posteriores.
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Seccin 1.1 Habilidades de estudio para tener xito en matemticas
3
2 Adquirir hbitos de estudio adecuados
Mantener una actitud positiva
Podra estar pensando: Odio las matemticas u Ojal no tuviera que
tomar es-ta clase. Quiz haya escuchado el concepto fobia a las
matemticas y conside-re que usted cae en esa categora. Lo primero
que necesita hacer para tener xitoen este curso es cambiar esa
actitud por una ms positiva. Debe estar dispuesto adarse y darle a
este curso una oportunidad.
Con base en sus experiencias con las matemticas, tal vez piense
que esto esdifcil. Sin embargo, las matemticas son una disciplina
en la que es preciso traba-jar. Muchos de quienes lean este libro
de texto son ms maduros ahora que cuan-do asistieron a otros cursos
de matemticas. Su madurez y deseo por aprender sonmuy importantes y
pueden establecer una enorme diferencia para tener xito.Creo que
puede tener xito en este curso, pero usted tambin debe creerlo.
Prepararse para la clase y poner atencin en ella
Como preparacin para la clase debe realizar la tarea. Si tiene
dificultades con ella,o con algn concepto, escriba las preguntas
para plantearlas a su profesor. Si se leasign una lectura como
tarea, lea el material apropiado antes de la clase. En caso deque
no se le asigne ninguna lectura, dedique unos cuantos minutos antes
de la clasepara revisar el nuevo material.En este punto no tiene
que comprender todo lo que lea;sino familiarizarse un poco con las
definiciones y conceptos que se analizarn.Esta r-pida revisin le
ayudar a comprender lo que explique su maestro durante la
clase.
Despus de que se haya explicado el material en clase, lea lenta
y cuidado-samente, palabra por palabra, las secciones
correspondientes del libro.
Debe planear la asistencia a todas las clases. Muchos profesores
estn deacuerdo en que existe una relacin inversa entre
inasistencias y buenas calificaciones;es decir, entre ms se ausente
de la clase, menor ser su calificacin. Cada vez quefalte, perder
informacin importante. Si debe faltar a alguna clase,
comunquesepreviamente con su profesor y consiga la lectura y tarea
correspondientes a esaclase. De ser posible, antes de la siguiente
clase pida a un amigo que le preste susnotas y cpielas, para
comprender el material faltante.
Para tener un buen desempeo en este curso, debe comprender todo
el ma-terial de este captulo, en especial las fracciones, pero
tambin la suma y resta denmeros reales. Si tiene dificultades con
esos temas, pida ayuda a su maestro.
En lgebra y otros cursos de matemticas, el material aprendido es
acumula-tivo; es decir, el nuevo material se basa en el que se
present anteriormente. Debe en-tender cada seccin antes de pasar a
la siguiente, y cada captulo antes de continuarcon el siguiente;
por lo tanto, no se atrase. Busque ayuda tan pronto como la
nece-site, no espere! Asegrese de realizar toda la tarea y estudiar
el libro de texto cui-dadosamente.Aumentar sus probabilidades de
xito en este curso si lleva a cabotodas las recomendaciones que se
dan en esta seccin.
Cuando est en clase, ponga atencin a lo que dice su profesor. Si
no com-prende algo, pdale que repita la leccin o que la explique
nuevamente. Si ley elmaterial por anticipado y tiene dudas,
pregunte a su profesor; si no lo hace, ste nosabr que usted tiene
problemas para comprender la leccin.
En la clase, tome notas cuidadosamente. Escriba los nmeros y
letras conclaridad, de modo que pueda leerlos ms tarde. Asegrese de
que las x no parez-can y o viceversa. No es necesario que escriba
todo lo que dice el profesor; tomenota de los puntos principales y
de los ejemplos que no estn en el libro de texto.Escribir de manera
frentica podra ocasionar que pierda la secuencia de lo queest
diciendo su profesor. Creer que puede escribir todo lo que se
discute en cla-se sin entenderlo y suponer que podr comprenderlo
despus es un error.
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4 Captulo 1 Nmeros reales
Lea el libro de textoLos libros de texto de matemticas no son
novelas, as que deben leerse lenta y cui-dadosamente, palabra por
palabra. Si no comprende lo que est leyendo, vuelva aleer el
material. Al llegar a un concepto o definicin nuevos, tal vez
convenga su-brayarlos para resaltarlos, y dar con ellos fcilmente
ms tarde.Al llegar a un ejem-plo, lalo y sgalo lnea por lnea. No
haga una lectura superficial. Despus resulvalousted mismo en una
hoja.Adems, trabaje la seccin Ahora resuelva los ejerciciosque
aparece en el libro de texto despus de varios ejemplos; esta seccin
est dise-ada para que usted tenga la oportunidad de aplicar
inmediatamente los nuevos co-nocimientos. Tome notas de todo lo que
no comprenda y pregunte a su profesor.
Este libro de texto tiene caractersticas especiales para
ayudarlo. Le sugieroque preste particular atencin a los apartados
de Cmo evitar errores comunes ySugerencias, as como a los
procedimientos y definiciones importantes que aparecendestacados.
Los recuadros de Cmo evitar errores comunes se centran en los
erro-res ms frecuentes que cometen los estudiantes. Lea y estudie
cuidadosamente di-cho material y asegrese de comprender lo que se
explica. Si evita cometer dichoserrores comunes, sus probabilidades
para triunfar en ste y otros cursos de mate-mticas aumentarn en
gran medida. Las Sugerencias ofrecen muchas tcnicas va-liosas para
resolver ciertos problemas; tambin presentan informacin muy til
odemuestran una alternativa para solucionar dichos problemas.
Haga la tareaLos dos compromisos ms importantes que usted debe
contraer para tener xito eneste curso son: asistir a clase y hacer
la tarea con regularidad. Sus ejercicios debehacerlos a conciencia
y por completo. Haga la tarea tan pronto como sea posible,de modo
que el material que se present en clase est fresco en su mente. Las
in-vestigaciones demuestran que para los cursos de matemticas,
estudiar y hacer latarea poco despus de la clase mejora la retencin
y el desempeo. Las matem-ticas no se aprenden por observacin. Es
necesario practicar lo que escuch enclase. Gracias a las tareas
usted realmente aprender el material; al hacerlas, sedar cuenta de
los problemas en los que necesita ayuda. Si no realiza los
ejerciciosasignados, no sabr qu preguntar en clase.
Cuando haga la tarea asegrese de escribir bien y con cuidado,
indique elnmero de ejercicio junto a cada problema y realcelo paso
a paso. De ese modopodr hacer referencia a l ms tarde y comprender
lo que est escrito. Preste par-ticular atencin a la escritura
correcta de los signos y exponentes.
No olvide comprobar las respuestas de sus tareas. Las respuestas
a los ejer-cicios de nmero impar estn al final de este libro, en
donde tambin encontrarla solucin a todos los Ejercicios de repaso
acumulativo, Ejercicios de repaso delcaptulo y Exmenes de prctica
del captulo. Las respuestas a los Ejercicios de re-paso acumulativo
aparecen justo despus de las preguntas especficas. Adems,despus de
cada respuesta encontrar entre corchetes los nmeros de la secciny
del objetivo en donde se present por primera vez el concepto
relacionado. Lasrespuestas a los ejercicios de Actividad en equipo
no se proporcionan porque que-remos que las obtenga precisamente
mediante el trabajo en equipo.
Si tiene alguna dificultad con algunos de los ejercicios,
mrquelos y no dudeen preguntar acerca de ellos en clase. No se
detenga hasta que entienda todos losconceptos necesarios para
resolver todos los problemas asignados.
EstudieEstudie en el ambiente apropiado, es decir, en un rea
donde no se le interrumpaconstantemente, de tal manera que toda su
atencin est dedicada a lo que estleyendo. Esta rea debe estar bien
ventilada e iluminada; su escritorio debe tener
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Seccin 1.1 Habilidades de estudio para tener xito en matemticas
5
suficiente espacio para distribuir en l todo el material, y su
silla debe ser cmo-da. Es recomendable que minimice las
distracciones mientras estudia. Por otrolado, no debe estudiar sin
parar; lo mejor es tomar breves periodos de descanso ca-da cierto
tiempo.
Antes de comenzar a estudiar, asegrese de contar con todos los
materialesnecesarios (lpices, marcadores, calculadora, etctera). No
estara de ms resaltarlos puntos importantes analizados en clase o
en el libro de texto.
Se recomienda a los estudiantes que dediquen al menos dos horas
para es-tudiar y hacer la tarea por cada hora de clase.Algunos
estudiantes requieren mstiempo que otros. Es importante distribuir
el tiempo de estudio a lo largo de lasemana en lugar de estudiar
durante un lapso nico.
Al estudiar no slo debe entender cmo resolver un problema, sino
tambinpor qu sigue unos pasos especficos para hacerlo. Si no
comprende por qu estsiguiendo un proceso especfico, no podr
resolver problemas similares.
Al final de cada seccin, a partir de la 1.2, encontrar una serie
de Ejerciciosde repaso acumulativo.Aun si estos ejercicios no se
dejaran como tarea, le sugieroque los resuelva como parte de su
proceso de estudio, ya que refuerzan lo visto enlas secciones
anteriores, y ser menos probable que lo olvide si lo revisa varias
ve-ces durante el curso.Tambin le sern muy provechosos al
prepararse para el exa-men final. Si ha olvidado la forma de
resolver alguno de los ejercicios de repasoacumulativo, deber
volver a la seccin que se indica entre corchetes junto al pro-blema
y revisarla. Despus, intente resolver nuevamente el problema.
3 Estudiar y presentar exmenes
Si estudia un poco todos los das, no tendr que desvelarse la
noche anterior al exa-men. Comience a estudiar pronto. Si espera
hasta el ltimo minuto tal vez no ten-ga tiempo de buscar la ayuda
necesaria en caso de no poder resolver un problema.
Para preparar un examen realice lo siguiente:1. Lea las notas
que tom en clase.2. Revise los ejercicios de tarea.3. Estudie las
frmulas,definiciones y procedimientos que necesitar en el examen.4.
Lea cuidadosamente los recuadros de Cmo evitar errores comunes y
Suge-
rencias.5. Lea el resumen al final de cada captulo.6. Realice
los ejercicios de repaso al final de cada captulo. Si tiene
dificultades,
vuelva a estudiar las secciones correspondientes. Si los
problemas continan,pida ayuda.
7. Resuelva el examen de prctica del captulo.8. Responda los
cuestionarios que se den en forma previa en caso de que el ma-
terial cubierto por ellos se incluya en el examen.9. En caso de
que el examen abarque material de los captulos anteriores, re-
suelva el Examen de repaso acumulativo.
Exmenes de mitad de curso y exmenes finalesAl estudiar para un
examen largo de mitad o final de curso, siga los procedimien-tos
analizados para prepararse, y adems:1. Estudie cuidadosamente todos
los exmenes y cuestionarios previos. Aseg-
rese de haber aprendido a resolver los problemas que hubiese
omitido.2. Resuelva los Exmenes de repaso acumulativo que aparecen
al final de cada
captulo. stos cubren el material desde el comienzo del libro
hasta el puntoen que se encuentren.
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6 Captulo 1 Nmeros reales
3. Si su profesor le ha proporcionado una hoja de trabajo o un
examen de prc-tica, asegrese de realizarlo. Formule preguntas
acerca de los problemas queno comprenda.
4. Comience su proceso de estudio con anticipacin, de modo que
pueda pedirtoda la ayuda necesaria en el momento oportuno.
Para presentar el examen
Asegrese de dormir lo suficiente la noche anterior al examen. Si
ha estudiadoapropiadamente, no tendr que desvelarse hacindolo en el
ltimo momento. Lle-gue temprano al lugar del examen, de modo que
disponga de unos cuantos minu-tos para relajarse. Si llega tarde
comenzar con nerviosismo y ansiedad.Al recibirel examen, haga lo
siguiente:1. Escriba todas las frmulas o ideas que necesita
recordar.2. Revise rpidamente todo el examen para tener una idea de
su extensin.Tam-
bin asegrese de que no faltan pginas.3. Lea con cuidado las
instrucciones.4. Lea minuciosamente cada pregunta. Responda por
completo cada una y ase-
grese de que contest la pregunta indicada.5. Primero responda
las preguntas que entienda mejor; despus regrese para re-
solver aquellas de las que no est seguro. No invierta demasiado
tiempo en unproblema pues podra no concluir el examen. Preprese
para dedicar mstiempo a los problemas que valen ms puntos.
6. Trate de resolver todos los problemas. Si no obtiene la
respuesta correcta, almenos habr conseguido algn crdito parcial. Si
no trata de responder la pre-gunta perder todo su valor.
7. Trabaje cuidadosamente y paso a paso.Al hacerlo, copie todos
los signos y ex-ponentes en forma correcta, y asegrese de copiar la
pregunta original delexamen correctamente.
8. Escriba con claridad, de modo que el profesor pueda leer su
trabajo; si no es-cribe claramente podr perder puntos.Adems, si su
escritura no es clara, po-dra cometer un error al ir de un paso a
otro. En los casos adecuados, asegresede que la respuesta final
quede destacada encerrndola en un cuadro.
9. Si tiene tiempo, revise su trabajo y sus respuestas.10. No se
preocupe si otros terminan antes o si usted es el ltimo. Utilice
cualquier
tiempo adicional para revisar su trabajo.Mientras resuelve el
examen permanezca calmado. No se preocupe si llega
a un problema que no puede solucionar. Pase a otra cosa y despus
regrese a l.
4 Administrar el tiempo
Como mencionamos, es recomendable que los estudiantes dediquen,
en promedio,dos horas para estudiar y hacer tareas por cada hora de
clase. No siempre es fcilencontrar el tiempo necesario para el
estudio. A continuacin se hacen algunassugerencias que podran serle
tiles.1. Planee. Determine cundo estudiar y har la tarea. En esos
periodos no
programe otras actividades, y trate de distribuirlos de manera
uniforme du-rante la semana.
2. Sea organizado, de modo que no desperdicie tiempo en la
bsqueda de suslibros, pluma, calculadora o notas.
3. Si se le permite emplear una calculadora, utilcela para hacer
los clculos te-diosos.
-
Seccin 1.1 Habilidades de estudio para tener xito en matemticas
7
4. Al terminar de estudiar, marque con claridad el punto del
texto en que sedetuvo.
5. Trate de no aceptar otras responsabilidades. Debe establecer
sus priorida-des. Si su educacin tiene la mxima prioridad, como
debe ser, tiene quereducir el tiempo que dedica a otras
actividades.
6. Si el tiempo es un problema, no se agobie con demasiados
cursos. Si el siste-ma de su escuela lo permite, considere la
posibilidad de cursar menos ma-terias. Si no cuenta con suficiente
tiempo para estudiar, tanto su aprendizajecomo las calificaciones
de todos sus cursos se vern afectados.
Utilice los suplementos
Este libro de texto incluye una gran variedad de
suplementos.Averige cules deellos estn disponibles; le sern muy
tiles. Los suplementos no sustituyen la lec-tura del libro de
texto, pero pueden ayudarle a comprender mejor ste.Visite el si-tio
Web de este libro en www.pearsoneducacion.net/angel, donde
encontrarmuchsimo material, en ingls, que le ayudar en sus
lecciones: ejercicios adicio-nales, cuestionarios de prctica que
pueden calificarse, instrucciones para el uso dela calculadora
graficadora de todas las marcas, y proyectos de los captulos.
Busque ayuda
Un consejo que subrayo mucho a mis estudiantes es: obtenga ayuda
tan prontocomo sea posible! No espere! En matemticas, por lo
general el material que serevisa un da se basa en el que se analiz
el da anterior. As que si no entiende elmaterial de hoy, no podr
entender el de maana.
En dnde buscar ayuda? Con frecuencia en los mismos colegios o
univer-sidades existen varios lugares en donde obtener ayuda. Sera
bueno que tratara dehacer un amigo en clase, alguien con quien
pueda estudiar; a menudo esto redundaen una ayuda mutua. Otra idea
sera formar un grupo de estudio con algunos com-paeros de su
clase.Analizar los conceptos y hacer las tareas junto con sus
compa-eros reforzar su propia comprensin del material.
No dude en acudir a su profesor cuando tenga problemas con el
material. Sinembargo, asegrese de leer el material asignado e
intente hacer la tarea antes deacudir con el profesor. Llegue
preparado y haga preguntas especficas.
Con frecuencia hay otras fuentes de ayuda a su disposicin.
Muchos cole-gios tienen un laboratorio o un centro de aprendizaje
de matemticas con aseso-res para ayudar a los estudiantes. Pregunte
a su profesor al principio del curso sila institucin cuenta con
este servicio y en dnde se localiza. Utilice la asesoracuando sea
necesario.
5 Aprender a utilizar una calculadora
Consiga una calculadora cientfica o graficadora en cuanto le sea
posible. Pregun-te al maestro si recomienda alguna en particular
para esta clase de matemticas uotras; o si puede utilizarla en la
clase, tareas o exmenes. Si as fuera, utilcela siem-pre que sea
posible para ahorrar tiempo.
Si la calculadora contiene una tecla o , se trata de una
calcu-
ladora cientfica. No es posible utilizar la tecla de raz
cuadrada para distinguirentre las calculadoras cientficas y las no
cientficas, ya que ambas la tienen. Debeprestar particular atencin
a los apartados Uso de la calculadora, que explican laforma de
utilizarla para resolver problemas. Si utiliza una calculadora
graficado-ra, ponga especial atencin a los recuadros de Uso de la
calculadora graficadora.
1 SIN LOG
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8 Captulo 1 Nmeros reales
Tambin es posible que en ocasiones se vea obligado a recurrir al
manual de re-ferencia adjunto con su calculadora.
Comentario final
Puede tener un buen desempeo en las matemticas si asiste a
clases en forma re-gular, pone atencin, estudia su libro de texto
cuidadosamente, hace la tarea a dia-rio, repasa con regularidad y
pide ayuda apenas la necesite. Buena suerte en su curso.
Conjunto de ejercicios 1.1Conoce usted toda la informacin
siguiente? Si no, pregntesela a su profesor lo ms pronto
posible.
1. El nombre y las horas de oficina de su profesor.2. La
ubicacin de su oficina y su nmero telefnico.3. Dnde y cundo obtener
ayuda si su instructor no es-
t disponible?4. El nombre y nmero telefnico de un amigo de su
clase.
5. Cules suplementos estn disponibles para auxiliar
suaprendizaje?
6. Recomienda su instructor el empleo de una calculado-ra en
particular?
7. Cundo utilizar la calculadora en este curso?
Si no sabe las respuestas de los puntos 1 a 7, debe
investigarlas tan pronto como sea posible.
8. Cules son sus razones para tomar este curso?
9. Qu objetivos tiene para este curso?
10. Comienza este curso con actitud positiva? Es impor-tante que
lo haga.
11. Enumere todo lo necesario para prepararse en formaadecuada
para la clase.
12. Explique cmo debe leerse un libro de texto de
mate-mticas.
13. Por cada hora de clase, cuntas horas fuera de ella
serecomiendan para estudiar y hacer la tarea?
14. Al estudiar, no slo se debe entender cmo resolver
unproblema, sino tambin la razn de seguir cada paso.Por qu?
15. Dos objetivos muy importantes que debe plantearsepara tener
xito en este curso son a) hacer la tarea enforma regular y
completa, y b) asistir a clase con regu-laridad. Explique por qu
son necesarios.
16. Escriba un resumen de los pasos a seguir a la hora
depresentar un examen.
17. Ha pensado estudiar con un amigo o grupo de compa-eros? Se
da cuenta de las ventajas de hacerlo? De-tecta alguna
desventaja?
George Polya
1.2 SOLUCIN DE PROBLEMAS
1 Aprender los cinco pasos del procedimiento de solucin
deproblemas.
2 Solucionar problemas que involucran grficas de barras, lneaso
crculos.
3 Solucionar problemas que implican estadsticas.
1 Aprender los cinco pasos del procedimientode solucin de
problemas
Una de las principales razones para estudiar matemticas es que
son tiles en la solu-cin de problemas de la vida cotidiana.A lo
largo de este libro de texto, se resolvernproblemas.Para solucionar
en forma matemtica la mayora de los problemas de la vi-da cotidiana
es necesario tener la capacidad de expresarlos con smbolos
matemti-cos.sta es una parte importante del procedimiento para la
solucin de los problemasque se presentarn a continuacin. En el
captulo 3 se dedicar mucho tiempo a ex-plicar cmo expresar los
problemas de la vida cotidiana por medio de matemticas.
A continuacin presentaremos el procedimiento general, de cinco
pasos, para lasolucin de problemas, desarrollado por George Polya y
presentado en su libro Howto Solve It. Con este procedimiento
general es posible enfocar cualquier problema.
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Seccin 1.2 Solucin de problemas 9
Lineamientos para resolver problemas
1. Entender el problema.
Lea el problema cuidadosamente al menos dos veces. En la primera
lectura,obtenga un panorama general. En la segunda, determine (a)
qu es exactamentelo que tiene que hallar, y (b) qu informacin
proporciona el problema.
Haga una lista de los hechos conocidos. Determine cules de ellos
sonpertinentes para la solucin del problema.
Determine si es posible sustituir los nmeros por otros ms
pequeos osencillos, a fin de hacer ms comprensible el problema.
Si organizar la informacin lo ayuda, enlstela en una tabla. De
ser posible, elabore un diagrama para ilustrar el problema. Rotule
la
informacin que se da.
2. Traducir el problema a lenguaje matemtico.
Por lo general, esto incluye expresar el problema en trminos de
una expresino ecuacin algebraica. (En el captulo 3 se explicar la
forma de expresarproblemas de aplicacin como ecuaciones).
Determine si existe una frmula que pueda utilizarse para
resolver el problema.3. Realizar los clculos matemticos necesarios
para resolver el problema.
4. Comprobar la respuesta obtenida en el paso 3.
Pregntese, tiene sentido la respuesta?, es razonable? Si la
respuesta no esrazonable, revise su mtodo para solucionar el
problema, as como sus clculos.
Si es posible, compruebe la solucin en el problema original.5.
Asegurarse de haber respondido la pregunta.
Enuncie la respuesta con claridad.
En el paso 2 se emplean las palabras expresin algebraica. Una
expresin al-gebraica, que en ocasiones slo recibe el nombre de
expresin, es un trmino ge-neral para cualquier conjunto de nmeros,
letras (llamadas variables), smbolosde agrupacin como parntesis o
corchetes y operaciones (como suma, res-ta, multiplicacin y
divisin). En esta seccin no se emplearn variables; su uso
seestudiar ms adelante.
Ejemplos de expresiones
Los siguientes ejemplos muestran la manera de aplicar los
lineamientos pa-ra la solucin de problemas. En ocasiones, se
proporcionarn, en los ejemplos, loscinco pasos para ilustrar el
procedimiento general. Sin embargo, en ciertos proble-mas no es
posible o necesario enlistar cada uno de los pasos. En ciertos
ejemplosse emplean nmeros decimales y porcentajes. Si necesita
repasar los procedimien-tos para sumar, restar, multiplicar o
dividir cifras decimales, o para revisar los por-centajes, lea el
Apndice A antes de continuar.
EJEMPLO 1 Transporte El aeropuerto OHara, de Chicago, es el ms
saturado del mundo,con alrededor de 65 millones de pasajeros que
llegan y salen anualmente. El au-tobs express recorre, entre el
aeropuerto y el centro de la ciudad, una distanciade 19 millas. Un
autobs en particular hace 8 viajes redondos por da entre dichos
3 + 4, 6112 , 32, 122172
3 4,1 2
-
10 Captulo 1 Nmeros reales
puntos, y lleva en promedio 12 pasajeros por viaje (en cada
sentido). La tarifa encada sentido es de $17.50.
a) Cules son los ingresos del autobs por un da de operacin?
b) Si la tarifa en un solo sentido se incrementara un 10%,
determine cul sera lanueva tarifa.
Solucin a) Entender el problema La lectura cuidadosa del
problema indica que la tareaconsiste en encontrar los ingresos
totales por un da de operacin. Es necesario ha-cer una lista de
toda la informacin que se da y determinar cul es necesaria pa-ra
encontrar el total de los ingresos.
Pertinente para resolverInformacin disponible el problema
65 millones de pasajeros que llegan o salen anualmente no19
millas del aeropuerto al centro no8 viajes redondos al da s12
pasajeros por viaje (en cada sentido) sTarifa de $17.50 (en cada
sentido) s
Para calcular los ingresos totales no es necesario conocer el
nmero de pa-sajeros que utilizan el aeropuerto, ni la distancia
entre ste y el centro. Para solu-cionar este problema es necesario
que se d cuenta de que los ingresos totalesdependen del nmero de
viajes en cada sentido, del nmero promedio de pasaje-ros por viaje,
y del costo por pasajero; todo esto en un da. El producto de estos
tresnmeros arrojar los ingresos totales diarios. Tenemos 8 viajes
redondos por da,por lo tanto, 2 8, o 16 viajes en un sentido cada
da.
Traducir el problema a lenguaje matemtico
Efectuar los clculos
Tambin podran haberse utilizado 8 viajes redondos y una tarifa
de $35.00por persona para obtener la respuesta. Podra explicar por
qu?
Revisar la respuesta La respuesta de $3,360.00 es razonable, con
base en la infor-macin que se da.
Responder la pregunta que se hace Los ingresos por un da de
operacin son de$3,360.00.
b) Entender Si la tarifa se incrementa un 10%, la nueva ser 10%
ms alta que$17.50. Por lo tanto, es necesario agregar el 10% de
$17.50 a esta cifra para obte-ner la respuesta.Al realizar los
clculos, los nmeros que expresan porcentajes engeneral cambian a
cifras con decimales.
Traducir Tarifa nueva tarifa original 10% de la tarifa
original
Calcular Tarifa nueva $17.50 0.10($17.50)
Revisar La respuesta de $19.25, es un poco mayor que $17.50,
parece razonable.
Responder Al incrementarse un 10%, la tarifa nueva es de
$19.25.
= $17.50 + $1.75 = $19.25
= 16 * 12 * $17.50 = $3360.00
ingresosen unda
= nmero deviajes en unsentido por da
* nmero depasajerospor viaje
* costo porpasajeros encada sentido
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Seccin 1.2 Solucin de problemas 11
EJEMPLO 2 Velocidad de un procesador En febrero de 2001, el
procesador ms veloz de In-tel, el Pentium 4, poda realizar
alrededor de 1.5 mil millones de operaciones porsegundo (1.5
gigahertzios, que se representa como 1.5 GHz). Cuntas operacio-nes
podran efectuarse en 0.3 segundos?
Solucin Entender Se da el nombre del procesador, la velocidad de
alrededor de 1.5 mil mi-llones (1,500,000,000) de operaciones por
segundo, y 0.3 segundos. Para determinarla respuesta de este
problema no es necesario el nombre del procesador, Pentium 4.
A fin de obtener la respuesta, se requiere multiplicar o
dividir? Es frecuenteque un problema muy sencillo parezca ms difcil
debido a los nmeros que invo-lucra. Cuando nmeros muy grandes o muy
pequeos hagan parecer confuso unproblema, hay que tratar de
sustituirlos por otros de uso ms comn para de-terminar la manera de
resolverlo. Supongamos que el procesador puede ejecutar6
operaciones por segundo. Cuntas operaciones realizara en dos
segundos? Larespuesta a esta pregunta debera ser obvia. Es 6 2 o
12. Para obtener este re-sultado tuvimos que multiplicar; por lo
tanto, tambin debemos multiplicar paraobtener la respuesta al
problema que se plantea.
Traducir
Nmero de operaciones en 0.3 segundos 0.3 (nmero de operaciones
por segundo)
Calcular
Con una calculadora
Revisar La respuesta, 450,000,000 de operaciones, es menor que
las 1,500,000,000de operaciones por segundo, lo que tiene sentido
debido a que el procesador ope-ra durante menos de un segundo.
Responder En 0.3 segundos, el procesador realiza 450,000,000 de
operaciones.
EJEMPLO 3 Seguros mdicos La pliza de seguro mdico de Beth
Rechsteiner es similar a lade muchos trabajadores. La pliza de Beth
requiere que pague los primeros $100 degastos mdicos de cada ao
calendario (que se llama deducible). Despus de pa-gar el deducible,
ella cubre el 20% de los gastos mdicos (que se denomina copago)y la
compaa aseguradora paga el 80%. (Hay un copago mximo de $600 que
de-be pagar al ao. Despus de eso, la empresa aseguradora cubre el
100% del costode atencin.) El 1 de enero, Beth se torci su tobillo
mientras jugaba tenis. Fue alconsultorio del doctor para que la
revisara y obtuviera una placa de rayos X. Lacuenta total que se
envi a la compaa aseguradora fue de $325.a) Qu monto de la cuenta
ser responsabilidad de Beth?b) De cunto es responsable la compaa de
seguros?
Solucin a) Entender En primer lugar enlistamos la informacin
relevante.Informacin disponible
Deducible de $10020% de copago despus del deducible80% que paga
la compaa de seguros despus del deducible$325 de la cuenta del
mdico
El resto de la informacin no es necesaria para la solucin del
problema.Beth ser res-ponsable de los primeros $100 y del 20% del
saldo restante. La compaa asegurado-ra tiene la responsabilidad del
80% del saldo despus del deducible.Antes de calcularlo que adeuda
Beth es necesario determinar el saldo de la cuenta despus de pagar
eldeducible. El saldo de la cuenta despus del deducible es de $325
$100 $225.
= 450,000,000 = 0.311,500,000,0002
-
12 Captulo 1 Nmeros reales
Traducir Responsabilidad de Beth deducible 20% de la cuenta
despusdel deducible.
Calcular Responsabilidad de Beth 100 20%(225)
Revisar la respuesta La respuesta parece razonable. Beth le
deber al doctor $145.
b) La compaa aseguradora ser responsable del 80% del saldo
despus del de-ducible.
Responsabilidad de la compaa de seguros 80% del saldo despus del
deducible
Por lo tanto, la compaa aseguradora es responsable de $180. Esto
tiene sentidoya que la suma de esta cantidad y la que debe pagar
Beth es igual a la cuenta quepas el doctor.
Tambin podramos haber respondido el inciso b) si restbamos lo
que debe Bethdel total de la factura; pero para que usted pudiese
practicar ms con los porcen-tajes decidimos obtener la solucin de
esta forma.
2 Solucionar problemas que involucran grficas de barras, lneas o
crculos
Con frecuencia, la solucin de problemas implica comprender y
leer grficas yconjuntos de datos (o nmeros). En todo el libro se
emplearn grficas de barras,de lneas (poligonales) y circulares (o
de tipo pastel), as como conjuntos de datos.En esta seccin
emplearemos algunas de estas grficas y explicaremos cmo
in-terpretarlas. Para resolver el ejemplo 4, usted debe interpretar
grficas de barras ycirculares, y trabajar con datos.
EJEMPLO 4 Comercio electrnico global Forrester Research Inc.
(forrester.com) proporcio-n la siguiente informacin. Las grficas
nos dan informacin sobre las ventas enel comercio electrnico
(ventas que se realizan por Internet) e incluyen dos tiposde
ventas: de negocio a negocio y de negocio a consumidor. Se estima
que en 2007,esta clase de ventas podran llegar a ser por un total
de $6.8 billones (estos datosslo son representativos).
La grfica de barras de la figura 1.1 muestra las ventas
mundiales en el co-mercio electrnico. La grfica circular de la
figura 1.2 ilustra el desglose de ven-tas electrnicas por regiones
seleccionadas.a) Por medio de la grfica de la figura 1.1, estime
las ventas en el comercio elec-trnico para 2007.b) Si las ventas
mundiales en el comercio electrnico en 2007 son de $6.8
billones,utilice la figura 1.2 para estimar las ventas en el
comercio electrnico para Norte-amrica, Asia/Pacfico, Europa
Occidental, y el resto del mundo.
Solucin a) Con el empleo de la figura 1.1, se estima que en 2007
las ventas en el comercioelectrnico sern de alrededor de $6.8
billones. Observe que se utiliza la partefrontal de la barra para
obtener la estimacin. Siempre que se trabaje con una gr-fica de
barras tridimensional, como en este caso, se usar la cara del
frente para de-terminar la lectura.
c) Entender La grfica circular de la figura 1.2 indica que
alrededor del 50.9%de las ventas mundiales en el comercio
electrnico en 2007 corresponde a Norte-amrica, el 24.3% a
Asia/Pacfico, 22.6% a Europa Occidental, y 2.2% al resto del
$145 + $180 = $325
= 180 = 0.8012252
= 145 = 100 + 45 = 100 + 0.2012252
AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 33
-
Seccin 1.2 Solucin de problemas 13
Comercio electrnico globalD
lar
es (
billo
nes)
0
8
6
4
2
2003 2004 2005 2006 2007
Ao
FIGURA 1.1
Desglose estimado de comercio electrnico global (Ventas por
regin en 2007)
Norteamrica 50.9%
22.6%
Asia/Pacfico24.3%
Resto del mundo 2.2%
Europa Occidental
FIGURA 1.2
mundo. La suma de estos porcentajes es de 100%. (Observe que el
50.9% del readel crculo la ocupa Norteamrica, 24.3% es para
Asia/Pacfico, 22.6% para EuropaOccidental, y 2.2% para el resto del
mundo.) Para determinar la cantidad aproxi-mada de ventas en el
comercio electrnico en Norteamrica, es necesario calcu-lar el 50.9%
del total de ventas electrnicas. Para hacer esto, multiplicamos
delsiguiente modo.
Traducir
Calcular
Cantidad de ventas en el comercio electrnico en Norteamrica
0.509($6.8 billones)
Por lo tanto, se espera que, en 2007, alrededor de $3.4612
billones de ventas en elcomercio electrnico ocurran en
Norteamrica.
Para obtener las ventas electrnicas en las dems reas del mundo,
efectua-mos clculos similares.
ventas electrnicas en Asia/Pacfico 0.243($6.8 billones) $1.6524
billones
ventas electrnicas en Europa Occidental 0.226($6.8 billones)
$1.5368 billones
ventas electrnicas en el resto del mundo 0.022($6.8 billones)
$0.1496 billones
Revisar Si sumamos las cuatro cifras, obtendremos un total de
$6.8 billones. Portanto, nuestra respuesta es correcta.
$3.4612 billones $1.6524 billones $1.5368 billones $0.1496
billones $6.8 billones
Responder Las ventas electrnica estimadas en 2007 fueron:
Norteamrica:$3.4612 billones;Asia/Pacfico: $1.6524 billones; Europa
Occidental: $1.5368 billo-nes; el resto del mundo: $0.1496
billones.
En el ejemplo 5 se usar el smbolo L, que se lee es
aproximadamenteigual a. Por ejemplo, si la respuesta de un problema
fuera 34.12432, se escribiracomo L34.1.
= $3.4612 billones
acantidad de ventas en el comercioelectrnico en Norteamrica
b = aporcentaje del total de ventaselectrnicas en
Norteamrica
b aventas electrnicastotales
b
AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 23
-
14 Captulo 1 Nmeros reales
FIGURA 1.3
EJEMPLO 5 El Supertazn La grfica de lneas (poligonal) de la
figura 1.3 muestra el costode un comercial de 30 segundos durante
los Supertazones de 1967 a 2002. Los pre-cios de la publicidad los
establece la red de televisin.
a) Estime el costo de los comerciales de 30 segundos en 1975 y
2001.b) Qu diferencia hubo en el costo por un comercial de 30
segundos en 2001 yuno en 1975?c) Cuntas veces fue mayor el costo de
un comercial de 30 segundos en 2001 so-bre el de 1975?
Solucin a) Al leer una grfica de lnea (poligonal) en la que sta
tiene cierto espesor, co-mo la de la figura 1.3, usaremos el centro
de la lnea para marcar la estimacin.Alobservar la lnea punteada en
la grfica, se estima que el costo de un comercial de30 segundos fue
de alrededor de $375,000 en 1975, y de cerca de $2.3 millones
(o$2,300,000) en 2001.b) Se usa el procedimiento de solucin de
problemas para responder la pregunta.
Entender Para determinar la diferencia en el costo de un
comercial de 30 se-gundos, entre los aos 2001 y 1975, es necesario
realizar una resta.
Traducir diferencia en el costo costo en 2001 costo en 1975
Calcular
Responder y revisar La respuesta parece razonable. El costo fue
de $1,925,000 msen 2001.
c) Entender Si examinamos los incisos b) y c), podramos pensar
que son iguales,pero no es as. En la seccin 1.1 se indica que es
importante leer un libro de ma-temticas con cuidado, palabra por
palabra. Los dos incisos difieren en que el b)pregunta cul es la
diferencia en el costo, mientras que el c) pregunta cuntasveces ms.
Para determinar el nmero de veces que el costo en 2001 ha sido
ma-yor que el de 1975, es necesario dividir el costo en 2001 entre
el de 1975, como seobserva a continuacin.
Traducir
Calcular
Revisar y responder Al observar la grfica, vemos que la
respuesta es razonable.El costo de un comercial de 30 segundos
durante el Supertazn de 2001 fue alre-dedor de 6.13 veces el costo
del de 1975.
3 Solucionar problemas que implican estadsticas
Debido a que la comprensin de la estadstica es tan importante en
nuestra socie-dad, a continuacin se estudiarn ciertos temas
estadsticos que emplearemos pararesolver problemas.
La media y la mediana son dos medidas de tendencia central,
conocidas tam-bin como promedios. Un promedio es un valor que
representa un conjunto de da-tos (o nmeros). Si usted toma un curso
de estadstica, estudiar estos promedioscon ms detalle, y conocer
otros promedios.
Para obtener la media de un conjunto de datos primero sumamos
todos losvalores y luego dividimos el resultado entre el nmero de
valores. Por ejemplo,para calcular la media de 6, 9, 3, 12, 12,
hacemos lo siguiente.
media =6 + 9 + 3 + 12 + 12
5=
425
= 8.4
calcular nmero de veces ms =2,300,000375,000
L 6.13
nmero de veces ms =costo en 2001costo en 1975
= $2,300,000 - $375,000 = $1,925,000
Fuente: Investigacin de la NFLNota: Los precios estn en dlares
de 2001.
Costo de los comerciales en los Supertazones
Dl
ares
(m
illon
es) 2.5
1.5
0.5
2.0
1.0
0
Ao70 75 80 85 90 95 00
-
Seccin 1.2 Solucin de problemas 15
Se dividi la suma entre 5 porque hay cinco valores. La media es
el promedio quese usa con mayor frecuencia, y por lo general es el
valor en el que pensamos al uti-lizar la palabra promedio.
La mediana es el valor de en medio (valor central) de un
conjunto de datosordenados. Ordenamos los datos de menor a mayor o
viceversa. Para encontrar lamediana de 6, 9, 3, 12, 12, ordenamos
los datos del ms pequeo al ms grande, co-mo sigue.
Valor central
El valor central del conjunto de datos ordenados es 9. Por lo
tanto, la mediana es9. Observe que la cantidad de datos examinados
es un nmero impar (non) y quela mitad de los valores est por encima
de la mediana y la otra mitad est por de-bajo de ella.
Si tenemos un nmero par de datos por examinar, la mediana est
entre losdos valores centrales. Por ejemplo, para calcular la
mediana de 3, 12, 5, 12, 17, 9, or-denamos los datos de mayor a
menor o viceversa.
Valores centrales
Como hay seis datos (nmero par), buscamos el valor que est a la
mitad entre losdos valores centrales, que son 9 y 12. Para
encontrar la mediana, sumamos dichosvalores y dividimos el
resultado entre 2.
As, la mediana es 10.5. Observe que la mitad de los valores se
encuentran arribade ella, y la mitad por debajo.
EJEMPLO 6 La calificacin media. Las seis primeras calificaciones
de Alfonso Ramrez son 90,87, 76, 84, 78 y 62.
a) Encuentre la media de las seis calificaciones de Alfonso.b)
Si hubiera un examen ms, cul sera la calificacin mnima que Alfonso
ne-cesita para obtener cuando menos una B como promedio (es decir,
un promediode 80 o ms)?c) Es posible que Alfonso obtenga un
promedio de A (90 o ms)? Explique surespuesta.
Solucin a) Para obtener la media, sumamos las seis
calificaciones y el resultado lo dividi-mos entre 6.
b) Mostraremos los pasos para resolver el problema para esta
parte del ejemplo.
Entender La respuesta a esta parte se encuentra de diversas
maneras. Para quela media de siete exmenes sea 80, los puntos
totales de ellos debe ser de 7(80) o560. Podra explicar por qu? La
calificacin mnima necesaria se encuentra si seresta de 560 la suma
de las seis calificaciones.
Traducir
calificacin mnima que se necesita obtener
en el sptimo examen 560 suma de las primeras seis
calificaciones
media =90 + 87 + 76 + 84 + 78 + 62
6=
4776
= 79.5
media =9 + 12
2=
212
= 10.5
q3, 5, 9, 12, 12, 17
q3, 6, 9, 12, 12
-
16 Captulo 1 Nmeros reales
Fuente: Gloria Forthun, Southeast Regional Climate
CenterRegistros de 1895 a 2001. El sureste comprende a Va, N.C.
S.C., Ga, Fla y Ala.
Veranos ms secos en el suresteLa precipitacin pluvial promedio
en el sureste es de 15.61 pulgadas.
Llu
via
(pul
gada
s)
Aos
0
16
4
8
12
1980 1954 1993 1925 1902 1983 1930 1990 1998 1921
10.63 10.67 10.68 10.83 11.60 11.7611.87 12.18 12.80 12.91
Calcular
Revisar Se verifica que una sptima calificacin, 83, nos d una
media de 80, dela siguiente manera.
Respuesta Una sptima calificacin de 83 o ms, al menos, dar como
resultadoun promedio de B.
c) Se utiliza el mismo razonamiento que en el inciso b). Para un
promedio de 90,el total de puntos que Alfonso necesita obtener es
de 90(7) 630. Como su totalde puntos es de 477, necesitar 630 477 o
153 puntos para obtener un prome-dio de A. Como el nmero mximo de
puntos de que se dispone la mayora de losexmenes es de 100, Alfonso
no podra obtener una A en el curso.
media =90 + 87 + 76 + 84 + 78 + 62 + 83
7=
5607
= 80
= 83 = 560 - 477 = 560 - 190 + 87 + 76 + 84 + 78 + 622
Conjunto de ejercicios 1.2
Ejercicios conceptuales
1. Mencione los cinco pasos del procedimiento para resol-ver
problemas.
2. Qu es una expresin?3. Si un problema es difcil de resolver
porque los nmeros en
l son muy grandes o muy pequeos, qu puede hacersepara que el
problema sea ms fcil de solucionar?
4. Explique cmo se encuentra la media de un conjunto
dedatos.
5. Explique cmo se halla la mediana de un conjunto de datos.6.
En qu medida de tendencia central se piensa por lo ge-
neral como el promedio?7. Considere el conjunto de datos 2, 3,
5, 6, 30. Sin realizar
ningn clculo, podra determinar cul es ms grande, lamedia o la
mediana? Explique su respuesta.
8. Considere el conjunto de datos 4, 101, 102, 103. Sin
hacerningn clculo, determine cul es mayor, la media o la me-diana.
Explique su respuesta.
9. Para sacar una calificacin de B, un estudiante debe te-ner
una media de 80. Pat Mast tiene una media de 79de 10 exmenes. Se
acerca a su maestro y le pide una B,con el razonamiento de que slo
le falta un punto paraalcanzarla. Qu es lo que est equivocado en su
plan-teamiento?
10. Considere el conjunto de datos 3, 3, 3, 4, 4, 4. Si uno de
loscuatros cambiara a 5, qu es lo que cambiara, la mediay/o la
mediana? Explique su respuesta.
Practique sus habilidades
En este conjunto de ejercicios, utilice una calculadora para
ahorrar tiempo.
11. Calificaciones de examen Las calificaciones de JennaWebber
son 78, 97, 59, 74 y 74. Para stas, determine: a) lamedia y b) la
mediana.
12. Puntuacin de boliche La puntuacin de Eric Flemmingen cinco
juegos fue de 161, 131, 187, 163 y 145. Para los jue-gos de Eric,
calcule: a) la media y b) la mediana.
13. Facturas de tiendas Las facturas mensuales de Liz Kasterpara
los cinco primeros meses de 2003, fueron de $204.83,$153.85,
$210.03, $119.76 y $128.38. Para las facturas deLiz, obtenga a) la
media y b) la mediana.
14. Cuentas de electricidad Las cuentas elctricas de Los Fo-xes
de enero a junio de 2002, fueron de $96.56, $108.78,$87.23, $85.90,
$79,55 y $65.88. Para estas cuentas, encuen-tre a) la media y b) la
mediana.
15. Veranos secos La siguiente figura muestra los 10 vera-nos ms
secos en el sureste, de 1895 a 2001. Halle a) lamedia y b) la
mediana de las pulgadas de lluvia para los10 aos que se
muestran.
AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 41
-
Consulte el ejercicio 24. b)
Seccin 1.2 Solucin de problemas 17
16. Casas en venta En cierta comunidad hay ocho casas enventa.
Sus precios son de $124,100, $175,900, $142,300,$164,800, $146,000,
$210,000, $112,200, y $153,600. Deter-
Solucin de problemas
ConsumoValor energtico, de energa, (kJalimento (kJ) actividad
min)
Malteada de chocolate 2,200 Caminata 25
Huevo frito 460 Ciclismo 35
Hamburguesa 1,550 Natacin 50
Pastel de fresa 1,440 Carrera 80
Vaso de leche descremada 350
/
24. Valores de la energa La siguiente tabla proporciona
losvalores aproximados de la energa de ciertos alimentos, yel
consumo de energa aproximado de algunas activida-des, en kilojoules
(kJ). Determine cunto tiempo le toma-ra utilizar la energa de los
siguientes alimentos.a) una hamburguesa, si corrierab) una malteada
de chocolate, si caminarac) un vaso de leche descremada, con
ciclismo
17. Comisiones Barbara Riedell gana el 5% de comisin porlos
aparatos que vende. La ltima semana, sus ventas fue-ron por un
total de $9400. Encuentre sus ingresos de esasemana.
18. Edificio Empire State El 1 de mayo de 1931 fue la
inau-guracin del Empire State. Mide 1,454 pies, o 443 metros,de
altura. Utilice esta informacin para determinar el n-mero
aproximado de pies que hay en un metro.
19. Impuestos sobre ventas a) El impuesto sobre las ventas
enJefferson County es de 7%. Cul es el impuesto que pa-g Jack
Mayleben por un carro usado que cost $16,700antes de impuestos?b)
Cul es el costo total del carro, incluyendo impuestos?
20. Cuenta de cheques El saldo de la cuenta de cheques deLois
Heater es de $312.60. Ella adquiri cinco discos com-pactos a $17.11
cada uno, ya con IVA. Si paga con un che-que, cul es el nuevo saldo
en su cuenta?
21. Compra de una computadora Scott Borden quiere com-prar una
computadora que se vende en $950. Puede pagaral contado o dar a la
tienda un enganche de $200 y 24 men-sualidades de $33.a) Si da el
enganche y los pagos mensuales, cunto paga-
r por la computadora?b) Cunto dinero ahorrara si pagara el total
del costo
al contado?22. Estacionamiento El Midtown Parking Lot cobra
$1.50 por
cada hora, o fraccin, de estacionamiento.Alfredo
Irizarriestaciona su auto de las 9:00 a.m. a las 5:00 p.m., cinco
dasa la semana.a) Cul es su costo semanal por el estacionamiento?b)
Cunto dinero ahorrara si pagara una tarifa semanal
de $35.00?23. Militares La siguiente grfica muestra el rea de la
defensa
en que las mujeres se enlistaron al mes de enero de 2001. Siel
nmero total de mujeres que se dio de alta es aproxima-damente de
91,600, determine cuntas mujeres ms se en-listaron en el ejrcito
que en la marina.
mine a) la media y b) la mediana del precio de venta de lasocho
casas.
Fuente: Departamento de Defensa de los E.U.
rea en que se enlistaron las mujeres
Ejrcito 45%
Fuerza Area 26%Marina
24%
Cuerpo de infantera
de marina 5%
25. Gasolina por distancia Cuando el odmetro del auto deTribet
LaPierre da una lectura de 16,741.3, l llena el tan-que de
gasolina. La siguiente vez que lo llena, caben 10.5galones y su
odmetro indica 16,935.4. Determine el nme-ro de millas por galn que
rinde su carro.
26. Jet Ski El costo de la renta de un jet ski en Dons Ski
Ren-tal, es de $10.00 por 15 minutos, y en Carols Ski Rental esde
$25 por media hora. Suponga que planea rentar un jetski por 3
horas.a) Cul es el mejor trato?b) Cunto ahorrara?
-
18 Captulo 1 Nmeros reales
Ingreso brutoajustado Impuestos
$0 $45,200 15% del ingreso
$45,200 $109,250 $6,780.00 27.5% de lo quesobrepase de
$45,200
$109,250 $166,500 de loque sobrepase de $109,250
$166,500 $297,350 de loque sobrepase de $166,500
$297,350 y ms de loque sobrepase de $297,350
$88,306.75 + 39.1%
$41,855.00 + 35.5%
$24,393.75 + 30.5%
Costo de la electricidad en California
0
Cen
tavo
s po
r ki
low
att-
hora
MesE DNOSAJJMAMF
5
10
15
20
25
30
35
40
Fuente: Pacific Gas & Electric Co.
3.2
3.91999
2000
40.0
4.4
27. Compra de llantas Eric Weiss compr cuatro llantas porcorreo.
Pag $62.30 ms $6.20 de gastos de envo y manejopor cada llanta. No
hubo impuesto sobre esta compra. Alrecibir las llantas, Eric tuvo
que pagar $8.00 por montar ybalancear cada llanta. En una tienda
local de llantas, elcosto total de las cuatro, con el montaje y
balanceo, habrasido de $425 ms 8% de impuesto sobre las ventas.
Cun-to ahorr Eric al comprarlas por correo?
28. Costo de la electricidad Por medio de la grfica que
semuestra, determine la diferencia aproximada en el costo dela
electricidad para una familia que us 1500 kilowatt-ho-ra de
electricidad en diciembre de 1999, contra el que tu-vo en diciembre
de 2000, si adquirieron su electricidad dePacific Gas &
Electric Company.
29. Impuestos al ingreso En la siguiente tabla se ilustra el
ta-bulador de la tasa de impuesto federal sobre el ingreso pa-ra
2001.
30. Conversiones a) A cunto equivale 1 milla por hora enpies por
hora? En una milla hay 5280 pies.
b) A cunto equivale 1 milla por hora en pies por se-gundo?
c) A cunto es igual 60 millas por hora, en pies por se-gundo?88
feet per second
31. Goteo de un grifo Un grifo que gotea a razn de 1 onzade agua
por minuto desperdicia 11.25 galones por da.
a) Cuntos galones de agua se desperdician en un ao(no
bisiesto)?
b) Si el agua cuesta $5.20 por 1000 galones, cunto dine-ro
adicional se paga al ao en la cuenta respectiva?
32. Presin de las llantas Cuando la presin de las llantas
delauto de Sandra Hakanson es de 28 libras por pulgada cua-drada
(psi), su carro rinde en promedio 17.3 millas por ga-ln (mpg) de
gasolina. Si la presin se incrementa a 32 psi,promedia 18.0
mpg.
a) Qu tanto ms lejos viajara por cada galn de gaso-lina, si
inflara sus llantas a la presin ms elevada?
b) Si manejara un promedio de 12,000 millas por ao,cuntos
galones de gasolina ahorrara en un ao si in-crementara la presin de
sus llantas de 28 a 32 psi?
c) Si la gasolina cuesta $1.40 por galn, cunto dineroahorrara en
un ao?
33. Viaje en taxi Un taxi cobra $2 de banderazo a un clienteque
haga uso de l, y despus 30 centavos por cada de mi-lla que viaje y
20 centavos por cada 30 segundos que pasedetenido en el trfico.
David Lpez toma un taxi para via-jar una distancia de 3 millas y el
vehculo pasa 90 segun-dos detenido en el trfico. Determine el costo
del viaje deDavid.
34. Seguros Los conductores menores de 25 aos que aprue-ban un
curso de manejo, por lo general tienen un premioen el seguro de su
auto que consiste en una rebaja del 10%.La mayora de las
aseguradoras ofrecen esta deduccinhasta que el chofer llega a los
25 aos de edad. Un cursoparticular de manejo cuesta $70.Andre
DePue, que acabade cumplir 18, tiene un seguro para autos que
cuesta $630por ao.
a) Si se excluye el costo del curso de manejo, cunto aho-rrara
Andre en premios por el seguro de su carro, delos 18 a los 25 aos,
si tomara el curso?
b) Cul sera su ahorro neto despus de pagar el costodel
curso?
35. Cuidado de los nios La siguiente tabla muestra las tari-fas
promedio por el cuidado de un nio en distintas ciuda-des. Determine
lo siguiente:
a) La diferencia por el cuidado de los nios si se usa un dade
atencin en centros en Austin y en Santa Mnica,durante 20
semanas.
b) El nmero promedio de horas de cuidadoras vesperti-nas (con
edades de 14 a 18) que se obtendra en Min-neapolis, si la cantidad
mxima que se desea gastar esde $132.
14
a) Si el ingreso bruto ajustado de los Donovin en 2001 fuede
$34,612, determine sus impuestos.
b) Si el ingreso bruto ajustado de los Ortega en 2001 fuede
$53,710, determine sus impuestos.
-
Seccin 1.2 Solucin de problemas 19
Tarifas promedio por Austin Minneapolis Ciudad de Nueva York
Santa Monica, Calif.
Da de cuidado en un centro1 $109/semana $135/semana $350/semana
$480/semana
Niera (tiempo completo) $550/semana $575/semana $650/semana
$700/semana
Niera (tiempo parcial) $12/hora $12/hora $14/hora $13/hora
Niera vespertina (18 aos o ms) $12/hora $10/hora $13/hora
$12/hora
Niera vespertina (edad de 14 a 18) $7/hora $6/hora $8/hora
$7/hora1 para un preescolar.Fuente: Money magazine, sept. de
2001.
5 64321456 3 2 1
36. Salarios en el bisbol Alex Rodrguez, de los Texas Ran-gers,
fue el jugador profesional de bisbol mejor pagado en2001, con
ingresos de $25.2 millones. Roger Clemens, de losYanquis de Nueva
York, fue el lanzador mejor pagado, con$15.5 millones. En 2001,
Rodrguez bate 632 veces y Cle-mens (en la temporada regular) lanz
220.1 entradas. De-termine aproximadamente cunto ms recibi
Clemenspor entrada lanzada que Rodrguez por cada batazo.
37. Equilibrio Considere la figura que se muestra. Supongaque
las barras grises y rojas tienen el mismo peso, en dn-de debe
colocarse un bloque gris, , para que la escala es-t equilibrada?
Explique cmo determin su respuesta.
b) Es necesario un promedio de 70 para alcanzar una C enel
curso. Es posible esto para Lamond? Si as fuera,cul es la
calificacin mnima que debera obtener enel sexto examen?
42. Ingresos Considere los siguientes datos proporcionadosen un
reporte periodstico del 18 de julio de 2002 por laU.S. Census
Bureau. Los datos muestran el promedio deingresos durante la vida
de individuos con diferente gra-do de educacin.
Suponga que la persona promedio trabaja 40 aos, 40horas a la
semana y 48 semanas por ao (ignore los dasfestivos y
vacaciones).
38. Exmenes El promedio de Andy Gilfillan en seis exme-nes es de
78. Encuentre la suma de estas calificaciones.
39. Costo de un hotel Lisa Davis, consultora, pas una nocheen
cada uno de 8 hoteles diferentes cuando haca nego-cios. La cantidad
total de las cuentas de los 8 hoteles fuede $1470.72. Determine el
costo medio de su estancia enlos hoteles.
40. Datos de construccin Elabore un conjunto de cinco da-tos
individuales cuya media sea de 70 sin que haya dos va-lores
iguales.
41. Calificaciones de exmenes Se necesita obtener una me-dia de
60 en todos los exmenes para aprobar un curso.En sus primeros cinco
exmenes, las calificaciones de La-mond Paine fueron de 50, 59, 67,
80 y 56.a) Cul es la calificacin mnima que Lamond debe ob-
tener en el sexto examen para poder aprobar el curso?
Ingresos promedio durante la vida
Educacin Ingresos
Grado profesional $4.4 millones
Doctorado $3.4 millones
Maestra $2.5 millones
Licenciatura $2.1 millones
Pasante o carrera tcnica $1.6 millones
Certificado de preparatoria $1.2 millones
a) Determine el nmero de horas que se trabaja en una vida.b)
Calcule el salario promedio por hora de una persona
con certificado de preparatoriac) Obtenga el salario promedio
por hora para una perso-
na con grado profesional.43. Esperanza de vida En octubre de
2001, la U.S. Census Bu-
reau anunci que la esperanza de vida de los estadouniden-ses se
haba incrementado un poco, a 76.9 aos. Cree ustedque la institucin
utiliza la media o la mediana? Explique.
Problema de desafo
44. Medidores La figura en la parte superior izquierda dela
siguiente pgina muestra cmo leer un medidor de elec-tricidad (o
gasolina).
1. Comience con el medidor de la derecha. Use el nme-ro ms
pequeo (excepto cuando est entre 9 y 0; en talcaso utilice el 9).
Observe que las flechas sobre el medi-dor indican la direccin en
que se mueve la aguja (en elsentido del movimiento de las
manecillas del reloj, y des-pus en sentido contrario).
2. Si la aguja est directamente sobre un nmero, vea elmedidor de
la derecha para asegurarse de que rebasel 0 y est apuntando hacia
el 1. Si el medidor de la de-recha no ha pasado el 0, utilice el
nmero ms bajo si-guiente. El nmero en los medidores de la parte
superiorizquierda de la pgina es 16064.
-
20 Captulo 1 Nmeros reales
1.3 FRACCIONES
1 Conocer los smbolos de la multiplicacin e identificarlos
factores.
2 Reducir fracciones.
3 Multiplicar fracciones.
4 Dividir fracciones.
5 Sumar y restar fracciones.
6 Convertir nmeros mixtos a fracciones, y viceversa.
Con frecuencia, los estudiantes que cursan lgebra por primera
vez preguntancul es la diferencia entre la aritmtica y el
lgebra?.Al hacer aritmtica, se co-nocen todas las cantidades que se
usan en los clculos. Sin embargo, en lgebra hayuna o ms cantidades
que se desconocen y deben calcularse.
EJEMPLO 1 Harina necesaria para una receta Una receta requiere 3
tazas, la seora Clark tie-ne dos. Cuntas tazas ms necesita?
Solucin La respuesta es 1 taza. Aunque es muy elemental, ste es
un ejemplo de problema algebraico. La
cantidad desconocida es el nmero de tazas adicionales de harina
necesarias.Para tener xito en lgebra es esencial entender los
nmeros decimales (vea
el apndice A) y las fracciones. Usted debe saber cmo simplificar
una fraccin ysumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. En
esta seccin revisaremos estostemas. Tambin explicaremos el
significado de los factores.
1 Conocer los smbolos de la multiplicacin e identificar los
factores
Con frecuencia, en lgebra utilizamos letras llamadas variables
para representara los nmeros. Las letras que ms se utilizan como
variables son x,y y z, pero tambinpueden emplearse otras letras.
Por lo general, las variables se escriben con cursi-vas. Por ello
no hay confusin entre la variable x y el signo de multiplicacin,
aun-que por lo general se emplea notacin diferente para indicar una
multiplicacin.
0 123456
78
9 0 987654
321 0 12
345678
9 0 987654
321 0 12
345
1 6 0 6 4
678
9
Fuente: Southern California Edison, Understanding Your
Electricity Bill
0 123456
78
9 0 987654
321 0 12
345678
9 0 987654
321 0 12
345678
9
Suponga que la lectura del mes anterior es la que se mues-tra a
la izquierda, y que la de este mes es la siguiente.
a) Determine la lectura para este mes.b) Determine el costo de
la electricidad para este mes,
primero con la resta de la lectura del mes anterior dela del
actual (se mide en kilowatt-hora), y despusmultiplique la
diferencia por el costo por kilowatt-ho-ra de electricidad. Suponga
que la electricidad cuesta24.3 centavos por kilowatt-hora.
-
Seccin 1.3 Fracciones 21
Smbolos de multiplicacin
Si a y b representan dos cantidades matemticas cualesquiera,
entonces podemos uti-lizar cada una de las siguientes expresiones
para indicar el producto de a y b (a por b).
Ejemplos
3 por 4 3 por x x por yse escribe: se escribe: se escribe:
3x xy
Ahora introduciremos el trmino factores, que emplearemos en todo
el libro. Acontinuacin se define factores.
DEFINICIN Los nmeros o variables multiplicados en un problema de
multiplicacin se lla-man factores.
Si a b c, entonces a y b son factores de c.
Por ejemplo, en 3 5 15, los nmeros 3 y 5 son factores del
producto 15. En2 15 30, los nmeros 2 y 15 son factores del producto
30. Observe que 30 tie-ne otros muchos factores. Como 5 6 30, los
nmeros 5 y 6 tambin son fac-tores de 30. Debido a que 3x significa
3 por x, tanto 3 como x son factores de 3x.
2 Reducir fracciones
Ahora tenemos la informacin necesaria para analizar las
fracciones. El nmeroque est en la parte superior de una fraccin se
llama numerador, y el que est enla parte inferior recibe el nombre
de denominador. En la fraccin 3 es el nume-rador y 5 el
denominador.
SUGERENCIA Considere la fraccin Hay mtodos equivalentes para
expresarla, como se ilustra acontinuacin.
En general,
Ahora se estudiar cmo simplificar una fraccin.Una fraccin se
simplifica (o reduce a su mnima expresin) cuando el nu-
merador y el denominador no tienen factores comunes distintos de
1. Para simpli-ficar una fraccin, siga estos pasos.
Para simplificar una fraccin
1. Determine el nmero mayor que dividida (sin residuo) tanto al
numerador comoal denominador. Este nmero se llama mximo comn
divisor (MCD).
2. Despus, divida tanto el numerador como el denominador entre
el mximo comndivisor.
ab = a , b = ba
35
= 3 , 5 = 53
35 .
35 ,
##
#
#
1x21y21321x21321421x2y132x1324x1y231x23142
ab a # b a1b2 1a2b 1a21b2
-
AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 23
22 Captulo 1 Nmeros reales
Si no recuerda cmo encontrar el mximo comn divisor de dos o ms
nmeros, leael apndice B.
EJEMPLO 2 Simplifique a) b)
Solucin a) El nmero ms grande que divide tanto a 10 como a 25 es
5. Por tanto, 5 es elmximo comn divisor. Dividamos tanto el
numerador como el denominador en-tre 5 para simplificar la fraccin
en su mnima expresin.
b) Tanto 6 como 18 se dividen entre 1, 2, 3 y 6. El mayor de
estos nmeros es 6, portanto es el mximo comn divisor. Divida tanto
el numerador como el denomina-dor entre 6.
Observe en el ejemplo 2b) que tanto el numerador como el
denominador
podran haberse escrito como un producto con un factor comn (6).
Entonces, elfactor comn 6 podra eliminarse.
Al trabajar con fracciones debe reducir las respuestas a su
mnima expresin.
3 Multiplicar fracciones
Para multiplicar dos o ms fracciones, multiplique sus
numeradores y despus susdenominadores.
Multiplicacin de fracciones
EJEMPLO 3 Multiplique por
Solucin Para evitar tener que simplificar respuestas, es
necesario que antes de mul-
tiplicar fracciones divida tanto el numerador como el
denominador entre el m-ximo comn divisor.
EJEMPLO 4 Multiplique a) b)
Solucin a) Debido a que el numerador 8 y el denominador 16 son
divisibles entre el m-ximo comn divisor 8, primero se divide entre
8 y despus se multiplica.
817
# 516
= 8 1
17# 5
16 2
=1 # 5
17 # 2 =5
34
2740
# 169
.8
17# 516
313
# 511
=3 # 5
13 # 11 =15
143
511
.313
a
b# cd
=ac
bd
618
=1 # 6 3 # 6 =
13
618
=6 , 6
18 , 6=
13
1025
=10 , 525 , 5
=25
618
.1025
-
Seccin 1.3 Fracciones 23
AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 51
b) Se divide tanto 27 como 9 entre 9.
Se divide tanto 40 como 16 entre 8.
Los nmeros 0, 1, 2, 3, 4, p son llamados enteros no negativos.
Los tres pun-
tos despus del 4, que se denominan elipsis, indican que los
enteros no negativoscontinan en forma indefinida de la misma
manera. Por tanto, los nmeros 468 y5043 tambin son enteros no
negativos. En la seccin 1.4 analizaremos los enterosno negativos.
Para multiplicar un entero no negativo por una fraccin, se
escribeel entero no negativo con el denominador de 1 y realice la
multiplicacin.
EJEMPLO 5 Motor de una podadora Ciertos motores operan con una
mezcla de gasolina yaceite. El motor de una podadora en particular
requiere de una mezcla de de ga-ln de aceite por cada galn de
gasolina que utiliza. Una compaa de jardineraquiere elaborar una
mezcla para este motor empleando 12 galones de gasolina.Cunto
aceite debe utilizar?
Solucin Para determinar la cantidad de aceite por usar debe
multiplicarse 12 por . Enprimer lugar, se escribe 12 como y despus
se divide tanto 12 como 64 entre sumximo comn divisor, 4, como
sigue.
As, para elaborar la mezcla apropiada hay que agregar de galn de
aceite a los12 galones de gasolina.
4 Dividir fracciones
Para dividir una fraccin entre otra, invierta el divisor (la
segunda fraccin, si esque est escrita con el signo ) y proceda como
en la multiplicacin.
Para dividir fracciones
En ocasiones, en lugar de pedir la respuesta de un problema
sumando, res-tando, multiplicando o dividiendo, se puede solicitar
la evaluacin de una expre-sin. Evaluar una expresin significa
obtener la respuesta al problema por mediode las operaciones
dadas.
EJEMPLO 6 Evaluar a) b)
Solucin a) 35
,56
=35
# 65
=3 # 65 # 5 =
1825
38
, 12.35
,56
a
b,
c
d=
a
b# d
c=
ad
bc
,
1516
12 # 564
=121
# 564
= 12
3
1# 5
64 16
=3 # 5
1 # 16 =1516
121 ,
564
564
=3 # 25 # 1 =
65
= 27
3
40 5
# 16 2
9 1
2740
# 169
= 27
3
40# 16
9 1
TEACHING TIPStress that responders should besimplified. Then
point out that theresponders given in the back ofthe book are
simplified.
-
24 Captulo 1 Nmeros reales
b) Escribir 12 como Despus, invertir el divisor y
multiplicar.
5 Sumar y restar fracciones
Slo se pueden sumar o restar las fracciones que tienen el mismo
denominador (undenominador comn). Para sumar (o restar) fracciones
con el mismo denomina-dor, sume (o reste) los numeradores y
conserve dicho denominador.
Suma y resta de fracciones
EJEMPLO 7 Evaluemos a) b)
Solucin a) b) Para sumar (o restar) fracciones con denominadores
diferentes, primero de-
bemos reescribir dichas fracciones con el mismo, o comn,
denominador. El n-mero ms pequeo que es divisible entre dos o ms
denominadores se llamamnimo comn denominador o mcd [que es el mnimo
comn mltiplo (mcm) delos denominadores diferentes]. Si ha olvidado
cmo encontrar el mnimo comndenominador, revise el apndice B.
EJEMPLO 8 Sumar
Solucin No podemos sumar estas fracciones hasta escribirlas con
un denominador comn.Como el menor nmero divisible entre 2 como
entre 5 (sin que haya residuo) es10, primero reescribamos ambas
fracciones con el mnimo comn denominador,que es 10.
Ahora se suma.
Observe que al multiplicar tanto el numerador como el
denominador por el
mismo nmero es lo mismo que multiplicar por 1. Por ello, el
valor de la fraccinno cambia.
EJEMPLO 9 Qu tanto es ms grande de pulgada que de pulgada?
Solucin Para saber qu tanto ms grande, se necesita restar de
pulgada de de pulgada.34
-23
34
23
23
34
12
+15
=5
10+
210
=7
10
12
=12
# 55
=5
10 y
15
=15
# 22
=2
10
12
+15
.
813
-5
13=
8 - 513
=3
13615
+2
15=
6 + 215
=8
15
813
-5
13615
+2
15
ac
+bc
=a + b
c o bien
ac
-bc
=a - b
c
38
, 12 =38
,121
= 3 1
8# 1
12 4
=1
32
121
.
AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 59
-
Seccin 1.3 Fracciones 25
El mnimo comn denominador es 12. Por tanto, reescribamos ambas
fraccionescon un denominador igual a 12.
Ahora, se resta.
Por tanto, de pulgada es de pulgada mayor que de pulgada.
Es importante darse cuenta de que la cancelacin de un factor
comn en el numeradorde una fraccin y en el denominador de otra
fraccin diferente, slo puede llevarse a ca-bo cuando se multiplican
fracciones. No es posible realizar dicho proceso cuando se su-man o
restan fracciones.
PROBLEMAS CORRECTOS PROBLEMAS INCORRECTOSDE MULTIPLICACIN DE
SUMA
6 Convertir nmeros mixtos a fracciones, y viceversa
Considere el nmero ste es un ejemplo de nmero mixto. Un nmero
mix-to consta de un entero no negativo seguido de una fraccin. El
nmero mixto significa El nmero mixto puede cambiarse a una fraccin
de la siguien-te manera:
Note que expresamos el entero no negativo, 5, como una fraccin
con denomina-dor 3, y entonces sumamos las fracciones.
EJEMPLO 10 Cambiar a fraccin.
Solucin Ahora, considere la fraccin Esta fraccin se convierte a
un nmero mixto, co-mo sigue:
Observe que se escribi como la suma de dos fracciones, cada una
con el deno-minador de 3. La primera fraccin que se suma es el
equivalente del entero msgrande que es menor de
EJEMPLO 11 Cambiar a un nmero mixto.
Solucin 436
= 42
6+
16
= 7 +16
= 7 16
436
173 .
173
173
= 153
+23
= 5 +23
= 5 23
173 .
7 38
= 7 +38
= 56
8+
38
=56 + 3
8=
598
7 38
5 23
= 5 +23
= 153
+23
=15 + 2
3=
173
5 235 +23 .
5 23
5 23 .
8 2
+ 3 4 1
8 2 # 3
4 1
3 1
5+
1 3 1
3 1
5# 1
3 1
CMO EVITARERRORES COMUNES
23
112
34
34
-23
=9
12-
812
=1
12
34
=34
# 33
=9
12 y
23
=23
# 44
=8
12
AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 75
-
26 Captulo 1 Nmeros reales
SUGERENCIA Observe que en el ejemplo 11, la fraccin es una
fraccin simplificada debido a queel mximo comn divisor del
numerador y del denominador es 1. No hay que confundirla
simplificacin de una fraccin con el cambio de una fraccin con valor
mayor que 1a un nmero mixto. La fraccin puede convertirse al nmero
mixto Sin embar-go, es una fraccin simplificada.
Ahora, se resolvern ejemplos que contienen nmeros mixtos.
EJEMPLO 12 Plomera Para reparar una fuga en un tubo, se pega un
acoplamiento de pul-gada de largo a un tubo de plstico que mide
pulgadas de largo. Cul es el lar-go de la combinacin? Vea la figura
1.4.
Solucin Entender y traducir Es necesario sumar pulgadas ms
pulgada para obtenerlas longitudes combinadas. Se colocarn los dos
nmeros uno sobre el otro. Des-pus de que se escriban las dos
fracciones con un denominador comn, se sumar.
Calcular
Como la suma es
Revisar y responder La respuesta parece razonable. As, la
longitud total es de pulgadas.
EJEMPLO 13 Crecer ms La grfica de la figura 1.5 muestra la
altura de Kelly el 1 de enero de2002 y el 1 de enero de 2003. Cunto
creci Kelly durante ese lapso?
3 116
3 116 .2 1716 = 2 +
1716 = 2 + 1
116 = 3
116 ,
2 916
+816
2 1716
:2
916
+12
122
916
2 916
12
436
7 16 .436
436
1 de enero de 2002
1 de enero de 2003
38
41 q
Altura (pulgadas)100 20 30 40
Crecimiento de Kelly
FIGURA 1.5
Solucin Entender y traducir Para encontrar el crecimiento, es
necesario restar la altura del1 de enero de 2002 de la del 1 de
enero de 2003; la resta se har en forma vertical.
Calcular
41 48
-38 78
:41
12
-38 78
2 916q
FIGURA 1.4
-
Seccin 1.3 Fracciones 27
Como deseamos restar de , y es mayor que escribimos como
Paraobtener tomamos 1 unidad del nmero 41 y la escribimos como Esto
da
Ahora se resta como sigue.
Revisar y responder Al examinar la grfica, observamos que la
respuesta es ra-zonable. Por lo tanto, Kelly creci pulgadas en ese
tiempo. Aunque no es necesario cambiar nmeros mixtos a fracciones
cuando se suman orestan stos, es necesario cambiarlos a fracciones
si se multiplican o dividen. Esteprocedimiento se ilustra con el
ejemplo 14.
EJEMPLO 14 Cortar tiras Una pieza rectangular de material de 3
pies de ancho por piesde largo, se corta en cinco tiras iguales,
como se ilustra en la figura 1.6. Encuentrelas dimensiones de cada
tira.
Solucin Entender y traducir Por el diagrama sabemos que un lado
tendr un ancho de 3pies. Para encontrar el largo de las tiras,
necesitamos dividir entre 5.
Calcular
Revisar y responder Si multiplicamos por 5, obtenemos la
longitud originalde Por lo tanto, el clculo fue correcto. Las
dimensiones de cada tira sern de3 pies por pies. 2 12
12 12 .2 12
12 12
, 5 =252
,51
= 25
5
2# 1
5 1
=52
= 2 12
12 12
12 12
2 58
40 128
-38 78
2 58
:41
48
-38 78
:41
12
-38 78
40 + 128 = 40 128 .=40 +
88 +
48=40 + 1 +
48
88 .40
128 ,
40 128 .41 48
48 ,
78
48
78
Ejercicios conceptuales
1. a) Qu son las variables?b) Qu letras es frecuente utilizar
para representar variables?
2. Qu son los factores?3. Muestre cinco formas diferentes en que
puede escribirse
5 por x.
4. En una fraccin, cul es el nombre de a) el nmero dearriba, y
b) el nmero de abajo?
5. Explique cmo se simplifica una fraccin.
6. a) Cmo se llama a los tres puntos en la secuencia 4, 5,6, 7,
p ?
b) Qu significan los tres puntos que siguen al 7?
7. a) Cul es el mnimo comn denominador de dos o
msfracciones?
b) Escriba dos fracciones y despus d el mcd de ellas.
8. Cul es el mcd de las fracciones y Explique.710 ?38
En los ejercicios 9 y 10, cul inciso, a) o b), presenta una
fraccin que se simplifica? Explique su respuesta.
9. a) b) b) 2 1
4 2
2 1
5# 1
4 2
10. a) b)7
12 3
# 4 1
5 4 1
12 3
AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 95
FIGURA 1.6
Conjunto de ejercicios 1.3
3 pies
12q pies
-
28 Captulo 1 Nmeros reales
En los ejercicios 11 y 12, uno de los procedimientos a) o b)
esincorrecto. Determine cul es y explique por qu.
11. a) b) ) is incorrect
12. a) b)4
15 3
+ 5 1
74
15 3
# 5 1
7
4 1
5# 3
8 2
4 1
5+
3 8 2
13. a) b) c) d) c)45
,14
45
# 14
45
-14
45
+14
Prctica de habilidades
Simplifique cada fraccin. Si una de ellas ya est simplificada,
dgalo.
21. 22. 4 23. 24. simplified
25. 1 26. 27. 28.
29. 30. 31. simplified 32.2031
80124
1225
47
60105
533
40264
29
1672
919
3676
37
921
1717
1925
23
1015
4010
14
312
Convierta cada nmero mixto en una fraccin.
33. 34. 35. 36.
37. 38. 39. 40.9932
3 332
8919
4 1319
569
6 29
194
4 34
7712
6 512
4315
2 1315
163
5 13
135
2 35
Escriba cada fraccin como un nmero mixto.
41. 42. 43. 44.
45. 46. 47. 48. 5 17
7214
4 47
327
5 213
6713
5 12
11020
4 12
92
3 34
154
3 25
175
1 34
74
Encuentre cada producto o cociente. Simplifique la
respuesta.
49. 50. 51. 52.
53. 54. 55. 56.
57. 58. 59. 6 60.
61. 62. 63. 64. 94 45
,8
154310
or 4 310
5 38
, 1 14
813
2813
# 27
7740
or 1 3740
a2 15b a 7
8b
285
or 5 35
125
,37
103
,59
52
or 2 12
154
# 23
516
512
,43
1544
38
# 1011
12
38
,34
54
or 1 14
1516
# 43
32
or 1 12
34
,12
25
12
# 1215
19
512
# 415
37
35
# 57
815
23
# 45
15. divide out common factors, multiply numerators, multiply
denominators 16. invert the divisor, then multiply17. Write
fractions with common denominator, add or subtract numerators, keep
common denominator
En los ejercicios 13 y 14 indique cualesquiera partes en lasque
pueda dividirse un factor comn como primer paso pa-ra evaluar la
expresin. Explique su respuesta.
14. a) b) c) d) b)
15. Explique cmo se multiplican las fracciones.
16. Diga cmo se dividen las fracciones.
17. Explique cmo se suman o restan fracciones.
18. D un ejemplo de nmero mixto.
19. La fraccin est simplificada? Explique su respuesta.
20. La fraccin est simplificada? Explique su respuesta.203
245
6 ,5
126 -
512
6 # 512
6 +5
12
-
Seccin 1.3 Fracciones 29
Sume o reste. Simplifique cada respuesta.
65. 1 66. 67. 68.
69. 70. 71. 72.
73. 74. 75. 76.
77. 78. 79. 80.
81. 82. 83. 84.8324
or 3 1124
2 13
+ 1 18
6512
or 5 512
5 34
-13
218
or 2 58
2 38
+14
4715
or 3 215
6 13
- 3 15
4396
132
+5
121345
59
-4
157184
37
+5
121336
712
-29
356
58
-47
724
512
-18
1528
1128
+17
19
16
-1
18
112
56
-34
65
or 1 15
45
+6
153235
37
+1735
917
817
+2
34
1736
1836
-1
3613
512
-1
1258
38
+28
14
+34
Pul
gada
s
50
60
70
40
30
20
10
46~
Octavo cumpleaos
Duodcimo cumpleaos
55 316
Ventas en E.U. en 2001 para camionetas, minivanes y SUV.
Nacionales
Importados
3950
Fuente: J.D. Power and Associates
Solucin de problemas85. Aumento de estatura La siguiente grfica
muestra la esta-
tura de Kim Brugger, en pulgadas, en su octavo y decimo-segundo
cumpleaos. Cunto creci Kim en los 4 aos?
En muchos problemas se necesitar restar una fraccin de 1, en
donde 1 representa el todo o la cantidad total. Los ejerci-cios 87
a 90 se responden al restar la fraccin dada de 1.
3
2
1
2~
Junio
2
Julio
1!
AgostoM
illas
Autopista pavimentada en meses seleccionados
86. Pavimentacin de un camino La siguiente grfica mues-tra el
avance de la Davenport Paving Company en la pa-vimentacin de la
Memorial Highway. Qu tanto de laautopista se paviment de junio a
agosto?
90. Miembros de sindicatos La siguiente grfica ilustra lafraccin
aproximada de trabajadores de E.U. que perte-necan a sindicatos en
2001. Determine la fraccin de tra-bajadores de E.U. que no
pertenecan a ningn sindicatoen ese ao.
Miembros de sindicatos en E.U., 2001
Fuente: Bureau of Labor Statistics
Trabajadores que no
pertenecen a ningn sindicato
Trabajadores que pertenecen a un sindicato
325
91. Peso de camiones Un camin de plataforma que pesa toneladas
carga dos automviles. Uno de stos pesa tony el otro ton. Cul es el
peso total del camin con losdos autos?
1 34
1 16
4 12
87. Empleados en lnea En 2001, aproximadamente de to-dos los
empleados de los E.U. estaban en lnea. Qu frac-cin de todos ellos
no estaban en lnea en 2001?
88. Calentamiento global La probabilidad de que un eventono
ocurra se encuentra al restar a 1 la probabilidad de ques ocurra.
Si la probabilidad de que est ocurriendo un ca-lentamiento global
es de encuentre la probabilidad deque no est sucediendo.
89. Venta de camiones Utilice la siguiente grfica para
deter-minar la fraccin aproximada del mercado, de las ventas
decamionetas, minivanes y SUV, que se importaron en 2001.
79 ,
2536
-
30 Captulo 1 Nmeros reales
16s yardas
22s yardas14 yardas
q22 "
q2 "
~1 "
q26 "
File Edit View
?
Cabeza del tornillo
4 q pulg. 2 a pulg.
Tubo metlico
Tuerca, pulg.
Madera
92. Corte de madera De una pieza de madera de pulga-das de
longitud, se corta un trozo de pulgadas. Cul esla longitud del
trozo sobrante?
93. Crecimiento de la albina Una serpiente pitn albina deCypress
Gardens, Florida, al nacer meda 3 pies pulga-das. Su longitud
actual es de 15 pies pulgadas. Cuntoha crecido desde que naci?
94. Largo de los pantalones El largo de un par de
pantalonesnuevos es 30 pulgadas. Si la talla de Sean Leland es de
pulgadas, cunto necesita cortarse a la prenda?
95. Corte de madera Dawn Foster cort una pieza de made-ra que
meda pulgadas en dos piezas iguales. Cuntomide cada pieza?
96. Hornear el pavo Las instrucciones en un pavo indicanque uno
que pese entre 12 a 16 libras debe hornearse a325F durante 22
minutos por libra. Donna Draus planeahornear un pavo de .
Aproximadamente cun-to tiempo debe hornear el pavo?
97. Cebollas cortadas Una receta para carne asada requieretasa
de cebollas cortadas por cada libra de carne. Para
libras de filete, cuntas tasas de cebolla cortada se
nece-sitan?
98. Cerca Rick OShea quiere cercar su patio, segn se ilus-tra.
Los tres lados por cercar miden yardas, yardasy yardas.14 18
22 2316 23
5 1214
13 12 libras
3 18
28 38
2 123 14
16 34
3 116
a) Qu longitud de cerca necesitar Rick?
b) Si Rick comprara 60 yardas de cerca, cunta sobrara?
99. Champ Una botella de champ contiene 15 onzas defluido. Si
Tierra Bentley utiliza de onza cada vez quelava su cabello, cuntas
veces lo lavar Tierra con unabotella?
100. Dosis de medicamento Una enfermera debe dar de mi-ligramo
de cierta medicina por cada kilogramo que pese elpaciente. Si el
Sr. Duncan pesa 80 kilogramos, calcule lacantidad de medicina que
debe drsele.
101. Ventanas Una ventana aislada para una casa est cons-truida
con dos piezas de vidrio, cada una de de pulgadade espesor, con un
espacio de 1 pulg entre ellas. Cul esel espesor total de esta
ventana?
102. Pie de crema Un pie de crema de Boston pesa libras.Si el
pie se divide en partes iguales para 6 personas, cun-to
corresponder a cada una?
1 516
14
116
38
103. Madera cortada Un tramo de 28 pulgadas de madera vaa
cortarse en tiras de de pulgada. Cuntas tiras com-pletas se
obtendrn? Ignore la prdida de madera debidoa los cortes.
104. Tornillos sujetadores Un mecnico quiere utilizar un
tor-nillo para unir una pieza de madera de pulgadas de es-
pesor a un tubo de pulgadas de espesor. Si el espesor dela
tuerca es de de pulgada, calcule la longitud del eje deltornillo de
modo que la tuerca se ajuste a la perfeccincon el extremo del
tornillo (consulte la siguiente figura).
18
2 13
4 12
4 23
a) Habr suficiente altura para hacer esto?
b) Si as fuera, cunto espacio sobrante habra?
c) Encuentre la altura total del mueble para la computadora.
106. Refresco Si cinco botellas de 2 litros van a distribuirse
porigual entre 30 personas, cunto corresponder a cadauna?
105. Gabinete para computadora Marcinda James planea com-prar
una computadora por correo. El catlogo describeuna que mide
pulgadas de alto con un monitor de pulgadas de altura. Marcinda
espera colocar el monitorsobre la computadora y los dos elementos
juntos dentro decierto espacio, segn se muestra en seguida.
14 387 12
-
Seccin 1.4 El sistema de nmeros reales 31
Problemas de reto
107. Sume o reste las siguientes fracciones por medio de la
re-gla que se estudi en esta seccin. Su respuesta debe con-sistir
en una sola fraccin, y contener los smbolos que sedan en el
ejercicio.
a) b)
c) d)
e)
108. Multiplique las siguientes fracciones por medio de la
reglaque se estudi en esta seccin. La respuesta debe consis-tir en
una sola fraccin y contener los smbolos que se danen el
ejercicio.
12x
-4x
x
3-
23
^ + 4n
^n
+4n
}?
-n?
+ ?a
a
+?a
a) b)
c) d)
e)
109. Dosis de medicina Una pldora de alopurina viene en do-sis
de 300 miligramos. La Dra. Highland quiere que unapaciente corte
las pldoras a la mitad y tome pldora tresveces al da para que
consuma 450 miligramos cada da.Si quiere prescribir pldoras
suficientes para un periodode 6 meses (suponga 30 das por mes),
cuntas pldoras de-be prescribir?
12
3x
# xy
38
# 4y
xy
ab
x
a# yb
63
# ^n
^ nab
^a
# nb
Actividad en grupo
Porciones 2 4 8
Agua de taza taza tazas
Leche 2 tazas de taza de taza
Mantequilla* 1 taza 2 tazas 4 tazas
Sal de taza taza 1 taza
Hojuelas de papa de taza taza tazas
* O margarina. Si lo desea, utilice menos sal.
2 231 13
23
12
14
23
13
2 231 13
23
Estudie y responda en grupo el ejercicio 110.
110. Papas La siguiente tabla da la cantidad de cada
ingredien-te que se recomienda para obtener 2, 4 y 8 porciones de
pu-r de papas instantneo.
Determine la cantidad de hojuelas de papa y la leche quese
necesita para hacer 6 porciones con los diferentes m-todos que se
describen.Al trabajar