Page 1
ÊåöÜëáéï 1ï
ÄéÜôáîç óôï - Áðüëõôç ôéìÞ - Ñßæåò - Åîéóþóåéò 2ïõ âáèìïýR
Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει
να γνωρίζει:
Την έννοια της δύναµης και να εφαρµόζει τις ιδιότητες των δυνάµεων.
Τις βασικές ταυτότητες και να µπορεί να τις αποδεικνύει.
Να µετατρέπει παραστάσεις σε γινόµενο, του οποίου οι παράγο-
ντες δεν αναλύονται περαιτέρω.
Να απλοποιεί ρητές παραστάσεις.
Να επιλύει και να διερευνά εξισώσεις της µορφής αx + β = 0.
Πως επιλύει εξισώσεις και προβλήµατα των οποίων η επίλυση
ανάγεται σε επίλυση εξισώσεων α΄ βαθµού.
Πως ορίζεται η διάταξη των πραγµατικών αριθµών, καθώς και τις
άµεσες συνέπειες του ορισµού αυτού.
Τις ιδιότητες των πράξεων σε σχέση µε τη διάταξη.
Να αποδεικνύει απλές ανισότητες.
Να επιλύει ανισότητες της µορφής αx + β > 0 και αx + β < 0.
Να γράφει τις λύσεις των ανισώσεων αυτών µε µορφή διαστηµάτων.
Πώς ορίζεται η απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού.
Τις βασικές ιδιότητες των απόλυτων τιµών.
Να επιλύει απλές εξισώσεις και ανισώσεις µε απόλυτες τιµές.
Την έννοια της απόστασης δύο αριθµών.
taexeiola.blogspot.com
Page 2
Την έννοια του συµβόλου ( )≥ν
α α 0 .
Να αποδεικνύει τις βασικές ιδιότητες των ριζών.
Να µετατρέπει απλές παραστάσεις µε άρρητους παρανοµαστές
σε ισοδύναµες µε ρητούς παρανοµαστές.
Να επιλύει εξισώσεις της µορφής xν = α.
Τον τύπο που δίνει τις ρίζες µιας εξίσωση β΄ βαθµού.
Τη σχέση που συνδέει το πρόσηµο της διακρίνουσας και το
πλήθος των ριζών µιας εξίσωσης β΄ βαθµού.
Να χρησιµοποιεί σωστά και µε ευχέρεια, όταν είναι απαραίτητο,
τον τύπο που δίνει τις ρίζες µιας εξίσωσης β΄ βαθµού.
Να επιλύει προβλήµατα που ανάγονται σε εξισώσεις β΄ βαθµού.
Να αποδεικνύει τους τύπους που εκφράζουν το άθροισµα και το
γινόµενο των ριζών µιας εξίσωσης β΄ βαθµού, αφού βέβαια
τονιστεί οτι πρέπει ≥∆ 0 .
Να χρησιµοποιεί µε ευχέρεια τους τύπους του αθροίσµατος και
του γινόµενου των ριζών της δευτεροβάθµιας εξίσωσης.
taexeiola.blogspot.com
Page 3
11.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις
! "#
( ) ( )⇔((++ =
% &#
' $ ≠ (" "#
=⇔=
%) $ ≠ #
x = –
*+,$(" # !
*+,$( ! "$,$ ( (
))( ""
*+ $ ≠ " !#-. )
(/ )- ()(
$%& '()
*((+)+% =+ ,
-./% =+
0 1"
Ìáèáßíïõìå
ôéò
áðïäåßîåéòÂÞìá 1
Θεωρία 1
taexeiola.blogspot.com
Page 4
12. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
( ) ( )⇔((((++⇔>+ −>
!"#$
" % ⇔−>⇔
x>-
& !'%!"&$" %
⇔−<⇔
x < -
() *+
, <−⇔> -..*. *- .-
, ≥−⇔≤ -.#
/ # 0$
!
" #$
<+>+
Θεωρία 2
taexeiola.blogspot.com
Page 5
13.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
≥ = ≥
≤ −= ≥−
≥− ≤
≥ −≥
! −≥ " ≤
≥ # ≤≤−
=
≤≤−
$ % #
-
≥
& #2(1)
2 2
2
(
⋅ ≥ ≥ = ⋅ = = = − ⋅ < <
!
⇔
"
⇔
x =
x =
x = -# $ ≤ %
&
Θεωρία 3
Θεωρία 4
Θεωρία 5
Θεωρία 6
taexeiola.blogspot.com
Page 6
14. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
'() #
( ) ( )
−=
=⇔=+⋅−⇔=−⇔=⇔=⇔=
*
%
*
****** ++++++
"
' ,- . ≥ .
' /./
! !
& . 0% .1 ()
$ . ,#
⇔<⇔<⇔θ<⇔θ< ".... ++++++ ( )( ) .". <θ+
2.".3 #.",.340 .",.31
& x − < ⇔ < + > ⇔ > −()*+) 5$%# . <<−⇔
! !5 ) #
' x 0
x x
≥ τ τε = ρα
< θ οποτε < > ≥ <
' 1.0....
#.. .>θκαι≤θ<καιθ−>⇔θ<−τεοπθ<
ρα−=≤
) ),!
- $ .. <<−⇔< " - $ .+.. −<>⇔># ),/, "0 1 0 ! 2! 3 $%
4
.
Θεωρία 7
taexeiola.blogspot.com
Page 7
15.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
6 # .. <<−⇔<
5! $6.. >≤≤−⇔≤
" ! !'() #
⇔>−⇔>⇔>⇔> .... ++++++ ( ) ( ) .. >+⋅−
2.".35$%#
' .. .. −>⇔>+>⇔>−()*!
#.4
' .7,⇔., .3,⇔.,7()*!
#.,"
& . #8.84⇔ .4%.,"! !
5 ) #' ..#... >⇔θ>ρα=τετ≥
' x 0 < = > ⇔ − > ⇔ <
6 # ".%.. <>⇔>! !
9 . > $ . $ . ≤
.. ≤≤−⇔≤ $%#
& . ≤ $ .%". >< . > $ .%". ><
7 3 $
' .9 < $ :.∈ 0 1
' .9 > $ :.∈
5! 8.+.. ≤≥⇔≥ 6 - $
.
.
taexeiola.blogspot.com
Page 8
16. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
! !
2; ++ = () $ #
( ) ( )22 2 22 2 2 2 2 ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ! !5 ) *#
• * 0
≥ = = ⋅ ≥ ⋅ = ⋅
Αρα ⋅ = ⋅ = ⋅
• *
( ) ( )0
≤ = − = − ⋅ ≥ ⋅ = ⋅
Αρα ⋅ = ⋅ = − ⋅ − = ⋅
• ≥ * ≤
( )
= = − ⋅ ≤ ⋅ = −
Αρα ⋅ = − ⋅ = ⋅ − = ⋅• ≤ * ≥
( )
= − = ⋅ ≤ ⋅ = −
Αρα ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = ⋅"
0 )+ 0,! ,!
"" ⋅=⋅ " "
"
=
9
0 )+ ,! 6 " "" +≤+
: %
% %() $
#
( )22 + ≤ + ⇔ ≤2 2 2
; ( )2 2 2 222 2 2x x . = ρα και α+β = α+β α =α β =β
;
Θεωρία 8
Θεωρία 9
taexeiola.blogspot.com
Page 9
17.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
# , 1), , ,2 6 "%
<
** ⋅=⋅ #
( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 | · |α +β ≤ α +β + α ⋅β ⇔ α +β + αβ ≤ α +β + α β ⇔2 2 ⇔ αβ ≤ α ⋅β ⇔ αβ ≤ αβ που ισχ ει δι τι ≥ :.∈
9 *** ≥⋅⇔⋅=⋅ 5$% *%
$ * # *** +≤±≤−
&; )**$;=6 " $ % <
5$%# ( ) """6= −=−=
taexeiola.blogspot.com
Page 10
18. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
Θεωρία 10Θεωρία 10
Θεωρία 11
αν α
taexeiola.blogspot.com
Page 11
19.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
Θεωρία 12
Θεωρία 13
taexeiola.blogspot.com
Page 12
20. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
Θεωρία 14
Θεωρία 15
Θεωρία 16
taexeiola.blogspot.com
Page 13
21.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
Θεωρία 17
Θεωρία 18
taexeiola.blogspot.com
Page 14
22. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”Βήµα 2ο
Από το σχολικό βιβλίο: ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
σελ. 22-23: Α΄ Οµάδα: 5, 6, 7
Β΄ Οµάδα: 1, 4
σελ. 27-28: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3
Β΄ Οµάδα: 1, 4
σελ. 36-37: Α΄ Οµάδα: 1, 4, 10, 11
Β΄ Οµάδα: 1
σελ. 42-43: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11
Β΄ Οµάδα: 2
σελ. 49-51: Α Οµάδα: 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18
σελ. 121-122: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4, 5
σελ. 125: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 7
σελ. 128: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Από το βιβλίο: ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ”
Ενότητα Α: Ασκήσεις 31, 32, 42, 44,
54, 62, 67
Ενότητα Β: Ασκήσεις 74, 81, 86, 89,
95,101,105,
122, 134,139
ÂÞìá 1
ÅðáíáëáìâÜíïõìå
ôéò áóêÞóåéò
"êëåéäéÜ"ÂÞìá 2
taexeiola.blogspot.com
Page 15
23.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
Ëýíïõìå
ðåñéóóüôåñåò
áóêÞóåéòÂÞìá 3
1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( ) ( )22x 1 µ 5 10x µ− = −
Λύση:
Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή αx β= .
( ) ( )22x 1 µ 5 10x µ− = − ⇔ 2 22µ x µ 50x 5µ− = − ⇔ 2 22µ x 50x µ 5µ− = − ⇔
( ) ( )2 22µ 50 x µ 5µ 1⇔ − = −
Λύνουµε την εξίσωση: 22µ 50 0− = ⇔ ( )22 µ 25 0− = ⇔
( )( )2 µ 5 µ 5 0⇔ − + = ⇔ µ 5 0 ή µ 5 0− = + = ⇔
µ 5 ή µ 5⇔ = = − .
α. Αν µ 5, 5≠ − τότε η (1) έχει µοναδική λύση την:
( )( )( ) ( )
2
2
µ µ 5µ 5µ µx
2µ 50 2 µ 5 µ 5 2 µ 5
−−= = =− − + +
β. Αν µ 5= τότε η (1) γίνεται 0x 0= , που έχει άπειρες λύσεις (είναι ταυτότητα).
Αν µ 5= − τότε η (1) γίνεται 0x 50= , που είναι είναι αδύνατη.
2. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: x λ λx 1 λx 3
12 3 6+ − −− = −
Λύση:
Πολλαπλασιάζουµε µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονοµαστών, το 6.
x λ λx 1 λx 36 6 6 6
2 3 6
+ − −− = − ⇔ ( ) ( ) ( )3 x λ 2 λx 1 6 λx 3+ − − = − − ⇔
3x 3λ 2λx 2 6 λx 3+ − + = − + ⇔ 3x 2λx λx 6 3 2 3λ− + = + − − ⇔( )3 2λ λ x 3λ 7− + = − + ⇔ ( ) ( )λ 3 x 3λ 7 1− + = − +Είναι λ 3 0− + = ⇔ λ 3= .
taexeiola.blogspot.com
Page 16
24. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
α. Αν λ 3≠ τότε η (1) έχει µοναδική λύση την :3λ 7
xλ 3
− +=− +
β. Αν λ 3= τότε η (1) γίνεται: 0x 2= − , άρα είναι αδύνατη.
3. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( )( )λ λ 3 x 1 3λ 2x 4− − = − −Λύση:
( )( )λ λ 3 x 1 3λ 2x 4− − = − − ⇔ ( )2 2λ 3λ x 2x λ 3λ 3λ 4− + = − + − ⇔
( ) ( )2 2λ 3λ 2 x λ 4 1− + = −Λύνουµε την εξίσωση:
2λ 3λ 2 0− + = ⇔( )3 1
λ2
− − ±= ⇔ 3 1λ
2
±= ⇔ λ 2 ή λ 1= =
α. Αν λ 1, 2≠ τότε η (1) έχει µοναδική λύση την:
( )( )( )( )
2
2
λ 4 λ 2 λ 2 λ 2x
λ 3λ 2 λ 1 λ 2 λ 1
− − + += = =− + − − −
β. Αν λ 1= τότε η (1) γίνεται: 20x 1 4 0x 3= − ⇔ = − και είναι αδύνατη.
Αν λ 2= τότε η (1) γίνεται: 20x 2 4 0x 0= − ⇔ = και είναι ταυτότητα.
4. Να βρείτε διψήφιο αριθµό αν είναι γνωστό ότι το ψηφίο των δεκάδων
είναι τριπλάσιο από το ψηφίο των µονάδων και αν εναλλάξουµε την θέση
των ψηφίων του θα προκύψει αριθµός κατά 36 µικρότερος.
Λύση:
• Έστω xy ο διψήφιος αριθµός, τότε : ( ) ( )x10 y y10 x 36+ − + = (1)
και x 3y= (2). Λόγω της (2) έχουµε:
x10 y 30y y 31y+ = + = και y10 x 10y 3y 13y+ = + =
και απο την (1) παίρνουµε : 31y 13y 36 18y 36 y 2− = ⇔ = ⇔ = .
Άρα x 6= , οπότε ο ζητούµενος αριθµός είναι ο 62.
5. Να λυθούν οι εξισώσεις:
i. 2 2x 1 5− − = ii. x 1 2 1 x 5
13 2
− − − −− =
taexeiola.blogspot.com
Page 17
25.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
iii. 2 x 1 3x 4− − = − iv. 2x 1 µ 9− = −
Λύση:
i. 2 2x 1 5− − = ⇔ 2 2x 1 5− − = ή 2 2x 1 5− − = − ⇔
2x 1 3− − = ή 2x 1 7− − = − ⇔
2x 1 3− = − ή 2x 1 7− = ⇔ αδύνατη ή 2x 1 7− = .
2x 1 7− = ⇔ 2x 1 7− = ή 2x 1 7− = − ⇔2x 8= ή 2x 6= − ⇔x 4= ή x 3= −
ii. Θέτουµε ω x 1 1 x= − = − (αφού οι αντίθετοι αριθµοί έχουν την ίδια απόλυτη
τιµή), και η εξίσωση γίνεται:
ω 2 ω 5 ω 2 ω 51 6 6 6 2(ω 2) 6 3(ω 9)
3 2 3 2
− − − −− = ⇔ − = ⇔ − − = − ⇔
2ω 4 6 3ω 15 ω 5 ω 5. Άρα x 1 5− − = − ⇔ − = − ⇔ = − = ⇔
x 1 5 ή x 1 5− = − = − ⇔ x 6 x 4= = −ή .
iii. 2 x 1 3x 4− − = −
Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε: x 1 ,αν x 1
x 1x 1 ,αν x 1
− ≥− = − + ≤
Άρα για x 1≤ η εξίσωση γράφεται:
62( x 1) 3x 4 5x 6 x
5− + − = − ⇔ − = − ⇔ = , (απορρίπτεται).
και για x 1≥ η εξίσωση γράφεται:
2(x 1) 3x 4 x 2 x 2− − = − ⇔ − = − ⇔ = ( δεκτή).
iv. Το πρόσηµο του τριωνύµου: 2φ(µ) µ 9 (µ 3)(µ 3)= − = + − φαίνεται στον επόµε-
νο πίνακα:
µ −∞ 3− 3 +∞φ(µ) + +−
taexeiola.blogspot.com
Page 18
26. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
Έτσι : 1. Για µ ( 3,3)∈ − το 2µ 9 0− < ,άρα η (ε) είναι αδύνατη.
2. Για µ 3, 3= − το 2µ 9 0− = και η (ε) γίνεται: x 1 0 x 1− = ⇔ = .
3. Για µ ( ω, 3) (3, ω)∈ − − ∪ + είναι 2µ 9 0− > , άρα η (ε) γίνεται:
2 2 2
2
x 1 µ 9 x 1 µ 9 x 1 µ 9
x µ 8 10
− = − ⇔ − = − − = − +− − − +2
ή
ή x = µ
6. Λύστε τις ανισώσεις: i. x 2 1 x 2 2
12 3
− − − −< − ii. 2 3x 1 8< − <
iii. 2 x 1 3− − < iv. 2x x 1 x 5+ + < +
Λύση:
i. Θέτουµε ω x 2= − και η ανίσωση γίνεται:
ω 1 ω 2 ω 1 ω 21 6 6 6 3(ω 1) 6 2(ω 2)
2 3 2 3
− − − −< − ⇔ < − = ⇔ − < − − ⇔
13 133ω 3 6 2ω 4 5ω 13 ω x 2
5 5− < − + ⇔ < ⇔ < ⇔ − < ⇔
13 13 13 13 3 26x 2 2 x 2 x
5 5 5 5 5 3< − < ⇔ − < < + ⇔ − < < .
ii. Είναι 3x 1 8
2 3x 1 83x 1 2
− << − < ⇔ − >
3x 1 8
8 3x 1 8
7 3x 9
7x 3
3
− < ⇔− < − < ⇔− < < ⇔
− < <
και 3x 1 2
3x 1 2 3x 1 2
3x 1 3x 3
1x x 1
3
− >− < − − >< − >
< − >
ή
ή
ή
Τελικά παίρνουµε : 7 1
x ή 1 x 33 3
− < < − < < .
taexeiola.blogspot.com
Page 19
27.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
iii. 2 x 1 3 3x 2 x 1 3 5 x 1 1
5 x 1 1. Άρα x 1 5 5 x 1 5 4 x 6
− − < ⇔ − < − − < ⇔ − < − − < ⇔> − > − − < ⇔ − < − < ⇔ − < <
iv. Βρίσκουµε το πρόσηµο του τριωνύµου: 2φ(x) x x 1= + + . Είναι
2∆ 1 4 1 1 1 4 3 0= − ⋅ ⋅ = − = − < , άρα 2x x 1 0+ + > για κάθε x ∈ , δηλαδή
2 2x x 1 x x 1+ + = + + . Άρα η ανίσωση γίνεται:
2 2 2x x 1 x 5 x 4 0 x 4 x 2 2 x 2.+ + < + ⇔ − < ⇔ < ⇔ < ⇔ − < < .
ΤΑΥΤΟΤΗTΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ µε Απόλυτα
7. Αν α β γ< < βρείτε χωρίς απόλυτα την παράσταση:
Α α β γ α 2α β γ= − − − + − −
Λύση:
Ισχύουν:
• α β α β 0< ⇔ − < , άρα α β α β− = − +
• γ α γ α 0> ⇔ − > , άρα γ α γ α− = −
•
α β
και
α γ
< <
άρα 2α β γ 2α β γ 0< + ⇔ − − < άρα 2α β γ 2α β γ− − = − + +
Τελικά είναι : Α α β γ α 2α β γ Α α= − + + − + − − ⇔ = .
8. Βρείτε τα x,y εφόσον ισχύει 2x y 3 x 2y 4 0− − + + − = .
Λύση:
2x y 3 x 2y 4 0 2x y 3 0− − + + − = ⇔ − − = και x 2y 4 0+ − = ⇔
2x y 3⇔ − = και x 2y 4+ = , οπότε λύνουµε το σύστηµα:
2x y 3 4x 2y 6 5x 10 x 2
x 2y 4 x 2y 4 y 2x 3 y 1
− = − = = = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = = − =
9. ∆είξτε την ισοδυναµία 2α 5β 5α 2β α β+ = + ⇔ =
Λύση:
taexeiola.blogspot.com
Page 20
28. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
2α 5β 5α 2β 2α 5β 5α 2β ή 2α 5β 5α 2β
3β 3α ή 7α 7β α β ή α β
+ = + ⇔ + = + + = − − ⇔= = − ⇔ = = −
10. ∆είξτε την ισοδυναµία 2α 5β 5α 2β β α+ < + ⇔ <
Λύση:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2α 5β 5α 2β 2α 5β 5α 2β (2α 5β) (5α 2β)
4α 25β 20αβ 25α 4β 20αβ 19β 19α β α
β α β α
+ < + ⇔ + < + ⇔ + < + ⇔
+ + < + + ⇔ < ⇔ < ⇔
< ⇔ <
11. ∆είξτε ότι: α 1 β 3
3 2 5α 1 β 3
− +− ≤− +
Λύση:
Για α 1≠ ισχύει: α 1 α 1
1 3 3α 1 α 1
− −≤ ⇔ ≤− −
Για β 3≠ − ισχύει:β 3 β 3 β 3
1 1 2 2β 3 β 3 β 3
− − + +≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤− − + +
Άραα 1 β 3
2 5α 1 β 3
− +− ≤− +
12. Αν x 1< και y 2< δείξτε ότι 2x 3y 8+ <
Λύση:
x 1 1 x 1 ρα 2 x 2ρα 8 2x 3y 8
y 2 2 y 2 ρα 6 3y 6
< ⇔ − < < − < < − < + << ⇔ − < < − < <
άά
ά
Οπότε και 2x 3y 8+ <
ΡΙΖΕΣ
13. α. Λύστε την εξίσωση: 22 4x 4x 1 8 0− + − =
β. Λύστε την ανίσωση: 22 x 2x 1 10< − + <
taexeiola.blogspot.com
Page 21
29.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
x −∞ 2 +∞
x 2− x 2− +f (x)
x 2−x 2 x 3
2x 5
− + − + =− +
x 2 x 3 1− − + =
Λύση:
α. 2 22 4x 4x 1 8 0 2 (2x 1) 8 2 2x 1 8 2x 1 4− + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
2x 1 4 ή 2x 1 4
2x 5 ή 2x 3
5 3x ή x
2 2
− = − = −= = −
= = −
β. 2 22 x 2x 1 10 2 (x 1) 10 2 x 1 10
x 1 10 x ( 9,11)x ( 9, 1) (3,11)
x ( , 1) (3, )x 1 2
< − + < ⇔ < − < ⇔ < − < ⇔
− < ∈ − ⇔ ⇔ ∈ − − ∪ ∈ −∞ − ∪ +∞− >
διότι:
* x 1 10
10 x 1 10
9 x 11
x ( 9,11)
− < ⇔− < − < ⇔− < <∈ −
και x 1 2
x 1 2 x 1 2
x 1 x 3
x ( , 1) (3, )
− > ⇔− < − − > ⇔< − >∈ −∞ − ∪ +∞
ή
ή
14. ∆ίνεται 2f (x) x 4x 4 x 3= − + − + µε x∈ :
i. Γράψτε την f µε πολλαπλό τύπο.
ii. Να γίνει η γραφική παράσταση της f.
Λύση:
i) Για x ∈ ισχύει 2f (x) (x 2) x 3 x 2 x 3= − − + = − − + .
Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε:
x 2 ,αν x 2 0 x 2x 2
x 2 ,αν x 2 0 x 2
− − ≥ ⇔ ≥− = − + − < ⇔ <
Άρα:
taexeiola.blogspot.com
Page 22
30. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
∆ηλαδή: 2x 5 ,αν x 2
f (x)1 ,αν x 2
− + ≤= <
ii. Η γραφική παράσταση της f αποτελείται:
• Από την ηµιευθεία µε εξίσωση:
y 2x 5 αν x 2= − + ≤που έχει αρχή το Α(2,1) και περνάει από το σηµείο
Β(1,3).
• Από την ηµιευθεία µε εξίσωση y 1 αν x 2= ≥ που έχει αρχή το Α(2,1) και
είναι παράλληλη στον x΄x.
Στις ιδιότητες των ριζών:
15. Βρείτε το γινόµενο: 2 33 4Γ αβ α β αβ= ⋅ − ⋅
Λύση:
Ισχύουν:
6 612
2 8 43 12
3 3 94 12
αβ α β
α β α β
αβ α β
=
=
=
Άρα: 6 6 8 4 3 9 6 6 8 4 3 9 17 19 5 712 12 12 12 12 12Γ α β α β α β Γ α β α β α β Γ α β Γ αβ α β= ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
16. ∆είξτε ότι: 2 2 3 2 2 3 2 3 1+ + ⋅ − + ⋅ + =Λύση:
Ισχύει:
( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
2 22
22
2 2 3 2 2 3 2 3
2 2 3 2 2 3 2 3
2 2 3 2 3 4 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3 4 3 1 1
+ + ⋅ − + ⋅ + =
+ + − + + =
− + + = − − + =
− + = − = − = =
17. ∆είξτε ότι: ( )( )8 50 98 200 18− − =
Λύση:
0 1 2
3A
B
xx´
y
y´
taexeiola.blogspot.com
Page 23
31.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
Ισχύουν: 8 4 2 4 2 2 2
50 25 2 25 2 5 2
98 49 2 49 2 7 2
200 100 2 100 2 10 2
= ⋅ = =
= ⋅ = =
= ⋅ = =
= ⋅ = =
Άρα: ( )( ) ( )( )( ) 2
8 50 98 200 2 2 5 2 7 2 10 2
3 2 3 2 9 2 9 2 18
− − = − − =
− − = = ⋅ =
Τροπή Άρρητου Παρονοµαστή σε ρητό:
18. ∆είξτε ότι: 3 3 3 3
43 3 3 3
+ −+ =− +
Λύση:
Ισχύουν
( )( )( )
( )( )( )
2 2
2 2
3 3 3 3 9 3 6 3 12 6 32 3
9 3 63 3 3 3 3 3
3 3 3 3 9 3 6 3 12 6 32 3
9 3 63 3 3 3 3 3
+ + + + += = = = +−− − +
− − + − −= = = = −−+ + −
Άρα: 3 3 3 3
2 3 2 3 43 3 3 3
+ −+ = + + − =− +
19. ∆είξτε ότι: 3 4 1
5 2 6 2 6 5+ =
− + −
Λύση:
Ισχύουν:
( )( )( )
( ) ( )2 2
3 3 5 2 3 5 2 3 5 2• 5 2
35 2 5 2 5 2 5 2
+ + += = = = +− − + −
( )( )( )
( ) ( )2 2
4 4 6 2 4 6 2 4 6 2• 6 2
46 2 6 2 6 2 6 2
− − −= = = = −+ + − −
taexeiola.blogspot.com
Page 24
32. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
( )( ) 2 2
1 6 5 6 5• 6 5
6 5 6 5 6 5 6 5
+ += = = +− − + −
Άρα: 3 4 1
5 2 6 2 6 55 2 6 2 6 5
+ = + + − = + =− + −
∆ιώνυµη εξίσωση:
20.Λύστε τις εξισώσεις: i. 42x - 162 = 0 ii. 33x + 81 = 0
iii. 64x + 8 = 0 iv.
62x = 64x
Λύση:
i.
4
4
4
2x 162
x 81
x 81
x 3
==
= ±= ±
42x -162 = 0 ii.
3
3
3
3x 81
x 27
x 27
x 3
= −= −
= −= −
33x + 81 = 0
iii.
6
6
4x 8
x 2
αδύνατη
= −= −
64x + 8 = 0 iv.
( )
6
5
5
5
5
2x 64x 0
2x x 32 0
x 0 ή x 32 0
x 0 ή x 32
x 0 ή x 32
x 0 ή x 2
− =
− == − == =
= == =
62x = 64x
21.Λύστε τις εξισώσεις: i. 32(3x - 2) + 16 = 0
ii.
4 42x -1 3 - x-1 =
3 2
iii. 6 3x - 9x + 8 = 0
Λύση:
taexeiola.blogspot.com
Page 25
33.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
i.
3
3
3
2(3x 2) 16
(3x 2) 8
3x 2 8
3x 2 2
3x 0
x 0
− = −− = −
− = −− = −=
=
32(3x - 2) + 16 = 0 ii.
( ) ( )
4 4
4 4
4 4
4
4
4
2x 1 3 x6 6 6
3 2
2 2x 1 6 3 3 x
4x 2 6 9 3x
7x 17
17x
7
17x
7
− −− =
− − = −− − = −=
=
= ±
4 42x - 1 3 - x- 1 =
3 2iii.
3
2
3 3
Θέτουµε W x και η
εξίσωση γίνεται :
W 9W 8 0
( 9) 49W
29 7
W2
W 1 ή W 8
x 1 ή x 8
x 1 ή x 2
=
− + =
− − ±=
±=
= == =
= =
6 3x - 9x + 8 = 0
Μεθοδολογία στις
ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ
Εξισώσεις µε Απόλυτα Ανισώσεις µε Απόλυτα
f (x) θ f (x) θ αν θ 0
f (x) θ f (x) 0 αν θ 0
αδύνατη αν θ 0
= = − >= ⇔ = = <
f (x) θ θ f (x) θθ 0
f (x) θ f (x) θ f (x) θ
< ⇔ − < <>
> ⇔ < − >ή
f (x) g(x) f (x) g(x) ή f (x) g(x)= ⇔ = = −f (x) g(x)
≤≥
υψώνουµε στο τετράγωνο
και καταλήγουµε σε 1ου
και 2ου βαθµού εξίσωση.
f (x) g(x)= Με τον ορισµό απαλλασόµαστε
από το απόλυτο και λύνουµε την
εξίσωση.
f (x) g(x)≥≤
Με τον ορισµό απαλλα-
σόµαστε από το απόλυτο
και λύνουµε την ανίσωση.
Όταν στην εξίσωση υπάρχουν περισσότερα από
ένα διαφορετικά απόλυτα, µε τον ορισµό απαλ-
λασόµαστε από τα απόλυτα .
Όταν στην ανίσωση υπάρχουν περισσότερα
από ένα διαφορετικά απόλυτα, µε τον ορι-
σµό απαλλασσόµαστε από τα απόλυτα .
taexeiola.blogspot.com
Page 26
34. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
Ëýíïõìå
ìüíïé ìáòÂÞìá 4
1. Αν 2x
1x =+ , αποδείξτε ότι:
4
4
3
3
2
2
x
1x
x
1x
x
1x +=+=+
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
2. Να λυθεί η εξίσωση: 03x)(12)(x1)(2x 333 =−+−++
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 27
35.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
3. Να λυθούν οι εξισώσεις:
α) ( ) ( ) ( ) ( )22222x312x2x1x −−+=+−+ β)
6
15x
3
12x
2
2x +=+++
γ) ( ) ( )3x1,21x0,50,3x +=++............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
4. Να λυθούν οι εξισώσεις:
α) ( ) 1-λx1λ 2=− β) ( ) 2λx2λ 2 +=− γ) λ4x2–xλ 2 +=............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
5. Ένας χυµός φρούτων έχει περιεκτικότητα σε πορτοκάλι 60%. Προσθέτου-
µε στο χυµό 50ml καθαρό χυµό πορτοκάλι και η περιεκτικότητα του χυ-
µού γίνεται 70%. Να βρεθεί πόσα ml αρχικού χυµού είχαµε.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 28
36. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
6. Ο ∆ιόφαντος ο Αλεξανδρεύς έζησε περίπου το 250 µ.χ. και είναι ο τελευταίος
από τους µεγάλους Έλληνες αρχαίους µαθηµατικούς. Τίποτα δεν είναι γνω-
στό γι’αυτόν, εκτός από τα βιβλία µε τα άριστα τεκµηριωµένα επιτεύγµατά του.
Η µόνη λεπτοµέρεια απ’την ζωή του είναι ο γρίφος που λέγεται ότι ήταν σκαλι-
σµένος στον τάφο του.
“Ο Θεός του παραχώρησε το ένα έκτο της ζωής του για να είναι νέος. Μετά και
από το ένα δωδέκατο αυτής είχαν φυτρώσει στα µάγουλα του γένια. Κατόπιν µε το
ένα έβδοµο της επιπλέον, τον φώτισαν τα κεριά του γάµου, και πέντε χρόνια µετά
το γάµο του (ο Θεός) του έδωσε ένα γιο. Αλίµονο! Το παιδί γεννήθηκε κακότυχο,
και όταν απέκτησε το µισό της ηλικίας του πατέρα του, η άπονη Μοίρα το πήρε
µακριά του. Η επιστήµη των µαθηµατικών ανακούφισε τον πόνο του, µετά όµως
από τέσσερα χρόνια πέθανε” Πόσα χρόνια έζησε ο ∆ιόφαντος;
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
7. α. Να λυθεί η ανίσωση: 4
5x
4
23x
2
1x ≥++−
β. Να λυθεί η ανίσωση: ( ) 2x11xλ −≥+ για τις διάφορες τιµές του πραγ-
µατικού αριθµού λ.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 29
37.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
8. Να βρείτε τρείς θετικούς ακέραιους, αν το άθροισµά τους είναι µεγαλύτερο
του 14 και µικρότερο του 24, όταν ο δεύτερος είναι διπλάσιος απ’τον πρώτο
και ο τρίτος µικρότερος απ’τον δεύτερο κατα 1.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
9. Να γράψετε την παράσταση Α χωρίς απόλυτα. x – 2 + x + 1
A =x
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
10. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α. 2 2x 1 3 x 4x 3− = − − + β. x 2 3 x 1 2x 3+ − − = −
taexeiola.blogspot.com
Page 30
38. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
γ. 2x 5 5 2x− = − δ. 2 2x 2x 2x x− = − =
ε. 12x2x +=+ στ. 6x1x3 +=+
ζ 042x1x =+++
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
11. α. Αν 3β2,α << να αποδείξετε ότι:
i) 122β3α <+ ii) 81β2α <++
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 31
39.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
12.Να λύσετε τις ανισώσεις: α. x 3 2x 5+ − < β. 2x 1 x 5− < +
γ. 2x 3 x 2x 5− < − + − δ. 22 x 2x 1 10< − + <
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
13. Αν 35
2x
−= και
35
2y
+= να βρεθεί η τιµή της παράστασης: 22
yxyxA +−=
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
14. Να αποδείξετε τις ισότητες:
α. 9 3 3α α α α α= β.
3
26
α β 1
αβ α β=
⋅
taexeiola.blogspot.com
Page 32
40. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
γ.3 33 4 2 2 2 2 2+ = δ. ( )( )28 7 32 63 32 31+ + − =
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
15. Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) 12x1x13x2
1 2 +−=−
−
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 33
41.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
16. ∆ίνεται η εξίσωση 02λ3xx2 =++− .
Αν η εξίσωση έχει ρίζα το 5 να βρεθεί η άλλη ρίζα.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
17. Έστω η εξίσωση 0λ1)x(λx2 =++− και x1, x
2 είναι οι ρίζες της.
Αν οι αριθµοί 2, x1, x
2 είναι πλευρές τριγώνου, να δείξετε ότι το (1,3)λ∈
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
18. Έστω η εξίσωση ( ) 0λx1λ-x2 =−+ . Αν τα x1, x
2 είναι ρίζες της εξίσωσης
να υπολογίσετε το λ ώστε: 23xx7x-x7x-3x2
2
2
212
2
1
2
1=+
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 34
42. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
19. ∆ίνεται η εξίσωση x2 - 5x + 1 = 0
α) ∆είξτε (χωρίς να τις βρείτε), ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι πραγµατι-
κές, διάφορες του µηδενός.
β) Αν x1, x
2 οι δύο ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να κατασκευάσετε την
εξίσωση που έχει ρίζες τα:
1) 1 2
2 1
x x και
x x2)
1 23x - 2 και 3x -2
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
20. ∆ίνεται η εξίσωση ( ) 1-λx3-λ2-x 22 + . Για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει:
α) δύο ρίζες αρνητικές β) δύο ριζες θετικές και άνισες
taexeiola.blogspot.com
Page 35
43.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
γ) δύο ρίζες ετερόσηµες δ) δύο ρίζες αντίστροφες
ε) δύο ρίζες αντίθετες
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
21. Να λυθεί η εξίσωση: 112xx
x3
xx
22
2
2=
+−++
−
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 36
44. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
22. Να απλοποιηθεί η παράσταση: ( )2 2
α βΚ α β και α,β 0
α β β α
−= ≠ >+
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
23. Αν α β 0> > δείξτε ότι 2 2α β α β 2αβ
α βα β α β
+ + − = +− +
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 37
45.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
24. Αν α, β, γ θετικοί αριθµοί δείξτε ότι: α β γ α β γ
βγ αγ αβ αβγ
+ ++ + =
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 38
46. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
ÂÞìá 4 ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáòÂÞìá 5
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Nα λυθούν οι ανισώσεις:
i) 2x ≤ i) 13x ≤+ iii) 12x −<+ iv) 01x ≤−
Β. Να λυθούν οι ανισώσεις:
i) 2x1 << ii) 3x1- ≤≤ iii) 312x1 <+<
iv) 12x
1x≤
++
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 2ο
Α. Να λυθεί η εξίσωση: 22x2
x1
3
1x+−=
−+
−
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
Β. Να γίνουν οι πράξεις:
α) 501272918783 −+−
γ) 0βα,β320αβ125αβ45α 333 >−+
Γ. Nα απλοποιηθούν οι παραστάσεις:
taexeiola.blogspot.com
Page 39
47.Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο
i) 4 16 ii) 3 5 4222 iii) 3 2 43 3 3
iv) 5 35 5
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 3ο
α) Ένας µαθηµατικός που πρόκειται να αγοράσει ένα περιφραγµένο οικόπε-
δο στο Βαρνάβα Αττικής σχήµατος ορθογωνίου µε εµβαδόν 4070 m2
θέλησε να µάθει τις διαστάσεις των πλευρών του. Ο ιδιοκτήτης όµως
του οικοπέδου δεν ήξερε τις διαστάσεις. Θυµόταν, όµως, ότι χρησιµο-
ποίησε 258m συρµατόπλεγµα για να το περιφράξει. Μ’αυτές τις πληρο-
φορίες ο µαθηµατικός βρήκε τις διαστάσεις. Ποιες ήταν αυτές;
β) Μετά θέλησε να µάθει από την πολεοδοµία του Καπανδριτίου ποιο
είναι το µέγιστο εµβαδόν του σπιτιού που δικαιούται µε βάση το νόµο,
να κτίσει. Ο πολεοδόµος για να τον δυσκολέψει (υποτίθεται) του έδω-
σε την απάντησή ότι η περίµετρος του σπιτιού (σχήµατος ορθογω-
νίου) µπορεί να είναι µέχρι 40m. Ο µαθηµατικός φυσικά βρήκε το µέ-
γιστο εµβαδό. Ποιό ήταν αυτό;
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 40
48. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 4ο
Α. Να λυθεί η εξίσωση: 2x - 4 x + 4 = 0
Β. Να λυθεί η εξίσωση 027x
1x28
x
1x
36
=+
+−
+
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 41
ÊåöÜëáéï 2ï
ÓõíáñôÞóåéò
Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει :
Να µπορεί να παριστάνει ένα σύνολο µε περιγραφή ή αναγραφή
των στοιχείων του καθώς και µε τα διαγράµµατα του Venn.
Να διακρίνει αν δύο σύνολα είναι ίσα και αν ένα σύνολο είναι υπο-
σύνολο άλλου συνόλου.
Να γνωρίζει την έννοια του κενού συνόλου.
Να γνωρίζει τις έννοιες: ένωση συνόλων, τοµή συνόλων, διαφορά
συνόλων και συµπλήρωµα συνόλου και να τις παριστάνουν µε
διάγραµµα του Venn.
Να σχεδιάζει τις ευθείες y = αx, y = αx + β.
Να γνωρίζει τον ορισµό και το συµβολισµό της συνάρτησης.
Να µπορεί να βρίσκει το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης όταν
δίνεται ο τύπος µε τον οποίο ορίζεται το f(x).
Να µπορεί να υπολογίσει τις τιµές µιας συνάρτησης f για τις διά-
φορες τιµές του x.
Να µπορεί να παριστάνει ένα ζεύγος αριθµών µε σηµείο του επιπέδου.
Να µπορεί να βρίσκει το συµµετρικό ενός σηµείου Α(x, y) ως προς
τους άξονες, την αρχή των αξόνων και ως προς τη διχοτόµο της
1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.
Να µπορεί να υπολογίζει την απόσταση δύο σηµείων.
Να µπορεί να αναγνωρίζει, αν µια καµπύλη είναι γραφική παρά-
σταση συνάρτησης.
Να µπορεί να βρίσκει τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης
µιας συνάρτησης µε τους δύο άξονες.
Να µπορεί να σχεδιάζει τις ευθείες y = αx, y = αx + β.
Να µπορεί να αναγνωρίζει πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες.
taexeiola.blogspot.com
Page 42
50. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
!"# !"#
$% & '(
!## !
!"! #$#%& '
()
*+•) &*+''
,- #,(.-
/*+01!/*2013/+201
1
$111 4540/0/ =Γ∆=ΑΚ
1
$111 656/780/9:0 == -
; ⇔−+=ΑΒ⇔ 1
$1
1
$11 664540/
-
( ) ( )1
$1
1
$1 66440/ −+−=ΑΒ⇔ .
Ìáèáßíïõìå
ôéò
áðïäåßîåéòÂÞìá 1
Θεωρία 1
taexeiola.blogspot.com
Page 43
51.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
* ' 1$ 5- 4646 1$ == <(- 0$/= $
0+/$46 1$= 46 1= *(&' >*+- &( -
"$"111"$$$0"/$0"/
$$/*+0/>+0/>*0
1$1$1$
1
1
1
$
1
1
1
$11
1$
11
111
$111
=⇔=⇔+==+++⇔+=
=+++⇔=+
+=+= =⇔ −=⋅⇔⊥
!"#$$
1$1$1$1$ ( ( ?? =⇔=⇔=⇔
*(&( 5$ 1$ = 46 $= 46 1= '@ $$ #46 += 11 #46 += '
46 $= 46 1= $$ #46 += 11 #46 += '& 5$ 1$ =
Θεωρία 2
taexeiola.blogspot.com
Page 44
52. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”Βήµα 2ο
ÂÞìá 1
ÅðáíáëáìâÜíïõìå
ôéò áóêÞóåéò
"êëåéäéÜ"ÂÞìá 2
Από το σχολικό βιβλίο:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
σελ. 62: Α΄ Οµάδα: 1, 5, 7
σελ. 67-68: Α΄ Οµάδα: 5, 6, 7, 8
σελ. 72-73: Α΄ Οµάδα: 2, 4, 5, 9, 10, 11
σελ. 77-78: Α΄ Οµάδα: 3, 6
Β΄ Οµάδα: 1, 5
Από το βιβλίο:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ”
Ενότητα Γ: Ασκήσεις
177,180,182,192,196
taexeiola.blogspot.com
Page 45
53.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
Ëýíïõìå
ðåñéóóüôåñåò
áóêÞóåéòÂÞìá 3
1. ∆ίνεται η συνάρτηση ( )f x 2x α= + µε x∈ .
i. Αν η τιµή της f για x = 1 είναι διπλάσια της τιµής της f για x = 2 ελατ-
τούµενης κατά 7, βρείτε το α.
ii. Λύστε (µε άγνωστο το y) την ανίσωση: f ( 3) 2y f (1) 15 0− − + > .
iii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.
Λύση:
i. Ισχύει: f (1) 2f (2) 7= − ⇔ 2 α 2(4 α) 7+ = + − ⇔ 2 α 8 2α 7+ = + − ⇔ 1 α=Οπότε: f (x) 2x 1, µε x= + ∈
ii. f ( 3) 2y f (1) 15 0− − + > ⇔ 5 2y 3 15 0− − + > ⇔
5 2y 3 15− − > − ⇔ 2y 3 3− < ⇔ 3 2y 3 3− < − < ⇔ 0 2y 6< < ⇔ 0 y 3< <
iii. Η γραφική παράσταση της f είναι ευθεία µε εξίσωση y 2x 1= + η οποία τέµνει
τον άξονα x x′ :
• στο Α(0,1) και τον y y′
• στο 1
B ,02
−
2. ∆ίνεται η συνάρτηση:32x 16
f (x)6 2 x 1 1
−=− − +
i. Βρείτε το πεδίο ορισµού της.
ii. ∆είξτε ότι:f (3) f ( 1)
2 120+ − = −
iii. Βρείτε τα σηµεία Α, Β στα οποία η γραφική παράσταση Cf της f τέµνει
taexeiola.blogspot.com
Page 46
54. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
τους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα, καθώς και την απόσταση (ΑΒ).
iv. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που ορίζουν τα σηµεία Α, Β.
Λύση:
i. Λύνουµε την ανισότητα: 6 2 x 1 0− − >
2 x 1 6− − > −
x 1 3− <3 x 1 3− < − <2 x 4− < <
Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το (–2,4)
ii. Ισχύουν:32 3 16 38
f(3)6 4 1 2 1
⋅ −= =− + +
και
32 ( 1) 16 18f( 1)
6 4 1 2 1
⋅ − − −− = =− + +
Οπότε: ( )
( )( )( )20 20 2 1
f(3) f ( 1) 20 2 12 1 2 1 2 1
−+ − = = = −+ + −
Άρα: ( )f (3) f ( 1) 20 2 1
2 120 20
+ − −= = −
iii. Για τον άξονα y΄y:
Βρίσκουµε το 16 16
f (0)34 1
−= = −+
, άρα η fC τέµνει τον y΄y στο 16
B 0,3
− .
Για τον άξονα x΄x:
Λύνουµε την εξίσωση: f (x) 0= ⇔ 32x 16 0− = ⇔ 3x 8= ⇔ 3x 8 2= =Άρα η fC τέµνει τον x΄x στο Α(2,0).
Οπότε:
2
2 16 256 292(AB) (2 0) 0 4
3 9 3
− = − + − = + =
iv. Έστω y αx β= + η εξίσωση της ευθείας (ε) που ορίζουν τα Α,Β τότε:
• 16 16
Β 0, (ε) β3 3
− ⇔ − = ,
• 16 8
Α(2,0) (ε) 0 2α β 2α α3 3
∈ ⇔ = + ⇔ = ⇔ =
taexeiola.blogspot.com
Page 47
55.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
Άρα η εξίσωση της ε είναι η 8 16
y x3 3
= − .
3. ∆ίνεται το σηµείο ( )2M 6α 5α 1, 2α− + .
i. Αν ξέρετε ότι ανήκει στον άξονα y΄y βρείτε το α∈ .
ii. Για την µεγαλύτερη τιµή που βρήκατε για το α, βρείτε το β∈ , αν η
γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x 4x 4 β= − + + µε x∈
τέµνει τον y΄y στο Μ.
iii. Βρείτε τα κοινά σηµεία Α, Β, της γραφικής παράστασης της f µε τον
άξονα x΄x.
Λύση:
i. Το ( )2M 6α 5α 1, 2α− + ανήκει στον άξονα y΄y, αν και µόνον αν,
2 ( 5) 1 5 1 1 16α 5α 1 0 α α α ή α
2 6 12 2 3
− − ± ±− + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =⋅
ii. Για 1
α2
= έχουµε Μ(0,1) το οποίο ανήκει στην γραφική παράσταση της f, οπότε:
f (0) 1 4 β 1 2 β 1 β 1= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
Άρα: 2f (x) x 4x 4 1= − + − ή
2f (x) (x 2) 1= − − ή
f (x) x 2 1, µε x= − − ∈
iii. Λύνουµε την εξίσωση: f (x) 0 x 2 1 0 x 2 1
x 2 1 ή x 2 1
x 3 ή x 1
= ⇔ − − = ⇔ − = ⇔− = − = − ⇔= =
Άρα τα κοινά σηµεία της f
C µε τον άξονα x΄x είναι τα Α(3,0) και Β(1,0).
4. ∆ίνονται οι ευθείες (ε) : y 2λ 1 x 3λ
(δ) : y 3x 2
= − += +
i. Βρείτε για ποιες τιµές του λ ∈ οι ευθείες ε, δ είναι παράλληλες.
ii. Για την µεγαλύτερη τιµή που βρήκατε για το λ βρείτε το σηµείο τοµής
taexeiola.blogspot.com
Page 48
56. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
των ευθείων (ε) και (ζ): y 2x 5= + το οποίο να ονοµάσετε Α.
iii. Αν το Α ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης
2 2f (x) x µ x µ= − + µε x∈ , βρείτε το µ∈ .
iv. Για την µικρότερη τιµή που βρήκατε για το µ βρείτε την απόσταση
(ΑΒ) µε Β το κοινό σηµείο της γραφικής παράστασης της f και του
άξονα y΄y.
Λύση:
i. ε δ 2λ 1 3 2λ 1 3 ή 2λ 1 3
2λ 4 ή 2λ 2
λ 2 ή λ 1
⇔ − = ⇔ − = − = −= = −
= = −
ii. Εφόσον λ 2= η εξίσωση της (ε) γράφεται y 3x 6= + οπότε λύνουµε την έξισω-
ση: 3x 6 2x 5 x 1+ = + ⇔ = − άρα y 3= οπότε το κοινό σηµείο των (ε), (ζ) είναι
το A(–1,3).
iii. Το A(–1,3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f άρα:
2 2f ( 1) 3 1 µ µ 3 µ µ 2 0
1 9 1 3µ µ µ 1 ή µ 2
2 1 2
− = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔
− ± − ±= ⇔ = ⇔ = = −⋅
iv. Εφόσον µ 2= − έχουµε 2f(x) x 4x 2= − − οπότε f (0) 2= − . Άρα η
fC′ τέµνει
τον y΄y στο B(0, 2)− , οπότε ( )22(AB) ( 1 0) 3 ( 2) 26= − − + − − = .
5. i. ∆ίνονται τα σηµεία A(1,2) και B(–1,1). Βρείτε την εξίσωση της ευθείας
(ε) που διέρχεται από αυτά.
ii. ∆ίνεται τώρα και η ευθεία ( )2(δ) : y λ 3λ 6 x 2λ 1= + − + + πως είναι κά-
θετη µε την (ε) βρείτε το λ ∈ .
iii. Για την µεγαλύτερη τιµή που βρήκατε για το λ βρείτε το κοινό σηµείο
των (ε), (δ)
iv. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων σχεδιάστε τις (ε), (δ).
Λύση:
i. Έστω y αx β= + η εξίσωση της ευθείας (ε) τότε το Α(1,2) (ε) 2 α β∈ ⇔ = + ,
Β( 1,1) (ε) 1 α β− ∈ ⇔ = − + .
taexeiola.blogspot.com
Page 49
57.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
Λύνουµε το σύστηµα:
3β
α β 2 2β 3 2α β 1 α 2 β 1
α2
=+ = = ⇔ ⇔ − + = = − =
Άρα η εξίσωση της (ε) είναι η 1 3
y x2 2
= + .
ii. Ισχύει ε δ⊥ άρα: ( )2 21λ 3λ 6 1 λ 3λ 6 2
2+ − = − ⇔ + − = − ⇔
2 3 25λ 3λ 4 0 λ
2 1
− ±+ − = ⇔ = ⇔⋅
λ 1 ή λ 4= = −
iii. Αν λ 1= η εξίσωση της (δ) γράφεται y 2x 3= − + οπότε λύνουµε την εξίσωση:
1 3 3 92x 3 x 4x 6 x 3 5x 3 x . Tότε y
2 2 5 5− + = + ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ = =
Άρα το κοινό σηµείο των ε, δ είναι το 3 9
K ,5 5
.
å
y´
y
x´ x1
0 1-1
A
B
2
6. ∆ίνεται η συνάρτηση 2 2f (x) x 2x 1 x 4x 4= − + + + + µε x∈
i. Γράψτε τον τύπο της f σε πολλαπλή µορφή.
ii. Κάντε τη γραφική της παράσταση.
Λύση:
i. Είναι: 2 2f (x) (x 1) (x 2)
f(x) x 1 x 2
= − + +
= − + +Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε:
x 1, αν x 1 0 x 1x 1
x 1, αν x 1 0 x 1
− − ≥ ⇔ ≥− = − + − ≤ ⇔ ≤
taexeiola.blogspot.com
Page 50
58. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
x 2, αν x 2 0 x 2x 2
x 2,αν x 2 0 x 2
+ + ≥ ⇔ ≥ −+ = − − + ≤ ⇔ ≤ −
Από τα παραπάνω σχηµατίζουµε το επόµενο πίνακα:
Οπότε
2x 1 x 2
f (x) 3 2 x 1
2x 1 x 1
− − αν ≤ −= αν − ≤ ≤ + αν ≥
ii. Η γραφική παράσταση f αποτελείται από:
1. Την ηµιευθεία µε εξίσωση y 2x 1, αν x 2= − − ≤ −
µε αρχή το A( 2,3)− , ενώ περνάει και από το σηµείο
B( 3,5)− .
2. Το ευθύγραµµο τµήµα µε εξίσωση y 3, αν 2 x 1= − ≤ ≤ που έχει άκρα τα
A( 2,3)− και Γ (1,3) .
3. Την ηµιευθεία µε εξίσωση y 2x 1, αν x 1= + ≥ που έχει αρχή το Γ(1,3) .
7. ∆ίνονται η συνάρτηση 3
2
2x x 6f (x)
x x 1+ −=+ +
και η ευθεία (ε) : y 2x 3= −
i. Βρείτε το πεδίο ορισµού της f
ii. Βρείτε τα κοινά σηµεία της (ε) και της γραφικής παράστασης της f έστω fCiii. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (δ) που τέµνει κάθετα την (ε) στο κοινό
σηµείο της µε την fC το οποίο έχει την µεγαλύτερη τετµηµένη.
Λύση:
i. Επειδή η εξίσωση 2x x 1 0+ + = έχει διακρίνουσα ∆ 36 0= − < είναι αδύνατη,
οπότε το πεδίο ορισµού της f είναι το .
x −∞ 2− +∞
x 1−
x 2+f (x)
x 1− + x 1− + x 1−
1
x 2+x 2− − x 2+x 1 x 2 3− + + + =x 1 x 2
2x 1
− + − − =− −
x 1 x 2
2x 1
− + + =+
taexeiola.blogspot.com
Page 51
59.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
ii. Λύνουµε την εξίσωση:3
2
2x x 62x 3
x x 1
+ − = − ⇔+ +
3 22x x 6 (2x 3)(x x 1)+ − = − + + ⇔3 3 2 22x x 6 2x 2x 2x 3x 3x 3+ − = + + − − − ⇔
2 2 16x 2x 3 0 x
2
− ±+ − = ⇔ = ⇔
2 4x x 1 ή x 3
2
− ±= ⇔ = = − ,
Άρα τα κοινά σηµεία της ευθείας (ε) µε την fC είναι τα: Α(1,–1) και Β(–3,9).
iii. Έστω y αx β= + η εξίσωση της δ τότε:
• 1
ε δ 2α 1 α2
⊥ ⇔ = − ⇔ = −
• Το A(1, 1)− ανήκει στην (δ) άρα 1
1 α β β 1 α2
− = + ⇔ = − − = −
Άρα η εξίσωση της (δ) είναι η 1 1
y x2 2
= − −
8. ∆ίνονται τα σηµεία A(1,3), B(–2,–3) και Γ(λ–1, 5)
i. Βρείτε το λ∈ αν τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
ii. Βρείτε σηµείο Μ του άξονα x΄x το οποίο να ισαπέχει από τα Α, Γ.
Λύση:
i. Έστω y αx β= + η εξίσωση της ευθείας (ε) που ορίζουν τα Α,Β τότε:
A(1,3) (ε) 3 α β
Β( 2, 3) (ε) 3 2α β
∈ ⇔ = +− − ∈ ⇔ − = − +
Λύνουµε το σύστηµα: α β 3 2α 2β 6 β 1
2α β 3 2α β 3 α 2
+ = + = = ⇔ ⇔ − + = − + = − =
Άρα η εξίσωση της (ε) είναι η y 2x 1= + .
• Τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά αν και µόνο αν το Γ(λ 1,5)− ανήκει στην (ε):
∆ηλαδή 5 2(λ 1) 1 4 2λ 2 6 2λ λ 3= − + ⇔ = − ⇔ = ⇔ = , άρα Γ(2,5)
taexeiola.blogspot.com
Page 52
60. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
ii. Έστω Μ(α,0) σηµείο του άξονα x΄x ώστε:
2 2 2 2(ΜΑ) (ΜΓ) (α 1) ( 3) (α 2) ( 5)= ⇔ − + − = − + − ⇔2 2 2 2(α 1) 9 (α 2) 25 α 2α 1 9 α 4α 4 25− + = − + ⇔ − + + = − + + ⇔
19 192α 19 α άρα Μ ,0
2 2 = ⇔ =
9. ∆ίνεται η εξίσωση 2x 2x 1 0− − = που έχει ρίζες τους αριθµούς ρ
1, ρ2 καθώς
και οι ευθείες ( )2 21 1 2ε : 2y ρ ρ x 20= + + και ( )2
2ε : y (α 1) 2 α 1 x 6= − + − +
i. Αν οι ε1, ε2 είναι παράλληλες, βρείτε το α∈ .
ii. Βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει η ε2 µε τους άξονες.
Λύση:
i. Ισχύουν 1 2
2ρ ρ 2
1
−+ = − = και 1 2
1
1ρρ =−
Oπότε: ( )22 2 2
1 2 1 2 1 2ρ ρ ρ ρ 2ρ ρ 2 2( 1) 4 2 6+ = + − = − − = + =
Άρα 2y 6x 20 y 3x 10= + ⇔ = + είναι η εξίσωση της 1ε .
Οπότε 22
1 2ε ε (α 1) 2 α 1 3 α 1 2 α 1 3 0⇔ − + − = ⇔ − + − − =
Θέτουµε y α 1= − και η εξίσωση γίνεται 2y 2y 3 0+ − =
Είναι: 2 2 16 2 4y 2y 3 0 y y y 1 ή y 3
2 2
− ± − ±+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −
Άρα α 1 1 ή α 1 3− = − = − , που είναι αδύνατη
α 1 1 α 1 1 ή α 1 1 α 2 ή α 0− = ⇔ − = − = − ⇔ = =
ii. Η εξίσωση της 2ε είναι η y 3x 6= + και
• αν x 0 y 6,= ⇔ = δηλαδή τέµνει τον y΄y στο Α(0,6)
• αν y 0 x 2,= ⇔ = − δηλαδή τέµνει τον x΄x στο Β(-2,0)
Οπότε, (OAB)
(OAB)
1E (OB)(OA)
21
E 2 6 6 τ.µ.2
=
= ⋅ ⋅ =
taexeiola.blogspot.com
Page 53
61.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
10. ∆ίνονται οι ευθείες 1ε : 2y (λ 1)x λ= − + , 2
x y x yε : 1
2 3− +− =
Βρείτε:
i. Τους συντελεστές διεύθυνσης των ε1, ε2 .
ii. Το λ ώστε 1 2ε ε⊥ .
iii. Το λ ώστε 1 2ε || ε .
iv. Το λ ώστε 1ε x x′ .
v. Το λ ώστε η ε1 να περνάει από την αρχή των αξόνων.
vi. Το µ αν το σηµείο 7
Μ 2µ 3,5
− − ανήκει στην ε
2.
vii. Τα σηµεία που η ε2 τέµνει τους άξονες.
viii. Το κοινό σηµείο των ε1, ε2 όταν τέµνονται κάθετα.
Λύση:
i. • Η εξίσωση της 1ε γράφεται
λ 1 λy x
2 2
−= + άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης
1
λ 1α
2
−=
• Η εξίσωση της 2ε γράφεται ισοδύναµα:
x y x y1
2 3
− +− = ⇔ 3(x y) 2(x y) 6− − + = ⇔ 3x 3y 2x 2y 6− − − = ⇔
1 65y x 6 y x
5 5− = − + ⇔ = −
Άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης 2
1α
5= .
ii. 1 2
λ 1 1 λ 1ε ε · 1 1 λ 1 10 λ 9
2 5 10
− −⊥ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ = −
iii. 1 2
λ 1 1 7ε ε 5λ 5 2 5λ 7 λ
2 5 5
−⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
iv. 1 1
λ 1ε x x α 0 0 λ 1 0 λ 1
2
−′ ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
v. Η 1ε περνάει από το Ο(0,0) άρα
λ 1 λ λ0 0 0 λ 0
2 2 2
−= ⋅ + ⇔ = ⇔ =
taexeiola.blogspot.com
Page 54
62. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
vi. Το ( )2
7 7 1 6Μ 2µ 3, ε 2µ 3
5 5 5 57 2µ 3 6 2µ 2 µ 1
− − ∈ ⇔ = − − ⇔ − = − − ⇔ = ⇔ =
vii. • Αν 6
x 0 y5
= ⇔ = − η 2ε τέµνει τον y΄y στο
6Α 0,
5
− • Αν y 0 x 6= ⇔ = η
2ε τέµνει τον x΄x στο Β(6,0)
viii. Οι 1 2ε ,ε τέµνονται κάθετα όταν λ 9= − άρα η
2ε γράφεται
9y 5x
2= − − οπό-
τε λύνουµε την εξίσωση:1 6 9
x 5x5 5 2
− = − −
2x 12 50x 45− = − −52x 33= −
33x
52= −
Τότε 69
y52
−= , άρα 33 69
K ,52 52
− − το κοινό τους σηµείο.
11. Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης µε την δι-
πλανή γραφική παράσταση.
Λύση:
1. Έστω y αx β µε x 1= + ≤ − η εξίσωση της ηµιευ-
θείας ρA
• α εφ45 1= ° =
• το Α( 1,2)− ανήκει στην ρA οπότε 2 α β β 3= − + ⇔ = άρα η εξίσωση της ρ
A
είναι y x 3= + µε x 1≤ − .
2. Το τµήµα ΑΒ έχει εξίσωση y 2, µε 1 x 2= − ≤ ≤
3. Έστω y αx β µε x 2= + ≥ η εξίσωση της ηµιευθείας σ
Β
• το σ
Β(2,2) Β 2 2α β∈ ⇔ = +
• το σ
Γ(3,0) Β 0 3α β∈ ⇔ = +
Λύνουµε το σύστηµα: 2α β 2 2α β 2 α 2
3α β 0 3α β 0 β 2 2α 6
+ = − − = − = − ⇔ ⇔ + = + = = − =
taexeiola.blogspot.com
Page 55
63.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
Άρα y 2x 6= − + , µε x 2≥
Οπότε
x 3, αν x 1
y f (x) 2, αν 1 x 2
2x 6, αν x 2
+ ≤ −= = − ≤ ≤− + ≥
η ζητούµενη συνάρτηση.
12. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε: 2
αx 32, αν x 2
y f (x) βx , αν 2 x 2
γ, αν x 2
x
+ < −= = − ≤ ≤ >
Αν τα σηµεία Α(–3,0), Β(1,1) και Γ(4,2) ανήκουν στην γραφική παρά-
σταση της f βρείτε τα α,β,γ ∈ και µετά παραστήστε την γραφικά.
Λύση:
• Το fΑ( 3,0) C f ( 3) 0 3α 12 0 α 4− ∈ ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ =
Το fΒ(1,1) C f (1) 1 β 1∈ ⇔ = ⇔ =
Το f
γΓ(4,2) C f (4) 2 2 γ 8
4∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Άρα 2
4x 12, αν x 2
f (x) x , αν 2 x 2
8,αν x 2
x
+ < −= − ≤ ≤ >
• Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από:
(I) την ηµιευθεία µε εξίσωση y 4x 12, µε x 2= + < − στην οποία δεν ανήκει
η αρχή της ∆( 2,4)− ενώ περνάει από το σηµείο Α( 3,0)−
(II) το τόξο της παραβολής µε εξίσωση 2y x αν 2 x 2= − ≤ ≤ που έχει άκρα
τα σηµεία ∆( 2,4)− και Ε(2,4) .
(ΙΙΙ) το τόξο της υπερβολής µε εξίσωση 8
y , µε x 2x
= > που έχει άκρο το ση-
µείο Ε(2,4) το οποίο βέβαια δεν ανήκει στο τόξο.
taexeiola.blogspot.com
Page 56
64. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
Ëýíïõìå
ìüíïé ìáòÂÞìá 4
1. ∆ίνεται η συνάρτηση 2 2f (x) x 2x 1 x 4x 4= − + + + + µε x∈
i. Βρείτε τον τύπο της f χωρίς “απόλυτα”
ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
Λύση:
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 57
65.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
2. ∆ίνονται η συνάρτηση 3
2
2x x 6f (x)
x x 1+ −=+ +
και η ευθεία (ε) : y 2x 3= −
i. Βρείτε το πεδίο ορισµού της f
ii. Βρείτε τα κοινά σηµεία της (ε) και της γραφικής παράστασης της f έστω fCiii. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (δ) που τέµνει κάθετα την (ε) στο κοινό
σηµείο της µε την fC το οποίο έχει την µεγαλύτερη τετµηµένη.
Λύση:
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
3. ∆ίνονται τα σηµεία A(1,3), B(–2,–3) και Γ(λ–1, 5)
i. Βρείτε το λ∈ αν τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
ii. Βρείτε σηµείο Μ του άξονα x΄x το οποίο να ισαπέχει από τα Α, Γ.
Λύση:
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 58
66. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
4. Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f(x) = |x + 1| + |x|
Λύση:
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 59
67.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
5. Ένα κινητό κ1 ξεκινά απ’το σηµείο Α(-2,-1) ενώ ένα άλλο κινητό κ
2 απ’το
σηµείο Β(-1,-2) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα.
α) Να βρείτε την απόσταση των κ1, κ
2 προ-
τού ξεκινήσουν.
β) Τις εξισώσεις των τροχιών των κ1, κ
2
γ) Σε ποιο σηµείο διασταυρώνονται οι τρο-
χιές των κινητών κ1, κ
2;
Λύση:
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 60
68. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
6. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση: 2x2)λ(f(x) ⋅−=
Λύση:
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 61
69.Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
ÂÞìá 4 ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáòÂÞìá 5
ΘΕΜΑ 1ο
Α.1.Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:
1x
1f(x) i)
2 +=
1x
x-4f(x) ii)
2
−=
1xx
xf(x) iii)
−−=
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 2ο
Β.1. Να βρείτε το συµµετρικό του Α(1, 3)
i) ως προς τον άξονα x΄x
ii) ως προς τον άξονα y΄y
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 62
70. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
ΘΕΜΑ 3ο
Να βρεθούν οι τιµές του Rλ ∈ ώστε οι ευθείες:
i) 32xy : εκαι 1x1-λy:ε21
+=+= να είναι παράλληλες
ii) ( ) 7x2λy : εκαι 3λxy:ε43
+−=+= να είναι κάθετες
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 4ο
∆ίνεται η ευθεία ε:y = (λ2 + 2λ)x + λ - 1. Να βρεθούν οι τιµές του Rλ ∈ώστε:
i) η ε να διέρχεται απ’την αρχή των αξόνων
ii) η ε να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.
iii) η ε να είναι κάθετη στην ε1: y - x = 2002.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 63
ÊåöÜëáéï 3ï
ÓõóôÞìáôá åîéóþóåùí
Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει
να γνωρίζει:
Να παριστάνει γραφικά τις λύσεις µιας εξίσωσης της µορφής
αx+β=γ µε ≠α 0 ή ≠β 0 .
Να επιλύει αλγεβρικά και γραφικά ένα σύστηµα δύο γραµµικών
εξισώσεων µε δύο αγνώστους.
Να επιλύει προβλήµατα µε την βοήθεια ενός συστήµατος δύο γραµ-
µικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους.
Να επιλύει ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε τη µέθοδο
των οριζουσών.
Να επιλύει ένα σύστηµα τριών γραµµικών εξισώσεων µε τρεις
αγνώστους µε τη µέθοδο των διαδοχικών απαλοιφών.
Αν ένα τέτοιο σύστηµα έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει
άπειρο πλήθος λύσεων.
Να επιλύει προβλήµατα µε τη βοήθεια ενός συστήµατος.
taexeiola.blogspot.com
Page 64
72. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
Ìáèáßíïõìå
ôéò
áðïäåßîåéòÂÞìá 1
!
" # $#% $ &'(% %!
% $ %)$%*%+ ,&-'$(
% $ %)$%*%+ ,&$'-(
!
!" # "$%&%&' ( ≠ )≠ )*+
,-.+
. + /0 ≠ - ≠ - % !/$ %%0
01-$ ≠ -!2+ /00
- ⇔ ⇔
Θεωρία 1
taexeiola.blogspot.com
Page 65
73.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
% % ###1$*% ,&-'
(
21≠ -$-!2+/00
- ⇔ ⇔
% % ###1$
*%+ ,&
'-(
3
1≠ -$≠ -+%/0* 03⇔ 4
(
% % !
! ! !"$ # 5" " #5" "$6!" # " !$
#* "$7" *5" #* 8 !! !"$
9 $ #$
0
=+=+
444
555
: + #$#&'(% $ % %$ !;#+ #$ +
6 # + $ % % !
7 #* +* % $ % *$ !
8% + 008" &%+9 (!28*#!%&%9 (!38 " &*$+(!<8! 8*"=>?@A> & %$(!
,B)+Θεωρία 2
taexeiola.blogspot.com
Page 66
74. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
658 #8 !" $658 8C"# " /5!"
$
1 + %*
'% % !: $ + % % %! /9C 0
" + *%&++(+ %* %#&'(% % !: * % &! +( $ + % % %% ! /9C 2
65 #8 $7"*"5" 5" "
5 $D 8C !" /
0 /
2 5
5 ! /0 /
2$
/ +* $ !6 %+ %+
%$+% !0" 5"" %$$ !2" 5",$ %+&
5(&
4( %!*!&
5(
55
4
4% %$%' &
5(%%
5 ≠ -% &
4(%%
4!
655
4
4' 5" 5"&
5($&
4(!
,B0+
,B2+
x
y
0
1
x
y
02
1
2
Θεωρία 3
Θεωρία 4
taexeiola.blogspot.com
Page 67
75.Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο
Από το σχολικό βιβλίο:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
σελ. 103-104: Α΄ Οµάδα: 3, 5, 6, 8
Β΄ Οµάδα: 1
σελ. 108-109: Α΄ Οµάδα: 2, 3, 4, 5
Β΄ Οµάδα: 2, 3, 4, 5
σελ. 113-114: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4
Β΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4
Από το βιβλίο:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ”
Ενότητα ∆: Ασκήσεις:
207, 212, 218, 220, 226, 228
ÂÞìá 1
ÅðáíáëáìâÜíïõìå
ôéò áóêÞóåéò
"êëåéäéÜ"ÂÞìá 2
taexeiola.blogspot.com
Page 68
76. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
Ëýíïõìå
ðåñéóóüôåñåò
áóêÞóåéòÂÞìá 3
1. Αν η εξίσωση ( )24λ 9 x 2λ 3− = − (ε) είναι ταυτότητα δείξτε ότι το σύστη-
µα λx y 1
3x 2y 2
+ = + =
έχει άπειρες λύσεις τις οποίες και να βρείτε.
Λύση:
Η (ε) είναι ταυτότητα άρα:
22
9 3λ λ
4λ 9 0 34 2λ
3 3 22λ 3 0λ λ
2 2
= = ± − = ⇔ ⇔ ⇔ = − = = =
Οπότε το συστηµα (σ) γίνεται:
33x 2y 2x y 1 2 2y
3x 2y 2 x23x 2y 2 3
3x 2y 2
+ =+ = − ⇔ ⇔ + = ⇔ = + = + =Άρα έχει απειρία λύσεων:
2 2y(x,y) ,y
3
− = µε y∈ .
2. Αν x 3y 1 2x y 5 0− + + + − = βρείτε τα x,y R∈ .
Λύση:
Επειδή α 0≥ για κάθε α ∈ η ισότητα x 3y 1 2x y 5 0− + + + − = δίνει:
x 3y 1 0 x 3y 1 2x 6y 2 7y 7 y 1
και και και και και
2x y 5 0 2x y 5 2x y 5 y 5 2x x 2
− + = − = − − + = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + − = + = + = = − =
3. Αν οι αριθµοί 3 και 1 είναι ρίζες της εξίσωσης (ε) 2
κx 3λx κ 1 0− + − =βρείτε τους κ,λ∈
taexeiola.blogspot.com
Page 69
77.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
Λύση:
• Το 1 είναι ρίζα της (ε) άρα: κ 3λ κ 1 0 2κ 3λ 1− + − = ⇔ − =• Το 3 είναι ρίζα της (ε) άρα: 9κ 9λ κ 1 0 10κ 9λ 1− + − = ⇔ − =• Λύνουµε το σύστηµα:
14κ 2 κ
2κ 3λ 1 6κ 9λ 3 22κ 1
210κ 9λ 1 10κ 9λ 1 λλ3
3
= − = − − = − + = − ⇔ ⇔ ⇔− − = − = = = −
4. Αν το σύστηµα 2αx 3y β 5
3x αy 5β
− = − + =
έχει λύση την (x,y) (1,2)= βρείτε τα α,β∈ .
Λύση:
Το (x,y) (1,2)= είναι λύση του συστήµατος άρα:
4β 42α 6 β 5 2α β 1 2α β 1 β 1
β 13 2α 5β 2α 5β 3 2α 5β 3 α 1α
2
− = −− = − − = − + = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ++ = − = − − = − ==
5. Αν τα συστήµατα: 1
2x 3y 8(σ )
αx 5βy 3
+ = − =
και 2
2αx 3βy 6(σ )
2x 5y 8
+ = − = −
έχουν κοινή λύση,
βρείτε τα α, β.
Λύση:
Έστω 0 0
(x ,y ) η κοινή λύση των 1 2
σ ,σ τότε ισχύουν:
0 0
0 0
0 0
0 0
2x 3y 8
αx 5βy 3
2αx 3βy 6
2x 5y 8
+ = − = + = − = −
Oπότε λύνοντας το σύστηµα:
00 0 0 0 0
00 0 0 0 00
8y 162x 3y 8 2x 3y 8 y 2
8 3y2x 5y 8 2x 5y 8 x 1x
2
=+ = + = = ⇔ ⇔ ⇔ −− = − − + = ==
βρήκαµε την µοναδική λύση των συστηµάτων 1 2
σ ,σ που είναι η 0 0
(x ,y ) (1,2)=οπότε οι άλλες δύο εξισώσεις δίνουν:
taexeiola.blogspot.com
Page 70
78. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
α 10β 3 2α 20β 6 26β 0 β 0
2α 6β 6 2α 6β 6 α 3 10β α 3
− = − + = − = = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = = + =
6. Λύστε το σύστηµα:2 x 1 y 2 4
2 x 1 3 y 2 10
− + + =
− + + =Λύση:
Θέτω x 1 ω, y 2 ρ− = + = οπότε το σύστηµα γίνεται:
2ρ 6 ρ 32ω ρ 4 2ω ρ 4
4 ρ 12ω 3ρ 10 2ω 3ρ 10 ω ω
2 2
= = + = − − = − ⇔ ⇔ ⇔ −+ = + = = = Οπότε:
1x 1 και y 2 3
2− = + =
1x 1
2− = ή
1x 1
2− = − και y + 2 = 3 ή y + 2 = -3
3x =
2 ή
1x =
2 και y =1 ή y 5= −
Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι οι:
3 3 1 1(x,y) = ,1 , (x,y) . 5 , (x,y) ,1 , (x,y) , 5
2 2 2 2
= − = = −
7. Ένα σώµα εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση και το διάστηµα S σε m που διανύει
σε κάθε χρονική στιγµή t σε sec δίνεται από την συνάρτηση 2S(t) αt βt= + .
i. Αν σε χρόνο 5sec το σώµα έχει διανύσει 40m ενώ σε χρόνο 7sec έχει
διανύσει 70m βρείτε τους α,β ∈ .
ii. Ποια χρονική στιγµή το σώµα θα έχει διανύσει 10m;
Λύση:
i. Ισχύουν 25α 5β 40 5α β 8 2α 2 α 1
49α 7β 70 7α β 10 β 8 5α β 3
+ = + = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ + = − − = − = − =
∆ηλαδή 2S(t ) t 3t= +
ii. Λύνουµε την εξίσωση:
3 3 49 3 7S(t ) 10 t 3t 10 t t t 2
2 2
− ± − ±= ⇔ + − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ή t 5= − .
∆ηλαδή σε 2 sec το σώµα θα έχει διανύσει 10m.
taexeiola.blogspot.com
Page 71
79.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
8. Μια οµάδα µαθητών έγραψε σ’ένα µάθηµα διαγώνισµα που έχει 20 ερω-
τήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση ο µαθητής έπαιρνε 5 µονάδες ενώ για
κάθε λάθος απάντηση έχανε 3 µονάδες. Ένας µαθητής έγραψε 52 µονάδες
σ’αυτό το διαγώνισµα. Βρείτε πόσες απαντήσεις του ήταν σωστές και πό-
σες λάθος.
Λύση:
Έστω, x ο αριθµός των σωστών απαντήσεων και y ο αριθµός των λανθασµένων
απαντήσεων, τότε: • x y 20+ = και • 5x 3y 52− =Λύνουµε τώρα το (σ):
x y 20 3x 3y 60 8x 112 x 14
5x 3y 52 5x 3y 52 y 20 x y 6
+ = + = = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − = = − =
9. Πρίν 16 χρόνια ο Α είχε διπλάσια ηλικία από την ηλικία του Β. Μετά από 11
χρόνια ο Β θα έχει 4/5 της ηλικίας του Α. Βρείτε τις ηλικίες τους σήµερα.
Λύση:
Έστω x η ηλικία του Α σήµερα και y η ηλικία του Β σήµερα, τότε:
• οι ηλικίες των Α,Β πριν από 16 χρόνια είναι x 16− και y 16− αντίστοιχα οπότε:
x 16 2(y 16) x 16 2y 32 x 2y 16− = − ⇔ − = − ⇔ − = −• οι ηλικίες των Α, Β µετά από 11 χρόνια είναι x 11, y 11+ + αντίστοιχα οπότε:
4y 11 (x 11) 5(y 11) 4(x 11) 5y 55 4x 44 4x 5x 11
5+ = + ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − + = −
Λύνoυµε τώρα το σύστηµα:
x 2y 16 4x 8y 64 3y 75 y 25
4x 5y 11 4x 5y 11 x 2y 16 x 50 16 34
− = − − = − − = − = ⇔ ⇔ ⇔ − + = − − + = − = − = − =
10. Οι µαθητές Α και Β ρωτούν τον καθηγητή στο τέλος του 2ου τετράµη-
νου πόσες απουσίες έχουν και εκείνος απαντά: Ο λόγος των απουσιών του
Α προς τις απουσίες του Β είναι 4/7 ενώ χωρίς τις τελευταίες 9 απουσίες
είναι ίσος µε 1/2.
i. Βρείτε τις απουσίες των Α, Β.
ii. Πόσες πρέπει να δικαιολογήσουν αν το όριο είναι 50.
Λύση:
Έστω x οι απουσίες του Α και y του Β τότε:
• x 4
7x 4y 7x 4y 0y 7
= ⇔ = ⇔ − =
taexeiola.blogspot.com
Page 72
80. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
• x 9 1
2x 18 y 9 2x y 9y 9 2
− = ⇔ − = − ⇔ − =−
• Λύνουµε το σύστηµα: 7x 4y 0 7x 4y 0 x 36 x 36
2x y 9 8x 4y 36 y 2x 9 y 63
− = − = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ − = − + = − = − =
Άρα ο µαθητής Β πρέπει να δικαιολογήσει 63–50=13 απουσίες.
11. α. Λύστε και διερεύνηστε το σύστηµα: 2
2x κy 4
κx 2y κ
+ =
+ = (σ)
β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του (σ) βρείτε το κ εφόσον ισχύει
0 0x 2y 1+ =Λύση:
α. Βρίσκουµε τις ορίζουσες: x yD,D ,D
( )2 22 κ
D 4 κ κ 4 (κ 2)(κ 2)κ 2
= = − = − − = − + −
( )3 3 2
x 2
4 κD 8 κ κ 8 (κ 2)(κ 2κ 4)
κ 2= = − = − − = − − + +
( )2
y 2
2 4D 2κ 4κ 2κ κ 2
κ κ= = − = −
Αν κ 2,2≠ − τότε D 0≠ και το (σ) έχει µοναδική λύση την:
( )2yx
2
DD ( 2) 2 4 2 ( 2)(x, y) , ,
D D ( 2)( 2) ( 2)( 2)
2 4 2,
2 2
− κ − κ + κ + κ κ −= = = − κ + κ − − κ + κ −
κ + κ + − κ κ + κ +
Αν κ 2= τότε D=0 και το (σ) γίνεται: 2x 2y 4x y 2 x 2 y
2x 2y 4
+ =⇔ + = ⇔ = − + =
Άρα το (σ) έχει απειρία λύσεων την (x, y) (2 y, y) µε y= − ∈
Αν κ 2= − τότε D= 0 και το (σ) γίνεται:
2x 2y 4 x y 2
2x 2y 4 x y 2
− = − = ⇔ − + = − = −
άρα είναι αδύνατο.
taexeiola.blogspot.com
Page 73
81.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
β. Λύνουµε την εξίσωση: 0 0
x 2y 1+ =2
2 2κ 2κ 4 2κ2 1 κ 2κ 4 4κ κ 2 κ 3κ 2 0
κ 2 κ 2
+ + −+ = ⇔ + + − = + ⇔ − + =+ +
( 3) 1 3 1κ κ κ 2 ή κ 1.
2 2
− − ± ±= ⇔ = ⇔ = = (Η κ 2= απορρίπτεται)
12. Λύστε και διευρευνήστε το σύστηµα: (λ 2)x 7(λ 3)y 35
x (λ 3)y λ
+ + − = + − =
(σ)
Λύση:
Βρίσκουµε τα x yD,D ,D
λ 2 7(λ 3)D (λ 2)(λ 3) 7(λ 3) (λ 3)(λ 2 7) (λ 3)(λ 5)
1 λ 3
+ −= = + − − − = − + − = − −
−
x
35 7(λ 3)D 35(λ 3) 7λ(λ 3) 7(λ 3)(5 λ) 7(λ 3)(λ 5)
λ λ 3
−= = − − − = − − = − − −
−
2y
λ 2 35D λ(λ 2) 35 λ 2λ 35 (λ 5)(λ 7)
1 λ
+= = + − = + − = − +
Αν λ 3,5≠ τότε D 0≠ και το (σ) έχει µοναδική λύση την:
yxDD 7(λ 3)(λ 5) (λ 5)(λ 7) λ 7
(x,y) , , 7,D D (λ 3)(λ 5) (λ 3)(λ 5) λ 3
− − − − + + = = = − − − − − −
Αν λ 3= τότε D=0 και το (σ) γίνεται:
5x 0y 35 x 0y 7
x 0y 3 x 0y 3
+ = + = ⇔ + = + =
άρα είναι αδύνατο.
Αν λ 5= τότε D=0 και το (σ) γίνεται:
7x 14y 35 x 2y 5x 2y 5 x 5 2y
x 2y 5 x 2y 5
+ = + = ⇔ ⇔ + = ⇔ = − + = + =
Άρα το (σ) έχει απειρία λύσεων την (x, y) (5 2y, y) µε y= − ∈ .
taexeiola.blogspot.com
Page 74
82. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
13. ∆ίνεται ένα 2×××××2 γραµµικό σύστηµα µε άγνωστους x,y για το οποίο ισχύει:
x y
x y
2D D 4D
D 3D 5D
+ = − = − . Να βρείτε τη µοναδική λύση, αν γνωρίζετε ότι υπάρχει.
Λύση:
• Το (σ) έχει µοναδική λύση, άρα D 0≠ και yx
DD(x, y) ,
D D
= η µοναδική λύση του.
• Ισχύει:
yx
x y
x y yx
DD2 42D D 4D 2x y 4D D
D 3D 5D D x 3y 5D3 5
D D
+ =+ = + = ⇔ ⇔ ⇔ − = − − = − − = −
2x y 4 7y 14 y 2
2x 6y 10 x 3y 5 x 1
+ = = = ⇔ ⇔ − + = = − =
14. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y που έχει µοναδική
λύση ενώ ακόµα ισχύει, x y x yD D 3D 2D 3D 4D 0− − + + + = .
Να βρεθεί η µοναδική λύση του γραµµικού συστήµατος
Λύση:
• Το (σ) έχει µοναδική λύση άρα D 0≠ και yx
DD(x,y) ,
D D
=
η µοναδική λύση του.
• Ισχύει:x y
x y x yx y
D D 3D 0D D 3D 2D 3D 4D 0
2D 3D 4D 0
− − =− − + + + = ⇔ ⇔ + + =yx
x y
x y yx
DD3D D 3D 0 x y 3D D
2D 3D 4D D 2x 3y 4D2 3 4
D D
− =− − = − = ⇔ ⇔ ⇔ + = − + = − + = −
2x 2y 6 5y 10 y 2
2x 3y 4 x y 3 x 1
− + = − = − = − ⇔ ⇔ + = − = + =
15. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y που έχει µοναδική
λύση και για το οποίο ισχύουν 2x y 18+ = και 2 2x y x yD D 2D D+ = .
taexeiola.blogspot.com
Page 75
83.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
Λύση:
• Το (σ) έχει µοναδική λύση άρα D 0≠ και yx
DD(x,y) ,
D D
=
η µοναδική λύση του.
• Ισχύει: 2 2 2 2
x y x y x y x yD D 2D D D D 2D D 0+ = ⇔ + − = ⇔
( )2 yx
x y x y
DDD D 0 D D 0 0 x y 0
D D− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
• Λύνουµε τώρα το (σ):2x y 18 3x 18 x 6
x y 0 y x y 6
+ = = = ⇔ ⇔ − = = =
16. Λύστε το σύστηµα:
1 19
x y
1 115
y z
1 112
z x
+ = + =
+ =
Λύση:
Προσθέτουµε κατά µέλη και τις τρείς εξισώσεις του συστήµατος και έχουµε:
1 1 1 1 1 12 36 18
x y z x y z
+ + = ⇔ + + =
(σ)
1. Από την (σ) αφαιρούµε κατά µέλη την 1η εξίσωση του συστήµατος και έχουµε:
1 1 1 1 1 1 118 9 9 1 9z z
x y z x y z 9+ + − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
2. Από την (σ) αφαιρούµε κατά µέλη την 2η εξίσωση του συστήµατος και έχουµε:
1 1 1 1 1 1 118 15 3 1 3x x
x y z y z x 3+ + − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
3. Από την (σ) αφαιρούµε κατά µέλη την 3η εξίσωση του συστήµατος και έχουµε:
1 1 1 1 1 1 118 12 6 1 6y y
x y z z x y 6+ + − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Άρα ( ) 1 1 1x,y,z , ,
3 6 9
= είναι η λύση του συστήµατος.
taexeiola.blogspot.com
Page 76
84. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
Ëýíïõìå
ìüíïé ìáòÂÞìá 4
1. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της
βασιλείας του θα ήταν ίσος µε το 1/8 του χρόνου της ζωής του. Αν όµως
πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος
της βασιλείας του θα ήταν ίσος µε το 1/2 του χρόνου της ζωής του. Να
βρείτε πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα βασίλεψε.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
2. ∆ύο φίλοι Α και Β συζητούν για την ηλικίας τους.
Ο Α λέει: Το διπλάσιο της ηλικίας µου µαζί µε το δικό σου µας δίνουν 50
χρόνια.
Ο Β λέει: Το τριπλάσιο της ηλικίας µου ισούται µε το διπλάσιο της ηλι-
κίας σου αυξήµενο κατά 5.
Βρείτε τις ηλικίες τους.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 77
85.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
3. Σε ένα ορθογώνιο η περίµετρος του είναι 26m. Αν η διάσταση του αυξηθεί
κατά 2m ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 2m τότε το εµβαδόν του θα αυξηθεί
κατά 2m2. Βρείτε τις διαστάσεις του.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
4. ∆ύο τετράγωνα µε κέντρο Ο βρίσκονται το ένα µέσα στο άλλο. Η διαφορά
των περιµέτρων τους είναι 40m. Το εµβαδόν της επιφάνειας µεταξύ των
δύο τετραγώνων είναι ίσο µε 500m2. Βρείτε το εµβαδόν κάθε τετραγώνου.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
5. Στο διπλανό σχήµα η περίµετρος του ορθογω-
νίου είναι 36cm και τα µήκη x, y, z είναι ανάλο-
γα προς τους αριθµούς 4, 2, 3:
i. Βρείτε x, y, z,
ii. Βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου Κ∆Γ.
................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 78
86. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
6. ∆ύο θετικοί ακέραιοι έχουν άθροισµα 87. Αν προσθέσουµε το 12 σε κάθε
έναν απ’αυτους, ο ένας γίνεται διπλάσιος του άλλου. Βρείτε τους αριθµούς.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
7. Ηµίονος και όνος βαδίζουν φορτωµένοι σακιά. Ο όνος στενάζει από το
βάρος και ο ηµίονος του λέει: Τι κάνεις έτσι; Αν µου έδινες 1 από τα σακιά
θα είχα στην πλάτη µου τα διπλά από σένα ενώ αν έπαιρνες 1 από τα δικά
µου θα είχαµε και οι δύο τα ίδια. Πόσα σακιά είχε το καθένα ζώο;
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 79
87.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
8. Μια άδεια δεξαµενή έχει όγκο 2m3. Μια αντλία παροχής νερού αρχίζει να
την γεµίζει µε ρυθµό 20lt min .
α. Να εκφράσετε τον όγκο V του νερού στην δεξαµενή συναρτήσει του
χρόνου t (σε min).
β. Βρείτε σε ποια χρονική στιγµή θα γεµίσει η δεξαµενή
γ. Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης V.
δ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της V.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
9. Σε µια κάλπη βρίσκονται 100 ψηφοδέλτια δυο κοµµάτων Α και Β. Αν
προστεθούν στην κάλπη 3 ψηφοδέλτια του Α και 2 του Β τότε τα ψηφο-
δέλτια του Α είναι διπλάσια των ψηφοδελτίων του Β. Πόσα ψηφοδέλτια
κάθε κόµµατος υπήρχαν αρχικά στην κάλπη;
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
10. Σε ένα γκαράζ υπάρχουν συνολικά 50 οχήµατα, αυτοκίνητα και ποδήλα-
τα. Αν όλα τα οχήµατα έχουν 164 ρόδες πόσα αυτοκίνητα και πόσα ποδή-
λατα υπάρχουν στο γκαράζ;
taexeiola.blogspot.com
Page 80
88. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
11. ∆ίνονται τα σηµεία A(1,3), B(–2,–3) και Γ(λ–1,5). Βρείτε το λ ώστε τα Α,
Β, Γ να είναι συνευθειακά.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
12. ∆ύο κινητά κινούνται ευθύγραµµα στο επίπεδο το πρώτο από το σηµείο
Α(1,5) προς το σηµείο Β(–1,1) και το δεύτερο από το σηµείο Γ(0,–1)
προς το σηµείο ∆(2,1). Βρείτε το κοινό σηµείο της διαδροµής τους.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 81
89.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
13. α. Λύστε και διερευνήστε το σύστηµα: y 2 λx
x 2λ y
− = − − = −
(σ)
β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του συστήµατος βρείτε το λ εφόσον ισχύει 0 0y x≤
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
14. α. Λύστε και διερευνήστε το σύστηµα λx y 2
x λy 2λ
+ = + =
(σ)
β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του (σ) λύστε την ανίσωση 0
0
y κ 11
κ 2 x
−>
− +
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
15. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y ώστε:
x yD 2 D 8 2D 8 0− + + + − = . Να λυθεί το σύστηµα.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 82
90. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
16. Αν για ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y ισχύει:
( )2 2 2x y xD D D 17 2 D 4D+ + + = − . Να λύσετε το σύστηµα.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
17. Αν η εξίσωση κ(x 2) λ(x 1) 3x− + + = είναι ταυτότητα και για το γραµµι-
κό 2×××××2 σύστηµα ισχύει: 2 2 2 2 2x y xD D D λD 4κD κ λ 10+ + − + = + − . Να λύ-
σετε το σύστηµα.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 83
91.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
18. To άθροισµα των ψηφίων ενός τριψήφιου αριθµού είναι 6 και το
ψηφίων των µονάδων είναι 0. Αν αλλάξουµε τη θέση των ψηφίων
των εκατοντάδων και των δεκάδων του αριθµού, προκύπτει αριθµός
κατά 180 µεγαλύτερος. Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθµός.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 84
92. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
ÂÞìá 4 ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáòÂÞìá 5
ΘΕΜΑ 1ο
Απαντήστε µε (Σ) αν είναι σωστό και µε (Λ) αν είναι λάθος τα παρακάτω
αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας.
α) Η εξίσωση (λ - 2)x + (λ +3)y = 5 παριστάνει πάντα ευθεία.
β) Το σύστηµα
23x + 5y = 1
4 x + 5y = 7 είναι γραµµικό.
γ) Ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους µπορεί να
έχει ακριβώς δύο λύσεις.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 2ο
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την άποψή σας.
α) Η παράσταση Α = 23y2x2x −++− γίνεται ελάχιστη όταν:
Α) x = 2 και y = 4 Β) x = -2 και y = 1 Γ) x = 2 και y = -3
2
taexeiola.blogspot.com
Page 85
93.Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο
β) Αν οι ευθείες y = 3x + 1, y = -2x +k τέµνονται στο σηµείο Α(-1,-2) τότε
το k είναι ίσο:
Α) k = 4, B) k = -3, Γ) k = 5, ∆) k = -4
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 3ο
α. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(-2,3)
και Β(5,-1).
β. Να βρείτε της εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία
Α(–1, –5) και Β(2, 4). Αν το σηµείο
22M , λ - 3
3 ανήκει στην ευθεία
που βρήκατε να προσδιορίσετε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 86
94. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
ΘΕΜΑ 4ο
α.Ποιο σύστηµα παριστάνουν οι ευθείες ε1 και ε
2;
β. Αν για τις ρίζες ρ1, ρ
2 της δευτερεύουσας εξίσω-
σης:
( )2x y x yDW D D W D D 0− + + − = µε D, D
x, D
y οι
ορίζουσες ενός γραµµικού 2×××××2 συστήµατος µε άγνωστους x,y ισχύουν:
1 2ρ ,ρ 3= και 2 21 2ρ ρ 5+ = , λύστε το σύστηµα και µετά την εξίσωση.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 87
ÊåöÜëáéï 4ï
ÌåëÝôç óõíÜñôçóçò
Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει
να γνωρίζει:
Αν µια συνάρτηση είναι άρτια ή αν είναι περιττή και να διαπιστώνει
τις αντίστοιχες συµµετρίες στη γραφική παράσταση.
Να βρίσκει τα διαστήµατα µονοτονίας απλών συναρτήσεων.
Να βρίσκει τα ακρότατα απλών συναρτήσεων.
Να µελετά τις συναρτήσεις f(x) = αx2 και f(x) = α/x, µε ≠α 0 και να
σχεδιάζει τις γραφικές τους παραστάσεις.
Να παραγοντοποιεί ένα τριώνυµο f(x) = αx2 + βx + γ, ≠α 0 γράφο-
ντάς το στη µορφή f(x) = α(x + β/2α)2 - ∆/4α και ανάλογα µε το πλή-
θος των ριζών του, σε µια από τις παρακάτω ακόλουθες µορφές:
( )( ) ( )( ) ( )
1 2
2
2
f(x)=α(x-ρ ) x-ρ
f x =α x-ρ
f x =α x+β/2α + ∆ /4α
και να τις χρησιµοποιεί όταν χρειάζεται (π.χ. εύρεση ακρότατων
τριωνύµων, απλοποίηση κλασµατικών παραστάσεων κ.τ.λ.)
Να παριστάνει γραφικά συναρτήσεις µορφής ( )±f(x)=φ x c .
Να παριστάνει γραφικά συναρτήσεις µορφής ( )±f(x)=φ x c .
Να κάνει τη µελέτη και τη γραφική παράσταση της f(x) = αx2 + βx + γ, ≠α 0
Να επιλύει γραφικά την εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, ≠α 0 .
Να αποδεικνύει τα συµπεράσµατα που αναφέρονται στο πρόση-
µο τριωνύµου και να επιλύει ανισώσεις β΄ βαθµού χρησιµοποιώ-
ντας αυτά τα συµπεράσµατα.
Να βρίσκει το πρόσηµο του πολυωνύµου f(x) = P1(x)·P
2(x)...P
ν(x)
και να επιλύει ανισώσεις της µορφής: P1(x)·P
2(x)...P
ν(x) ≥ 0 και
Ρ(x)/Q(x)≥ ή ≤ 0.
taexeiola.blogspot.com
Page 88
96. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
Θεωρία 1
Θεωρία 2
Ìáèáßíïõìå
ôéò
áðïäåßîåéòÂÞìá 1
Θεωρία 1
taexeiola.blogspot.com
Page 89
97.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
Θεωρία 3
taexeiola.blogspot.com
Page 90
98. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
Θεωρία 4
taexeiola.blogspot.com
Page 91
99.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
Θεωρία 5
taexeiola.blogspot.com
Page 92
100. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”Βήµα 2ο
Από το σχολικό βιβλίο:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
σελ. 92: Α΄ Οµάδα: 1, 3, 5, 6, 7, 9, 11
σελ. 140-141: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12
Β΄ Οµάδα: 1
σελ. 151-152: Α΄ Οµάδα: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10
Από το βιβλίο:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ”
Ενότητα Ε: Ασκήσεις:
282, 290, 293, 294, 296, 307, 309, 313, 320
ÂÞìá 1
ÅðáíáëáìâÜíïõìå
ôéò áóêÞóåéò
"êëåéäéÜ"ÂÞìá 2
taexeiola.blogspot.com
Page 93
101.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
1. Λύστε τις εξισώσεις:α. ( ) ( )2x 2 1 x 2 2 1 0− + + − =
β. 2 2 2x (3α 4β)x 2α 5αβ 3β 0− + + + + =
γ. 2 2x (α γ)x α(β γ) β βγ− + + + = +
Λύση:
α. Βρίσκουµε την διακρίνουσα:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
22 22
∆ 2 1 4 2 2 1 ∆ 2 1 8 2 1
∆ 2 1 2 2 8 2 8 ∆ 2 9 6 2 ∆ 3 2
= − + − ⋅ − ⇔ = + − − ⇔
= + + − + ⇔ = + − ⇔ = −
άρα η εξίσωση γίνεται: ( )2 1 3 2
x x 2 ή x 2.2
+ ± −= ⇔ = =
β. Βρίσκουµε την διακρίνουσα:
( )( ) ( )2 2 2∆ 3α 4β 4 2α 5αβ 3β= − + − + + ⇔
( )2 2 2∆ 3α 4β 8α 20αβ 12β= + − − − ⇔
( )
2 2 2 2
22 2
∆ 9α 16β 24αβ 8α 20αβ 12β
∆ α 4β 4αβ ∆ α 2β
= + + − − − ⇔
= + + ⇔ = +
άρα η εξίσωση γίνεται:
( ) 2(3α 4β) (α 2β) 3α 4β (α 2β)x x
2 2x 2α 3β ή x α 2β
− − + ± + + ± += ⇔ =
= + = +
γ. Βρίσκουµε την διακρίνουσα:
( ) ( )2 2∆ α(α γ) 4 αβ αγ β βγ= − + − + − − ⇔2 2∆ (α β) 4αβ 4αγ 4β 4βγ= + − − + + ⇔
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
Ëýíïõìå
ðåñéóóüôåñåò
áóêÞóåéòÂÞìá 3
taexeiola.blogspot.com
Page 94
102. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
2 2 2∆ α γ 2αγ 4αβ 4αγ 4β 4αβγ= + + − − + + ⇔2 2 2 2∆ α γ 4β 4αβ 4βγ 2αγ ∆ (2β γ α)= + + − + − ⇔ = + −
άρα η εξίσωση γίνεται:
( ) 2(α γ) (2β γ α) α γ (2β γ α)x x
2 2
− − + ± + − + ± + −= ⇔ = ⇔
α γ 2β γ α α γ 2β γ αx β γ ή x α β
2 2
+ + + − + − − += = + = = −
2. Αν λ 3≠ και η εξίσωση 2(λ 3)x (λ 2)x 2λ 1 0− − + + + = έχει µια διπλή ρίζα
βρείτε το λ και µετά την διπλή ρίζα.
Λύση:
Αφού η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα έχει διακρίνουσα ∆ 0= . ∆ηλαδή είναι
( )2 2 2(λ 2) 4(λ 3)(2λ 1) 0 (λ 2) 4(2λ λ 6λ 3) 0− + − − + = ⇔ + − + − − = ⇔2 2 2λ 4 4λ 8λ 20λ 12 0 9λ 24λ 16 0+ + + + + = ⇔ + + = ⇔
2 4(3λ 4) 0 3λ 4 0 λ
3+ = ⇔ + = ⇔ = −
Τότε η διπλή ρίζα της εξίσωσης είναι η:
4 22(λ 2) λ 2 13 3x
1342(λ 3) 2(λ 3) 1322 333
− ++ += = = = = −− − −− −
3.i. Αν α, γ ετερόσηµοι δείξτε ότι η εξίσωση 2
αx βx γ 0+ + = έχει δυο ρίζες
άνισες, ii. ∆είξτε ότι η εξίσωση 2 5 4 22001x (2µ µ 3)x µ 1− + + = + έχει δυο
ρίζες άνισες.
Λύση:
i. Αφού α, γ είναι ετερόσηµοι ισχύει αγ 0< . Τότε 2
4αγ 0
και
β 0
− > ≥
και µε πρόσθεση κατά
µέλη παίρνουµε: 2β 4αγ 0− > , δηλαδή η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι θετική.
Αυτό σηµαίνει ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες.
taexeiola.blogspot.com
Page 95
103.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
ii. Η εξίσωση γράφεται: 2 2 4 22001x (2µ µ 3)x (µ 1) 0− + + − + = και έχει α 2001=
και ( )2γ µ 1 0= − + < , δηλαδή α, γ είναι ετερόσηµοι, άρα έχει δυο ρίζες άνισες.
4. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2x λ 1 0− + − = βρείτε το λ έτσι ώστε να
ισχύει, 3 2 31 1 2 23ρ 8ρ ρ 3ρ 192+ + = .
Λύση:
Ισχύουν: 1 2
1 2
2ρ ρ 2
1λ 1
ρ ρ λ 11
− + = − = − = = −
Ακόµα ισχύει: ( )3 3 2 21 2 1 2 1 23 ρ ρ 8ρ ρ 8ρ ρ 192+ + + =
( ) ( ) ( )3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 ρ ρ 3ρ ρ ρ ρ 8ρ ρ ρ ρ 192 + − + + + =
( ) ( ) ( )3
1 2 2 1 1 2 1 2 1 23 ρ ρ 9ρ ρ ρ ρ 8ρ ρ ρ ρ 192+ − + + + =
( ) ( )3
1 2 1 2 1 23 ρ ρ ρ ρ ρ ρ 192+ − + =33 2 (λ 1)2 192⋅ − − =
24 2λ 2 192− + =2λ 166 λ 83− = = −ή
5. ∆ίνεται η εξίσωση 2 2x 6x λ 3λ 7 0+ + − + = της οποίας η µια ρίζα ισούται
µε το διπλάσιο της άλλης αυξηµένο κατά 3. Βρείτε:
i. τις ρίζες της εξίσωσης και ii. το λ.
Λύση:
i. Αν ρ η µια ρίζα της εξίσωσης η άλλη θα είναι 2ρ 3+ ,οπότε από τις σχέσεις Vieta
έχουµε:
6ρ 2ρ 3 3ρ 3 6 3ρ 3 ρ 1
1
−+ + = − ⇔ + = ⇔ = ⇔ =
Τότε 2ρ 3 5+ = , δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης είναι το 1 και το 5.
ii. Από τις σχέσεις Vieta έχουµε:
22 2λ 3λ 7
1·5 5 λ 3λ 7 λ 3λ 2 01
− += ⇔ = − + ⇔ − + = ⇔
taexeiola.blogspot.com
Page 96
104. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
( 3) 1 3 1λ λ λ 2 λ 1
2 2
− − ± ±= ⇔ = ⇔ = =ή .
6. Αν 1 2ρ ,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 3x 1 0− − = ,
α. Βρείτε τις τιµές των παραστάσεων 1 2
2 1
ρ ρκ
ρ ρ= + και
4 41 2 2 1λ ρ ρ ρ ρ= +
β. Σχηµατίστε εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς κ και λ.
Λύση:
α. Από τις σχέσεις Vieta έχουµε: 1 2
1 2
3ρ ρ 3
11
ρ ρ 11
− + = − = − = = −
, οπότε
• ( )22 2 2
1 2 1 21 2 1 2
2 1 1 2 1 2
ρ ρ 2ρ ρρ ρ ρ ρ 3 2( 1)κ κ κ κ 11
ρ ρ ρ ρ ρ ρ 1
+ −+ − −= + ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −−
• ( )( ) ( )
4 4 3 31 2 2 1 1 2 1 2
3 31 2 1 2 1 2 1 2
λ ρ ρ ρ ρ λ ρ ρ ρ ρ
λ ρ ρ ρ ρ 3ρ ρ ρ ρ λ 1 3 3( 1)3 36
= + ⇔ = + ⇔
= + − + ⇔ = − − − = −
β. Ισχύουν: κ λ 36 11 47
κλ ( 36)( 11) 396
+ = − − = − = − − =
Άρα η ζητούµενη εξίσωση είναι η:
2 2x ( 47)x 396 0 ή x 47x 396 0− − + = + + =
7. Λύστε τις εξισώσεις: α. 2(x 1) 2 x 1 3− + − = β.
4 2x 3x 4 0− − =
γ. x 7 x 18 0− − = δ. x 1 x 5
x x 1 2+ + =
+
α. Η (ε) γράφεται: 2
x 1 2 x 1 3 0− + − − = και αν θέσουµε w x 1= − γίνεται:
2 2 16 2 4w 2w 3 0 w w w 1 w 3
2 2
− ± − ±+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή
x 1 1 x 1 3 αδ νατη− = − = −ή ύ
x 1 1 x 1 1
x 2 x 0
− = − = −= =
ή
ή
taexeiola.blogspot.com
Page 97
105.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
β. Θέτουµε 2x w= και η (ε) γίνεται:
2 ( 3) 25 3 5w 3w 4 0 w w w 4 w 1
2 2
− − ± ±− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή
2 2x 4 x 1 αδ νατη
x 2 x 2
= = −= = −
ή ύ
ή
γ. Για x 0≥ θέτουµε x w= και η εξίσωση γίνεται:
2 ( 7) 121 7 11w 7w 18 0 w w w 9 w 2
2 2
− − ± ±− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή
x 9 x 2 αδ νατη
x 81
= = −=
ή ύ
δ. Για x 0, 1≠ − θέτουµε x 1
wx
+ = και η εξίσωση γίνεται:
2 2 21 5w 2w 5w 2w 2 5w 2w 5w 2 0
w 2+ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔
( )5 9 5 3w w
2 2 4
− − ± ±⇔ = ⇔ = ⇔⋅
1w 2 ή w
2= =
x 1 x 1 12 ή
x x 22x x 1 ή 2x 2 x
x 1 ή x 2
+ += =
= + + == = −
8. i. Λύστε την εξίσωση: 2x 2x 3 0+ − =
ii. Λύστε το σύστηµα: 2(α β) 2(α β) 3 0
α β 3
+ + + − =
− =Λύση:
α. 2 2 16 2 4x 2x 3 0 x x
2 2
− ± − ±+ − = ⇔ = ⇔ = x 1 x 3= = −ή
β. Το σύστηµα λόγω του i) ερωτήµατος γράφεται:
taexeiola.blogspot.com
Page 98
106. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
α β 1 α β 3 2α 4 2α 0 α 2 α 0ή ή ή
α β 3 α β 3 2β 2 2β 6 β 1 β 3
+ = + = − = = = = ⇔ ⇔ − = − = = − = − = − = −
9. Βρείτε τα κοινά σηµεία του κύκλου c:2 2x y 5+ = και της ευθείας ε: y 3x 1= − .
Λύση:
Λύνουµε το σύστηµα:
2 2 2 2
2x
x 1x y 5 x (3x 1) 5 5ή
y 2 11y 3x 1 y 3x 1y
5
− == + = + − = ⇔ ⇔ = −= − = − =
∆ηλαδή η (ε) τέµνει τον (c) στα σηµεία Α(1, 2) και Β2 11
( , )5 5
− −
2 2 2 2 2
2
x (3x 1) 5 x 9x 6x 1 5 10x 6x 4 0
( 3) 49 3 7 25x 3x 2 0 x x x 1 ή x
10 10 5
+ − = ⇔ + − + = ⇔ − − = ⇔
− − ± ±− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −
10. Βρείτε για ποιες τιµές του λ η ευθεία (ε) y λx 3= + εφάπτεται του κύκλου
(c) 2 2x y 4+ = .
Λύση:
Αφού η (ε) εφάπτεται του κύκλου (c) σηµαίνει ότι το σύστηµα
2 2 2 2x y 4 x (λx 3) 4
y λx 3 y λx 3
+ = + + =⇔
= + = + έχει µόνο µία λύση άρα η εξίσωση
2 2 2 2 2 2 2x (λx 3) 4 x λ x 9 6λx 4 0 (λ 1) x 6λ x 5 0+ + = ⇔ + ⋅ + + − = ⇔ + ⋅ + ⋅ + =έχει µία διπλή ρίζα δηλαδή διακρίνουσα ∆ 0= .
2 2 2 2 2
2
∆ 0 (6λ) 4 5(λ 1) 0 36λ 20λ 20 0 16λ 20
5 5λ ή λ
4 2
= ⇔ − ⋅ + = ⇔ − − = ⇔ = ⇔
= = ±
11. Λύστε τις ανισώσεις:
α. 2x 7x 10− > − β. 2x 5x≤ γ. 22x 18− ≥ −
δ. ( ) ( )2x 1 x 3 0+ ⋅ − + < ε. 2x x 2+ > − ζ. 2x 1 x 3+ < −
taexeiola.blogspot.com
Page 99
107.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
η. ( ) ( ) ( )2 22x 1 x 4 x 3x 2 0− ⋅ − ⋅ − + ≤ θ. ( ) ( )2004 20052 2x 2x x 4 0− ⋅ − ≥
ι. 3x 1
0x 2
− ≤− κ.
2x 13
x 1+ ≥−
Λύση:
α. 2x 7x 10 0 x ( ,2) (5, )− + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ,
διότι:
2 ( 7) 9 7 3x 7x 10 0 x x x 5 x 2
2 2
− − ± ±− + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =ή
και το πρόσηµο του τριωνύµου 2φ(x) x 7x 10= − + φαίνεται στον επόµενο πίνα-
κα:
β. 2x 5x 0 x(x 5) 0− ≤ ⇔ − ≤
Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) x(x 5)= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα : [ ]2x 5x 0 x(x 5) 0 x 0,5− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ∈
γ. ( )2 22x 18 0 2 x 9 0 2(x 3)(x 3) 0− + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + − ≥
Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) 2(x 3)(x 3)= − + − φαίνεται στον επόµενο πίνα-
κα::
Άρα: ( ) [ ]2 22x 18 0 2 x 9 0 2(x 3)(x 3) 0 x 3,3− + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ ∈ −
δ. Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) (2x 1)( x 3)= + − + φαίνεται στον επόµενο πίνα-
κα:
Άρα: ( )x , 1 2 (3, )∈ −∞ − ∪ +∞ ,
ε. 2x x 2 0+ + >
x −∞ 2 5 +∞φ(x) + +−
x −∞ 0 5 +∞φ(x) + +−
x −∞ 3− 3 +∞φ(x) − −+
x −∞ 1 2− 3 +∞φ(x) − −+
taexeiola.blogspot.com
Page 100
108. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
x −∞ 4−2
3 +∞φ(x) + +−
x −∞ +∞φ(x) +
12
−
x −∞ 2− 2 +∞g(x) + +−
x −∞ 1 2 +∞f (x) + +−
Το πρόσηµο του τριωνύµου 2φ(x) x x 2= + + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα: 2x x 2 0 x+ + > ⇔ ∈
ζ. 2 2 2 2 2 22x 1 x 3 (2x 1) (x 3) (2x 1) (x 3) 0
(2x 1 x 3)(2x 1 x 3) 0 (3x 2)(x 4) 0
+ < − ⇔ + < − ⇔ + − − < ⇔+ + − + − + < ⇔ − + <
Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) (3x 2)(x 4)= − + φαίνεται στον επόµενο πίνα-
κα:
Άρα: 2
(3x 2)(x 4) 0 x 4,3
− + < ⇔ ∈ −
η. ] [ ] 12x ( , 2 ,1 2∈ −∞ − ∪ ∪
Ι. Το πρόσηµο του διωνύµου ( )φ x 2x 1= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
ΙΙ. Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( ) ( )2g x x 4 x 2 x 2= − = + ⋅ − φαίνεται στον
επόµενο πίνακα:
ΙΙΙ. Είναι: ( )2 3 1 3 1
x 3x 2 0 x x2 2
− − ± ±− + = ⇔ = ⇔ = x 3 x 1= =ή
Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) 2f x x 3x 2= − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
IV. Το πρόσηµο του γινοµένου ( ) ( ) ( )2 2Γ 2x 1 x 4 x 3x 2= − ⋅ − ⋅ − + φαίνεται στον
επόµενο πίνακα:
x −∞ +∞φ(x) +
taexeiola.blogspot.com
Page 101
109.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
x −∞ 12− +∞
φ(x)
+
+−
12 2
g(x)
f (x)
Γ
+
−
−−++
−+−
+
+
−−
+
+
++
x −∞ 2− 2 +∞h(x) + +−
x −∞ 0 2 +∞φ(x) + + +
Άρα: ] [ ] 12x ( , 2 ,1 2∈ −∞ − ∪ ∪
θ. Ι. Το πρόσηµο του ( ) ( )20042φ x x 2x= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
ΙΙ. Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( )2x 4 x 2 x 2− = + ⋅ − αλλά και του πολυώνυ-
µου ( ) ( )20052h x x 4= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
ΙΙΙ. Το πρόσηµο του γινοµένου ( ) ( )Γ φ x h x= φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα: ( ] [ )x , 2 0 2,∈ −∞ − ⋅ ∪ ⋅ ∪ +∞
ι. ( ) ( ) ( )2 3x 1x 2 0 x 2 3x 1 0,x 2
x 2
−− ⋅ ≤ ⇔ − ⋅ − ≤ ≠−
Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( ) ( )φ x x 2 3x 1= − ⋅ − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα:1
x ,23
∈
x −∞ 2− +∞
φ(x)
+
++
0 2
h(x)
Γ
+
+
−−
−−
+
+
+
x −∞ 213 +∞
φ(x) + +−
taexeiola.blogspot.com
Page 102
110. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
µ −∞ 443 +∞
φ(µ) + +−
x −∞ 1 4 +∞φ(x) − −+
κ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22x 1x 1 3 x 1 x 1 2x 1 3 x 1 0, x 1
x 1
+− ⋅ ≥ − ⇔ − ⋅ + − − ≥ ≠−
( ) ( ) ( ) ( )x 1 2x 1 3x 3 0 x 1 x 4 0− ⋅ + − + ≥ ⇔ − ⋅ − + ≥Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( ) ( )φ x x 1 x 4= − ⋅ − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα: ( ]x 1,4∈
12. Αν η εξίσωση (ε): 2(µ 2)x µx µ 2 0 (µ 2)− − + − = ≠ έχει δύο ρίζες άνισες
βρείτε το µ.
Λύση:
Η (ε) έχει δυο ρίζες άνισες άρα θα έχει διακρίνουσα ∆ 0> , δηλαδή:
2 2 2 2( µ) 4(µ 2) 0 µ (2µ 4) 0 (µ 2µ 4)(µ 2µ 4) 0− − − > ⇔ − − > ⇔ + − − + >
4(3µ 4)( µ 4) 0 µ ,4 2
3 − − + > ⇔ ∈ −
διότι το πρόσηµο του τριωνύµου φ(µ) (3µ 4)( µ 4)= − − + είναι αυτό που φαίνεται
στον επόµενο πίνακα:
13. Αν 1 2x , x οι ρίζες του τριωνύµου 2 12
f (x) x λx λ7
= − + − βρείτε το λ εφό-
σον ισχύει 2 21 2 1 2x x 5x x+ > .
Λύση:
Iσχύουν:
1 2
1 2
λx x λ
112
λ 127x x l1 7
− + = = −
= = −
taexeiola.blogspot.com
Page 103
111.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
λ −∞ 3 4 +∞φ(λ) + +−
Είναι ( )
( )
22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 21 2 1 2
x x 5x x x x 2x x 5x x
12x x 7x x 0 λ 7 λ 0 λ ( ,3) (4, )
7
+ > ⇔ + − > ⇔
+ − > ⇔ − − > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
διότι 2 ( 7) 1 7 1λ 7λ 12 0 λ λ λ 4 ή λ 3
2 2
− − ± ±− + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =
και το πρόσηµο του τριωνύµου 2φ(λ) λ 7λ 12= − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
14. Αν για κάθε x ∈ ισχύει 2(κ 3)x 4κx 6 5κ 0+ + + − > βρείτε το κ (δίνεται
κ 3≠ − )
Λύση:
Θέτουµε 2φ(x) (κ 3)x 4κx 6 5κ= + + + − οπότε για κάθε x ∈ ισχύει φ(x) 0> άρα
πρέπει: ( )2 2
κ 3κ 3 0α 0
∆ 0 (4κ) 4(κ 3)(6 5κ) 0 4 4κ (κ 3)(6 5κ) 0
> −+ > > ⇔ ⇔ ⇔ < − + − < − + − <
2 2 2
κ 3 κ 3
4(6κ 5κ 18 15κ) 0 4κ 6κ 5κ 18 15κ 0
> − > − ⇔ ⇔
− + − < − + − + <
2 2
κ 3 κ 3 κ 3κ ( 2,1)
κ ( 2,1)9κ 9κ 18 0 κ κ 2 0
> − > − > − ⇔ ⇔ ⇔ ∈ − ∈ −+ − < + − <
∆ιότι: 2 1 9 1 3
κ κ 2 0 κ κ κ 1 κ 22 2
− ± − ±+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή
και το πρόσηµο του τριωνύµου 2g(κ) κ κ 2= + − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
15. Αν το τριώνυµο f (x) έχει ρίζες τους – 1 και 3 και ο συντελεστής του 2x
είναι το 2λ λ 1+ + βρείτε το πρόσηµο του γινοµένου
3Γ f(2,99) f ( 1,01)= ⋅ − .
κ −∞ 2− 1 +∞φ(κ) + +−
taexeiola.blogspot.com
Page 104
112. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
x −∞ 1− 38 +∞φ(λ) − −+
λ −∞ +∞φ(λ) +
x −∞ 1− 3 +∞f (x) + +−
Λύση:
• Η εξίσωση 2λ λ 1 0+ + = είναι αδύνατη, διότι έχει ∆ 3 0= − < , άρα το πρόσηµο
του τριωνύµου 2φ(λ) λ λ 1= + + είναι το:
δηλαδή 2λ λ 1 0+ + > , για κάθε λ ∈ .
Τότε το πρόσηµο του τριωνύµου f (x) είναι το:
• Επειδή: 1 2,99 3 είναι f (2,99) 0οπότε Γ 0
1,01 1 είναι f ( 1,01) 0
− < < <<
− < − − >
16. Αφού λύσετε το σύστηµα: 2x 3y 11 λ
x 5y λ 7
− = − + = +
λύστε την ανίσωση: 0 0x y 0>
όπου ( )0 0x ,y είναι η λύση του συστήµατος.
Λύση:
2x 3y 11 λ 2x 3y 11 λ
x 5y λ 7 2x 10y 2λ 14
− = − − = − ⇔ ⇔ + = + − − = − −
3λ 3y
13y 3λ 3 13x λ 7 5y 2λ 76
x13
+ =− = − − ⇔ = + − − + =
Λύνουµε την ανίσωση: 0 0
3λ 3 2λ 76x y 0 0 (3λ 3)( 2λ 76) 0
13 13
+ − +> ⇔ ⋅ > ⇔ + − + >
Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(λ) (3λ 3)( 2λ 76)= + − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα: λ ( 1,38)∈ −
17. i. ∆είξτε ότι: 23x x 4 0− + > , για κάθε x ∈
ii. Βρείτε πόσες λύσεις έχει το σύστηµα: ( )
( )2 4
2 5
3α 3β 1 x 2y α β
2x α β y α 3
+ − − = +
+ + = +
taexeiola.blogspot.com
Page 105
113.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
Λύση:
i. Το τριώνυµο 2φ(x) 3x x 4= − + έχει
2∆ ( 1) 4 3 4 1 48 47 0= − − ⋅ ⋅ = − = − < , άρα
για κάθε x ∈ θα είναι οµόσηµο του α 3 0= > , δηλαδή 23x x 4 0− + > , για
κάθε x ∈ .
ii. Βρίσκουµε την ορίζουσα του συστήµατος:
( )( )
( ) ( )
22 2
2
2 2 2
2
3α 3β 1 2D D α β 3α 3β 1 4
2 α β
D α β 3 α β 1 4 θέτω w α β
D w(3w 1) 4 D 3w w 4 0 (λ γω του i)
+ − −= ⇔ = + + − + ⇔
+
= + + − + = + = − + ⇔ = − + > ü
Άρα το σύστηµα έχει µοναδική λύση.
taexeiola.blogspot.com
Page 106
114. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
Ëýíïõìå
ìüíïé ìáòÂÞìá 4
1. Να βρείτε τον ∈λ R ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών
1 2x ,x της εξίσωσης: ( )2 2x + 2λ + 3 ·x + λ +1 = 0 , να είναι ίσο µε 39.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
2. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ≠2 2f x = λ - 3λ ·x - λ - 4 x - 2, λ 0 και ≠λ 3 .
Βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού λ ώστε η γραφική παρά-
σταση της f
α. να τέµνει τον x΄x σε δύο σηµεία
β. να εφάπτεται στον x΄x
γ. να µην έχει µε τον x΄x κανένα κοινό σηµείο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 107
115.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
3. ∆ίνεται η εξίσωση: ( ) ( ) ≠2x + λ - 3 ·x - λ - 2 = 0, (1) λ 1
α. Να αποδείξετε ότι η (1) για κάθε ∈λ R µε ≠λ 1 έχει δύο πραγµατι-
κές ρίζες.
β. Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της (1) να βρείτε τον λ ώστε η παράσταση
2 21 2 2 1B = x ·x + x ·x να γίνεται ελάχιστη.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
4. Για ποιές τιµές του ∈λ R οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγµατικές ρίζες:
α. 2x + 2λx + 2 - λ = 0 β. ( ) ( )2
λ -1 x - 2 λ - 3 x - λ + 3 = 0
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
5. Να βρείτε τον λ ώστε η ανίσωση: ( ) ≠2λ -1 ·x - λx + λ > 0, λ 1 να ισχύει
για κάθε ∈x R .
taexeiola.blogspot.com
Page 108
116. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
6. Αν το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης ( )2 2x α 2α x 1 α 0+ − + − = βρείτε το α και
µετά την άλλη ρίζα της εξίσωσης.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
7.α. ∆είξτε ότι η εξίσωση (ε) 2 2x y 4x 2y 3 0− − + + = παριστάνει δυο ευθείες
που τέµνονται κάθετα, β. Βρείτε το κοινό τους σηµείο.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 109
117.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
8. Αν η εξίσωση 2x 2x λ 1 0− + − = έχει δυο ρίζες άνισες και 0λ η ακέραια
τιµή που µπορεί να πάρει το λ βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης:
20
0
x 4λ x 3f (x)
3 λ x
− +=
− και κατόπιν βρείτε που η γραφική παράσταση της f
τέµνει τους άξονες.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
9. ∆ίνεται ένα 2 2× γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους x,y το οποίο έχει µονα-
δική λύση. Αν η εξίσωση ( ) ( )2 2x x y x yW 2 D D W 4D D 4D D 0− − − + = έχει µια
διπλή ρίζα λύστε το σύστηµα.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
10. Αν η εξίσωση ( )1ε 2(2α β)x 4αx 4β 0− − + = έχει µια διπλή ρίζα δείξτε ότι
η εξίσωση ( )2ε 2 3α βx αx 1
4−− − = έχει δυο ρίζες άνισες.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 110
118. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
11. Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 22 2x 3x 2 0− − = ,
i. Βρείτε την τιµή της παράστασης: 1 2A x x= −
ii. Λύστε την ανίσωση: 2y 18
A4− <
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
12. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της εξίσωσης 2 2x 2λx λ 4λ 5 0+ + − = βρείτε το λ ώστε
να ισχύει 1 2
1 1 1ρ ρ 4
+ = .
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 111
119.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
13. α. Αν η εξίσωση 2κx 4x 35 0− − = έχει άθροισµα ριζών 1 βρείτε το κ.
β. Αν η εξίσωση 22x κx 6κ 0+ − = έχει γινόµενο ριζών 1
2− βρείτε το κ.
γ. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της 29x 6x γ 0+ + = µε 1 2ρ ρ 2− = ,
i. Βρείτε τα 1 2ρ ,ρ , ii. Βρείτε το γ.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
14. Αν η µια ρίζα της εξίσωσης 2x 5λx 6 0− + = ισούται µε το τετράγωνο της
άλλης ελαττωµένο κατά 1, βρείτε το λ.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
15. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2x 5 0− − = φτιάξτε εξίσωση 2ου βαθ-
µού µε ρίζες τους 21
12
ρ 1x
ρ
+= και
22
21
ρ 1x
ρ
+= .
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 112
120. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
16. Ένα οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου έχει διαστάσεις α,β και η περίµε-
τρος του είναι 48m. Αν αφαιρέσουµε από κάθε πλευρά του 1m προκύπτει
ορθογώνιο µε εµβαδόν 296cm . Βρείτε τα α,β.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
17. ∆ίνεται η εξίσωση: 2α x 2 5 β β 4− + = + που έχει ρίζα το 2. Βρείτε το β.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
18. ∆ίνεται η εξίσωση 2x 2x 1 0− − = µε ρίζες 1 2ρ ,ρ και οι ευθείες:
( )( )
2 21 1 2
22
ε : 2y ρ ρ x 20
ε : y (α 1) 2 α 1 x 6
= + +
= − + − +
Βρείτε το α ώστε 1 2ε ε
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 113
121.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
19. Βρείτε τα κοινά σηµεία του κύκλου: 2 2(c) : x y 10+ = και της υπερβο-
λής (γ) : xy 3=............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
20. Βρείτε τα κοινά σηµεία της ευθείεας (ε) y 4x 1= − και της υπερβολής
(γ) : xy 3=............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
21. ∆είξτε ότι η ευθεία y 3x λ (ε)= + τέµνει την υπερβολή 6
(γ) yx
= σε
δυο σηµεία για κάθε τιµή του λ∈ .
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 114
122. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
22. Κάντε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων:
2 2 2
2 2 2
f (x) 2x 1, f (x) x 4x 3, f (x) 2x 4x 2
f (x) x 2x 3, f (x) x 3, f (x) x 4x 4
= − = − + = + += − + + = − + = + +
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
23. ∆ίνεται η συνάρτηση x 1
f (x) 2x 2
−= −+
. Βρείτε το πεδίο ορισµού της.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
24. Λύστε το σύστηµα:
2
2x 1 3
x0
x 1x 16
− < >
− ≤
taexeiola.blogspot.com
Page 115
123.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
25. Αν 2x 5x 6 0− + − > βρείτε την τιµή της παράστασης:
x 2 x 3A
x 1 x 5− + −=− + −
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 116
124. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
ÂÞìá 4 ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáòÂÞìá 5
ΘΕΜΑ 1ο
Α.1. Είναι σωστό ή λάθος ότι:
“Η γραφική παράσταση µιας γνησίως µονότονης συνάρτησης τέµνει
στον άξονα x΄x σε ένα το πολύ σηµείο.”
Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
Α.2. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση 31)x-(λf(x)2 +=
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 117
125.Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο
ΘΕΜΑ 2ο
Β. α. Να απλοποιηθεί η παράσταση 14x4x
xx6xA
2
23
+−−−=
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
β. Να βρείτε το µέγιστο ή το ελάχιστο των συναρτήσεων:
i. f(x) = -x2 + 5x - 2 ii. g(x) = 3x2 + 7x - 1
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 3ο
∆ίνεται η παραβολή f(x) = x2 + (κ + 2)x + κ + 2. Να βρείτε το κ κάθε φορά στις
περιπτώσεις που η παραβολή:
α. εφάπτεται στον x΄x β. τέµνει τον x΄x σε δύο σηµεία.
γ. δεν τέµνει τον x΄x δ. έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία x = 3.
ε. παρουσιάζει ελάχιστο για x = 5 στ. έχει ελάχιστο το -8
ζ. τέµνει τον x΄x στο Α(3, 0) η. τέµνει τον y΄y στο Β(0, 5)
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 118
126. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 4ο
Ένα εργοστάσιο που παράγει την ηµέρα x προϊόντα το κόστος παραγωγής δίνε-
ται από την συνάρτηση: Κ(x) = 4x2 - 20x +13 (χιλιάδες ευρώ) η δε είσπραξη από
την πώληση των x προϊόντων δίνεται από τη συνάρτηση: Ε(x) = 3x2 + 80 (χιλιάδες
ευρώ). Να βρείτε πόσα προϊόντα πρέπει να παράγει την ηµέρα, ώστε το κέρδος να
είναι το µέγιστο. Ποιο είναι αυτό;
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
taexeiola.blogspot.com
Page 119
ΒΙΒΛΙΟ
µαθήµατα
Μία έκδοση
ΕΚΠΛΗΞΗ!!!
για τις επαναλήψεις
σας και όχι µόνο...
1. ΦΥΣΙΚΗ Α΄ Λυκείου Κωδ. 21
2. ΧΗΜΕΙΑ Α΄ Λυκείου Κωδ. 22
3. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 30
4. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 31
5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 32
6. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 33
7. ΑΛΓΕΒΡΑ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 34
8. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 35
9. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 36
10. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 37
11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 38
12. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου Κωδ. 39
13. ΑΡΧΑΙΑ Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου
(Θουκιδίδη Περικλέους Επιτάφιος) Κωδ. 52
Το “αντίδοτο” για την... αµνησία την ώρα των εξετάσεωνείναι η σωστή επανάληψη.
ΕΝΗΜΕΡΩΣΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΣΟΥ
taexeiola.blogspot.com
Page 120
taexeiola.blogspot.com