Algèbre http://mathsv2.univ-lyon1.fr Muriel Ney Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive [email protected]
Apr 03, 2015
Algèbre
http://mathsv2.univ-lyon1.fr
Muriel Ney
LaboratoireBiométrie et Biologie Evolutive
Calendrier (sur MathSV)02-02 09-02 16-02 23-02 01-03 08-03 15-03 22-03 29-03 05-04 12-04
CM CM CM CM CM CM CM CM
TT TT TT TT TT TT
TD TD TD TD TD
19-04 26-04 03-05 10-05 17-05 24-05
CM CM CM TD
TT TT TT TT TT
TD TD TD TD
Evaluations (QCM)
Contrôles Continus (problème)
Objectif général du cours
• Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des problèmes où interviennent des phénomènes biologiques
• Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique
Le plan des cours d’algèbre ‘Etude des phénomènes structurés
en classes’ 1. Introduction aux matrices : exemples en dynamique de
population CM 1
2. Les espaces vectoriels, les bases et les matrices : définitions et opérations CM 1-CM 2
3. Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires CM 2- CM3
4. Diagonalisation d’une matrice : applications en dynamique de population et en génétique CM 3-CM 4
5. Normes et distances CM 4
Les cours de statistiques ‘Prise de décision sur
un phénomène aléatoire’
• Statistiques descriptives• Estimation• Tests d’hypothèses• ANOVA• Régression linéaire
Déterminisme et Hasard
Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population d’organismes vivants ?
La croissance
Déterminisme = reproduction, mortalité, etc.
Variabilité (« hasard ») = temps et succès de la reproduction, etc.
Déterminisme et Hasard
Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population ?
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6
temps (heures)
No
mb
re d
e b
ac
téri
es
(m
illio
ns
)
Déterminisme et Hasard
1. Modèles du hasard
Se décider dans une situation où le hasard intervient
outils = probabilités et statistiques
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6
temps (heures)
No
mb
re d
e b
acté
ries
(m
illio
ns)
Déterminisme et Hasard
2. Modèles déterministes
Faire le lien entre le phénomène et les processus qui le provoquent
Outils : Fonctions et équations différentielles (1ère année)Matrices et systèmes linéaires (2ème année)
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6
temps (heures)
No
mb
re d
e b
ac
téri
es
(m
illio
ns
)
Pourquoi des modèles en biologie ?
Une modèle est une solution à un problème et permet de comprendre une situation biologique
Un instrument d’analyse : des hypothèses, des mécanismes, des prévisions, un cadre pour faire des expériences
1. Introduction aux matrices : exemples en
dynamique de population
Croissance de la population chinoise :
modèle exponentiel en temps continu (rappels)1,28 milliards d’habitants en 2001. On prévoit que les taux de natalité et mortalité
dans la période 2001-2005 seront stables; le taux de natalité est de 13‰ en 2001, tandis que le taux de mortalité est de 3‰. Nombre d’habitants en 2005 ?
Solution n0 = 1,28r = (13-
3)/1000 = 0,01Donc n = 1,33 milliards
en 2005.
(taux d’accroissement, r ,indépendent de n)
Quand les générations ne se recouvrent pas et/ou les naissances
arrivent simultanément (ou presque)Papillons, insectes univoltines, plantes annuelles, etc.
Nt+1 = R Nt Nt nombre de femelles à la génération t
R=sPm
s = la sex-ratio (par exemple 0,5)
P = la probabilité de survie d’une femelle au court d’un pas de temps t
m = le nombre moyen de jeunes engendrés par une femelle (indépendent de N)
Modèle exponentiel en temps discret
Le modèle exponentiel discret
Nt+1 = R Nt
N1 = R N0
N2 = R N1 = R 2N0
…
donc Nt = R tN0
R<1 la population décroîtR=1 la population reste égale à N0
R>1 la population croît de façon exponentielle
Quand les organismes vivent longtemps et ont une fécondité qui
dépend de l’âge ou du stade de développement
Est-ce que la croissance de la population peut être décrite par un modèle exponentiel ?
Modèles structurés par classes
Hypothèses :
• A chaque âge/stade une classe i=1, 2, …
• Un pas de temps discret t : entre t et t+1 tous les individus de la classe i passent dans la classe i+1
• Taux de fécondité et de mortalité indépendants du nombre d’individus présents et de t (mais pas de i)
Hirondelle de cheminéeDeux classes d’individus :
• 1 an (fécondité moyenne= 3 juvéniles par femelle)
• 2 ans ou plus (fécondité moyenne = 6 juvéniles par femelle)
20 % des juvéniles atteignent l’âge d’1 anLa survie des oiseaux de 1 an est de 0,49, celle des
oiseaux de 2 ans ou plus est de 0,66
La sex ratio est de 0,5.
(MathSV série 3 pb 2)
On compte les individus juste après les naissances *
Printemps été-automne-hiver Printemps
Reproduction Survie Reproduction
*
1 an
2 ans ou plus
1 an
2 ans ou plus
Juvéniles Juvéniles
Juvénile = 0 à 1 an1 an = 1 à 2 ans2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans
On compte les individus juste après les naissances
Juvénile = 0 à 1 an n0t
1 an = 1 à 2 ans n1t
2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans n2t
s = la sex-ratio (0,5)Pi = la probabilité de survie d’un individu, dans chaque classe i, au court d’un pas de temps mi = le nombre moyen de jeunes engendrés par une femelle
dans chaque classe i sur un pas de temps
On compte les individus juste avant les naissances
Printemps été-automne-hiver Printemps
Reproduction Survie Reproduction
*
*
1 an
2 ans ou plus
1 an
2 ans ou plus
Juvénile = 0 à 1 an1 an = 1 à 2 ans2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans
On compte les individus juste avant les naissances
Juvénile = 0 à 1 an1 an = 1 à 2 ans n1t
2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans n2t
Vérification : avec n1=2 et n2=20 individus au temps t=0, on peut suivre la population n1+n2 au court du temps
Prédiction : Taux d’accroissement de la population >1 donc la population croît exponentiellement
0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50
Génération (t)
po
pu
lati
on
to
tale
(n
1+n
2)
Conclusion
• Une prédiction basée sur une démonstration mathématique plutôt qu’ un long calcul ou des expériences à long terme impossibles à réaliser
• Outils : les matrices
Objectif dans les exemples en dynamique de population
Définir et calculer un taux d’accroissement à partir de la matrice M pour connaître le devenir de la population à long terme
2.a Les espaces vectoriels
MathSV chapitre 1
Un vecteur
Addition
multiplication par un scalaire
Des espaces vectoriels
1. L’ensemble des vecteurs du plan
2. L’ensemble des réels
3. L’ensemble des nombres complexes
4. L’ensemble des polynômes
n n
,nC
nP
Un espace vectoriel
Définition :
Un ensemble d’éléments (“vecteurs”) sur lesquels on peut définir deux lois de compositions notées + (addition de deux éléments) et
X (multiplication d’un élément par un scalaire)
Vers la définition d’une base d’un espace vectoriel …
Une combinaison linéaire
Les combinaisons linéaires des vecteurs
s’écrivent
où les ai sont des scalaires
Une famille génératrice
• La famille des vecteurs , et est une famille génératrice
de IR3 car tout élément de l’espace vectoriel IR3 peut s’écrire comme une combinaison linéaire de cette famille.
• La famille des vecteurs , et est une autre famille
génératrice de IR3
(démonstration : MathSV « combinaisons linéaires, générateurs »)
1 1,0,0e
2 0,1,0e
3 0,0,1e
1 1,1,0e
2 0,1,0e
3 0,0,3e
Une famille libre
Une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E est libre si ses vecteurs sont linéairement indépendants (on ne peut pas écrire l’un d’entre eux comme une combinaison linéaire des autres).
1, , pu u
Une base
• Une famille de vecteurs d’un espace vectoriel
E est une base de E si elle est à la fois libre ET
génératrice.
• La famille des vecteurs ,
et est une base de
Base canonique
1, , pu u
1 1,0,0e
2 0,1,0e
3 0,0,1e 3
Coordonnées d’un vecteur
Si on se donne une base et un vecteuralors ce vecteur peut s’écrire de façon unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base
Les ai sont les coordonnées de ce vecteur dans cette base.
Dimension
Dimension d’un espace vectoriel = nombre de vecteurs dans chaque base
2.b Les matrices
MathSV chapitre 3
Exemples
2 3
A 4 2
1 0A : matrice de dimension (3,2)
Une matrice (n,p) est un tableau contenant des réels avec n lignes et p colonnes
12 3a 31 1aÉléments de A
1 1 2 32 4c e e eUn vecteur colonne dans la base canonique de IR3
2 1 24 2e eUn vecteur ligne dans la base canonique de IR2