Algebre de boole intro -v3

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Algèbre de Boole

Taha Zerrouki

[email protected]

Module: Codage et représentation de l'information

1ère MI S1

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Plan

• Algèbre de Boole

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Algèbre de Boole

الجبر البولياني

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L'algèbre de Boole

• L'algèbre de Boole, est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques.

قس�م� من� الرياض�يات� والمنط�ق� واللكترونيك� تهتم� بالدوال� •ذات� المتغيرات� المنط�قية

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Boole

• Elle fut initiée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole

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Définition

Soit B l'ensemble des valeurs de vérité {VRAI, FAUX}.

Noté B = {1, 0}

On définit deux lois ET et OU

et le complémentaire NON. مجموعة قيم الحقيقة {صح، خطأ} نرمز لها بBنعرف

B = {1, 0}

ف قانونين أو، و، والمتمم ل نعرف

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Conjonction الوصل

a ET b est VRAI <==> a est VRAI et b est VRAI.

Cette loi est aussi note '.'

نعرف الوصل بأن القضية "أ و ب" صحيحة إذا وفقط إذا كان أ صحيحا وب صحيحا، ونرمز له بالنقطة طة

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Conjonction الوصل

Table de vérité

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Conjonction الوصل

Représentation électrique

a b

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Conjonction الوصل

Symbole

Disjonction الفصل

a ou b est VRAI <==> a est VRAI ou b est VRAI.

Cette loi est aussi note '+'

نعرف الوصل بأن القضية "أ أو ب" صحيحة إذا وفقط إذا كان أ صحيحا أوب صحيحا، ونرمز له بـ طـ

Disjonction لفصلا

Table de vérité

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Disjonction لفصلا

Représentation électrique

a

b

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Disjonction لفصلا

Symbole

Complémentaire لمتمما

Non a est VRAI <==> a est Faux.

Cette loi est aussi note ' '

نعرف الوصل بأن القضية "ل أ " صحيحة إذا وفقط إذا كان أ ' 'خاطئا، ونرمز له بـ

Complémentaire لمتمما

Représentation électrique

a

Complémentaire لمتمما

Symbole

Exercice

Tracer la table de vérité pour l'expression

A+B.C

Exercice

A B C B'C A+B'C0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 1 0 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 1 0 1

الخواص الجبرية للعواملLes propriétés algébriques

Priorité des opérateurs

• Pour évaluer une expression logique :

()

NON

ET

OU

أولوية العوامل

Element neutre العنصر الحيادي

A + 0 = AA .1 = A

Element absorbant العنصر الماص2

A + 1 = 1A .0 = 0

Complémentarité لمتمما

0.

1

AA

AA

AA

Idempotence التماثل

A + A +A + …. +A = AA .A.....A = A

Commutativité التبديل

A + B = B + AA .B = B.A

Associativité التجميع

(A + B)+C = A + (B+C)(A .B).C = A.(B.C)

Distributivité التوزيع

A . (B+C) = A .B+ A.C(distribution de ET sur OU)

A+(B.C) = (A +B).(A+C)(distribution de OU sur ET)

Simplification تبسيط

Démontrer que A+AB = A

Simplification تبسيط

A+AB = A.1+ A.B (idempotence)

= A.(1+B) (distribution)

= A.1 (absorption) = A (el. neutre)

Simplification تبسيط

Démontrer que A+AB = A+B

Simplification تبسيط

A+AB = (A+A).(A+B) (distribution)

= 1.(A+B) (complément)

= A+B (el. neutre)

Redondance كرارت

Démontrer queAB + AC + BC = AB +AC

Redondance كرارت

AB + AC + BC =

=AB +AC +BC.(A+A) ( complément)

=AB +AC +ABC+ ABC (distribution)

=(AB +ABC) +( AC + ABC) (commutativité)

=AB(1+C) + AC(1+B) (facteur commun)

= AB.1 + AC.1

= AB + AC

5. Dualité de l’algèbre de Boole

• Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1.

• Exemple :

0 A .A 1AA

0 0 .A 11A

التقابل

Théorème de DE-MORGANE

6. Théorème de DE-MORGANE

• Le produit logique complémenté de deux variables est égale au somme logique des compléments des deux variables.

•La somme logique complémentée de deux variables est égale au produit des compléments des deux variables.

B . A B A

B A B .A

6.1 Généralisation du Théorème DE-

MORGANE à N variables

A.B .C . . .. . .=A+B+C+. .. . . .. . ..A+B+C+ .. . .. . .. . ..=A.B.C .. . .. .

متمم المجموع = جداء المتممات

متمم الجداء = مجموع المتممات

Exercice

Calculer le complément de

AB+AB

exercice

ab+ab=ab.aba+b .a+ba+b .a+b