-
U.U.D.M. Project Report 2016:40
Examensarbete i matematik, 15 hpHandledare: Anders
ÖbergExaminator: Jörgen ÖstenssonSeptember 2016
Department of MathematicsUppsala University
Algebraiskt tänkande i antik grekisk matematik
Leia Nordin och Erik Svensson
-
Inneh̊all
1 Introduktion 5
2 Vad är algebra? 72.1 Van der Waerdens definition av algebra .
. . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Vad är ett algebraiskt uttryck? . . . . . . . . . . . . .
. . . . 92.1.2 Vad innebär det att lösa ekvationer? . . . . . . .
. . . . . . . 102.1.3 Problem med definitionen . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 10
2.2 Ungurus definition av algebra . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 122.2.1 Operationell symbolism . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 122.2.2 Fokus p̊a matematiska relationer . . .
. . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Ontologiskt oberoende . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.4 Sammanfattning . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.5 Problem med
definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 18
3 Algebra i antiken 213.1 Grekisk matematik enligt Unguru . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Operationell symbolism . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 213.1.2 Fokus p̊a matematiska relationer . . . . . . . . . .
. . . . . . 243.1.3 Ontologiskt oberoende . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 263.1.4 Motsägelsebevis . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 303.1.5 Slutsats . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Grekisk matematik enligt van der Waerden . . . . . . . . . .
. . . . 343.2.1 Ekvationslösning . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 343.2.2 Lösningsmetoder . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 363.2.3 Algebraiska identiteter . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.4 Algebra i geometrisk
förklädnad . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.5 Slutsats . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Slutsats 434.1 Modern notation . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 44
Bilaga A Abstrakt algebra 47
Litteraturförtäckning 49
3
-
INNEHÅLL
Författandet bakom de olika avsnitten i uppsatsenär uppdelat
p̊a följande sätt:
Leia Nordin:
- 1 Introduktion
- 2.1 Van der Waerdens definition av algebra
- 2.3 Sammanfattning
- 3.2 Grekisk matematik enligt van der Waerden
Erik Svensson:
- 2.0 Vad är algebra?
- 2.2 Ungurus definition av algebra
- 3.1 Grekisk matematik enligt Unguru
- 4 Slutsats
- Bilaga A: Abstrakt algebra
4
-
Del 1
Introduktion
År 1950 släpper matematikern och matematikhistorikern Bartel
Leendert van derWaerden en bok, Science Awakening, som beskriver
matematikens utveckling i antiktid. Genomg̊aende i denna bok
omskrivs den antika matematiken med modernnotation och terminologi,
med motiveringen att det ökar läsbarheten utan att riskerage en
missvisande bild av orginalresonemangen. Boken talar ocks̊a om
geometriskalgebra, och menar att antik grekisk matematik byggde
till stor del p̊a algebraiskaresonemang, som de sedan översatte
till geometrisk terminologi.
I synnerhet dessa aspekter av Science Awakening blir starkt
kritiserade avhistorikern Sabetai Unguru i ett tal p̊a 14th world
conference on the history ofscience, i augusti 1974.1 Detta tal
utvecklade Unguru till en längre artikel, sompublicerades året
därp̊a (1975) i Archive for History of Exact Sciences, och
inleddeen ganska hetsk debatt i fr̊agan.
I sin artikel kritiserar Unguru hur matematikhistoria
tradiontellt skrivs, ochifr̊agasätter skarpt den vedertagna
uppfattningen att grekisk matematik var igrunden algebraisk, men
formulerades geometriskt. Han skuldbelägger inte enbartvan der
Waerden, utan nämner flera historiker (bland annat Paul
Tannery,Hyeronimus Georg Zeuthen och Otto Neugebauer), samt gör
tydligt att i principalla större namn i omr̊adet är att beskylla,
men han väljer att fokusera i synnerhetp̊a van der Waerden.2
Kärnan i meningsskiljaktigheterna mellan Unguru och van der
Waerden ligger ibegreppet geometrisk algebra. Unguru (1975, s. 77)
hävdar bestämt att begreppetär en självmotsägelse, och att det
är b̊ade en teoretisk och historisk omöjlighet. Hanpresenterar en
definition av algebra, och använder exempel fr̊an grekisk
litteraturför att illustrera hur resonemangen där skiljer sig
fr̊an algebra. Följdaktligen anser
1Unguru, 1975, s. 1142Ibid, s. 81
5
-
DEL 1. INTRODUKTION
Unguru att det är olämpligt att översätta antik matematik
till algebraisk notationoch terminologi, eftersom det blir
anakronistiskt och missvisande. Genom attöversätta d̊atidens
matematik till nutida formuleringar, menar Unguru (1975) att vitar
matematiken ur sitt historiska sammanhang och därmed tappar b̊ade
informationoch först̊aelse.3
Van der Waerden (1976) svarar Unguru med en artikel i samma
volym av journalen.I denna artikel förklarar han att han inte
utg̊ar fr̊an samma definition av algebra somUnguru, och formulerar
sin egen definition (s. 199). Van der Waerden (1976, s. 205)menar
ocks̊a att Unguru överdriver symbolernas inflytande i matematiken,
och attöversättandet till modern notation inte behöver ge en
skev bild av antik matematik.Vidare motiverar han i artikeln
varför han upplever att grekisk matematik m̊aste hautg̊att ifr̊an
ett algebraiskt tänkande, bland annat med stöd av ett antal
exempelfr̊an Elementa.
Det är inte enbart van der Waerden som väljer att ge en replik
p̊a Ungurus artikel.Hans Freudenthal (1976) och Andre Weil (1978)
skriver var sin artikel där ävende bemöter kritiken, och
försvarar uppfattningen att den grekiska matematiken
varalgebraisk. Det dröjer dock länge innan Unguru ger ett svar
(1979), och när det välkommer genererar det inga fler repliker
fr̊an hans meningsmotst̊andare.
I den här uppsatsen kommer vi försöka reda ut n̊agra av de
argument som läggsfram av Unguru och van der Waerden. Vi kommer
att granska deras respektiveinställningar till vad som är
algebra, och undersöka hur den antika grekiskamatematiken
förh̊aller sig till dessa olika synsätt. Det är v̊ar
förhoppning att dettaska ge en ökad klarhet även i fr̊agan
huruvida Unguru gör rätt i att kritiseraanvändningen av modern
notation och terminologi i matematikhistoriska texter.
3Bland annat uttrycks detta p̊a s. 86, s. 99-100 och s.
103-105
6
-
Del 2
Vad är algebra?
För att f̊a n̊agon klarhet i fr̊agan huruvida den antika
grekiska matematiken varalgebraisk är det nödvändigt att först
söka en definition av själva begreppet algebra,eller åtminstone
formulera n̊agra drag som karaktäriserar just algebraisk
matematik.I sina respektive debattinlägg berör b̊ade van der
Waerden och Unguru ämnet, ochnämner ett par kriterier för vad de
anser kan kallas algebraisk matematik, men vifinner att
definitionerna inte bara skiljer sig i synen p̊a vilka egenskaper
algebrahar, utan det blir tydligt att de försöker definiera tv̊a
fundamentalt olika koncept.Innan vi undersöker deras respektive
definitioner bör vi därför reflektera över vaddet egentligen
är vi försöker definiera.
Vad innebär det att definiera algebra?
När vi talar om att definiera algebra s̊a rör det sig inte om
att konstruera ett nyttkoncept, utan att formulera ett redan
befintligt koncept. Med andra ord förutsättervi att vi redan har
n̊agon slags intern, men oformulerad, uppfattning av vad
ordetalgebra betyder, samt en intuitiv förm̊aga att (möjligen
inkonsekvent och osäkert)klassificera matematiska resonemang som
antingen algebraiska eller icke-algebraiska.En s̊adan uppfattning
kan till exempel uppst̊a hos oss, om vi under v̊art liv f̊arvissa
matematiska företeelser utpekade som algebraiska, och omedvetet
uppfattarett mönster. Tids nog lär vi oss d̊a att klassificera
även nya företeelser, beroendep̊a om vi uppfattar att de passar i
det mönstret. Utan att n̊agonsin ha kommit ikontakt med, eller
försökt formulera, en definition, har vi d̊a utvecklat en känsla
förvad begreppet betyder.
Formulerandet av en definition är ett försök att bestämma
och beskriva deegenskaper som vi omedvetet söker efter när vi
klassificerar n̊agot som algebraiskteller inte. Syftet med att
formulera en definition kan vara att förmedla v̊ar
intuitivauppfattning till andra som eventuellt har en annan (eller
ingen) uppfattning, och
7
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
därmed undvika kommunikationsproblem. Ett annat syfte kan vara
att studera denintuitiva uppfattningen för att göra den
tydligare.
När Unguru och van der Waerden skriver om ämnet har de tydligt
tv̊a mycket olikauppfattningar, som de försöker konkretisera och
formulera i en definition. Vi kommerse att van der Waerden ser
algebra som ett specifikt omr̊ade inom matematiken,som
kännetecknas av vilka problem som löses och vilka metoder som
används. Vikommer även se att för Unguru s̊a representerar
begreppet algebra snarare ett sättatt se p̊a matematik, som
kännetecknar ett relativt modernt stadium i
matematikensutveckling.
Detta innebär att van der Waerden driver sin tes i huvudsak
genom att peka p̊alikheter i problemformuleringar och metoder,
medan Unguru istället argumenterargenom att p̊avisa skillnader
mellan antik matematik och det som l̊angt senareutvecklades ur den.
Även om Ungurus definition uppfylls i synnerhet av denmatematik
som till exempel skulle ing̊a i en modern algebrakurs p̊a
universitetsniv̊a,jämfört med andra matematiska grenar, s̊a är
det inte i första hand dengränsdragningen som är syftet.
Hur bedömmer vi hur lyckad en definition är?
Ifall vi formulerar en definition av algebra, s̊a ser vi den som
misslyckad ifall den inteöverensstämmer med v̊ar intuitiva
begreppsuppfattning. Ifall vi intuitivt uppfattaratt ett visst
matematiskt omr̊ade är algebraiskt, men finner att det änd̊a
inteuppfyller v̊ara de definierande egenskaper vi formulerat, d̊a
är v̊ar definition inte enbra modell för det intuitiva konceptet.
P̊a samma sätt är v̊ar definition misslyckadifall s̊adant vi
uppfattar som oalgebraiskt änd̊a uppfyller definitionen.
2.1 Van der Waerdens definition av algebra
I sin bok Science Awakening (1975), som Unguru riktar sin kritik
emot, menarvan der Waerden att algebra återfinns i bland annat
antik grekisk och babyloniskmatematik, men gör ingen ansats att
riktigt beskriva vad han menar med begreppet.Det är först i sitt
svar till Unguru som han formulerar en definition:
[Algebra is] the art of handling algebraic expressions like (a+
b)2 and ofsolving equations like x2 + ax = b.1
1van der Waerden, 1976, s. 199
8
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
Han motiverar denna definition med att det är vad begreppet har
betytt historiskt,när det använts av al-Khwarizmi och Cardano,
samt att det överensstämmer meddagens skolalgebra.2
2.1.1 Vad är ett algebraiskt uttryck?
För att först̊a van der Waerdens definition m̊aste vi f̊a
klarhet i vad de begrepp hananvänder betyder. D̊a han inte själv
g̊ar in p̊a n̊agon närmare förklaring, f̊ar vi letap̊a annat
h̊all. Ordboken Dictionary of Science and Technology definierar
algebraicexpression p̊a följande sätt:
”. . . an expression formed by performing a finite number of
algebraicoperations (addition, subtraction, multiplication,
division, and raising toa rational power) on formal symbols.”3
Enligt van der Waerden krävs det dock inte n̊agra formella
symboler för attmatematik ska vara algebraiskt, utan han tycks
mena att det är inneh̊allet somär avgörande. Även om ett
uttryck eller en ekvation beskrivs i naturligt spr̊ak, utann̊agra
som helst symboler, s̊a verkar han mena att de kan vara algebraiska
till sinnatur. Till exempel menar van der Waerden (1975, s. 119)
att det inte behöver varan̊agon skillnad p̊a att skriva ”kvadraten
med sidan a” och a2. P̊a samma sätt anserhan att modern symbolism
inte är n̊agot väsentligt olikt de geometriska diagramsom han
menar att grekerna istället använde för att illustrera
algebraiska begreppoch p̊ast̊aenden.
Ett lätt modifierad definition av begreppet l̊ater vi därför
vara att ett algebraisktuttryck är n̊agot vi kan forma fr̊an
kända eller okända storheter med hjälp avelementära
operationer.
Att hantera algebraiska uttryck f̊ar vi förmoda innebär att
manipulera dem enligtvissa till̊atna regler. Exakt vilka regler som
till̊ats f̊ar dock skilja sig fr̊an modernmatematik och grekisk,
eftersom den moderna matematiken till̊ater uttryck som inteär
väldefinierade i grekisk matematik. Till exempel är uttrycket a4
helt naturligt medmodern algebra, men representerar ett omöjligt,
fyrdimensionellt objekt för den somförsöker tolka det
geometriskt. Det är inte heller uppenbart vad x2 + 2 betyder,
ifallvi tolkar det som summan av en kvadrat och ett
linjesegment.
2Ibid, s. 1993Morris, 1992a
9
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
2.1.2 Vad innebär det att lösa ekvationer?
Enligt samma ordbok som tidigare definieras begreppet ekvation
som ”amathematical statement of equality between two
expressions”.4
I van der Waerdens definition talar han om ekvationer som x2 +
ax = b, men det äroklart exakt vilka klasser av ekvationer som han
avser. Nästan uteslutande talar handock senare om linjära och
kvadratiska ekvationer, s̊a vi f̊ar anta att det åtminstonei
första hand är s̊adana han menar.
Ifall vi tolkar van der Waerdens definition ordagrant, s̊a
verkar det som attlösningsmetoden inte alls p̊averkar ifall
ekvationslösning är algebraiskt. S̊a länge vilyckas bestämma
värdet p̊a de okända storheter som förekommer i ekvationen, s̊a
ärdet algebra även om vi finner det genom att göra ett stort
antal gissningar, eller omvi använder rent numeriska metoder,
vilket antagligen m̊anga skulle invända emot.När van der Waerden
senare i samma artikel avhandlar fr̊agan om babylonierna
löstealgebraiska problem, s̊a är han dock noga med att p̊avisa
att deras metod var sammasom den vi använder idag.5 Vi förmodar
därför att han ser tillvägag̊angssättet sommer relevant än vad
han explicit formulerat, och att det är just likheten med
modernalösningsmetoder som f̊ar honom att kalla den grekiska
matematiken algebraisk.
Exakt vad som är en algebraisk lösningsmetod kan dock vara
sv̊art att avgöra. Vadär det som gör att vi tvekar att kalla
till exempel rent numeriska metoder, eller renagissningar, för
algebra? N̊agot som kan ses som en väsentlig skillnad är att
dessaenbart evaluerar olika värden p̊a okända, men l̊ater
ekvationen st̊a orörd, till skillnadfr̊an andra
tillvägag̊angssätt, där ekvationen skrivs om och
manipuleras.
Vi förmodar att det är den typen av manipulation som
kännetecknar en algebraisklösningsmetod även i van der Waerdens
ögon, dels eftersom det är vad som lärs ut iskolan (vilket van
der Waerden (1976) vid flera tillfällen tar upp som
betydelsefullt6,och dels för att det passar det exempel han
använder för att p̊avisa att babyloniskalgebra uppfyller hans
definition.
2.1.3 Problem med definitionen
Ett problem med den definition som van der Waerden uttrycker är
att den är väldigtospecifik, vilket är anledningen till att vi
tvingats göra n̊agra kvalificerade gissningarkring vad han mer
exakt menar, baserat p̊a hans resonemang och st̊andpunkter.
4Morris, 1992b5van der Waerden, 1976, s. 200-2016t.ex. p̊a s.
199 och 201
10
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
Det verkar inte vara meningen att definitionen han anger ska
tolkas särskiltstrikt. Hans argumentation som helhet gör det
tydligt att algebra, enligt honom,inte behöver behandla explicita
ekvationer eller algebraiska uttryck, i ordagrannbemärkelse, s̊a
länge de resonemang som förs är väsentligen lika hur vi skulle
lösaproblemen genom till exempel symbolisk manipulation.
P̊a det stora hela verkar van der Waerden inte ha ambitionen att
formulera ennoggrann definition, utan vilar sin argumentation p̊a
förutsättningen att konceptetredan är känt för oss som
läsare. Vi föranleds att tro detta när han i ScienceAwakening
inte gör n̊agon ansats att definiera algebra. När han sedan, i
replik tillUnguru (som uppenbart inte delar hans uppfattning), gör
en ansats att specificeravad han menar, s̊a undviker han att
formulera en noggrann definition, utanförtydligar mest att han
menar algebra i den bemärkelse vi lär oss i skolan, tillsynes
utan att ifr̊agasätta ifall det finns en tydlig och gemensam
uppfattning av vaddet i sin tur innebär.
När van der Waerden (1976, s. 203) redogör för varför han
menar att antikamatematiker hade ett i grunden algebraiskt
tankesätt s̊a argumenterar han att deåtminstone delvis tänkte i
algebraiska termer, och att de förde resonemang somväsentligen
liknar de vi för idag, men att de valde att använda en
geometrisknotation. Det finns åtminstone tv̊a problem med detta:
För det första är det sv̊art attavgöra vilka tankeg̊angar som
ligger bakom en text som uttrycker n̊agot annat, ochför det andra
s̊a är det oklart och subjektivt vad som gör tv̊a resonemang
väsentligenlika.
Ett eventuellt ytterligare problem med van der Waerdens
definition är att denriskerar att vara s̊a inkluderande att
begreppet algebra blir meningslöst att talaom. S̊asom han
formulerar definitionen, och argumenterar kring den, s̊a är det
sv̊artatt hävda att den inte inkluderar i princip all modern
matematik. Det är i sig inteorimligt att mena att väsentligen all
matematik idag genomsyras av ett algebraiskttankesätt, men
eftersom van der Waerden även menar att mer eller mindre all
antikmatematik var algebraisk, s̊a kan det finnas anledning för
honom att söka en n̊agotsnävare definition.
Slutligen saknar van der Waerdens definition en
tillfredsställande koppling till denmatematiska gren som idag
kallas algebra (eller abstrakt algebra). Det finns inget
idefinitionen som ger just den delen av matematiken en
särställning gentemot andramoderna grenar. Det är heller inte
orimligt att tolka hans definition p̊a ett sättsom rentav
exkluderar abstrakt algebra7. Det vore önskvärt att en definition
avbegreppet algebra lyckas sammanlänka det vi kallar skolalgebra
och algebra p̊a enhögre niv̊a, p̊a ett sätt som ger klarhet i
varför de delar namn.
7Se Bilaga A för exempel.
11
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
2.2 Ungurus definition av algebra
N̊agra år innan Unguru skriver sin artikel i ämnet s̊a
publicerar historikern Michael S.Mahoney en uppsats, Die Anfänge
der algebraischen Denkweise im 17. Jahrhundert(1971), som avhandlar
algebrans framväxt under 1600-talet och kontrasterar det
nyatankesättet med den grekiska geometrin.
För att försöka karaktärisera algebraiskt tänkande
hänvisar Unguru till endefinition fr̊an Mahoneys uppsats, som
listar tre kännetecknande egenskaper. Ungurusammanfattar dessa som
följer:
1. Operational symbolism;
2. The preoccupation with mathematical relations rather than
with mat-hematical objects, which relation determine the structures
constitutingthe subject-matter of modern algebra. The algebraic
mode of thinking isbased, then, on relational rather than on
predicate logic;
3. Freedom from any ontological questions and commitments
and,connected with this, abstractness rather than
intuitiveness.8
Vi kommer framöver att studera dessa tre egenskaper dels var
för sig, och dels hurde hör ihop med varandra.
2.2.1 Operationell symbolism
Mahoney menar att operationell symbolism är en speciell sorts
symbolism, därsymbolerna är mer än enbart etiketter p̊a
matematiska objekt:
[T]his mode of thought is characterized by the use of an
operativesymbolism, that is, a symbolism that not only abbreviates
words butrepresents the workings of the combinatory operations, or,
in other words,a symbolism with which one operates.9
Den enklaste typen av symbolism, att till exempel kalla ett
givet linjesegment förA, utgörs i grund och botten bara av
spr̊aklig förkortningar, och det underlättarsannolikt den
matematiska kommunikationen, men det p̊averkar i sig självt
intev̊art tankesätt i en betydande omfattning. När vi behandlar A
är det just v̊art givnalinjesegmentet som behandlas, inte ett
generiskt och helt abstrakt linjesegment,
8Unguru, 1975, s. 779Mahoney, 1971
12
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
och än mindre symbolen A i sig. Denna typen av symbolism kallar
vi därför icke-operationell.
Vi kontrasterar detta mot ett modernare tankesätt, till exempel
när vi löser enmycket enkel andragradsekvation:
x2 = 5
Som modern matematiker löser vi detta utan eftertanke genom att
dra kvadratrotenur b̊ada leden och erh̊alla lösningen x = ±
√5. När vi läser x2 s̊a föreställer vi oss
inte ett tal multiplicerat med sig självt (än mindre att det
är arean av en kvadratmed sidan x), utan vad vi ser är att den
relevanta symbolen x är manipulerad p̊aett visst sätt, och vi
tillämpar därför en cancellerande operation. Det känns
inteorimligt att p̊ast̊a att vi snarare opererar p̊a exponenten än
p̊a talet x2.
I modern ekvationslösning, där v̊ar symbolism är
operationell, betraktar viekvationen inte bara som en effektiv
notation av ett matematiskt p̊ast̊aende, utansom ett matematiskt
system i sin egen rätt, där vi manipulerar symbolerna enligtvissa
typografiska regler, för att förvandla ett uttryck till ett
annat. Fokuset liggerinte p̊a de objekt eller storheter som
symbolerna representerar, utan snarare deoperationer som de är
associerade med i v̊ara symboliska uttryck.
Mahoney (1971) nämner modern integralkalkyl som ett exempel p̊a
hur v̊ar modernasymbolism är operationell. Vid lösandet av en
integral reflekterar vi ofta ganska liteöver hur den funktion vi
integrerar ser ut grafiskt, utan vi intresserar oss mest för
hurdet uttrycks symboliskt, och tillämpar sedan lämpliga regler.
Vi manipulerar allts̊ainte det som symbolerna representerar (även
om det i n̊agon mening sker bakomkulisserna), utan vi manipulerar
symbolerna i sig.
2.2.2 Fokus p̊a matematiska relationer
Enligt Mahoney s̊a kännetecknas ett algebrasikt tankesätt av
att det lägger ett störrefokus p̊a relationer mellan matematiska
objekt än p̊a objekten själva:
[P]recisely because of the central role of combinatory
operations, thealgebraic mode of thought deals with mathematical
relations rather thanobjects. Even when certain relations become
themselves objects, say theset of group morphisms, one seeks the
relations that link these newobjects. The subject of modern algebra
is the structures defined byrelations, and thereby one may note as
a corollary that the algebraic
13
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
mode of thought rests more on a logic of relations than on a
logic ofpredicates.10
Ekvationsbegreppet, som i grunden handlar just om relationen
mellan olikastorheter, tycks vara n̊agot som Mahoney ser som en
kritisk del av algebransframväxt. Utöver att ekvationer i sig är
relationer s̊a återfinns även det synsättetäven i matematiken
kring dem, menar han: Hur vi studerar och löser ekvationernabygger
p̊a att se relationen mellan ekvationer och deras lösningar, samt
hur olikaekvationers lösningar st̊ar i relation till
varandra11.
Även funktionsbegreppet behandlar just hur variabler st̊ar i
relation till varandra,och är liksom ekvationer en central del av
det moderna och algebraiska tankesätteti matematik.
Mahoney menar att ekvationsteorins framväxt innebar, eller
åtminstone kännetecknar,ett skifte i det matematiska
tankesättet, som bland annat tog sig form i att rela-tionell logik
började ta större plats än predikatlogik. Detta algebraiska
särdrag ärintressant, eftersom det blir en slags skiljelinje inte
bara mellan modern matematikoch grekisk, utan ocks̊a mellan olika
grenar av modern matematik.
Den matematiska gren som vi idag kallar algebra (eller abstrakt
algebra)kännetecknas av att den ser förbi de matematiska objekt
som behandlas, och iställetstuderar deras strukturer12. En modern
algebraiker arbetar med att abstrahera ochgeneralisera till den
grad att enbart objektens inbördes relationer återst̊ar, i formav
vad vi kallar algebraiska strukturer. Vidare studeras hur dessa
strukturer st̊ari relation till varandra, inte minst inom
kategoriteori, som Mahoney nämner somtypexempel13.
Detta fokus p̊a relationer är mindre centralt i analysen, där
predikatlogik istället tarmer plats. Ett särskilt tydligt exempel
p̊a detta kan vara epsilon-delta-definitionenav gränsvärden.
Vare sig historiskt eller idag behöver det dock vara s̊a att
det finns n̊agra skarpagränser att dra, utan snarare handlar det
om att bedömma vart fokuset i huvudsakligger. Studerandet av
relationer är knappast n̊agot som är förbeh̊allet den
abstraktaalgebran, utan är n̊agot som förekommer i tämligen stor
utsträckning inom allamatematiska grenar.
10Mahoney, 197111Ibid12Se Bilaga A för exempel.13Ibid
14
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
2.2.3 Ontologiskt oberoende
Den tredje karaktäriserande egenskapen för algebraiskt
tänkande, som Mahoneylistar, är att matematiken inte ska vara
bunden till att korrekt representera denfysiska världen, eller att
överensstämma med n̊agon mänsklig inuition:
[T]he algebraic mode of thought is free of ontological
commitment.Existence depends on consistent definition within a
given axiom system,and mutually compatible mathematical structures
live in peaceful co-existence within mathematics as a whole. In
particular, this mode ofthought is free of the intuitive ontology
of the physical world. Conceptslike ”space”, ”dimension”, and even
”number” are understood in a purelymathematical sense, without
reference to their physical interpretation. Inthis respect, the
algebraic mode of thought can be characterized as anabstract mode
of thought, in contrast to an intuitive one.14
För att matematiken ska vara fullt algebraisk, enligt Mahoney,
krävs det att denendast begränsas av sina egna uppsatta
axiomsystem. De slutsatser vi n̊ar ska inteavfärdas för att de
strider mot v̊ar uppfattning av den fysiska världen, mot
v̊arintuition, eller ens mot andra delar av matematiken. Dessutom
ska objekten inteha n̊agra egenskaper utöver de som formellt
definieras, och kan därmed inte krävan̊agon intuitiv
tolkning.
Vilka objekt vi behandlar i modern matematik, liksom de sätt vi
opererar p̊a dem,är till stor del frikopplat fr̊an s̊aväl
intuition som världslig fysik. I stor omfattningarbetar den
moderna matematikern med helt abstrakta objekt, som är sv̊ara
(ellerrentav omöjliga) att ge en fysikalisk eller intuitiv
tolkning.
Inom modern matematik syns detta kanske tydligast i den
abstrakta algebran.Istället för att studera exempelvis heltal,
som rotar sig i en intuitiv uppfattning avstorheter, s̊a studerar
vi n̊agon väl vald algebraisk struktur, som är mer generell
ochfullständigt abstrakt. Allt vi bevisar som en konsekvens av
strukturens axiom gällerd̊a inte bara för heltalen, och de
tillhörande heltalsoperationer, utan för allt somuppfyller
axiomen. Att vi inte arbetar med n̊agon given klass av objekt,
eller n̊agraspecifika operationer, utan bara studerar de logiska
konsekvenserna av axiomen,garanterar oss precis den ontologiska
frihet som Mahoney beskriver.
Abstrakta tal
Den operationella symbolism som kännetecknar modernt
matematiskt tänkande kanförmodas vara en bidragande faktor till
att matematiken utvecklats till att behandlaallt mer abstrakta
koncept.
14Mahoney, 1971
15
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
Historiskt ser vi att skiftet till en mer operationell symbolism
sammanföll meden förändrad syn p̊a tal, där till exempel
negativa tal fick en allt mer accepteradroll i matematiken, för
att till slut bli helt oumbärliga. Negativa tal är inteett helt
främmande koncept i tidigare matematik. Diofantos talar om
ekvationermed negativa lösningar, och kallar dem absurda15, och
f̊ar medh̊all fr̊an åtskilliganamnstora matematiker, ända inp̊a
1600-talet16.
Negativa tal, s̊asom vi ser p̊a dem idag, existerar för att de
uppfyller en roll i densymboliska algebran. De naturliga talen
svarar mot det intuitiva konceptet antal, ochreella tal svarar mot
en inuition kring kontinuerliga storheter (till exempel
längder),medan negativa tal inte är n̊agot vi lika enkelt kan
föreställa oss, utan de är enabstrakt konstruktion där –x helt
enkelt är det tal som uppfyller att skillnaden upptill 0 är x.
Ett negativt tal är allts̊a i n̊agon mening inte en storhet, utan
ett konceptsom definieras av den roll den fyller i ett symboliskt
uttryck.
Det g̊ar visserligen att argumentera att negativa tal inte helt
saknar intuitivatolkningar. De kan till exempel betraktas som
penningskulder, eller som m̊att p̊aavsaknaden av n̊agon storhet,
men de befinner sig även d̊a åtminstone p̊a gränslandettill det
abstrakta. Dessutom är det sv̊art att med dessa tolkningar
motivera vissa avderas symboliska egenskaper, som att produkten av
tv̊a negativa tal är positiv.
I fallet med de imaginära talen är deras rent abstrakta natur
klart tydligare. Desvarar inte mot n̊agra intuitiva storheter, och
är väsentligen omöjliga att beskrivaannat än genom att hänvisa
till deras egenskaper i symboliska uttryck. För den somaldrig har
kommit i kontakt med v̊ar operationella symbolism, s̊a är det
sannoliktinte bara sv̊art att beskriva och motivera de imaginära
talen, utan även sv̊art attförklara vad det alls innebär att
uppfinna nya tal.
När roten ur negativa tal dök upp i ekvationer avfärdades
dessa ekvationer somabsurda och meningslösa17, inte s̊a olikt hur
de negativa talen bemöttes, men medtiden blev deras potentiella
användbarhet tydligare, varp̊a de accepterades, trotsavsaknaden av
en intuitiv tolkning.
Att p̊a detta sätt acceptera och utforska tal som saknar
intuitiv eller fysikalisktolkning är ett tydligt exempel p̊a den
ontologiska frihet som Mahoney menarkännetecknar algebran. Deras
matematiska existensberättigande villkoras enbartav huruvida de
är logiskt konsistenta och ifall de p̊a n̊agot vis är användbara
ochintressanta.
15Heath, 1921, s. 46216Enligt Martinez (2006, s.20 och s.21) s̊a
kallades de absurda av exempelvis Nicholas Chunquet
och Michael Stifel, och även Blaise Pascal och Antoine Arnauld
betraktar dem som orimliga.17Martinez (2006, s. 22) beskriver hur
exempelvis Descartes avfärdade kvadratroten av negativa
tal och kallade dem imaginära.
16
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
2.2.4 Sammanfattning
Unguru sammanfattar kort innebörden av Mahoneys definition som
följer:
[The algebraic way of reasoning] is completely abstract, free
fromdependency on perceptional, spatial considerations, it is
manipulative, theentities it manipulates are themselves completely
abstract, mere signs, itis analytical, functional, it possesses a
universality of application missingin geometrical reasoning, and it
is, at least to a certain extent, mechanicalin the rules of
manipulation of its symbols.18
Inte bara i detta citat, utan genomg̊aende i hans artikel, blir
det tydligt att kärnani Ungurus syn p̊a algebraiskt tänkande är
abstraktion. Algebraiska resonemang skainte hjälpas nämnvärt av
v̊ar intuition, och inte heller begränsas av den, utan
barabehandla abstrakta konstruktioner och koncept. De objekt som
behandlas, och deoperationer som utförs p̊a dem, ska inte
tolkas.
Detta leder bland annat till att algebran blir universellt
tillämpbar, menar Unguru.Dess symboler är inte l̊asta till en
given betydelse, utan kan representera mer ellermindre vad som
helst. Symbolen för multiplikation kan vid ena stunden
representeramultiplikation av reella tal, men i ett annat
sammanhang kan de representeramatrismultiplikation eller
komposition av tv̊a permutationer, och det faktum attdetta inte
gör n̊agon avgörande skillnad innebär dessutom att resultaten
gäller föralla dessa tolkningar samtidigt.
Det är viktigt att notera att Mahoneys definition, liksom hans
och Ungurusresonemang i helhet, inte gör anspr̊ak p̊a att kunna
dra en skarp skiljelinje mellanalgebraiska och icke-algebraiska
tankesätt. De tre algebraiska egenskaper Mahoneynämner är alla
mer eller mindre vaga, och beskriver tendenser snarare än
exakakriterier. Det är inte orimligt att vänta sig att
väsentligen all matematik i historienkommer uppfylla definitionen
i n̊agon m̊an.
En annan försv̊arande faktor är att definitionen till stor del
handlar om dematematiska tankeg̊angarna och synsättet p̊a
matematik. Vad som till exempelutmärker just en operationell
symbolism, och gör den till n̊agot mer än bara eneffektivare
notation, ligger mer i hur användaren tänker än i själva
metodernasom används. Definitionen kommer s̊aledes inte l̊ata oss
med full säkerhet avgörahuruvida den klassificerar grekisk
matematik som algebraisk, utan vi f̊ar nöja ossmed att undersöka
vilka algebraiska drag som återfinns där, och göra en
bedömningav hurpass starka de dragen är.
18Unguru, 1975, s. 77
17
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
2.2.5 Problem med definitionen
Att Unguru väljer att utg̊a ifr̊an Mahoneys definition av
algebraiskt tänkande äri sammanhanget inte helt oproblematiskt.
Mahoney (1971) försöker i sin uppsatsbeskriva en förändring som
matematiken genomgick under främst 1600-talet iEuropa, vilket han
själv uttrycker som överg̊angen fr̊an ett geometriskt till
ettalgebraiskt tankesätt. Hans definition är just ett försök
att formulera vad somsärskiljer det senare tankesättet, och är
allts̊a konstruerad med det explicita syftetatt utesluta grekisk
matematik.
Detta innebär dock inte att det är helt fruktlöst att
undersöka fr̊agan huruvidagrekisk matematik var algebraisk enligt
denna definition, eftersom det kan varas̊a att Mahoney missbedömt
den grekiska matematiken och överskattat i vilkenm̊an matematiken
faktiskt genomgick en betydande förändring under den
givnatidsperioden. Dessutom kan det oavsett ge en ökad
först̊aelse för hur skillnadernaser ut och hur omfattande de
är.
2.3 Sammanfattning
Det är tydligt att van der Waerden och Unguru försöker
formulera en definition förtv̊a olika koncept. När Unguru talar
om algebra s̊a åsyftar han ett tankesätt, somenligt honom
kännetecknar ett stadium i matematikens utveckling:
There is (broadly speaking) in the historical development of
mathematicsan arithmetical stage (Egyptian and Babylonian
mathematics) in whichthe reasoning is largely that of elementary
arithmetic or based onempirically paradigmatic rules derived from
successful trials takenas a prototype, a geometrical stage,
exemplified by and culminatingin classical Greek mathematics,
characterized by rigorous deductivereasoning presented in the form
of the postulatory-deductive method,and an algebraic stage, the
first traces of which could be found inDIOPHANTOS’ Arithmetic and
in AL-KHWARIZMI’S Hisab al-jabrw’al muqàbalah, but which did not
reach the beginning of its fullpotentiality of development before
the sixteenth century in WesternEurope;19
För van der Waerden däremot s̊a är algebraiskt tänkande
n̊agot som återfinnsi s̊aväl antik som modern matematik, och
kännetecknas av ekvationslösning ochmanipulation av matematiska
uttryck. Uttrycken och ekvationerna behöver inte
19Unguru, 1975, s. 78
18
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
formuleras symboliskt, utan det kan även röra sig om retoriska
resonemang, ifallde trivialt kan översättas till symbolisk
notation.
Betydelsen av denna skillnad bör kanske inte överdrivas dock.
De tv̊a definitionernabeskriver olika koncept, men de argument som
framförs i de olika texterna undersökeränd̊a samma fr̊aga,
nämligen i vilken grad antik matematik (framför allt
grekisk)liknar den moderna matematiken. Unguru har valt att
definiera algebra p̊a ett sättsom särskiljer dessa tv̊a
matematikhistoriska epoker (och van der Waerden h̊allermed om att
antik matematik var oalgebraisk, givet den definitionen20), och van
derWaerden har valt en definition som belyser likheterna.
Att enbart tala om hur väl de tv̊a definitionerna uppfylls av
antik grekisk matematik,vore att missa den huvudsakliga
meningsskiljaktigheten mellan van der Waerdenoch Unguru, som
handlar om just vilka likheter och olikheter som finns mellanmodern
och antik matematik, och i vilken m̊an Unguru gör rätt i att
kritiseraanvändandet av modern notation och terminologi för att
beskriva antika resonemangoch problemformuleringar.
20van der Waerden, 1976, s. 199
19
-
DEL 2. VAD ÄR ALGEBRA?
20
-
Del 3
Algebra i antiken
Det finns för m̊anga matematiska verk fr̊an det antika grekland
för att kunnaundersöka samtliga, s̊a vi kommer inte kunna uttala
oss med säkerhet rörandeförekomsten av algebraiskt tänkande i
den grekiska matematiken som helhet. Vikommer därför inrikta oss
p̊a endast Elementa, eftersom det är det verk som Unguruoch van
der Waerden talar i särklass mest om, och betrakta dess inneh̊all
som mereller mindre representativt för den antika grekiska
matematiken.
3.1 Grekisk matematik enligt Unguru
För att avgöra i vilken utsträckning den antika grekiska
matematiken uppfyllerMahoneys definition av algebra, undersöker vi
inledningsvis hur den förh̊aller sigtill definitionens tre
best̊andsdelar var för sig.
3.1.1 Operationell symbolism
Enligt Mahoney själv s̊a har grekerna knappt n̊agon symbolism,
än mindre enoperationell symbolism:
Greek mathematics almost completely lacked any symbolism, much
lessan operative symbolism. Even in the works of Diophantus one
finds onlya series of abbreviations for the purpose of saving
words.1
1Mahoney, 1971
21
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
Unguru uttrycker väsentligen samma åsikt (fast anser att det
finns tidiga sp̊ar avalgebra i Diofantos verk2), men ingen av dem
ger n̊agon närmare motivering (vilketmöjligen kan ursäktas av
att det ligger i sakens natur att det är sv̊art att ge beläggför
avsaknad av n̊agonting).
Det är oklart vad Mahoney menar när han säger att det knappt
finns n̊agontyp av symbolism i grekisk matematik. Bokstäver
användes genomg̊aende för attrepresentera matematiska objekt av
olika slag. Redan i den första propositioneni Elementa använder
Euklides bokstäver som namn för givna punkter3, ochgenomg̊aende
används sammansättningar av namn p̊a punkter för att
representerasträckor, trianglar och cirklar. Även ospecifierade
tal betecknas konsekvent medbokstäver, vilket är en symbolism som
möjliggör formulerandet av allmängiltigap̊ast̊aenden.
Däremot finns det inte mycket annan symbolism. Inga operationer
har n̊agrasymboler, ej eller likhet eller n̊agra andra relationer.
Proportioner mellan tal harinte heller n̊agon symbolisk notation.
Alla resonemang, liksom alla problem, beskrivsretoriskt.
För att den symbolism som faktiskt finns ska betraktas som
operationell krävs detatt manipulerandet av den ska ske p̊a
symbolniv̊a, inte p̊a geometrisk niv̊a. Medandra ord, de
operationer vi utför ska inte betrakas som operationer p̊a
objekten,utan p̊a deras symboler. Ifall vi exempelvis bildar en
rektangel med sidorna A ochB, d̊a ska vi inte tolka resultatet som
en rektangel, utan som en representation avsjälva operationen. I
n̊agon mening ska det resulterande uttrycket beskriva
självarektangelbildandet av A och B, snarare än det geometriska
resultatet (motsvarandehur den moderna notationen A · B
representerar den multiplikation som utförts,snarare än ett eget
tal).
I Elementa ser vi sällan n̊agra nämnvärda sp̊ar av denna
egenskap. När Euklidestill exempel multiplicerar tv̊a tal A och B,
s̊a inför han istället ett nytt tal C, ochbeskriver det som ”det
tal som produceras av A och B”4. Det nya talet är inteprodukten av
A och B, och betecknas inte som en produkt av dessa, utan är
dettal som är lika med produkten av A och B. När C har införts
s̊a beskrivs vilkaegenskaper det följdaktigen har, och dess
förh̊allande till andra objekt, men av alltatt döma ses det som
ett helt eget tal, snarare än ett uttryck som beror p̊a
andratal.
Det tycks vanligare för geometriska figurer än för tal att de
operationer som utförsinte bildar nya objekt, med egna namn.
Proposition II.7 är ett bra exempel p̊a detta:
2Unguru, 1975, s. 783Heath, 1908a, s. 241-2424Exempel p̊a detta
finns i Proposition VII.16 och VII.24. Heath (1908b, s. 316 och s.
326)
kommenterar detta ur översättningssynpunkt.
22
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
If a straight line be cut at random, the square on the whole and
thaton one of the segments both together are equal to twice the
rectanglecontained by the whole and the said segment and the square
on theremaining segment.5
Euklides börjar beviset med att specifiera linjen och
punkten:
For let a straight line AB be cut at random at the point C; I
say that thesquares on AB, BC are equal to twice the rectangle
contained by AB, BCand the square on CA.6
P̊ast̊aendet best̊ar av en likhet mellan tv̊a storheter. Den
första storheten uttryckssom en summa av sina tv̊a best̊andsdelar,
och dessa tv̊a best̊andsdelar är kvadrater,som även de uttrycks i
termer av vad som bildat dem. Den andra storheten uttryckssom
summan av en rektangel (uttryckt i termer av vad den konstuerats
utifr̊an) ochkvadraten som bildas av ett specifikt
linjesegment.
Vi har med andra ord ett antal atomära termer (AB, BC och CA),
och p̊ast̊aendetuttrycker likhet mellan tv̊a sätt att operera p̊a
dem. Undantaget att AB hade kunnatskrivas som summan av AC och BC,
och därför inte är helt atomär, s̊a visar uttryckende
bakomliggande operationerna.
Detta gäller i variande grad genom hela beviset. Rektangeln som
bildas av AB ochBC benäms vid flera tillfällen just i termer av
sina best̊andsdelar, trots att den enkeltkunde ges ett eget namn i
diagrammet.
Det finns däremot andra exempel i beviset p̊a det motsatta,
där till exempelsammansättning av tv̊a rektanglar ges ett eget
namn, som döljer hur den formats.
Med andra ord finns det sp̊ar av n̊agot som kan liknas vid en
operationell symbolism,fast p̊a retorisk form, men det sker inte
konsekvent.
Slutsats
Det r̊ader inget tvivel om att grekisk matematik hade en mycket
begränsadsymbolism, som väsentligen bara namngav objekt av olika
slag, men inget annat. Attden skulle ha n̊agon renodlad
operationell symbolism kan vi därmed direkt utesluta.
5Heath, 1908a, s. 3886Ibid, s. 388
23
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
Vi fr̊agar oss därför istället hur viktiga just symbolerna
är.7 Syftet med Mahoneysdefinition av algebra tycks vara att
beskriva ett visst tankesätt, s̊a just symbolernabehöver inte
vara det centrala, utan viktigare är p̊a vilket sätt de f̊ar
användarenatt betrakta och angripa matematiken annorlunda. Ifall
samma effekt skulle kunnauppn̊as med retorisk matematik, utan
formella symboler, s̊a kan det rimligen sägasvara tillräckligt
för att den matematiken ska ses som algebraisk (eller åtminstone
hastarka algebraiska drag).
Det som enligt Mahoney och Unguru är effekten av en
operationell symbolism är attde matematiska objekt som behandlas
hamnar i skymundan, och istället manipulerarvi p̊ast̊aenden om dem
utan att tolka vad dessa manipulationer innebär för objekten,och
utan att tolka resultaten som egna objekt. Just avsaknaden av
tolkning ärcentralt, och gör att vi stannar helt i ett abstrakt
system.
Även om det förekommer att Euklides bildar uttryck där
själva formen beskriverde operationer som utförts för att n̊a
dit, s̊a finns det inget mycket som tyder p̊aatt han därför
tolkade dem i mindre omfattning. Den grekiska matematiken
arbetartveklöst med ständig tolkning av s̊aväl objekten som de
operationer som utförs p̊adem, vilket inte minst syns i de
geometriska diagram som är ständigt närvarandeför att
illustrera vad som sker.
3.1.2 Fokus p̊a matematiska relationer
Vi kan naturligtvis inte kvantifiera hur stort fokuset är p̊a
matematiska relationerjämfört med de matematiska objekten, men vi
kan konstatera att relationeråtminstone spelar en betydande roll
för den grekiska matematiken.
I Bok I av Elementa talar Euklides om likhet p̊a ett sätt som
ger associationer tillett modernt synsätt p̊a ekvationer:
If equals be added to equals, the wholes are equal. If equals be
subtractedfrom equals, the remainders are equal.8
Även andra egenskaper hos likhet används p̊a diverse ställen
i Elementa. Till exempelkonstaterar Euklides i Proposition I.34 att
tv̊a trianglar, som var för sig utgör hälftenav tv̊a lika
parallelogram, m̊aste vara lika varandra.9
Längdförh̊allandet mellan tv̊a linjesegment, samt
areaförh̊allandet mellan geomet-riska figurer, beskriver en
relation mellan tv̊a linjesegment eller figurer, och är n̊agot
7Egentligen borde vi kanske fr̊aga oss om symbolbegreppet i
själva verket handlar om n̊agotdjupare än principen att ersätta
ord med abstrakta tecken, men det är en större fr̊aga som
skullebehöva ett helt eget kapitel.
8Heath, 1908a, s. 1559Ibid, s. 323-324
24
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
som förekommer genomg̊aende i Elementa, inte minst i Bok V och
VI, där de utgörhuvudtemat.
Relationer förekommer dock inte i samma omfattning, och inte
p̊a samma sätt, som imodernare matematik. Funktionsbegreppet
existerar inte, och när samband uttrycksmellan storheter s̊a tycks
sambandet alltid ses som symmetriskt, olikt hur vi idagtalar om att
en variabel kan bero p̊a en annan.
Det finns utan tvivel mycket intressant att säga om denna
skillnad, men det är oklartvad den indikerar i fr̊agan om den
grekiska matematikens fokus. N̊agot som sägeross n̊agot tydligare
om detta fokus är vilka typer av problem som grekerna
försöktelösa.
Konstruktionsproblem
Det finns tv̊a typer av propositioner i Elementa. Den ena
kategorin av propositionerbest̊ar av p̊ast̊aenden. Dessa formulerar
och bevisar n̊agot allmängiltigt. Den andrakategorin av
propositioner formulerar istället en uppmaning att lösa ett
visstproblem.
I samtliga propositioner i den andra kategorin s̊a efterfr̊agas
n̊agon form avkonstruktion. De geometriska problemen handlar om att
konstruera linjer, punktereller figurer med vissa givna egenskaper,
och andra problem handlar exempelvis omatt finna den största
gemensamma delaren till tv̊a givna tal.
Ett illustrerande exempel är Proposition II.11:
To cut a given straight line so that the rectangle contained by
thewhole and one of the segments is equal to the square on the
remainingsegment.10
Enligt van der Waerden (1976, s. 207) s̊a är detta ekvivalent
med att lösa ekvationenx2 + ax = a2, men vi finner att
lösningarna är av mycket olika natur. Medmoderna metoder skulle
vi lösa ekvationen genom att göra ett par omskrivningar,och steg
för steg n̊a ett enklare p̊ast̊aende som är logiskt ekvivalent.
Vi talarinte om n̊agon konstruktion av en punkt, utan bara om
tautologiskt ekvivalentap̊ast̊aenden. Snarare än att studera
n̊agra objekt s̊a studerar vi hur olika
ekvationerslösningsmängder st̊ar i relation till varandra.
När Euklides löser problemet gör han istället en
konstruktion. Den givna linjenförmodas existera, och med hjälp av
ett antal konstruktionssteg visar han existensenav andra
geometriska objekt, tills han konstruerat en punkt som uppfyller
det sökta
10Ibid, s. 402-403
25
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
sambandet. Ifall vi ser ekvationslösningen som en serie av
tautoligiska ekvivalenser,s̊a motsvarar Euklides lösning snanare
en serie implikationer av en enkel, givensanning. Existensen av en
given linje implicerar existensen av andra objekt medandra
egenskaper, och det rör sig s̊aledes om ett tydligt
predikatlogiskt resonemang.
I ekvationslösningen av problemet är begreppen sanning och
existens meningslöst,det är bara relationen mellan ekvationer som
betyder n̊agot. Den ursprungligaekvationen ses inte som ett
p̊ast̊aende med ett sanningsvärde, och inte hellerreduceras den
genom omskrivningar till n̊agot sant eller falskt. Allt handlar om
detautologiska ekvivalenser som beskriver olika ekvationers
relationer till varandra.
3.1.3 Ontologiskt oberoende
Enligt s̊aväl Mahoney (1971) som Unguru (1975, s. 77) s̊a vilar
den antika grekiskamatematiken alldeles för tungt p̊a en intuitiv
grund för att kunna kallas ontologisktoberoende. De geometriska
objekt som studeras, liksom de operationer som utförs, ärl̊anade
fr̊an den fysiska världen, och resonemangen är tydligt avsedda
att visualiseras,vilket inte minns märks p̊a de geometriska
diagram som genomg̊aende utgör en delav presentationen.
Vad som är avgörande är dock inte ifall de matematiska objekt
som studerades haren intuitiv motsvarighet, utan i vilken
utsträckning de abstrakta representationernaav objekten behandlas
och betraktas som självständiga. Vi fr̊agar oss därmed ifallde
matematiska objekt som grekerna studerade hade egenskaper utöver
vad somformulerades i definitionerna, eller om de existerar och
används helt och h̊alletisolerat i en abstrakt tankevärld.
Att grekerna gör intuitiva visualiseringar av sina matematiska
objekt, bland annatgenom att illustrera dem i geometriska diagram,
säger i sig inte mycket om huruvidaderas matematik var ontologiskt
oberoende. Det avgörande är om resonemangenförutsätter en
s̊adan visualisering.
För att helt uppn̊a den ontologiska frihet som Mahoney
beskriver, m̊aste de begreppsom används i matematiken vara helt
primitiva begrepp. Vilka namn som användsska vara obetydligt, för
n̊agon tolkning av dem ska inte förutsättas.
Geometriska objekt
När Euklides definierar de mest grundläggande geometriska
objekten, i Bok I, s̊autg̊ar han ifr̊an ett antal begrepp som
antyder att objekten inte bara kan visualiserassom rumsliga
företeelser utan att det är en del av deras natur.11 Definition 2
säger
11Heath, 1908a, s. 153-154
26
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
till exempel att en linje är en längd utan bredd, men varken
längd eller bredd gesen definition.
P̊a liknande sätt utg̊ar nästan samtliga definitioner i Bok I
fr̊an en intuitiv,fysikaliskt inspirerad, tolkning av de beskrivna
objekten. Vad som utgör likhetmellan geometriska objekt, liksom
hur de kan jämföras i storlek, beskrivs aldrigmen används
regelbundet.
Alla de geometriska objekt som används i Elementa är
abstraktioner ochidealiseringar av fysiska företeelser. De är
knappast avsedda att ses som rentprimitiva begrepp, och vare sig
definitionerna eller propositionerna g̊ar att först̊autan att
tolka objekten som att de har en rumslig utsträckning.
Heltal och antal
I Bok VII i Elementa, s̊a definierar Euklides tal. De beskrivs
där som ett antalenheter, och motsvarar vad som idag skulle kallas
positiva heltal. En enhet definierasn̊agot otydligt:
An unit is that by virtue of which each of the things that exist
is calledone.12
I n̊agra propositioner där enheten nämns representeras den i
de tillhörandediagramen som ett linjesegment. De övriga talen
representeras som längre linjer,som är sammansättningar av ett
antal enheter.
Euklides använder dessutom geometrisk terminologi för att
beskriva ett antalolika talbaserade koncept. Bland annat definerar
han ett kvadrattal som ett talmultiplicerat med sig själv.13
Det är dock inte bara i terminologin och i illustrationerna som
kopplingar görs tillgeometrin. Till exempel används Proposition
II.214 och II.415, som b̊ada handlar omren geometri, i beviset till
Proposition IX.1516, som handlar om tal. Produkten avtv̊a tal
behandlas i beviset som geometriska rektanglar, men att denna
geometriskatolkning är legimitim motiveras inte formellt, utan
Euklides verkar utg̊a ifr̊an attparallellen är intuitivt
uppenbar.
Vid andra tillfällen (betydligt oftare) betraktar Euklides
produkten av tv̊a tal intesom en rektangel, utan istället som ett
större tal (eller en längre linje), vilket stämmerbättre
överens med hans formella definition av multiplikation (Definition
VII.15):
12Heath, 1908b, s. 27713Ibid, s. 27814Heath, 1908a, s.
37615Ibid, s. 37916Heath, 1908b, s. 404-405
27
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
A number is said to multiply a number when that which is
multiplied isadded to itself as many times as there are units in
the other, and thussome number is produced.17
Värt att notera är att additionen som nämns här aldrig
formellt definieras. Denformella definitionen av multiplikation
utg̊ar istället fr̊an en addition som tycksexistera p̊a en
metamatematisk niv̊a, p̊a samma sätt som definitionen av tal
utg̊arfr̊an att vi kan resonera kring antal av enheter. När
Euklides beskriver att talet Abest̊ar av ett antal enheter, s̊a är
detta antal inte ett tal i samma bemärkelse somA. Detta basala
antalskoncept, som behövs för att först̊a talen och som används
ivissa av bevisen, beskrivs aldrig formellt.
När Euklides resonerar kring tal s̊a vilar allting p̊a en i
grunden informell och intuitivuppfattning av antal och hur dessa
kan adderas till varandra. Tal är inte ett primitivtbegrepp i
Elementa, och talen besitter egenskaper som existerar utanför de
formelladefinitionerna. Exempel p̊a detta är de ovannämnda
geometriska egenskaperna, ellerdet faktum att oändliga minskande
kedjor av tal är omöjliga, som Euklides använderi Proposition
VII.31:
For, if it is not found, an infinite series of numbers will
measure thenumber A, each of which is less than the other: which is
impossible innumbers.18
Varför detta är en omöjlighet hos tal motiverar Euklides
inte, s̊a beviset kräver enintuitiv tolkning av talkonceptet,
vilket visar att det inte är ontologiskt oberoendeav v̊ar
intuitiva uppfattning av antal.
Det kan emellertid hävdas att konceptet antal, tillsammans med
vissa av dess mestgrundläggande egenskaper, är snarare att
betrakta som ett metamatematiskt verktygän ett eget matematiskt
koncept. Det är först i väldigt modern tid, om n̊agonsin,som
matematiken inte använt åtminstone de mest basala egenskaperna
hos antal föratt bevisa grundläggande satser om de naturliga
talen.
Proportioner
När Euklides definierar proportioner, i början av bok V, s̊a
beskrivs de med enrelativt abstrakt formulering:
A ratio is a sort of relation in respect of size between two
magnitudes ofthe same kind.19
17Ibid, s. 27818Ibid, s. 33219Ibid, s. 114
28
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
En först̊aelse förutsätts för storheters m̊att, samt vad det
innebär att storheter ärav samma typ, men i övrigt märks en
skillnad mot tidigare definitioner, i det attrelationens natur
lämnas obeskriven (och utan antydan om att en intuitiv
tolkningförväntas av läsaren). Denna skillnad förstärks av
senare definitioner, där till exempellikhet p̊a proportioner
definieras formellt (vilket aldrig görs för tal eller
geometriskaobjekt). Även en ordningsrelation definieras formellt
mellan dem i Definition V.720.
Värt att notera är att förh̊allandet mellan olika
storhetstyper kan jämföras medvarandra, även om de enskilda
proportionerna inte kan definieras p̊a olika typer. Detvill säga,
förh̊allandet mellan tv̊a rektanglar kan jämföras med
förh̊allandet mellantv̊a linjesegment. Proportioner behandlar
storheters förh̊allanden till varandra iallmänhet, och gör p̊a
s̊a sätt en slags abstraktion av olika typer av storhetsm̊att.
Resonemangen som förs kring proportioner är väldigt formella.
De egenskaper somanvänds hos dem utg̊ar fr̊an de formella
definitionerna, och även intuitivt uppenbarap̊ast̊aenden ges
fullständiga bevis. Ett bra exempel är den intuitivt
självklaraProposition V.7, där Euklides visar att om storheterna
A och B är lika, d̊a är derasförh̊allanden till en tredje
storhet lika.21
Proportionsbegreppet förutsätter en viss först̊aelse för
m̊att p̊a storheter, och hur viutför elementär aritmetik p̊a
dessa, med detta sker enbart i definitionerna.
Närhelstproportionsbegreppet tillämpas, eller n̊agon egenskap hos
dem bevisas, s̊a tycksresonemangen utg̊a helt fr̊an dessa
definitioner. Kort sagt framst̊ar proportionersom helt abstrakta
relationer som definieras p̊a storheters m̊att, med egenskapersom
är precis de som beskrivs i definitionerna. Det tycks med andra
ord röra sig omett helt primitivt begrepp, och är därmed
ontologiskt självständigt.
Slutsats
Större delen av de objekt som behandlas i Elementa kan
sv̊arligen kallas ontologisktoberoende. De rent geometriska
objekten g̊ar inte att behandla som primitivabegrepp, utan kräver
en rumslig tolkning. Deras egenskaper begränsas inte till vadsom
beskrivs i definitionerna, utan de existerar istället i n̊agon
slags samverkanmellan abstrakt formalism och intuition.
N̊agot liknande gäller för talbegreppet. Däremot tycks
proportioner definieras ochbehandlas helt abstrakt, om än med
utg̊angspunkt i en mer eller mindre intuitivförst̊aelse för m̊att
p̊a storheter. Proportionsbegreppet beskrivs som en
ospecifieradrelation med vissa egenskaper, och det är dessa
abstrakta egenskaper som utgör heladeras existens.
20Ibid, s. 11421Ibid, s. 148-149
29
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
Vi kan därmed fastsl̊a att det fanns åtminstone enskilda delar
av den grekiskamatematiken som besitter egenskapen i fr̊aga, men
att det knappast genomsyrarmatematiken som helhet.
3.1.4 Motsägelsebevis
Vi har hittils betraktat bara de matematiska objekt och
operationer som återfinns igrekisk matematik, men har missat en
potentiellt viktig aspekt av matematiken,nämligen de logiska
resonemangen. Det finns mycket att säga om dessa, menspeciellt en
aspekt av dem tycks i synnerhet relevant, nämligen förekomsten
avmotsägelsebevis.
Ett exempel p̊a en proposition i Elementa som använder ett
motsägelsebevis ärVII.24:
If two numbers be prime to any number, their product also will
be primeto the same. For let the two numbers A, B be prime to any
number C,and let A by multiplying B make D; I say that C, D are
prime to oneanother.22
Vi ser här hur Euklides i vanlig ordning använder bokstäver
för att betecknaospecificerade tal, men han g̊ar även längre än
s̊a, för i beviset till denna propositionbetecknas även rent
hypotetiska tal med bokstäver:
For, if C, D are not prime to one another, some number will
measure C,D. Let a number measure them, and let it be E.23
Här representerar bokstaven E ett tal som inte bara är av
obestämd storlek, utan somrentav inte kan existera. Det visar sig
nämligen i propositionens bevis att antagandetsom citerats ovan
leder just till en motsägelse, och det fastsl̊as därmed:
Therefore no number will measure the numbers C, D.24
Det visar sig med andra ord att talet E är en omöjlighet, och
att det intefinns n̊agon storhet som den representerar. Likväl
används detta tal oförhindrati motsägelsebeviset. Bland annat
l̊ater Euklides ett annat tal F beskrivas i termer
22Heath, 1908b, s. 32523Ibid, s. 32524Ibid, s. 326
30
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
av E, och han jämför förh̊allandet mellan B och F med
förh̊allandet mellan E ochA.
Det finns en väsentlig skillnad mellan E och de andra talen
(som A, B och C).Snarare än att representera en storhet s̊a
representerar bokstaven E n̊agot som ärmer abstrakt, nämligen ett
hypotetiskt tal som, ifall det existerade, skulle förh̊allasig p̊a
ett visst sätt till andra givna tal.
Vi kan likna detta till hur modern matematik l̊ater oss
formulera en ekvation utanreella lösningar:
x2 + 2x+ 4 = 0
Utan hänsyn till ifall det existerar n̊agot x som faktiskt
uppfyller denna relation, s̊akan vi manipulera v̊art p̊ast̊aende
enligt vissa algebraiska regler:
x2 + 2x+ 4 = 0⇔ (x+ 1)2 + 3 = 0⇔ (x+ 1)2 = −3
Vi ser nu att inget reellt tal uppfyller ekvationen, och att den
därmed var omöjligatt uppfylla till att börja med. När vi
utfört v̊ara steg har vi dock inte intresseratoss för vilka
värden x kan anta, eller ens om n̊agra s̊adana värden finns, utan
vihar uteslutande tittat p̊a det förh̊allande mellan x och 0 som
den ursprungligaekvationen beskriver. Med ett par enkla
omskrivningar har vi omformulerat dettill ett ekvivalent
förh̊allande, där det är lättare att utläsa att det saknas en
lösning.Detta kan sägas vara kärnan i en operationell symbolism,
att vi gör symboliskamanipulationer av förh̊allanden och uttryck
utan att intressera oss för de objektsom symbolerna representerar,
eller ens om dessa objekt finns. Det vi manipulerarär inte talet
som x representerar, utan det symboliska uttryck som x ing̊ar
i.
Att p̊a detta sätt ignorera vilka faktiska objekt som
behandlas, och rentav huruvidan̊agra s̊adana existerar, det är
inte helt olikt vad Euklides gör i propositionen
ovan.Inledningsvis definieras E som ett tal med ett visst
förh̊allande till de andra givnatalen, och genom att tillämpa
tidigare resultat visar han att detta förh̊allandeimplicerar en
serie andra förh̊allanden, tills han slutligen uppn̊ar ett
förh̊allande somutgör en motsägelse. Det väsentliga är aldrig
vad E representerar, eller ens om n̊agots̊adant tal existerar, utan
det som studeras är istället det beskrivna förh̊allandettill de
övriga talen. Vi resonerar allts̊a mer abstrakt, om matematiska
p̊ast̊aendensnarare än matematiska objekt. Dessutom, eftersom
talet E inte existerar, ochdärmed rimligen blir sv̊art att
föreställa sig, liksom dess förh̊allanden till andra tal,kan det
tyckas befogat att anta att Euklides (liksom läsaren) inte kunde
matematiskttolka de p̊ast̊aenden han gör.
Utan förm̊aga att tolka symbolen E, och föreställa sig det
objekt det representerar(eller dess förh̊allande till andra tal),
s̊a är det mer eller mindre ett primitiva
31
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
begrepp vi arbetar med i resonemanget. Ifall symbolen inte kan
tolkas intuitivts̊a begränsas dess egenskaper till de som formellt
har formulerats, och det blirontologiskt oberoende.
Vi bör dock vara försiktiga i v̊ara slutsatser, för
möjligtvis överdriver vi signifikanseni att talet E skapar en
motsägelse. Det är tänkbart att vi i n̊agon mening änd̊a
kanföreställa oss talet, genom att i varje steg av beviset bara
betrakta de egenskaperhos talet som är relevanta just d̊a. Det vi
föreställer oss behöver inte vara enkorrekt representation av
hela konceptet, det behöver inte ens vara en särskilt
godapproximation, för att vi ska kunna visualisera just de
egenskaper och förh̊allandensom används i varje steg för
sig.
N̊agot liknande kan förmodas vara vad som sker i beviset till
Proposition I.6, somäven det är ett motsägelsebevis. Där ritar
Euklides en figur som visar sig varaomöjlig:
Figur 3.1: Illustration av Proposition I.6 (Heath, 1908a, s.
255)
Propositionen i fr̊aga säger:
If in a triangle two angles be equal to one another, the sides
which subtendthe equal angles will also be equal to one
another.25
Euklides ritar triangeln ovan, och säger att vinkeln ABC är
lika med ACB. Hanantar sedan, för att visa en motsägelse, att AB
är större än AC. Punkten D sättsut s̊a att BD är lika l̊ang
som AC. Dock vet Euklides att figuren är inkorrekt, attn̊agon
s̊adan punkt inte existerar mellan B och A, och det är just detta
som hansedan bevisar, genom att härleda att BD är lika med
BA.
25Heath, 1908a, s. 255
32
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
Att beviset behandlar en omöjlig figur hindrar inte Euklides
fr̊an att resonera kringpunkten D. Dock anspelar han helt klart p̊a
ett spatialt tänkande, vilket inte minstmärks i att figuren är
illustrerad.
Det är naturligtvis inte ovanligt att de figurer som ritas inte
perfekt representerar degeometriska objekt som behandlas (vinklar
och längder kan till exempel ha felaktigaproportioner), men hur
punkten D sätts ut är annorlunda. Det rör sig inte baraom en
imperfekt approximation av en idealiserad geometri, utan Euklides
illustreraren figur som är omöjlig redan i teorin. Att vi änd̊a
upplever att vi kan föreställaoss punkten D, och föra
geometriska resonemang om den, kan förmodas bero p̊aatt vi har en
begränsad geometrisk intuition, och därför inte är kapabla att
tänkap̊a och först̊a figuren som helhet. Motsägelsen ligger inte
i n̊agon enskild aspekt avfiguren, utan finns först när vi
betraktar alla dess beskrivande egenskaper uppfylldasamtidigt.
För att återkoppla till Proposition VII.24, s̊a är fallet
möjligen s̊a att även v̊artalteoretiska intuition är för
begränsad för att vi ska inse att det tal E som viföreställer
oss inte är ett faktiskt existerande tal. V̊ar
föreställningsförm̊aga till̊ateross att tänka p̊a n̊agot som
är motsägelsefullt, s̊a länge motsägelsen bara existerari ett
helhelsperspektiv, vilket är mer än vad vi förm̊ar h̊alla i
tankarna samtidigt.I n̊agon mening tänker vi aldrig p̊a talet E,
med samtliga av dess egenskaper ochförh̊allanden till andra tal,
utan bara p̊a olika aspekter av E, som aldrig uppfyllermer än en
delmängd av dess egenskaper samtidigt.
Hur Euklides själv tänkte vet vi naturligtvis inte, s̊a vi kan
enbart spekulera. Dockkan vi konstatera att den grekiska
matematiken inte var främmande för att namngeomöjliga objekt,
och behandla dem likvärdigt med andra objekt, eftersom det
endaavgörande för resonemangen är det förh̊allande till andra
objekt som är derasdefinierande egenskap. Detta tyder möjligen
p̊a att den var n̊agot mer ontologisktoberoende än vad vi tidigare
konstaterat.
3.1.5 Slutsats
Fastän ett antal aspekter av den grekiska matematiken möjligen
kan betraktassom undantag, s̊a m̊aste vi dra slutsatsen att den
överlag inte uppfyller Mahoneysdefinition av algebra. Det finns
bara väldigt primitiv symbolism, och den är inteoperationell.
Inte heller de retoriska resonemangen är av en operationell
natur.
Fastän mycket i den grekiska matematiken handlar om relationer
s̊a är det generelltinte där fokuset ligger, utan p̊a objekten
och deras egenskaper. I synnerhet iproblemformuleringarna syns en
klar skillnad, där den grekiska matematiken har enstadig grund i
konstruktioner som inte återfinns i modern algebra. Det som i
modernaögon skulle ses som en lösning p̊a ett av de grekiska
problemen är ofta enbart ettomskrivning av problemet. Att bevisa
en viss relation mellan tv̊a p̊ast̊aenden är inteen lösning för
den som lägger fokus p̊a att konstruera faktiska objekt.
33
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
Slutligen är den grekiska matematiken p̊a det stora hela inte
ontologiskt oberoende,utan förutsätter ofta en intuitiv tolkning
av de begrepp som används.
Allt som allt kan vi därför konstatera att Unguru har rätt i
sin bedömning att dengrekiska matematiken inte uppfyller Mahoneys
definition av algebra. Detta är dockinte en särskilt
kontroversiell slutsats. Inte heller van der Waerden (1976, s.
199)tycker annorlunda, men han h̊aller därmot inte med Unguru om
vilken betydelsedet har. Enligt van der Waerden (1976, s. 199)
beskriver definitionen inte det hansjälv kallar algebra, och
fokuserar i sitt resonemang istället p̊a andra egenskaperhos den
grekiska matematiken. Dessutom h̊aller van der Waerden inte med om
attmodern notation och terminologi är ofr̊ankomligen sammanflätat
med de egenskapersom beskrivs i definitionen26.
3.2 Grekisk matematik enligt van der Waerden
Vid en första anblick av grekisk matematik är det uppenbart
att den ytligt intehar samma form som den moderna matematiken. Den
beskriver i ord och medgeometriska diagram vad som idag skulle
beskrivas med symboliska uttryck. Vi kandärför direkt lämna
tanken att grekisk matematik skulle uppfylla van der
Waerdensbokstavliga definition av algebra, eftersom hanteringen av
algebraiska uttryck kräverjust formella symboler. Istället f̊ar
vi undersöka huruvida grekernas resonemang ochtankar liknar de vi
använder idag, vilket är den poäng som van der Waerden villföra
fram.
3.2.1 Ekvationslösning
En väsentlig del av vad van der Waerden ser som algebra är
lösandet av ekvationer,och han menar att m̊anga problem i den
grekiska matematiken handlar om just det.Unguru (1975, s. 90) å
andra sidan menar att de antika grekerna inte hade
n̊agraekvationer, och därmed inte heller löste dem. För honom
kommer deras geometriskafr̊ageställningar och v̊ara moderna
ekvationsproblem fr̊an tv̊a olika tankevärldar, ochnär vi
översätter mellan dessa världar s̊a ändrar vi problemens
natur.
Som exempel kan vi betrakta Proposition II.11 i Elementa:
26Detta är vad som uttrycks genomg̊aende i hela hans replik
till Unguru, och vid flera tillfälleni Science Awakening. Bland
annat uttrycker han att Unguru överskattar symbolernas betydelse
imatematiken (van der Waerden, 1976, s. 205)
34
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
To cut a given straight line so that the rectangle contained by
thewhole and one of the segments is equal to the square on the
remainingsegment.27
Enligt van der Waerden (1976, s. 207) s̊a motsvarar detta att
finna ett x somuppfyller den symboliska ekvationen a(a− x) = x2
(eller ekvivalent, x2 + ax = a2).
Inneh̊allsmässigt är det inte sv̊art att se likheten, men vi
m̊aste fr̊aga oss ifall formenänd̊a har betydelse. Vi kan bland
annat notera att den första formuleringen talarom konstruktionen
av en punkt, medan den andra talar om att uttrycka värdet p̊ax (i
termer av a).
Det kan tyckas vara en subtil skillnad, men den innebär att
lösningarna blir avfundamentalt olika natur. När vi formulerar
problemet som en ekvation s̊a best̊arlösningen av ett direkt
uttryckt förh̊allande mellan storheterna x och a, men vi harinte
därmed funnit hur vi konstruerar den efterfr̊agade punkten p̊a
linjen. För attkunna tillämpa II.11 p̊a det sätt som görs i
Proposition IV.10 s̊a är det just denpunkten som behövs, inte hur
den förh̊aller sig till hela linjen. Euklides skulle
därförbehöva tillämpa ytterliggare satser för att även f̊a
fram den punkt som han f̊ar framdirekt när han löser II.11.
Om vi istället formulerar II.11 p̊a det sätt som Euklides gör
s̊a blir självakonstruktionen svaret. Det vi f̊ar fram är inte
ett reellt tal, inte ett värde p̊a x,för det svarar inte p̊a den
ställda fr̊agan, som är just hur punkten konstrueras.Svaret är
istället en metod, en algoritm för att f̊a fram en punkt som
uppfyller detsökta sambandet.
De tv̊a fr̊ageställningarna är av s̊a olika natur att vi idag
inte skulle se Euklidesgeometriska konstruktion som en lösning p̊a
ekvationsproblemet, eftersom det integer ett värde p̊a x (i termer
av a). P̊a samma sätt skulle Euklides förmodligen intese en
modern lösning som ett svar p̊a hans ursprungliga fr̊aga, med
tanke p̊a hurden uttrycks:
x = −a2±√a2
4+ a2
Denna lösning ger oss ingen metod för att konstruera
linjesegmentet x (eller n̊agonmotsvarande punkt) utifr̊an ett givet
linjesegment a, ens om vi försöker tolka detgeometriskt. Att
subtrahera halva a fr̊an sidan p̊a en kvadrat är inte ett
problem,däremot att överhuvudtaget uppfatta det som st̊ar
innanför rottecknet som enkvadrat.
27Heath, 1908a, s. 402
35
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
Lösningen p̊a ekvationen kan allts̊a inte trivialt översättas
till en konstruktion, ochden konstruerade punkt som uppfyller det
efterfr̊agade sambandet kan inte hellertrivialt översättas till
ett algebraiskt samband. Det tycks därför som att
PropositionII.11 just inte är ett ekvationsproblem.
3.2.2 Lösningsmetoder
Skillnaden mellan Euklides geometriska formulering av
Proposition II.11, och vander Waerdens översättning till
ekvationsform, återspeglas även i lösningsmetoden.
När vi uttrycker II.11 som en ekvation s̊a löser vi den sedan
s̊a som vi löseralla ekvationer: Vi betraktar sambandet som
uppfyllt genom att uttrycka det somx2 + ax = a2, men eftersom det
inte direkt g̊ar att utläsa värdet p̊a den söktavariabeln x, s̊a
förenklar vi sambandet tills det st̊ar p̊a en form som explicit
uttryckerx i termer av a. Allt vi gör är att manipulera v̊art
första uttryck enligt ett antalregler, och i varje steg p̊a vägen
s̊a ger v̊art uttryck samma information om x, barap̊a olika
invecklad form.
Om vi istället betraktar hur Euklides löser II.11, s̊a ser vi
att han börjar med enserie konstruktioner av linjer och figurer,
till han konstuerat en viss punkt somhan menar uppfyller det sökta
sambandet. För att bevisa detta utg̊ar han ifr̊an ettenkelt
samband som följer direkt av konstruktionen, och visar att detta
implicerarett annat samband, som i sin tur implicerar ett annat,
tills han n̊ar just det sambandsom propositionen
efterfr̊agar.28
Vi ser allts̊a att de olika versionerna av problemet använder
implikationskedjorsom g̊ar åt olika h̊all. Ekvationsmetoden utg̊ar
ifr̊an det komplicerade sambandetoch reducerar det till n̊agot
enklare, medan det geometriska beviset utg̊ar ifr̊an etttrivialt
samband och visar att det komplicerade sambandet är en konsekvens
av det.Ekvationsmetoden antar direkt sambandet uppfyllt, men den
geometriska metodengör inget s̊adant antagande.
Istället för att förenkla ett samband s̊a uttrycks x p̊a tv̊a
olika sätt, orginalsambandetoch konstruktionen, och vi visar sedan
att de beskriver samma punkt. Dessa tv̊auttryck blir ocks̊a v̊ara
enda formuleringar av x. Vi kommer aldrig till n̊agon enklareform
av x i termer av a, utan det enklaste sättet att beskriva x
förblir fr̊agan viutgick ifr̊an.
Den geometriska fr̊agan och ekvationen undersöker därför tv̊a
olika saker. Euklidessvarar p̊a fr̊agan om x finns och hur vi
hittar den, och ekvationen svarar p̊a fr̊aganom hur x förh̊aller
sig till a givet att x finns.
28Heath, 1908a, s. 402-403
36
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
Det är s̊aklart möjligt att just Proposition II.11 inte var
ett bra exempel fr̊an vander Waerdens sida, men det visar sig i
själva verket att det finns f̊a eller ingaliknande
problemformuleringar i Elementa som gör sig bra som ekvationer, av
sammaanledning.
Däremot är det inte s̊a att alla propositioner fr̊agar efter
konstruktioner, elleröverhuvudtaget uttrycker ett problem att
lösa, utan flertalet uttrycker och bevisaristället n̊agot samband
eller p̊ast̊aende. Enligt van der Waerden (1976, s. 203-205)handlar
vissa av dessa propositioner om att visa att n̊agon algebraisk
identitet ärgeometriskt giltig.
3.2.3 Algebraiska identiteter
I Proposition II.6, som van der Waerden (1976, s. 207-208) tar
upp som exempel p̊ageometrisk algebra, beskriver Euklides ett
samband:
If a straight line be bisected and a straight line be added to
it in a straightline, the rectangle contained by the whole with the
added straight line andthe added straight line together with the
square on the half is equal to thesquare on the straight line made
up of the half and the added straightline.29
Detta kan sägas motsvara följande algebraiska samband:
(a+ b)b+(a
2
)2=(a
2+ b)2
I sitt bevis börjar Euklides med att konstruera allt som är
növändigt förresonemanget, och f̊ar p̊a s̊a vis fram följande
diagram:
Det Euklides sedan utg̊ar ifr̊an är den linje som i
problemformuleringen delades p̊amitten, och konstaterar att de tv̊a
delarna (AC och CB) är lika. Därefter följer enl̊ang kedja av
implikationer. Att AC och CB är lika innebär att rektanglarna AL
ochCH är lika, och eftersom rektanglarna CH och HF är lika s̊a
följer det att även ALoch HF är lika. Vi adderar sedan
rektangeln CM till b̊ade AL och HF, vilket bevararlikheten.
Vi har nu att AL tillsammans med CM är lika med CM tillsammans
med HF. Härnoterar Euklides att CM och HF ocks̊a kan beskrivas som
kvadraten CF minus
29Heath, 1908a, s. 385
37
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
Figur 3.2: Illustration av Proposition II.6 (Heath, 1908a, s.
386)
kvadraten LG. Genom att lägga till LG till detta s̊a
kompletterar vi kvadraten, ochdet eftersökta sambandet är därmed
uppfyllt.
Kort sagt utg̊ar Euklieds ifr̊an en given sanning, att de tv̊a
halvorna av AB är likavarandra, och visar sedan en serie av
implikationer som leder till mer komplicerade,men logiskt
ekvivalenta, p̊ast̊aenden om likhet. Ifall vi försöker
direktöversättaresonemanget till ett modernt symbolspr̊ak f̊ar vi
följande (där a och b är längdenp̊a AB respektive BD):
1.a
2=a
2
2. ⇒(a
2
)b =
(a2
)b
3. ⇒(a
2
)b+
(b+
a
2
)b =
(a2
)b+
(b+
a
2
)b
4. ⇔(a
2
)b+
(b+
a
2
)b =
(b+
a
2
)2–(a
2
)25. ⇒
(a2
)b+
(b+
a
2
)b+
(a2
)2=(b+
a
2
)26. ⇔ (a+ b)b+
(a2
)2=(b+
a
2
)2Vid tv̊a tillfällen (steg 3 och 5) används det faktum att om
vi lägger till lika sakertill lika saker s̊a är resultaten lika,
vilket är en grundsten i ekvationstänkande. Steg2 tycks även det
bygga p̊a principen om likabehandling bevarar likhet, men
rentformellt s̊a motiverar Euklides det istället med att det rör
sig om tv̊a parallellogrammed lika bas och lika höjd är lika.
Steg 4 motiveras helt och h̊allet geometriskt,genom att observera
att de tv̊a rektanglarna ocks̊a kan tolkas som skillnaden
mellantv̊a kvadrater.
38
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
Ett par steg i beviset har även utelämnats, eftersom de inte
betyder n̊agot i översattform. När Euklides till exempel
substituerar CH med HF, eftersom de är lika, s̊a
bliröversättningen meningslös eftersom vi uttrycker b̊ada
som
(a2
)b.
Sett till helheten s̊a finns en tydlig likhet med modernt
ekvationstänkande. Kärnan iresonemanget är att utnyttja
ekvivalenser och implikationer mellan olika p̊ast̊aendenom
storheters förh̊allande till varandra, bland annat genom att
addera lika till lika.
Däremot s̊a ser vi ocks̊a att II.6 blir väldigt lik II.4 ifall
vi tolkar dem algebraiskt(översatt till ekvationsform beskriver
II.4 hur (a + b)2 kan utvecklas, jämfört med(a2 + b
)2i II.6), men änd̊a är de geometriska bevisen för dem
väldigt olika. I beviset
för II.4 s̊a sker inget tilläggande av lika till lika, utan
istället kretsar beviset kringvinklar, helt olikt vad som sker i
beviset för II.6.30 Det f̊ar oss att undra ifall Euklidessjälv
s̊ag de algebraiska tolkningarna, eller om det är vi som läser in
dem för att viskolats i ett algebraiskt tänkande.
3.2.4 Algebra i geometrisk förklädnad
Van der Waerden (1975, s. 203) menar att grekerna inte bara hade
metoder avalgebraisk natur, utan att de hade ett i grunden
algebraiskt tänkande. Att de änd̊aformulerade s̊a mycket
geometriskt berodde enligt honom p̊a deras syn p̊a tal. Igrekisk
matematik var tal hela eller p̊a sin höjd rationella, och var
s̊aledes begränsadei vad de kunde uttrycka p̊a ett sätt som
linjer inte är.31
Att den bakomliggande tanken vore algebraisk skulle enligt van
der Waerden förklaradet faktum att Euklides tar med propositioner
som (enligt van der Waerden) ärgeometriskt ointressanta eller
triviala.32
Som exempel p̊a s̊adana propositioner tar van der Waerden upp
II.1-4. B̊ade II.233
och II.334 är specialfall av II.135, som geometriskt säger att
varje rektangel kandelas upp i mindre rektanglar genom att dela den
längs linjer som är parallella meden av sidorna. Van der Waerden
(1976, s. 204) argumenterar att detta syns direktnär vi tittar p̊a
en rektangel och det skulle därför vara onödigt att ha med
dessapropositioner fr̊an ett geometriskt perspektiv. Om vi däremot
betraktar p̊ast̊aendetalgebraiskt s̊a besvarar det fr̊agan om hur
vi multiplicerar en summa av storhetermed en annan storhet:
30Heath, 1908a, s. 379-38231van der Waerden, 1975, s.
125-12632Ibid, s. 20433Heath, 1908a, s. 37634Ibid, s. 37835Ibid, s.
375
39
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
a(b+ c+ d) = ab+ ac+ ad
Detta är vad vi idag skulle beskriva som den distributiva
egenskapen hosmultiplikation (med avseende p̊a addition).
Att ett antal propositioner tycks geometriskt ointressanta kan
dock ha andraförklaringar än att den bakomliggande tanken inte
är geometrisk. Att till synesuppenbara propositioner inkluderas
kan till exempel bero p̊a en rigorös formalism.
Ifall vi läser n̊agon av de böcker i Elementa som handlar om
tal snarare ängeometriska figurer, s̊a finner vi propositioner som
kan tyckas lika uppenbara ochointressanta som de van der Waerden
tar upp. Exempelvis Proposition VII.16 sägeratt varje produkt du
kan bilda av tv̊a tal är lika, vilket algebraiskt helt enkelt
sägeratt ab = ba.36 Ifall vi ser denna typ av p̊ast̊aenden som
triviala, och anser att s̊atriviala p̊ast̊aenden vittnar om att det
finns en annan bakomliggande tanke än vadsom uttrycks, d̊a m̊aste
vi rimligen fr̊aga oss vad det egentliga syftet med VII.16 är.
P̊a liknande sätt kan det tyckas att Proposition VII.1837, som
algebraiskt uttryckerb : c = ba : ca, är ganska uppenbar (i
synnerhet efter att Euklides just bevisatVII.1738, som uttrycker
det snarlika p̊ast̊aendet b : c = ab : ac). Ifall vi inte troratt
även dessa har en annan bakomliggande tanke än vad som explicit
uttrycks, s̊akänns det omotiverat att tro n̊agot annat om
II.1-3.
Det känns istället rimligt att förmoda att dessa
propositioner finns med antingen föratt Euklides inte tycker de
är s̊a självklara, eller för att han anser att även
intuitivasjälvklarheter kräver formella bevis. För att bättre
först̊a varför Euklides väljer attinkludera propositioner som
dessa i Elementa bör vi inte bara undersöka vad desäger och hur
de bevisas, utan även hur de tillämpas i andra propositioner.
Proposition II.1 tillämpas aldrig i Elementa, men det gör
däremot II.2 och II.3 somär olika specialfall av den. Vi ser att
II.3 tillmäpas p̊a ett sätt som kan tyckas varaalgebraiskt, i
Proposition IX.1539. Denna proposition handlar om tal, och även
dekvadrater som talas om där är just kvadrattal, men änd̊a kan
Euklides tillämpa deresultat han visat geometriskt i II.3. Detta
tycks stödja van der Waerdens tes, attpropositionen i grunden
handlar om ett algebraiskt p̊ast̊aende.
Ifall vi däremot tittar p̊a Proposition II.2, s̊a tillämpas
den i den tydligt geometriskaProposition XIII.1040. Detta antyder
att II.2 inte är helt geometriskt ointressant, d̊aden underlättar
ett senare geometriskt bevis.
36Heath, 1908b, s. 31637Ibid, s. 31838Ibid, s. 31739Ibid, s.
404-40540Heath, 1908c, s. 457-460
40
-
DEL 3. ALGEBRA I ANTIKEN
Proposition II.441 tillämpas oftare än II.2 och II.3. Det rör
sig mest om propositionerkring kommensurabilitet, som inte är
uppenbart geometriska. Vi ser dock att II.4(motsvarande (a + b)2 =
a2 + b2 + 2ab) har ett bevis som inte är s̊a trivialt somvan der
Waerden (1976, s. 204) säger. Han antyder att det g̊ar att se
visuellt, menEuklides bevis är ganska l̊angt och handlar om att
visa att de figurer som konstruerasöverhuvudtaget är tv̊a
kvadrater och tv̊a rektanglar.
Beviset är bara uppenbart om vi ser det geometriska som en
teknisk detalj ochinte som kärnan av propositionen. P̊a samma
sätt kan vi säga att II.11, som vigick igenom tidigare, bara blir
meningsfull p̊a ekvationsform om vi förutsätter attEuklides var
ute efter en lösning till ekvationen, snarare än att konstruera
en visspunkt.
Vi har däremot ingen anledning att tro att det är syftet med
II.11, eftersom Euklidesingenstans talar om hur den sökta punkten
förh̊aller sig till hela linjen. Dessutomtillämpas propositionen
i senare konstruktioner, där det allts̊a blir nödvändigt attjust
konstruera en punkt med de efterfr̊agade egenskaperna. Ifall II.11
i grundenhandlar om att finna värdet p̊a x s̊a skulle den vara
otillämpbar i konstruktioner.Det tycks därför som om van der
Waerden, genom att betrakta problemet som enekvation, missförst̊ar
vad Euklides ville uppn̊a med propositionen, och förutsätteratt
de tillämpningar och slutsatser han själv ser i propositionen är
de enda rimliga.
3.2.5 Slutsats
När det gäller hanterandet av uttryck bär den grekiska
matematiken ibland klaralikheter med moderna metoder. Att bevara
likhet genom att lägga till eller ta bortlika saker är vanligt
förekommande, och m̊anga bevis bygger p̊a att steg för steg
visaatt ett likhetsförh̊allande är logiskt ekvivalent med ett
annat. Däremot finns detett stort antal avgörande skillnader
mellan det som uttryckligen formuleras och dealgebraiska
tolkningarna som van der Waerden gör, och dessa skillnader syns
b̊adei detaljerna och i helhetsbilden.
Tydligast blir skillnaden när vi betraktar de problem som
Euklides formulerar, ochsom van der Waerden ser som ekvivalenta med
att lösa ekvationer. De geometriskaproblemen efterfr̊agar
konstruktionen av en punkt, inte ett uttryck för hur en variabelx
beror p̊a n̊agra parametrar. Euklides tycks onekligen ha verktygen
för att kunnalösa ekvationer, men han har inte en modern syn p̊a
just vad det innebär att lösadem. I modern tid handlar lösningen
om att reda ut ett komplicerat förh̊allande,som indirekt
bestämmer värdet p̊a den sökta variabeln, och p̊a s̊a sätt f̊a
ett merlättförst̊aeligt förh