Análisis Matemático II – Álgebra Vectorial 2018 1 Unidad I- Álgebra Vectorial ÁLGEBRA VECTORIAL Introducción Existen tres métodos esencialmente distintos para introducir el Algebra Vectorial: geométricamente, analíticamente y axiomáticamente. En la introducción geométrica, los vectores se representan por segmentos orientados o flechas. Las operaciones algebraicas con vectores, tales como la adición, sustracción y multiplicación por números reales, se definen y estudian por métodos geométricos. En la introducción analítica los vectores y las operaciones con vectores se expresan mediante números, llamados componentes. Las propiedades de las operaciones con vectores se deducen entonces a partir de las propiedades correspondientes de los números. La descripción analítica de los vectores surge espontáneamente de la representación geométrica en cuanto se introduce un sistema coordenado. En la introducción axiomática, no se intenta describir la naturaleza de un vector o de las operaciones algebraicas con vectores. En lugar de ello, los vectores y las operaciones con ellos se imaginan como conceptos no definidos de los que nada se sabe excepto que satisfacen un cierto conjunto de axiomas. Un tal sistema algebraico, con los axiomas apropiados, se llama espacio lineal o espacio vectorial. El estudio del algebra vectorial desde el punto de vista axiomático es la introducción matemática más satisfactoria pues proporciona una descripción de los vectores que es independiente de los sistemas de coordenadas y de cualquier representación geométrica, también el estudio desde este punto de vista aunque es más estricto también es más abstracto y dificultoso. A fines de esta materia trataremos de estudiar el Álgebra Vectorial desde el punto de vista analítico con interpretación geométrica, tratando de evitar en lo posible la introducción desde el punto de vista axiomático. VECTOR n-dimensional o PUNTO n-dimensional: es un n-pla de números reales ( 1 ; 2 ; 3 ; …; ) para todo entero ≥ 1, siendo los números 1 , 2 , 3 ,…, las coordenadas o componentes del vector. El conjunto de todos los vectores n-dimensionales se llama espacio vectorial de n-plas, o simplemente n-espacio. Lo designamos con Vn . Para = 2 es un par de números ( 1 ; 2 ) su representación geométrica es un punto en el plano. Para = 3 es una terna de números ( 1 ; 2 ; 3 ) su representación geométrica es un punto en el espacio.
13
Embed
ÁLGEBRA VECTORIAL - analisisfiuni.files.wordpress.com · A fines de esta materia trataremos de estudiar el Álgebra Vectorial desde el punto de vista analítico con interpretación
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Análisis Matemático II – Álgebra Vectorial 2018
1 Unidad I- Álgebra Vectorial
ÁLGEBRA VECTORIAL
Introducción
Existen tres métodos esencialmente distintos para introducir el Algebra Vectorial:
geométricamente, analíticamente y axiomáticamente. En la introducción geométrica, los vectores
se representan por segmentos orientados o flechas. Las operaciones algebraicas con vectores, tales
como la adición, sustracción y multiplicación por números reales, se definen y estudian por
métodos geométricos.
En la introducción analítica los vectores y las operaciones con vectores se expresan mediante
números, llamados componentes. Las propiedades de las operaciones con vectores se deducen
entonces a partir de las propiedades correspondientes de los números. La descripción analítica de
los vectores surge espontáneamente de la representación geométrica en cuanto se introduce un
sistema coordenado.
En la introducción axiomática, no se intenta describir la naturaleza de un vector o de las
operaciones algebraicas con vectores. En lugar de ello, los vectores y las operaciones con ellos se
imaginan como conceptos no definidos de los que nada se sabe excepto que satisfacen un cierto
conjunto de axiomas. Un tal sistema algebraico, con los axiomas apropiados, se llama espacio lineal
o espacio vectorial.
El estudio del algebra vectorial desde el punto de vista axiomático es la introducción matemática
más satisfactoria pues proporciona una descripción de los vectores que es independiente de los
sistemas de coordenadas y de cualquier representación geométrica, también el estudio desde este
punto de vista aunque es más estricto también es más abstracto y dificultoso.
A fines de esta materia trataremos de estudiar el Álgebra Vectorial desde el punto de vista analítico
con interpretación geométrica, tratando de evitar en lo posible la introducción desde el punto de
vista axiomático.
VECTOR n-dimensional o PUNTO n-dimensional: es un n-pla de números reales
(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) para todo entero 𝑛 ≥ 1, siendo los números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛las coordenadas o
componentes del vector. El conjunto de todos los vectores n-dimensionales se llama espacio
vectorial de n-plas, o simplemente n-espacio. Lo designamos con Vn .
Para 𝑛 = 2 es un par de números (𝑎1; 𝑎2) su representación geométrica es un punto en el plano.
Para 𝑛 = 3 es una terna de números (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) su representación geométrica es un punto en el
espacio.
Análisis Matemático II – Álgebra Vectorial 2018
2 Unidad I- Álgebra Vectorial
Para 𝑛 > 3(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) ya no existe representación geométrica sin embargo el vector aún
sigue estando definido.
La definición de vector está ligada a la estructura algebraica de Vn, introducimos los siguientes
conceptos:
Igualdad de Vectores: Dos vectores �� y �� de Vn son iguales siempre que sus
componentes sean iguales. Si �� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛),�� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3; … ; 𝑏𝑛).