PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Operaciones con Matrices y Determinantes DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta TEMA: OPERACIONES CON MATRICES Y DETERMINANTES Problema 1: Sean las matrices: [ ] 2 1 1 3 3 2 2 1 ; 0; 2 1 3 ; 2 1 2 1 2 2 5 2 8 x A y B C D z ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ = = = = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦ Calcular los valores de x, y, z para que se verifique la siguiente igualdad: A+BC=D SOLUCIÓN: • Producto [ ] 1 2 1 3 0 2 1 3 0 0 0 2 4 2 6 BC BC ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥ = = = ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦ • Por tanto : A = D - BC 3 3 2 2 1 3 3 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 0 0 0 2 1 2 2 1 2 5 2 8 4 2 6 5 4 2 2 8 6 1 0 2 A − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − = − = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ • Igualando términos 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 x y z − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x = 1 y = 2 z = 0 • NOTA: Dos matrices de distinto orden no se pueden sumar ni restar. Así, dos matrices del mismo orden se dice que son conformes respecto a la suma. • NOTA: El producto AB está definido (puede realizarse) cuando el numero de columnas de A es igual al número de renglones de B. Cuando esto ocurre se dice que las matrices A y B son conformes respecto a la multiplicación.
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PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: OPERACIONES CON MATRICES Y DETERMINANTES Problema 1: Sean las matrices:
• NOTA: Dos matrices de distinto orden no se pueden sumar ni restar. Así, dos matrices del mismo orden se dice que son conformes respecto a la suma.
• NOTA: El producto AB está definido (puede realizarse) cuando el numero de columnas de A es igual al número de renglones de B. Cuando esto ocurre se dice que las matrices A y B son conformes respecto a la multiplicación.
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Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Demostrar que ( )2 2 22A B A AB B+ ≠ + + a) Suponiendo que A y B son matrices cuadradas del mismo orden:
a a b a a b a b b a b b a a a b b b b a a a a b b a b bA B
⎡ ⎤+ + + + + + + + + + + + ++ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )22 22A AB B A B∴ + + ≠ +
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Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
b) Utilizando propiedades de matrices
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
( ) 2( )( ) 2
( ) ( ) 22
2
A B A AB BA B A B A AB B
A A B B A B A AB BA AB BA B A AB B
AB BA AB
+ ≠ + +
+ + ≠ + +
+ + + ≠ + +
+ + + ≠ + +∴ + ≠
NOTA: La multiplicación de matrices no es conmutativa, esto es: En general AB BA≠ ; pero cuando AB BA= se dice que las matrices son permutables o que conmutan. De esta manera, es importante poner énfasis en el orden en que dos matrices se multiplican; asi en los siguientes productos:
" " " "
" " " "
AB A premultiplica a B
BA A postmultiplica a B
→
→
Problema 3: Calcular la inversa de la matriz 1 2 31 3 31 2 4
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
por transformaciones
elementales. SOLUCIÓN:
1 2 1 3
1 2 3 1 0 01 3 3 0 1 0 ( 1) ; ( 1)1 2 4 0 0 1
A R R R R⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2 1
1 2 3 1 0 00 1 0 1 1 0 ( 2)0 0 1 1 0 1
R R⎡ ⎤⎢ ⎥≈ − − +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
3 1
1 0 3 3 2 00 1 0 1 1 0 ( 3)0 0 1 1 0 1
R R⎡ − ⎤⎢ ⎥≈ − − +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 0 0 6 2 30 1 0 1 1 00 0 1 1 0 1
⎡ − − ⎤⎢ ⎥≈ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Por lo tanto 1
6 2 31 1 01 0 1
A−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
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• De la matriz escalonada anterior, se obtiene que:
0γ =
0 0β + γ = → β =
0 0α +β+ γ = → α =
• Los escalares α, β y γ son iguales a cero, por tanto, el conjunto “B” es linealmente independiente (es una base).
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: MATRIZ DE TRANSICIÓN Y VECTOR DE COORDENADAS Problema 1: Sean las bases A y B de un espacio vectorial definido sobre los números complejos:
( ) ( ){ }( ) ( ){ }1,0, , 1 ,1,1
1, ,1 , 1,1,0
A i i
B i i
= −
= +
Obtener la matriz de transición de la base A a la base B. SOLUCIÓN:
• Combinación lineal de { }1 2,A a a= respecto a { }1 2,B b b= :
1 1 1 2 2
2 1 21 2
a b b
a b b
= α +α
= β +β
( ) ( )
( ) ( )1 1 2
2 1 2
,
,
T
BT
B
a
a
= α α
= β β 1 1
2 2
ABM
α β⎛ ⎞= ⎜ ⎟α β⎝ ⎠
A B
• Sustituyendo los valores conocidos:
*Para la 1er combinación lineal: *Para la 2ª combinación lineal: ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1
1,0, 1, ,1 1,1,0
1,0, , , (1 )
i i i
i i i
= α + +α
= α +α α +α α +
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1
1 ,1,1 1, ,1 1,1,0
1 ,1,1 , , (1 )
i i i
i i i
− = β + +β
− = β +β β +β β +
Igualando Términos: Igualando Términos:
1 2
1 2
1
10
(1 )i
i i
α +α =α +α =α + =
( )
1 2
1 2
1
11
1 1
ii
i
β +β = −β +β =
β + =
*de : *de :
( )( )
2
1
1 11 1 1
ii ii i i i
− −α = ⋅ =
+ − + − 2
12
ii
+=
− ( )
( )1
11 11 1 1
i ii i i i
− −β = ⋅ =
+ − + − 2
12
ii
−=
−
11 12 2
i∴α = + 11 12 2
i∴β = −
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Tema 2. Espacios Vectoriales
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*de : *de :
2 1
22
1 12 2
1 1 1 12 2 2 2
i i i
i i i
⎛ ⎞α = −α = − −⎜ ⎟⎝ ⎠
α = − − = − +
22 1
2
1 1 1 11 1 12 2 2 2
1 1 1 112 2 2 2
i i i i i
i i
⎛ ⎞β = −β = − − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
β = − − = −
21 12 2
i∴α = − 21 12 2
i∴β = −
• NOTA: Los escalares obtenidos arriba deben satisfacer las ecuaciones
correspondientes.
• Finalmente:
1 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 2
AB
i iM
i i
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠
Matriz de transición de “A” a “B”
Problema 2: Sea V un espacio vectorial sobre el campo de los reales, y sean { }1 2 3, ,A v v v= y { }1 2 3, ,B w w w= dos bases de V donde:
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2
2
2
w v v v
w v v v
w v v
= − +
= + −
= −
(a) Determinar la matriz de transición de la base A a la base B. (b) Expresar al vector 1 2 3x v v v= + + como combinación lineal de los vectores de la base B. SOLUCIÓN: (a) • De acuerdo con los datos del problema se conoce la matriz B
AM .
• Para obtener entonces ABM , sólo se calcula la inversa de
1B AA BM M
−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ :
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Tema 2. Espacios Vectoriales
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• Finalmente, la combinación lineal pedida se escribe como:
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1 2 35 3 92 2 2
x w w w= + − x como combinación lineal de la base B
Problema 3: Sean 3P≤ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a tres con coeficientes reales y { }3 2 22 , 2 , 1,1B t t t t t= + + + una base de 3P≤ . Determinar el vector de coordenadas del vector p(t) = a + bt + ct2 + dt2 en la base B. SOLUCIÓN:
• “p(t)” como combinación lineal de la base “B”:
1 2 3 4( )p t b b b b= α +β + γ + δ • Sustituyendo valores:
( ) ( ) ( )
2 3 3 2 2
2 3 3 2 2
2 3 3 2
( 2 ) (2 ) ( 1)2 22 2
a bt ct dt t t t t ta bt ct dt t t t t ta bt ct dt t t t
+ + + = α + +β + + γ + + δ
+ + + = α + α + β +β + γ + γ + δ
+ + + = α + α + β + β+ γ + γ + δ
• Igualando los términos correspondientes, se tiene:
3 3t dtα = ( ) 2 22 22 22 2
t ctc
c
α + β =
α + β =β = − α
( ) t bt
bb
β+ γ =
β+ γ =γ = −β
2
aca a b d
γ + δ =
δ = − γ = − + −
d=α 22
c d−β =
2cb dγ = − +
2ca b dδ = − + −
• Finalmente:
[ ]
22
( )2
2
B
dc d
p t cb d
ca b d
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
− + −⎢ ⎥⎣ ⎦
Vector de coordenadas de p(t) en la base “B”
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 4: Sean { }1 2 3, ,A v v v= y { }1 2 3, ,B w w w= dos bases de un espacio vectorial “V”.
Si la matriz de transición de la base “B” a la base “A” es 1 2 00 1 2 2 0 1
BAM
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
y
{ }2 2 2A , 1,x x x x= + − , obtener la base “B”. SOLUCIÓN:
1,0,0, 2 ( 1 2) 1,0,0,1 ( ) 1,0,0, 1 1 2,0,0, 1 2 ,0,0, 1 2 ,0,0, 1 2m m m m m
=
− = − + − = − − + − = − + − −
• Por igualación de vectores en cada expresión anterior, se obtienen los valores de m
y α pedidos:
*De la ec. : α = 2
*De la ec. :
1 1 31 12 2 2
1 1 3: 2 22 2 2
m m
o bien m m
= − + ⇒ = + =
− = − − ⇒ = − = m = 3/2
Ec.Ec.
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 7 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 6: . Sea F el espacio vectorial de las funciones reales variable real sobre el campo de los reales y W el subespacio generado por la funciones ƒ:R→R y g: R→R definidas por ƒ(x)=sen2x y g(x)=cos2x. Para las bases { }2 2, cosA sen x x= y { }1,cos 2B x= de W determinar: (a) La matriz de transición de la base A a la base B. (b) El vector de coordenadas respecto a la base B del vector cuyas coordenadas respecto a
la base A son 2
2−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
SOLUCIÓN: (a) • Combinación lineal de “B” en “A”:
1 1 1 2 2
2 1 1 2 2
b a a
b a a
= α +α
= β +β 1 1
2 2
BAM
α β⎡ ⎤= ⎢ ⎥α β⎣ ⎦
B A • Sustituyendo valores: *Con identidades trigonométricas:
vector asociado si se considera a –1 = c b – 1 = d
• Por tanto:
1 2,
1 1c c
L c d Rd c
⎧ ⎫−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + ∈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
Variedad lineal para a = b = 1
w ∈ W (sí es S.E.V.)
Problema 2: Determinar si el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene estructura de variedad lineal: -x - 3y + 2z = 10 3x + 8y – 4z = -26 2x + 5y – 2z = -16 En caso afirmativo, dar su espacio asociado, su dimensión y una base. En caso contrario, justificar su respuesta. SOLUCIÓN:
( ) ( ){ }2 2 3 5 ,L ax bx b x x a b R= + + + − − + ∈ “L” sí es variedad lineal
• Espacio asociado:
{ }2 ,W ax bx b a b R= + + ∈ Espacio asociado (sí es S.E.V.) dim W = 2 Bcan. de W = { }2 , 1x x + Base canónica
vector asociado
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: TRANSFORMACIÓN LINEAL, NÚCLEO Y RECORRIDO Problema 1: Sean 2P≤ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y la transformación 3
2:F P≤→ definida por:
1 2( , , ) ( )F a b c a b v cv= + − ; donde 21 1v x= + ; 2 23 1 , ,v x P a b c≤= − ∈ ∀ ∈
Determinar si F es lineal. SOLUCIÓN:
• Se define la función sustituyendo los valores de 1v y 2v dados: 2 2( , , ) ( )( 1) (3 1) ( ) 3 ( )F a b c a b x c x a b x cx a b c= + + − − = + − + + + 2( , , ) ( ) 3 ( )F a b c a b x cx a b c= + − + + +
• Se verifican los dos axiomas para que una función sea una transformación lineal: 1.- Superposición: ( ) ( ) ( )F u v F u F v+ = + : Sean 1 1 1( , , )u a b c= → 2
1 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 ( )F u a b x cx a b c= + − + + +
2 2 2( , , )v a b c= → 22 2 2 2 2 2( ) ( ) 3 ( )F v a b x c x a b c= + − + + +
1 2 1 2 1 2( , , )u v a a b b c c+ = + + +
( )F u v+ = 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3( ) ( )a a b b x c c x a a b b c c+ + + − + + + + + + +
• Sustituyendo en el axioma ( ) ( ) ( )F u v F u F v+ = + :
2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2( ) 3( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )a a b b x c c x a a b b c c a b x cx a b c a b x c x a b c⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + − + + + + + + + = + − + + + + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3( ) ( ) ( ) 3( ) ( )a a b b x c c x a a b b c c a a b b x c c x a a b b c c+ + + − + + + + + + + = + + + − + + + + + + +
2.- Homogeneidad: ( ) ( )F u F uα = α ⋅ : Sea 1 1 1( , , )u a b cα = α α α → 2
1 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 ( )F u a b x c x a b cα = α +α − α + α +α +α • Sustituyendo en el axioma ( ) ( )F u F uα = α ⋅ : ( )2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 3 ( ) 3 ( )a b x c x a b c a b x c x a b c⎡ ⎤α +α − α + α +α +α = α + − + + +⎣ ⎦
( ) ( )2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 ( ) 3 ( )a b x c x a b c a b x c x a b c⎡ ⎤ ⎡ ⎤α + − + + + = α + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Por tanto, la transformación F sí es lineal.
Nueva función
Cumple
Cumple
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Sea la transformación 22:S P R≤ → , definida por:
2( ) ( , )S ax bx c a b c+ + = +
Determinar: (a) Si S es una transformación lineal (b) El núcleo de la transformación S (c) El recorrido de la transformación S (d) Verificar ( ) ( )2 2dim P dim N S dim S P≤ ≤= +
SOLUCIÓN: (a) Para determinar si S es lineal, se verifican los dos axiomas siguientes:
1.- Superposición: ( ) ( ) ( )1 2 1 2S v v S v S v+ = +
Sean: 21 1 1 1v a x b x c= + +
→ ( ) ( )1 1 11S v a b ,c= +
2
2 2 2 2v a x b x c= + +
→ ( ) ( )2 2 22S v a b ,c= +
( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 2 1 2v v a a x b b x c c+ = + + + + +
● Sustituyendo en el axioma, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2S v v a a b b ,c c S v S v+ = + + + + = + ← Cumple
2.- Homogeneidad: ( ) ( )1 1S v S vα = α ⋅
Sea 2
1 1 1 1v a x b x cα = α +α +α → ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1S v a b , c S vα = α +α α = α ⋅ ← Cumple
• Por tanto, la transformación S sí es lineal. (b) El núcleo N(S) de la transformación se define como ( ) { ( ) }20R2N S v P S v .≤= ∈ =
● Se propone al vector 2
2v ax bx c P≤= + + ∈ . ● Se iguala la imagen de v con el vector cero del codominio:
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( ) ( ) ( ) ( )2 , 0,0S v S ax bx c a b c= + + = + =
● Igualando términos en los vectores anteriores: 0;a b+ = 0c = ● De donde a b= − y 0=c . ● Por tanto, el vector propuesto se transforma en: 2 2v ax bx c bx bx= + + = − + . ● Finalmente, el núcleo es: ( ) { }2 N S bx bx b R= − + ∈ ( ) 1dim =SN (c) El recorrido de la transformación se determina a partir de la base canónica del dominio
{ }22P ax b x c a,b,c R≤ = + + ∈ :
}{ 22 1canonicaB de P x ,x,≤ =
● Se obtienen las imágenes de los vectores de la base canónica anterior:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 1 0
1 0
1 0 1
S x ,
S x ,
S ,
=
=
=
● Las imágenes anteriores constituyen el Conjunto Generador del recorrido:
( ){ ( ) ( )}1 0 1 0 0 1C.G , , , , ,= ● Se determina el Espacio Renglón del conjunto generador anterior:
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
001001
100001
100101
( ) ( ) ( )}{2 1 0 0 1canonicaB de S P , , ,≤ =
● Obteniendo el vector genérico con la base canónica anterior:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0w a , b , a, ,b a,b= + = + =
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
● Finalmente, el recorrido es: ( ) ( ){ }2S P a,b a,b R≤ = ∈ .
( ) 22dim S P≤ =
(d) Verificando ( ) ( )2 2dim P dim N S dim S P≤ ≤= + se tiene:
3 1 2= + ← Cumple Problema 3: Para la transformación lineal 3
2:S R M→ definida por:
2( , , )
x y y zS x y z
y z x y z− +⎡ ⎤
= ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦
donde 2M es el espacio vectorial real de las matrices simétricas de orden dos con elementos reales, obtener: (a) El núcleo ( )N S de la transformación, su dimensión y una de sus bases. (b) El recorrido 3( )S R de la transformación, su dimensión y una de sus bases. (c) Demostrar que: 3 3dim dim ( ) dim ( )R N S S R= + . SOLUCIÓN: (a) • Esquemáticamente la transformación es:
• El núcleo está dado por el conjunto { }23( ) ( ) 0MN S v R S v= ∈ = .
• Para determinar N(S), se propone al vector: 3( , , )v x y z R= ∈ .
• Cuya imagen es:
2 0 0( )
0 0x y y z
S vy z x y z− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
20M
Núcleo Recorrido
3R =Dominio S 2M =Codominio
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Igualando términos en los vectores anteriores, se llega al sistema de ecuaciones:
• Vector genérico del recorrido (haciendo combinación lineal con los vectores de la base canónica anterior):
1 0 0 10 1 1 1
a bw a b w
b a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Finalmente:
( )3
3
,
dim ( ) 2
a bS R a b R
b a b
S R
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥+⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
=
(c) •Se verifica el teorema: 3 3dim dim ( ) dim ( )R N S S R= +
3 1 2= + Cumple Problema 4: Para la transformación lineal 3 3:T R R→ definida por:
( ) ( ), , 3 ,6 ,2T x y z x y x z y z= + − +
Obtener: (a) El núcleo de T y su dimensión. (b) El recorrido de T y su dimensión. SOLUCIÓN: (a) • El núcleo está dado por el conjunto ( ) { ( ) }33R T v 0RN T v= ∈ =
• Se propone al vector ( ) 3, ,v x y z R= ∈ , cuya imagen es:
Matriz canónica escalonada
Recorrido de la transformación S
Dimensión
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 7 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( ) ( ) ( )33 ,6 ,2 0 0,0,0RT v x y x z y z= + − + = =
● Igualando términos: 020603
=+=−=+
zyzxyx
● Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
000120013
120121
013
120106
013
000203
==+=+
zzyyx
Rkz ∈= ; zy −=2 → ky21
−= ; yx −=3 → =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−= kx
21
31 xk =
61
● Por tanto, el vector propuesto originalmente se transforma en:
( ) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −== kkkzyxv ,
21,
61,, ( ) vkkk =− 6,3,
● Siendo el núcleo de la transformación T:
( ) { }( , 3 ,6 ) RN T k k k k= − ∈ ( ) 1dim =TN (b) ● Para determinar el recorrido de la transformación, se toma en cuenta el dominio:
( ){ }3 , , , ,R x y z x y z R= ∈ ; 3dim 3 =R
● La base canónica del dominio R3 es ( ) ( )( )}{3 1,0,0 , 0,1,0 0,0,1 .canonicaB de R =
● Las imágenes de la base canónica anterior, constituyen al conjunto generador C.G. del recorrido:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )}{1,0,0 3,6,0
0,1,0 1,0,2 . . 3,6,0 , 1,0,2 , 0, 1,1
0,0,1 0, 1,1
T
T C G
T
= ⎫⎪
= = −⎬⎪= − ⎭
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 8 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
● Determinando el espacio renglón a partir del conjunto generador anterior:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 000110
201
110110
201
110660
201
110063201
110201063
escalonadacanonicaForma
● De la matriz en forma canónica escalonada se obtiene:
( ) ( )}{3( ) 1,0,2 , 0,1, 1canonicaB de T R = −
● El vector genérico es por tanto:
( ) ( ) ( )1,0,2 0,1, 1 , ,2w a b a b a b w= + − = − =
● Finalmente, el recorrido es:
( ) ( ){ }3 , ,2 ,T R a b a b a b R= − ∈ ; ( )3dim 2T R = (c) ● Verificando el axioma ( ) ( )3 3dim dim N T dim :R T R= +
3 1 2 = + ← Se cumple
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: MATRICES ASOCIADAS A UNA TRANSFORMACIÓN Problema 1: Sean 2P≤ y 3P≤ los espacios vectoriales de lo polinomios de grado menor o igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea 2 3:T P P≤ ≤→ la transformación definida por:
( ( )) ( )T p x x p x= ⋅
(a) Determinar la matriz asociada con T . (b) Obtener la matriz asociada con T y referida a las bases:
{ }2 2 2: 1 ,1 3 2 ,5 4 4A x x x x x− + + + + y { }2 3: 1, , ,B x x x
(c) Con las matrices de los incisos anteriores calcular la imagen del vector 21 5v x x= + − . SOLUCIÓN: (a) • Para obtener la matriz asociada con T , ( )M T , se calculan las imágenes de la base canónica del dominio { }2
2 , ,P a bx cx a b c R≤ = + + ∈ .
• Imágenes de { }2
2 1, ,canonicaB de P x x≤ = :
2
2 3
(1)( )( )
T xT x xT x x
=
=
=
• Las imágenes anteriores escritas como columnas (aplicando isomorfismo) son las columnas de la matriz buscada:
0 0 01 0 0
( )0 1 00 0 1
M T
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Matriz asociada con T
(b) • La imagen del vector 21 5v x x= + − se determina con la expresión ( ) ( )T v M T v= ⋅ ,
es decir, multiplicando:
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 3 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: INVERSA DE UNA TRANSFORMACIÓN
Problema 1: Sean 2P el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a
dos con coeficientes reales, 2M el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden
dos con elementos reales, 2 , ,1A x x una base de 2P , 1 0 0 1 0 0
, ,0 0 1 0 0 1
B una
base de 2M y 2 2:S P M una transformación lineal. Si la matriz asociada con S y
referida a las bases A y B es 12
1 0 0
0 0
0 0 1
A
BM S . Determinar:
(a) La regla de correspondencia de S .
(b) La regla de correspondencia de 1S .
SOLUCIÓN:
(a) Para determinar la regla de correspondencia de S , se utiliza la expresión:
A
BAB
S v M S v
Se propone al vector 2
2v ax bx c P , y se escribe como combinación lineal de
la base A: 2 2v x x ax bx c
Se igualan términos en la expresión anterior:
A
a
a b c v b
c
Se realiza la multiplicación A
BAB
S v M S v :
1 12 2
1 0 0
0 0
0 0 1B
a a
b b S v
c c
Vector de coordenadas
de v en la base A
Vector de coordenadas
de S v en la base B
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 3 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Se escribe a S v como combinación lineal de la base B :
121
2 12
1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
a bS v a b c
b c
Finalmente se obtiene:
1
22
12
a bS ax bx c
b c
(b) Para la regla de correspondencia de 1S se utiliza 1
1( )B A
A BM S M S .
Calculando la inversa de 12
1 0 0
0 0
0 0 1
A
BM S :
111
2
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
A B
B AM S M S
Para obtener la regla de correspondencia de la transformación inversa se utiliza la
expresión 1 1B
AB A
M S w S w .
Se propone por tanto al vector 2
a bw M
b c, y se escribe como combinación
lineal de la base B :
1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
a bw
b c
Regla de correspondencia
de “ S ”
Matriz asociada con la
transformación inversa 1S
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 3 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Se igualan términos:
B
a a
b w b
c c
Realizando la multiplicación 1 1B
AB A
M S w S w :
1
1 0 0
0 2 0 2
0 0 1A
a a
b b S w
c c
Escribiendo a 1S w como combinación lineal de la base A :
1 2( ) (2 ) ( )S w a x b x c
Finalmente se llega a:
1 2 2a b
S ax bx cb c
Vector de
coordenadas de
w en la base B
Vector de coordenadas
de 1S w en la base A
Regla de correspondencia de
la transformación inversa 1S
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS Problema 1: Sea 2M el espacio vectorial real de las matrices de 2x2 con elementos reales y el operador lineal 2 2:S M M→ definido por:
( ) TS A A=
Determinar: (a) Los valores característicos de S. (b) Los espacios característicos correspondientes a cada uno de los valores característicos de S, sus dimensiones y una de sus bases. SOLUCIÓN: (a) • Se determina primero la matriz asociada M(S) = A, calculando las imágenes de los
( , , ) ( 3 , 2 6 , 4 6 5 )S x y z x y z x y z x y z= + + − + + − + +
tiene los valores característicos 1 2 3λ λ= = y 3 6λ = .¿Tiene S una representación matricial diagonal correspondiente, así como una base de 3 a la que esta referida dicha diagonal?; en caso negativo, explicar la razón de esa negativa.
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
•Con lo cual se concluye que: “A” no es diagonalizable.
•Por tanto, no hay una matriz diagonalizadora “P”, y la matriz “A” no tiene una representación matricial diagonal.
Con sólo dos vectores y se requieren 3!
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: PRODUCTO INTERNO Problema 1: Determinar si la siguiente función es o no un producto interno:
( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2 1 1 2 2 3 3; , , , , ,u v x x y y u x y v x y w x y= − ∀ = = = ∈
SOLUCIÓN: 1.- Simetría o conmutatividad: ( ) ( )u v v u=
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2 1 1, , , ,x y x y x y x y⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 2 1 2 2 1 2 1x x y y x x y y cumple− = − ←
2.- Aditividad o distributividad: ( ) ( ) ( )u v w u v u w+ = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 3 1 1 2 2 1 1 3 3, , , , , ,x y x x y y x y x y x y x y⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 3x x x y y y x x y y x x y y+ − + = − + −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3x x x y y y x x x y y y cumple+ − + = + − + ← 3.- Homogeneidad: ( ) ( )u v u vα α=
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2, , , ,x y x y x y x yα α α⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )1 2 1 2 1 2 1 2x x y y x x y yα α α− = −
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2x x y y x x y y cumpleα α− = − ←
4.- Positividad: ( ) 0 0u u para u> ← ≠
( ) ( ) ( ) 2 21 1 1 1 1 1 1 1, ,u u x y x y x y no cumple si x y⎡ ⎤= = − ← =⎣ ⎦
1 2 2
1
1(1) (1) 0
1x
Siy= ⎫
− =⎬= ⎭
por tanto, ( )u v no es un producto interno bajo la función dada.
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Determinar el conjunto de valores de “k” ∈ , para que la función:
( ) ( ) ( ) 21 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2; , , ,u w u w u w u w ku w u u u w w w= − − + ∀ = = ∈
Sea un producto interno en 2 , tomando en cuenta que la función cumple con la propiedad:
( ) ( ) ( )u w v u w u v+ = +
SOLUCIÓN: • La propiedad que se da como dato es la “aditividad”. Las otras dos propiedades (simetría y homogeneidad) no sirven para determinar “k” ya que son igualdades; por tanto: 4.- Positividad: ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2, ,u u u u u u u u u u u u ku u⎡ ⎤= = − − +⎣ ⎦
¿ ( ) 2 21 1 2 22 0u u u u u ku= − + > ?
( ) ( )1,1 ; 1, 1
1 2 0 1 2 01 3
Si u uk k
k k
= = −
− + > + + >> > −
( )
( )
( )
2 21 1 2 21 2 0
1, 1 1 2 1 04 0
1,0 1 0 0 01 0
1,1 1 2 1 00 0
Si k u u u u
ucumple
ucumple
uno cumple
= ⇒ − + >
∗ = − ⇒ + + >
> ←
∗ = − ⇒ + + >
> ←
∗ = ⇒ − + >
= ←
( )
2 21 1 2 22 2 2 0
1, 1 1 2 2 05 0
Si k u u u u
ucumple
= ⇒ − + >
∗ = − ⇒ + + >
> ←
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( )
( )
( )
1,1 1 2 2 05 0
1,0 1 0 0 01 0
0, 1 0 0 2 02 0
ucumple
ucumple
ucumple
∗ = − ⇒ + + >
> ←
∗ = ⇒ + + >
> ←
∗ = − ⇒ + + >
> ←
Por lo tanto, el valor de “k” para que la función dada sea un producto interno es 1k > Problema 3: En el espacio vectorial 2 se define la función:
( ) ( ) ( ) 21 2 1 2, ; , , ,
Tf v w vAw v v v w w w= ∀ = = ∈
donde v y w están representados como vectores renglón y 2 11 2
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
. Determinar si la
función dada es un producto interno. SOLUCIÓN: * Definiendo la función:
( ) ( )
( ) ( )
( )
11 2
2
11 2 1 2
2
1 1 2 1 1 2 2 2
2 1,
1 2
2 2
2 2
wv w v v
w
wv w v v v v
w
v w v w v w v w v w
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞
= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ = + + +
1.- Simetría o conmutatividad:
( ) ( )
1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
v w w v
v w v w v w v w w v w v w v w v
v w v w v w v w v w v w v w v w cumple
=
+ + + = + + +
+ + + = + + + ←
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2v w z v w z v w z v w z v w v w v w v w v z v z v z v z+ + + + + + + = + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 22 2 2 2v w z v w z v w z v w z v w z v w z v w z v w z
cumple
+ + + + + + + = + + + + + + +
↵
3.- Homogeneidad:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2
1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2
, , , ,
2 2 2 2
2 2 2 2
v w v w
v v w w v v w w
v w v w v w v w v w v w v w v w
v w v w v w v w v w v w v w v w cumple
α α
α α α
α α α α α
α α
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ + + = + + +
+ + + = + + + ←
4.- Positividad:
( )( ) ( ) ( )
( )
2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 21 1 2 2
0
, , 2 2
2 2 2 0; 0
v v
v v v v v v v v v v v v
v v v v v v v cumple
>
⎡ ⎤= = + + +⎣ ⎦
∴ = + + > ∀ ≠ ←
Por tanto, la función dada si es un producto interno. Problema 4: Determinar si la función:
( ) ( ) ( )2
3 3 21 2 1 2
1, , , ,i i
if u v x y u x x v v v
=
= ∀ = = ∈∑
es un producto interno en 2 . SOLUCIÓN: * El producto interno es: ( ) 3 3 3 3
1 1 2 2,f u v x y x y= +
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
1.- Simetría o conmutatividad:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2
, , , ,
u v v u
x x y y y y x x
x y x y y x y x
x y x y x y x y cumple
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ = +
+ = + ←
2.- Aditividad o distributividad:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
; ,
, , , , , ,
u v w u v u w sea w z z
x x y z y z x x y y x x z z
+ = + =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( )3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2x y z x y z x y x y x z x z+ + + = + + +
( ) ( ) ( ) ( )3 33 3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z x y z no cumple+ + + ≠ + + + ←
3.- Homogeneidad:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
3 33 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2
, , , ,
u v u v
x x y y x x y y
x y x y x y x y
x y x y x y x y no cumple
α α
α α α
α α α
α α α α
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ = +
+ ≠ + ←
4.- Positividad:
( )( ) ( ) ( )
( )
2 23 3 3 3 3 31 1 2 2 1 2
6 61 2
0
0 0
u u
u u x x x x x x
u u x x u cumple
>
= + = +
∴ = + > ∀ ≠ ←
Por tanto, la función dada no es un producto interno.
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 2 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
DEMOSTRACIONES Problema 1: Sea V un espacio vectorial real y sean ,u v V∈ . Demostrar que si
u v u v+ = − entonces u y v son ortogonales. SOLUCIÓN: Demostración:
• Sustituyendo valores en la expresión para determinar el ángulo:
2
1 1cos cos6022 2
θα
= = ° =+ ⋅
• Despejando α:
( )
2
22
2 2 2
( 2)(2) 2
α
α
+ ⋅ =
+ =
2
2
2
2 4 42 0
0
α
α
α
+ =
=
=
0α∴ = ← Valor para el cual cos 60θ = °
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Calcular la distancia y el ángulo entre los vectores ( )1 , 2z i i= − − y
( )2 ,2w i i= − que pertenecen al espacio vectorial 2C , respecto al producto interno usual definido por:
( ) ( ) ( ) 21 1 2 2 1 2 1 2, , ,z w z w z w z z z w w w C= + ∀ = = ∈
donde 1w y 2w son los conjugados de 1w y 2w , respectivamente. SOLUCIÓN: (a) La distancia se obtiene con: ( ),d z w z w= − • De donde: ( ) ( ) ( )1 , 2 2 ,2 1 3 , 2z w i i i i i i− = − − − − = − − −
( ), 15d z w∴ = ← Distancia entre los vectores z y w
(b) El ángulo se calcula, en este caso, con la expresión: ( )
cosR z w
z wθ ≅
⋅
• Calculando los productos internos necesarios:
( ) ( ) ( )
2
1 , 2 2 ,2 (1 )( 2 ) ( 2 )(2 )
2 2
z w i i i i i i i i
i i
⎡ ⎤= − − − = − − + − +⎣ ⎦
= − + 24 2i i− − 6i= −
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( ) ( ) ( )1 , 2 1 , 2 (1 )(1 ) ( 2 )(2 )
1
z z i i i i i i i i
i
⎡ ⎤= − − − − = − + + −⎣ ⎦
= + i−
( ) ( ) ( )
2 2
2
4 1 1 4 6 6
2 ,2 2 ,2 (2 )( 2 ) (2 )(2 )
4 4 2
i i z
w w i i i i i i i i
i i
− − = + + = → =
⎡ ⎤= − − = − + − +⎣ ⎦
= − + + 2i− 2 4 4 1 9 9i w− = + + = → =
• Sustituyendo valores se llega a:
0cos 06 9
θ ≅ ≅⋅
90θ∴ ≅ ° ← Ángulo entre los vectores z y w Problema 3: Sean F el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [-1,1] y el producto interno definido por:
( ) 1
1( ) ( ) ,f g f t g t dt f g F
−= ⋅ ∀ ∈∫
Para las funciones ( ) 1( )
( ) 1
f tg t t
h t t
=⎧⎪ =⎨⎪ = +⎩
determinar: (a) el ángulo entre f y h; y (b) la distancia
entre g y h. SOLUCIÓN:
(a) Ángulo entre f y h: ( )
cosf h
f hθ =
⋅
• Calculando los productos internos necesarios:
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Sustituyendo valores en la expresión del ángulo:
2 2cos823
θ = =⋅ 2
1 1 1 322 (2)(2) 4 12 2
3 3 3 3
= = = =⋅ ⋅ ⋅
• Por tanto:
3cos
2θ∴ = ← Ángulo entre f y h
(b) Distancia entre g y h: ( , )d g h g h= − • Realizando el producto interno: (1 ) 1g h t t− = − + = −
( ) [ ] ( )1 1 1
11 1( 1)( 1) 1 1 2g h g h dt dt t
−− −− − = − − = = = − − =∫ ∫
• Finalmente: ( , ) 2d g h g h∴ = − = ← Distancia entre g y h
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: PROCESO DE GRAM-SCHMIDT Problema 1: Sean 2P≤ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales, { }21, ,B x x= una base de 2P≤ y el producto interno en 2P≤ definido por:
( ) 1
1( ) ( )p q p x q x dx
−= ∫
(a) A partir de B, determinar una base ortogonal de 2P≤ . (b) Obtener el vector de coordenadas de 2( ) 1 2 3h x x x= + − en la base ortogonal del inciso anterior. SOLUCIÓN: (a) ¿La base B es ortogonal?
( )121 1
1 2 1 11
1 11( ) 02 2 2xv v x dx xdx
− −−
⎡ ⎤= = = = − =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫
( )131 12 2
1 3 1 11
1 1 1 1 21( ) 03 3 3 3 3 3xv v x dx x dx
− −−
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = = = − − = + = ≠⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ ← B no es ortogonal
• Mediante el proceso de Gram-Schmidt:
( )( )( )( ) [ ] ( )
1 1 1
2 1
2 2 1
1 1
1 1
2 1 1 1
1 1 11 1 11 1
2
1
(1) 0
1(1) 1 1 2
0 (1)2
w v w
v ww v w
w w
v w x dx xdx
w w dx dx x
w x
− −
−− −
= → ∴ =
= −
= = =
= = = = − − =
∴ = −
∫ ∫
∫ ∫
2w x→ =
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
1 12 23 1 1 1
141 33 2 1
1
1 1 22 2 1 1
23
21( )3
1 1 04 4 4
2( )3
2 / 3 0(1) ( )2 2 / 3
v w v ww v w w
w w w w
v w x dx x dx
xv w x dx
w w x x dx x dx
w x x
− −
−−
− −
= − −
= = =
⎡ ⎤= = = − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
= = =
∴ = − −
∫ ∫
∫
∫ ∫
23
13
w x→ = −
• Por tanto:
2 11, ,3OGB x x⎧ ⎫= −⎨ ⎬
⎩ ⎭ ← Base ortogonal
(b) El Vector de coordenadas en la base ortogonal BOG del inciso anterior buscado es:
( )1
2
3
BOGh
ααα
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
; donde sus coordenadas se obtienen con: ( )( )
11
1 1
h w
w wα = ,
( )( )
22
2 2
h w
w wα = y
( )( )
33
3 3
h w
w wα = .
• Calculando los productos internos correspondientes:
( )( ) ( )
( )( )
1 11 2 21 1 1 1
1 1
12 311
1 1
; (1 2 3 )(1) (1 2 3 )
1 1 1 ( 1 1 1) 0
2
h wh w x x dx x x dx
w w
x x x h w
w w
α− −
−
= = + − = + − =
⎡ ⎤= + − = + − − − + + → =⎣ ⎦
=
∫ ∫
1 0α∴ =
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( )( ) ( )
( )
( )
1 12 2 2 32 2 1 1
2 2
123 4
21
2 2
2
; (1 2 3 )( ) ( 2 3 )
2 3 1 2 3 1 2 3 42 3 4 2 3 4 2 3 4 3
23
43
h wh w x x x dx x x x dx
w w
x x x h w
w w
α
α
− −
−
= = + − = + − =
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + − = + − − − − → =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
=
=
∫ ∫
23
24 22
α= → ∴ =
( )( ) ( )
( )
( )
1 13 2 2 2 3 4 23 3 1 1
3 3
12 41 2 3 4 3 5
11
3
23 3
1 1 2; (1 2 3 ) 2 33 3 3
1 2 2 32 2 33 3 3 3 3 2 5
1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 83 3 3 2 5 3 3 3 2 5 15
13
h wh w x x x dx x x x x x dx
w w
x x xx x x x dx x x
h w
w w x
α− −
−−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − − = + − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + + − = − − + + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎛ ⎞= − − + + − − − − + + → = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= −⎜⎝ ⎠
∫ ∫
∫
( )
12 51 1 4 2 3
1 11
3 3
3
2 1 23 9 5 9 9
1 2 1 1 2 1 85 9 9 5 9 9 45
8
x xdx x x dx x
w w
α
− −−
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + =⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎛ ⎞= − + − − + − → =⎜ ⎟⎝ ⎠
−=
∫ ∫
158 3
45 315
45
α= − → ∴ = −
• Por tanto:
( )023
OGBh
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
← Vector de coordenadas
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Sea 2P≤ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales, y el producto interno en 2P≤ , definido por:
( )2
0 1 20 0 1 1 2 2 22
0 1 2
( )2 3
( )p x a a x a x
p q a b a b a b Pq x b b x b x ≤
= + += + + ∀ ∈
= + +
Obtener una base ortogonal de 2P≤ , a partir de la base { }21 ,1 ,1B x x x= + + + . SOLUCIÓN: • Utilizando el proceso de Gram-Schmidt:
( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
1 1
21
2 1
2 2 1
1 1
22 1
2 21 1
2 2 22 2
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
23 1
1
1 1 1(1) 2(1)(1) 3(0)(1) 3
1 1 1(1) 2(1)(1) 3(1)(1) 6
3 1 1 1 1 1 11 (1 ) 16 2 2 2 2 2 2
11 1(1
w v
w x x
v ww v w
w w
v w x x x
w w x x x x
w x x x x x x w x x
v w v ww v w w
w w w w
v w x x
=
∴ = + +
= −
= + + + = + + =
= + + + + = + + =
∴ = + − + + = − + − − → = + −
= − −
= + + =
( )
( )
23 2
2 22 2
2 23 3
) 2(0)(1) 3(0)(1) 1
1 1 1 112 2 2 2
1 1 1 1 1 1 32 2 2 2 2 2 2
1 1/ 2 1 1 1 2 11 (1 )6 3/ 2 2 2 2 3 3
v w x x
w w x x x x
w x x x x w x
+ + =
⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞∴ = − + + − + − → = −⎜ ⎟⎝ ⎠
• Finalmente: 2 21 1 1 2 11 , ,2 2 2 3 3OGB x x x x x⎧ ⎫= + + + − −⎨ ⎬
⎩ ⎭ ←Base ortogonal
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 3: Sea 2P≤ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales, y sea el conjunto { }21,1 ,1B x x x= + + + una base de 2P≤ . Determinar a partir de B una base ortonormal de dicho espacio, considerando el producto interno en 2P≤ definido por:
( )2
1 1 11 1 2 2 3 3 22
2 2 2
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )p x a b x c x
p q p x q x p x q x p x q x Pq x a b x c x ≤
= + += + + ∀ ∈
= + +
donde 1 1x = − ; 2 0x = ; 3 1x = . SOLUCIÓN: • El producto interno dado es: ( ) ( 1) ( 1) (0) (0) (1) (1)p q p q p q p q= − − + +
• ¿B es ortogonal?: ( )1 2 11 (1)(0) (1)(1) (1)(2) 3 0v v x⎡ ⎤= + = + + = ≠⎣ ⎦ ← B no es ortogonal
• Utilizando el proceso de Gram-Schmidt:
( )( )( )( ) ( ) ( )
1 1
1
2 1
2 2 1
1 1
2 1
1 1 1 1
1
3
11 (1)(1) (1)(1) (1)(1) 3
w v
w
v ww v w
w w
v w
w w w w
=
∴ =
= −
=
= = + + → =
2313
w x∴ = + − (1) 1= 1x+ − 2w x→ =
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 6 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Obteniéndose, al igual que en la primera solución, que el vector v inicial se transforma
en w z
vz w
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, y por consiguiente el complemento ortogonal es:
,w z
W w z Rz w
⊥ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
.
(b) Para determinar la matriz A cuya distancia a la matriz 1 11 1
C ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
sea mínima, se utiliza:
C A B= + donde A W∈ ; B W ⊥∈ y 2 2C M ×∈
• Considerando los vectores: a b
A Wb a−⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
y w z
B Wz w
⊥−⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
, y sustituyendo
valores en la sumatoria anterior, se tiene:
1 11 1
1 11 1
C A Ba b w z
b a z w
a w b zb z a w
= +
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦− + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Igualando términos:
1 (1)1 (2)1 (3)1 (4)
a wb zb za w
= − + →= − →= + →= + →
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• De (1): 1w a= + ; sustituyendo en (4): 1 1 2 0 0a a a a= + + → = → = • Por tanto: 1w = • De (2): 1b z= + ; sustituyendo en (3): 1 1 2 0 0z z z z= + + → = → = • Por tanto: 1b =
• Con los valores encontrados se tiene que: 0 11 0
A W⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
y 1 00 1
B W ⊥⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
• Donde 0 11 0
A W⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
← Matriz cuya distancia a la matriz 1 11 1
C ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
es mínima.
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 2 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO Problema 1: Verificar que los vectores (1 5 , )z i i= + y (5 , )w i i= − que pertenecen al espacio vectorial C2, satisfacen la desigualdad del triángulo respecto al producto interno definido por:
( ) 21 1 2 2 1 2 1 25 ( , ), ( , )z w z w z w z z z w w w C= + ∀ = = ∈
donde 1w y 2w son los conjugados de 1w y 2w , respectivamente. SOLUCIÓN: * La desigualdad del triángulo es: z w z w+ ≤ +
* La sumatoria es:
(1 5 , ) (5 , ) (1 5 5 , ) (6 4 , 2 )
(6 4 , 2 )
z w i i i i i i i i i i
z w i i
+ = + + − = + + − + = +
+ = +
* Calculando los productos internos necesarios: a) ( ) (6 4 , 2 ) (6 4 , 2 ) 5(6 4 )(6 4 ) (2 )(2 )z w z w i i i i i i i i+ + = ⎡ + + ⎤ = + + +⎣ ⎦
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 2 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
b) ( ) (1 5 , ) (1 5 , ) 5(1 5 )(1 5 ) ( )( )z z i i i i i i i i= ⎡ + + ⎤ = + − + −⎣ ⎦
( )
5(1 25) 15(26) 1130 1
131z z
= + += += +
=
131z∴ =
c) ( ) (5 , ) (5 , ) 5(5 )(5 ) ( )( )w w i i i i i i i i= ⎡ − − ⎤ = − + + −⎣ ⎦
( )
5(25 1) 1130 1
131w w
= + += +
=
131w∴ =
* Sustituyendo valores en la desigualdad del triángulo: z w z w+ ≤ +
264 131 131
264 2 131
264 4(131)264 524
≤ +
≤
≤
≤
* Por tanto: 264 524< ← Se cumple la desigualdad del triángulo
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: ORTOGONALIDAD Y TEOREMA DE PITÁGORAS Problema 1: Determinar el valor de k para que los vectores:
( )f t t k= + y 2( )g t t= sean ortogonales, utilizando el producto interno definido por:
( ) 1
0( ) ( )f g f t g t dt= ∫
SOLUCIÓN: • Los vectores f(t) y g(t) son ortogonales cuando ( ) 0f g = .
• Por tanto, sustituyendo valores e igualando con cero:
( )
( )
14 31 12 3 2
0 00
1 1( )( ) ( )4 3 4 3
1 1 04 3
t tf g t k t dt t kt dt k k
f g k
⎡ ⎤= + = + = + = +⎢ ⎥
⎣ ⎦
= + =
∫ ∫
• Despejando:
34
k∴ = − ← Para que f(t) y g(t) sean ortogonales
Problema 2: En el espacio vectorial C2 se define el producto interno:
( ) ( ) ( )2
21 2 1 2
1
; , , ,n nn
z w z w z z z w w w C=
= ∀ = = ∈∑
donde nw es el conjugado de nw . Si ( ),z k i= y ( )2 ,2w i i= − .
(a) Obtener k C∈ , para que los vectores z y w sean ortogonales. (b) Con el valor de k obtenido en el inciso anterior, verificar que z y w satisfacen el teorema de Pitágoras.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SOLUCIÓN: (a) El producto interno dado es: ( ) 1 1 2 2z w z w z w= +
• Haciendo ( ) 0z w = se tiene:
( ) ( ) ( )
( )2, 2 ,2 (2 ) ( 2 ) 2 2 2 2 0
2 2 0
z w k i i i k i i i k ki i k ki
z w k ki
⎡ ⎤= − = + + − = + + − = + + =⎣ ⎦
∴ = + + =
(2 ) 2
2 2 (2 ) 4 22 2 (2 ) 4 2
k ii ik
i i i i
+ = −− − − − +
= = ⋅ =+ + − + 2i− 2
4 2 4 24 1 5 5
i ii
− + −= = +
+−
4 25 5
k i∴ = − + ← Para que z y w sean ortogonales
(b) Teorema de Pitágoras:
2 2 2z w z w+ = +
• Calculando los productos internos necesarios:
( ) ( ) ( ) 4 2, 2 ,2 2 , 2 2 ,35 5
z w k i i i k i i i i i i⎛ ⎞+ = + − = + − + = − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
• Sustituyendo valores en el teorema de Pitágoras:
2 2 254 9 455 5 5
54 9 455 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= +
• Finalmente: 54 545 5= ← Queda demostrado el teorema
Problema 3: Obtener con el producto interno usual en 3R , un vector unitario que sea ortogonal a los vectores ( )1,1, 1x = − , ( )2,1,2y = − y ( )1,0,1z = − . SOLUCIÓN: • Se propone el vector ( ) 3, ,v a b c R= ∈
• Para que sea ortogonal a los vectores x , y , z , se realizan:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, , 1,1, 1 0 ............(1)
, , 2,1,2 2 2 0 ....(2)
, , 1,0,1 0 ...............(3)
v x a b c a b c
v y a b c a b c
v z a b c a c
⎡ ⎤= − = + − =⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = − + + =⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = − + =⎣ ⎦
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• De la ecuación (3) se tiene que: c a= • Sustituyendo en la ecuación (1): a b a+ − 0= → ∴ 0b = • Comprobando en la ecuación (2): 2 2 0a b c− + + = → 2a− 2b a+ + 0= → ∴ 0b = • Por tanto: ( ),0, Vector ortogonal a , ,v a a x y z= ←
• Asimismo, para que el vector v sea unitario, se realiza:
( )( )( ) ( ) ( )
12
2 2
1
1
,0, ,0, 1
v v v
v v
v v a a a a a a
= =
=
⎡ ⎤= = + =⎣ ⎦
2
2
2 112
12
a
a
a
=
=
= ±
• Finalmente, el vector unitario pedido es:
1 1,0,2 2
v ⎛ ⎞= ± ±⎜ ⎟⎝ ⎠
← Vector unitario y ortogonal a los vectores x , y , z