Algebra liniowa z geometrią analityczną 15/15 WYKŁAD 11. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE Przekształcenie liniowe Definicja Przyporządkowanie wektorom n R v wektorów k R v f , v f v f : jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy gdy: k k k k v f c v f c v f c v c v c f 2 2 1 1 1 1 Postać przekształcenia liniowego n e e e , , , 2 1 - baza kanoniczna w n R Przyjmujemy: n n w e f w e f w e f , , , 2 2 1 1 dla dowolnego wektora n n R v v v v , , , 2 1 n n e v e v e v v 2 2 1 1 Stąd ) (v f n n e f v e f v e f v 2 2 1 1 = n n w v w v w v 2 2 1 1 = nn n n n n w v w v w v w v 1 1 1 11 1 , , = v w w w n 2 1 , gdzie ij w jest j- tą współrzędną wektora i w Definicja Macierz f A postaci f A n w w w 2 1 nazywamy macierzą przekształcenia f
15
Embed
Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD 11 ...staff.uz.zgora.pl/kbialek/pliki-2017/alg-liniowa-inf/wyklad11_alg... · Algebra liniowa z geometrią analityczną 15/15 Konstrukcja
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
WYKŁAD 11.
PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
Przekształcenie liniowe
Definicja
Przyporządkowanie wektorom nRv
wektorów kRvf
,
vfvf :
jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy gdy:
kkkk vfcvfcvfcvcvcf 221111
Postać przekształcenia liniowego
neee ,,, 21 - baza kanoniczna w nR
Przyjmujemy:
nn wefwefwef
,,, 2211
dla dowolnego wektora n
n Rvvvv
,,, 21
nn evevevv 2211
Stąd )(vf
nn efvefvefv 2211 =
nn wvwvwv 2211 =
nnnnnn wvwvwvwv 111111 ,, =
vwww n21 , gdzie ijw jest j- tą współrzędną wektora iw
Definicja
Macierz fA postaci fA
nwww 21 nazywamy
macierzą przekształcenia f
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
Konstrukcja macierzy przekształcenia
f – przekształcenie liniowe
Krok 1. Znaleźć
nn wefwefwef
,,, 2211
Krok 2. Utworzyć macierz fA przez wpisanie jako jej kolejnych
kolumn wektorów nwww 21 tj.
nf wwwA 21
Wtedy vAvf f dla wektorów nRv
Podstawowe własności przekształcenia liniowego
Niech rząd rAf
Uwaga
Jeżeli f jest przekształceniem liniowym określonym na wektorach w nR o wartościach będących wektorami z mR , to macierz fA jest wymiaru mxn
Metoda eliminacji pozwala na doprowadzenie macierzy fA do postaci:
000
0
2
1
ra
a
a
operacje wierszowe nie zmieniają wartości wyznaczników, więc zachowują liniową niezależność
wektorów
Obliczamy
vAvf f
gdzie jako wektor
v przyjmujemy kolejno:
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
neee ,,, 21 nR
Stąd
1q
1
2
1
000
0e
a
a
a
r
0,,0,1 a
0,,0,,0 22 aq
0,,0,,0,0 33 aq
................................
0,0,,0,,0 rr aq
0,,0,0 - (m-r) wierszy
Każdy wektor )(vf jest kombinacją liniową wektorów
rqqq ,,, 21
Oznaczenia
Obraz mR przez przekształcenie f - rng(f) (zbiór wektorów postaci f(v) w Rn)
Baza w rng(f) (inaczej: wymiar algebraiczny) - dimrng(f)
Twierdzenie
rząd fA =dimrng(f)
Algorytm dla bazy w rng(f)
Krok 1. Wykonaj operacje wierszowe metody eliminacji na fA .
Zapisz współczynniki główne raaa ,,, 21 .
Utwórz wektory rqqq ,,, 21 .
Algebra liniowa z geometrią analityczną
15/15
Krok 2. Utwórz macierz
rqqqB 21 .
Wykonaj w B operacje wierszowe odwrotne do operacji w Krok 1. I w odwrotnej kolejności.
Zapisz otrzymaną macierz C.
Wynik: Kolumny macierzy C tworzą bazę w rng(f)
Definicja
Jądrem przekształcenia liniowego Ker(f) nazywamy zbiór tych wszystkich wektorów z nR dla których