Álgebra Linear e Geometria Analítica Rectas no plano, no espaço e em IR n Planos no espaço e em IR n
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Álgebra Linear e
Geometria Analítica
Rectas no plano, no espaço e em IRn
Planos no espaço e em IRn
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1,u2)
(v1,v2)
(u1+v1, u2+v2)
(u1,u2)
(v1,v2)
(u1+v1, u2+v2)
(-3,2)
(4,6)
u=(7,4)
(4,6)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?É preciso encontrar uma condição a que obedeçam os pontos da recta e só esses.
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
uαu
βu
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2) ponto
u = (7, 4) vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2) ponto
u = (7, 4) vector
P = (x, y) ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2) ponto
u = (7, 4) vector
P = (x, y) ponto geral da recta
P = A + α u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2) ponto
u = (7, 4) vector
P = (x, y) ponto geral da recta
P = A + α u
(x, y) = (-3, 2) + α (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P = A + α u
(x, y) = (-3, 2) + α (7, 4) equação vectorial
equações
paramétricas
+=
+−=
α
α
42
73
y
x
+=
+−=
α
α
42
73
y
x
+=
+−=
α
α
42
73
y
x
+×+=
+=
7
342
7
3
xy
xα
+=
+−=
α
α
42
73
y
x
+×+=
+=
7
342
7
3
xy
xα
2674 =+− yx
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2) ponto
u = (7, 4) vector
P = (x, y) ponto geral da recta
2674 =+− yx
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2) ponto
u = (7, 4) vector
P = (x, y) ponto geral da recta
2674 =+− yx
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2) ponto
u = (7, 4) vector
2674 =+− yx
2627)3(4 =×+−×−
Observemos:
A = (-3, 2) ponto
u = (7, 4) vector
2674 =+− yx
2627)3(4 =×+−×−
04774 =×+×−
Observemos:
A = (-3, 2) ponto
u = (7, 4) vector
2674 =+− yx
2627)3(4 =×+−×−
04774 =×+×−
0)4,7()7,4( =⋅−
Equação geral da recta no plano:
cbyax =+
Em geral:
A = (a1, a2) ponto
u = (u1, u2) vector
(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2) ponto
u = (u1, u2) vector
(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)
+=
+=
22
11
uay
uax
α
α
Em geral:
A = (a1, a2) ponto
u = (u1, u2) vector
(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)
+=
+=
22
11
uay
uax
α
α
−=−
−=
2
1
12
1
1
uu
axay
u
axα
Em geral:
A = (a1, a2) ponto
u = (u1, u2) vector
(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)
+=
+=
22
11
uay
uax
α
α
−=−
−=
2
1
12
1
1
uu
axay
u
axα
( )1
1
22 ax
u
uay −=−
Em geral:
A = (a1, a2) ponto
u = (u1, u2) vector
(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)
( )1
1
22 ax
u
uay −=−
−+= 1
1
2
2
1
2 au
uax
u
uy
Em geral:
A = (a1, a2) ponto
u = (u1, u2) vector
(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)
( )1
1
22 ax
u
uay −=−
−+= 1
1
2
2
1
2 au
uax
u
uy
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma equação do tipo:
y = m x + h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma equação do tipo:
y = m x + h
−== 1
1
2
2
1
2 au
uah
u
um
−+= 1
1
2
2
1
2 au
uax
u
uy
u1
u2
θ
u1
u2
θ
1
2
u
utg =θ
Declive da recta:
• A chama-se declive da recta1
2
u
utg =θ
−== 1
1
2
2
1
2 au
uah
u
um
Declive da recta:
• A chama-se declive da recta1
2
u
utg =θ
−== 1
1
2
2
1
2 au
uah
u
um
y = m x + hm decliveh ordenada na origem
Declive da recta:
• A chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
1
2
u
utg =θ
-2x
+ y
= -4
-2x
+ y
= -1
-2x
+ y
= 1
-2x
+ y
= 6
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + α u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + α v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
2
9
2
1+−= xy
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + α u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + α v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
−== 1
1
2
2
1
2 au
uah
u
umRecta L:
Recta L’:
−== 1
1
2
2
1
2 '' bv
vbh
v
vm
−== 1
1
2
2
1
2 au
uah
u
umRecta L:
Recta L’:
−== 1
1
2
2
1
2 '' bv
vbh
v
vm
00 2211 =+⇔=⋅ vuvuvu
−== 1
1
2
2
1
2 au
uah
u
umRecta L:
Recta L’:
−== 1
1
2
2
1
2 '' bv
vbh
v
vm
⇔=+⇔=⋅ 00 2211 vuvuvu
1
2
2
1
v
v
u
u−=⇔
−== 1
1
2
2
1
2 au
uah
u
umRecta L:
Recta L’:
−== 1
1
2
2
1
2 '' bv
vbh
v
vm
⇔=+⇔=⋅ 00 2211 vuvuvu
'
1
1
2
2
1
mm
v
v
u
u−=⇔−=⇔
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual ao ângulo entre os vectores que definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
0''':
0:
=++
=++
cybxasrecta
cbyaxrrecta
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
0''':
0:
=++
=++
cybxasrecta
cbyaxrrecta
=++
=++
0'''
0
cybxa
cbyax
=++
=++
0'''
0
cybxa
cbyax
1º caso: sistema possível e determinado: as rectas são concorrentes
2º caso: sistema impossível: as rectas são paralelas3º caso: sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta: 1243 =+ yx
Equação geral da família de rectas perpendiculares àrecta:
hyx =− 34
Equação da recta perpendicular à recta dada que passa no ponto A = (5, 1): h = 4×5 - 3×1 = 17
1734 =− yx
=−
=+
1734
1243
yx
yx
−=−=
==
12.025
3
16.425
104
y
x
=−
=+
1734
1243
yx
yx
−=−=
==
12.025
3
16.425
104
y
x
=−
=+
1734
1243
yx
yx
−=−=
==
12.025
3
16.425
104
y
x
( ) ( )2212.0116.45),( ++−=BAd
4.1),( =BAd
Outra forma de calcular a distância:
• Encontrar um vector n normal à recta
• Considerar um ponto P sobre a recta
• Considerar o vector AP
• Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de equação ax + by + c = 0
22
11
ba
cbyaxd
+
++=
Rectas em IR3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
u
P + uP
L = {0 + αu}
L’ = {P + αu}
Equações de rectas no espaço:
L = {P + αu}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + αu}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
+=
+=
+=
33
22
11
upz
upy
upx
α
α
α
Equações de rectas no espaço:
L = {P + αu}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
+=
+=
+=
33
22
11
upz
upy
upx
α
α
α
−+=
−+=
−=
3
1
13
2
1
1
2
1
1
uu
pxpz
uu
pxpy
u
pxα
Planos em IR3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em IR3
Um plano M é um conjunto de pontos da forma:
em que P é um ponto e u e v são vectores linearmente independentes.
{ }IRvuPM ∈++= βαβα ,:
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + α(1,2,1) + β(1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + α(1,2,1) + β(1,0,4)
++−=
+=
++=
βα
α
βα
43
22
1
z
y
x
++−=
+=
++=
βα
α
βα
43
22
1
z
y
x
+
−
−
3
2
1
41
02
11
z
y
x
+−+
+−−
−
−
13
222
1
30
20
11
xz
xy
x
+−
−
−
−
4
2
1
30
20
11
xz
xy
x
+−
−
−
−
4
2
1
30
20
11
xz
xy
x
+−
+−
−
42
1
30
10
11
xz
xy
x
−++−
+−
−
xy
xz
xy
x
32
34
2
1
00
10
11
042
34 =++−y
xz
42
34 −=++− zy
x
8238 −=++− zyx
8238 =−− zyx
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao plano
=
401
121det""
321eee
n
32101
21det
41
11det
40
12det eeen
+
−
=
( )2,3,8238 321 −−=−−= eeen
( ) 0=−⋅ PXn
( ) 0=−⋅ PXn
( ) ( ) 03,2,12,3,8 =+−−⋅−− zyx
( ) 0=−⋅ PXn
( ) ( ) 03,2,12,3,8 =+−−⋅−− zyx
0668238 =−+−−− zyx
( ) 0=−⋅ PXn
( ) ( ) 03,2,12,3,8 =+−−⋅−− zyx
0668238 =−+−−− zyx
8238 =−− zyx
Distância de um ponto a um plano:
{ }ℜ∈++= βαβα ,:vuPM
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
{ }ℜ∈++= βαβα ,:vuPM
Q ponto que não pertence ao planon vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
{ }ℜ∈++= βαβα ,:vuPM
Q ponto que não pertence ao planon vector ortogonal ao plano
( )n
nQPMQd
⋅−=),(
Distância de um ponto a um plano:
{ }ℜ∈++= βαβα ,:vuPM
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao planon = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0
( )222
000),(
cba
dczbyax
n
nQPMQd
++
+++=
⋅−=
P
nQ
P
nQ
P
nQ
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre os vectores ortogonais aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos éuma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos éuma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos édada por
n
dd '−
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um plano através do ângulo entre um vector com a direcção da recta e um vector normal ao plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um plano através do ângulo entre um vector com a direcção da recta e um vector normal ao plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
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