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RED NACIONAL UNIVERSITARIA
SYLLABUS
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
Carrera Ingeniera de Sistemas, Telecomunicaciones, Gas y Petrleo
y
Comercial
ALGEBRA LINEAL
SEGUNDO SEMESTRE
Lic. ADM. Edgar Martnez Caldern Ing. Kasandra Julie Vargas
Rocha
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Gestin Acadmica I/2010
UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad lder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educacin Superior Universitaria con calidad y
competitividad al servicio de la sociedad.
Estimado(a) estudiante: El syllabus que ponemos en tus manos es
el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han
puesto sus mejores empeos en la planificacin de los procesos de
enseanza para brindarte una educacin de la ms alta calidad. Este
documento te servir de gua para que organices mejor tus procesos de
aprendizaje y los hagas mucho ms productivos. Esperamos que sepas
apreciarlo y cuidarlo.
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I.
SYLLABUS
Asignatura: lgebra Lineal
Cdigo: MAT 111A
Requisito: MAT 101A
Carga Horaria: 80
Crditos: 8
II. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA. Conocer e inferir
soluciones a travs de la aplicacin de las ciencias exactas,
especficamente en el rea de conocimiento relacionado con el clculo
matricial y su uso en el estudio de los espacios vectoriales,
aplicaciones lineales, formas cuadrticas y la geometra afn.
El lgebra Lineal se constituye en uno de los pilares
fundamentales del desarrollo del pensamiento y razonamiento
abstracto, la bsqueda de soluciones a problemas de carcter
profesional a travs de las diferencias tcnicas, que permitirn el
desarrollo del pensamiento alternativo, reflexivo e interpretativo
del objeto de estudio que en particular aborda cada
especialidad.
III. PROGRAMA ANALTICO DE LA ASIGNATURA. UNIDAD 1: SISTEMAS DE
ECUACIONES, MATRICES Y DETERMINANTES.
Tema 1. SISTEMAS LINEALES.
1.1 Definiciones 1.2 Sistemas compatibles e incompatibles
1.3 Representacin matricial 1.4 Mtodos de solucin 1.5 Sistemas
homogneos
Tema 2. MATRICES
2.1 Definiciones bsicas. 2.2 Operaciones algebraicas y
propiedades de matrices.
2.3 Matrices especiales: Matriz nula, matriz transpuesta, matriz
identidad, matriz diagonal, matriz escalar, matriz triangular
superior e inferior, matriz simtrica y antisimtrica, matriz
idempotente, matriz involutiva, matriz nilpotente, matriz
permutable, matriz ortogonal, matriz peridica.
2.4 Operaciones elementales de fila y columna. 2.4.1 Eliminacin
de Gauss. 2.4.2 Eliminacin de Gauss - Jordn. 2.4.3 Rango o
caracterstica de una matriz. 2.4.4 Matriz inversa. 2.5 Matrices
elementales: Matriz regular, matriz singular.
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2.6 Ecuaciones matriciales.
Tema 3. DETERMINANTES 3.1 Definiciones 3.2 Propiedades 3.3
Determinante del producto de dos matrices 3.4 Mtodos de solucin.
3.4.1 Desarrollo de cofactores. 3.4.2 Mtodo de lnea. 3.4.3
Desarrollo de La Place. 3.4.4 Regla de Chio 3.5 Regla de Cramer.
Matriz adjunta e inversin de matrices
UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES, TRANSFORMACIONES LINEALES.
Tema 4. ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Vectores en el plano y en el espacio, operaciones con
vectores. 4.2 Espacio Euclidiano. Definicin y propiedades bsicas.
4.3 Subespacios. 4.4 Combinacin lineal y espacio generado. 4.5
Dependencia e Independencia lineal. 4.6 Bases y dimensin.
Tema 5. TRANSFORMACIONES LINEALES
5.1 Definiciones. Propiedades 5.2 Ncleo e imagen. 5.3 Dimensin
del ncleo y de la imagen. 5.4 Transformaciones lineales inversas.
5.5 Representacin matricial de una T.L.
UNIDAD 3: VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS. FORMAS CANONICAS.
FORMAS CUADRATICAS
Tema 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS.
6.1 Valores, vectores y espacios propios. 6.2 Polinomio
caracterstico de una matriz. 6.3 Matrices semejantes:
diagonalizacin de matrices. 6.4 Matrices simtricas: diagonalizacin
de matrices.
Tema 7. FORMAS CANONICAS.
7.1 Formas Triangulares 7.2 Invariancia Descomposiciones en suma
directa invariante 7.3 Descomposicin primaria 7.4 Operadores
nilpotentes 7.5 Formas cannicas de Jordn Subespacios cclicos
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7.6 Forma cannica racional Espacio cociente Tema 8. FORMAS
CUADRATICAS.
8.1 Formas bilineales Formas bilineales y matrices 8.2 Formas
bilineales alternadas Formas bilineales simtricas Formas cuadrticas
8.3 Formas bilineales simtricas reales. Ley de inercia Formas
hermticas IV. SISTEMA DE EVALUACIN DE APRENDIZAJES.
EVALUACIN PROCESUAL (50%) EVALUACIN DE RESULTADOS (50%)
Se tomara en cuenta el promedio de los siguientes tems para cada
evaluacin parcial:
- Resolucin y entrega practicas - Resolucin y entrega de Work
Papers - Trabajo con Difs - Participacin en clases - Presentacin de
archivador de la
materia
Se tomara en cuenta los siguientes tems para cada evaluacin
parcial y evaluacin final:
Examen de la materia
Nota: El estudiante debe de tener el 80 % de asistencia durante
el semestre para estar debidamente habilitado a rendir su evaluacin
final
V. BIBLIOGRAFA.
LISPCHUTZ, SEYMOUR, "Algebra lineal, 2da. Ed., Edit. McGraw
Hill, (Serie Schaum), Espaa, 1998
VEGA B. F. CHUNGARA C. V., lgebra Lineal, 5ta. Ed., Editorial,
U.M.S.A., La Paz Bolivia, 2001.
SOTO M., VICENTE J. Prentice Hall, Algebra Lineal con MATLAB y
MAPLE. HERNNDEZ, E., lgebra y Geometra", Addison-Wesley
Iberoamericana. ROJO, J. Y MARTN, I. McGraw-Hill, Ejercicios y
Problemas de lgebra Lineal, ROJO ARMANDO, lgebra I, 10ma Ed.
Editorial El Ateneo 398 p, Buenos Aires, 1986
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VI. CONTROL DE EVALUACIONES
El seguimiento y evaluacin a los estudiantes de la asignatura se
regir en las metodologas de diagnstica, procesal y de resultados;
cada una de las cuales se regir en normas y reglamentos
establecidos por la Universidad a fin de garantizar al aprendizaje
de los estudiantes.
1 evaluacin parcial Fecha Nota 2 evaluacin parcial Fecha Nota
Examen final Fecha Nota
APUNTES
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VII. PLAN CALENDARIO.
SEMANA DEL AL ACTIVIDADES OBSERVACIONES
1ra. 05-abr 10-abr Avance de
materia TEMA 1. SISTEMAS LINEALES.
2da. 12-abr 17-abr Avance de
materia TEMA 1. SISTEMAS LINEALES.
3ra. 19-abr 24-abr Avance de
materia TEMA 2. MATRICES
4ta. 26-abr 01-may Avance de
materia TEMA 2. MATRICES
5ta. 03-may 08-may Avance de
materia TEMA 3. DETERMINANTES
6ta. 10-may 15-may Avance de
materia TEMA 3. DETERMINANTES Presentacin de Notas
7ma. 17-may 22-may Avance de
materia Inicio Primera Evaluacin Parcial Presentacin de
Notas
8va. 24-may 29-may Avance de
materia Conclusin Primera Evaluacin
Parcial
9na. 31-may 05-jun Avance de
materia TEMA 4. ESPACIOS VECTORIALES
10ma. 07-jun 12-jun Avance de
materia TEMA 4. ESPACIOS VECTORIALES
11ra. 14-jun 19-jun Avance de
materia TEMA 5. TRANSFORMACIONES LINEALES
12da. 21-jun 26-jun Avance de
materia Inicio Segunda Evaluacin Parcial Presentacin de
Notas
13ra. 28-jun 03-jul Avance de
materia Conclusin Segunda Evaluacin Parcial Presentacin de
Notas
14ta. 05-jul 10-jul Avance de
materia TEMA 5. TRANSFORMACIONES LINEALES
15ta. 12-jul 17-jul Avance de
materia TEMA 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS.
16ta. 19-jul 24-jul Avance de
materia TEMA 7. FORMAS CANONICAS.
17ma. 26-jul 31-jul Avance de
materia TEMA 8. FORMAS CUADRATICAS
18va. 02-ago 07-ago Inicio Evaluacin Final Presentacin de
Notas
19na. 09-ago 14-ago Conclusin Evaluacin Final Transcripcin de
Notas
20va. 16-ago 21-ago Evaluacin del segundo turno Presentacin de
Notas
FERIADOS
2 de abril Viernes Santo
1 de mayo Da del trabajo
3 de junio Corpus Cristi
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VIII. PLANIFICACIN DE ACTIVIDADES.
CONTENIDO MNIMO
CONTENIDO ANALTICO ACTIVIDAD PERIODOS
ACADMICOS RECURSOS
DIDACTICOS
MATEMATICAS Y LA
INFORMATICA
Objetivos
Importancia
Rol Limitaciones
CLASE MAGISTRAL
8 PERIODOS
Material de apunte
Computador Proyector
VECTORES Y MATRICES
Matrices Determinantes
CLASE MAGISTRAL
6 PERIODOS
Pizarra
Material de apunte
Computado
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WORK PAPER # 1
PROGRAMA ALGEBRA LINEAL
No. D No. DE PROCEDIMIENTO: APRO 07 No. DE HOJAS: 2
ELAB ELABOR: Ing. Eloy Terceros Urquieta CDI CDIGO: MAT 111A
TTULO DEL WORK PAPER:
Sistemas de Ecuaciones Lineales
DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnologa
DESTINADO A:
DOCENTES ALUMNOS X ADMINIST. OTROS
OBSERVACIONES: Carrera Ingeniera de Sistemas,
Telecomunicaciones, Comercial y Gas y Petrleo. Asignatura: Algebra
Lineal
FECHA DE DIFUSIN: marzo del 2010
FECHA DE ENTREGA: marzo del 2010
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se pretende que el alumno, que
ya sabe resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incgnitas, pueda mejorar su comprensin del significado de las
operaciones algebraicas que realiza para resolverlas y relacione
los aspectos algebraicos con los geomtricos, de forma que le
facilite el aprendizaje de sistemas con ms ecuaciones y con ms
incgnitas. Se pretende tambin que se familiarice con la terminologa
utilizada en este campo y la emplee adecuadamente: ecuacin, grado,
incgnita, resolucin, solucin, ecuaciones equivalentes, sistema,
sistema compatible, sistema compatible indeterminado, sistema
incompatible, nmero de soluciones, etc. OBJETIVOS Identificar y
obtener las graficas de las ecuaciones lineales con dos incgnitas.
Identificar y resolver grficamente sistemas de ecuaciones lineales
con dos incgnitas. Analizar e identificar las posibilidades que
pueden presentarse al resolver un sistema de ecuaciones lineales
con dos incgnitas. Determinar la compatibilidad de un sistema de
ecuaciones lineales con dos incgnitas y e interpretarlo
geomtricamente. Analizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales
con parmetros. 1.- Cambia los valores de a, b y c y observa que el
conjunto de soluciones (x,y) de la ecuacin lineal con dos incgnitas
es una recta. 2.- Contesta en el cuaderno a las siguientes
preguntas:
a) Habr alguna ecuacin lineal con dos incgnitas que no tenga por
solucin los puntos de una recta? b) Cualquier recta del plano tendr
asociada siempre una ecuacin lineal? RECTAS Y ECUACIONES LINEALES
1.- Vamos a ver en esta escena que cualquier recta siempre tiene
una ecuacin lineal asociada. 2.- Puedes desplazar los puntos A y B
arrastrndolos con el ratn. El parmetro coord. enteras permite
alternar entre moverse por coordenadas enteras o decimales.
3.-Mueve los puntos a cualquier posicin y observa que para cada
recta se obtiene una ecuacin. 4.- Escribe en el cuaderno cmo son
las ecuaciones de las rectas horizontales, las ecuaciones de las
rectas verticales, las que pasan por el origen y las que cumplen
dos de estas cosas a la vez. 5.- Analiza si existir ms de una
ecuacin para cada recta o, por el contrario, cada recta tiene
asociada una sola ecuacin. Sistemas de ecuaciones Comprender el
concepto de ecuacin como una igualdad en la que hay que hallar el
valor de la incgnita que la hace verdadera. Identificar la
transposicin de trminos en una ecuacin como mtodo para transformar
una ecuacin en otra equivalente ms sencilla. Reconocer un sistema
de ecuaciones como dos ecuaciones con dos incgnitas relacionadas
entre s. Conocer los distintos mtodos de resolucin de sistemas de
ecuaciones lineales. Aplicaciones. Resolucin de problemas de la
vida real mediante el uso de rectas, sus ecuaciones y sus
posiciones relativas. Incorporacin del lenguaje algebraico a la
forma de proceder habitual. Al implantar aplicaciones respecto a
las ecuaciones lineales podremos tener la confianza de los alumnos
en sus propias capacidades, fomentando la autonoma de pensamiento.
Curiosidad del alumno por el planteamiento y resolucin de
problemas. Gusto por la sistematizacin y secuenciacin de la
resolucin de un problema.
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PREGUNTAS: 1.- Podra describir si es posible resolver sistemas
de ecuaciones lineales, aplicando el tema anterior y para que tipos
de ecuaciones es posible? . . 2.- A parte de los mtodos
tradicionales de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales,
existen otros, en funcin a este tema podra describir? . .
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WORK PAPER # 2
PROGRAMA ALGEBRA LINEAL
No. DE PROCEDIMIENTO: APRO 07 No. DE HOJAS: 2
ELABOR: Ing. Eloy Terceros Urquieta CDIGO: MAT 111A
TTULO DEL WORK PAPER: Vectores y Matrices
DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnologa
DESTINADO A:
DOCENTES ALUMNOS X ADMINIST. OTROS
OBSERVACIONES: Carrera Ingeniera de Sistemas,
Telecomunicaciones, Comercial y Gas y Petrleo. Asignatura: Algebra
Lineal
FECHA DE DIFUSIN: abril del 2010
FECHA DE ENTREGA: abril del 2010
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VECTORES Y MATRICES
Introducir el concepto de tipos de datos estructurados. Conocer
la representacin de datos mediante vectores y matrices. Conocer la
representacin de datos mediante strings y su adecuacin al
tratamiento de texto. Desarrollo: Al desarrollar este tema
observamos que se presentan los tipos estructurados de datos
justificando su utilidad y describiendo las clases de tipos de
datos estructurados que vamos a utilizar. Se pasa despus a hablar
de los vectores, presentndolos como una agrupacin de datos
homogneos. Se explica la forma de acceder a los elementos
justificando el concepto de ndice. Despus se empieza con las
matrices viendo su definicin y se contina con la explicacin del
modo de acceso a los elementos y el paso de matrices a
subprogramas. Se justificar despus la necesidad de los vectores
multidimensionales. Se presentan a continuacin las cadenas de
caracteres como un tipo nuevo de datos. Este tipo de datos
introduce un literal nuevo y un identificador de tipo. Se har ver
que los strings pueden ser vistos como cadenas de caracteres cuyo
ltimo elemento tiene el valor 0. Se explicar que la forma de
trabajar con strings puede ser la convencional de cualquier vector
o bien con primitivas bsicas de copia, concatenacin y longitud que
ofrecen los distintos lenguajes de programacin. Para finalizar se
muestra la correspondencia entre el lenguaje algortmico y el
lenguaje C en lo que respecta a los vectores y strings.
Caractersticas
Las matrices regulares se caracterizan por tener el mismo nmero
de elementos en cada una de sus dimensiones. Una matriz
bidimensional de 10 elementos tendr similar nmero en cada una de
sus filas. Basta con saber la cantidad de los mismos de una de
ellas para conocer la cantidad de elementos de las dems. Existe un
tipo adicional de matrices llamadas irregulares o dentadas las
cuales no cumplen la regla anterior. Ellas se caracterizan porque
cada fila puede contener u numero diferente de elementos. Una
matriz irregular bidimensional, por ejemplo podra contener 3
elementos en la primera fila, 10 elementos en la segunda y 6
elementos en la tercera, moldeando as una figura irregular, aunque
podra ser ms compleja. Una declaracin de estructuras empieza con la
instruccin estructura y finaliza con la instruccin y estructura.
Entre estas dos instrucciones debe declararse por lo menos un
miembro. Similitudes Existen similitudes entre vectores y matrices
las estructuras y las clases son similares en los siguientes
aspectos: Ambas tienen miembros, incluyendo constructores, mtodos,
propiedades, campos, constantes, enumeraciones y eventos. Ambas
pueden implementar interfaces. Ambas pueden tener constructores
compartidos, con o sin parmetros. Diferencias Se observan tambin
diferencias entre las estructuras y las clases difieren en los
siguientes aspectos: Las estructuras son tipos de valor, las clases
son tipos de referencia. Las estructuras utilizan asignacin de pila
y las clases utilizan asignacin del montn. Las estructuras slo
pueden tener constructores no compartidos si pueden tomar
parmetros; sin embargo las clases pueden tener constructores con o
sin parmetros. Cada estructura tiene un constructor pblico implcito
sin parmetros. El constructor inicializa todos los miembros de
datos de estructura con sus valores predeterminados. Este
comportamiento no puede redefinirse.
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Instancias y variables Puesto que las estructuras son tipos de
valor, cada variable de estructura est enlazada de forma permanente
a una instancia de estructura individual. Por otro lado, las clases
son tipos de referencia y una variable de objeto puede hacer
referencia a varias instancias de clase. Esta distincin afecta al
uso de estructuras y clases de las siguientes formas:
Al asignar una variable de estructura a otra o pasar una
instancia de estructura a un argumento de procedimiento, se copian
los valores actuales de todos los miembros de variable en la nueva
estructura. Al asignar una variable de objeto a otra o pasar una
variable de objeto a un procedimiento, slo se copia el puntero de
referencia.
Una variable de objeto puede tener asignadas distintas
instancias de clase en momentos distintos y varias variables de
objeto pueden hacer referencia a la misma instancia de clase al
mismo tiempo. Los cambios que realice a los valores de los miembros
de clase afectan a dichos miembros cuando se tiene acceso a estos
mediante otra variable que apunta a la misma instancia. Los
miembros de estructura, sin embargo, estn aislados dentro de su
propia instancia. La comprobacin de igualdad de dos estructuras
debe realizarse mediante una prueba miembro a miembro.
PREGUNTAS:
1.- Podra Ud. describir las caractersticas existentes entre una
matriz y un determinante?
............................................................................
2.- Existen operaciones entre matrices, adems ser posible
realizar operaciones internas de la matriz?, Cundo?.
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WORK PAPER # 3
PROGRAMA ALGEBRA LINEAL
No. DE PROCEDIMIENTO: APRO 07 No. DE HOJAS: 5
ELABOR: Ing. Eloy Terceros Urquieta CDIGO: MAT 111A
TTULO DEL WORK PAPER: Formas cuadrticas
DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnologa
DESTINADO A:
DOCENTES ALUMNOS X ADMINIST. OTROS
OBSERVACIONES: Carrera Ingeniera de Sistemas,
Telecomunicaciones, Comercial y Gas y Petrleo. Asignatura: Algebra
Lineal - UNIDAD 3
FECHA DE DIFUSIN: mayo del 2010
FECHA DE ENTREGA: mayo del 2010
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FORMAS CUADRATICAS DESCRIPCIN Las aplicaciones del lgebra Lineal
en la ciencia y en la vida real son numerosas. Las soluciones de
muchos problemas en fsica, ingeniera, biologa, qumica, medicina,
grficas computarizadas, procesamiento de imgenes, economa y
sociologa requieren de mtodos del lgebra lineal. Tambin los
requieren las principales ramas de las matemticas modernas. El
lgebra Lineal no es solamente un cmulo de tcnicas de cmo resolver
sistemas de ecuaciones lineales, cmo hallar bases de espacios
vectoriales, cmo determinar los valores y vectores propios de una
matriz, etc. Los problemas numricos tienen muchas veces la intencin
de reforzar este aspecto operativo. Sin embargo un curso de lgebra
lineal va ms lejos del carcter operativo, tratando de instalar en
el estudiante una serie de conocimientos que, por una parte, le dan
formacin dentro del tipo de razonamiento analtico propio de la
matemtica, y adems, le sirven de base para futuros estudios de sta
u otra parte del conocimiento cientfico. La matemtica en general,
ayuda a pensar, a inducir y deducir, a analizar y sintetizar, a
generalizar y abstraer, y a realizar otras operaciones mentales que
contribuyen al desarrollo de la inteligencia. Al mismo tiempo,
promueve la intuicin, es imaginativa y encierra una gran
potencialidad creadora. Por todo ello, la matemtica contribuye
poderosamente al desarrollo de las ciencias y de la tecnologa:
impulsa el progreso de los pueblos a o largo de la historia y
proporciona a quienes la elaboran, la ensean o la aprenden, la
estudia o la aplican, el placer en sus trabajos, la gratificacin en
sus descubrimientos, la maduracin en su concepcin y el xito en sus
proyectos.
Recuerde: que se hace muy importante tomar en cuenta los temas
estudiados anteriormente, ya que sin la base, nos ser imposible
comprender, que se pretende con este tema de la Formas
Cuadrticas
Es necesario hacer conocer los objetivos que representa este
tema, respecto a las formas cuadrticas, para una mejor comprensin.
A travs de esta asignatura en general y en especial del tema Formas
Cuadrticas poder proporcionar las herramientas bsicas del lgebra
Lineal, para que en base a ellas y se logre:
a) capacidad de abstraccin y razonamiento lgico; b) comprender
los conceptos, procedimientos y estrategias matemticas que le
permitan desarrollar estudios posteriores ms especficos; c)
adquirir una formacin cientfica e integral como Ingenieros de
sistemas y Tecnolgicos.
Se pretende tambin usar el lenguaje matemtico para expresarse
oral, escrita y grficamente en situaciones susceptibles de ser
tratadas matemticamente, mediante la adquisicin y el manejo de un
vocabulario especfico de trminos y notaciones matemticos. Una vez
aprobada la asignatura: Efectuar correctamente las operaciones
vectoriales bsicas sobre vectores en Rn, aplicar sus propiedades y
conocer sus interpretaciones geomtricas.
Comprender las nociones de dependencia e independencia lineal de
vectores. Caracterizar mediante sus diferentes ecuaciones rectas en
R2, rectas y planos en R3. Aplicar el lgebra vectorial a la
resolucin una gran variedad de problemas geomtricos en los que
intervienen puntos, rectas y planos.
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Conocer el concepto de matriz y estar familiarizado con la
terminologa coloquial y simblica del lgebra matricial. Efectuar
correctamente las operaciones del lgebra matricial bsica y conocer
sus propiedades. Definir matriz inversa, hallarla si fuere posible
y reconocer las diferentes caracterizaciones de las matrices
invertibles. Identificar matrices triangulares, escalares,
diagonales, simtricas, y antisimtricas y conocer sus propiedades ms
importantes. Evaluar determinantes por definicin, reduccin por
filas y desarrollo por cofactores. Enunciar y demostrar las
propiedades bsicas de los determinantes.
La capacidad de determinar la naturaleza de la solucin de un
sistema de ecuaciones lineales y resolver el sistema utilizando
diferentes metodologas. Caracterizar paramtricamente el conjunto
solucin de un sistema de ecuaciones lineales, mediante una base y
como un objeto geomtrico del espacio n-dimensional.
Relacionar los conceptos de: una matriz A invertible, el det(A),
solucin del sistema AX=0, rango de A y las filas (columnas) de A
linealmente independientes. Comprender el concepto de espacio
vectorial a partir de ideas geomtricas sencillas y apreciar la
potencialidad que la abstraccin de dicho concepto tiene.
Determinar si un conjunto dado con operaciones dadas constituyen
un espacio vectorial. Reconocer y caracterizar subespacios
vectoriales. Comprender las nociones de conjunto generador, base y
dimensin: conocer algunas propiedades relacionadas con estos
conceptos. Determinar la base y la dimensin de un subespacio
generado por un conjunto de vectores. Aplicar los conceptos de
independencia lineal y sistema generador para encontrar una base de
un espacio vectorial. Ortonormalizar bases mediante el proceso de
Gram-Schmidt.
Apreciar cmo ideas geomtricas tales como ngulo y longitud pueden
ser introducidas en situaciones aparentemente no geomtricas a travs
de las herramientas del lgebra lineal. Conocer y aplicar los
conceptos de norma de un espacio vectorial y producto interior, as
como tambin sus propiedades. Identificar las transformaciones
lineales de las no lineales. Operar con transformaciones lineales
ya sea dada por su frmula o mediante su representacin matricial con
respecto a bases del dominio y rango. Comprender el concepto de
ncleo, imagen, nulidad y rango de una transformacin y las
relaciones entre ellos. Encontrar la expresin matricial de una
transformacin lineal con respecto a dos bases ordenadas dadas.
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Describir geomtricamente el efecto de algunas transformaciones
lineales.
Calcular los autovalores de una matriz, hallar una base de los
correspondientes exigen espacios y si fuera posible, diagonalizar
la matriz. Reconocer una forma cuadrtica y determinar si su matriz
asociada est o no definida en signo. Definir las cnicas, conocer
sus ecuaciones cannicas e identificar sus elementos principales.
Identificar una cnica mediante el estudio de los invariantes de la
ecuacin general de segundo grado y reducir su ecuacin a la forma
cannica mediante traslaciones y rotaciones. Adems de lo expresado
anteriormente, el alumno deber ser capaz de: Expresar pensamientos,
sentimientos e ideas en forma clara y precisa. Realizar pequeas
demostraciones con las tcnicas y conceptos de la asignatura.
Mejorar su capacidad en la resolucin de problemas y el pensamiento
crtico. Aprender en una manera autnoma y trabajar como miembro de
un equipo. Mejorar su capacidad para resolver problemas complejos
de mltiples pasos. Aplicar los conocimientos matemticos a
situaciones diversas, utilizndolos en la interpretacin de las
ciencias, en la actividad tecnolgica y en las actividades
cotidianas. Analizar y valorar la informacin proveniente de
diferentes fuentes, utilizando las herramientas y el lenguaje
matemtico, para formarse una opinin propia que le permita
expresarse crticamente sobre problemas actuales. Utilizar, con
autonoma y eficacia, las estrategias caractersticas de la
investigacin cientfica y los procedimientos propios de las
matemticas (plantear problemas, formular y contrastar hiptesis,
planificar, manipular y experimentar) para investigar y, en
general, explorar y abordar con mentalidad abierta los problemas
que la continua evolucin cientfica y tecnolgica plantea a la
sociedad. Desarrollar actitudes asociadas al trabajo cientfico y a
la investigacin tecnolgica, tales como la visin crtica, la
necesidad de verificacin, la valoracin de la precisin, el
cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas, la apertura a
nuevas ideas. Apreciar el contexto global y social de la ingeniera.
Comprender los usos de la ingeniera moderna. Aplicar los mtodos y
herramientas de la ingeniera moderna. Apreciar la necesidad de un
aprendizaje continuo a lo largo de toda la vida profesional.
Conducirse tica y profesionalmente. PREGUNTAS: 1.- Encuentra
relacin e importancia para el estudio de este temas y que
aplicaciones podemos darle, como? . . 2.- A travs de esta
asignatura en general y en especial del tema Formas Cuadrticas es
poder proporcionar las herramientas bsicas del lgebra Lineal?, esta
de acuerdo con esta afirmacin? .
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PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF 001 1/2008
VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES
Los determinantes resulta ser parte complementaria de lo
estudiado con matrices. Su tratamiento y operaciones son ms simples
como sus aplicaciones en diferentes partes de las matemticas y en
especial en las ecuaciones particularmente en los sistemas de
ecuaciones. Como ya se ha definido los determinantes no es otra
cosa que una matriz cuadrada o rectangular por la forma que
presenta de igual filas y columnas (n x n). La funcin determinante
apareci por primera vez en las investigaciones de los sistemas de
ecuaciones lineales. Tomamos como herramienta indispensable en el
estudio y la obtencin de propiedades de las matrices cuadradas. La
definicin de determinante y muchas de sus propiedades siguen siendo
validas cuando las entradas de la matriz proceden de un anillo.
Conllevan una clasificacin de rdenes en funcin de sus filas y
columnas. Por ejemplo un determinante de orden uno es aquella que
posee una fila y columna, el de orden dos, dos filas y columnas, as
sucesivamente. Esta definicin general vendr precedida por una
discusin de las permutaciones necesarias para la misma. A
diferencia de las matrices, los determinantes poseen operaciones
internas, tomando en cuenta principalmente los signos que se
disponen en forma de un tablero de ajedrez con signos positivos en
su diagonal principal e intercalada en las otras diagonales
secundarias o paralelas a la principal. Dentro de las operaciones
internas, se observa diferentes mtodos, como; cofactores y menores,
adjunto clsico, inversas por el adjunto, que son aplicables a las
ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales, (Regla de Cramer)
Cuando se tiene un determinante de orden arbitrario de n filas y
columnas, se puede aplicar el mtodo de formacin de bloques. El
estudiante podr investigar algunas otras propiedades, para poder
posteriormente aplicarlos en sus operaciones, buscar formas
adecuadas que le sea ms fcil su manejo. Tanto los vectores como las
matrices son un conjunto de datos de un mismo tipo, para muchos al
escribir sobre matrices se refieren tanto a matrices de 2
dimensiones como de una dimensin. Aunque sea lo mismo prefiero
decir que un vector tiene una dimensin y una matriz ms de una
dimensin.
TOME EN CUENTA: Las matrices regulares se caracterizan por tener
el mismo nmero de elementos en cada una de sus dimensiones. Una
matriz bidimensional de 10 elementos tendr similar nmero en cada
una de sus filas. Basta con saber la cantidad de los mismos de una
de ellas para conocer la cantidad de elementos de las dems.
Existe un tipo adicional de matrices llamadas irregulares o
dentadas las cuales no cumplen la regla anterior. Ellas se
caracterizan porque cada fila puede contener u numero diferente de
elementos. Una matriz irregular bidimensional, por ejemplo podra
contener 3 elementos en la primera fila, 10 elementos en la segunda
y 6 elementos en la tercera, moldeando as una figura irregular,
aunque podra se ms compleja. Las estructuras son parecidas que las
enumeraciones pero con muchas ventajas, entre ellas que cada
elemento de la estructura puede ser de cualquier tipo, adems, se
pueden declaran funciones dentro de la estructura, constructores,
mbito de variables independientes. Etc.
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Similitudes: Existen similitudes entre las estructuras y las
clases son similares entre matriz y determinantes en los siguientes
aspectos: En ambos tienen miembros, incluyendo constructores,
mtodos, propiedades, campos, constantes, enumeraciones y
eventos.
Diferencias: Tambin existen diferencias entre las estructuras y
las clases difieren en los siguientes aspectos: Las estructuras son
tipos de valor, las clases son tipos de referencia. Las estructuras
utilizan asignacin de pila y las clases utilizan asignacin del
montn.
Es posible asignar una variable de estructura a otra o pasar una
instancia de estructura a un argumento de procedimiento, se copian
los valores actuales de todos los miembros de variable en la nueva
estructura. Al asignar una variable de objeto a otra o pasar una
variable de objeto a un procedimiento, slo se copia el puntero de
referencia. Una variable de objeto puede tener asignadas distintas
instancias de clase en momentos distintos y varias variables de
objeto pueden hacer referencia a la misma instancia de clase al
mismo tiempo. Los cambios que realice a los valores de los miembros
de clase afectan a dichos miembros cuando se tiene acceso a estos
mediante otra variable que apunta a la misma instancia. Los
miembros de estructura, sin embargo, estn aislados dentro de su
propia instancia.
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PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF 002 1/2008
SISTEMAS LINEALES
Los sistemas de ecuaciones lineales juegan un papel importante
el lgebra lineal si bien existen varios mtodos de resolucin pero al
estudiar matrices y determinantes facilitamos las soluciones de
cierta manera las operaciones significa ahorro de tiempo. Aqu se
investiga, sistemas de ecuaciones lineales y se describen
detalladamente el algoritmo de eliminacin por la Regla de Gauss,
llamado eliminacin gaussiano, que nos facilita hallar su solucin
con determinantes junto a ciertas operaciones entre ellas se
introducen y estn estrechamente relacionados con los sistemas de
ecuaciones lineales y su solucin. Todas las ecuaciones involucran
nmeros especficos denominados constantes o escalares. Que para
simplificar
en este asumiremos a todos nuestro escalares, un cuerpo de
nmeros reales . En el primer semestre de la carrera de Ingeniera de
Sistemas, se ha tomado diferentes mtodos para la solucin de los
sistemas de ecuaciones lineales, mientras que en segundo semestre,
nos basamos especficamente al estudio de las soluciones por
determinantes y matrices, con caractersticas de operaciones que se
ejercita en captulos anteriores, como ser los cofactores, adjunto,
inversa, etc. en muchos casos el estudiante observa que es mucho ms
fcil su aplicacin en la solucin de ecuaciones. El estudiante
observa la compatibilidad e incompatibilidad en la solucin de un
sistema de ecuaciones, segn el sistema que se presenta a
continuacin.
SISTEMA DE ECUACIONES
Incompatible Compatible
Ninguna Solucin
Solucin nica
Nmero Infinito de soluciones
Tambin es posible que una matriz con ciertas operaciones, se
pueda transformar en una matriz escalonada triangular superior o
inferior de esta manera llegar a la solucin de los sistemas de
ecuaciones. (Operaciones entre columnas y filas)
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ESPACIOS VECTORIALES
Para introducirnos en el tema de los espacios vectoriales, es
necesario previamente estudiar los vectores, desde la percepcin de
la geometra. Cosa que se ve muchas aplicaciones en la fsica, donde
aparecen ciertas cantidades, como la representacin de la
temperatura, rapidez (modulo de velocidad), que posee solo
magnitud. Estas pueden representarse por nmeros reales llamados
escalares.
Como parte de la geometra el estudiante deber estar
familiarizado con la representacin de puntos en el plano como en el
espacio, eligiendo el origen del vector en el origen del par de
coordenadas rectangulares como referencia o punto O. Donde todo
vector queda unvocamente determinado por las coordenadas de su
extremo, existen relaciones, propiedades y operaciones entre
vectores.
Matemticamente identificamos a un vector con sus extremos,
presumimos que el estudiante debe estar familiarizado con las
propiedades ms elementales del cuerpo de los nmeros reales que
denotamos por, por su nmero de elementos que componen el extremo
del vector si esta en el plano o en el espacio u otra dimensin, as
R2 para el plano, R3 para el espacio, en general Rn en un espacio
finito, con la norma de un vector podemos definir su magnitud.
Conociendo el concepto mismo que es un vector, podemos entrar y
comprender sin dificultades los espacios vectoriales de dimensin
finita. Por definicin un espacio vectorial involucra u cuerpo
arbitrario cuyos elementos se denomina escalares.
En este capitulo no se abarca conceptos de longitud y
ortogonalidad, puesto que no se consideran parte de la estructura
fundamental de un espacio vectorial. Se concluir como estructura
adicional en captulos posteriores. Se tomaran ejemplos de espacios
vectoriales considerando cuerpo elemento, espacio matriz, espacio
polinomio, espacio de funciones, subespacios, combinaciones
lineales, dependencia e independencia lineal, bases y dimensiones
etc. Estos dos temas sern base fundamental para entrar al estudio
de las transformaciones lineales, los valores y vectores
propios.
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PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF 004 1/2008
VALORES Y VECTORES PROPIOS
En este tema se describe un procedimiento para la obtencin de
los valores y vectores propios dominantes de una matriz. El mtodo
se apoya en los conceptos de matriz, matriz propia. El proceso
seguido es tal que la matriz propia contiene los vectores propios
asociados a los valores propios dominantes de la matriz objeto del
problema. Muchos problemas prcticos de determinacin de vectores y
valores propios de una matriz de orden n solo requieren el
conocimiento de un nmero limitado de dichos pares; por ejemplo,
aquellos cuyos p valores propios (p < n) son los de mayor mdulo.
Cuando p = 1 y se trata de obtener el valor propio de mayor mdulo o
valor propio dominante de una matriz general y su vector propio
asociado, puede citarse como ms adecuado el mtodo de la potencia,
el cual, a partir de una aproximacin arbitraria del vector propio
buscado, obtiene iterativamente la aproximacin deseada en funcin de
la precisin requerida. La localizacin de otros valores propios se
puede realizar utilizando tcnicas de deflacin, pudindose obtener de
esta forma los valores propios dominantes y sus correspondientes
vectores propios. Otros mtodos de obtencin del valor propio
dominante de una matriz se basan en el concepto en construirse
algoritmos iterativos que convergen cuadrtica mente al valor propio
dominante. Los mtodos de Iteracin Simultnea constituyen una
generalizacin del mtodo de la potencia. Se basan en el
procesamiento simultneo de un subconjunto inicial de n vectores
ortogonales a los que se trata d modo que en cada paso del proceso
iterativo se mantenga entre ellos la relacin de ortogonalidad y no
converjan al mismo vector propio. Estos procedimientos son ms
eficaces que las tcnicas de deflacin. De aplicacin a matrices
simtricas definido-positivas, desarrollando un algoritmo para
matrices reales simtricas y no simtricas. El mtodo que presentamos
en el desarrollo del tema es vlido para matrices finitas de
cualquier tipo. Si bien constituye una generalizacin del mtodo de
la potencia, difiere de los mtodos de iteracin simultnea en los
siguientes aspectos. Desde un punto de vista computacional, no es
necesario ortogonal izar los vectores de iteracin segn las tcnicas
desarrolladas ni resolver en cada ciclo el problema de valores y
vectores propios.