´ Algebra Lineal Apuntes de ´ Algebra Lineal Juan Carlos Pozo Universidad Diego Portales – Facultad de Ingener´ ıa – UDP Segundo Semestre 2013 Facultad de Ingenier´ ıa – UDP ´ Algebra Lineal
Algebra Lineal
Apuntes de Algebra Lineal
Juan Carlos Pozo
Universidad Diego Portales Facultad de Ingenera UDP
Segundo Semestre 2013
Facultad de Ingeniera UDP Algebra Lineal
Algebra Lineal
Programa del Curso
1 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 Determinantes de Matrices
3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
4 Espacios Vectoriales
5 Transformaciones Lineales
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
MATRICES
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Una matriz es una forma de ordenar en filas y columnaselementos de un conjunto. Estos elementos pueden ser numerosreales, numeros complejos, polinomios, etc... Por ejemplo
A =
(1 2 32 4 6
)
B =
x 12 4x2 x+ 1
C =
0 1 42 4 01 1 2
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
En los ejemplos anteriores,La matriz A tiene 2 filas y 3 columnas.
La matriz B tiene 3 filas y 2 columnas.
La matriz C tiene 3 filas y 3 columnas.
En general usaremos letras mayusculas para denotar lasmatrices. Los elementos o coeficientes seran denotados conletras minusculas y subndices.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
En general si una matriz A tiene n filas y m columnas, lamatriz se escribe de la siguiente manera
A =
a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2m...
......
. . ....
an1 an2 an3 anm
Esta escritura es muy larga y se puede abreviar como sigue
A = (aij), 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sean n,m N. Diremos que una matriz A tiene orden nm sila matriz A tiene n filas y m columnas.
El conjunto de todas las matrices con n filas y m columnas concoeficientes en R sera denotado por Mnm(R).
Por ejemplo, si A M23(R) quiere decir que A es una matriz yademas
A =
(a11 a12 a13a21 a22 a23
)Por ejemplo, si B M43(R) quiere decir que B es una matrizy ademas
B =
b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33b41 b42 b43
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Si una matriz tiene la misma cantidad de filas y columnas,diremos que la matriz es cuadrada.
Al conjunto de matrices con n filas y n columnas y coeficientesen R lo denotaremos simplemente por Mn(R).
Por ejemplo
A =
(1 22 3
)
B =
1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 1
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sea n N y A Mn(R).Se define
diag(A) = (a11, a22, a33, . . . , ann)
tr(A) =
ni=1
aii
= a11 + a22 + a33 + + ann
Sumar los coeficientes de la diagonal de una matriz cuadrada.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sea n N. Diremos que una matriz A = (aij) Mn(R) es unamatriz diagonal si aij = 0 para todo i 6= j
Por ejemplo, si n = 3 1 0 00 2 00 0 3
si n = 4
2 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 110
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sea n N. Diremos que una matriz A = (aij) Mn(R) es unamatriz triangular superior si aij = 0 para todo i > j
Por ejemplo, si n = 3 1 0 30 2 10 0 3
si n = 4
2 1 20 0, 10 2 30 0 3 30 0 0 10
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sea n N. Diremos que una matriz A = (aij) Mn(R) es unamatriz triangular inferior si aij = 0 para todo i < j
Por ejemplo, si n = 3 1 0 02 2 03 3 3
si n = 4
2 0 0 0 2 0 02 1 3 01 2 3 10
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
Escriba explcitamente las siguientes matrices:
1 A M24(R) donde aij = |3i j|.2 B M4(R) donde bij = ij.3 C M3(R) donde cij = ij .
4 Sea D = (dij) M200(R) donde dij =
i+ j, i < j
i, i = j
i j, j < iCalcule tr(D).
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
1 Encuentre todos los valores de a, b, c R para que la matriz
A =
1 a2 + b 2c2 + ab+ a 3 a ca2 b2 a2 c2 1
sea una matriz diagonal.
2 Encuentre el valor de k R para que tr(E) = 60, donde
E =
k (k + 1)30 k100 k2 10 + k2 3 18k
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Dos matrices A = (aij) y B = (bij) se dicen iguales si es quetienen la misma cantidad de filas y columnas y ademas aij = bijpara todo i y para todo j.Por ejemplo 2 43 3
1 1
6=2 43 3
1 1
En cambio, A = (aij) M34(R) donde aij = i j es igual a
B =
1 2 3 42 4 6 83 6 9 12
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sea A = (aij) Mnm(R). Se define la traspuesta de unamatriz At Mmn(R) como At = (bij), donde bij = aji paratodo i y para todo j.
Por ejemplo,
A =
(1 2 3
100 200 4
)At =
1 1002 2003 4
B =
8 0 3 1 a3 4 5
Bt =8 30 1 4
3 a 5
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Una matriz A = (aij) Mn(R) se dice que es:1 Simetrica si es que At = A.
2 Antisimetrica si es que At = APor ejemplo,
Simetricas (1 00 1
) (1 11 2
) 1 2 32 0 103 10 20
Antisimetricas(
0 11 0
) (0 3030 0
) 0 2 32 0 103 10 0
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
Encuentre todos los valores de a, b, c R para que
1 A =
2 2 ba 3 ba c 4
sea una matriz simetrica2 B =
c c+ 1 01 a b 20 2 b
sea una matriz antisimetrica.3 C =
2 a+ 6 ca2 5 bc b3 9
sea una matriz simetrica.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Suma de Matrices
Sean A = (aij) Mnm(R) y B = (bij) Mnm(R) se define
A+B = (aij + bij), para todo i, j
Por ejemplo,2 32 00 1
+ 1 21 8
9 3
=2 + 1 3 + 22 1 0 + 8
0 + 9 1 + 3
(
2 3 42 0 5
)+
(1 2 11 8 1
)=
(2 + 1 3 + 2 4 12 1 0 + 8 5 1
)
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ponderacion por numeros reales
Sean R y A = (aij) Mnm(R) se define
A = (aij), para todo i, j
Por ejemplo,
3
2 32 00 1
=3 2 3 33 2 3 0
3 0 3 1
4
(2 3 42 0 5
)=
(4 2 4 3 4 44 2 4 0 4 5
)
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Denotaremos por Onm a la matriz con nm cerosdistribudos en n filas y m columnas. Si la matriz es cuadrada
denotaremos por On a la matriz con n n ceros distribudos enn filas y n columnas.
Por ejemplo,
O23 =
(0 0 00 0 0
)O4 =
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
O52 =
0 00 00 00 00 0
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Propiedades
Sean A,B,C Mnm(R) y , R1 A+B = B +A.
2 (A+B) + C = A+ (B + C).
3 A+Onm = A
4 (A+B)t = At +Bt.
5 (A)t = At.
6 (A+B) = A+ B.
7 (+ )A = A+ A.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
1 Encuentre el valor de a, b R de la siguiente ecuacion(a 23 b3
)t+
(a2 2b4 0
)= 3
(2 12 b
)
2 Encuentre la matriz X =
(x11 x12x21 x22
)tal que
(2Xt +A)t = 2(B +A) donde
A =
(1 22 2
)B =
(0 23 2
)3 Sea A = (aij) M20(R) donde aij = i2. Calcule tr(A).
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
1 Sean A,B M4(R). Pruebe que tr(A+B) = tr(A) + tr(B).
2 Sea C =
1 2 34 1 40 2 5
Pruebe que 12(C +Ct) es una matrizsimetrica y que 12(C C
t) es una matriz antisimetrica.
3 Sea D Mn(R) una matriz cuadrada cualquiera. Pruebeque 12(D +D
t) es una matriz simetrica y que 12(D Dt) es
una matriz antisimetrica. Deduzca de esto que una matrizcuadrada se puede escribir como suma de una matrizsimetrica y una matriz antisimetrica.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Multiplicacion
Sean A = (aij) Mnp(R) y B = (bij) Mpm(R), definimos lamatriz multiplicacion A B = (cij) Mnm(R) donde
cij =
pk=1
aikbkj
Solo se puede multiplicar dos matrices cuando la primera matriztiene el mismo numero de filas que la cantidad de filas que tienela segunda matriz.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por ejemplo (0 12 3
)(3 5 96 2 1
)=(
0 (3) + 1 6 0 (5) + 1 2 0 9 + 1 12 (3) + 3 6 2 (5) + 3 2 2 9 + 3 1
)=
(6 3 112 4 21
)
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Otro ejemplo 1 2 34 5 67 8 9
21
4
==
1 2 + 2 1 + 3 44 2 + 5 1 + 6 47 2 + 8 1 + 9 4
=1837
58
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
1 Compruebe que1 2 34 5 67 8 9
1 0 00 1 00 0 1
=1 2 34 5 6
7 8 9
.2 Compruebe que1 2 34 5 6
7 8 9
2 0 00 2 00 0 2
= 2 4 68 10 12
14 16 18
.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
1 Calcule el orden de la matriz X y escriba sus elementospara poder resolver la siguiente ecuacion matricial2 0 70 4 3
3 1 0
X =00
0
2 Calcule el orden de la matriz X y escriba sus elementos
para poder resolver la siguiente ecuacion matricial1 1 11 1 13 2 1
X =13
6
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Se define In Mn(R) la matriz identidad de la siguientemanera:
In =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . 1
Por ejemplo
I2 =
(1 00 1
)I3 =
1 0 00 1 00 0 1
I4 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Propiedades
Sean A,B,C matrices y , R, cuando las operaciones estenbien definidas se cumple que
1 (AB)C = A(BC).
2 (A+B) C = A C +B C.3 A In = A4 (A B)t = Bt At.5 A B = AB.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sea A =
(1 23 4
)y B =
(4 01 5
)AB =
(6 1016 20
)BA =
(4 816 22
)Por lo tanto AB 6= BA.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sea A =
1 23 43 2
y B = (4 0 31 5 1
)
AB =
6 10 516 20 1314 10 11
BA =
(13 1419 24
)Por lo tanto AB 6= BA.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sea A =
0 0 10 0 00 0 2
y B =0 0 01 1 1
0 0 0
AB =
0 0 00 0 00 0 0
Por lo tanto puede pasar que AB = On sin que A sea On o Bsea On.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sea A Mn(R), se define Ak = A A A kveces
Sea A Mn(R) una matriz cuadrada, esta se dice:1 Involutiva, si A2 = In.
2 Idempotente, si A2 = A.
3 Ortogonal, si At A = At A = In4 Nilpotente de orden k, si Ak = On para algun numero
natural k.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
1 Encuentre todas las matrices A de la forma A =
(x y0 z
)tal que A2 = I2.
2 Sea A =
2 1 00 2 10 0 2
. Calcule A2, A3. Encuentre unaformula general para An.
3 Sea A =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
. Encuentre k N tal que Ak = O4.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Matriz Invertible
Sea A Mn(R), se dice que la matriz A es invertible si existeB Mn(R) tal que
AB = BA = In.
En este caso B se dice que es la matriz inversa de A y se escribeA1.
Por ejemplo A =
(1 10 1
)es invertible pues con B =
(1 10 1
)se cumple que(
1 10 1
)(1 10 1
)=
(1 10 1
)(1 10 1
)=
(1 00 1
)
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
A =
2 0 00 5 00 0 9
es invertible pues con B =12 0 00 15 0
0 0 19
secumple que 2 0 00 5 0
0 0 9
12 0 00 15 00 0 19
=1 0 00 1 0
0 0 1
12 0 00 15 0
0 0 19
2 0 00 5 00 0 9
=1 0 00 1 0
0 0 1
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
A =
(0 11 0
)es invertible pues con B =
(0 11 0
)se cumple que
(0 11 0
)(0 11 0
)=
(1 00 1
)
Puede darse el caso que la inversa de una matriz A sea lamisma matriz A.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Existen matrices que no son invertibles, Por ejemplo,
(0 00 0
) (1 00 0
)0 0 00 0 0
3 1 2
1 2 32 4 63 6 9
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Propiedades
1 Si A Mn(R) es una matriz invertible entonces At es unamatriz invertible y ademas
(At)1 = (A1)t.
2 Si A Mn(R) es una matriz invertible entonces Ak es unamatriz invertible y ademas
(Ak)1 = (A1)k.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Propiedades
1 Si A Mn(R) es una matriz invertible y R \ {0}entonces A es una matriz invertible y ademas
(A)1 =1
A1.
2 Si A Mn(R) y B Mn(R) son matrices invertiblesentonces el producto AB es invertible y ademas
(AB)1 = B1A1.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Para determinar exactamente cuales son las matrices cuadradasde orden 2 2 que son invertibles y cual es la forma que tienentenemos el siguiente teorema.
Teorema
Sea A =
(a bc d
)M2(R).
La matriz A es invertible y A1 =1
ad bc
(d bc a
)si y solo
si (ad bc) 6= 0.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplos
A =
(3 15 2
)M2(R) es una matriz invertible pues en este caso
se tiene que (ad bc) = (3 2 5 1) = 1 6= 0, por lo tanto
A1 =1
3 2 5 1
(2 51 3
)
B =
(3 16 2
)NO es una matriz invertible pues en este caso se
tiene que (ad bc) = (3 2 6 1) = 0, por lo tanto B1 noexiste.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
1 Encuentre todos los numeros x R tal que(x2 x1 x
)sea
invertible.
2 Encuentre todos los numeros x R tal que(x+ 1 21 x+ 2
)sea invertible.
3 Encuentre todos los numeros a, b R tal que(a bb a
)sea
invertible.
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
1 Resuelva la siguiente ecuacion matricial
AX = BA,
A =
(2 44 2
)y B =
(0 30 2
)2 Resuelva la siguiente ecuacion matricial
(AXB I2)t = B1,
donde A =
(1 23 4
)y B =
(1 10 1
)
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios
1 Resuelva la siguiente ecuacion matricial
X = BA+ (A+B)2 B(A1 +B1)AB A(A+A1),
sabiendo que A1B1 =
(1 01 1
).
2 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones matricial,sabiendo que X es una matriz simetrica
AXt +AY A = BAX Y A = B,
donde A =
(4 53 4
)y B =
(2 11 1
)
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Determinantes de Matrices
Determinantes de Matrices
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Determinantes de Matrices
En la siguiente seccion estudiaremos metodos para determinaren que situaciones una matriz cuadrada A Mn(R) esinvertible y encontraremos una formula explcita para A1 pordiferentes metodos.
Para ello introduciremos los conceptos de
Determinante de Matrices y Matriz Adjunta.
Matrices Escalonadas y Rango de Matrices.
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Determinantes de Matrices
Determinante de una matriz 2 2
Sea A =
(a bc d
)M22(R) una matriz cuadrada definiremos
det(A) = |A| = ad bc
Ejemplos
Si A =
(4 55 4
)entonces
det(A) = |A| =4 55 4
= 4 4 5 5 = 9.Si B =
(1 25 14
)entonces
det(B) = |B| =1 25 14
= 1 14 2 5 = 4.Facultad de Ingeniera UDP Algebra Lineal
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Determinantes de Matrices
Determinante de una matriz 3 3
Sea A =
a b cd e fg h i
se define
det(A) = |A| =
a b cd e fg h i
= aei+ bfg + cdh ceg bdi afhEjemplo
1 2 30 1 20 0 1
= 1 1 1 + 2 2 0 + 3 0 3 1 0 2 0 1 1 2 0= 1
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Determinantes de Matrices
Regla de Sarrus
Sea A =
a b cd e fg h i
. Entonces |A| se puede calcular de lasiguiente manera. Se escribe la siguiente formacion de numeros,
a b c a bd e f d eg h i g h
copiando la primera y segunda fila de la matriz A al lado de lamatriz A y escribiendo con signo positivo los productos de treselementos en diagonal de izquierda a derecha y con signonegativo los productos de tres elementos en diagonal de derechaa izquierda.
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Determinantes de Matrices
Propiedades
Sea A M2(R) o A M3(R).1 |A| = |At|.2 Si todos los elementos de una fila son 0 entonces |A| = 0.3 Si intercambiamos dos filas (o columnas) se produce un
cambio en el signo del determinante.
4 Si dos filas (o columnas) de la matriz A son igualesentonces |A| = 0.
5 |I2| = 1 y |I3| = 1.6 Si A es una matriz triangular o una matriz diagonal
entonces |A| es el producto de los elementos en la diagonalde A.
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Determinantes de Matrices
Propiedades
1
a1 + a2 bc1 + c2 d = a1 bc1 d
+ a2 bc2 d.
Esta propiedad es valida en la segunda columna.
2
a1 + a2 b cd1 + d2 e fg1 + g2 h i
=a1 b cd1 e fg1 h i
+a2 b cd2 e fg2 h i
.Esta propiedad es valida en la segunda columna y en latercera columna.
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Determinantes de Matrices
Propiedades
1
a bc d = a bc d
.Esta propiedad es valida en la segunda columna.
2
a b cd e fg h i
= a b cd e fg h i
.Esta propiedad es valida en la segunda columna y en latercera columna.
3 Si A M2(R) entonces |A| = 2|A|.4 Si A M3(R) entonces |A| = 3|A|.
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Determinantes de Matrices
Propiedades
1 Si A,B M2(R) entonces |A B| = |B A| = |A| |B|.2 Si A,B M3(R) entonces |A B| = |B A| = |A| |B|.3 Si A M2(R) o A M3(R) entonces si una fila (o
columna) se multiplica por un numero R y losresultados se suman a otra fila (columna respectivamente)entonces el valor del determinante no se altera.
Por ejemplo
a bc d = a b+ ac d+ c
,a b cd e fg h i
=a b+ c cd e+ f fg h+ i i
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
Sean A,B M2(R). Pruebe con un ejemplo que en generaldet(A+B) 6= det(A) + det(B).Sean A,B M3(R). Pruebe con un ejemplo que en generaldet(A+B) 6= det(A) + det(B).Pruebe que det(A+ I2) = det(A) + det(I2) tr(A) = 0.Demuestre que no existen A,B Mn(R) tal queAB BA = In.
Sea A M2(R) o A M3(R). Demuestre que |A1| =1
|A|.
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
Calcule los siguientes determinantes.1 a a2
1 b b2
1 c c2
a3 ab2 0 a2b b3
0 a3 ab2 a2b b3a3b ab3 a3b ab3 a4 b4
.x 1 11 x 11 1 x
.
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
Resuelva las ecuaciones1 2 x2 3 13 4 x2
= 0.1 x 00 1 xx 0 1
= 0
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Determinantes de Matrices
El determinante de una matriz de orden superior esta definidode una manera recursiva. Para esto necesitamos el siguienteconcepto.
Determinantes Menores
Sean n > 3 y A = (aij) Mn(R) una matriz cuadrada. Sedefine Dij el determinante de orden (n 1) (n 1) que seproduce al no considerar la fila i y la columna j en la matriz A.
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Determinantes de Matrices
Ejemplo
Sea A =
1 2 34 5 67 8 9
entonces
D11 =
5 68 9 D12 =
4 67 9 D13 =
4 57 8
D21 =
2 3
8 9
D22 =1 3
7 9
D23 =1 2
7 8
D31 =
2 34 5
D32 =1 34 6
D33 =1 24 5
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Algebra Lineal
Determinantes de Matrices
Ejemplo
Si A =
1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16
entonces
D13 =
5 6 89 10 1213 14 16
D44 =1 2 35 6 79 10 11
D22 =
1 3 4
9 11 1213 15 16
D33 =
1 2 45 6 8
13 14 16
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Algebra Lineal
Determinantes de Matrices
Definicion. (Determinante de matrices de ordenes superiores)
Sean n > 3 y A Mn(R) se define
|A| =ni=1
(1)i+jaijDij , donde j es un numero fijo entre 1 y n.
o
|A| =nj=1
(1)i+jaijDij , donde i es un numero fijo entre 1 y n.
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Algebra Lineal
Determinantes de Matrices
Ejemplo
Calcule
1 2 34 5 67 8 9
.Fijado i = 1. Debemos calcular
3j=1
(1)1+ja1jD1j = (1)1+1a11D11 + (1)1+2a12D12
+ (1)1+3a13D13
= 1 5 68 9
2 4 67 9+ 3 4 57 8
= 0.
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Determinantes de Matrices
Ejemplo
Fijado i = 2. Debemos calcular
3j=1
(1)2+ja2jD2j = (1)2+1a21D21 + (1)2+2a22D22
+ (1)2+3a23D23
= 2 4 67 9
+ 5 1 37 9 8 1 34 6
= 0.
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Determinantes de Matrices
Ejemplo
Fijado j = 3. Debemos calcular
3i=1
(1)i+3ai3Di3 = (1)1+3a13D13 + (1)2+3a23D23
+ (1)3+3a33D33
= 3 4 57 8
6 1 27 8+ 9 1 24 5
= 0.
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Determinantes de Matrices
Calcule el siguiente determinante:1 2 3 42 2 3 43 3 3 44 4 4 4
Fijado i = 1 (Primera fila). Debemos calcular
4j=1
(1)1+ja1jD1j = (1)1+1a11D11 + (1)1+2a12D12
+ (1)1+3a13D13 + (1)1+4a14D14
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Determinantes de Matrices
1 2 3 42 2 3 43 3 3 44 4 4 4
= 1 2 3 43 3 44 4 4
2 2 3 43 3 44 4 4
+ 3
2 2 43 3 44 4 4
4 2 2 33 3 34 4 4
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Determinantes de Matrices
Propiedades
Sea n N y A Mn(R) .1 |A| = |At|.2 Si todos los elementos de una fila (o columnas) son 0
entonces |A| = 0.3 Si intercambiamos dos filas (o columnas) se produce un
cambio en el signo del determinante.
4 Si dos filas (o columnas) de la matriz A son igualesentonces |A| = 0.
5 |In| = 1.6 Si A es una matriz triangular o una matriz diagonal
entonces |A| es el producto de los elementos en la diagonalde A.
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Determinantes de Matrices
Propiedades
1
a11 a12 a1na21 a22 a2n
......
. . ....
an1 an2 ann
= a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
Esta propiedad es valida para cualquier columna (o fila).
2 |A| = n|A|.3 Si una fila (o columna) es multiplicada por un numero real y este resultado se le suma a otra fila o columnarespectivamente entonces el resultado del determinante nose ve alterado.
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
Compruebe que:
1
1 a b+ c1 b a+ c1 c a+ b
= 0a3 a2 1b3 b2 1c3 c2 1
=a2 a bcb2 b acc2 c ab
2 Pruebe que
2 4 13 2 07 1 3
es multiplo de 5.3 Pruebe que
1 5 02 2 52 5 5
es multiplo de 15.
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
Calcule
1
1 1 1 1 11 3 3 3 31 3 5 5 51 3 5 7 71 3 5 7 9
5 5 5 5 55 4 4 4 45 4 3 3 35 4 3 2 25 4 3 2 1
2
0 x y zx 0 z yy z 0 xz y x 0
3
1 a a2 a3
1 b b2 b3
1 c c2 c3
1 d d2 d3
1 a a2 a3 a4
1 b b2 b3 b4
1 c c2 c3 c4
1 d d2 d3 d4
1 e e2 e3 e4
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
1
a b c 2a 2a
2b b c a 2b2c 2c c a b
= (a+ b+ c)3.2 Si a, b, c R cumplen que a+ b+ c = 0, resuelva la
siguiente ecuaciona x c bc b x ab a c x
= 0
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
1
0 a b ca 0 d eb d 0 fc e f 0
= (af be+ cd)2.
2 Resuelva la siguiente ecuacion1 1 1 1x 2 3 4x2 4 9 16x3 8 27 64
= 0
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Determinantes de Matrices
Definicion
Sea A = (aij) Mn(R). El cofactor de orden ij asociado a lamatriz A se denota por cij y se define como
cij = (1)i+jDij ,
donde Dij denota el determinante menor de orden ij.
Definicion
Sea A = (aij) Mn(R). La matriz adjunta de A se denota porAdj(A) y se define como la matriz traspuesta delos cofactoresde A, es decir
Adj(A) = ((1)i+jDij)t = (cij)t = (cji).
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Determinantes de Matrices
Teorema
Sea A Mn(R). La matriz A es invertible si y solo sidet(A) 6= 0 y en este caso A1 = 1
det(A)Adj(A)
Ejemplo
Encuentre la matriz inversa de
0 0 11 0 00 1 1
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
Decida si las siguientes matrices son invertibles, encuentre lasmatrices inversas (si es que son invertibles)
1
1 2 34 5 67 8 9
0 1 11 0 11 1 0
4 0 00 10 00 0 3
2
1 2 3 44 5 6 77 8 9 1010 11 12 13
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
3
1 2 4 81 3 9 811 4 16 641 5 25 125
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
Encuentre condiciones para que las siguientes matrices seaninvertibles
1
1 2 x21 y 41 2 4
2
1 2 a2 3 13 4 a2
3
k 0 0 11 k 1 11 1 k 11 0 0 k
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Determinantes de Matrices
Matrices Escalonadasy OperacionesElementales
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Determinantes de Matrices
Considere A = (aij) Mnm(R) una matriz con n filas y mcolumnas. Es decir
A =
a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2m...
......
. . ....
an1 an2 an3 anm
Cada fila de la matriz sera denotada por Fi donde i es lacorrespondiente posicion de la fila.
Por ejemplo
F2 = (a21 a22 a23 a2m)
F3 = (a31 a32 a33 a3m).
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Determinantes de Matrices
Sobre cada una de las filas de la matriz A definiremos lassiguientes operaciones elementales
1 Permutacion entre las filas i y j, lo cual se denotara porFi Fj .
2 Multiplicacion de la fila i por un numero real , lo que seescribira como (Fi).
3 Sumar la fila i con la fila j, lo que se escribira como(Fi + Fj).
4 Cualquier combinacion de las operaciones elementalesanteriores sera una operacion elemental.
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Determinantes de Matrices
Ejemplo
A =
(3 6 91 2 3
).
1 F1 F2 (1 2 33 6 9
)2 3F1 (
3 6 93 6 9
)3 F2 + (1)F1 (
3 6 90 0 0
)
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Determinantes de Matrices
Ejemplo
A =
2 3 30 1 44 8 2
1 F3 + (2)F1 2 3 30 1 4
0 2 8
2 F3 + (2)F2 2 3 30 1 4
0 0 0
= E.
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Determinantes de Matrices
Sean A,B Mnm(R) dos matrices. Si B es obtenida medianteuna sucesion de operaciones elementales sobre las filas de A.diremos que A es equivalente a B. Si A es equivalente a Bescribiremos A B.
A =
2 3 30 1 44 8 2
F32F12 3 30 1 4
0 2 8
12F1F32F21 32 320 1 4
0 0 0
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Determinantes de Matrices
Definicion
Una matriz A Mnm(R) se llama matriz escalonada sisatisface las siguientes condiciones:
1 Si la matriz tiene filas compuestas unicamente por 0, estasfilas deben ubicarse debajo de las filas que tengancoeficientes no nulos.
2 El primer coeficiente distinto de 0 en la fila debe ser 1. Esteelemento se llama uno distinguido.
3 El numero de 0 al comienzo de una fila aumenta a medidaque se desciende en la matriz.
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Determinantes de Matrices
Teorema
Toda matriz A Mnm(R) es equivalente a alguna matrizescalonada E Mnm(R).
Definicion
Sean A Mnm(R) y E Mnm(R) una matriz escalonada talque A E. Se define el rango de A y se denota por r(A), comoel numero de filas no nulas que componen E. Dicho de otramanera r(A) es el numero de unos distinguidos que tiene E A.
r(On) = 0.
r(In) = n
Si A Mnm entonces r(A) 6 n.
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
1 Demuestre que el rango de la matriz
A =
4 6 2 41 1 0 53 2 1 3
es 2.2 Determine todos los valores de a para que el rango de la
matriz B sea 3, donde
B =
1 2 a2 3 13 4 a2
.
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
1 Encuentre condiciones sobre los valores de a, b y c para que
la matriz A =
1 a a21 b b21 c c2
tenga rango 3.2 Determine todos los valores de a y b para que el rango de la
matriz B sea 3, donde
B =
1 2 a21 b 41 2 4
.
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Determinantes de Matrices
Ejercicios
1 Encuentre el r(A) dependiendo del valor de a donde
A =
3 a 2 a 12 5 3 11 3 1 a 03 2 4 a 1
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Determinantes de Matrices
Teorema
Sea A Mn(R).A es invertible r(A) = n A In
Teorema
Si A Mn(R) es una matriz invertible entonces las mismasoperaciones elementales aplicadas a la matriz In sirven paracalcular A1
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Algebra Lineal
Determinantes de Matrices
Ejemplo 5 5 00 4 41 0 8
5 5 0 1 0 00 4 4 0 1 0
1 0 8 0 0 1
14F2
15F1
1 1 0 15 0 00 1 1 0 14 01 0 8 0 0 1
1 1 0 15 0 00 1 1 0 14 0
1 0 8 0 0 1
F2F3 1 1 0 15 0 01 0 8 0 0 1
0 1 1 0 14 0
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Determinantes de Matrices
Ejemplo
1 1 0 15 0 01 0 8 0 0 10 1 1 0 14 0
F2F1 1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 1
0 1 1 0 14 0
1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 1
0 1 1 0 14 0
F3+F2 1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 1
0 0 9 1514 1
1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 1
0 0 9 1514 1
19F3 1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 1
0 0 1 145136
19
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Determinantes de Matrices
Ejemplo
1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 10 0 1 145
136
19
F28F3 1 1 0 15 0 00 1 0 145 29 19
0 0 1 145136
19
1 1 0 15 0 00 1 0 145 29 19
0 0 1 145136
19
(1)F2 1 1 0 15 0 00 1 0 145 29 19
0 0 1 145136
19
1 1 0 15 0 00 1 0 145 29 89
0 0 1 145136
19
F1F2 1 0 0 845 29 190 1 0 145 29 19
0 0 1 145136
19
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Algebra Lineal
Determinantes de Matrices
Ejemplo 5 5 00 4 41 0 8
845 29 19145
29
19
145136
19
=1 0 00 1 0
0 0 1
845 29 191
4529
19
145136
19
5 5 00 4 41 0 8
=1 0 00 1 0
0 0 1
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Algebra Lineal
Determinantes de Matrices
Ejercicios
Muestre que cada una de las siguientes matrices son invertiblesy en cada caso encuentre la matriz inversa.
1 A =
0 1 11 0 11 1 0
2 B =
1 2 34 5 67 8 9
3 C =
1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1
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Algebra Lineal
Determinantes de Matrices
Ejercicios
1 Encuentre los valores de a, b R para que la matriz A seainvertible.
A =
0 a b1 0 ab 1 0
.2 Encuentre el valor de x R para que la matriz sea
invertible B =
1 1 1 11 x x2 x3
3 x+ 2 2x+ 1 3x3 2x+ 1 x2 + 2x 3x2
3 Encuentre los valores de a, b R para que la matriz C sea
invertible. C =
a3 ab2 0 a2b b30 a3 ab2 a2b b3a3b ab3 a3b ab3 a4 b4
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Algebra Lineal
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Programa del Curso
1 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 Determinantes de Matrices
3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
4 Espacios Vectoriales
5 Transformaciones Lineales
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Espacios Vectoriales
Programa del Curso
1 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 Determinantes de Matrices
3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
4 Espacios Vectoriales
5 Transformaciones Lineales
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Transformaciones Lineales
Programa del Curso
1 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 Determinantes de Matrices
3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
4 Espacios Vectoriales
5 Transformaciones Lineales
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Matrices y Sistemas de Ecuaciones LinealesDeterminantes de MatricesSistemas de Ecuaciones LinealesEspacios VectorialesTransformaciones Lineales